FUNDAMENTOS DE
MCANICA CUNTICA
Recapitulemos
Qu sabemos hasta el momento acerca
de la estructura de la materia?
Modelos atmicos
Radiacin electromagntica
Todas las teoras basadas en conceptos de
la fsica clsica, que intentaban explicar lo
observado con la intensidad de la radiacin
en el cuerpo negro haban fallado.
Radiacin del cuerpo negro
Radiacin del cuerpo negro
Radiacin del cuerpo negro
Catstrofe del ultravioleta
En 1900, Max Planck
(1858-1947) abord el
problema del cuerpo
negro y dio una
explicacin radical para
este experimento.
Radiacin del cuerpo negro
Radiacin del cuerpo negro
En primera instancia Planck propuso una
ecuacin que se ajustara a los resultados
experimentales, basado solo en la
fenomenologa del sistema.
Propuso su ecuacin al observar que la
discrepancia con el experimento ocurra a altas
y no bajas frecuencias (catstrofe del
ultravioleta).
Radiacin del cuerpo negro
La ecuacin que encontr Planck fue la
siguiente:
=8
33
/ 1 (1)
Donde k es la constante de Boltzman y h fue
un parmetro utilizado por Planck para
ajustar sus resultados.
Radiacin del cuerpo negro
Radiacin del cuerpo negro
Mediante mediciones cuidadosas, encontr
para el parmetro h el valor de:
= 6.626 1034 2
Actualmente, h se conoce como la
constante de Planck.
Radiacin del cuerpo negro
Sin embargo, aunque su formula pareca
correcta, Planck ahora quera demostrarla
en trminos de propiedades fsicas.
l encontr que la nica manera de derivar
su ecuacin era si consideraba que la
energa de la radiacin era proporcional a
su frecuencia.
Radiacin del cuerpo negro
Y adems, esta energa deba ser irradiada en cantidades discretas (paquetes) de acuerdo a la relacin:
= , (3)
Donde h es la constante de Planck, la frecuencia y n un entero positivo (1, 2, 3, ).
Cada uno de estos paquetes de energa se denomina cuanto (del latn quantum, cantidad de algo).
Radiacin del cuerpo negro
Estas dos propuestas hechas por Planck,
estaban en completo desdn de la teora
clsica, pues:
En fsica clsica la intensidad de la radiacin
es proporcional al cuadrado de las amplitudes
e independiente de la frecuencia.
(2 +
2) (4)
Radiacin del cuerpo negro
Adems de acuerdo a la teora clsica, la
energa es una cantidad continua (puede
tomar cualquier valor), no solo ciertos valores
discretos ( = ).
Entonces, desde el punto de vista clsico, la
teora de Planck era imposible de entender, e
inicialmente no fue aceptada.
Radiacin del cuerpo negro
Las ideas de Planck acerca de la
cuantizacin de la energa, no tomaron
relevancia sino hasta 1905, cuando un tal
Albert Einstein explic el efecto fotoelctrico.
El efecto fotoelctrico fue observado por
primera vez por Heinrich Hertz, en 1887, mientras
estudiaba la radiacin electromagntica.
En este fenmeno, la luz de cierta frecuencia
puede lograr que un metal emita electrones
(fotoelectrones).
El efecto fotoelctrico
El efecto fotoelctrico
Placa metlica
De acuerdo con las ideas clsicas, los e- deban absorber la energa de la radiacin de poco a
poco, hasta que obtuvieran la energa
suficiente para vencer su atraccin al metal y
as salir del metal.
Es decir, lo que se esperara sera lo siguiente :
El efecto fotoelctrico
La emisin de los electrones no ser
instantnea.
Esta emisin debe darse para cualquier
frecuencia de la onda incidente.
La energa cintica de los fotoelectrones, solo
depender de la cantidad de radiacin
(intensidad), y no de la frecuencia.
El efecto fotoelctrico
Desafortunadamente este experimento
tampoco era explicable desde el punto de
vista de la teora clsica.
Pues, lo que en realidad se observaba era lo
siguiente:
El efecto fotoelctrico
La emisin de los electrones es instantnea.
Si se emplea radiacin con una frecuencia
inferior a una cierta frecuencia (frecuencia
umbral 0), no hay emisin de e-.
La frecuencia umbral depende del metal
utilizado.
El efecto fotoelctrico
La energa cintica de los electrones
depende de la frecuencia de la radiacin y
no de su intensidad.
El efecto fotoelctrico
En 1905, Albert Einstein
(1879-1955)parti de una
extraordinaria hiptesis
para explicar el efecto
fotoelctrico.
El efecto fotoelctrico
Tomando como punto de partida la teora
cuntica de Planck, Einstein propuso que la
radiacin deba estar constituida por
partculas, llamadas fotones, que transportaban la energa de forma discreta
(cuantos de energa).
El efecto fotoelctrico
Entonces, la energa de cada fotn viene
dada por :
= (5)
Suponiendo que la luz se comporta como
una partcula, al chocar con un e-, esta le
transmitir inmediatamente toda su energa.
El efecto fotoelctrico
Adems, la energa que la radiacin seda al
electrn, depender de su frecuencia.
*Electronvoltio(eV) es una unidad de energa
1 eV=1.60217x10-19 J
El efecto fotoelctrico
El efecto fotoelctrico
No hay
Cmo se explica la imagen anterior?
En primera instancia, sabemos que existe una
energa de unin entre los electrones y el
metal.
Entonces, para que un fotn pueda arrancar
electrones del metal se debe vencer esta
energa de unin.
El efecto fotoelctrico
La energa mnima que debe superarse para
que exista emisin de electrones se conoce
como funcin trabajo del metal (W).
La funcin trabajo se relaciona directamente
con la frecuencia umbral de la siguiente
manera:
= 0 (6)
El efecto fotoelctrico
Mientras ms grande sea la , ms energa se requiere para que los electrones dejen la
superficie del metal.
Si el metal se irradia con una luz de mayor
frecuencia que 0 , los electrones sern emitidos con una energa cintica ().
El efecto fotoelctrico
Finalmente, de acuerdo con Einstein, el
efecto fotoelctrico de los metales debe
obedecer la siguiente ecuacin:
= +
=1
22 + 0 (7)
El efecto fotoelctrico
Si se grafica la , en base a la siguiente ecuacin:
= 0 = 0 (8)
Se obtienen lneas rectas, cuya pendiente es
igual a la constante de Planck.
El efecto fotoelctrico
El efecto fotoelctrico
Modelo atmico de Bohr y
la vieja teora cuntica
La explicacin de Einstein del efecto
fotoelctrico, preparo el camino para
resolver otro misterio de la fsica del siglo XIX:
Los espectros de emisin de los tomos
Modelo atmico de Bohr
Espectro de emisin del H
En 1913, Niels Bohr (1885-
1962) desarrollo un modelo
atmico que resolva el
problema de la estabilidad
presente en el modelo de
Rutherford.
Modelo atmico de Bohr
Solo para recordar: En el modelo
de Rutherford los tomos seran
inestables, pues los electrones
emitiran radiacin al estar sujetos
a una aceleracin.
Entonces perderan su energa
poco a poco, y eventualmente caeran hasta el ncleo.
Modelo atmico de Bohr
Para plantear su modelo, Bohr se vali de tres
ideas desarrolladas anteriormente:
I. El hecho de que en el tomo existe un
ncleo donde se concentra casi toda la
masa (Rutherford).
II. La cuantizacin de la energa (Planck al
explicar la radiacin del cuerpo negro).
Modelo atmico de Bohr
III. La naturaleza corpuscular (fotones) de la luz
(Einstein tras explicar el efecto fotoelctrico).
Para comenzar el anlisis del modelo de Bohr, es
conveniente partir de postulados mismos que
posteriormente sern analizarlos, para concluir si
estos describen a los sistemas planteados
(tomos).
Modelo atmico de Bohr
I. Primer postulado:
Los electrones se mueven en orbitas
circulares alrededor del ncleo de carga Z+, estos estn sujetos a una fuerza de atraccin
Culmbica y su movimiento satisface las leyes
de Newton.
Postulados del modelo de
Bohr
Modelo atmico de Bohr
Entonces, en el sistema tenemos:
Fuerza Culmbica de atraccin
con el ncleo:
= 2
2 (9)
Y la fuerza centrpeta que sigue
la segunda ley de Newton:
= 2
(10)
Debido a que el tomo esta en equilibrio ,
ambas fuerzas deben ser iguales:
2
=
2
2 (11)
despejando r, podemos llegar a una expresin
para el radio de la orbita de los elctrones:
= 2
2 (12)
Postulados del modelo de
Bohr
En principio, la ecuacin (11), implica que el radio de la orbita del electrn puede variar de 0 a .
II. Segundo postulado (cuantizacin del momento angular).
El momento angular del electrn est cuantizado, as, las infinitas rbitas dadas por l a ecuacin (11) solo son posibles aquellas en las que su momento angular es un mltiplo entero de /2 ().
Postulados del modelo de
Bohr
Momento lineal o cantidad de movimiento:
= (13)
Momento angular:
= = (14)
Postulados del modelo de
Bohr
Debido a que las orbitas son circulares, = 90
y por lo tanto 90 = 1. Entonces:
= = (15)
La hiptesis de Bohr establece que el
momento lineal est cuantizado en mltiplos
de la constante de Planck. Por ende:
Postulados del modelo de
Bohr
= =
2= (16)
donde = 1, 2, 3,
Si despejamos v, encontramos.
=
(17)
* = /2 = 1.055 10 34 ; se conoce como h barra y es muy utilizada en mecnica cuntica.
Postulados del modelo de
Bohr
Si sustituimos la ecuacin (17) en la (12):
=
17 ; =
2
2
(12)
Obtenemos:
= 2
22
22
(18)
Postulados del modelo de
Bohr
Resolviendo para r, llegamos a la expresin final
para las rbitas permitidas en el tomo de Bohr:
=22
2 (19)
Para la primer orbita del tomo de H (n=1), la
ecuacin sera la siguiente:
=2
2 (20)
Postulados del modelo de
Bohr
Calcular el radio de la primer rbita del tomo de H.
=2
2
=1
40 ; 0 = 8.8542 10
12 2/2
= 1.6022 1019 ; = 9.109 1031
Pequeo ejercicio
El valor para el primer radio de Bohr en el tomo de hidrgeno, es una constante muy utilizada en mecnica cuntica.
Se denota como 0 y se le llama radio de Bohr.
0 = 0.529 (21)
*1 = 10-10 m
Postulados del modelo de
Bohr
Entonces para cualquier tomo hidrogenoide
(solo un electrn), las orbitas permitidas pueden
ser conocidas por siguiente expresin.
=20
(22)
Postulados del modelo de
Bohr
Postulados del modelo de
Bohr
Para el tomo de H, el
valor se sus primera
cuatro orbitas son los
siguientes:
n=1, r1 = a0 = 0.529
n=2, r2 = 2.116
n=3, r3 = 4.761
n=4, r4 = 8.464
1.- La funcin trabajo para el Na metlico es 2.3 eV Cul es el valor de la longitud de onda umbral para este elemento? Y para el Platino, si su funcin trabajo es de 1.02 x10-18 J ?
2.- La longitud de onda umbral para el Rb es de 574 nm.
a) Calcula la funcin trabajo del Rb.
b) Cul es la energa cintica de los electrones emitidos? Si se irradia con luz de 400 nm y posteriormente de 220 nm.
Problemas
3.- Calcula el radio de la primer y segunda
orbita para los siguientes iones hidrogenoides:
He+, Ne9+ y U91+.
Problemas
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