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PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOSVECTORIALES
1. Producto Tensorial.2. El Funtor Producto Tensorial.3. Propiedades del Producto Tensorial.4. lgebra Tensorial de un Espacio Vectorial.5. El Funtor lgebra Tensorial.
1. Producto Tensorial:
Consideremos los n espacios vectoriales V1, ..., Vn, sobre el cuerpo conmutativo K,y sea la categora cuyos objetos son los pares (f,T), donde T es un k-espaciovectorial y f:V1x...xVnTes una aplicacin multilineal, tales que si (f,T) es otroobjeto de la categora , entonces todo morfismo del conjunto ( ) ( )( )',',, TfTf esun homomorfismo g:TTtal que f=g.f.
Definicin 1:
Se denominaproducto Tensorialde los k-espacios vectoriales V1,...,Vn a un objetoinicial (f,T) de la categora . El espacio vectorial T se denomina tambinproductotensorial de V1,...,Vn, y se denota por
),...,(
1
... 11 nin VVTV
i
n
VVT =
=
==
Definicin equivalente a la anterior:
Un Producto Tensorial de los k-espacios vectoriales V1,...Vn, es un k-espacio vectorial T junto con unaaplicacin multilineal
);,...,( 1 TVVLf nn tal que para todo k-espacio vectorial T y toda
)';,...,(' 1 TVVLf nn , se cumple que)',( TTHomg nico tal que el
tringulo de la figura es conmutativo,es decir, f=g.f.
Proposicin 1:
Si (f, T) es un producto tensorial de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn, entonces
se verifica que TxVxVf n )...( 1 genera T.
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Demostracin:
Sea TA el subespacio de T engendrado por
)...( 1 nxVxVfy
( )AVVLf nn ;,...,' 1tal que e.f=f, donde
es TAe : la identidad sobre A. Por tanto, existe unnico ATg : tal que
'ffg =o
Premultiplicando por e resulta: ffefge == 'ooo .Considerando el segundo diagrama: existe un nicohomomorfismo (la identidad) i:TT tal que i.f=f. Perotambin es: e.g.f=f por lo que e.g=i lo que implica quee es sobreyectiva, por lo que A=T
Proposicin 2 (unicidad):
Si (f,T) y (f,T) son productos tensoriales de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn,existe un nico isomorfismo j:TT tal que 'ffj =o .Demostracin:
Puesto que ( ) ( )';,...,';,..., 11 TVVLfyTVVLf nnnn se tiene que existen homomorfismos j:TT y k:TT,nicos, tales que
'.'..
'...
'.
'.
ffjfkj
ffkfjk
ffk
ffj
==
==
=
=
Observando este segundo diagrama, se tiene queexiste un nico homomorfismo (la identidad) iT:TT
tal que i.f=f. Pero tambin hemos visto que:Tijkffjk == ...
Anlogamente obtendramos que Tikj =. . Y deambas, que j=k-1 es un isomorfismo.
Proposicin 3 (existencia):
Dados los k-espacios vectoriales V1, ..., Vn, existe su producto tensorial.
Demostracin:
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Consideremos el k-mdulo libre (i, F) sobre el conjunto nxVxV ...1 , que es,
evidentemente, un k-espacio vectorial. Y sea N el subespacio vectorial engendradopor los elementos del tipo siguiente:
( ) nininii xxxixxxixxxxi ,...,...,.,...,...,.,...,...,'
11
'
1 +
Y sea NFT /= con la proyeccin natural p:FT. Sea TxVxVipf n = ...:. 1 .Vamos a probar que (f, T) es un producto tensorial de V1, ..., Vn.
1) Veamos que f es multilineal:
[ ] [ ] [ ][ ] 0),...,,...,(),...,,...,(),...,,...,(
),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(
),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(
'
11
'
1
'
11
'
1
'
11
'
1
=+=
=+=
=+
nininii
nininii
nininii
xxxixxxixxxxip
xxxipxxxipxxxxip
xxxfxxxfxxxxf
Por tanto, es ),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,( '11'
1 nininii xxxfxxxfxxxxf +=+ y es faplicacin multilineal.
2) (f,T) es un producto tensorial:
Sea ( )EVVLg nn ;,...,1 . Como (i,F) es un k-mdulo libre, EFj : tal quegij =o
[ ][ ] [ ] [ ]
0),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(
),...,,...,(),...,,...,(.),...,,...,(
),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(
'
11
'
1
'
11
'
1
'
11
'
1
=+=
=+=
=+
nininii
nininii
nininii
xxxgxxxgxxxxg
xxxijxxxijxxxxij
xxxixxxixxxxij
Esto nos indica que )( jKerN , lo que implica que j induce un homomorfismoh:TEtal que jph =o , por lo que en el siguiente diagrama se verifica que:
gijiphfh === oooo
3) h es nico:
Sea k:TEcualquier homomorfismo de espacios vectoriales que satisfaga gfk =o .Como TxVxVf n )...( 1 genera a T, entonces, cualquier elemento de T puede
escribirse como combinacin lineal de elementos de )...( 1 nxVxVf :
=
= r
i
niii xxftTt1
1 ),...,(.,
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lo cual nos indica que
= =
====r
i
r
i
nini hkthxxgxxfktk1 1
11 )(),...,(.),...,(..)(
Por tanto, (f,T) es un producto tensorial de los espacios vectoriales V1,...,Vn.
Nota: Si (f,T) es el producto tensorial de V1, ...,Vn, como las aplicaciones multilinealesno son inyectivas ya que se tiene por ejemplo que
),...,(),...,(),...,(),...,( 1111 nnnn xxxxyxxfxxf =
nos indica que no podemos identificar V1,...,Vn con un subconjunto de iV
i
n
T
1=
=
La imagen por f del elemento nn xVxVxx ...),...,( 11 se denota por
nn xxxxf = ...),...,( 11
Como )...( 1 nxVxVf genera a T, Tt puede escribirse:
=
=r
i
niii xxt1
1 ,.... tal que jji Vx
expresin que no es nica. En particular si
nnnini IiuBIiuB n == ,,......,, 1111 1
son bases de V1,...,Vn respectivamente, un sistema de generadores de nVV ...1 sera:
jjnii IiuuB n = ,...11
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2. El Funtor Producto Tensorial:
Consideremos una familia de homomorfismos entre k-espacios vectoriales:
),...,1(: ' niVVf iii =
Se tiene, entonces, una aplicacin
)1(......: ''11 nni xVxVxVxVf
Consideremos la categora cuyos objetos son n-plas de k-espacios vectoriales ycuyos morfismos son aplicaciones del tipo (1) anterior. Sea tambin la categoracuyos objetos son los pares (f,A) donde A es un k-espacio vectorial y asimismo es
AxVxVf n ...: 1 una aplicacin multilineal entre k-espacios vectoriales, y tal que
si (f, A) es otro objeto de , todo morfismo del conjunto ( ) ( ){ }',',, AfAf es unhomomorfismo g:AA.
La operacin Producto Tensorial de n k-espacios vectoriales nos permite definir unafuncin T: integrada por dos funciones:
1) Funcin objeto:
A cada n-pla de la categora , V1,...,Vn , le hace corresponder su producto tensorial:
=
=i
n
in VfVVT
11 ,),...(
2) Funcin morfismo:
Si es ''11 ......: nni xVxVxVxVf , entonces );,...,(''
11 i
n
inni VVVLff
=o y esto implica
que'
11: i
n
ii
n
i VVh == nico tal que ifffh = oo ' . Definimos, a partir de esto:
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hfT i = )( , que denotamos de la forma nn ffffT = ...),...,( 11
Es inmediato que T es un funtor de la categora a la categora , :T ,puesto que si es
""'' ......: ninii xVxVxVxVg , entonces: ( ) )()(' iiii fTgThhfgT == ooo
El funtor T se denomina funtor producto tensorial. Si es V1=V2=...=Vn=V, sedenomina Funtor Producto Tensorial n-simo, y lo podemos indicar por Tn(V).
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3. Propiedades del Producto Tensorial:
Proposicin 4
Sean V1,...,Vn, E n+1 k-espacios vectoriales. Entonces:
1) ( )EVVLEVHom nnin
i;,...,, 1
1
=
2) [ ] ( )kVVLVV nnn ;,...,... 1*
1
Demostracin:
1) Sea in
in VxVxVf
11 ...:
= la aplicacin tensorial. Se tiene que:
( )EVVLgfhEVHomh nnin
i;,...,, 1
1=
=o
Queda as definida una aplicacin ( )EVVLEVHom nnin
i;,...,,: 1
1
= que se prueba
fcilmente es un homomorfismo. Puesto que por hiptesis:
( ) gfhEVhEVVLg in
inn =
=
o/:,;,...1
1
es claro que el homomorfismo es un isomorfismo, como se pretenda probar.
2) Es consecuencia de 1). Bastara hacer E=k.
Proposicin 5:
Sean V1,...,Vn k-espacios vectoriales. Entonces:
1) 111 VkVkV .2) Sea ( )( ) ;;,...,1 nVV un producto tensorial construido combinando
adecuadamente V1,...,Vn (en este rden), parntesis y el smbolo . Se tiene
que existe un isomorfismo:
( )( ) nn VVVV ...;;,...,: 11 llamado isomorfismo de asociatividad, tal que si ii Vx es:
( )( ) nn xxxx ...;;,...,: 11
3) Existe un nico isomorfismo, llamado isomorfismo de conmutatividad, talque
Demostracin:
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1) Sea la aplicacin bilineal 11: VxkVg tal que KdVxdxdxg = ,,),( 1 .En tales condiciones existe un nico homomorfismo h:
gfhVkVh = o/: 11 en el tringulo anejo.
Como = 1,)1,( Vxxxg g es suprayectiva esepimorfismo.
Para probar que ha es isomorfismo consideremos que 111 ,...,, VxxxkVt n y
tambien kn ,...,1 tales que
( ) ( ) ( )===
===n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii xxxt111
11
( ) ====
=
=
=
=
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii xxgxfhxhth
1111
1,1,1)(
Por tanto, === 000)( ttth h es monomorfismo 11 VkV
Un razonamiento anlogo prueba que 11 VVk
2) Aqu nos limitaremos a probar el caso de n=3, y tambin se cumple que
( )( ) ( ) 321321 ;;,, VVVVVV =
Se tiene:
- La aplicacin ( ) 321321: VVVxVxVVg , tal que( ) zyxzyxg =),,( es trivialmente multilineal.- La aplicacin, 321213 :, VVVxVVbVz z , tal que
zyxyxbz =),( es trivialmente multilineal. Esto implica que
existe un homomorfismo nico 32121: VVVVVbz
, tal que es
zyxyxbz =
)(
- La aplicacin ( ) 321321:' VVVxVVVg , definida por
( ) ( ) ==
)()(),(' iiiiiiiziii zyxcyxcbzyxcg
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es, por todo lo dicho, una aplicacin bilineal.
- Como consecuencia, existen h, h, homomorfismos nicos tales que
( ) zyxzyxgzyxfhzyxhgfh ==== )(),,(),,(..
( ) ( ) ( ) zyxzyxgzyxfhzyxhgfh ==== ),'),(''.)(''''. Veamos que h.h.f=f:( ) ),,()(')('.),,(.'. zyxfzyxzyxhzyxhhzyxfhh ====
- En el segundo diagrama existe un solo homomorfismo i (identidad)tal que i.f =f. Pues ihhffhh == '..'. . Anlogamente, siconsideramos ( ) 321 VVV en lugar de 321 VVV obtendramos
ihh ='. , y de ambas que h=h-1es un isomorfismo, como se pretendademostrar.
Para n>3 y combinaciones distintas a la no considerada aqu, la
demostracin es anloga, aunque obviamente ms laboriosa.
3) Es anlogo al caso anterior 2). Basta considerar el diagrama siguiente, endonde se verifica que
21 ,,),(',),( VyVxyxxygxyyxg ==
Proposicin 6:
Si los k-espacios vectoriales A y B son descomponibles en suma directa de espacios
BBAANM
== ,
Entonces se verifica que
BASBA =,
Demostracin:
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Sean los dos homomorfismos de inclusin BBjAAi :,: junto con su
producto tensorial: BABAji : . Por definicin, Ss es:
=F
xs
,
, donde MxNF es finito y BAx
Definamos el homomorfismo BASh : tomando:
( )
=F
xjish
,
)()(
Consideremos las proyecciones naturales: BBqAAp :,: junto con su
producto tensorial BABAqp : . La aplicacin
SBAk : tal que ( ) =
,
)()( baqpbak
es trivialmente un homomorfismo. Vamos a probar que h.kes el homomorfismoidentidad sobre AB. Sean ., BbAa Entonces:
( )[ ] ( ) ( )( )
( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) babqjapibqjapi
baqpjibaqphbakh
=
==
==
=
)(.)(.)(.)(.
)()(
,
,,
Como el conjunto { }ba genera khBA . es el homomorfismo identidad sobreBA . Para probar que k.h es el homomorfismo identidad sobre S, sean
BbAaNM ,,, arbitrariamente dados. Entonces:
[ ] ( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) babjqaip
bajiqpbajikbahk
=
=
===
)(.)(.
)()(,
Como { }ba genera S k.h es el isomorfismo identidad sobre S h,k son
isomorfismos y la proposicin queda probada.n
Corolario:
Sean B1,...,Bn bases de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn respectivamente.Entonces jjnii IiuuB n = ,...11 es una base de nVV ...1 .
Demostracin:
Por la anterior proposicin es inmediato que21 21 ii
uu es una base de 21 VV ya
que jjii IiuuVV ,21 2121 . Supngase el corolario cierto para n-1 y
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vamos a probarle para n. Hacemos nn VBVVA == ,... 11 . Por la proposicin
precedente, la familiann niini
uuu 11 ,11
... es una base BA . Si aplicamosahora el isomorfismo de asociatividad (proposicin 5) resulta inmediatamente que Bes una base de nVV ...1 .
Es inmediato que ( ) nn VVVV dim.....dim...dim 11 = .
En particular si es VVV n === ...1 y es { }ruuB ,...,1= una base de V, una base delproducto tensorial Tn(V) ser:
nrjnii VRiuu n ,,..., ,1
donde = nrn VRii ,1 ),...,( variaciones n-arias con repeticin de los elementos (1,..r)
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4. lgebra Tensorial de un Espacio Vectorial:
La suma directa )()(0
VTVT rr
== es obviamente un espacio vectorial N-graduado.
Vamos a probar en lo que sigue que, definiendo cierta operacin, T(V) es un lgebratensorial del k-espacio vectorial V.
Sea la categora cuyos objetos son pares (f, A) donde A es una k-algebraasociativa y unitaria y f es un homomorfismo de k-espacios vectoriales f:VA, y estal que si (f, A) es otro objeto de , todo morfismo g del conjunto{ })','(),,( AfAf es un homomorfismo de k-lgebras g:AA tal que g.f=f yg(1)=1.
Definicin 2:
Un lgebra tensorial del k-espacio vectorial V es un objeto inicial de la categora .La k-algebra asociativa y unitaria T se denomina tambin lgebra tensorial de V.
Definicin equivalente a la anterior:
Un lgebra tensorial del k-espacio vectorial Ves una k-algebra asociativa y unitariaT junto con un homomorfismo de k-espacios vectoriales TV : tal que paratoda k-algebra asociativa y unitaria T y todo homomorfismo de k-espaciosvectoriales ':' TV exista un solo homomorfismo de k-algebras g:TTy g(1T)=1T,y .' g=
Proposicin 7:
Si ),( T es un lgebra tensorial de V, entonces el conjunto { }1)( = VA engendraa T.
Demostracin:
Es anloga a la Proposicin 1. Basta considerar M sublgebra de T engendrada porA.
Proposicin 8 (unicidad):
Si ),( T y )','( T son dos lgebras tensoriales de V, existe un nico isomorfismo
de k-lgebras j:TT tal que '. =j
Demostracin:
Anloga a la Proposicin 2.
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Proposicin 9 (existencia):
Existe un lgebra tensorial del k-espacio vectorial V.
Demostracin:
La demostracin consiste en su construccin, que haremos sobre el k-espaciovectorial T(V).
- 1) Para que T(V) sea un k-lgebra asociativa y unitaria es precisodefinir en T(V) una nueva operacin o aplicacin T(V)xT(V)T(V) quesea bilineal, asociativa y unitaria. Aprovecharemos para ello elisomorfismo de asociatividad del producto tensorial (Proposicin 5).
Existe un nico isomorfismo )()()(: VTVxTVT srsr + tal que:
( ) ( )[ ] )(............ 1111 VTyyxxyyxxsr
srsr
+=
Este isomorfismo nos permite definir una aplicacin bilineal :
)()()(: VTVxTVT srsr +
tal que:
( ) ( ) ( )
sr
srsr
yyxx
yyxxyyxx
=
==
......
.........,...
11
1111
que es asociativa, pues:
( ) ( ) ( )
tsr
tsr
zzyyxx
zzyyxx
=
=
.........
.........
111
111
( ) ( ) ( )
tsr
tsr
zzyyxx
zzyyxx
=
=
.........
.........
111
111
Adems, trivialmente se verifica que ( ) rr xxxx =
...1... 11
Como )(VTx es: = rr xcx . tal que )(, VTxkc rrr , laaplicacin )()()( VTVxTVT que buscamos, denotada tambin por
, es:
( ) )(., VTxxccxcxc srsrssrr =
Conclusin:
+
,),(VT es un k-lgebra N-graduada asociativa
y unitaria.
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- 2) Sea )(: VTV tal que )()(')(, VTVTxxVx = . Vamos aprobar que el par ( ))(, VT es un lgebra tensorial de V. Sea (g, A)otro objeto de la categora y vamos a demostrar que existe un solohomomorfismo de k-lgebras AVTh )(: tal que 1)1( =h y que
gh =. :
a) Definimos h(1)=1.b) El homomorfismo de espacios vectoriales AVg : , puede
ampliarse hasta una aplicacin r-lineal AVg rr : , definidapor
( ) )()...(,..., 11 nnr xfxgxxg =
Puesto que ( ))(, VTf rr es un producto tensorial r-simo de V,lo que implica que existe un nico homomorfismo de
espacios vectoriales AVTh rr )(: tal que rrr gfh =. y, por
tanto, tal que:)()...(),...,(),...,(.)...( 1111 rrrrrrrr xgxgxxgxxfhxxh ===
c) Consideremos la aplicacin AVTh )(: tal que se cumpla
( ) )(.,)(.. VTxcxhcxch rrrrrrr =
se prueba trivialmente que est bien definida y que es unhomomorfismo de k-lgebras unitarias tal que 1)1( =h y que
gh =. .
- 3) Veamos que h as definido es nico. Si hubiese otro( )AVTHomk ),( tal que gkk == .,1)1( , debera ser:
( )===
===
)(...)()(...)(
)(...)()(...)(...
11
111
rr
rrr
xhxhxgxg
xkxkxkxkxxk
Como la familia { } ,,...1 Nrxx r es un sistema de generadoresde T(V), lo que implica que k=h, y por tanto es nico.
Queda as probado que ( ))(, VT es un lgebra tensorial de V.
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5. El Funtor lgebra Tensorial:
Sea la categora cuyos objetos son k-espacios vectoriales y cuyos morfismos sonhomomorfismos de k-espacios vectoriales. Sea la categora cuyos objetos sonpares (f,A) donde f:VA es un homomorfismo de k-espacios vectoriales, V un k-
espacio vectorial, y A un k-lgebra arbitrario y tal que si (f,A) es otro objeto de todo morfimo del conjunto ( ) ( ){ }',',, AfAf es un homomorfismo de k-lgebrasg:AA.
La operacin lgebra tensorial nos permite definir una funcin T: integrada pordos funciones:
1) Funcin objeto:
A cada objeto V de adjudica su lgebra tensorial ( ) )(, VT
2) Funcin morfismo:
Si ':,', VVfVV , entonces )'(:'. VTVf es un homomor-fismo de k-lgebras tal que .'. hf = Definimos:
( ) ( ){ }= )'(,',)(,)( VTVThfT
Es trivial comprobar que la funcin :T es un funtor.
En efecto, si g:VV, entonces:
( ) ( ){ }( ) ( ){ }=
==)(,,)(,)(
)"(,",)(,)().('.).(VTVTiiT
VTVTfTgThhfgT
dd
Esto implica que T es un funtor covariante, que se llama Funtor lgebra Tensorial.