Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
1
TEMA 9: DETERMINANTES
1. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
3. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ
CUADRADA
4. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA
5. MENORES EN UNA MATRIZ
6. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTE
7. DETERMINANTE DE VANDERMONDE
8. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA MATRIZ INVERSA
1. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Es un número real asociado a cada matriz cuadrada, veremos cómo se calcula. INVERSIONES DE UNA PERMUTACIÓN Consideremos un ejemplo. Sean 3 números cualesquiera, {1, 2, 3}, se entiende por permutación de esos 3 números a las distintas formas que tenemos de ordenar ese conjunto. De esta forma podemos decir que este conjunto tiene las siguientes permutaciones: {1, 2, 3}, {1, 3, 2},{2, 3, 1}, {2, 1, 3}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1} es decir un total de 6 permutaciones, número que coincide con 3! En general si tenemos un total de n-elementos y deseamos obtener todas las permutaciones que podemos obtener al ordenar esos n-elementos, podremos conseguir un total de n! permutaciones. Una inversión de una permutación es el cambio de orden entre dos elementos de una permutación con respecto a la permutación principal: Ejemplo: {1, 2, 3} es la permutación principal, entonces la permutación {1, 3, 2} presenta una inversión. {1, 2, 3} es la permutación principal, entonces la permutación {3, 1, 2} presenta dos inversiones. Una permutación se dice que es par cuando presenta un nº par de inversiones e impar cuando presenta un nº impar de inversiones (con respecto a la permutación principal). DEFINICIÓN GENERAL DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define el determinante de A y se suele denotar por |A| o bien det(A) a la suma de los n! productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un solo elemento de cada fila y columna de A.
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2
(j1, j2,..., jn) es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,....,n} sk es el número de trasposiciones requeridos para reordenar la permutación {j1,j2,...,jn} en el orden de {1,2,...,n}, si la permutación es par será sk también par, e impar en caso contrario. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2 El es producto de los elementos que están en la diagonal principal menos el producto de los elementos que están en la diagonal secundaria.
21122211
2221
1211aaaa
aa
aa
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3. REGLA DE SARROS Los términos están formados por productos de tres elementos de la matriz, siguiendo esta regla:
233211332112312213
213213312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
Observaciones: Un determinante es un número. Los determinantes se escriben entre barras para diferenciarlos de las matrices. Sólo tienen determinante las matrices cuadradas. Las matrices que no son cuadradas no tienen determinante.
2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una línea de una matriz son suma de dos sumados, el
determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes: uno, formado por los primeros sumandos, y otro, por los segundos, y las demás líneas de partida. Demostración para el caso de un determinante de orden 2:
Con el signo que le corresponda
a cada producto
Se cambia el signo que le corresponda a
cada producto
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
3
2221
1211
2221
1211
222121
121111
ab
ab
aa
aa
aba
aba
2221
1211
2221
1211
2112221121122211
2112211222112211212112221111
222121
121111
ab
ab
aa
aabaabaaaa
baaaabaabaaabaaba
aba
2. Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por un mismo
número real, el determinante de dicha matriz queda multiplicado por el número.
2221
1211
2221
1211
aa
aak
aak
aak
2221
1211
2112221121122211
2221
1211
aa
aakaaaakaakaak
aak
aak
3. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los
determinantes. BABA
4. Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz, su determinante cambia de signo.
2122
1112
2221
1211
aa
aa
aa
aa
2122
1112
2211211221122211
2221
1211
aa
aaaaaaaaaa
aa
aa
5. Si una línea de una matriz es nula, su determinante es cero.
00
0
21
11
a
a 000
0
02111
21
11 aa
a
a
6. Si una matriz tiene dos líneas iguales, su determinante es nulo.
02121
1111
aa
aa 021112111
2121
1111 aaaa
aa
aa
7. Si una matriz tiene dos líneas proporcionales, su determinante es nulo.
02121
1111
aka
aka 0
2121
1111
2121
1111
aa
aak
aka
aka
8. Si una línea de una matriz es combinación lineal de otras varias, su determinante es nulo.
0
0
212121
232221
131211
0
111111
232221
131211
212121
232221
131211
111111
232221
131211
211121112111
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
4
9. Si una línea de una matriz se le suma a otra paralela, su determinante no varía.
2221
1211
222221
121211
aa
aa
aaa
aaa
2221
1211
21122211
2212211222122211222112221211
222221
121211
aa
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
10. Si a una línea de una matriz se le suma otra multiplicada por un número su
determinante no varía.
2221
1211
222221
121211
aa
aa
aaka
aaka
2221
1211
2112221122122112
22122211222112221211
222221
121211
aa
aaaaaaaakaa
aakaaakaaaakaaaka
aaka
EJERCÍCIOS
1. Calcular los siguientes determinantes:
734312223
12
36182331227412
134
113
311
2
164
123
321
228
200
020
111
8
111
111
111
8
111
111
111
42
421
421
421
364313
400
430
121
3
460
430
121
3
541
511
121
3
543
513
123
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
5
2. Calcular el valor del determinante:
00
11
11
11
1
1
1
1
1
1
32
acb
ba
cb
ac
acb
babac
cbcba
acacb
bac
cba
acb
CC
3. Justifica, sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos:
0
111
111
5
111
5
111
5
555
0
0270
1151
4254
5
1102
0270
10152
40258
5
1
0270
235/2
40258
5
15
0270
235/2
40258
0
0
cbacba
bcacbacba
cba
bacacb
cba
bacacb
cba
4. Prueba, sin desarrollar, que A es múltiplo de 3 y que B es múltiplo de 5:
322
674
125
5
151010
674
125
697346
674
125
936
674
125
525
174
232
3
5215
1712
236
52528
17174
23231
528
174
231
B
A
5. Si 7
zyx
rqp
cba
, calcula el valor de los siguientes determinantes:
7111
zyx
rqp
cba
yzx
qrp
bca
yxz
qpr
bac
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
6
zyx
rqp
cba
cba
rqp
cba
czbyax
rqp
cba
czbyax
rqp
cba
czbyax
cba
cba
czbyax
rcqbpa
cba
czbyax
rcqbpa
cba
0
0
33
3
3
333
2113
7
zyx
rqp
cba
142
222
2
222
2
222
222
222
222222
222
222
70
0
zyx
rqp
cba
zyx
rqp
cba
zyx
rqp
zyx
zyx
rqp
zcybxa
zyx
rqp
zcybxa
zyx
rqp
zcybxa
rqp
rqp
zcybxa
rzqypx
rqp
zcybxa
6. Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz
azzk
ayyk
axxk
33
22
1
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
7
0
3
2
1
33
22
11
33
22
11
33
22
1
00
azz
ayy
axx
z
y
x
k
azz
ayy
axx
k
azzk
ayyk
axxk
7. Si 2
ihg
fed
cba
A , calcula el valor de los siguientes determinantes
indicando las propiedades que utilices:
54227233
333
333
333
333
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
A
Para calcular el determinante de la inversa 1A , tenemos en cuenta que:
2
11
1
11
1111
AA
A
AAIAAIAAIAA
422
222
2
ihg
fed
cba
ghi
def
abc
ghi
def
abc
21
20
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
ghg
ded
aba
ighg
fded
caba
8. Considera la matriz
011
111
201
A
Calcular el determinante de las matrices 131312
A,A,A
1122
011
111
201
011
111
201
AA
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
8
11
11
11..........
822
022
222
402
011
111
201
22
31
131131
3131
factores 31
3131
3
AAA
AAAAAAA
AAA
9. Determina una matriz simétrica A sabiendo que su determinante vale -7 y que
31
124
31
62A
12
42
12336
12
421236
42
31
124
362
362
31
124
31
62
31
124
31
62
cb
ba
cbcb
cb
baba
ba
cbcb
baba
cb
baA
cb
baA simétrica ser que tiene A Como
32
211
2
42
2
4312212
21891449
1424821421247122
4
7122
4
12A
7- valetedeterminansu como pero R,bcon 12
momento De
1212
2
442
2222
224
24
Aluegob
abc
bbb
bbbbbbbbbb
bbb
bb
b
bb
b
cb
baA
bccb
baba
b
b
10. Sean 321 C,C,C las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente,
de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
El determinante de 3A .
12555 333 AAAAAAAAA
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9
El determinante de 1A .
5
115
11
1
1111
AAA
AAAAAAIAA
El determinante de A2 . 3 35 2 2 2 5 40A A A
El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda
y tercera son respectivamente 2331 23 C,C,CC .
0
3
3
3
2
3
3
3
2
23
23
23
5
hii
eff
bcc
hig
efd
bca
hiig
effd
bcca
hiig
effd
bcca
B
ihg
fed
cba
A
30563232
3
3
3
2
ihg
fed
cba
hig
efd
bca
hig
efd
bca
11. Sabiendo que 2
hig
efd
bca
. Calcula, indicando las propiedades que utilices,
los siguientes determinantes:
3025353
5
5
5
3
5
5
1533
hig
efd
bca
hig
efd
bca
hig
efd
bca
3 3 3
3 3 3 1 3 2 6
d f e d f e d e f a c b
a b c a b c a c b d e f
g i h g i h g h i g h i
2
0
hig
efd
bca
hig
hig
bca
hig
efd
bca
hig
heifgd
bca
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
10
12. Sabiendo que
dc
baA y que 4)Adet( , calcula los siguientes
determinantes:
3633322
)Adet()Adet()Adet( tt
24323233
22
dc
ba
cd
ab
cd
ab
Sea I la matriz unidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que IB 3
Calcula )Bdet(
1
1133
B
BBBBIBBBIBBBIB
Sea C una matriz cuadrada tal que tCC 1 , ¿Puede ser 3)Cdet( ?
111 211 CCCC
CCCC tt
El valor del )Cdet( tendría que ser 1 o -1.
13. Sabiendo que 6
cba
vut
zyx
. Calcula, indicando las propiedades que utilices,
los siguientes determinantes:
183
3
3
3
cba
vut
zyx
cba
vut
zyx
1222
2
2
2
cba
vut
zyx
cab
vtu
zxy
cab
vtu
zxy
6
222222
0
cba
vut
zyx
cba
vut
zyx
cba
vut
zyx
zyx
vut
zyx
czbyax
vut
zyx
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
11
3. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ CUADRADA
El menor complementario asociado a un elemento i ja de una matriz cuadrada A es el
determinante de la matriz que resulta al suprimir la fila “i” y la columna “j” de la matriz de partida correspondiente a dicho elemento.
Ejemplo: dada la matriz
132
413
321
A entonces los menores asociados a los
elementos siguientes son:
1313
41
713
21
512
43
1111
3333
1212
Mesa elemento al asociado ariocomplement menorEl
M esa elemento al asociado ariocomplement menorEl
M esa elemento al asociado ariocomplement menorEl
El adjunto de un elemento i ja es el menor complementario del mismo elemento con
signo + o – según sea par o impar la suma fila+columna.
ij
ji
ij MA
1
Ejemplo: dada la matriz
132
413
321
A entonces los adjuntos asociados a los
elementos siguientes son:
131 elemento al asociado Ajunto
71 elemento al asociado Ajunto
551 elemento al asociado Ajunto
1111
11
1111
3333
33
3333
1212
21
1212
MMAesa
MMAesa
MMAesa
4. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA
Supongamos que tenemos una matriz de orden 3, entonces, el desarrollo del determinante por los elementos de una línea, por ejemplo, por la 2ª fila es:
232322222121
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
Si fuera por ejemplo por los elementos de la 1ª columna, sería:
313121211111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
12
Ejemplo: si consideramos la matriz
312
410
231
A , el desarrollo de su determinante
por los elementos de la 1ª columna sería:
21287142707141
232
31
230
31
411
201201
312
410
231
312111312111
MMMAAAA
Ejemplos: calcular los siguientes determinantes desarrollando por los elementos de una línea: Desarrollamos este determinante por la segunda fila:
12186421286211621232623
421286211621232623
113
212
412
1
143
212
412
3
113
212
412
11
143
212
412
3
1413
2112
0130
4112
B
Desarrollamos este determinante por la segunda columna:
1951132121812312496618312121
313
124
312
11
313
210
312
1
313
210
124
11
3103
2110
1214
3112
C
MÉTODO DE CHIO Consiste en, utilizando las propiedades de los determinantes, convertir toda una línea del determinante dado en ceros, excepto un elemento llamado pivote o base de desarrollo. Elegida esa línea para desarrollar por los adjuntos de sus elementos, el determinante dado será igual al producto del pivote por su adjunto correspondiente. Se procura que el pivote valga uno. Ejemplo:
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
13
3083614
2332
312
232
3120
230
371
2
322
141
371
2
322
282
371
3220
2820
3710
1211
3220
3235
1134
1211
3220
1211
1134
3235
31F
F
A
Ejemplo:
10220
4310
7550
5321
0422
4310
2231
5321
0422
5321
2231
4310
0224
5123
2132
4013
1313 FFCC
A
7236212
1802
511
120
1800
2
511
431
755
2
1022
431
755
5. MENORES EN UNA MATRIZ
Sea una matriz de dimensión , si suprimimos m - h y n - h columnas, el determinante de la matriz resultante es un menor de orden h de dicha matriz.
hhhh
h
h
mnmhmmm
hnhhhhh
nh
aaa
aaa
M
:sería horden de menorUn
aaaaa
aaaaa
aaaaa
A
21
11211
321
321
11131211
Ejemplo: Consideremos la matriz
201314
231110
121302
411031
A
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
14
1314
1110
1302
1031
M
:son matriz ésta de 4orden de menores Algunos
201
231
121
M
314
110
302
M
201
231
411
M
:son matriz ésta de 3orden de menores Algunos
4
321
MENOR ORLADO Dado un menor de orden h de una matriz de dimensión m x n, si le adjuntamos la fila i y la columna j a dicho menor, el menor resultante de orden h+i se llama menor orlado del primero con la fila i y la columna j.
6. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Es el orden del mayor menor no nulo. Para calcular el rango por éste método se elige un menor de orden 2 de la matriz, si es cero, se elige otro, si ninguno de los menores de orden 2 son no nulos, el rango es 1, y se acaba el proceso. Si, por el contrario, existe un menor de orden 2 distinto de cero se orla con cualquier fila y cualquier columna, si es cero, se vuelve a orlar, si todos los orlados de orden 3 son nulos, el rango es 2 y se acaba el proceso; si, por el contrario, existe uno de orden 3 distinto de cero, el rango es, por lo menos, 3. Dicho menor se vuelve a orlar, si todos los de orden 4 son nulos, el rango es 3, y se acaba el proceso, en caso contrario, se reitera el método sucesivamente. Ejemplo: Hallar el rango de la matriz
743423
231110
121302
411031
A
:nulo no 4orden demenor un buscamosy él departir a Orlamos
30336
110
302
031
M
:nulo no 3orden demenor un buscamosy él departir a Orlamos
20602
31M
:nulo no 2orden demenor un buscamosy izquierdasuperior esquina lapor Empezamos
2
1
Arg
Arg
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
15
0108310241
153
212
141
1153
1000
1212
1141
3423
1110
1302
1031
M3
4015
4560306912453
163
532
131
1463
0100
5332
1031
7423
2110
1302
4031
09999
42489126324
863
732
131
8463
0100
7332
1031
4423
3110
2302
1031
)A(rg
M
: nulo nosea que 4 orden de menorotro buscamos
M
: nulo nosea que 4 orden de menorotro buscamos
4
4
Ejemplo: Hallar el rango de la matriz
A
11031
2112
4114
10221
3 tantolopor orlar, para 4orden de menores máshay No
02713265412332
1131
313
643
2
1131
626
643
11031
2112
6026
6043
11031
2112
4114
10221
M
:nulo no 4orden demenor un buscamosy él departir a Orlamos
3018184841
112
114
221
M
:nulo no 3orden demenor un buscamosy él departir a Orlamos
20914
21M
:nulo no 2orden demenor un buscamosy izquierdasuperior esquina lapor Empezamos
3
2
1
Arg
Arg
Arg
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
16
7. DETERMINANTE DE VANDERMONDE
El determinante de Vandermonde viene dado por: 222
111
cba
cba
A cada fila le sumamos la anterior multiplicada por –a:
bcacabcb
acab
accabb
acab
cacabb
acab
cacabb
acab
cba
cba
11
0
0
111111
22
22222
Ejercicio: obtener el valor del siguiente determinante:
bcacab
cbacab
accabb
acab
cacabb
acab
acab
acab
cba
cba
cba
cba
eVandermond
5011
5050
50
0
0
111
50
111
510555
101010
22
2222222222
Ejercicio: obtener el valor del siguiente determinante:
1713441
131
401
1301
014
413
1315
014
2
12
826
1315
014
2
1
8260
13150
0140
4121
2
1
4103
1213
4261
4121
2
1
4103
1213
213
4121
4121
1213
213
4103
21
21
A
8. PROPOSICIÓN
La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos correspondientes a una paralela a ella es cero. Por ejemplo, para un determinante de orden 3:
231322122111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
Ejemplo: consideremos la matriz
131
122
311
A calculamos los adjuntos asociados por ejemplo a la 3ª columna:
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
17
0414241
422
114
31
114
31
22
332123211311
332313
AaAaAa
:columna1ª la de elementos los paralela línea como ejemplo por doconsideran sComprobamo
AAA
9. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA MATRIZ INVERSA
La condición necesaria y suficiente para que una matriz A tenga inversa, es que su determinante sea distinto de cero.
0 AA es esto inversa, tiene A cuadrada matrizLa -1
OBTENCIÓN DE LA INVERSA
t
ijAA
A 11
Demostración si se multiplica la matriz A por la matriz traspuesta de la adjunta se tiene:
t
ij
AdjA
AA
AIAA
A
A
A
AaAaAaAaAaAaAaAaAa
AaAaAaAaAaAaAaAaAa
AaAaAaAaAaAaAaAaAa
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
t
11
100
010
0011
00
00
001
333332323131333332323131333332323131
332332223121132312221121132312221121
331332123111231322122111131312121111
332313
322212
312111
333231
232221
131211
Vamos a deducir cuánto valdrá el determinante de 1A :
otro del inverso el es uno A
AAAIAA
IAAIAA A de inversa la es A Si
1-1-1-
-1-1-1
11
Ejemplo: calcular la inversa de la matriz A
131
122
311
A
10123261812
131
122
311
A
A
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
18
444
521
7101
12
1
422
115
12
317
12
31
431
112
11
3110
13
31
431
221
11
121
13
12
:elemento cada de adjuntos los Calculamos
1
333231
232221
131211
A
AAA
AAA
AAA
100
010
001
1200
0120
0012
12
1
444
521
7101
131
122
311
12
1
444
521
7101
12
1
131
122
3111AA
:ónComprobaci
Ejemplo: calcular la inversa de la matriz A
101963418
310
221
413
310
221
413
AA
A
721
132
21
4310
22
41
310
139
30
437
31
41
110
213
30
214
31
22
310
221
413
:elemento cada de adjuntos los Calculamos
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
A
Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal
19
100
010
001
1900
0190
0019
19
1
731
293
1074
310
221
413
19
1
731
293
1074
19
1
310
221
413
:
731
293
1074
19
1
1
1
AA
ónComprobaci
A
TEOREMA DE UNICIDAD Si existe inversa, es única. Efectivamente, supongamos que existiesen dos matrices B y C tales que:
BC
CABCABCABCABcomo ACy AB
II
-1-1
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