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Tema 2Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones

CINEMÁTICA DE MANIPULADORES

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Secciones

1. Introducción.2. Coordenadas y Transformaciones

Homogéneas.3. Problema Cinemático Directo.

Método de Denavit-Hartenberg.4. Problema Cinemático Inverso.

Método de la Transformada Inversa.5. Posicionamiento Real.6. Otras especificaciones de la

localización del EF.1. Representación mediante ángulos de Euler.2. Representación RPY.

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1. Introducción.

• ¿Qué estudia la cinemática?Estudio Analítico del movimiento del manipulador sin tener en cuenta fuerzas y pares que originan el movimiento.Búsqueda de las relaciones entre las variables de las articulaciones y la localización del EF.

• Problemas Asociados:Localización de objetos: expresar, de una forma matemáticamente tratable, la posición y orientación de un objeto.

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1. Introducción.

Problema Cinemático Directo: dado el conjunto de variables de las articulaciones q(t)=(q1(t),q2(t),…,qN(t)) (donde qi=θi o di) hallar la posición y orientación del EF.

Problema Cinemático Inverso: dadas la posición y orientación del EF, hallar el vector q(t) de variables de articulación.

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1. Introducción.

PCDPCDVariables de las articulaciones q1(t),…qN(t)

Parámetros de los elementos

Posición y Orientación del EF

PCIPCIVariables de las articulaciones q1(t),…qN(t)

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1. Introducción.

• Ejemplo Robot RR:Robot con dos enlaces de longitud L1, L2 y dos articulaciones rotacionales θ1, θ2.

x = L1cos θ1 + L2cos (θ1 + θ2)y = L1sin θ1 + L2sin (θ1 + θ2)

2 2 2 21 2

21 2

1 2 2 2 21

1 2 2 2 2

cos2

( cos ) sintan( cos ) sin

x y L LL L

y L L xLx L L yL

θ

θ θθθ θ

+ − −=

+ −=

+ −

(!)

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas

• Localización de Objetos: Sistemas de Referencia (SdR) tridimensionales.

No mediante las coordenadasde un punto.

A cada objetos se le asigna un SdR sólido con él.

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La localización de un objeto no es absoluta, sino relativa a otros objetos (SdRs).

Localización relativa de un objeto respecto a otro: Mediante cambios de sistemas de referencia.

Problema: • En robótica nos interesa la

orientación (rotación) y la posición (translación).

• Las matrices de 3×3 representan cambios de SdR sin translación.

X

Z

U

V

W

YO

O’

X

Y

Z

U

V

W

O

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Solución: Transformaciones Homogéneas.• Introducción de una coordenada más.

Fundamento:

A xyz

A uvw

X

Y

Z

W

U

V

O’

O

p

A

x

y

zu

vw

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Coordenadas Homogéneas:• Incluyen una coordenada adicional.

Donde W es un factor de escala que consideraremos siempre W=1.

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En forma matricial:

En forma compacta:

Vectores unitarios del SdR UVW. Coordenadas “vistas” desde XYZ.

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Trasformación Homogénea (notación NOA):

Transformaciones elementales.

Transformación inversa:• Transponer matriz rotación.• Productor escalar entre “noa” y

posición con signo cambiado.

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• Recapitulamos conceptos:Localización de objetos con posición y orientación.Empleamos SdR ligados al objeto.Las “coordenadas” de estos SdR se expresan de forma relativa(unos con respecto a otros) mediante Transformaciones Homogéneas → ATB.Una transformación homogénea nos informa de la posición de un objeto con respecto a otro (vector p).Una transformación homogénea nos informa de la orientación de un objeto con respecto a otro (vectores noa).…y viceversa.Las transformaciones Homogéneas se pueden invertir de forma directa.Mediante operaciones matriciales podemos componer matrices y obtener la localización de un objeto desde distintos SdRs.

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3. Problema Cinemático Directo: Método de Denavit-Hartenberg.

• Objetivo: Posicionar el EF respecto a un SdR base → Calcular BaseTEF.

Cada elemento de esa matriz dependerá de las variables de articulación.

X 0

Y 0

Z 0

n

oa

p

Ecuaciones

Cinemáticas

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• Método de Denavit-Hartenberg: las ecuaciones cinemáticas se obtienen descomponiendo la transformación total T en transformaciones más simples.

A cada articulación (i) se le asigna un SdR (i-1).

Transformación i-1Ai nos lleva desde la articulación actual a la siguiente.

Cambio SdR Ji a Jj:

Transformación total:

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• Obtención de las matrices elementales k-1Ak

Regla Mnemotécnica:

Rz(θi)

Tz(di)

Tx(ai)

Rx(αi)

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• Obtención de las matrices elementales k-1Ak:1. Girar respecto al eje Z un ángulo θi para poner Xi-1

y Xi paralelos y con el mismo sentido.2. Trasladar a lo largo del eje Z una distancia di para

que Xi-1 y Xi queden en la misma línea.3. Trasladar a lo largo del X una distancia ai de forma

que el eje X quede en su posición final (los centros de los SdR coinciden).

4. Girar respecto al eje X un ángulo αi de forma que el eje Z quede en su posición final (Zi).

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• Matriz de Transformación Elemental de Denavit-Hartenberg:

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• Reglas de aplicación del método:Establecer un SdR (fijo) absoluto o base X0Y0Z0 que coincidirá con el SdR de la primera articulación (J1).Establecer las variables de articulación:

• θi para las articulaciones de revolución.• di para las articulaciones lineales.• El resto de parámetros invariantes (θi, di, ai, αi) constituirán

los parámetros del enlace.El eje Zi coincidirá con el eje de la articulación Ji+1.El eje Xi quedará limitado por la normal al plano Zi-1,Zi.Los giros dextrógiros (anticlockwise) se corresponden con ángulos positivos.

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• Ejemplos prácticos: Manipulador TRL.

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• Ejemplos prácticos:

Robot Industrial PUMA 560.

Manipulador de la Universidad de Stanford.

Robot Didáctico SCORBOT-ER.

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4. Problema Cinemático Inverso.

• Necesidad de traducir posiciones cartesianas al dominio de variables de articulación.

Conocemos el SdR que localiza el objeto.Necesitamos los valores de las articulaciones.

• Solución: resolver el conjunto de ecuaciones cinemáticas a la inversa.

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• Múltiples dificultades:Volumen de Trabajo (conjunto de puntos accesibles):

• En cualquier orientación vs en ciertas orientaciones.• Conjunto de localizaciones para los que existe solución.

Soluciones múltiples. Aplicar criterios de selección:• Solución más próxima.• Movimiento preferente de la muñeca.

B

A

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• Estrategias para la búsqueda de solución:Métodos numéricos:

• Construir ecuación de aproximación e iterar.• Costosos en tiempo. No aptos para robótica.

Búsqueda de expresiones analíticas:• Complejo análisis del manipulador.• No se garantiza solución:

Condición suficiente (robot 6 articulaciones): que posea tres articulaciones adyacentes cuyos ejes se intersecten en un punto.

• Aproximaciones posibles:– Métodos algebráicos (basado en Trans. Homogéneas)– Métodos geométricos (análisis geométrico del robot).

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• Método de la Transformada Inversa:Fundamento: extracción de relaciones sobre un grafico de transformaciones.

• Obtener de forma sistemática un buen número de relaciones.• Buscar y resolver aquellas más fáciles.

Ejemplo con TRL:

• Obtenemos 2 nuevos conjuntos adicionales de relaciones.

A1

2 A2

3A0

1 3T0

T1

3

T2

3

O

EF

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Intentamos despejar las variables de articulación del conjunto de relaciones extraídas del gráfico de transformaciones.

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Podemos extraer las siguientes relaciones:


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• Algunas consideraciones:No es un método en sentido sistemático, sino heurístico.Pueden obtenerse distintas ecuaciones con diferentes parámetros para una misma articulación.

• Las variables del robot anterior (TRL) pueden obtenerse indistintamente a partir de la posición o de la orientación.

Ciertos parámetros pueden no aparecer en ninguna ecuación.• Nos indican una limitación del robot.• P.E. En un robot RR → las coordenadas Z.

Importante: No se debe resolver nunca un ángulo con sólo su seno o coseno (solo ofrecen la mitad de la información).


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• La matriz de transformación 0TN que localiza al EF no es completamente realista:

No es práctico colocar el SdR global en la base del robot (el EF no puede alcanzar el origen, ¿varios robots?, etc.).El EF puede sostener una herramienta (o el propio EF puede sustituirse).

• Hay que considerar dos transformaciones adicionales:

M: Localización del robot frente a SdR global.G: Localización de la herramienta respecto al EF.

5. Posicionamiento Real.

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• Posicionamiento Real del Robot

5. Posicionamiento Real.

θ1

θ2

J1

J2

J3

X 0

Y 0

Z 0

X 3

Y 3

Z 3d 3

Z

0TN

G

P

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6. Otras especificaciones de la Localización del EF

• ¿Es eficiente como se codifica la localización en la matriz de transformación homogénea?

Posición: 3 parámetros.

Orientación: 6 parámetros.

La orientación puede especificarse con sólo 3 ángulos (φθψ).Formulación compacta:

X 0

Y 0

Z 0

n

oa

p

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• Representación mediante ángulos de EulerSecuencia de rotaciones ZYZ:

φθ

θ

ψ

ψ

φθ ψ

φ

X

Y

Z

X’

Y’

Z’=Z

X’’

Y’’=Y’

Z’’ Z’’’=Z’’

Y’’’

X’’’

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Generalmente la secuencia de rotaciones que realiza la muñeca de un robot (ej. Puma, Stanford, …) coincide con esta representación.

Expansión en transformada homogénea:

θ4

θ6

θ5

Z Z

Y

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• Representación RPY.Secuencia de rotaciones ZYX:

Giro (Roll)

Elevación (Pitch)

Desviación (Yaw)

X

Y

Z

EF

φ Giro

ψDesviacion

θ

Elevacion

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Representación más intuitiva.

Expansión en transformada homogénea: