Expresión de un problema de programación lineal
Aplicaciones de la programación lineal
Soluciones de un problema de programación lineal
Resolución gráfica de un problema de programación lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
9.2 Introducción a la programación lineal
Método Simplex
Expresión de un problema de programación lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Definición: Un problema de programación lineal es un programa matemático en el cual la función objetivo es lineal en las variables de decisión y cada restricción es una desigualdad lineal. Además tiene una restricción de signo; es decir, las variables de decisión son no negativas.
x ... x x n21
n21 x ... x x ZMax 1c
11a2c nc
s.a. 12a 1na
0 x.,.. , x n1
1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b
x ... x x n21m1a m2a mna mb
x ... x x n21
n21 x ... x x ZMin 1c
11a2c nc
s.a. 12a 1na
0 x.,.. , x n1
1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b
x ... x x n21m1a m2a mna mb
Z, función objetivo, es la medida de efectividad global seleccionada donde representan las variables de decisión.
nixi ,,1,
representan los coeficientes de contribución; es decir, incremento que resulta en el objetivo por cada incremento unitario de
njc j ,,1, jx
representan las tasas de uso de la materia prima en la producción de la variable ija mi ,,1 nj ,,1
representan los recursos disponibles; es decir, la cantidad disponible del recurso “i” que consume cada unidad de la actividad “j” jb
Expresión de un problema de programación lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
x ... x x n21
n21 x ... x x ZMax 1c
11a2c nc
s.a. 12a 1na
0 x.,.. , x n1
1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b
x ... x x n21m1a m2a mna mb
x ... x x n21
n21 x ... x x ZMin 1c
11a2c nc
s.a. 12a 1na
0 x.,.. , x n1
1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b
x ... x x n21m1a m2a mna mb
Forma canónica de un problema de programación lineal
Expresión de un problema de programación lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
x ... x x n21
n21 x ... x x Z(Min)Max 1c
11a2c nc
s.a. 12a 1na
0 x.,.. , x n1
1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b
x ... x x n21m1a m2a mna mb
Forma estándar de un problema de programación lineal
Todo problema lineal en forma canónica se puede pasar a forma estándar introduciendovariables de holgura o variables excedentes.
Aplicaciones de la programación lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
1. Una primera aplicación de la P.L. se encuentra en los problemas de “Asignación de Recursos”.Son problemas en los que existen recursos limitados y se busca la utilización máxima. El objetivo es maximizar utilidades.
2. Otra aplicación que responde a un problema de P.L. es el de minimizar pérdidas. La diferenciacon el caso anterior es que se deben satisfacer unos requerimientos mínimos.
3. Problema de la mezcla: la mezcla de ingredientes básicos para fabricar productos. No sólo se se restringe a problemas de mezclas de alimentos, bebidas, etc ., también se aplica en el análisis de inversiones.
Soluciones de un problema de programación lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Definición: Una solución factible es aquella que verifica todas las restricciones de un P.P.L.; es decir, 0y ixbAx0y ixbAx
Definición: Se define la región factible como el conjunto de todas las soluciones factibles; es decir,
0y : ó 0y : in
in xbAxRxFxbAxRxF
Definición: Una solución óptima es una solución factible que da el valor más favorable de la función objetivo.
Si , el problema es infactible F
Definición: Considérese el sistema de ecuaciones , en donde A es una matriz de dimensión y b un vector de dimensión m. Supóngase que el rango de A es m. Después de un reordenamiento de A, sea
donde B es una matriz no singular de dimensión y N matriz singular de dimensión . La
solución del sistema de ecuaciones, se denomina solución básica, donde y es elvector nulo.
bAx nm
NBA
mm mnm
N
B
xx
x bBxB1 Nx
Soluciones de un problema lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una solución básica degenerada del sistema.
Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas , entoncesx es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina solución básica factible degenerada.
TeoremaDado un P.P.L. en forma estándar factible y acotado, el valor óptimo de la función objetivo se alcanza en un punto extremo de la región factible.
Definición: Si dos o más soluciones dan igual valor para la función objetivo, se dice que el problema tiene óptimos alternativos.
Definición: Si los valores de las variables se incrementan indefinidamente, el espacio solución es no acotado. Si además el valor objetivo aumentará o disminuirá indefinidamente, el problema tiene solución no acotada.
Definición: Un conjunto C de es convexo si nR
CxttxtRtyCxx 2121 )1( punto el ,10 : ,
Soluciones de un problema lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una solución básica degenerada del sistema.
Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas , entoncesx es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina solución básica factible degenerada.
TeoremaDado un P.P.L. en forma estándar factible y acotado, el valor óptimo de la función objetivo se alcanza en un punto extremo de la región factible.
Definición: Si dos o más soluciones dan igual valor para la función objetivo, se dice que el problema tiene óptimos alternativos.
Definición: Si los valores de las variables se incrementan indefinidamente, el espacio solución es no acotado. Si además el valor objetivo aumentará o disminuirá indefinidamente, el problema tiene solución no acotada.
Soluciones de un problema lineal
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Definición: Un punto x de C , conjunto convexo de es un punto extremo de C si nR
10 : ,)1( xque tales 2121 ttxttxCxxexistenno
Resolución gráfica de un P.P.L.
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
SI
NO
SI
NO
SI
Solución acotada
NOSolución acotada
SI
NO
Método Simplex
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Algoritmo del simplex:
1. Determinar una solución básica factible inicial (punto extremo).2. Determinar si el paso a una solución básica factible adyacente mejora el valor de la función objetivo. Para ello comprobar: solución óptima. En caso contrario ir al paso 3.3. Determinar la solución básica factible adyacente con mayor mejora para el valor de la función objetivo. La variable que entra en la nueva base es aquella cuyo correspondiente sea más negativo. La variable que deja la base es aquella que verifica
Volver al paso 2 y repetir el proceso hasta alcanzar una solución óptima, obtener una solución no acotada o un problema infactible.
donde , ;01
yczjczm
kkBjjj jk
jj cz jx
0 ;minj
j
kk
k
B yyx
Método Simplex
BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
Variables artificiales.En muchas ocasiones la adición de variables de holgura y excedente para la resolución de un problema lineal no es suficiente para obtener una solución básica factible inicial.
Variables artificiales: son variables auxiliares que se utilizan para identificar una solución factible básica inicial
Método de la M Método de las dos fases