Estadística, Profesora: María Durbán1
Tema 4: Variables aleatorias
4.5 Proceso de BernouilliDistribución de BernouilliDistribución BinomialDistribución Geométrica
4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidadDistribución ErlangDistribución Weibull
4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Estadística, Profesora: María Durbán2
Objetivos del tema:
Al final del tema el alumno será capaz de:
Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas
Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicacionesespecíficas
Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para lasdistribuciones más comunes
Tema 4: Variables Aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán3
4.5 Proceso de BernouilliDistribución de BernouilliDistribución BinomialDistribución Geométrica
4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidadDistribución ErlangDistribución Weibull
4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
4.5 Proceso de Bernouilli
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán4
4.5 Proceso de Bernouilli
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)
La proporción de A y D es constante en la poblacióny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada
Las observaciones son independientes
Pr( )Pr( ) 1
D pA q p
== = −
Estadística, Profesora: María Durbán5
4.5 Proceso de Bernouilli
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)
La proporción de A y D es constante en la poblacióny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada
Las observaciones son independientes
Pr( )Pr( ) 1
D pA q p
== = −
Estadística, Profesora: María Durbán6
4.5 Proceso de Bernouilli
Ejemplos
Observar el resultado al lanzar una moneda
Si un una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación
Observar el sexo de un recién nacido
Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital
Estadística, Profesora: María Durbán7
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución de Bernouilli
0 si el suceso ocurre A 1 Pr( 0)1 si el suceso no ocurre A Pr( 1)
q p XX
p X→ = − = =
=→ = =
La función de probabilidad es:
1( ) (1 ) 0,1x xp x p p x−= − =
[ ]
[ ] 2 2
0 (1 ) 1
(0 ) (1 ) (1 ) (1 )
E X p p p
Var X p p p p p p
µ
σ
= = × − + × =
= = − − + − = −
Estadística, Profesora: María Durbán8
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución Binomial
X = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas
X toma valores 0,1,2,…,n
Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de parámetros (n,p).
~ ( , )X B n p
Estadística, Profesora: María Durbán9
La función de probabilidad es:
4.5 Proceso de Bernouilli
( ) (1 ) , 0,1, ,r n rn
P X r p p r nr
−⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
…
[ ][ ] (1 )
E X np
Var X np p
=
= −Estadística, Profesora: María Durbán
10
n=5
n=25 p=0.75 p=0.5 p=0.2
4.5 Proceso de Bernouilli
Estadística, Profesora: María Durbán11
4.5 Proceso de Bernouilli
Ejemplo
Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
Pr( 0)X =
Estadística, Profesora: María Durbán12
4.5 Proceso de Bernouilli
Ejemplo
Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces
Son independientes
La probabilidad de ser defectuoso es constante, 0.01
Estadística, Profesora: María Durbán13
4.5 Proceso de Bernouilli
Ejemplo
Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
~ (40,0.01)X B
0 4040Pr( 0) 0.01 (1 0.01) 0.6690
X ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
Estadística, Profesora: María Durbán14
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución Geométrica
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Sólo hay dos resultados posibles
La probabilidad de éxito se mantieneconstante
Las observaciones son independientes
Se repite el experimento hasta que ocurre el primeréxito
X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito
~ ( )X Ge p
Estadística, Profesora: María Durbán15
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución Geométrica
1,..... son Berrnouilli iX i n=
1 2 3 4
1 0 0 0 1 Pr( 1)0 1 0 0 2 Pr( 2)0 0 1 0 3 Pr( 3)0 0 0 1 4 Pr( 4)
X X X X X
X X pX X qpX X qqpX X qqqp
↓ ↓ ↓ ↓ ↓⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =
La función de probabilidad es:
1( ) (1 ) , 1, 2,rP X r p p r−= = − = …Estadística, Profesora: María Durbán
16
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución Geométrica
1,..... son Berrnouilli iX i n=
[ ][ ] 2 2
1/
(1 ) /
E X p
Var X p p
=
= −
1 2 3 4
1 0 0 0 1 Pr( 1)0 1 0 0 2 Pr( 2)0 0 1 0 3 Pr( 3)0 0 0 1 4 Pr( 4)
X X X X X
X X pX X qpX X qqpX X qqqp
↓ ↓ ↓ ↓ ↓⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =
Estadística, Profesora: María Durbán17
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución Geométrica
Estadística, Profesora: María Durbán18
4.5 Proceso de Bernouilli
Ejemplo
La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes,
¿Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error?
X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrarel primer error
[ ] 1/ 1/ 0.1 10E X p= = =
Estadística, Profesora: María Durbán19
4.5 Proceso de BernouilliDistribución de BernouilliDistribución BinomialDistribución Geométrica
4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidadDistribución ErlangDistribución Weibull
4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
4.6 Proceso de Poisson
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán20
4.6 Proceso de Poisson
Cuando un experimento tiene las siguientes características:
Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo
La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo
Es la misma para los intervalos del mismo tamañoEs proporcional a la longitud del intervalo
Los sucesos ocurren de forma independiente. El número desucesos que ocurren en un intervalo es independiente delnúmero de sucesos que ocurren en otro intervalo
Estadística, Profesora: María Durbán21
4.6 Proceso de Poisson
X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija
La distribución de Poisson se puede obtener como límite de unaBinomial cuando
Distribución de Poisson
y 0n p→ ∞ →
npλ = → Número medio de sucesos en ese intervalo
lim 1n
en
λλ −⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠n → ∞ n → ∞
Estadística, Profesora: María Durbán22
La función de probabilidad es:
( ) , 0,1,!
reP X r rr
λλ−= = = …
[ ] [ ]
[ ]
1
0 1
1 2 1 2
! ( 1)!
~ ( ) ~ ( ) independientes ~ ( )
r reE X E X r er r
Var XX P Y P X Y P
λλλ λλ λ λ
λλ λ λ λ
− −∞ ∞−= → = = =
−
=
+ +
∑ ∑
Distribución de Poisson
4.6 Proceso de Poisson
Estadística, Profesora: María Durbán23
4.6 Proceso de Poisson
Estadística, Profesora: María Durbán24
Distribución de Poisson
4.6 Proceso de Poisson
Ejemplos
Número de defectos en un milímetro de cable.
Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralitaen una hora.
Número de erratas por página en un documento
Estadística, Profesora: María Durbán25
4.6 Proceso de Poisson
Ejemplo
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por término medio llega un clientecada minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?
X = Número de clientes por minuto
Y = Número de clientes en 3 minutos
~ ( 1)X P λ→ =
~ ( 3)Y P λ→ =
3 033Pr( 0)
0!eY e
−−= = =
Estadística, Profesora: María Durbán26
4.6 Proceso de Poisson
Ejemplo
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por término medio llega un clientecada minuto.
Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta6000 euros diarios. ¿Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre acada cliente para que sea rentable?
Y = Número de clientes en 8 horas ~ ( 60 8 480)Y P λ→ = × =
Beneficio = Tarifa x Y -6000
[ ]Beneficio Esperado = Tarifa 6000 0 = Tarifa 480 6000 0
E Y× − >× − >
Tarifa > 12.5
Estadística, Profesora: María Durbán27
4.6 Proceso de Poisson
La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar
Tiempo entre llamadas telefónicasTiempo entre llegadas a un puesto de servicioTiempo de vida de un componente eléctrico
Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial
Distribución de exponencial
Estadística, Profesora: María Durbán28
4.6 Proceso de Poisson
Distribución de exponencial
X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo
T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso
Podemos calcular su función de distribución:
0 0( ) (cero sucesos en (0,t ))P T t P> =
~ ( )X P λ
X= Número de sucesos en una unidad de tiempoY = Número de sucesos en (0,t0) 0~ ( )Y P tλ
00( ) Pr( 0)
tP T t Y e λ−> = = =0
0 0( ) ( ) 1tF t P T t e λ−= ≤ = −
~ ( )X P λ
Estadística, Profesora: María Durbán29
4.6 Proceso de Poisson
Distribución de exponencial
X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo
T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos
~ ( )X P λ
( )( ) , 0tdF tf t e tdt
λλ −= = ≥
[ ][ ] 2
1/
1/
E X
Var X
λ
λ
=
=
Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo
El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ
Estadística, Profesora: María Durbán30
4.6 Proceso de Poisson
0.1( ) 0.1 xf x e−=
0.5( ) 0.5 xf x e−=
2( ) 2 xf x e−=
Estadística, Profesora: María Durbán31
4.6 Proceso de Poisson
Ejemplo
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por término medio llega un clientecada minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes?
X = Número de clientes por minuto
T = Tiempo entre dos clientes
~ ( 1)X P λ→ =
~ ( 1)T Exp λ→ =
( )1 3 3Pr( 3) 1 Pr( 3) 1 (3) 1 1T T F e e− × −> = − ≤ = − = − − =Pr(No haya clientes en 3 minutos)=
Estadística, Profesora: María Durbán32
4.6 Proceso de Poisson
Propiedad
1 2 1 2Pr(T > t +t / T > t ) = Pr( T > t )
1 22
1
( t +t )1 2 1 1 2
t1 1
Pr(T > t +t T > t ) Pr( T > t +t ) = Pr( T > t ) Pr( T > t )
te ee
λλ
λ
−−
−= =∩
Si no ha habido clientes en 4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos?
3Pr( 7 | 4) Pr( 3) 1 (3)Y Y Y F e−> > = > = − =
Estadística, Profesora: María Durbán33
4.5 Proceso de BernouilliDistribución de BernouilliDistribución BinomialDistribución Geométrica
4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidadDistribución ErlangDistribución Weibull
4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Distribución Normal
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán34
4.8 Distribución Normal
La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios
Errores de medidaRuido en una señal digitalCorriente eléctrica en un trozo de cable…
En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal
Es la base para la inferencia estadística
Estadística, Profesora: María Durbán35
4.8 Distribución Normal
Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ.
Toma valores en toda la recta real
Su función de densidad es:
2
2( )2
2
1( ) e2
[ ] [ ]
x
f x x
E X Var X
µσ
πσµ σ
− −
= − ∞ < < ∞
= =
( , )N µ σ
Estadística, Profesora: María Durbán36
Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media
µ
( )f x
4.8 Distribución Normal
0.5 0.5
La media, mediana ymoda coinciden
Estadística, Profesora: María Durbán37
El El efectoefecto dede µµ yy σσ
¿Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)?σ= 2
σ =3σ =4
µ = 10 µ = 11 µ = 12¿Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)?
4.8 Distribución Normal
Es un factorde escala
Es un factor detraslación
Estadística, Profesora: María Durbán38
La probabilidad es el área bajo la curva
c dX
f(X)
4.8 Distribución Normal
Pr(c d)X≤ ≤No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad
Estadística, Profesora: María Durbán39
µ
σ
Densidad de X
Densidad de X-µ
0
Densidad de (X-µ)/σ
1
4.8 Distribución Normal
Todas las distribuciones normalesse pueden transformar en N(0,1)
XX Z µσ−
→ =
Estadística, Profesora: María Durbán40
4.8 Distribución Normal
~ (3, 2)X N
Pr( 6)X ≤3 6
0 1.56 3Pr Pr( 1.5)
2Z Z−⎛ ⎞≤ = ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
Mismoºárea
~ (0,1)Z N
Estadística, Profesora: María Durbán41
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?
Pr( 6000)X <
Pr( ) 0.9505X a> =
Estadística, Profesora: María Durbán42
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)600
X Z Z−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠
-1.66
Estadística, Profesora: María Durbán43
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)600
X Z Z−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠
1.66
Estadística, Profesora: María Durbán44
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)600
X Z Z−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠
1.66
1 Pr( 1.66)Z= −
Estadística, Profesora: María Durbán45
1 Pr( 1.66)Z= − <
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
1 0.95150.0485
= −=
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
Estadística, Profesora: María Durbán46
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?
7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505600
aX a Z −⎛ ⎞> = → > =⎜ ⎟⎝ ⎠
a
0.95
Estadística, Profesora: María Durbán47
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?
7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505600
aX a Z −⎛ ⎞> = → > =⎜ ⎟⎝ ⎠
-b
0.95
-b Valor negativo
Estadística, Profesora: María Durbán48
4.8 Distribución Normal
Ejemplo
El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?
( 7000)Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505600
aX a Z − −⎛ ⎞> = → < =⎜ ⎟⎝ ⎠
b
0.95
b
Estadística, Profesora: María Durbán49
( 7000)Pr( ) Pr 0.9505600
aX a Z − −⎛ ⎞> = < =⎜ ⎟⎝ ⎠
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?
Ejemplo
4.8 Distribución Normal
( 7000) 1.65600
6010
a
a
− −=
⇓=
El 94.05% de los semiconductoresduran más de 6010 horas
Estadística, Profesora: María Durbán50
Pr( -0.6 < Z < 1.83 )=
Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 )
Pr ( Z 0.6 ) =1 - Pr (Z < 0.6 ) =1 – 0.7257 =
0.2743
Pr( Z < 1.83 ) =0.9664
= 0.7257 - 0.0336= 0.6921
1.83-0.6
4.8 Distribución Normal
Más ejemplos de cálculo de probabilidades
≤
Estadística, Profesora: María Durbán51
La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobremuestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal.
4.8 Distribución Normal
Estadística, Profesora: María Durbán52
4.8 Distribución Normal
50 55 60 65 70
010
2030
4050
60
x
Ilustración
Sea X una variable Uniforme enel intervalo [50,70].Tenemos una muestra de tamaño2000.
La muestra tiene media 59.9 ydesviación típica 4.57
El histograma no se parece a una distribución normal con la misma media y desviación típica
xx
Estadística, Profesora: María Durbán53
Elegimos aleatoriamente grupos de 10 observaciones.
Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral.
Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original.
556970
565766
656263
595351
545954
695151
655354
605866
696060
596359
3ª2ª1ªMuestra
59.4 58.5 61.1
4.8 Distribución Normal
Estadística, Profesora: María Durbán54
55.22075556.160009
57.09926458.038518
58.97777359.917028
60.85628261.795537
62.73479263.674046
64.613301
aa$x
0
10
20
30
40
a
4.8 Distribución Normal
La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal.
La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original.
Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación típica es menor, en este caso 1.92 xxx
Estadística, Profesora: María Durbán55
Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xiindependientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) ydistribución cualquiera
Cuando n crece,
Teorema Central del Límite
4.8 Distribución Normal
2(0,1)i
i
YN
µ
σ
−≈∑
∑
1 2 nY X X X= + + +…
( )2~ ,i iY N µ σ∑ ∑la distribución de
Estadística, Profesora: María Durbán56
Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xiindependientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) ydistribución cualquiera
Teorema Central del Límite
4.8 Distribución Normal
Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribución Normal
Estadística, Profesora: María Durbán57
4.5 Proceso de BernouilliDistribución de BernouilliDistribución BinomialDistribución Geométrica
4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidadDistribución ErlangDistribución Weibull
4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher
4.5 La Normal como aproximación de otras distribuciones4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán58
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
La variable Binomial es suma de variables de Bernouilli, que toman el valor 0 ó 1.
Binomial-Normal
1 2 nY X X X= + +… [ ][ ] (1 )
i
i
E X pVar X p p
=
= −T.C.L.
( ), (1 )Y N np np p≈ − 305
nnpq
>>
Estadística, Profesora: María Durbán59
5.000 7.625 10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000x
0.00
0.04
0.08
0.12
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Binomial-Normal
( )15, 10.5N
50 0.310.5
n pnpq
= ==
Estadística, Profesora: María Durbán60
La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta.
Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Factor de corrección
0.5Pr( ) Pr( 0.5) Pr(1 )
0.5Pr( ) Pr( 0.5 ) Pr(1 )
x npX x X x Znp p
x npx X x X Znp p
⎛ ⎞+ −≤ = ≤ + ≅ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞− −≤ = − ≤ ≅ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Estadística, Profesora: María Durbán61
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Ejemplo
Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chipsdefectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para suventa.Un comprador rechazará un lote si contiene 25 o más chips defectuosos
¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote?Pr( 25)
25 0.5 40Pr6.26
Pr( 2.47)Pr( 2.47) 0.9292
X
Z
ZZ
≥
↓
− −⎛ ⎞≥ =⎜ ⎟⎝ ⎠
≥ − =≤ =
~ (2000,0.02)30
40(1 ) 39.2
X Bnnpnp p
>=
− =
(40,6.26)X N≈
Estadística, Profesora: María Durbán62
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Poisson-Normal
La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuandoel número de experimentos tiende a infinito.
Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5)
( )~ ( )
,
X P
X N
λ
λ λ≈
Estadística, Profesora: María Durbán63
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Poisson-Normal
Estadística, Profesora: María Durbán64
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Ejemplo
El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadradosigue una distribución de Poisson con media 100.
Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más?
Pr( 95)
95 100 0.5Pr Pr( 0.55)10
Pr( 0.55) 0.6915
X
Z Z
Z
≥
↓
− −⎛ ⎞≥ = ≥ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
≤ =
Estadística, Profesora: María Durbán65
4.5 Proceso de BernouilliDistribución de BernouilliDistribución BinomialDistribución Geométrica
4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidadDistribución ErlangDistribución Weibull
4.8 Distribución Normal
4.6 Distribuciones relacionadas con la Normal
Distribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán66
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.
La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el númerode grados de libertad.
2gχ
[ ] [ ]
221
22
1
~ (0,1) ~
~ 2
i i
g igi
X XN
XY E Y g Var Y g
µ µ χσ σ
µ χσ=
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑~ ( , )iX N µ σ
independientes
Estadística, Profesora: María Durbán67
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos.
La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el númerode grados de libertad.
2gχ
0 5 10 15 20 25
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f(x)
2 grados de libertad3 grados de libertad4 grados de libertad5 grados de libertad
Estadística, Profesora: María Durbán68
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
t de Student
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el númerode grados de libertad.
Se obtiene como el cociente entre dos variables:
2 ~ (0,1) ~/g g
Zt Z N YY g
χ=
Estadística, Profesora: María Durbán69
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
t de Student
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el númerode grados de libertad.
-10 -5 0 5
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
f(x)
5 grados de libertad20 grados de libertad100 grados de libertad
Estadística, Profesora: María Durbán70
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
F de Fisher
Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.
Se obtiene como el cociente entre dos variables:
1 2 1 2
2 21,
2
/ X ~ ~/g g g g
X gF YY g
χ χ=
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