Teorema de Chebyshev.Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ.Podemos argumentar lo mismo para una distribución discreta. En el histograma de probabilidad. El área se extiende mucho más que. Lo cual indica una distribución mas variable de mediciones o resultados el matemático ruso P. L. Chebyschev (1821–1894) descubrió que la fracción de área entre cualesquiera dos valores simétricos alrededor de la media esta relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad, o de un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre cualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre estos números.

El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabi8lidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones estándar de su media para cualquier numero real κ proporcionaremos la demostración solo para el caso continuo y se deja el caso discreto como ejercicio.

Teorema de Chebyshev: La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1 / κ2. Es decir

P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1–κ2.

1.- Una variable aleatoria X tiene una media µ = 8 una varianza σ 2 = 9, y distribución de probabilidad desconocida. Encuentre

a) P (−4 < X < 20).

b) P (| X - 8 | ≥ 6).

Solución

a) P (−4 < X < 20) = P[ 8 – (4) (3) < X < 8 + (4) (3) ] ≥ 15/14

b) P (| X - 8 | ≥ 6) = 1 – P (| X - 8 | < 6) = 1 – P (- 6 < X - 8 < 6) = 1 – P [8 – (2) (3) < X < 8 + (2) (3)] 8 < 6) ≤ ¼.’‘’