UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL
CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR
MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM
SESION # 9
“Funciones y Limites”
FUNCIÓNFunción: Una función 𝑓 𝑥 , es una relación entre dos conjuntos uno de ellos llamado Dominio 𝐷𝑥 y otro
llamado Imagen o Rango 𝑅𝑓 𝑥 el cual corresponde al conjunto de valores que puede tomar la función 𝑓 𝑥 ;
de tal forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único valor de la imagen o recorrido. El
conjunto de puntos 𝑃 𝑥, 𝑓 𝑥 del plano se llama gráfica de la función
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
⋮
𝒙𝒏
𝒇 𝒙𝟏
𝒇 𝒙𝟐
𝒇 𝒙𝟑
⋮
𝒇 𝒙𝒏
𝒇 𝒙
Dominio Imagen
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
Funciones
Algebraicas
Polinómicas:
Racionales:
Trascendentes
Exponenciales:
Logarítmicas:
Trigonométricas:
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟎
𝒇 𝒙 =𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟎
𝒃𝒎𝒙𝒎 + 𝒃𝒎−𝟏𝒙
𝒎−𝟏 +⋯+ 𝒃𝟎
𝒇 𝒙 = 𝒌𝒂𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒄𝒔𝒄 𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES“Traslaciones en el eje x”
Trasladar la función “a” lugares a la derecha𝒇 𝒙 − 𝒂 :
𝒇 𝒙 + 𝒂 : Trasladar la función “a” lugares a la izquierda𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒇 𝒙 − 𝟐 = 𝒙 − 𝟐 𝟐
𝒇 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟐 𝟐
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES“Traslaciones en el eje y”
𝒇 𝒙 + 𝒂:
𝒇 𝒙 − 𝒂:
Trasladar la función “a” lugares hacia arriba
Trasladar la función “a” lugares hacia abajo
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟑
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES“Simetrías”
𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙Una función es simétrica respecto del eje "y“,
entonces es una función PAR:
𝒇 −𝒙 = −𝒇 𝒙Una función es simétrica respecto al origen,
entonces es una función IMPAR:
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟖
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟓 − 𝟖𝒙𝟑
OPERACIONES CON FUNCIONESSean 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 dos funciones de variable real, las operaciones que se pueden realizar son:
Suma Resta Producto Cociente Composición
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 × 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ÷ 𝒈 𝒙 (𝒇 ∘ 𝒈) 𝒙
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3𝑔 𝑥 = 𝑥 + 6
La suma de funciones
2𝑥 − 3 + (𝑥 + 6)
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 3
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 5𝑥𝑔 𝑥 = 5𝑥2 − 6𝑥
La resta de funciones
3𝑥2 + 5𝑥 − 5𝑥2 − 6𝑥
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = −2𝑥2 + 11𝑥
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥𝑔 𝑥 = 8𝑥
El producto de funciones
𝑥2 + 2𝑥 × 8𝑥
𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 = 8𝑥3 + 16𝑥
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 7𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 5
El cociente de funciones
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=−3𝑥2 + 7
2𝑥 + 5
Ejemplo:
𝑓 𝑥 =1
𝑥 + 2𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥
La composición de
funciones
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =1
3𝑥2 + 𝑥 + 2
INTERVALOS FINITOS
ABIERTOS Y CERRADOS
Intervalo: Es un subconjunto de la recta real y contiene a todos los números reales que están
comprendidos entre sus elementos extremos,
Intervalo cerrado: Es un subconjunto de la recta real que contiene a los elementos extremos se
representa por:
𝒙 ∈ 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 = 𝒂, 𝒃Intervalo abierto: Es un subconjunto de la recta real que no contiene a los elementos extremos se
representa por:
𝒙 ∈ 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 = 𝒂, 𝒃Intervalo semiabierto: Es un subconjunto de la recta real que contiene a uno de los elementos extremos
se representa por:
𝒙 ∈ 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 = 𝒂, 𝒃
𝒙 ∈ 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 = [𝒂, 𝒃)
a
a
a
a
b
b
b
b
FUNCIONES POLINOMIALES
Funciones
Polinómicas
Primer grado: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃
Segundo grado: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Grado Par: Grado Impar:
𝐷𝑥 𝑥|𝑥 ∈ ℝ
𝑅𝑦 𝑦|𝑦 ∈ ℝ
Dominio:
Rango:
FUNCIONES RACIONALESUna función racional puede escribirse como el cociente de dos
polinomios de la forma:
𝑓 𝑥 =𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
Singularidades: Ocurren cuando el denominador de una función
racional puede ser cero, por lo que la función
no esta definida para esos valores de x.
Continuidad: Las funciones racionales son continuas en segmentos
o intervalos.
Asíntotas: Son rectas a las cuales la función se va aproximando
indefinidamenteAsíntotas
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
22.- Determinar el conjunto en el cual la función siguiente es continua: 𝑓 𝑥 =𝑥2+2𝑥−1
𝑥−1 𝑥+1
Solución:
Se examina el denominador, donde se observan dos raíces:
𝑄 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 1
Las raíces del denominador son los puntos singulares:
𝑥1 = 1
𝑥2 = −1
La función es continua excepto en los puntos singulares por lo que el conjunto
donde es continua:
−∞,−1 ∪ −1,1 ∪ 1,∞
DESIGUALDADESPropiedades de las desigualdades:
a) Transitiva:
Si 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑐 entonces 𝑎 ≤ 𝑐Si 𝑎 ≥ 𝑏 y 𝑏 ≥ 𝑐 entonces 𝑎 ≥ 𝑐
b) Antisimétrica: Si 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑎 entonces 𝑎 = 𝑏
c) Simétrica: Si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces 𝑏 ≠ 𝑎
d) Suma y Resta:
Si 𝑎 ≤ 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐Si 𝑎 ≤ 𝑏 entonces 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏 − 𝑐Si 𝑎 ≥ 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐Si 𝑎 ≥ 𝑏 entonces 𝑎 − 𝑐 ≥ 𝑏 − 𝑐
ba c
Mayores
(+positivos)
a=b
Ejemplo: si 𝑐 = 35 > 4
5 + 3 > 4 + 38 > 7
Ejemplo: si 𝑐 = 1015 < 20
15 − 10 < 20 − 105 < 10
DESIGUALDADESe) Producto:
Si 𝑐 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐Si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
Si 𝑐 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜Si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
f) Opuesto:
Si 𝑎 < 𝑏 entonces −𝑎 > 𝑏Si 𝑎 > 𝑏 entonces −𝑎 < −𝑏
g) Reciproco:
Si 𝑎 < 𝑏 entonces 1
𝑎>
1
𝑏
Si 𝑎 > 𝑏 entonces 1
𝑎<
1
𝑏
Ejemplo: si 𝑐 = 35 > 4
5 × 3 > 4 × 315 > 12
Ejemplo: si 𝑐 = −27 < 9
7 × −2 > 9 × (−2)−14 > −18
Ejemplo: si
3 > 21
3<1
2
Ejemplo: si
5 < 7−5 > −7
-7 -5-18 -14 Mayores
(+positivos)
Mayores
(+positivos)
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Valor absoluto: Es su valor numérico sin tener en cuenta su signo sea este positivo o negativo.
𝒙 = ൜𝒙
−𝒙
h) Valor absoluto:
• Si 𝑎 ≤ 𝑏 entonces −𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏
• Si 𝑎 ≥ 𝑏 entonces a ≤ −𝑏 y 𝑎 ≥ 𝑏
a
b-b
-b b
𝑎, 𝑏
−∞,−𝑏 ∪ [𝑏,∞)
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
2.- Resolver la siguiente desigualdad: 3−5𝑥
𝑥+1> 4
Solución: se trata de una desigualdad con una solución en un intervalo abierto, el procedimiento mas sencillo es cancelar el
denominador para obtener una ecuación de 2do grado que cumpla con la desigualdad por lo que multiplicamos en ambos
lados de la desigualdad por el valor del denominador al cuadrado: 𝑥 + 1 2
𝑥 + 1 23 − 5𝑥
𝑥 + 1> 4 𝑥 + 1 2
𝑥 + 1 3 − 5𝑥 > 4 𝑥 + 1 2
Despejando:
𝑥 + 1 3 − 5𝑥 − 4 𝑥 + 1 2 > 0
Desarrollando:
−5𝑥2 − 2𝑥 + 3 − 4𝑥2 − 8𝑥 − 4 > 0
−9𝑥2 − 10𝑥 − 1 > 0
Simplificando:
−9𝑥2 − 10𝑥 − 1; esta expresión nos representa una parábola, con eje focal paralelo al eje
“y” que abre hacia abajo. Por lo que calculamos sus raíces para saber donde cruza el eje
“x”, es decir donde es igual a cero.
𝑥1,2 =− −10 ± −10 2 − 4 −9 −1
2 −9
𝑥1,2 =10 ± 100 − 36
−18=10 ± 8
−18
𝑥1 = −1
𝑥2 = −1
9
𝑥 > 0
𝑥 < 0
𝑥 ∈ −1,−1
9
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
4.- Resolver la siguiente desigualdad: 8 − 11𝑥 < 5
Solución: Es una desigualdad en valor absoluto en un entorno abierto, por lo que tendremos que resolver la
desigualdad en la forma:
−5 < 8 − 11𝑥 < 5
Aplicamos propiedades restamos 8
en toda la desigualdad:
−5 − 8 < 8 − 8 − 11𝑥 < 5 − 8
−13 < −11𝑥 < −3
Dividimos entre −11 por lo que el
sentido de la desigualdad cambia
−13
−11> 𝑥 >
−3
−11
13
11> 𝑥 >
3
11
Se obtiene:
Representando en una grafica el intervalo abierto:
x13
11
3
11
Lo cual se lee “x” es mayor a 3
11y menor a
13
11
Lo cual se representa como el intervalo abierto:
𝑥 ∈3
11,13
11
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
5.- El intervalo_________ es la solución de la desigualdad: 3
4𝑥 −
2
5<
6
7
Solución: Es una desigualdad en valor absoluto en un entorno abierto, por lo que tendremos que resolver la desigualdad
en la forma:
−6
7<3
4𝑥 −
2
5<6
7
Aplicamos propiedades sumamos 2
5
en toda la desigualdad:
−6
7+2
5<3
4𝑥 −
2
5+2
5<6
7+2
5
−16
35<3
4𝑥 <
44
35
Multiplicando por 4
3toda la expresión:
−16
35
4
3< 𝑥 <
44
35
4
3
−64
105< 𝑥 <
176
105
Se obtiene:
Lo cual se lee “x” es mayor a −64
105y
menor a 176
105
Representando en una grafica el intervalo
abierto:
x
176
105−
64
105
Lo cual se representa como el intervalo abierto:
𝑥 ∈ −64
105,176
105
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
6.- Resolver la siguiente desigualdad: 9
4𝑥 −
3
2<
1
8𝑥 − 3
Solución:9
4𝑥 −
3
2<1
8𝑥 − 3
9
4𝑥 −
1
8𝑥 < −3 +
3
2
18 − 1
8𝑥 < −
6
2+3
217
8𝑥 < −
3
2
Despejando:
17
8𝑥 < −
3
2
𝑥 > −3
2
8
17= −
24
34
𝑥 > −12
17
Aplicando propiedad del
inverso:
x−12
17
7.- Resolver la siguiente desigualdad:
𝑥 + 3 < 2𝑥 − 5Solución:
𝑥 + 3 < 2𝑥 − 5
3 + 5 < 2𝑥 − 𝑥
8 < 𝑥
Se puede reescribir:
𝑥 > 8
x8
LÍMITESLímite: Decimos que el número es el limite "𝐿“ de 𝑓(𝑥) cuando "𝑥" tiende al valor "𝑎" siempre que
podamos hacer que el número 𝑓(𝑥) se acerque a "𝐿“ tanto como queramos, escogiendo simplemente un
valor de "𝑥“ suficientemente cerca, aunque no igual al número "𝑎“.
L
a
𝑓 𝑥
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
LÍMITES AL INFINITOLimite al infinito: De manera intuitiva, es el valor "𝐿“ al que se aproxima la función a medida que la variable "𝑥" se hace
"más y más grande". Pueden existir los siguientes casos
1) lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
2) lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = +∞
3) lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = −∞
4) lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = ∄
lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
8.- Calcular el límite: lim𝑥→
13
𝑥2
𝑥4
Solución:
lim𝑥→
13
𝑥2
𝑥4= lim
𝑥→13
1
𝑥2
Sustituyendo: 𝑥 →1
3
lim𝑥→
13
1
13
2 = lim𝑥→
13
1
19
= lim𝑥→
13
9 =9
lim𝑥→
13
1
𝑥2=9
9.- Calcular el límite: lim𝑥→∞
4𝑥 + 2
2𝑥 − 7Solución:
lim𝑥→∞
4𝑥 + 2
2𝑥 − 7= lim
𝑥→∞
4𝑥𝑥+2𝑥
2𝑥𝑥−7𝑥
lim𝑥→∞
4
2= 2
lim𝑥→∞
4𝑥 + 2
2𝑥 − 7= 2
0
0
10.- El número real___es el resultado del
límite
lim𝑥→∞
3𝑒𝑥 + 2
2𝑒𝑥 + 5Solución:
lim𝑥→∞
3𝑒𝑥 + 2
2𝑒𝑥 + 5= lim
𝑥→∞
3𝑒𝑥
𝑒𝑥+
2𝑒𝑥
2𝑒𝑥
𝑒𝑥+
5𝑒𝑥
0
0
lim𝑥→∞
3
2=3
2
lim𝑥→∞
3𝑒𝑥 + 2
2𝑒𝑥 + 5=3
2
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
11.- Determinar: lim𝑥→2
𝑓 𝑥 para la función
f definida por:
𝑓 𝑥 = ቊ−𝑥, 𝑥 ≥ 2𝑥, 𝑥 < 2
𝑥
−𝑥
Solución: Se observa gráficamente que no
existe el límite, dado que no es continua la
gráfica en x=2
13.- Encontrar el siguiente límite:
lim𝑛→∞
3𝑛2 + 2𝑛 − 5
7𝑛2 − 𝑛 + 3
Solución:
lim𝑛→∞
3𝑛2 + 2𝑛 − 5
7𝑛2 − 𝑛 + 3
lim𝑛→∞
3𝑛2
𝑛2+2𝑛𝑛2
−5𝑛2
7𝑛2
𝑛2−
𝑛𝑛2
+3𝑛2
0 0
0 0
lim𝑛→∞
3
7=3
7
12.- Determinar el siguiente límite:
lim𝑥→∞
−12 + 𝑥 + 𝑥2
3𝑥2 + 1
Solución:
lim𝑥→∞
−12 + 𝑥 + 𝑥2
3𝑥2 + 1
lim𝑥→∞
−12𝑥2
+𝑥𝑥2
+𝑥2
𝑥2
3𝑥2
𝑥2+
1𝑥2
0 0
0
lim𝑥→∞
1
3=1
3
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
14.- Determinar el siguiente límite:
lim𝑥→0
𝑥
𝑥Solución:
Solución: Se observa gráficamente que
no existe el límite, dado que no es
continua la gráfica en cero
15.- Calcular el siguiente límite:
Solución: lim𝑥→−1
4 − 7 − 9𝑥
3𝑥 + 3
lim𝑥→−1
4 − 7 − 9𝑥
3𝑥 + 3= lim
𝑥→−1
4 − 7 − 9𝑥
3𝑥 + 3
4 + 7 − 9𝑥
4 + 7 − 9𝑥
Se multiplica por el conjugado del numerador:
lim𝑥→−1
16 − (7 − 9𝑥)
3𝑥 + 3 4 + 7 − 9𝑥= lim
𝑥→−1
9 + 9𝑥
3𝑥 + 3 4 + 7 − 9𝑥
lim𝑥→−1
3 (3𝑥 + 3)
3𝑥 + 3 4 + 7 − 9𝑥= lim
𝑥→−1
3
4 + 7 − 9𝑥
lim𝑥→−1
3
4 + 7 − 9 −1= lim
𝑥→−1
3
4 + 16= lim
𝑥→−1
3
8 lim𝑥→−1
3
8=3
8
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16.- Calcular el siguiente límite:
lim𝑥→∞
𝑥 − 1 3
𝑥2 + 1 𝑥2 − 2Solución:
lim𝑥→∞
𝑥 − 1 3
𝑥2 + 1 𝑥2 − 2= lim
𝑥→∞
𝑥 − 1 3
𝑥4
𝑥2 + 1 𝑥2 − 2𝑥4
lim𝑥→∞
𝑥 − 1 3
𝑥4
𝑥2 + 1 𝑥2 − 2𝑥4
= lim𝑥→∞
0
1= lim
𝑥→∞0 = 0
lim𝑥→∞
0 = 0
0
1
17.- Calcular el siguiente límite:
Solución:
lim𝑥→∞
𝑥 − 𝑥2 − 6𝑥
lim𝑥→∞
𝑥 − 𝑥2 − 6𝑥 = lim𝑥→∞
𝑥
𝑥−
𝑥2 − 6𝑥
𝑥= 1
01
lim𝑥→∞
1 = 1
19.- Calcular el siguiente límite: lim𝑥→∞
𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥
3𝑒2𝑥 − 4𝑒𝑥Solución:
𝑒2𝑥 = 𝑒𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥+𝑥Aplicando:
lim𝑥→∞
𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥
3𝑒2𝑥 − 4𝑒𝑥= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥 𝑒𝑥 + 2
𝑒𝑥 3𝑒𝑥 − 4
lim𝑥→∞
𝑒𝑥 + 2
3𝑒𝑥 − 4= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑒𝑥 +2𝑒𝑥
3𝑒𝑥
𝑒𝑥 −4𝑒𝑥
0
0
1
3 lim𝑥→∞
1
3=1
3
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18.- Calcular el siguiente límite: limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎPara: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥
Solución:
𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑥 + ℎ 2 − 𝑥 + ℎ = 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 − ℎ
limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 − ℎ − 𝑥2 − 𝑥
ℎ
limℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2 − ℎ
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ 2𝑥 + ℎ − 1
ℎ
limℎ→0
2𝑥 + ℎ − 1 = 2𝑥 − 1
20.- Calcular el siguiente límite:
lim𝑥→∞
3𝑥 − 2 𝑥2 + 5
2𝑥 + 1 2
Solución:
lim𝑥→∞
3𝑥 − 2 𝑥2 + 5
2𝑥 + 1 2 = lim𝑥→∞
3𝑥 − 2 𝑥2 + 5𝑥3
2𝑥 + 1 2
𝑥3
3
0
lim𝑥→∞
3
0= ∞
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70
21.- Calcular el siguiente límite:
lim𝑥→∞
𝑐𝑜𝑠21𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠
1𝑥 + 2
𝑐𝑜𝑠1𝑥 − 1
Solución: Podemos factorizar el numerador como:
lim𝑥→∞
𝑐𝑜𝑠1𝑥 − 1 𝑐𝑜𝑠
1𝑥 − 2
𝑐𝑜𝑠1𝑥 − 1
lim𝑥→∞
𝑐𝑜𝑠1
𝑥− 2 = lim
𝑥→∞𝑐𝑜𝑠 0 − 2
0
Sustituyendo:
lim𝑥→∞
𝑐𝑜𝑠 0 − 2 = lim𝑥→∞
1 − 2 = −11
DUDAS:http://upiscecyt14.mx/cursons/matematicas.php
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