SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO
Señales y Sistemas
Respuesta al Impulso de un Sistema LTI
La respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo con respuesta al impulso h(t) a la entrada x(t) es la convolución de estas señales. La respuesta al impulso, h(t), de un sistema lineal invariante en el tiempo, es la respuesta del sistema a un impulso unitario aplicado en la entrada al tiempo cero. El sistema es invariante en el tiempo, entonces, la respuesta al impulso aplicado en algún tiempo diferente de cero, sea este t=, es simplemente h(t-).
Ejemplo 1Encontrar la respuesta al impulso de un sistema modelado por la ecuación diferencial
donde x(t) es la entrada y y(t) es la salida
Si x(t) =(t) resulta la respuesta para y(t) = h(t). Para t>0,(t)=0, de tal manera que la ecuación diferencial para la respuesta al impulso es
Asumiendo la solución de la forma h(t) = Aexp(pt) y sustituyendo en la ecuación para h(t), se obtiene que
La cual se satisface si p = 1/o
ttxtydt
tdyo ),()(
)(
0,0)()(
ttydt
tdyo
0,0)()1( ttypo
Ejemplo 1Para determinar el valor de A se requiere la condición inicial para h(t). El sistema no esta excitado para t<0. Por lo tanto, de la definición de la respuesta al impulso, h(t)=0, t<0.
Integrando la ecuación de diferencias en el intervalo de (0-,0+)
0),()()(
ttthdt
tdho
0
0
0
0
0
0
)()()(
dttdtthdtdt
tdho
1)]0()0([ hho
o
h1
)0(
0,
10,0
)( / te
tth ot
o
Ejemplo 2Considere el sistema con la respuesta al impulso
Suponga x(t) = u(t) – Funcion de Paso Unitario, aplicando
y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
Se puede obtener la salida:
)(1
)( / tueRC
th RCt
dueRC
tuta RC )(1
)()( / t
RC tdeRC0
/ 0,1
0,1 / te RCt )(1)( / tueta RCt
t
dhta )()(
Integrales de Superposición
En el ejemplo 2, la respuesta al escalón unitario del circuito RC es simplemente la integral de la respuesta al impulso del circuito. ¿Puede entonces, la respuesta de cualquier sistema a una entrada arbitraria ser expresada en términos de su respuesta a la función escalón unitario?Considere la integral de superposición en términos de la respuesta al impulso.
Empleando la fórmula de integración por partes se tiene:
dthxty )()()(
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Integrales de Superposición
Con u=x(t-) y dv=h()d
La respuesta de un sistema para cualquier entrada x(t) es la convolución de su derivada con la respuesta al escalón unitario. Esto es conocido como Integrales de Duhamel’s.
)()()(
adhv
dtxdu )(
datxtxaty )()()()()(
datxty )()()(
dtax )()(
Función de Respuesta en el dominio de la Frecuencia
Si la entrada a un sistema LTI es una senoidal de frecuencia rad/s, la respuesta de estado estable es una senoidal con la misma frecuencia pero con amplitud multiplicada por un factor A() y un desplazamiento en fase de () radianes. La función compleja de frecuencia es
Llamada función de respuesta en el dominio de la frecuencia; A() y () son referidas como funciones amplitud y fase la de respuesta.La función de respuesta en el dominio de la Frecuencia caracteriza completamente la respuesta de estado estable de un sistema LTI para una senoidal o función fasor ejt. La salida de estado estable de un sistema LTI es de la misma forma que su entrada cuando su entrada es ejt.
)()()( jeAH
Estabilidad de Sistemas Lineales
Una de las consideraciones en cualquier diseño de sistema es el criterio de estabilidad. Un sistema es estable BIBO si y solo si para cualquier entrada limitada resulta en una salida limitada. Entrada Limitada → Salida Limitada (BIBO)
Para un sistema lineal invariante en el tiempo se puede obtener una condición de la respuesta al impulso que garantiza la estabilidad BIBO. Para derivar esta condición, consideraremos la fórmula de la convolución
que relaciona la entrada y la salida de un sistema LTI.
dthxty )()()(
Condición de la Respuesta al Impulso
Se sigue que
Se sabe que la entrada x(t) es limitada
Remplazando x() por M, y cambiando el parámetro de h se tiene la desigualdad
Así la salida sería limitada si se cumple que:
dthxdthxty )()()()()(
Mx )(
dhMty )()(
dtth )(
Ejemplo de Sistemas Estables BIBO
R
i(t)
+
-
+
-
C y(t)x(t)
La respuesta el impulso de este La respuesta el impulso de este sistema es:sistema es:
Para comprobar la estabilidad Para comprobar la estabilidad utilizamos el criterio de:utilizamos el criterio de:
)(1
)( / tueRC
th RCt
0
/ )exp()(1
dvvdttueRC
RCt
1)exp(
0v
Ejemplo de Sistema Inestable
La respuesta al impulso para La respuesta al impulso para este sistema sigue la forma: este sistema sigue la forma:
Substituyendo la respuesta al Substituyendo la respuesta al impulso para este sistema en impulso para este sistema en la integral para comprobar la la integral para comprobar la estabilidad se tieneestabilidad se tiene
La integral no converge, la La integral no converge, la condicicondicióón de Estabilidad BIBO n de Estabilidad BIBO no se cumple para este no se cumple para este sistema.sistema.
)()()( tutSenth oo L
i(t)
+
-
+
-
C y(t)x(t)
0
)()()( dttSendttutSendtth oooo
Modelado y Simulación de Sistemas
Los sistemas pueden ser modelados y simulados en término de varios bloques básicos de construcción, que son: sumadores, restadores, multiplicadores constantes integradores.Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes y de orden n puede ser simulada mediante estos componentes.La realización de tal simulación puede tomar dos formas:1. Analógica: por medio de circuitos amplificadores
operacionales que aproximan sumadores e integradores ideales.
2. Programa de Computadora donde la integración es hecha numéricamente.
Bloques Básicos de Construcción
Modelado y Simulación de Sistemas
Para ver como se puede simular un sistema, ya sea por medio de los amplificadores operacionales o por algoritmos consideremos la ecuación diferencial de primer orden.
Esto es realizado por el siguiente diagrama de bloques.
xbdt
dxbay
dt
dy01
bo
b1
a
x(t) y(t)+ +
-
+dq/dt q(t)
Modelado y Simulación de Sistemas
Para mostrar que este caso, tomemos la salida del integrador q(t). Su entrada es dq/dt. En el diagrama dq/dt es
Considerando la salida del sumador del lado derecho se tiene que:
y=q+b1x
Diferenciando ambas partes y sustituyendo dq/dt, obtenemos:
xbaydt
dq0
xbdt
dxbay
dt
dy01
Ecuación Diferencial General para un Sistema de orden n
De manera similar al caso del primer orden, se puede realizar un sistema de orden n con un diagrama de bloques de la siguiente figura. Y la ecuación de diferencias sería
n
i
i
i
n
i
i
i
n
dt
txdb
dt
tyda
dt
tyd
0
1
0
)()()(
Diagrama de Bloques General para Sistemas de orden n
Ejemplo de Modelado de Sistema
R CL
x(t)v(t)
)()(
)(1)(
txdt
tdvCdv
LR
tv t
Ecuación diferencial de orden 2
dt
dx
Cv
LCdt
dv
RCdt
vd 1112
Corriente
Diagrama de Bloques
1/C
∫ ∫
1/RC
1/LC
+
-
-
x(t)
v(t)
Implementación con Amplificadores
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