1
TEORIA DE CIRCUITS
Régimen Permanente Senoidal
Régimen permanente senoidal
• Fuente senoidal• Utilización de fasores• Impedancias• Circuito transformado• Circuitos trifásicos• Análisis frecuencial• Diagramas de Bode
2
Características temporales
• Inicialmente las señales pasan por unperíodo transitorio
• Pasado este período la señal seestabiliza y pasa a un estadoestacionario
time
voltage
XXX
0 10 20 30 40 50
ms
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
V v(c)
EstacionarioTransitorio
Estacionario
time
voltage
XXX
0 10 20 30 40 50
ms
0
2
4
6
8
10
V v(c)
EstacionarioTransitorio
Estacionario
time
voltage
XXX
0 10 20 30 40 50
ms
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
V v(c)
TransitorioEstacionario
3
Régimen permanente senoidal• Fuentes de tensión o de corriente variables
con el tiempo• Señales senoidales. Características:
Ao•cos(wt+ø)– Período de oscilación (T)– Frecuencia (f=1/T)– Frecuencia angular (ω =2π/T). w=ω Si
expresamos el coseno en radianes, w=360/T siexpresamos el coseno en grados
– Amplitud (Ao)– Amplitud eficaz (Aef=Ao√2)– Valor de pico a pico (2Ao)
Fuente oscilante
V(t)=A•sin(ωt)FORMATO SPICE
VX A B sin (<offset> <amplitud> <frecuencia>)
4
Ejemplo: Corriente alterna
Veff=220V f=50Hz => Ao=311.12V T=20msFORMATO SPICE
VX A B sin (0 311.12 50)
Características del RPS• Cualquier suma de senos y cosenos de la
misma frecuencia w puede expresarse dela forma Ao•cos(wt+ø)A1cos(wt+ø1)+A2cos(wt+ø2)+..+B1cos(wt+ß1)+B2cos(
wt+ß2)= =Ao•cos(wt+ø)• La respuesta de un circuito lineal a una
estimulación senoidal es otra funciónsenoidal
5
Representación fasorial deseñales senoidales
Señal senoidal definida pormódulo y fase
Ao•cos(ωt+ø)=>A∠ø ó Ao∠ø
Representación fasorial deseñales senoidales
Señal senoidal definida por móduloy fase
Ao•cos(ωt+ø)=>Representación polar:A∠øRepresentación cartesiana:
a+jb=A•cosø+jA•senø
6
Reglas de transformaciónAo•cos(ωt+ø)=> A∠ø
Ao=A√2 (A es el valor eficaz)A∠ø=Acos(ø)+jAsin(ø)
c+jd=(c2+d2)1/2∠arctan(d/c)
Suma de complejos
8
Ejemplo:
y1(t)=2.82cos(wt+0.1) => z1=2∠0.1y2(t)=1.414cos(wt+1) => z2= 1∠1
y(t)= y1(t)+ y2(t) = B cos (wt+ø)z1+z2 =2•cos(0.1)+cos(1)+j•( 2•sin(0.1)+sin(1) )z1+z2 =2.53+j•1.04=2.73∠0.39
2.82cos(wt+0.1)+1.414cos(wt+1)=3.86cos(wt+0.39)
Ejemplo: Fasor de fuente detensión
v(t)=Ao•sin(wt)=Ao•cos(wt-90)V=A∠-90˚
9
Análisis de circuitos en RPS:Utilización de Impedancias
Son el resultado de substituir el parámetro ‘s’ por jω
Análisis mediante fasores
• Se aplican los mismos métodos– Ley Ohm V=IZ– Leyes Kirchoff– Transformación fuentes– Superposición– Thevenin y Norton– ….
10
Resolución circuitos en RPS
Relación corriente-voltaje
Se cumple que:v(t)=Vo•cos(wt) => V<0
I=V/Z => V/|Z|<-øi(t)=Vo/|Z|•cos(wt-ø)
11
Corriente en una resistencia
v(t)=Vo•cos(wt)iR(t)=Vo/R•cos(wt)P(t)=v(t)iR(t)=Vo2/R•cos2(wt)P(t)=(1+cos(2wt))•Vo2/(2R)Pmed(t)=Vo2/(2R)=V•I
Diagrama fasorial
La Potencia media esP=IV=IoVo/2
La corriente está enfase respecto latensión
La potencia presentauna frecuencia de 2w
12
Corriente en una capacidad
v(t)=Vo•cos(wt)iC(t)=CwVo•cos(wt+90˚)
Diagrama fasorial
La Potencia media escero
La corriente estáavanzada respectola tensión
13
Corriente en una bobina
v(t)=Vo•cos(wt)iL(t)=Vo/(Lw)cos(wt-90˚)
Diagrama fasorial
La Potencia media escero
La corriente estáretrasada respectola tensión
14
Corriente en una impedancia
v(t)=Vo•cos(wt)i(t)=Vo/|Z|cos(wt-ø)
Diagrama fasorial
La corriente está retrasadat0=Tø/(2π) respecto latensión
La Potencia media esP=IVcosø=IoVo/2•cosø
A cosø se le llama factorde potencia
Si Z=R+jX entonces P=RI2
R es la parte resistiva de ZX es la parte reactiva de Z
15
Ejemplo: Circuito RLC serie
I=V/ZI=V/|Z|
Corriente máxima si!
I =V
R2
+ L" #1
C"
$
% &
'
( )
2
!
" =1
LC
Ejemplo: Circuito RLC serie
Ej. R=1Ω Lw=100Ω1/Cw=100ΩV=100<0
I=100<0VR=100<0VL=104
<90VC=104
<-90VC y VL desfasadas 180˚
16
Ejemplo: Circuito RLC paraleloI=V/Z=V/(R||ZL||ZC)
Corriente mínima si
(antirresonancia)
!
I =V1
R2
+ C" #1
L"
$
% &
'
( )
2
!
" =1
LC
Ejemplo: Circuito RLC paralelo
Ej. R=1Ω 1/(Lw)=100ΩCw=100 V=100<0
I=100<0IR=100<0IL=104
<-90IC=104
<90
17
Triángulo de potenciasV=IZZ=R+jXZ=|Z|<øI=|I|<øPotencia complejaVI*=P+jQ=SP=> Potencia ActivaQ=> Potencia ReactivaS=> Potencia Aparente
Diagrama fasorialP=> Potencia ActivaP=VI•cosø=RI2
cosø => Factor potenciaWatios
Q=> Potencia ReactivaQ=VI•senø=XI2
VAr
S=> Potencia Aparente|S|=IVVA
18
Factor de potenciaS=IV*=P+jQP=IVcosøSi cosø es bajo => Para
suministrar potencia auna determinada tensiónnecesitaremos corrientemás alta => más tensión=> más costos porpérdidas en líneas ydesgaste aislantes. Portanto, hay que mantenerel factor de potencia(cosø) lo más cercano a 1posible
Ejemplo: transmisión tensión
I=250/10<60˚=25<-60˚PL=RI2=2•252=1.25kWVg=ZLI+250<0˚=319<-3,3˚
cosø=0,5
19
Corrección del factor de potencia
Y=-32.8 => cosø=1ZC||jY=20ΩI=250<0˚/20<0˚=12.5<0˚APL=RI2=2•12.52=312,8WVg=ZLI+250<0˚=276<-5.2˚
cosø=1
Corrección del factor de potencia
I 25 12,5
PL 1250 312,5
Vg 319 276
22
Esquema de conexión
Circuito equilibrado: Impedancias iguales en cada líneaCircuito desequilibrado: Impedancias desiguales por lineaEl voltaje de cada conexión se denomina voltaje de faseEl voltaje existente entre linea y linea se denominavoltaje de línea
Circuito trifásico equilibrado Y-Y
VA+VB+VC=0 IA+IB+IC=0 => IN=0
23
Circuitotrifásico
equilibradoY-∆
IL=3VF/|Z|IL=IF√3VL=VF√3
Equivalentemonofásico del
circuito trifásicoequilibrado
Y-∆
24
Ejemplo
Calcular P,Q siV=240VZg=0.2+j0.1ΩZL=0.2+j0.1ΩZ=6+j3Ω
Ejemplo
Calcular P,QIL=V/(Zg+ZL+Z)IL=33.54<-26.56˚
P=RI2=21.6kWQ=XI2=10.8kVAr
25
Equivalentes monofásicos
Potencias Activa, Reactiva, Aparente
VAIA*=VAIAcos(øA)+jVAIAsen(øA)=PA+jQA
VBIB*=VBIBcos(øB)+jVBIBsen(øB)=PB+jQB
VCIC*=VCICcos(øC)+jVCICsen(øC)=PC+jQC
S=PA+PB+PC+j(QA+QB+QC)=P+jQ
Si la red es equilibradaVXIX*=VFIFcos(ø)+jVFIFsen(ø)=PF+jQF
S=3VFIF <ø
26
Respuesta en frecuencia• Función periódica es aquella que
cumple que x(t+T)=x(t) (fo=1/T)• Cualquier función periódica puede
expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo
Respuesta en frecuencia• Cualquier función periódica puede
expresarse como suma de funcionesseno y coseno de frecuencia f=n•fo
x(t)=∑n [ancos(nwt)+bnsin(nwt)]
27
F(t)=a0sin(wt)+b0cos(wt)+a1sin(2wt)+b1cos(2wt)+a3sin(3wt)+b3cos(3wt)+a4sin(4wt)+b4cos(4wt)+..
-1,27 0
0
0
00 0
-0,424
F(t)=-1,27sin(wt)-0,424sin(3wt)-0,254sin(5wt)-0,1819sin(7wt)-0,1414sin(9wt)-0,11sin(11wt) …
28
Transformada de Fourier
Frecuencia
an
Coeficientes bn=0
Función de transferenciaUn circuito lineal estará definido por unafunción de transferencia dependiente de lafrecuencia de la señal de entrada ω H(s=jω)
29
Función de transferencia
PROPIEDAD vIN H(jw) vOUT
Amplitud A |H(!)| A•|H(w)|Fase ø ß(!) ø+ßFrecuencia ! !
Ejemplo: Circuito RC
!
VOUT =VIN
" j1
C#
R " j1
C#
=VIN
1+ jRC#=V$ø
1
1+ R2C2# 2$"arctan RC#( )
vOUT (t) =Vo1
1+ R2C2# 2cos #t + ø " arctan RC#( )[ ]
30
Ejemplo: Circuito RC
!
H( j") =VOUT
VIN
= H#ß
=1
1+ R2C
2" 2#$arctan RC"( )
VOUT =VoH#ø+ ß
vOUT (t) =VoH cos wt + ø + ß[ ]
vOUT (t) =Vo1
1+ R2C
2" 2cos "t + ø $ arctan RC"( )[ ]
!
H( j") =1
1+ jRC"
Circuito RL
!
H( j") =VOUT
IIN= R + jL" = H
#ß= R
2 + L2" 2# arctan L" /R( )
VOUT = IoH#ø+ ß
vOUT (t) = IoH cos wt + ø + ß[ ]
vOUT (t) = Io R2 + L2" 2
cos "t + ø + arctan(L" /R)[ ]
31
Variación en frecuencia
• En función de la frecuencia deexcitación w:– Varían las impedancias capacitativas e
inductivas del circuito– Varia por tanto H(jw)
• Varia el módulo |H| y por tanto la amplitud dela señal de salida
• Varia la fase ø y por tanto la fase de laseñal de salida
Representación de H(jw)
• H(jw)=|H|<ß|H| representa la atenuación de la señalß representa el desfase de la salida
Representación completa con frecuencias:|H|(w)ß(w)
32
Representación de H(jw)
Octava: Multiplicación por dosDécada: Multiplicación por 10
Posibles funciones |H(jw)|
33
Ejemplo de aplicación
Circuito RC
!
H(s) =VOUT
VIN
=1
1+ sRC" H(s = j#) =
1
1+ j# /# p
# p =1
RC
H =1
1+# 2 #0
2 $ = %arctan # #
0( )
H(s) presenta un polo p=-1/RC. Definiemos la frecuencia depolo ωp como ωp=-p=1/RC
34
Circuito RC: Módulo
Aproximación de Bode: A partir del polo, la funcióndecae a razón de una década de |H| (ó 20 dB) por cadadécada de frecuenciaMayor divergencia: En el polo |H| decae a |H(0)|/√2(baja 3dB)
Circuito RC: Desfase
Aproximación de Bode: Inicialmente el desfase es cero(fase para w=0), a partir de una década anterior al polo0.1wp el desfase empieza a decrecer a razón de -45˙ pordécada. Una vez bajados 90˙ (una década posterior alpolo, 10wp la función se hace constante)
35
Filtropasa-bajos
!
T(s) =VOUT
VIN
=K
s+"
T(s = j#) =K
1+ j# /"
T =1
1+# 2 " 2
$ =%K & arctan # "( )
Ejercicio: Dibujar el Bode deun circuito RL
36
Representación de la funciónde transferencia
!
H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pn( )
Polos#" p1, " p2
, " p3,...," pn
Ceros#"z1, "z2, "z3
,...,"zn
POLO CERO
|H|A partir del Polo !p
-1 Década/década
A partir del cero !z
1 Década/década
Div.Función cae
|H(wp)|/!2
Función sube
|H(wz)|/!2
ßDesciende 90˙
durante dos décadas alrededor del polo
Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero
Representación de la funciónde transferencia
!
H(s) = Ks+"z1( ) s+"z2( ) s+"z3( )... s+"zn( )s+" p1( ) s+" p2( ) s+" p3( )... s+" pn( )
Polos#" p1, " p2
, " p3,...," pn
Ceros#"z1, "z2, "z3
,...,"zn
POLO CERO
|H|A partir del Polo !p
-20 dB/década
A partir del cero !z
+20 dB/década
Div. Función cae 3dB Función sube 3dB
ßDesciende 90˙
durante dos décadas alrededor del polo
Incrementa 90˙ durante dos décadas alrededor del cero
37
Circuito CR
!
V2
= V1
R
R+1
Cs
H (s) =R
R+1
Cs
=RCs
1+ RCs
H (s = j" ) =j"RC
1+ j"RC
Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RC
Circuito CR
!
H(s) =s
s+1
RC
"j#
j# +1
RC
Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RCPara ω=0 tenemos que |H|=1
38
Filtropasa-alta
!
T(s) =VOUT
VIN
= Ks
s+"
T(s = j#) = Kj#
1+ j# /"
T =#
1+# 2 " 2
$ =%K + 90 & arctan # "( )
Filtropasa-banda
39
Filtropasa-banda
!
H(s) =VOUT
VIN
= K" p1
s+" p1
s
s+" p2
K =R
1+ R
2
R1
" p1= RL L " p2
=1 RCC
Ancho de banda:BW=wp2-wp1
Factor calidadQ=f/BW
Top Related