Sesión 13: Lógica Difusa
“Esto es lo vago e incierto. Acercate y no verás su cabeza; siguelo y no verás
su parte posterior” [Lao Tzu]
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 2
Técnicas Alternativas
• Lógica Difusa• Conjuntos difusos
• Lógica difusa
• Reglas de producción difusas
• Aplicaciones
• Ventajas y desventajas
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 3
Conjuntos
• Los conjuntos difusos se pueden ver como una extensión de los conjuntos “clásicos” para representar conceptos no bien definidos
• Conjuntos clásicos – se puede determinar sin ambigüedad si algo es miembro o no del conjunto (el conjunto es claro y preciso)
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 4
Ejemplos – Conjuntos Clásicos
• Miembros del club de tennis
• Números menores a 10
• Persona que mide más de 1:70 m de altura
• Un conjunto se puede representar gráficamente mediante un diagrama de Venn o un diagrama de verdad
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 5
Diagrama de Verdad(números menores a 10)
10
0
1
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 6
Conjuntos Difusos
• En un conjunto difuso el límite no está bien definido, los miembros pueden tener un grado de membresía en cualquier nivel – desde completamente miembro hasta no-miembro
• Elemplos:– Jugadores de tennis– Personas altas– Números pequéños
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 7
Función de Membresía(números positivos pequeños)
10
0
1
(X)
X
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 8
Conjuntos Difusos
• Formalmente un conjunto difuso es una función del conjunto A, llamado dominio, al intervalo [0,1]:
: A [0,1]• El conjunto de valores de A para las cuales > 0
es llamado el soporte de • Para cualquier elemento a A, (a) es el grado de
membresía de a en A – se representa gráficamente mediante la función de membresía
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 9
Operaciones Difusas
• Complemento:
NOT (a) = 1 – (a)
• Intersección:
(a) = min [(a), (a) ]
• Unión:
(a) = max [(a), (a) ]
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 10
Ejemplo – “alto y bajo”
1:70
0
1
(A)
A
“bajo” “alto”
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 11
Ejemplo – “alto o bajo”
1:70
0
1
(A)
A
“bajo” “alto”
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 12
Ejemplo – “no alto”
1:70
0
1
(A)
A
“alto”
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 13
Relaciones Difusas
• La relación difusa sobre dos conjuntos, A y B, es un subconjunto difuso sobre su producto cartesiano – a cada miembro del conjunto producto se le asigna un grado de membresía
• Ejemplo:
B \ A 0 1 2
0 0.1 0.7 0.9
1 0 0.6 0.5
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 14
Relaciones Difusas - Ejemplo
• La relación difusa – “a es similar a b”
B \ A 0 1 2 3
0 1 0.7 0.3 0
1 0.7 1 0.7 0.3
2 0.3 0.7 1 0.7
3 0 0.3 0.7 1
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 15
Operaciones
• Las operaciones básicas sobre conjuntos difusos se extienden directamente a relaciones difusas
• La composición de dos relaciones difusas se define como:
°(a, b) = SupB min [(a, b´), (b´, c) ]
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 16
Ejemplo de Composición• Relación a-b:
b1 b2 b3 b4 b5a1 0.1 0.2 0 1 0.7a2 0.3 0.5 0 0.2 1a3 0.8 0 1 0.4 0.3
• Relación b-c:c1 c2 c3 c4b1 0.9 0 0.3 0.4b2 0.2 1 0.8 0b3 0.8 0 0.7 1b4 0.4 0.2 0.3 0b5 0 1 0 0.8
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 17
Ejemplo de Composición
• Resultado - relación a-c:
c1 c2 c3 c4
a1 0.4 0.7 0.3 0.7
a2 0.3 1 0.5 0.8
a3 0.8 0.3 0.7 1
• Para cada término – se toma el mínimo de cada valor del renglón de la primera matriz con la columna de la segunda, y el máximo de éstos. Por ejemplo:
R(1,1) = MAX [min(0.1,0.9), min(0.2,0.2), min(0,0.8), min(1,0.4), min(0.7,0) ] = 0.4
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 18
Reglas de Producción Difusas
• Extienden las reglas de producción tradicionales con la inclusión de términos difusos.
• Ejemplos de reglas difusas:– Si el clima es caluroso entonces la alberca está llena– Si el agua está fría entonces cierra ligeramente la llave– Si el obstáculo está cerca entonces detente
• Cada término (premisa, conclusión) corresponde a un conjunto difuso.
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 19
Inferencia
• Una regla difusa se puede representar como una relación difusa – expresando los valores de membresía de la conclusión para cada uno de los valores de las premisas
• Ejemplo: Si agua fría entonces cierra llaveTemp \ Grados cierre 0 45 90
10 0 0.4 0.915 0.2 0.7 0.3
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 20
Inferencia
• Dada una entrada, mediante una función de membresía, la función conclusión se obtiene mediante la regla de composición
• Regla composicional de inferencia:
f(x) – función de membresía de la entrada
g(x,y) – relación que expresa la regla
h(y) – función de membresía de la conclusión
h(y) = f°g(y) = SupX min [ f(x), g(x,y) ]
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 21
Inferencia - ejemplo
• Regla: Si agua fría entonces cierra llaveTemp \ Grados cierre 0 45 90
10 0 0.4 0.915 0.2 0.7 0.3
• Entrada: agua fríaTemp 10 – 0.8 15 – 0.3
• Salida:Grados cierre 0 45 90
0.2 0.4 0.8
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 22
Defuzificación
• La “salida” de una regla difusa es un conjunto difuso
• En muchas aplicaciones es necesario transformar esta salida:– Aproximación lingüística – se transforma en
una descripción “verbal”– Defuzificación aritemétcia – se extrae un valor
escalar que represente al conjunto difuso
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 23
Defuzificación
• Defuzificación aritemétcia – dos formas básicas:– Valor máximo– Centro de área (o de momentos)
0
1
X
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 24
Defuzificación
• Para el ejemplo de la regla:• Salida:
Grados cierre 0 45 900.2 0.4 0.8
• Máximo: 90• Momentos: (0*0.2 + 45*0.4 + 90*0.8)/1.4
= 64.28
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 25
Ejemplo de Reglas Difusas –control de temperatura
• Reglas para el control de temperatura de una regadera (tibia):– Si agua es FRIA entonces incrementar aprox. en 2
unidades– Si agua es FRESCA entonces incrementar aprox. en
1 unidad– Si agua es TIBIA entonces incrementar aprox. en 0
unidades– Si agua es CALIENTE entonces decrementar en
aprox. en 1 unidad
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 26
Ejemplo control de regadera – temperatura
0
1
(T)
T
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 27
Ejemplo control de regadera – salida de control
0
1
(C)
C
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 28
Ejemplo control de regadera – reglas
0
1
(T,C)
T
C
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 29
Ejemplo control de regadera – inferencia (OR implicito)
0
1
(T,C)
T
C
Temp Entrada
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 30
Ejemplo control de regadera – salida
0
1
(C)
C
Centro de Momento
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 31
Aplicaciones
• Control de procesos
• Sistemas embebidos (lavadoras, cámaras, etc.)
• Sistemas expertos difusos
• Percepción
• Robótica
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 32
Ventajas
• Analogía con forma de expresión humana
• Simplicidad y eficiencia computacional
• Aplicaciones exitosas
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 33
Desventajas
• Dificultad de interpretación de valores difusos (semántica no clara)
• Mútiples difiniciones de operadores y reglas de inferencia difusas
• No hay una buena justificación de operadores difusos
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 34
Referencias
• L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”, Information and Control 8, 1965
• I. Graham, P. Jones, “Expert Systems”, Chapman and Hall, 1988 – Capítulo 5
• H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and its Applications”, Kluwer, 1985
Incertidumbre - LD y LP, L.E. Sucar 35
Actividades
• Entrega de proyecto final– Reporte escrito (formato reportes técnicos)– Presentación y demo. programa (máximo 20
minutos)
Top Related