TEMA 1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES: OPERACIONES
ELEMENTALES
1.2.1. Concepto de matriz. Elementos.
1.2.2. Tipos de matrices
1.2.3. Suma y diferencia de matrices.
Producto de un nmero por una matriz.
Trasposicin de matrices. Propiedades.
1.2.4. Producto y potencia de matrices. Propiedades.
1.2.5. Rango de una matriz.
1.2.6. Inversa de una matriz. Propiedades.
1. VECTORES Y MATRICES
Una matriz real de orden o dimensin nm es un conjunto de nm nmeros reales estructurados en m filas y n columnas. Las matrices encierran esta estructura entre parntesis. Para referirnos al elemento situado en la fila i-sima y la columna j-sima utilizamos la notacin de elemento ija . De esta forma, una matriz de orden nm se escribe de forma genrica de la siguiente forma:
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
, diremos tambin que njmiijaA
,...,1,...,1)(
.
Atendiendo al orden o dimensin de una matriz podemos tener varios tipos de matrices: Matriz rectangular, que es una matriz de orden nm , con nm . Matriz fila, que es una matriz de orden n1 . Matriz columna, que es una matriz de orden 1m . Matriz cuadrada, que es una matriz de orden nm , con nm . De las matrices cuadradas se suele decir que tienen orden n.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (1/4)
1. VECTORES Y MATRICES
EJEMPLO.
Determinar el orden de las matrices y clasifcalas:
421
302A
43
20
12
B 273 C
12
0
6
4
D
279
921
203
E
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (2/4)
IGUALDAD DE DOS MATRICES
Dadas dos matrices, njmiijaA
,...,1,...,1)(
y
njmiijbB
,...,1,...,1)(
, diremos que son iguales si
y solo si verifica: 1) Tienen el mismo orden. 2) Los elementos que ocupan un mismo lugar son iguales, es decir, ijij ba
para todo njmi ,...,1;,...,1 .
EJEMPLO:
Determina los valores de los parmetros a,b,c,d para que las matrices A y B
sean iguales:
b
aA
72
3,
73
84
d
cB
1. VECTORES Y MATRICES
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ. FILAS, COLUMNAS. Para referirnos a la columna j-sima de una matriz, utilizamos la siguiente
notacin: ja ; y para referirnos a la fila i-sima de una
matriz utilizaremos la siguiente notacin: ia .
EJEMPLO
843
110
301
302
A 301.2 a ; 843.4 a ;
3
0
1
2
1a .
En una matriz cuadrada los elementos iia constituyen la diagonal principal
de la matriz, y los elementos ija , con 1 nji , constituyen la diagonal
secundaria de la matriz
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (3/4)
1. VECTORES Y MATRICES
EJEMPLOS:
1. Identifica en cada una de las siguientes matrices los elementos a12, a23, a34, a22, b12, b23, b22 e indica sus rdenes.
6145
1123
0210
4231
A ,
5410
3251B .
2. Dadas las matrices:
4811
1023A y
41
36B
a) Determina sus rdenes, clasifcalas en funcin del orden.
b) Determina los siguientes elementos: 214221222413 ,,,,, aabbaa y 2a , 2b
c) Calcula 22122311 5854 baaa .
d) Calcula 21 23 bb
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (4/4)
1. VECTORES Y MATRICES
1. Determina los valores que han de tener dcba ,,, para que las siguientes matrices sean iguales:
a)
529
253
c
daA ,
5123
1058
cbB b)
dab
cac
a
A
2
30
,
abc
a
B
3
52
30
2. Sea la matriz
2137
1304
41173
A calcula: a) 21223113 765 aaaa
b) 421 523 aaa c) 3412232322 2276 aaaaa d) 132 32 aaa .
3. Una empresa de trabajo temporal dispone de cinco candidatos para tres puestos de trabajo diferentes. Han representado la idoneidad de cada aspirante segn el siguiente esquema:
Candidados Puesto 1 A,B 2 C 3 A,B,C 4 5 C
Escribe la matriz que representa estos resultados. (Nota: utiliza 1 si el candidato es idneo para el
puesto y 0 en caso contrario).
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS : EJERCICIOS
EJERCICIOS: Libro :
Problemas y cuestiones de
lgebra lineal, P. Ortega
Pg. 99: ejercicios: 1,2
1. VECTORES Y MATRICES
CLASIFICACIN DE MATRICES CUADRADAS SEGN LA DISPOSICIN DE SUS ELEMENTOS. Matriz triangular superior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por debajo de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz triangular inferior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por encima de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz diagonal: es aquella matriz que es triangular superior e inferior, es decir, cuyos elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos: jiaij ,0 Matriz simtrica: es aquella matriz que tiene sus elementos simtricos iguales (tomando como eje de simetra la diagonal principal), es decir jiij aa para todo
., ji Matriz antisimtrica: es aquella matriz que verifica jiij aa . En una matriz antisimtrica la diagonal principal est formada por ceros.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.2. TIPOS DE MATRICES
1. VECTORES Y MATRICES
EJEMPLOS:
Son matrices triangulares inferiores:
771
029
004
,
200
012
003
,43
01,
22
03
Son matrices diagonales:
10
03,
100
000
001
,
200
020
004
,
000
000
000
.
Son matrices simtricas:
1002
038
287
,
151
530
102
,32
21,
12
23.
Son matrices antisimtricas:
041
401
110
,
032
3012
2120
,02
20,
05
50.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.2. TIPOS DE MATRICES
ALGUNAS MATRICES CUADRADAS IMPORTANTES. Matriz nula de orden n: matriz cuadrada formada toda ella por 0. Para cada orden tenemos una matriz nula. Matriz identidad de orden n: matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal iguales a 1. Para cada orden tenemos una matriz
identidad que se suele identificar de la forma nI .
1. VECTORES Y MATRICES
1. Clasifica las siguientes matrices segn la disposicin de sus elementos:
12
28A ,
20
13B ,
35
54C ,
30
02D ,
01
10E ,
00
01F
2. Construye tres matrices diagonales de orden 4 diferentes que contengan los elementos 0,1,2,3. 3. Clasifica las siguientes matrices cuadradas segn la disposicin de sus elementos:
183
852
321
A
003
002
001
B
01
00C
100
030
003
D
000
100
088
E
14
43F
000
009
090
G
001
009
190
H
40
04I
4. Determina qu valores deben tener los parmetros ba, y c para que las siguientes matrices sean antisimtricas:
a)
b
aA
0
0 b)
abc
B 502
020
c)
cb
aC
1
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.2. TIPOS DE MATRICES. EJERCICIOS
1. VECTORES Y MATRICES
B) MATRIZ OPUESTA. Sea A una matriz de orden nm . Se define la matriz opuesta de A, y se denota por -A, a la matriz de orden nm que se obtiene cambiando de signo a todos los elementos de la matriz A. Si )( ijaA , entonces )( ijaA . Si B es la matriz opuesta de A, se verifica que A+B=O, siendo O la matriz nula de orden nm .
EJEMPLO. Calcula la opuesta de
42
01
43
A
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.A) SUMA DE MATRICES.
Dadas dos matrices )( ijaA y )( ijbB del mismo orden, la suma de las matrices A y B es
otra matriz C del mismo orden que los sumandos tal que CBA , siendo )( ijij baC .
EJEMPLOS:
1)
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
B
21
22221
11211
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
2211
2222222121
1112121111
2)
511
248
523
105
032
143
1. VECTORES Y MATRICES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Dadas A, B, C tres matrices de orden nm se verifica:
1. Propiedad conmutativa: A+B=B+A
2. Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)
3. Existencia de elemento neutro. Existe una matriz de orden nm O que verifica que A+O=A (O es la matriz nula de orden nm ).
4. Toda matriz A tiene asociada una matriz -A, denominada matriz opuesta que se obtiene
cambiando de signo todos los elementos de la
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