1
Geometra de Proporcin I
Figuras congruentes ( )
Definicin Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensin.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
Tringulos congruentes
Para determinar si dos tringulos son congruentes, existen algunos criterios. Los ms utilizados son:
1 Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos tringulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
8 8
10 10
6 6
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
2 Lado, ngulo, lado (L.A.L.)
Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ngulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
a a
5
3
5
3
Ejemplo:
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A)
Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
a a
12 12
Ejemplo:
b b
Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF
Figuras semejantes (~)
Para que dos polgonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
Definicin
Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices con ngulos congruentes.
G
F
J
I
H a
b
g d
e
A
E
D
C
B a
b
g d
e
1 que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y
2 que sus lados homlogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea.
2
Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes, y sus lados homlogos proporcionales.
Tringulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
a
b
g E
F
D
a
b
g 5
3
15
9 4
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homlogo a DE
BC es homlogo a EF
AC es homlogo a DF
P
Q
R
A B
C
Elementos Homlogos
Los lados homlogos en los tringulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
3 4
5
6
8
10
AB PQ
= BC QR
= CA RP
Adems, tambin los elementos que cumplen la misma funcin en cada uno de los tringulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homlogos y proporcionales).
Postulados de semejanza
1 Postulado AA.
Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
34o 55o
E
F
D
34o
55o
AB DF
BC FE
AC DE
= = = k Adems
ABC ~ DFE por AA
2 Postulado LLL.
Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
ABC ~ FDE por LLL
A B
C
4
E
F
D
5
6
12 8
10
Adems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED
3 Postulado LAL.
Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
4
E
F
D
5 12
15
57
57
ABC ~ FED por LAL
Adems BAC=DFE y CBA=FED
4 Postulado: LLA>
Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente
proporcionales, y el ngulo opuesto al mayor de esos lados, congruente.
16 8 14
28
ABC ~ DEF por LLA>
B
C
D E
F Ejemplo:
A
3
C
D
F
E
A
B
L1
L2
L3
Teorema de Thales
Sean L1 // L2 // L3, entonces:
Si tres o ms rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:
AB BC
DE EF
= BC AC
EF DF
= AB AC
DE DF
=
a) Forma de Escalera:
T S
"Si tres o ms rectas paralelas son intersecadas
por dos transversales, los segmentos de las
transversales determinados por las paralelas, son
proporcionales
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3
L1
L2
L3
, T y S transversales,
los segmentos a, b, c y d son proporcionales
Es decir:
a a
b
b =
c c
d d
DE ACUERDO?
Forma de A o Teorema Particular de Thales:
Sean L1 // L2, entonces:
A
O
C
D B
L1
L2
OA AB
OC CD
= OA OB
OC OD
=
OA AC
OB BD
= OC AC
OD BD
=
AB OB
CD OD
=
Sean L1 // L2, entonces:
L1
L2
A
C
B
O
D
AO OD
BO OC
= AB CD
AO OD
= AB CD
BO OC
=
Forma de Reloj de Arena:
L1
L2
L3
T
S
8
24
x
15
Un ejemplo:
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del
trazo x
Ordenamos los datos en la proporcin, de acuerdo al teorema de Thales
Es decir: 8 24 =
X 15 Y resolvemos la proporcin
24 x = 8 15
X =8 15 24
X = 5
Fcil
Otro ejemplo:
en la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el
trazo CD
Formamos la proporcin
3 2 =
x+4 x+1
Resolvemos la proporcin
3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3
X=5
L1
L2
L3
T
S
x+4
x+1
3 2
C
D
Luego, como CD = x + 4
CD= 5 + 4 = 9
4
Y nuevamente pensando en la pirmide.. TRINGULOS DE THALES
Dos tringulos se dicen de Thales o que estn en posicin de Thales, cuando: Tienen un ngulo comn y los lados opuestos a dicho ngulo son paralelos.
S (sombra)
H(altura de la pirmide)
s (sombra)
h (altura de bastn)
Podemos ver esto si trasladamos el tringulo formado por el bastn, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirmide
Tringulos de Thales
En dos tringulos de Thales, sus lados, tienen
la misma razn de semejanza
B C
A
D E
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los tringulos AED y ABC ocurre:
AE
AB =
ED
O tambin
AE
ED = AB
BC
BC
A esta forma de tomar los trazos, se le llama la doble
L
Aplicaciones de esta idea
Calcula la altura del siguiente edificio
x
5
3 12
Escribimos la proporcin
3
5 =
15 x
Y resolvemos la proporcin
3 x = 5 15
x = 75 3
X = 25
Por que 3+12=15
Otro ejercicio
En el tringulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE
A B
C
x+3 x
8
12 D
E
Formamos la proporcin
8
X+3
= 12 2x+3
Resolvemos la proporcin
Por que x+3+x =
2x+3
8(2x + 3) = 12( x + 3)
16x + 24 = 12x + 36 16x 12x = 36
24 4x = 12
X = 12 =
3 4
Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6
Ejemplos:
1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.
A
O
C
D B
L1
L2
5
7
36
Solucin:
Aplicando el Teorema particular de Thales o A:
OA AC
OB BD
= 5 AC
12 36
= AC = 15
2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en funcin de x e y.
Solucin: Aplicando la forma de reloj de arena del Teorema de Thales:
L1
L2
A
C
B
O
D
x + y
2y
2x
AB CD
AO OD
= x+y 2x
2y OD
= 4xy x+y
OD =
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