Sistemas de Ecuaciones2º Bachillerato
• Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir
de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Definición
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
mecuaciones
n incógnitas
Coeficientes del sistema
incógnitas
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
términosindependientes
A: matriz de los coeficientes
Expresiónmatricial del
sistema
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:
Matriz ampliada
X: matriz de las incognitas
B: matriz de los términos independientes
AX=B
nmnmmm
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
......
..........
......
......
......
=
mb
b
b
b
3
2
1
A* =
mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
......
............
......
......
......
321
33333231
22232221
11131211
Expresión matricial: ejemplo
El sistema 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:
2 5 –3
1 –4 1
x
y z
=
1
– 2
Solución de un sistema de ecuaciones
Una solución del sistema:
es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que se verifican todas las ecuaciones:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
mnmnmmm
nn
nn
bsasasasa
bsasasasa
bsasasasa
332211
22323222121
11313212111
Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo
1
3
3
z
y
x
• Los valores
• Los valores
1
1
3
z
y
xson una solución del sistema por que:
Consideramos el sistema:
3 32
22
1
yx
zyx
zyx
son una solución del sistema por que:
3 )1(332
2)1()1(2 3
11)1(3
3 )3(3)3(2
2)1(32 3
1)1(33
Clasificación de un sistema según el número de soluciones
Sistemas deecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución única
Infinitas soluciones
• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.
I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:
III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.
Sistemas equivalentes: ejemplo
4422
13
322
zyx
zyx
zyx
22
13
322
zyx
zyx
zyx
322
13
22
zyx
zyx
zyx
12
552
22
zy
zy
zyx
3
552
22
z
zy
zyx
33 2
1EE
13EE
1223EEE
1332EEE
2332 EEE
Sistemas equivalentes
Sistemas de ecuaciones escalonados
Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.
53
432
y
yx
23
324
5324
z
zy
zyx
223
4532
zy
zyx
1
4
432
zyx
z
zx
Ejemplos:
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.
Resolución de sistemas de ecuaciones
Métodos de resolución:1. Método de Gauss.
2. Método de Cramer.
3. Método de la matriz inversa.
Resolución de un sistema escalonado: ejemplo
52
1483
92
z
zy
zyx
2
5z
Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:
6259 x
23
2014
y
Resolución de sistemas: método de Gauss
Se pueden dar los siguientes pasos:
I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.
II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.
III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).
IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.
un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.
El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener de un sistema:
,
;
;
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Método de Gauss: posibilidades
En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades:
Incompatible
• Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan:
nº de ecuaciones = nº de incógnitas
compatible determinado
nº de ecuaciones < nº de incógnitas
compatible indeterminado
50
1483
92
zy
zyx
52
1483
92
z
zy
zyx92
1483 zyxzy 123 zyx
• Si alguna de las filas está formada por todos ceros menos el término independiente.
19103
1483
92
zy
zy
zyx
Método de Gauss: sistema compatible determinado
162
442
92
zyx
zyx
zyx
52
1483
92
z
zy
zyx
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
Se despejan incógnitas hacia arriba
2
5
23
14206529
z
y
x
Método de Gauss: sistema incompatible
142
442
92
zyx
zyx
zyx
1983
1483
92
zy
zy
zyx
50
1483
92
z
zy
zyx
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.
Método de Gauss: sistema compatible indeterminado
1483
92
zy
zyx
tz
ty
ttx
3
148
3
14829
8824
442
92
zyx
zyx
zyx
00
1483
92
zy
zyx
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
tz
ty
tx
3
8
3
14
3
2
3
13
Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t
Regla de Cramer: sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma:
Se observa que:
• El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes.
• Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente columna de coeficientes por la los de términos independientes.
El sistema al ser resuelto por reducción se llega a:
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
;
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ab
ab
x
2221
1211
221
111
2
aa
aa
ba
ba
x
aaaabaab
x 2122211
aaaaabba
x 2112112
Regla de Cramer: sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Si | A | 0, el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas A · x = B tiene solución única dada por:
Esta regla es válida para cualquier sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas y se llama regla de Cramer.
x1 =
b1 a12 a13 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
; x2 =
a11 b1 a13 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
; x3=
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
Regla de Cramer (demostración)
Sea S un sistema de Cramer (por definición es sistema compatible determinado). La solución se obtiene como un cociente entre el determinante de la incógnita correspondiente (el que se obtiene sustituyendo la columna de dicha incógnita por los términos independientes) y el determinante de la matriz de coeficientes.
D./ Como el sistema es compatible, (s1,s2,....sn) que es solución del sistema, es decir
B= s1C1+s2C2+....+snCn
det(C1,C2,.....B,....Cn) = det(C1,C2,........, s1C1+s2C2+....+snCn,.........Cn) =
det(C1,C2,...., s1C1....Cn) + det(C1,C2,..., s2C2,....Cn) +......+ det(C1,C2,....., snCn,....Cn)
Todos los determinantes, excepto el que tiene todas las columnas distintas son cero por tener dos columnas proporcionales. Luego
= det(C1,C2,....., siCi,,....Cn) = si det(C1,C2,....., Ci,....Cn) y despejando si se obtiene lo que queríamos.
ni1 )C,...C,...C,Cdet(
)C,...B,...C,Cdet(s
ni21
n21i
Resolución de sistemas: método de la matriz inversa
A . X = B
Si | A | 0 la matriz A es inversible.Multiplicamos por la izquierda a ambos miembros por A-1
.
A-1 . A . X = A-1 . B
I . X = A-1 . B
X = A-1 . B
Y esta última igualdad nos resuelve el sistema.
El sistema
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
tiene la siguiente expresión matricial:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
x1
x2 x3
=
b1
b2 b3
Compatibilidad de sistemas. Teorema de Rouché
Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas, es compatible si y sólo si, los rangos de las dos matrices son iguales.
rg(A) = rg (A*)
Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
siendo A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
mmnmmm
n
n
n
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...
...............
...
...
...
* 3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
Teorema de Rouché: demostración
• Escribimos el sistema en forma vectorial (con las columnas)
C1x1+ C2x2+.........+Cnxn= B [Sistema S]Demostración
Cond. necesaria) Si S es compatible, existe al menos una solución (s1,s2,s3,....sn)tal que
C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B
Por tanto B es combinación lineal de las columnas C1,C2,....Cn y el rango de la matriz ampliada con esa columna B no varía. Luego rg(A) = rg(A*)
Cond. suficiente) Si rg (A ) = rg (A+) una fila o columna es combinación lineal de las demás. Sólo puede ser B porque el resto son iguales que las de A, luego:
C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B
Lo que quiere decir que los coeficientes (s1,s2,s3,....sn) son una solución del sistema por lo que el sistema es compatible.
Consecuencias: El rango indica el nº de ecuaciones linealmente independientes.SI el nº de incógnitas es mayor que el rango, el sistema tiene infinitas soluciones. Para
resolverlo se eligen r ecuaciones independientes y se pasan al segundo miembro las n – r últimas incógnitas, obteniéndose un sistema de r ecuaciones y r incógnitas que ya se puede resolver y que dependerá de n-r parámetros (grados de libertad)
Discusión de un sistema mediante el Teorema de Rouché
Sistemas deecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución única
Infinitas soluciones
Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.• Sea A la matriz de los coeficientes y sea p su rango.• Sea A* la matriz ampliada y sea q su rango.
p q
p = q = n
p = q
p = q < n
Discusión y resolución de un sistema dependiente de un parámetro
• En ocasiones, alguno de los coeficientes o términos independientes pueden tomar cualquier valor: es un parámetro de sistema de forma que al darle valores obtenemos sistemas de ecuaciones diferentes.
• Discutir el sistema según los valores de dicho parámetro es averiguar según sus valores cuándo el sistema es compatible o incompatible, y en caso de compatibilidad si es determinado o indeterminado.
Los siguientes pasos pueden ser útiles para discutir un sistema:
Hallar los valores del parámetro que anulan al determinante de la matriz de
los coeficientes
Para dichos valores estudiar la naturaleza del sistema
Para los valores que hacen que el determinante de la matriz de los
coeficientes no sea nulo, estudiar la naturaleza del sistema
Sistema dependiente de parámetro: ejemplo
Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:
Las matriz de coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son:
5
32
23
zymx
zyx
zmyx
11
211
31
m
m
A
511
3211
231
*
m
m
A
42223231 22 mmmmmA
2104220 2 mmmmA
..... continuación .....
Sistema dependiente de parámetro (continuación) : ejemplo
111
211
311
A
5111
3211
2311
*A
CASO I. Cuando m = −1: Las matrices son
rg(A) = 2
rg(A*) = 3
El sistema es incompatible
112
211
321
A
5112
3211
2321
*A
CASO II. Cuando m = 2:Las matrices son
Su única solución se puede obtener mediante la regla de Cramer:
rg(A) = 2 =rg(A*) Compatible indeterminado
3
8 ,
3
51
tx
ty
tyx
tyxtz
23
322,
CASO III. Cuando rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas
2 ,1m
Compatible determinado 422
2613115
213
32
2
mm
m
A
m
x
422
261315
231
321
2
mm
m
A
my
2
3
422
63351
311
21
2
2
mm
mm
A
m
m
z
Compatibles
es siempre solución del sistema
021 nxxx
Sistemas homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0.
Los sistemas homogéneos pueden tener, pues, una o infinitas soluciones:
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,el sistema es compatible determinado y tiene como única solución la solución trivial.
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es nulo, el sistema es compatible indeterminado. Entre sus infinitas soluciones se encuentra la solución trivial.
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Interpretación geométrica de una ecuación linealcon dos incógnitas
Los puntos (x, y) que verifican la ecuación lineal a1x + a2y = b forman una recta; se dice que a1x + a2y = b es la ecuación de una recta en el plano.
Interpretación geométrica de un sistema con dos incógnitas
Las dos rectas sólo tienen un punto en común: el sistema es compatible determinado.
Las dos rectas no tienen puntos en común: el sistema es incompatible.
Las dos rectas tienen infinitos puntos en común: el sistema es compatible indeterminado.
Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones
1. Se identifican las incógnitas.
2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.
3. Se resuelve el sistema.
4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.
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