Analisis Funcional
Rafael Ordonez Cardales
Ciclo: I 2016
Tarea I
Universidad de Concepcion
Departamento de Ingenierıa Matematica
Doctorado en Ciencias Aplicadas con mencion en Ingenierıa Matematica
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1. Sea Ω un abierto acotado de R2 con frontera suave Γ, y sea f ∈ [L(Ω)]2. El
Problema de Navier-Stokes, un problema de suma importancia en mecanica de
fluidos, consiste en encontrar un vector de velocidades u := (u1, u2)t y la presion
p de un fluido, tales que
−∆u +2∑j=1
uj∂u∂xj
+∇p = f en Ω, divu = 0 en Ω,
(1)
u = 0 en Γ,
∫Ω
p dx = 0.
Defina los espacios H := [H10(Ω)]2, Q := L2
0(Ω) :=q ∈ L2(Ω) :
∫Ωq dx = 0
, y
demuestre que la formulacion debil de (1) se reduce a encontrar (u, p) ∈ H × Q
tales que:
a(u; u, v) + b(v, p) = f(v) ∀v ∈ H
(2)
b(u, q) = 0 ∀q ∈ Q,
donde a : H× H× H→ R, b : H× Q→ R, y f : H→ R, estan definidas por
a(w; u, v) :=2∑i=1
∫Ω
∇ui · ∇vi dx+2∑
i,j=1
∫Ω
wj∂ui∂xj
vi dx,
b(v, p) := −∫
Ω
p divvdx, f(v) =
∫Ω
f · v dx.
Solucion. Sea Ω un abierto acotado de R2 con frontera suave Γ, y sea f ∈ [L(Ω)]2.
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Multiplicando la ecuacion (1) por una funcion test v := (v1, v2) ∈ H obtenemos∫Ω
(−∆u +
2∑j=1
uj∂u∂xj
+∇p
)· v dx =
∫Ω
f · v dx
−∫
Ω
∆u · v dx+
∫Ω
(2∑j=1
uj∂u∂xj
)· v dx+
∫Ω
∇p · v dx =
∫Ω
f · v dx. (3)
Si ν := (ν1, ν2)t, el vector normal unitario exterior a Ω, entonces aplicando la
primera identidad de GREEN resulta
−∫
Ω
∆u · v dx =
∫Ω
∇u · ∇v dx−∫
Γ
∂u∂ν
v ds, (4)
Debido a que v ∈ H, la ecuacion (4) se reduce a
−∫
Ω
∆u · v dx =
∫Ω
∇u · ∇v dx =2∑i=1
∫Ω
∇ui · ∇vi . (5)
Por otro lado, aplicando la formula de integracion por partes se obtiene∫Ω
∇p · v dx =
∫Ω
(∂p
∂x1
,∂p
∂x2
)· (v1, v2) dx =
∫Ω
∂p
∂x1
v1 dx+
∫Ω
∂p
∂x2
v2 dx
= −∫
Ω
p∂v1
∂x1
dx+
∫Γ
pv1 ν1 ds−∫
Ω
p∂v2
∂x2
dx+
∫Γ
pv2 ν2 ds
=
∫Ω
−p
(2∑i=1
∂vi∂xi
)dx+
∫Γ
p(v1ν1 + v2ν2) ds
=
∫Ω
−p divv dx+
∫Γ
pvν ds,
por lo tanto ∫Ω
∇p · v dx =
∫Ω
−p divv dx. (6)
Reemplazando (6) y (5) en (3) se concluye que2∑i=1
∫Ω
∇ui · ∇vi +
∫Ω
(2∑j=1
uj∂u∂xj
)· v dx+
∫Ω
−p divv dx =
∫Ω
f · v dx
2∑i=1
∫Ω
∇ui · ∇vi +2∑
i,j=1
uj
∫Ω
uj∂ui∂xj· vi dx+
∫Ω
−p divv dx =
∫Ω
f · v dx.
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Teniendo en cuenta esta ultima ecuacion definimos
a(w; u, v) :=2∑i=1
∫Ω
∇ui · ∇vi dx+2∑
i,j=1
∫Ω
wj∂ui∂xj
vi dx,
b(v, p) := −∫
Ω
p divvdx, f(v) =
∫Ω
f · v dx.
Finalmente, debido a que∫
Ωp dx = 0 y divu = 0, entonces p ∈ Q y
b(u, p) = −∫
Ω
p divu dx = 0
Por consiguiente b(u, q) = 0 para todo q ∈ Q. Con esto hemos demostrado que la
formulacion debil de (1) se reduce a encontrar (u, p) ∈ H×Q tales que se cumpla
(2)
2. Dado Ω abierto de Rn y p ∈ [1,+∞), se define
Lp(Ω) :=
f : Ω→ R : f medible y
∫Ω
|f |p dx <∞.
Puede probarse que Lp(Ω), provisto de la norma ‖f‖Lp(Ω) :=∫
Ω|f |p dx
1/p es
un espacio de Banach. Ademas f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lq(Ω), con 1p
+ 1q
= 1, se tiene
la desigualdad de Holder∫Ω
|fg| dx ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lq(Ω).
Entonces, dado m ∈ N se define el Espacio de Sobolev de orden (m, p), como
Wm,p(Ω) := u ∈ D′(Ω) : ∂αu ∈ Lp(Ω) ∀α, |α| ≤ m ,
el cual se provee de la norma ‖u‖Wm,p(Ω) :=∑
|α|≤m ‖∂αu‖pLp(Ω)
1/p
. Demuestre
que Wm,p(Ω) es un espacio de Banach.
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Solucion. Antes de darle solucion al ejercicio anterior primero probaremos el si-
guiente lema que sera de mucha utilidad
Lema. 1 Sean β ∈ NN, unn∈N y u, vβ ∈ Lp(Ω) tales que un → u y ∂βun → vβ
en Lp(Ω). Entonces ∂βu = vβ . En efecto. Sea β un multiındice y u ∈ C|β|(Ω),
entonces aplicando la integracion por partes |β| veces resulta
〈∂βu, ϕ〉 = (−1)|β|〈u, ∂ϕ〉. ∀ϕ ∈ D(Ω)
Luego
〈∂βu, ϕ〉 = (−1)|β|〈u, ∂ϕ〉
= (−1)|β|〈 lımn→∞
un, ∂ϕ〉
= lımn→∞
(−1)|β|〈un, ∂ϕ〉
= lımn→∞〈∂βun, ϕ〉
= 〈 lımn→∞
∂βun, ϕ〉
= 〈vβ, ϕ〉
Por lo tanto 〈∂βu, ϕ〉 = 〈vβ, ϕ〉, para todo ϕ ∈ D(Ω). Esto demuestra que
∂βu = vβ .
Continuemos con la solucion del ejercicio propuesto. Para ello considere vnnNuna secesion de Cauchy en Wm,p(Ω), entonces
‖vn − vk‖pWm,p(Ω) −→ 0 cuando n, k −→∞.
Luego ∑|α|≤m
‖∂αvn − ∂αvk‖pLp(Ω) −→ 0 cuando n, k −→∞. (7)
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Sea X :=α ∈ NN : |α| ≤ m
. Entonces (7) implica que
‖∂αvn − ∂αvk‖Lp(Ω) −→ 0 cuando n, k −→∞,
es decir ∂αvn es de Cauchy en Lp(Ω) para todo α ∈ X .
Debido a que Lp(Ω) un espacio de Banach, entonces para todo α ∈ X existe un
vα ∈ Lp(Ω) tal que
‖∂αvn − vα‖Lp(Ω) −→ 0 cuando n −→∞. (8)
Finalmente, sea v ∈ Lp(Ω) tal que vn −→ v en Lp(Ω). Entonces aplicando el
Lema 1 junto con (8) resulta
‖v − vn‖pWm,p(Ω) =∑|α|≤m
‖∂αv − ∂αvn‖pLp(Ω)
=∑|α|≤m
‖vα − ∂αvn‖pLp(Ω) −→ 0
Por lo tanto ‖v − vn‖pWm,p(Ω) −→ 0 cuando n −→ ∞. Esto demuestra que
el Espacio de Sobolev de orden (m, p) es de Banach
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