Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo VII. Microplasticidad de Cristales
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Microplasticidad de Cristales.
En este capítulo se aborda el problema de la plasticidad desde un punto de vista
microscópico. Se toma en consideración la naturaleza discontinua y anisotrópica de los
cristales y se establecen criterios de fluencia plástica a partir de las consideraciones
planteadas.
7.1 Criterio de fluencia para la deformación por deslizamiento
Schmid (1924) propuso el siguiente criterio empírico de fluencia plástica por
deslizamiento en materiales cristalinos:
“En un sistema cristalino ocurre deslizamiento cuando la tensión de cortadura sobre el
plano de deslizamiento en la dirección de deslizamiento alcanza un valor crítico que se
conoce como tensión reducida crítica”.
El incremento de deslizamiento ocurre en el sentido de la tensión crítica aplicada
(producción de trabajo positivo).
A continuación se examinarán los distintos casos de fluencia plástica en cristales,
ordenados por su grado de complejidad:
Caso I Monocristal con un solo sistema de deslizamiento sometido a un ensayo de
Tracción
Si se somete un monocristal a un ensayo de tracción, la fuerza aplicada dará origen a un
esfuerzo, el que se transformará en un esfuerzo cortante sobre cada uno de los planos del
cristal. Sea:
: Angulo que hace la dirección de tracción con la normal al plano de deslizamiento
(NPD)
: Angulo que hace la dirección de tracción con la dirección de deslizamiento
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La tensión de cortadura reducida a ese sistema será:
mA
F
A
F
A
F
AA
A
A
p
p
p
coscoscoscoscoscos/
cos
coscos
0<m<1/2
El límite elástico o tensión de fluencia del cristal se alcanzará cuando esa tensión
alcance el valor crítico c
c
c
y Mm
donde 2M es el factor de orientación y su valor depende de la
orientación del cristal respecto del eje de tracción.
El límite de fluencia de un monocristal es fuertemente anisótropo.
Ej: Los monocristales de metales hexagonales como el Mg (sistema basal predominante)
se comportan de esta manera en tracción. En la figura 2 se muestra la variación del
límite elástico con la orientación para monocristales de Mg.
M relaciona propiedades macroscópicas (tensión medida en un ensayo mecánico), con
una propiedad microscópica del material (la tensión crítica reducida c ).
Nota: c suele denominarse CRSS (critical resolved shear stress).
Figura 1. Criterio de Schmid.
A NPD
F
Ap
DD
F
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c puede relacionarse con la resistencia al deslizamiento de las dislocaciones sobre los
planos de deslizamiento.
Figura 2.- Variación del límite elástico de monocristales de Mg en función de la orientación
( coscos ).
Caso II. Monocristal con varios sistemas de deslizamiento.
En un ensayo de tracción a cada sistema le corresponde un valor del factor de
orientación
iiim coscos
Al someter al cristal a tensiones crecientes, la fluencia ocurrirá cuando se alcance la
tensión crítica en algún sistema. Si la tensión crítica es uniforme (igual para todos los
sistemas) el sistema activo será aquel cuyo valor de m sea máximo (M mínimo).
m
0
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Los demás sistemas permanecerán inactivos. A esta condición se le denomina
deslizamiento simple.
Si el valor de m es máximo simultáneamente en varios sistemas con igual tensión crítica,
el límite de fluencia se alcanzará en ellos al mismo tiempo, por lo que la deformación
plástica tendrá lugar por deslizamiento múltiple.
Caso III Monocristal con varios sistemas de deslizamiento cada uno con diferente
tensión crítica.
En el caso general de un cristal sometido a un estado arbitrario de tensiones ij la
aplicación del criterio de fluencia consistirá en calcular la tensión reducida en cada
sistema y compararla con la tensión crítica en ese sistema.
7.2. Proyección estereográfica.
La proyección estereográfica es una herramienta que permite visualizar con facilidad los
distintos planos y direcciones de un cristal. La forma de construir la proyección
estereográfica es la siguiente:
a) Se posiciona el cristal en el centro de una esfera, denominada esfera fundamental.
b) Se trazan las normales a los planos de interés.
c) Se intersectan estas normales con la esfera fundamental.
d) Se une el polo sur de la esfera fundamental con el punto de intersección
encontrado en (c).
e) Se determina la intersección con el plano ecuatorial de la recta determinada en
(d).
El plano ecuatorial es el que finalmente termina representando la proyección
estereográfica, tal como se aprecia en la figura 3.
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Figura 3. Proyección estereográfica de un monocristal FCC que desliza sobre el sistema BIV
plano (111) y dirección 011 .
Tal como se aprecia, todos los planos y direcciones de la celda cúbica tienen su
representación en la proyección estereográfica.
Es posible definir triángulos estereográficos fundamentales, tales como el OAI,
mostrado en la figura 3 y ampliado en la figura 4. Este triángulo es el que está formado
por los planos (100), (110) y (111). Cuando la orientación del eje de tracción cae dentro
del área definida por este triángulo, el sistema de deslizamiento que se activa
corresponde al BIV, esto es, la deformación se produce a través del plano B=(111) y a
través de la dirección IV= 011 .
En la figura 5 se muestran los diversos valores del factor de orientación del sistema de
deslizamiento 011 111 de un cristal cúbico sometido a una tensión normal, en función
de la orientación del eje de aplicación de la fuerza.
F
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Figura 4. Ampliación de los ocho triángulos fundamentales de la proyección estereográfica de un cristal
BCC que desliza sobre el plano 011 en la dirección <111> y sobre el plano 211 en la dirección
<111>.
Figura 5. Ampliación del triángulo estereográfico fundamental.
7.3. Sistemas de referencia.
Es necesario referir el estado de tensiones aplicado a un sistema de referencia externo.
Este sistema externo está relacionado con la aplicación de cargas, la máquina de ensayos
o la forma de la probeta monocristalina. El sistema de referencia asociado a la red
cristalina más natural en los metales cúbicos es el constituido por las 3 aristas del cubo
elemental de la red.
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A cada sistema de deslizamiento se puede asociar un sistema de referencia ortogonal,
dos de cuyos ejes son la dirección de deslizamiento 1’ y la normal al plano de
deslizamiento 3’.
Para aplicar el criterio de fluencia cristalográfico interesa la componente de cortadura
S
13 correspondiente al sistema de referencia asociado al sistema de deslizamiento s. Si
se obtiene el estado de tensiones referido al sistema de referencia del cristal, c, para
obtener S
'3'1 , sólo se necesitan los cosenos directores de las direcciones DDS 1 y
NPDS 3 respecto a los ejes del sistema C (y son simplemente los índices unitarios
de Miller de esas dos direcciones)
'3'1'3'1 ji
C
ij
S
7.4. Efectos producidos por un incremento de deslizamiento.
Sea un elemento unitario de volumen de un sólido cristalino orientado de acuerdo con el
sistema asociado de un sistema de deslizamiento, s, y sea un elemento en el que se
producen los deslizamientos en ese sistema. Sea Sd la cantidad de deslizamiento total
acumulada en el elemento por unidad de volumen (figura 6).
Figura 6. Cantidad de deslizamiento total acumulada en el elemento por unidad de volumen.
1
1
1
2`
1` (DD)
3`(NPD)
Plano d
e
desliza
mie
nto
s
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Si se prescinde de las discontinuidades locales en los afloramientos de los
deslizamientos a la superficie del elemento, (lo cual será aceptable siempre que el
deslizamiento no se localice fuertemente; en general, siempre que podamos considerar
un elemento de dimensiones muy superiores a las de los escalones de deslizamiento)
podemos tratarlo como un elemento continuo. Respecto al sistema de referencia
considerado, la matriz de desplazamiento relativos corresponde al deslizamiento Sd
es:
00
000
000
''
S
ji
d
u
es decir, una cizalladura “simple”, que puede descomponerse en una matriz más una
matriz antisimétrica
002
0002
00
002
0002
00
''
S
S
S
S
ji
d
d
d
d
u
es decir, en una matriz de deformación (que vemos una “distorsión” sin cambio de
volumen) que referida a ese sistema es una cizalladura “pura”.
2/'3'1 sdd
más una matriz de rotación cuya única componente es una rotación positiva alrededor
del eje 2´ (normal a la dirección de deslizamiento y sobre el plano de deslizamiento),
2/'1'3'2 Sddd
Respecto a otro sistema de referencia distinto, el incremento de deslizamiento habrá
dado lugar a la deformaciones y tensiones:
'1´'3'3'12
jijiS
ij
dd
'3´'1'1'32
jijiS
ij
dd
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En general, si se activaran simultáneamente varios sistemas de deslizamiento, para un
pequeño incremento (infinitesimal), la composición de todos ellos da lugar a:
'1´'3'3'12
jijiS
Sij
dd
'3´'1'1'32
jijiS
Sij
dd
La formulación empleada es válida tan sólo para deformaciones infinitesimales. Para
deformaciones plásticas grandes, puede realizarse la aproximación de considerar una
sucesión de pequeños incrementos consecutivos. Asimismo, dada la heterogeneidad
intrínseca de la deformación a escala cristalina, el elemento de volumen mínimo debe
ser grande respecto a la distancia entre líneas o bandas de deslizamiento (escala habitual:
una micra) aunque dentro de un mismo grano cristalino (escala habitual: decenas de
micras) pueden activarse combinaciones distintas de deslizamiento y, por lo tanto,
ocurrir deformaciones y rotaciones distintas.
7.5. El factor de orientación como relación entre la deformación macroscópica y el
deslizamiento.
En un ensayo de tracción, la tensión de fluencia externa aplicada y la tensión crítica de
cortadura están relacionadas a través del factor de orientación. Si se ensaya un cristal
según la dirección 1 de un sistema de referencia externo, para el sistema activo,
)()( 1131 CC y Mmll y /3111
Además, si únicamente se ha producido deslizamiento en el sistema 1´3´,
Mdmdllllddd SSS /)(2/ 1131311111
Por lo que el factor de orientación se puede ver alternativamente como la relación entre
la tensión microscópica de fluencia y la tensión crítica de cortadura o como la relación
entre la cantidad de deslizamiento y la deformación externa registrada:
ddM Cy //
Visto de otra manera, lo expresado no es sino el resultado de calcular el trabajo plástico
respecto a un sistema de referencia asociado al deslizamiento o respecto a otro sistema.
Por unidad de volumen se tiene que:
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Mdd
ddV
dW
Cy
Cy
//
7.5. Consecuencias de la Rotación Asociada a un Incremento de Deslizamiento
La activación de un sistema de deslizamiento da lugar a un incremento de deformación y
un incremento de rotación del elemento de volumen respecto al sistema de referencia
asociado al sistema de deslizamiento. Referido a este sistema (o al sistema cristalino,
cuya relación con el primero no varía pues a deformación plástica no distorsiona la red)
un vector, {s}, del sólido será transformado, por efecto del deslizamiento, en otro,
{s*}, tal que:
sxdssddIss ij
TT
ijij
TT *
siendo [I] la matriz identidad y
d el vector de rotación, de módulo igual al incremento
de ángulo girado y dirección y sentido los del eje de giro. Como se recordará, las
componentes de este vector se corresponden con los elementos de la matriz de giro:
0
0
0
xy
xz
yz
ij
dd
dd
dd
d
Si en la expresión procedente sólo se consideran las componentes de rotación, se puede
calcular, trabajando en el sistema asociado al cristal, las nuevas orientaciones cristalinas
que toma una dirección trazada inicialmente en el sólido (por ejemplo, si no existe
rotación relativa del sólido respecto a un sistema de referencia externo asociado al
laboratorio o la máquina de ensayos, la nueva orientación de esos ejes tras un
incremento de deslizamiento). Para deformaciones finitas, se deben integrar las
rotaciones correspondientes a sucesivos incrementos de deslizamiento.
La consecuencia general de la rotación asociada a un incremento de deslizamiento es
una reorientación del cristal respecto del sistema de referencia externo. Visto desde este
sistema, si al cristal no se le ha impuesto un giro adicional, su cambio de orientación
respecto al sistema externo es un giro opuesto al derivado del deslizamiento:
CREOR dd
En el caso más general, durante la deformación plástica puede imponerse una rotación al
sólido; en este caso el cambio de orientación de los ejes asociado al cristal respecto al
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sistema fijo es una rotación resultante de la composición de la impuesta externamente
más la opuesta a la derivada del deslizamiento referida al cristal:
CEXTREOR ddd
Ejemplos:
a) En la figura 7 se ha esquematizado el cambio de orientación de un monocristal
deformándose por deslizamiento simple durante un ensayo de tracción. En este
caso, CREOREXT ddd
,0
b) En un ensayo de cizalladura simple, al cristal se le impone, además de la
deformación plástica, una rotación respecto a un sistema externo de valor
0,2/,0 dd EXT
si la cizalladura se realiza según el plano normal al eje 3 y
en dirección del eje 1. En este caso, CEXTREOR ddd
.
Como conclusión general, la deformación plástica de los cristales se acompaña de
cambios de orientación; en el caso de los policristales, ese es el origen del desarrollo de
“texturas de deformación”.
2a
1a1a
Figura 7. Cambio de orientación de un monocristal deformándose por deslizamiento simple
durante un ensayo de tracción.
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Por otro lado en la curva de fluencia de un cristal se superponen dos efectos: la variación
de la tensión de fluencia intrínseca, c, por cambios estructurales inducidos por la
deformación, y la variación del “factor de orientación”, M, que relaciona la tensión
macroscópica-externa con c, por el efecto del cambio de orientación.
7.6. Evolución de la orientación del eje de tracción durante el ensayo de un
monocristal
El ensayo mecánico más común con monocristales es sin duda el de tracción; pueden
encontrarse sin ningún esfuerzo numerosos ejemplos en la bibliografía (especialmente
en la de hace 20 o 25 años). Si el ensayo se realiza procurando que las restricciones al
giro de la muestra impuestas por el sistema de mordazas sean mínimas, la situación
inicial y final del cristal tras un incremento finito de deslizamiento se aproximará a la
que muestra la figura 8. Habrá ocurrido – en general – deslizamiento simple en
dirección b
sobre el plano normal n
(se está utilizando un sistema de referencia
asociado a la red cristalina y se va a realizar un planteamiento vectorial). Un elemento
del eje de tracción de la probeta, de magnitud y orientación inicial l, se transforma por
la acción del deslizamiento en el vector L
. El cambio de dirección equivale a un cierto
giro de magnitud . La orientación del eje de rotación es la misma que la del vector,
Lxlr
Si el deslizamiento total en el sistema mencionado es , se puede expresar:
bnllL
.
siendo nyb
vectores unitarios
ET ET
DDD
D
L
I
NPD
Figura 8. Cristal tras un incremento finito de deslizamiento
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bxnlr
l .
En consecuencia, el eje de giro es perpendicular a la dirección de deslizamiento y al eje
de tracción. Si se consideran grandes deformaciones:
bnlL
. .
es decir, el eje de tracción tiende a orientarse con la dirección de deslizamiento del
sistema activo.
Aplicación: ensayo de tracción de un monocristal FCC.
En este caso, si , kh dirección situada en el triángulo “fundamental”
111011001 , el sistema activo es el 111 011 . Al ir alargando el cristal, la
orientación del eje gira hacia 011 alrededor de un eje perpendicular a ambas
direcciones. En la proyección estereográfica, figura 9, se desplazará por el círculo
máximo que las conecta.
Al llegar a la frontera 111001
, si la tensión crítica es uniforme en todos los sistemas
de la familia 11 1 < 110 >, la posición simétrica del eje de tracción hace que se active
además el sistema correspondiente al triángulo equivalente al vecino, 011 111 . La
combinación equilibrada de ambos giros produce el desplazamiento de la orientación del
eje por la frontera 111001 :
22211
*
1
*
21 bnbnllLCC
Por simetría: nlnlnl
2
*
1
*
21 ,2
21
* 2 bbnllL
en este caso:
011 / /
2 1 1 / / 21
r
bb
y, para grandes deformaciones,
0
121
r
L
La orientación 121 es una “orientación final estable”de los cristales FCC deformados
a tracción sin restricciones. Las orientaciones de alta simetría <001>, <011> y <111>
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son orientaciones finales del eje de tracción, como puede fácilmente comprobarse, pero
inestables: cualquier pequeña desviación de la orientación ideal tiende a producir un
alejamiento progresivo del eje de tracción de dichas orientaciones durante el
alargamiento posterior.
001011
111(NPD)
hklDD)( 011
111 111
hkl
121
Figura 9. Proyección estereográfica de un cristal BCC deformado.
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