DR. JORGE ACUA A., PROFESOR
TEOREMA DEL
LIMITE CENTRAL
Prof. Sharmila Cano Viillafuerte
TEOREMA DEL LIMITE
CENTRAL Sea X1,X2,,Xn; n variables aleatorias independientes con media y varianza ^2 respectivamente entonces la variable aleatoria Y=X1+X2+X3++Xn sigue una distribucin normal, es decir
22
n
n
y
y
),( 2yyNY
Ejercicio N 1
Sea determinado que la vida til de cierta marca
de llantas radiales tiene una media de 38000 km
Y una desviacin estndar de 3000 km. Si una
empresa de trasportes adquiere 36 de estas
llantas Cul es la probabilidad de que rindan al
menos 1318500km?
Solucin
P[X1318500]=P[Z -2.75]= P[Z 2.75]=0.9970
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MUESTRA ALEATORIA
Sea X una V.A con funcin de densidad f(x) con media y varianza varianza ^2, se denomina muestra aleatoria de tamao n de esa poblacin, a un conjunto
de n Variables Aleatorias X1,X2,,Xn; tales que: -Son independientes
-Cada una de ellas esta distribuida en forma idntica.
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DISTRIBUCION MUESTRAL
DE LA MEDIA Sea X una V.A con media y varianza varianza ^2, se tiene una muestra aleatoria X1,X2,,Xn; y se define la media muestral. Para n sufucientemente grande y
adems como los Xi sin independientes por el T.C.L
nx
x
/22
),( 2xxNx
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EJERCICIO N 1 Mary Bartel, auditora de una gran compaa de
tarjetas de Credito, que el saldo promedio mensual
de un cliente dado es de $112 y la desviacin
estndar es de $56. Mary audita 50 cuentas
seleccionadas al azar, encuentre la probabilidad
De que el saldo promedio mensual de la muestra:
a. Sea menor que $110 ?
b. Este entre $100 y $130?
SOLUCION
X: Saldos de i cuentas de los clientes de la compaia
Solucin: =$112 =$56 n=50
a. Media menor que 110
4013.0]25.0(]110[
25.050/56
1121101
]1[]110[
ZPxP
z
zZPxP
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Se observa que menos de la mitad de los clientes tienen
sus saldos menor a $110
b. La media este entre $100 y $ 130
Solucin: =$112 =$56 n=50
%41.92
9241.00643.09884.0
]52.1[]27.2[
]27.252.1[]130100[
27.250/56
112130252.1
50/56
1121001
]21[]130100[
ZPZP
ZPxP
zz
zZzPxP
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La gran mayora de los clientes tienen saldos promedio
entre esas cantidades
SOLUCION
X: Saldos de i cuentas de los clientes de la compaia
Solucin: =$112 =$56 n=50
a. Media menor que 100
0643.0]52.1(]100[
52.150/56
1121001
]1[]100[
ZPxP
z
zZPxP
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CONCEPTOS
Distribucin muestral es una lista de todos los valores posibles para un estadstico y la probabilidad asociada con ese valor.
Error estndar de la distribucin muestral de medias es:
Factor de correccin para poblaciones finitas
Estimaciones mejores con muestras ms grandes
22
22
2
x
xxxn
nn
1*
22
N
nN
nx
GRACIAS
Prof. Sharmila Cano
EJEMPLO
El valor nominal de la resistencia de una lmina de un metal compuesto es de 8500 psi. Por estudios pasados se conoce que la desviacin estndar de esta resistencia es 1950 psi. Se tiene una muestra de 100 lminas. Cul es la probabilidad de que la media de esa muestra:
a. Sea mayor a 8900 psi?
b. Sea menor a 8000 psi?
c. Est entre 8200 y 8700 psi?
d. Que valor de la media tiene una probabilidad de ocurrencia menor a 16.35%? (tarea para el alumno)
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SOLUCION
Solucin: =8500 =1950 n=100
a. Media mayor que 8900
0202.09798.01)8900(
)05.2(1100/1950
850089001)8900(
)8900(1)8900(
xP
NNxP
xPxP
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SOLUCION
b. Media menor que 8000
c. Media entre 8200 y 8700
0053.0)56.2(100/1950
85008000)8000(
NNxP
7867.00618.08485.0)54.1()03.1()87008200(
100/1950
85008200
100/1950
85008700)87008200(
NNxP
NNxP
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