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6 º B
á s i c o M
a t e m á t i c a
Texto delEstudiante
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PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
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Matemática
Básico6º
Texto del Estudiante
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Versión original
Mathematics Content Standards for
CaliforniaPublic Schools reproduced by permission,
California Department of Education,
CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207,
Sacramento, CA 95814
ISBN: 978-956-8155-20-9
Tercera reimpresión 2015
Impreso en Chile.
Se terminó de imprimir esta tercera
reimpresión de 245.000 ejemplares en el
mes de enero del año 2016.
Este método de enseñanza de la matemática ha sido diseñado yrealizado por autores profesores de varias universidades de los EstadosUnidos de América y adaptado al currículum nacional chileno porGalileo Libros Ltda.
Director del programa: Richard Askey, profesor emérito dematemáticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M.Maletsky, Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews,
Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, JennieM. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, DavidG. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, TyroneHoward, Lidya Song, Rebecca Valbuena.
El presente título forma parte del PROYECTO GALILEO para laenseñanza de la matemática.
Editoras
Yuvica Espinoza LagunasSilvia Alfaro SalasSara Cano Fernández
Redactores / Colaboradores
Silvia Alfaro Salas
Profesora de Matemática yComputación. Licenciada en
Matemática y Computación.Universidad de Santiago de Chile.
Yuvica Espinoza Lagunas
Profesora de Educación GeneralBásica.Pontificia Universidad Católicade Chile.
Marco Riquelme Alcaide
Profesor de Matemáticas delPrograma de Educación Continua
para el Magisterio. Universidadde Chile.
Victoria Ainardi Tamarín
Profesora de Matemáticas por laUniversidad de Concepción.
Vilma Aldunate Díaz
Profesora de Educación GeneralBásica.Universidad de Chile.
Pamela Falconi Salvatierra
Profesora de Educación GeneralBásica.Pontificia Universidad Católicade Chile.
Marcelo Andrés Gaete Varela
Profesor de Educación GeneralBásica mención Matemática.Instituto Providencia.
Postítulo Matemática. UMCE
Equipo Técnico
Coordinación:Claudio Silva Castro
Diseñadores:
Camila Rojas RodríguezCristhián Pérez Garrido
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6º
Matemática
Básico
Texto del Estudiante
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1CAPÍTULO
2CAPÍTULO
Teoría de los números .............................................................. 2 Muestra lo que sabes ........................................................................3
Lección 1-1 Factores y múltiplos .........................................................4
Lección 1-2 Números primos y compuestos ......................................8
Lección 1-3 Máximo común divisor ...................................................10
Lección 1-4 Mínimo común múltiplo .................................................12
Lección 1-5 Taller de resolución de problemas Destreza: identificar relaciones ....................................16
Práctica adicional .............................................................................18
Práctica con un juego .......................................................................19
Repaso / Prueba del Capítulo 1 ..................................................20
Enriquecimiento ................................................................................21
Aprendizaje en espiral ......................................................................22
Índice
Fracciones y números mixtos .......................................... 24
Muestra lo que sabes ..................................................................... 25
Lección 2-1 Fracciones equivalentes y fracciones en sumínima expresión ............................................................. 26
Lección 2-2 Fracciones y números mixtos ...................................... 30
Lección 2-3 Comparar y ordenar fracciones ynúmeros mixtos ................................................................ 32
Práctica adicional ............................................................................ 34
Práctica con un juego ...................................................................... 35
Repaso / Prueba del Capítulo 2 ................................................. 36
Enriquecimiento .............................................................................. 37
Aprendizaje en espiral ..................................................................... 38
UNIDAD
1
Números, conceptos de fraccionesy operaciones ............................................................................. XII
IV
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Fotografías comentadassobre un hecho de la vida
o de la sociedad al cual se
le aplica la matemática
Matemática en Contexto
Almanaque para
estudiantes
Contar votos . . . . 112
. . . . . . . 1
Escribe/Taller
Escribir paraexplicar . . . . . . . . . 15
Lee/Taller
Atracción atracción . . . . . . . . . 49
ENRIQUECE TU
VOCABULARIO
Números racionales
http://www.ditutor.com/
numeros_racionales/operacionesracionales.html
E nlac e
WEB
Adición y sustracción de fracciones ................................40
Muestra lo que sabes....................................................................... 41
Lección 3-1 Adición y sustracción de fracciones ............................ 42
Lección 3-2 Adición y sustracción de números mixtos .................. 46
Lección 3-3 Manos a la obra Representar sustracciones de números mixtos ........................................................50
Lección 3-4 Algoritmo de la sustracción de números mixtos ........ 52
Lección 3-5 Taller de resolución de problemas
Estrategia: hacer un diagrama ......................................54
Lección 3-6 Practicar adiciones y sustracciones de fracciones .......................................................................58
Práctica adicional .............................................................................62
Práctica con un juego .......................................................................63
Repaso / Prueba del Capítulo 3 ..................................................64
Enriquecimiento ................................................................................65
Aprendizaje en espiral ......................................................................66
3CAPÍTULO
4CAPÍTULO
Multiplicar decimales ..............................................................68 Muestra lo que sabes....................................................................... 69
Lección 4-1 Manos a la obra Representar la multiplicación de números decimales por números naturales ............ 70
Lección 4-2 Álgebra Patrones en factores y productosdecimales ........................................................................72
Práctica adicional .............................................................................74
Práctica con un juego .......................................................................75
Repaso / Prueba del Capítulo 4 ..................................................76
Enriquecimiento ................................................................................77
Aprendizaje en espiral ......................................................................78
V
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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6CAPÍTULO
Razones y porcentajes ......................................................... 94
Muestra lo que sabes......................................................................95
Lección 6-1 Razones ..........................................................................96
Lección 6-2 Porcentajes ....................................................................98
Lección 6-3 Manos a la obra Resolver problemas usando la calculadora .................................................100
Lección 6-4 Taller de resolución de problemas Estrategia: información relevante e irrelevante .......102
Práctica adicional ......................................................................... 106
Repaso / Prueba del Capítulo 6 .............................................. 108
Enriquecimiento ........................................................................... 109
Repaso / Prueba de la unidad .......................................................110
Dividir decimales .......................................................................80
Muestra lo que sabes....................................................................... 81
Lección 5-1 Manos a la obra Dividir decimales pornúmeros naturales con material concreto ................... 82
Lección 5-2 Dividir decimales por números naturales deun dígito y múltiplos de 10 ............................................. 84
Práctica adicional .............................................................................88
Práctica con un juego ....................................................................... 89
Repaso / Prueba del Capítulo 5 ..................................................90
Enriquecimiento ................................................................................91
Aprendizaje en espiral ...................................................................... 92
5
CAPÍTULO
VI
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7APÍTULO
Fotografías comentadassobre un hecho de la vida
o de la sociedad al cual se
le aplica la matemática
Matemática en Contexto
ENRIQUECE TUVOCABULARIO
Almanaque para
estudiantes
La velocidaddel sonido . . . . . . 166
Escribe/Taller
Escribir unproblema . . . . . . . 125
Multiplicar y dividir decimales
http://www.salonhogar.net/
Salones/Matematicas/4-6/Mult_
div_decim/Indice.htm
http://www.sectormatematica.
cl/basica/santillana/operaciones_
con_decimales.pdf
http://odas.educarchile.cl/objetos
digitales/odas_matematicas/16_
calculando_porcentajes/
LearningObject/index.html
www.profesorenlinea.cl/
matematica/Ecuaciones_Ayuda.
html
www.problemasdematematica.
com/contenidos/Ecuaciones.htm
Expresiones algebraicas 116 Muestra lo que sabes ................................................................................. 117
Lección 7-1 Escribir expresiones algebraicas ................................... 118
Lección 7-2 Evaluar expresiones algebraicas .................................... 122
Lección 7-3 Taller de resolución de problemas Destreza: ordenar en secuencia y
priorizar información .............................................................. 126
Lección 7-4 Tablas y patrones ..................................................................... 128
Práctica adicional ...........................................................................130
Práctica con un juego .....................................................................131
Repaso / Prueba del Capítulo 7 ................................................132
Enriquecimiento ..............................................................................133
Aprendizaje en espiral ...................................................................134
E nlac e
WEB
8CAPÍTULO
Ecuaciones con adiciones 136 Muestra lo que sabes ................................................................................... 137
Lección 8-1 Ecuaciones ................................................................................... 138
Lección 8-2 Manos a la obra Representar ecuaciones con adiciones .............................................................................. 140
Lección 8-3 Resolver ecuaciones con adición ................................... 142
Lección 8-4 Taller de resolución de problemas
Estrategia: escribir una ecuación ................................... 144
Práctica adicional ...........................................................................148
Práctica con un juego .....................................................................149
Repaso / Prueba del Capítulo 8 ................................................150
Enriquecimiento ..............................................................................151
Aprendizaje en espiral ....................................................................152
9
APÍTULO
Ecuaciones con sustracciones .......................................154 Muestra lo que sabes..................................................................... 155
Lección 9-1 Manos a la obra Representar ecuacionescon sustracción .............................................................. 156
Lección 9-2 Resolver ecuaciones con sustracción ....................... 158
Práctica adicional ........................................................................... 160
Práctica con un juego ..................................................................... 161
Repaso / Prueba del Capítulo 9 ................................................ 162
Enriquecimiento .............................................................................. 163
Repaso / Prueba de la unidad ....................................................... 164
. . . . . 115
Álgebra: expresiones y ecuaciones .............. 114
VI
UNIDAD
2
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12CAPÍTULO
Geometría en movimiento ............................................... 210 Muestra lo que sabes...................................................................211
Lección 12-1 Teselados ..................................................................212
Lección 12-2 Patrones geométricos ..............................................216
Práctica adicional .........................................................................218
Práctica con un juego ................................................................... 219
Repaso / Prueba del Capítulo 12 ............................................220
Enriquecimiento ...........................................................................221
Aprendizaje en espiral .................................................................. 222
11CAPÍTULO
Figuras planas ......................................................................... 192 Muestra lo que sabes..................................................................... 193
Lección 11-1 Triángulos .................................................................... 194
Lección 11-2 Trazar triángulos ......................................................... 196
Lección 11-3 Taller de resolución de problemas
Estrategia: buscar un patrón ..................................... 200Práctica adicional ...........................................................................204
Práctica con un juego .....................................................................205
Repaso / Prueba del Capítulo 10 ..............................................206
Enriquecimiento ..............................................................................207
Aprendizaje en espiral ....................................................................208
Relaciones entre ángulos ...................................................170
Muestra lo que sabes......................................................................171Lección 10-1 Tipos de ángulos .........................................................172
Lección 10-2 Medir y trazar ángulos.................................................176
Lección 10-3 Ángulos complementarios..........................................182
Lección 10-4 Taller de resolución de problemas Estrategia: Hacer un diagrama ..................................184
Práctica adicional ........................................................................... 186
Práctica con un juego ..................................................................... 187
Repaso / Prueba del Capítulo 11 .............................................. 188
Enriquecimiento .............................................................................. 189
Aprendizaje en espiral .................................................................... 190
10
CAPÍTULO
UNIDAD
3 Geometría - Medición ........................................................ 168
VIII
Fotografías comentadas
sobre un hecho de la vida
o de la sociedad al cual se
le aplica la matemática
Matemática en Contexto
Almanaque para
estudiantes
Castillos de arena . 244
ENRIQUECE TU
VOCABULARIO
Medir y trazar ángulos
www.vitutor.com/di/m/b_3.html
http://www.educarchile.cl/ech/
pro/app/detalle?id=180274
https://www.thatquiz.
org/es/previewtest?E/E/
E/S/10551331546490
Diagrama de tallo y hoja
http://www.sangakoo.com/es/
temas/diagramas-en-arbol
Teselados
http://www.
disfrutalasmatematicas.com/
geometria/teselaciones.html
Lee/Taller
En la esquina . . . . 181
nlac e
WEB
. . . . . 169
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Probabilidades
www.profesoresenlinea.cl/
matematica/probabilidades.htm
15CAPÍTULO
Probabilidad de sucesos ................................................... 268 Muestra lo que sabes.....................................................................269
Lección 15-1 Probabilidades de ocurrencia de eventos................ 270
Lección 15-2 Probabilidades y resultados posibles ...................... 272
Práctica adicional ...........................................................................276
Práctica con un juego .....................................................................277
Repaso / Prueba del Capítulo 15 ..............................................278
Enriquecimiento ..............................................................................279
Repaso / Prueba de la unidad ...................................................280
Fotografías comentadas
sobre un hecho de la vida
o de la sociedad al cual se
le aplica la matemática
Matemática en Contexto
Almanaque paraestudiantes
Juegos de mesa . . 282
ENRIQUECE TUVOCABULARIO
Escribe/Taller
Escribir para demostrao contradecir . . . . 275
Escribe/Taller
Escribirpreguntas . . . . . . 257
14CAPÍTULO
Hacer gráficos de datos ....................................................248 Muestra lo que sabes................................................................... 249
Lección 14-1 Gráficos de barras .....................................................250
Lección 14-2 Diagramas de puntos ................................................252
Lección 14-3 Gráficos circulares ....................................................254
Lección 14-4 Taller de resolución de problemas Destreza: usar un gráfico ..........................................258
Lección 14-5 Diagramas de tallo y hojas .......................................260
Práctica adicional ......................................................................... 262
Práctica con un juego ................................................................... 263
Repaso / Prueba del Capítulo 14 ............................................ 264
Enriquecimiento ............................................................................ 265
Aprendizaje en espiral ............................................................. 266
E nlac e
WEB
13CAPÍTULO
Figuras bidimensionales
y tridimensionales ................................................................ 224 Muestra lo que sabes....................................................................225
Lección 13-1 Área Total ...................................................................226
Lección 13-2 Volumen de paralelepípedos .................................... 230
Lección 13-3 Taller de resolución de problemas Estrategia: hacer una representación ..................... 234
Práctica adicional ..........................................................................238
Práctica con un juego ....................................................................239
Repaso / Prueba del Capítulo 13 .............................................240
Enriquecimiento .............................................................................241
Repaso / Prueba de la unidad ..................................................242
. . . . . 247
Glosario ..........................................................................................................................284
Índice temático ..........................................................................................................287
Solucionario .................................................................................................................289
Bibliografía ...................................................................................................................298
UNIDAD
4Datos y probabilidades .................................................. 246
IX
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Temperaturas máximas y mínimas promedio
de Antofagasta
Temperatura mínima
Temperatura máxima
Las Matemáticas son una ciencia que utiliza un lenguaje formal que nospermite representar la realidad a través de símbolos, palabras y números.
Este año, aprenderás maneras de comunicarte en términos matemáticos amedida que comentas, lees y escribes acerca de lo que estás aprendiendo.
En la gráfica lineal doble, se muestran las temperaturas máximas y mínimasmensuales de Antofagasta, ciudad que se encuentra en el norte de nuestropaís.
Comenta acerca del gráfico lineal doble.
1. ¿Qué te dicen las palabras del título promedio, máximas y mínimas acercade los datos?
2. ¿Por qué el gráfico tiene una leyenda en la parte superior?
3. ¿Qué puedes inferir si observas la tendencia de las líneas del gráfico?
Adaptado de Servicio Metereológico de Chile.
X
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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4. ¿En qué mes se registra la temperatura máxima más baja?
5. ¿En qué meses se registran las temperaturas máximas más altas?
6. ¿Cuál es el mes en que se da la temperatura mínima más baja y cuáles el mes en que se da la temperatura mínima más alta?
Inventa y escribe un problema en que tengas que usar un gráficolineal doble.
Este año, escribirás muchos enunciados de problemas. Cuando veas lafrase Plantea un problema, debes volver a leer el problema planteadoen esa página y usarlo para escribir tu propio problema.
En el problema que escribes, puedes
cambiar los números o parte de la información.
cambiar la información conocida o desconocida.
escribir un problema abierto que tenga más de unarespuesta correcta.
Plantea un problema Elige una de las tres maneras de escribir unproblema nuevo. Usa la información del gráfico lineal doble.
X
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Números, conceptosde fracciones y operaciones
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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1CAPÍTULO 11
42
63
84 105
126
2
1
3
1
Fracciones equivalentes
¿Qué sabes acerca de fracciones equivalentes?¿Qué experiencia te ayudó a aprender acerca
de las fracciones equivalentes?
¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografíasde Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes usar fraccionescuando cocinas?
REPASO DEL VOCABULARIO Cuando trabajaste confracciones, aprendiste los conceptos que aparecen acontinuación.
fracciones equivalentes Fracciones que, aún cuando se
escriben de forma diferente, representan la misma parte conrespecto del todo. Ejemplo: 1/2 y 2/4.
número mixto Un número representado por un número enteroy una fracción.
Completa con fracciones equivalentes a la fracción que está alcentro del círculo como se muestra abajo.
p Si medimos cuidadosamente losingredientes con la ayuda de fracciones
y números mixtos obtenemos lascantidades exactas para la elaboraciónde recetas de cocina.
p Los números son necesarios para
obtener las cantidades exactas. Sin
esta medición los platos tendrían
sabores diferentes.
p Después los platos cocinados se pre-
sentan de diversas formas, asemeján-
dose a figuras geométricas.
Matemáticaen Contexto
Ejemplo
1UNIDAD 1
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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2
Teoría de los númerosLa idea importante El estudio de la teoría de los números ayuda, entre otras cosas, a
comprender el concepto de factores y múltiplos.
A partir de la información del gráfico,responde:
¿Cuál es la diferencia entre la mayorenergía generada por el sistema y lamenor cantidad de energía? ¿Cuál esla energía que más se ocupaba en elaño 2008?
Adaptado de: http://antiguo.minenergia.cl
En Chile se han realizado
estudios para identificar
zonas en nuestro país
que por sus características
naturales podrían tener
ventajas para la construcción
de proyectos de energía
eólica (generada por el
viento). Entre ellas se
encuentran algunas zonas
costeras de las regiones de
Atacama, Coquimbo y Maule.
Información adaptada de:http://antiguo.minenergia.cl
2
Generación eléctrica por sistema: 2008
DATO BREVE
Tipos de energía
E ó l i c
a
P e q
u e ñ
a
B i o
m a s a
G a s
n a t u
r a l
P e t r ó l e
o
C a r b ó n
H i d
r o e m b
a l s e
H i d
r o p o s a d a
( s i n e m b
a l s e )
P e q
u e ñ
a h i d
r o
40
35
30
25
20
15
10
5 C a n t i d a d d e e n e r g í a
g e n e r a d a p o r s i s t e m a ( e n % )
x
y
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3CAPÍTULO 11
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitanpara el aprendizaje del capítulo 1.
Comparar y ordenar números naturales hasta 100 000
Escribe <, > o = según corresponda en cada uno de los círculos grises.
1. 11 000 11 050 2. 21 034 22 345 3. 45 687 45 238
4. 14 329 14 329 5. 60 806 68 600 6. 12 000 1 200
Ordena los números de mayor a menor.
7. 47 899; 48 799; 48 797 8. 40 133; 43 100; 14 330
9. 78 311; 78 300; 78 310 10. 94 586; 92 801; 99 934
Representar multiplicacionesEn tu cuaderno, representa en una cuadrícula los factores de cada multiplicación y su
producto.
11. 4 por 3
12. 2 por 6
13. 5 por 5
14. 9 por 1
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
número compuestofactormáximo común divisor (m.c.d.)fracción simplificada a su mínima
expresiónmínimo común múltiplo (m.c.m.)múltiplonúmero primodescomposición en factores primos
PREPARACIÓN
múltiplo Nombre que se le da al producto de dichonúmero por otro número cualquiera.
factor Nombre que se le da a los términos que semultiplican para obtener un producto.
factor primo Un número mayor que 1 que tiene comoúnicos factores el 1 y sí mismo.
matriz Nombre que se le da a un arreglo bidimensional deelementos (números) dispuestos en filas y columnas.
3CAPÍTULO 1
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4
Muchos números se pueden separar en factores de diferentes maneras.
Una matriz es un conjunto o grupo de objetos dispuestos en forma
rectangular, formando filas y columnas.
16 1 • 16 16 4 • 4 16 2 • 8
El 1 representa el número de filas, y el 16, el número de columnas.
factor factor
Actividad Materiales ■ fichas cuadradas ■ papel cuadriculado
Haz matrices para mostrar todos los factores de 24.
• Usa las 24 fichas para hacer unamatriz. Dibújala en tu cuaderno.Escribe los factores que muestra la
matriz.
12
2
2 • 12 24 Factores: 2, 12
• Haz tantas matrices diferentescomo puedas con 24 fichas.Dibújalas en tu cuadernoy escribe los factores quemuestran.
8
3
3 • 8 24 Factores: 3, 8
6
4
4 • 6 24 Factores: 4, 6
24
1
Por lo tanto, los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
• ¿Puedes ordenar las fichas de cada matriz de otra manera y mostrar losmismos factores? Explica.
1 • 24 24 Factores: 1, 24
El 2representael número
de filas.
El 12 representa el número de columnas.
L E C C
I Ó N
Factores y múltiplosOBJETIVO: comprender los factores y los múltiplos.
Aprende
1. 8 42. 6 73. 2 94. 5 55. 3 10
Un factor es un número que se multiplica por otro número para hallar un producto. Cada número naturalmayor que 1 tiene por lo menos dos factores, ese número y 1.
18 1 • 18 7 7 • 1 342 1 • 342
No olvides anotar el1 y el número mismocomo factores.
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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5CAPÍTULO 1
Hallar múltiplosEl múltiplo de un número es el producto de dicho número por otro númerocualquiera mayor que cero.Para hallar los múltiplos de cualquier número, se multiplica dicho número porotro número natural cualquiera (1, 2, 3..) diferentes de cero.
PROBLEMA Raquel tiene una pulsera de recuerdos nueva con 20 eslabones.
Pon un recuerdo en cada eslabón que sea un múltiplo de 3. ¿Qué eslabonestienen recuerdos?
Utiliza las fichas bicolor para representar.
Por lo tanto, los eslabones 3o, 6o, 9o 12o, 15o y 18o tienen recuerdos.
• ¿Qué pasaría si la pulsera tuviera 27 eslabones? ¿Qué otroseslabones tendrían recuerdos?
Multiplica y haz una lista.
Halla los primeros seis múltiplos de 4.
1 • 4 4 2 • 4 8 3 • 4 12 4 • 4 16 5 • 4 20 6 • 4 24
Por lo tanto, los primeros seis múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20 y 24.
• Explica cómo sabes que 30 es un múltiplo de 5.
• ¿Puede un número que es un múltiplo de 3 tener 5 como un factor? Explica.
1. Usa las matrices para encontrar los factores de 12.
• 12 • 12 • 12
Completa: los factores de 12 son 1,, 3, , 6 y
3 6 9 12 15 18
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Los números de las fichas rojas son todos múltiplos de 3.
Práctica con supervisión
Idea matemáticaUn múltiplo de un
número es cualquierproducto que contenga
ese número como unfactor. El número de
múltiplos que tiene unnúmero
es infinito.
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6
Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.
2. 20 3. 5 4. 49 5. 28 6. 25
Haz una lista de los primeros diez múltiplos de cada número.
7. 6 8. 2 9. 11 10. 4 11. 8
12. Explica En el contexto de múltiplos y factores, ¿qué relaciónexiste entre los números 3 y 12?
Resuelve los siguientes problemas.
47. ¿Qué múltiplos de 4 no son factores de 48?
48. ¿Qué factores de 48 son también múltiplos de 4?
49. Clara pagó $40 por dos recuerdos. El precio de cada recuerdo era un múltiplo de $ 4.
¿Cuáles son los precios posibles de los recuerdos?
50. ¿Cuál es la pregunta si en el contexto de los factores y múltiplos,
la respuesta es 1, 2, 3, 6, 9 y 18?
Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.
13. 30 14. 42 15. 9 16. 50 17. 33
18. 64 19. 21 20. 75 21. 18 22. 17
Haz una lista de los primeros diez múltiplos de cada número.
23. 9 24. 1 25. 7 26. 10 27. 12
28. 3 29. 8 30. 5 31. 2 32. 6
¿Es 6 un factor de cada número? Escribe sí o no.
33. 6 34. 16 35. 48 36. 24 37. 18
¿Es 36 un múltiplo de cada número? Escribe sí o no.
38. 8 39. 9 40. 18 41. 36 42. 5
Halla el múltiplo que falta respetando el orden de la secuencia.
43. 4, 8, , 16 44. 7, 14, 21, 45. 5, , 15, 20 46. 9, 18, 27,
Práctica independiente y resolución de problemas
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7CAPÍTULO 1
Comprensión de los aprendizajes
2 3 4 5 1 7
8 9 10 11 12 13 14
16 17 18 19 20 15 21
22 23 24 25 27 2826
29 30 31
6
51. e ro ten a o tas. er . u ntas equedaron?
52. Eva tiene 93 figuras de acción. ¿Cuántosestantes necesitará si pone 3 figuras de acción
en cada estante?
53. Una matriz tiene 4 filas y 3 columnas en cadafila. ¿Cuántas fichas hay en total?
54. u m tp o e es tam n un actor e
55. Ana está ordenando 9 fotografías en hilerasiguales. ¿De qué maneras puede ordenar lasfotografías?
A hileras de 1, 3 o 6
B hileras de 1, 2 o 9
C hileras de 1, 3 o 9
D hileras de 3, 6 o 9
RAZONAMIENTO LÓGICO A partir del 1o de diciembre, un camiónde helados visita la calle de Sara cada 3 días y la calle de Emacada 5 días. ¿Cuáles son los primeros 2 días que el camión visitaambas calles el mismo día?
Los días que el camión de helados visita ambas calles son múltiploscomunes de 3 y 5.
Un múltiplo común es un múltiplo de dos o más números. Puedesusar una recta numérica para hallar los múltiplos comunes.
Ejemplo Usa una recta numérica.
Primero haz una lista de seis múltiplos de cada uno. Halla los múltiplos comunes.
1. 2 y 4 2. 9 y 12 3. 4 y 8 4. 3 y 5
5. 3 y 6 6. 2 y 5 7. 3 y 9 8. 5 y 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Por lo tanto, los primeros 2 días que el camión visita ambas calles son el 15 y 30 de diciembre.
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8
Aprende
Números primos y compuestosOBJETIVO: Identificar números primos y compuestos.
PROBLEMA En una carrera de bicicletas de 40 kilómetros hay una estaciónde bebidas en cada señal que indica cuatro kilómetros de recorrido y unaestación de refrigerios en cada señal que indica seis kilómetros de recorrido.¿En qué señales habrá una estación de bebidas y una de refrigerios?
Puedes hallar los múltiplos comunes de 4 y 6 para resolver el problema. Losmúltiplos comunes son múltiplos de dos o más números.
Ejemplo 1 Halla los múltiplos comunes de 4 y 6 que son menores queo iguales a 40.
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36.
Los múltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24 y 36.
Entonces, habrá una estación de bebidas y una de refrigerios en las señales de12, 24 y 36 kilómetros.
• Explica los patrones que observas en los múltiplos de 4 y 6.
1. 7 · 4 2. 8 · 33. 9 · 6 4. 5 · 45. 12 · 5
Los factores comunes son factores de dos o más números.
Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
1
El número 1 tiene un solofactor, que es 1, entonces no esun número primo ni un númerocompuesto.
Entonces, los factores comunes de 24 y 32 son 1, 2, 4 y 8.
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene como únicosfactores el 1 y sí mismo. Un número compuesto es un número natural mayorque 1 que tiene dos o más factores distintos de uno.
Ejemplo 2 Halla los factores comunes de 24 y 32.
Ejemplo 3 Halla los factores de cada número. Indica si el número es primo,compuesto o ninguno de los dos.
12
Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12El número 12 es compuesto.
29
Factores de 29: 1, 29El número 29 es primo.
Vocabulario
múltiplo número primofactor número compuesto
L E C C
I Ó N
Los números 0 y 1no son primos nicompuestos.
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9CAPÍTULO 1
Comprensión de los aprendizajes
1. Haz una lista con los múltiplos de 6 y 9 menores que 60.Luego, enumera los múltiplos comunes de 6 y 9.
Escribe los tres primeros múltiplos comunes.
2. 8 y 12 3. 4 y 5 4. 5 y 12 5. 2, 4 y 12 6. 3, 4 y 8
Escribe los factores comunes.
7. 12 y 2 8. 6 y 7 9. 36 y 40 10. 6, 12 y 24 11. 3, 5 y 15
12. Explica ¿Por qué el número 2 es el único número primo par? Explica.
Escribe los tres primeros múltiplos comunes.
13. 4 y 9 14. 10 y 14 15. 8 y 18 16. 3, 8 y 16 17. 2, 4 y 7Escribe los factores comunes.
18. 25 y 70 19. 15 y 30 20. 50 y 70 21. 32 y 45 22. 24 y 42
23. 4, 6 y 16 24. 18, 45 y 72 25. 8, 30 y 46 26. 7, 18 y 21 27. 4, 28 y 36
Indica si el número es primo, compuesto o ninguno de los dos.
28. 98 29. 61 30. 0 31. 37 32. 82 33. 1
Halla el factor desconocido.
34. 75 · 15 35. 110 5 · · 11 36. 42 2 · · 7 37. 48 · 3 · 4
38. En la clase del profesor Gómez hay 12 niños y18 niñas. El profesor dividirá al curso en gruposde manera tal que todos los grupos tengan lamisma cantidad de niños y la misma cantidad deniñas. ¿Cuáles son los grupos posibles?
39. ¿Qué número es menor que 30 y tieneexactamente ocho factores?
40. Razonamiento ¿Será primo o compuesto elproducto de dos números primos? Explica.
41. Escribe 65 como el producto de dos númerosprimos.
42. El producto de 9 y 6 es 54. Explicacómo hallar el múltiplo de 3 que da como resultadoun producto de 54 cuando se multiplica por 3.
43. Expresa el número 0,03 en fracción.
44. Si a = 1,05; b = 2 y c = 2,57, ¿cuál es el valora + b + c ?
45. Escribe el número que falta para que se cumplala relación 3,57 > _____ > 3,55
46. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplocomún de 6 y 8?
A 18
B 24
C 40
D 42
Práctica adicional en la página 18, Grupo A
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
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10
Aprende
Máximo común divisorOBJETIVO: hallar el máximo común divisor de dos o más números yusarlo para resolver problemas.
Escribe todos los factores.
1. 17 2. 273. 20 4. 745. 33
Vocabulariomáximo común divisor (m.c.d.)
descomposición en factores primos
diagrama de escalera
Factores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36Factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Piensa: Los factores o divisorescomunes son 1, 2, 3, 6. Por lotanto, el m.c.d de 36 y 42 es 6.
La descomposición en factores primos de un número se obtiene cuando unnúmero está expresado como el producto de sus factores primos. Por ejemplo,sabemos que 12 4 · 3. Si usamos solo números primos, sería 12 2 · 2 · 3.Entonces, la descomposición en factores primos de 12 es 2 · 2 · 3.
Puedes usar la descomposición en factores primos o un diagrama escalera parahallar el m.c.d. de dos o más números.
Usa la descomposición en factores Usa un diagrama de escalera parahallar el m.c.d. de 12, 18 y 48.
Entonces, la mayor cantidad de petunias que pueden plantar en cadahilera es 6.
primos para hallar el m.c.d. de8, 12 y 20.
8 2 · 2 · 212 2 · 2 · 320 2 · 2 · 5
2 · 2 4
Usa solamente números primos.Escribe la descomposición enfactores primos de cada número.
Determina los factores primoscomúnes y halla el producto.
2 12 18 48 3 6 9 24 2 3 8
2 · 3 6
Divide cada número entre un
factor común de los números.Continúa dividiendo hasta quelos números no tengan factorescomunes.
Halla el producto de los divisores.
Entonces, el m.c.d. de 8, 12 y 20 es 4. Entonces, el m.c.d. de 12, 18 y 48 es 6.
• Sebastián usó un diagrama de escalera para hallar el m.c.d. de 36 y 48. Dividió entre 3 y luego entre 4.¿Cambiaría el m.c.d. si eligiera dos factores comunes diferentes? Explica tu respuesta y da un ejemplo.
L E C C
I Ó N
Cuando se enumeran losfactores de un número,ninguno de los factorespuede ser mayor que elnúmero mismo.
PROBLEMA En un jardín rectangular, Patricia y su mamá quieren plantar
36 petunias rojas y 42 petunias blancas en hileras iguales. Si plantan petuniasdel mismo color en una hilera, ¿cuál es la mayor cantidad de petunias quepueden plantar en cada hilera?
¿Cómo podrías encontrar los factores de 36 y 42 para hallar el máximo factorcomún entre ambos números? Explica.
El máximo común divisor (m.c.d.), es el mayor número o factor que divideexactamente a todos y cada uno de los números.
Los factores de un número dividen de forma exacta a dicho número. Ejemplo:
2 x 3 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2
Por lo tanto, todo factor de un número es a la vez divisor de dicho número.
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11CAPÍTULO 1
1. Completa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.d. de 12 y 28.
Factores de 12: 2 · · 3 Factores de 28: 2 · 2 · m.c.d.: 2 · =
Halla el Máximo Común Divisor (m.c.d.) entre los siguientes grupos de números.
2. 18, 24 3. 50, 75 4. 45, 81 5. 6, 9, 18 6. 6, 10, 12
7. Explica la descomposición en factores primos para hallar el m.c.d. entre 8 y 52.
Halla el Máximo Común Divisor (m.c.d.) entre los siguientes grupos de números.
8. 26, 28 9. 12, 40 10. 96, 120 11. 14, 21 12. 9, 16
13. 42, 96 14. 21, 56 15. 9, 48 16. 15, 28 17. 16, 35
18. 16, 32, 48 19. 3, 9, 18 20. 20, 50, 70 21. 32, 36, 45 22. 4, 12, 20
Halla dos pares de números que se correspondan con cada enunciado.
23. El m.c.d. es 8. 24. El m.c.d. es 6. 25. El m.c.d. es 12. 26. El m.c.d. es 15.
Resuelve el siguiente problema.
27. La clase de Ana venderá cajas con plantas. Cada caja tendrá un tipo de planta y todas las cajas tendránla misma cantidad. Si hay 60 begonias, 48 geranios y 96 caléndulas, ¿cuál es el mayor número deplantas que los niños pueden colocar en cada caja?
Del 28 al 29, usa la siguiente información.
Un curso de la Escuela Básica Pablo Neruda recibirá 24 lapiceras, 16 reglas, 32 lápices y 12 cuadernospara un proyecto escolar. Cada estudiante que reciba los elementos obtendrá la misma cantidad de cadaobjeto que los demás estudiantes.
28. ¿Cuál es el mayor número de estudiantes que recibirá los elementos si se usa cada objeto?
29. Si hubiera 20 reglas y 16 lápices más, ¿cuál podríaser el mayor número de estudiantes que recibieralos elementos si se usara cada objeto?
30. Da un ejemplo para ilustrar elsiguiente enunciado: “El m.c.d. de un númeroy uno de sus múltiplos es el número mismo”.
Práctica adicional en la página 18, Grupo B
Comprensión de los aprendizajes 31. Si a = 43,72 y b = 4,9. Calcula el valor de:
a – (a – b)
32. ¿Qué factores de 16 son también factores de64?
33. 68,2 – 48,9
34. ¿Cuál de los siguientes números es el máximocomún divisor de 56 y 49?
A 2 C 7
B 4 D 9
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
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12
Aprende
Un exponentemuestra cuántasveces se usa comofactor un númerollamado base.
En 23 2 · 2 · 2,
el exponente 3muestra que labase 2 se usa comofactor tres veces.
Vocabulario
mínimo común múltiplo (m.c.m.)PROBLEMA Para una comida escolar al aire libre, cada uno de los20 padres voluntarios necesita una bandeja grande y una cucharade servir. Las bandejas vienen en juegos de 8 y las cucharas, en juegos de 12. ¿Cuál es la menor cantidad de bandejas y cucharas quedebe comprar la escuela para tener el mismo número de bandejas ycucharas, y que alcancen para todos los padres?
Usa una lista.
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …
Los primeros tres múltiplos comunes son 24, 48 y 72. El mínimo común múltiplo,o m.c.m., es 24.
Usa la descomposición en factores primos.
8 2 · 2 · 2
12 2 · 2 · 3
2 · 2 · 2 · 3 24
Anota la descomposición en factores primos decada número.
Escribe la mayor cantidad de veces que aparececada factor en cualquier descomposición enfactores primos. Multiplica.
Entonces, la menor cantidad de bandejas y cucharas que debe comprar laescuela es 24.
• ¿Qué sucedería si las bandejas vinieran en juegos de 6 y las cucharas en juegos de 12? ¿Cuál sería la menor cantidad de bandejas y cucharas quedebería comprar la escuela?
• Usa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.m. de 16 y 24.
Ejemplo 1 Halla pares de números con un m.c.m. de 20.
Puedes resolver este problema al usar el m.c.m. y uno de sus factores.Factores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Pares de números posibles: 1, 20 2, 20 4, 20 5, 20 10, 20
• ¿Qué otros pares de números tienen un m.c.m. de 20?
Mínimo común múltiploOBJETIVO: hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números yusarlo para resolver problemas.
Escribe los primeros 4 múltiplode cada número.
1. 4 2. 6 3. 12
4. 8 5. 15
R e cuer d a
L E C C
I Ó N
¿Como puedes encontrar el primer múltiplo común (m.c.m) entre 8 y 12?
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13CAPÍTULO 1
1. Haz una lista con los primeros seis múltiplos de 12 y 18. Encierra en un círculo losmúltiplos comunes. Luego, halla el mínimo común múltiplo.
Escribe el m.c.m. de los números.2. 9, 12 3. 4, 30 4. 5, 25 5. 3, 5, 15 6. 2, 3, 4
Escribe dos números a partir del m.c.m. dado.
7. 15 8. 16 9. 44 10. 100 11. 56
12. Explica cómo cada uno de los siguientes pares de números 12 y 24; 3 y 8; 6 y 8 serelaciona con su m.c.m. 24.
El m.c.m. de tres númerosPuedes usar métodos similares para hallar el m.c.m. de tres números.
Usa una lista para hallar el m.c.m. de 10, 14 y 70.
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, …
Múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, …Múltiplos de 70: 70, 140, …
Entonces, el m.c.m. de 10, 14 y 70 es 70.
Usa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.m. de 6, 9 y 15.
6 2 · 3
9 3 · 3
15 3 · 5
2 · 3 · 3 · 5 90
Escribe la descomposición en factores primos de cada número.
Escribe la mayor cantidad de veces que aparece cada factoren cualquier descomposición en factores primos. Multiplica.
Entonces, el m.c.m. de 6, 9 y 15 es 90.
Ejemplo 2 Encuentra grupos de tres números cuyo m.c.m. sea 36.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Haz una lista con los factores de 36.
1, 2, 36 2, 9, 36 3, 4, 36 Primero, usa el m.c.m., 36, y otros dos factoresal azar. Se dan grupos posibles.
2, 4, 9 4, 6, 9 9, 12, 184, 9, 12 6, 12, 18 12, 18, 36
Luego, halla otro grupo de tres factoresde 36 que tengan un m.c.m. de 36. Se dangrupos posibles.
Práctica con supervisión
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14
Comprensión de los aprendizajes
Naranja Manzana Guinda
Escribe el m.c.m. de los números.
13. 15, 25 14. 8, 14 15. 8, 16 16. 11, 22 17. 4, 18
18. 3, 12, 15 19. 10, 16, 20 20. 4, 36, 54 21. 2, 7, 10 22. 27, 3, 6
Escribe dos números a partir del m.c.m. dado.
23. 40 24. 39 25. 24 26. 30 27. 22
Escribe tres números a partir del m.c.m. dado.
28. 10 29. 20 30. 18 31. 28 32. 45
USA LOS DATOS Para los problemas 33 y 34,
utiliza el gráfico de la derecha.
33. Marco compró igual cantidad de botellas de jugode naranja, manzana y guinda para el paseo al
aire libre. ¿Cuál es la menor cantidad de cadauno que puede haber comprado para tener elmismo número de botellas de cada jugo y queno haya sobras?
34. ¿Qué sucede si Marco compra igual cantidadde botellas de dos tipos de jugo? ¿Comprarámás botellas si elige jugo de naranja y manzana,de guinda y naranja, o de manzana y guinda?¿Cuántas botellas de cada jugo comprará?Explica tu razonamiento.
35. El m.c.m. de dos números es 18. El m.c.d. delos números es 3. ¿Cuáles son los númerosposibles?
37. Plantea un problema Lee otra vez el problema35. Escribe un problema similar en el quecambies el m.c.m. y el m.c.d.
36. El m.c.m. de dos números es 40. El m.c.d. delos números es 4. ¿Cuáles son los númerosposibles?
38. Laura dice que el m.c.m. de dosnúmeros primos diferentes es su producto.Explica si tiene razón o no.
39. ¿Por qué entre 3 y 6 el m.c.m. es 6, que es iguala uno de ellos, pero entre 3 y 4 es 12, que esdiferente a ambos números?
40. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 4 y 6?
41. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 18?
A 6 C 36
B 30 D 120
42. ¿Qué números son dos múltiplos comunes de 4,10 y 12?
43. El m.c.m. de tres números es 90. Uno de losnúmeros es 15.¿Cuáles pueden ser los otros dos?
A 6, 8 C 2, 10
B 18, 30 D 30, 50
Práctica adicional en la página 18, Grupo C
Práctica independiente y resolución de problemas
N ú m e r o d e b o t e l l a s p o r p a q u e t e
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15CAPÍTULO 1
Escribir paraexplicar
Primero, halla los factores comunes de 4 y 6.4: 1, 2, 4
6: 1, 2, 3, 6Luego multiplica el número de años que dura el período del
presidente por el número de años que el alcalde cumple con su cargo.4 · 6 24
Por último, divide el producto entre el máximofactor común para hallar el mínimo común múltiplo.
24 : 2 12
Consejos para escribir unaexplicación
• Menciona cuál es el problema en laprimera oración.
• Usa conectores como primero, luego y por
último para mostrar el orden de los pasos.
• Usa términos matemáticos correctos.
• Muestra todos los cálculos.
• Menciona la solución del problema en laúltima oración de tu explicación.
Resolución de problemas Escribe una expli-
cación para mostrar cómo resolver cada problema.
1. Daniela colgará luces rojas, blancas y azules para una
fiesta. Las luces rojas vienen en paquetes de 6, las
blancas, en paquetes de 8 y las azules, en paquetes
de 3. Planea colgar la misma cantidad de cada color.
¿Cuál es el menor número de luces de cada color
que debe comprar? ¿Cuántos paquetes de cada
color debe comprar?
2. Rafael tiene 12 carteles y 36 boletas de muestra
para la elección escolar. Está armando paquetes,
todos con la misma cantidad de carteles y de
boletas. ¿Cuál es la mayor cantidad de paquetes
que puede armar sin que sobren objetos? ¿Cuántos
de cada uno de los objetos habrá en cada paquete?
Los factores comunes son 1 y 2.
Escribir una explicación ayuda a analizarcuidadosamente los pasos que hicieron faltapara resolver un problema. También sirve paracomprender un concepto matemático.
El gobierno que asumió la presidencia en el año1994 duró seis años. Los alcaldes duran 4 años. Siel presidente y alcalde asumen el mismo año, ¿encuántos años más podrán presentarse a la elección juntos?
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es el númeromenor de años que pasarán antes de que elpresidente y el alcalde puedan postularse para lareelección en el mismo año. Lee la explicación deLaura acerca de su solución.
El máximo factor común es 2.
Entonces, en 12 años, el alcalde y el presidente podrán postularse para la reelección en el mismo año.
15CAPÍTULO 1
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16
a b a · b m.c.d. m.c.m. m.c.d. · m.c.m.
3 4 12 1 12 12
4 6 24 2 12 24
3 6 18 3 6 18
8 24 192 8 24 192
7 3 21 1 21 2115 9 135 3 45 135
54 9 486 9 54 486
Observa los pares de números y describe las relaciones.
Par de números
Halla la fila con 3 y 6. El número 6 es unmúltiplo de 3. ¿Cuál es la relación entre elm.c.m. y los números?
Halla la fila con 3 y 4. El m.c.d. de los númeroses 1. ¿Cuál es la relación entre el m.c.m. y elproducto de los números?
Halla la fila con 8 y 24. El número mayor es elm.c.m. ¿Cuál es la relación entre el m.c.d. y los números?
Relación
Cuando un número es múltiplo delotro, el m.c.m. es el número mayor.
Cuando el m.c.d. es 1, el m.c.m. esel producto de los números.
Cuando el m.c.m. es el número mayor,el m.c.d. es el número más pequeño.
Piensa y comentaUsa las relaciones que se muestran arriba para ayudarte a resolver los problemas.
a. Observa la tabla. ¿Qué otros pares de números tienen la misma relación que3 y 6? ¿Cómo puedes hallar el m.c.m. de cada par de números?
b. El m.c.d. de 14 y 17 es 1. ¿Cómo puedes hallar el m.c.m.?
c. El m.c.m. de 5 y 10 es 10. ¿Cómo puedes hallar el m.c.d.?
Lee para entenderPROBLEMA Patricio y Sandra hicieron la tabla que se muestra abajo para
identificar las relaciones entre un par de números, su máximo común divisory su mínimo común múltiplo. ¿Qué relaciones se muestran?
Destreza: identificar relacionesOBJETIVO: resolver problemas con la destreza identificar relaciones.
L E C C
I Ó N
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17CAPÍTULO 1
Aplicaciones mixtas
1. Pedro y Martín quieren ver si hay alguna relación entre dos números primos ysu m.c.m. Hicieron una tabla como ayuda. ¿Qué relaciones ves?
a b m.c.m.
2 3 6
2 5 10
3 5 15
3 7 21
5 7 35
13 11 143
Primero, observa cada par de números y su m.c.m.
Luego, decide si hay alguna relación.
2. ¿Qué pasaría si hubiera tres números primos? ¿Qué relación hay entrelos números y su m.c.m.? Explica tu respuesta.
3. ¿Qué relación hay entre la suma de dos números pares y la sumade dos números impares? Explica y da un ejemplo.
4. Existe una relación entre los números compuestos 4, 16, 36, 81, 100 y144. Identifica la relación y escribe otros dos números que tengan la misma
relación. 5. ¿En qué se relacionan el producto de dos números pares y el producto de
un número par y uno impar? ¿Se relacionan de igual manera el producto dedos números pares y el de dos números impares? Explica y da un ejemplo.
6. En un paradero de buses, un bus pasa con una frecuencia de 18 minutos,otro cada 15 minutos y un tercero cada 8 minutos. ¿Dentro de cuántosminutos, como mínimo, se encontrarán en el paradero los tres buses?
7. Joaquín ha coleccionado estampillas de América y Europa. Las estampillasde América están agrupadas en sobres de 24 estampillas cada uno y no
sobra ninguna, mientras que las estampillas de Europa las ha agrupado ensobres de 20 y tampoco sobran. Sabiendo que el número de estampillas esel mismo tanto para América como para Europa, ¿cuántas estampillas comomínimo hay en cada caja?
8. Bernardita quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendió en sutaller de chocolatería, hizo 32 bombones de trufa, 24 de frambuesa y 28 demanjar. ¿Cuántos paquetes con la misma cantidad de bombones de cadatipo puede hacer?
Resolución de problemas con supervisión
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18
Grupo A Escribe los primeros tres múltiplos comunes.
1. 4, 6 2. 3, 8 3. 7, 14 4. 3, 4, 12 5. 4, 5, 8
Escribe los factores comunes.
6. 20, 40 7. 7, 17 8. 32, 40 9. 16, 32, 64 10. 5, 10, 35
Indica si el número es primo, compuesto o ninguno de los dos.
11. 51 12. 42 13. 19 14. 0 15. 29
Grupo B Halla el m.c.d.
1. 16, 24 2. 8, 16 3. 18, 54 4. 4, 14 5. 84, 108
6. 15, 36 7. 18, 42 8. 24, 84 9. 21, 56 10. 15, 70
11. María tiene 16 rosas y 12 azucenas paracolocar en floreros. Si coloca la misma cantidad
de rosas y azucenas en cada florero, ¿cuál es elmayor número de floreros que necesitará paracolocar todas las flores?
12. ¿Cuál es la mayor cantidad de bolsas decumpleaños que puede hacer Iván con 20
sorpresas y 16 globos si cada bolsa tiene elmismo número de regalitos y globos, e Iván usatodos los objetos?
Práctica adicional
Grupo C Escribe el m.c.m. de los números.
1. 4, 6 2. 7, 14 3. 10, 15 4. 3, 4 5. 6, 24
6. 12, 18, 36 7. 6, 12, 18 8. 10, 16, 20 9. 3, 7, 21 10. 10, 18, 72
11. 7, 5 12. 9, 6, 4 13. 8, 18 14. 15, 12 15. 6, 8, 48
16. El m.c.m. de dos números es 16. El m.c.d. delos números es 4. ¿Cuáles son los números?
17. El m.c.m. de dos números es 40. El m.c.d. delos números es 20. ¿Cuáles son los números?
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19CAPÍTULO 11
¡Preparados!2 jugadores
¿Listos?• 29 papelitos• bolsa de papel• 30 fichas• 2 monedas diferentes
¡Ya!
Los jugadores escriben en papelitos los números
del 2 al 30 y los ponen en una bolsa.
Cada jugador elige una moneda y la coloca enla SALIDA.
Por turnos, cada jugador saca un número dela bolsa.
Identifica si el número es primo o compuesto.•Si el número es compuesto, el jugador usa lasfichas para hacer todas las matrices posiblesque muestren el número.
•Si el número es primo, continúa el siguiente
jugador. El otro jugador comprueba las matrices.
El jugador 1 avanza dos lugares por cada maque haga de un número compuesto.Si el jugador 2 puede hacer otra matriz delnúmero del jugador 1, puede avanzarun espacio.
Gana el primero que alcanza la LLEGADA.
S a l i d
a
L l e g
a d a
¿Primo o compuesto?
19CAPÍTULO 1
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20
Repasar el vocabulario y los conceptos
Repasar el vocabulario y los conceptos.
1. El número 3 es el ____ de los números 6 y 15.
2. Un número que es factor y múltiplo de 24 es _____.
3. Factor de todos los números_____ . 4. 6 es factor de_____.
5. 6 es múltiplo de _____. 6. Primer múltiplo común de 6 y 9 ____.
Usando los términos “Factores” o “Múltiplos”, completa cada frase según corresponda.
7. 25, 100 y 150 son _________ de 25. 8. 1, 2, 5, 10, 25, y 50 son __________ de 50.
9. Cada número tiene una cantidad infinita de __________.
10. Si un número x divide a otro número y en forma exacta, se dice que x es un _______de y .
11. ¿Cuál de los siguientes números es un número primo?
A 4
B 9
C 13
D 15
VOCABULARIO
máximo común divisor (m.c.d.)
mínimo común múltiplo (m.c.m.)
número compuesto
número primo
Repasar las destrezasHalla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números.
12. 3, 4 13. 8, 64 14. 15, 18 15. 9, 12, 18 16. 10, 20, 50
Repasar la resolución de problemas
Resuelve.
17. Marco descubrió que existe una relación entre los números compuestos 6 y 24. Identifica la relación yescribe otros dos números que tengan la misma relación.
18. Raúl escribió los números 12 y 18 en el pizarrón. Descubrió que el m.c.m. de 12 y 18 es 36. ¿Cuál esel m.c.d. del par de números?
19. Amalia escribió los números primos 3 y 11. Dice que cuando el m.c.d. de dos númeroses 1, el m.c.m. es el cociente de los números. ¿Tiene razón? Explica.
Repaso/Prueba del capítulo 1
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21CAPÍTULO 1
Paso 3 Compara la suma y el número.
Paso 4 Clasifica el número.
Paso 2 Halla la suma de los divisorespropios.
Paso 1 Escribe los divisores propiosdel número.
18 21 6
1, 2, 3, 6, 9 1, 3, 7 1, 2, 3
21 11 6
21 18 11 21 6 6
abundante deficiente perfecto
13. Emilio escribió los números primos 31 y 13sobre una hoja. ¿Qué notas acerca de losnúmeros primos 31 y 13? Explica.
14. Razonamiento El primer número abundanteimpar se encuentra entre 800 y 1 000. Si susfactores primos son 3, 3, 5 y 7, ¿cuál es elnúmero?
Entonces, 18 es un número abundante, 21 es un número deficiente y 6 es un número perfecto.
PruébaloClasifica cada número en abundante, deficiente o perfecto.
1. 29 2. 30 3. 28 4. 17 5. 64 6. 24
7. 51 8. 48 9. 12 10. 40 11. 53 12. 496
Explica la razón por la que el producto de 2 y cualquier número perfecto siempre será unnúmero abundante.
¿Ser perfecto o no ser perfecto?
Enriquecimiento • Números perfectos,abundantes y deficientes
Los números pueden clasificarse en abundantes, deficientes o perfectos. Laclasificación de un número depende de la suma de sus divisores propios.Los divisores propios son los factores del número, excluyendo al númeromismo.
La suma de los divisores propios de un número abundante es mayor que el
número en sí. La suma de los divisores propios de un número deficiente es
menor que el número en sí. La suma de los divisores propios de un número
perfecto es igual al número en sí.
EjemploClasifica los números 18, 21 y 6 en abundantes, deficientes o perfectos.
Clasi f ica el número18 después
de analizar la suma de sus
di visores propios.
Paso 1: 1, 2, 3, 6, 9
Paso 2: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 2
21CAPÍTULO 1
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22
Patrones y álgebra
6. Si x 5 3, ¿cuál es el valor de 12 : x ?
A 2
B 4
C 6
D 8
7. Si n es par menor que 8 y mayor que 4, ¿qué
valor tiene n?:
A 2
B 4
C 6
D 8
8. ¿Qué valor debe ir en el recuadro para que secumpla la igualdad 125 2 _____ 5 50?
A 50
B 45
C 75
D 100
9. ¿Cuál es el valor de “ x ” en la siguiente
ecuación 2 x + 4 x = 18?
A x = 6
B x = 18
C x = 3 D x = 12
10. Explica cómo se halla el valor
de la expresión x 10 para x 12.
Aprendizaje en espiral
Números y operaciones
1. ¿Qué fracción equivalente resulta al multiplicarel númerador y denominador de la fracción 7
__
8
por el número 5?
A 35
8
B 12
13
C 35
40
D 40
35
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayorque 5
7
?
A 6
10
B 36
42
C 48
68
D 2
3
3. De las fracciones que aparecen, ¿cuál es lafracción equivalente a 1
4?
A 7
12
B 915
C 8
32
D 2
4
4. ¿Cuál es la fracción impropia que representa el
número mixto 8 enteros 1
4?
A 36
4
B 833
C 33
4
D 4
33
5. Explica cómo se escribe 3
8
como número decimal.
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23CAPÍTULO 1
Datos y probabilidades
11. La figura UVWX es un cuadrado. Cada ladomide 3,5 centímetros. ¿Cuál es su perímetro?
U
X W
V
12. Si el área del triángulo UWX es de 12 centímetroscuadrados, ¿cuál es el área total de UVWX ?
A 7 cm
B 7 cm2
C 14 cm2
D 24 cm2
13. La red que observas a continuación representala red de un:
A paralelepípedo
B cubo
C pirámide cuadrada
D prisma triangular
14. ¿Cuántos vértices tiene la red del cuerpo
geométrico anterior?
A 12
B 8
C 16
D 14
15. La señora González registró la asistencia acinco funciones de un concierto en la siguientetabla.
¿Qué día asistieron más personas?
A Viernes C Martes
B Jueves D Miércoles
16. ¿Cuántas personas más asistieron el día
viernes que el jueves?
A 28
B 18
C 16
D 26
17. ¿Cuál de las siguientes preguntas no puedescontestar con los datos de la tabla?
A ¿Cuál es la cantidad de asistentes en lasemana hábil?
B ¿Cuál es la cantidad de hombres y mujeresque asistieron a cada concierto?
C ¿Cuántos asistentes más hubo el díamiércoles que el lunes?
D ¿Cuántos asistentes menos hubo el díamartes que el viernes?
Geometría – Medición
Asistencia al conciertoFunciones Cantidad de personas
Lunes 125
Martes 234
Miércoles 190
Jueves 305
Viernes 331
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En la receta de la derecha semuestran los ingredientes parapreparar un brazo de reina.
Si quiero cocinar para 12personas, ¿qué cantidad de cadaingrediente necesito?
El brazo gitano tiene su origen en un monje berciano que enel medievo recorrió el mundo y en un monasterio egipciodescubrió este postre. Se le empezó a llamar «brazo egipciano»y la palabra degeneró en la actualEs un pastel formado por una capa delgada de bizcocho, concrema o dulce de fruta por encima que se enrrolla en forma de
cilindro.En Chile se le llama brazo de reina y tiende a rellenarse conmanjar o con mermelada de fruta.
Adaptado de: http://lema.rae.es
Ingredientes de Brazo de reina
• Preparación: 1 hora. Para: 6 personas
• 4 huevos a temperatura ambiental
• 3/4 cucharadita de polvos de hornear
• 1/2 cucharadita de sal
• 3/4 taza de azúcar granulada
• 1 cucharadita de extracto de vainilla
• 3/4 taza de harina
• azúcar flor
www.recetaschilenas.com
DATO BREVE
Fracciones y números mixtosLa idea importante Determinar equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos, y
representarlos en la recta numérica.
24
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1000
B
ml
20ºC
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 2.
Que fracción de 1 litro representa:
1. 500 ml ____________ 2. 250 ml ____________
3. 100 ml ____________ 4. 750 ml ____________
Comparar y ordenar fracciones y números mixtosCompara. Escribe , o .
5. 5
__
6 1
__
6 6. 1
__
4 3
__
4 7. 22
__
5 23
__
5 8. 1
__
2 1
__
3
9. 41
__
6 41
__
3 10. 42
__
5 42
__
3 11. 1
__
4 1
__
5 12. 1
__
2 4
__
5
Ordena de menor a mayor.
13. 1
__
3 , 2
__
3 , 1
__
6 14. 2
__
5 , 1
__
2 , 3
___
10 15. 52
__
3 , 52
__
6 , 5 2
___
12 16. 23
__
4 , 21
__
8 , 4 1
___
12
Practicar operaciones de divisiónHalla el cociente.
17. 54 : 9 18. 42 : 6 19. 24 : 6 20. 120 : 4 21. 21 : 7
22. 84 : 7 23. 0 : 7 24. 36 : 4 25. 32 : 8 26. 72 : 2
27. 108 : 2 28. 56 : 8 29. 88 : 8 30. 60 : 2 31. 49 : 7
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
fracciones impropiasfraccionesmínima expresiónnúmero mixto
PREPARACIÓN
Fracciones propias Son aquellas fracciones donde el numeradores menor que el denominador. Ejemplo: 3/4
Fracciones impropias Son fracciones mayores que 1 entero, donde
el numerador es mayor el denominador. Ejemplo: 4/3fracciones equivalentes Son dos o más fracciones querepresentan el mismo valor. Las fracciones equivalentes seescriben de forma diferente, pero representan la misma parte ocantidad. Ejemplo: 1/2 = 2/4
número mixto Un número mixto se forma a partir de unafracción impropia. Tiene una parte entera y una parte fraccionariamenor que 1.
números naturales Conjunto de números desde el 1 hasta infinito.
250 ml
500 ml
750 ml
1000 ml
25CAPÍTULO 2
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Actividad
Materiales ■ barras de fracción
• Comienza con tres barras de fracción de 1
4.
• Coloca barras de fracción de 1
8 a lo
largo de las tres barras de 1
4 hasta que la longitud sea la misma.
• ¿Cuántas barras de 1
8 hay?
En la representación se muestra que 3
4 6
8. Entonces, Daniel debe
llenar seis veces la taza para medir de 1
8.
• Usa las barras de fracción. ¿Cuántas doceavas partesequivalen a 3
4? Completa 3
4
12
1 __
6
___
12
Si multiplicamos el numerador y el denominador por 2,
para que el valor de la fracción sea el mismo, obtenemos:
4
___
12
__ 3
Si dividimos el numerador y el denominador
por 4, obtenemos:
• Observa los ejemplos A y B. ¿Qué operación da como resultado unafracción con más partes que la fracción original? Explica cómo lo sabes.
Otra forma de hallar una fracción equivalente es amplificando (multiplicando numerador ydenominador de la fracción por un mismo número natural diferente de 1) o simplificando (dividiendoel numerador y el denominador de la fracción por el mismo número natural diferente de 1, que seafactor de ambos).
Ejemplo 1 Completa.
Halla el m.c.d.
1. 8, 12 2. 21, 283. 9, 30 4. 32, 605. 20, 45
Vocabulariofracciones equivalentes
mínima expresión o fracción
simplificada
máximo común divisor (m.c.d)
Entonces16 y
212 son fracciones
equivalentes.
Entonces4
12 y13 son fracciones
equivalentes.
Fracciones equivalentes yfracciones en su mínima expresión OBJETIVO: identificar y escribir fracciones equivalentes, y escribir fraccionessimplificadas a su mínima expresión.
PROBLEMA Para una receta de galletas de avena, se necesitan taza de azúcar. Daniel usará una taza de para medir las tazas
de azúcar. ¿Cuántas veces debe llenar la taza de de azúcar parapreparar las galletas de avena?
Las fracciones equivalentes son dos o más fracciones querepresentan el mismo valor o cantidad.
3
4
1
81
8
L E C C
I Ó N
Aprende
1
6
2
12
2
2· =
Puedes leer 3
_ 4 6
_ 8 como tres
cuartos es equivalente a seisoctavos.
1
3
4
4=:
:4
12
1 11
26
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Fracción simplificada a su mínima expresiónUna fracción está en su mínima expresión cuando el único factor común del numeradory el denominador es 1.
17
24 es una fracción en su mínima expresión porque el único factor común de 17 y 24 es 1.
18
24 no es una fracción en su mínima expresión porque 18 y 24 tienen el factor común 6.
1. Observa la representación. Cuenta cuántasdoceavas partes equivalen a 3
4. Completa: 3
4 =
12.
Completa.
2. 3
5 =
10 3. 5
6 =
24 4. 6
8 =
4 5. 2
10 =
80 6. 25
40 =
8 7. 8
12 =
36
Usa los factores comunes.
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 2436: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Usa diagrama de factores primos.
24
___
36 2 __
3
Entonces, 2
_
3 es la fracción en su mínima expresión 24
__
36 .
Puedes hallar una fracción en su mínima expresión en un solo paso si divides por el máximo común
divisor (m.c.d.).
Ejemplo 3 Escribe la fracción en su mínima expresión.
18
___
24
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Halla el m.c.d.
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24m.c.d. 6
20
___
64
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Halla el m.c.d. 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64m.c.d. 4
Ejemplo 2 Escribe 24
__ 36 como fracción en su mínima expresión.
Entonces, 3
_ 4 es la fracción simplificada a su mínima
expresión de 18
__
24 .
Entonces, 5
__ 16 es la fracción simplificada a su mínima
expresión de 20
__
64 .
Halla los factorescomunes de 24y 36.
Divide el numerador y eldenominador por un factorcomún que no sea 1.
Repite el procedimiento hastaque la fracción sea una fracciónen su mínima expresión.
Divide el numerador y eldenominador por un factorprimo común. Repite elproceso hasta que solo tengancomo factor común a 1.
El nuevo numerador es 2 y el nuevodenominador es 3.
Divide el numerador y eldenominador por 4.
Divide el numerador y eldenominador por 6.
Práctica con supervisión
Práctica adicional en la página 34, Grupo A
24
36
4
6
6
6=:
:24
36
4
6
2
3
2
2=:
:4
6=
20
64
5
16
4
4=:
:20
64=18
24
3
4
6
6=:
:18
24=
1
: 2 : 2 : 3
24 12 6 2
36 18 9 3
27CAPÍTULO 2
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 42/314
Completa cada recuadro con el número que falta para que se cumpla la equivalencia.15. 12
18 =
3 16. 15
51 = 5 17. 3
20 = 24 18. 7
8 =
72 19.
49 = 4
7 20. 15
55 =
11
Escribe la fracción simplificada a su mínima expresión.
21. 24
42 22. 18
30 23. 4
10 24. 48
32 25. 45
20 26. 50
60
27. 10
65 28. 8
62 29. 4
12 30. 32
36 31. 2
4 32. 5
10
Escribe la fracción simplificada a su mínima expresión.
8. 70
75 9. 9
12 10. 6
28 11. 44
121 12. 15
27 13. 18
54
14. Explica cómo hallar una fracción equivalente a 12
15 .
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica adicional en la página 34, Grupo B
USA LOS DATOS Del 37 al 39, usa la tabla.
37. Escribe la fracción que corresponde a Lavadorade ropa.
38. La fracción que corresponde al uso del aguade la ducha es
17
100. ¿Está escrita en su mínima
expresión esta fracción? Explica tu respuesta.
39. Escribe las fracciones que correspondan a losusos domésticos del agua que estén escritas ensu mínima expresión.
40. María tiene 25 bolitas verdes, 36 amarillas, 10
azules y 29 rojas. Escribe una fracción reducidaa su mínima expresión para mostrar qué partede las bolitas de su colección son azuleso verdes.
41. ¿Cuál podría ser la pregunta? Luistiene 8 manzanas rojas, 6 manzanas verdes y 4
manzanas amarillas y la respuesta fuese4
9 de las
manzanas.
Razonamiento Del 33 al 36, escribe siempre, a veces o nunca en cada enunciado.
33. El denominador de una fracción equivalente esmenor que el denominador de la fracción original.
35. El numerador de una fracción en su mínimaexpresión es mayor que el numerador de unafracción equivalente.
34. El denominador de una fracción equivalentees un múltiplo del denominador de la fracciónoriginal.
36. Puede escribirse una fracción equivalente paracualquier fracción.
Uso promedio del agua en el hogar
(escrito como fracción)
Lavadora de ropa 22
____
100
Ducha 17
____
100
Llave de agua 16
____
100
Pérdida de agua 14
____
100
Tina 2 ____ 100
Lavamanos 1
____
100
Baño 27
____
100
Otros usos domésticos 1 ____ 100
Adaptado de http://graficas.explora.cl
28
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 43/314
Comprensión de los aprendizajes
RAZONAMIENTO Puedes usar lo que sabes acerca de las relaciones numéricas ylas fracciones equivalentes para encontrar las incógnitas.
Ejemplo ¿Cuáles son los valores de a y b en 4
_ 5
a
_
b
?
Usa las pistas para hallar los valores de y b
1. 3
___
10 a
__
b 2. 4
__
a b
__
6
Pista 1: La suma de los dígitos de a es igual a 9. Pista 1: a es un múltiplo de 3 menor que 30.
Pista 2: a y
b son números de dos dígitos Pista 2:
b es un número primo.
menores que 65.
3. 5 __
7 a
__
b 4. a
__
9 16
___
b
Pista 1: a y b son números pares mayores que Pista 1: Los factores de b son 1, 2, 3, 4, 6, 9,10 y menores que 30. 18 y 36.
Pista 2: La suma de a y b es igual a 48. Pista 2: a y b son múltiplos de 4.
Pista 1: Tanto a como b son mayores que 10 ymenores que 20.
Según la pista 1, a y b pueden ser 11, 12, 13,
14, 15, 16, 17, 18 o 19.
Como a
_
b debe ser equivalente a 4
_ 5 , a es 12 y b es 15.
Pista 2: Tanto a como b sonmúltiplos de 3.
Según las pistas 1 y 2, a y b
pueden ser 12, 15 o 18.
42. Raúl ganó $ 13 250 cortando el pasto del jardín.Una soga cuesta $ 6 950. ¿Cuánto dinero tendráRaúl después de comprar la soga?
43. Calcula el valor de la expresión algebraica
m
12 para m
51.44. Escribe una fracción para la parte sombreada.
45. Juan ahorra 9
15 de lo que gana cada semana.
¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalentea 9
15?
A1
5 B18
45 C3
5 D8
3
46. Un pastel se corta en 16 porciones. Se comencuatro porciones. ¿Qué fracción representa,como fracción reducida a su mínima expresión, lacantidad de pastel que sobra?
A 12
16 B 3
4 C 1
3 D 4
16
Una variable esun símbolo querepresenta el
conjunto de valoresque puede tomaruna determinadamagnitud. Para
representar variablesse usan generalmente
letras.
R e cue
r d a
29CAPÍTULO 2
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 44/314
Aprende
Fracciones y números mixtosOBJETIVO: escribir fracciones como números mixtos y números mixtoscomo fracciones.
Escribe la fracción comofracción equivalente.
1. 21
___
27 2. 24
___
40 3. 33
___
77
4. 27
___
36 5. 72
___
84
Vocabularionúmero mixto
Usa un diagrama.
Usa diagrama de números conectados
Entonces, 21
_ 4 9
_ 4 .
Puedes usar la división para escribir una fracción mayor que 1 como un númeromixto o un número natural.
Ejemplo 2 Escribe 26
__ 10 como número mixto en su mínima expresión.
Dado que 26
__ 10 puede leerse como 26 dividido entre 10, divide el
numerador entre el denominador.
Usa el resto como el numerador y el divisor como el denominador.Escribe la fracción como fracción en su mínima expresión.
Entonces, 26
__ 10 2 6
__
10 23
_ 5 .
Representa los enteros como fracciones igualesa 1 (1= 1
_ 4 ). Luego suma los numeradores de cada
fracción. El resultado es el nuevo numerador conel mismo denominador.
Cuenta los cuartos sombreados. Hay nuevecuartos o 9
_ 4 .
1. Observa la representación. Escribe el número representado como un númeromixto y como una fracción. Luego escribe cada uno en palabras.
Escribe cada uno de los números mixtos como fracción impropia.
2. 61
_ 3 3. 13
_ 4 4. 32
_ 5 5. 1 6. 51
_ 2 7. 21
_ 8
Un número mixto se forma a partir de una fracción impropia. Tiene unaparte entera y una parte fraccionaria menor que 1.
Ejemplo 1 Escribe 21
_ 4 como fracción.
Práctica con supervisión
L E C C
I Ó N
26 : 102
20
__
6
Partes
Todo Todo1 = 4 _ 4
1 = 4 _ 4 9 _
4 2 = 1 _
4
1 _ 4
7
16
30
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 45/314
Comprensión de los aprendizajes 44. ¿Cuál es el máximo común divisor de
12 y 24?
45. Escribe un número mixto que represente laparte sombreada con respecto al total.
46. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyoslados miden 5 centímetros de longitud?
47. Juan compró 33
_ 4 kg de frutos secos surtidos y
los dividió en porciones de 1
_ 8 de kg. ¿Cuántas
porciones de frutos secos surtidos obtuvo?
A 8 B 15 C 24 D 30
Escribe la fracción como número mixto en su mínima expresión o como número natural.
8. 14
5 9. 45
10 10. 56
8 11. 19
6 12. 64
16 13. 55
20
14. Explica cómo usar el resto y el divisor cuando se utilizala división para escribir una fracción como número mixto.
Escribe cada uno de los números mixtos como fracción impropia.
15. 45
_ 8 16. 72
_ 3 17. 55
_ 6 18. 111
_ 4 19. 124
_ 5 20. 3 7
__
10
21. 21
_ 2 22. 83
_ 5 23. 5 3
__
10 24. 63
_ 8 25. 33
_ 4 26. 21
_ 2
Escribe la fracción como número mixto en su mínima expresión o como número natural.
27. 17
___
3 28. 44
___
8 29. 45
___
12 30. 41
___
18 31. 65
___
5 32. 85
___
25
33.
32
___
7
34.
60
___
4
35.
34
___
4
36.
66
___
8
37. 23
___
3
38.
39
___
6
39. DATO BREVE En un eclipse total de luna, la Tierra impide que la luz solar directa llegue ala Luna. El eclipse total de luna más largo de los próximos 90 años tendrá lugar en el año 2018y durará 1 h. Escribe 1 como fracción y usa la fracción para hallar cuántos minutosdurará el eclipse (http://eclipse.gsfc.nasa.gov).
40. El eclipse total de luna más largo desde 1900tuvo lugar en el año 2000 y duró 107 minutos.Escribe 107 minutos en horas como fracción ycomo número mixto (http://eclipse.gsfc.nasa.gov).
USA LOS DATOS Del 42 a 43, usa la receta.
42. Para preparar un batido de durazno, Leo tiene solouna taza para medir de 1
_ 4 . Escribe la cantidad de cada
ingrediente, salvo de plátanos, como una fracciónen cuartos.
43. Imagina que Leo tiene solo una taza de 1
_ 8 para medir.
Anota la cantidad de rodajas de durazno como unafracción en octavos.
41. ¿Cuál es el error? Pilar volvió aexpresar 25
_ 7 como 17
__ 7 . Describe cuál es su error
y escribe la respuesta correcta.
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica adicional en la página 34, Grupo B
11
15
11
15
31CAPÍTULO 2
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 46/314
Aprende
0 1910
510
310
710
110
210
410
610
810
Idea matemáticaLos valores aumentan a
medida que se va hacia la
derecha en la recta numérica.
Los valores disminuyen a
medida que se va hacia la
izquierda.
Comparar y ordenarfracciones y números mixtosOBJETIVO: comparar y ordenar fracciones y números mixtos.
Para comparar fracciones con el mismo denominador, compara losnumeradores, porque cada parte es del mismo tamaño. Para compararfracciones con el mismo numerador, compara los denominadores.Mismo denominador Mismo numerador
2
_
3 Dos de tres partes iguales
es mayor que una de tres partes iguales. Entonces, 2
3 > 1
3.
Para comparar números mixtos, compara los números naturales yluego las fracciones. Puedes usar múltiplos comunes para comparar
y ordenar las fracciones y los números mixtos con distintos denominadores.
1
_
3
2
_
3 Dos de tres partes iguales es mayor
que dos de cinco partes iguales. Entonces, 2
__
3 2 __
5 .2
_
5
Ejemplo 1En Chiloé anualmente se realiza la fiesta del ajo. Las trenzasde ajos ganadoras el año pasado pesaban 51
_
2 kg, 52
_
3 kg, 55
_
8 kg.
Ordena las trenzas de ajo de mayor a menor peso(Adaptado de: http://www.munidalcahue.cl).
Los números naturales son iguales. Entonces, compara lasfracciones. Escribe fracciones equivalentes con el mismodenominador y luego compara los numeradores.
51
_
2 5 12
__ 24 52
_
3 516
__ 24 55
_
8 515
__ 24
Piensa: 24 es un múltiplo común
de 2, 3 y 8.
Como5 12
__
24 515
__
24 516
__
24 , el orden de las trenzas de menor a
mayor es 51
_
2 kg, 55
_
8 kg, 52
_
3 kg.
También puedes usar una recta numérica para comparar y ordenarlas fracciones.
Ejemplo 2 Ordena ; y de mayor a menor.7
102
101
10
Ubica los números en la recta numérica. 7 __ 10 está a la derecha de
1 _
2 y 1
_
2 está a la derecha de 2
_ 5 .
Escribe dos múltiploscomunes para cada parde números.
6, 8 10, 157, 8 6, 2
9, 5
Entonces, el orden de mayor a menor es 7
__ 10 , 2
__
10 , 1
__ 10 .
L E C C
I Ó N
32
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 47/314
Comprensión de los aprendizajes
0 1512
13
12
1112
712
112
16
14
23
34
56
Práctica adicional en la página 34, Grupo C
1. Usa las barras de fracción para ver qué parte es mayor.Luego compara 2
_ 5 y
2
_ 8 y usa los símbolos , o en la comparación.
Compara. Escribe <, > o = en los círculos según corresponda.
2. 4
__
5 4
__
9 3. 5
__
8 7
__
8 4. 1 4
___
12 13
__
8 5. 15
__
6 7
__
6 6. 28
___
42 4
__
6
7. Explica cómo usar la recta numérica para ordenar 2 _ 3 ;
1
_ 2 y
11
__ 12 de mayor a menor.
Compara. Escribe <, > o = en los círculos según corresponda.
8. 1
__
2 11
___
12 9. 7
___
15 7
___
10 10. 7
__
9 4
__
9 11. 71
__
3 62
__
3 12. 12
__
5 11
__
3
Ordena de mayor a menor.
13. 5
__
7 ; 5
__
6 ; 5
___
12 14. 4
__
7 ; 4
___
10 ; 4
__
5 15. 13
__
4 ; 5
__
7 ; 13
__
5 16. 3 7
___
10 ; 31
__
6 ; 32
__
5
17. 3
__
7 ; 5
__
6 ; 2
__
3 18. 1
__
2 ; 2
__
9 ; 11
___
18 19. 17
__
8 ; 6
__
7 ; 1 9
___
10 20. 55
__
8 ; 5 7
___
10 ; 53
__
4
21. La semana pasada, Amalia y José compraron cada uno 2 kg de semillas de girasol. A Amalia le
quedan 11 _
3 kg y a José, 12 _
5 . ¿quién ha consumido más semillas de girasol?
22. Razonamiento Halla una fracción que esté entre 3
_ 4 y
5
_ 6 .
23. Explica cómo hallar qué número es menor, 4
_ 5 o
5
_
6 . Luego muestra la comparacióncon símbolos.
24. ¿Qué producto es menor: 24 • 3 o 23 • 4? 25. Si n 3, ¿cuál es el valor de 5 • ( n 3)?
26. ¿Cuál es el máximo común divisor de 66, 36 y18?
27. ¿Qué número hace que la expresión2
_ 3 11
_ 8 sea verdadera?
A 11
___
20 C 11
__
3
B 7
__
9 D 11
__
5
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
33CAPÍTULO 2
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 48/314
Grupo A Completa con los números que faltan en los recuadros para que las fracciones sean
equivalentes.
1. 1
__
4
___
12 2. 12
___
14 6
__
3. 5
__
7
___
21 4. 3
__
4
___
16 5. 5
___
25 1
__
6.
___
13 18
___
26 7. 4
__
8
___
20 8. 7
___
14 1
__
9. 24
___
30
___
15 10. 4
__
1
__
4
Grupo B Escribe cada uno de los números mixtos como fracciones impropias.
1. 43
__
4 2. 71
__
5 3. 122
__
3 4. 5 7
___
10 5. 31
__
2 6. 25
__
8
7. 63
__
7 8. 21
__
3 9. 54
__
5 10. 7 3
___
10 11. 81
__
4 12. 72
__
3
Escribe cada una de las fracciones impropias como número mixto.
13. 19
___
3 14. 47
___
8 15. 54
___
9 16. 23
___
4 17. 45
___
7 18.
19. 58
___
4 20. 32
___
8 21. 121
____ 11
22. 112
____
6 23. 57
___
5 24.
Práctica adicional
Grupo C Compara. Escribe <, > o = en los círculos según corresponda.
69
8
31
18
1. 5
__
8 5
__
9 2. 3
__
5 4
__
5 3. 3
__
4 3
__
5
4. 21
___
56 7
__
8 5. 15
___
16 12
___
13 6. 25
__
6 2 1
___
12
7. 3 7
___
10 33
__
4 8. 14
__
9 14
__
7 9. 22
__
9 2 4
___
15
10. 113
___
16 13
__
4 11. 2
__
3 2
__
5 12. 2
__
3 4
__
5
13. 8
__
9 7
__
8 14. 1
__
4 2 __
6 15. 1
__
4 25
____ 100
16. 5
__
6 8
___
10 17. 13
___
22 6
___
21 18. 7
___
10 12
___
16
19. 4
__
6 8
___
12 20. 7
__
8 20
___
24 21. 4
__
5 8
__
9
22. 1
__
4 1
__
5 23. 10
___
12 5 __
6 24. 5
__
8 4
__
6
34
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 49/314
2
18
7 1 0
J u g a ndo
con
las f r ac c i o n e s J u g a
ndo
con
las f r ac c i o n e s
Jugadores2 jugadores
Materiales• 36 tarjetas con fracciones propias,impropias y números mixtos• 2 monedas diferentes• Dado numerado del 1 al 6
Coloca las tarjetas de números boca abajo en unmazo.
Cada jugador elige una moneda y la coloca en elcasillero de SALIDA. Decidan quién comenzará.
El jugador 1 saca una tarjeta del mazo ycompara las fracciones y/o números mixtos entresí e indica cuál es mayor.
El jugador 2 comprueba la respuesta. Si escorrecta, el jugador 1 lanza el cubo numeradoy mueve su moneda la cantidad de lugares queindica el cubo.
Luego, independientemente de si la respuesta seacorrecta o incorrecta, es el turno del jugador 2.
Gana el jugador que primero alcanza laLLEGADA.
Cómo se juega
Retroc3 luga
Retrocede3 lugares
Retrocede2 lugares
Pierdes unturno
Pierdes unturno
Pierdes unturno
¡Lanza nuevo
¡Lanza denuevo!
Avanza4 lugares
S A L I D A
Avanza4 lugares
L L E G A D A
35CAPÍTULO 2
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 50/314
Repasar la resolución de problemas
Resuelve.23. Marco descubrió que existe una relación entre los números compuestos 6 y 24. Identifica la relación y
escribe otros dos números que tengan la misma relación.
24. Raúl escribió los números 12 y 18 en el pizarrón. Descubrió que el m.c.d. de 12, 18 es 36.¿Cuál es el m.c.d. del par de números?
25. Ana escribió los números primos 3 y 11. Dice que cuando el m.c.d de dos números es1, el m.c.d. es el cociente de los números. ¿Tiene razón? Explica.
Repasar el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. Un número natural mayor que 1 que tiene como únicos factores
al 1 y a sí mismo se llama __________.
2. El número 3 es el __________de los números 6 y 15.
3. Los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6. El número 6 es un __________porque es un número natural mayor que 1 que tiene más dedos factores.
Repasar las destrezasHalla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números.
4. 3, 4 5. 8, 64 6. 15, 18 7. 9, 12, 18 8. 10, 20, 50
Escribe cada número mixto como fracción y cada fracción como número
mixto, como fracción en su mínima expresión.
9. 613
10. 145
11. 359
12. 1034
13. 427
Compara. Escribe , o .
14.38
23
15.47
67
16.14
15
17. 556
616
18. 412
334
Copia y completa.
19. 20.
Repaso/Prueba del capítulo 2
VOCABULARIO
máximo común divisor (m.c.d.)
número compuestonúmero primo
Fracción impropia Número mixto
2 enteros1
2
5 enteros
Fracción impropia Número mixto
5
4
8
321. 22.
36
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Parte de una horaParte de una horaA la 1 p.m. un guardia de la estación de trenes, le dijo a Raquel que eltren a la ciudad de Temuco saldría aproximadamente en 2 1/2 horas. Para
encontrar la hora de salida, Raquel pensó:
• En una hora hay 60 minutos.
• 1
__
2 de 60 es 30. Por lo tanto, mi tren sale en 2 horas y 30 minutos.
• Si sumo 2 horas y 30 minutos a la 1 p.m., la hora será 3:30 p.m.
• Por lo tanto, mi tren sale aproximadamente a las 3:30 p.m.
Ejemplos
Enriquecimiento • Números mixtos y la hora
Inténtalo
Escribe en forma de número mixto
1. 2 h 25 min 2. 1 h 24 min 3. 6 h 30 min 4. 3 h 50 min
ResuelveEscribe la respuesta en forma de número mixto.
5. 6 h 10 min – 3 h 55 min
6. 3 h 42 min + 3h 38 min
Explica cómo escribir 5 h 48 minen forma de número mixto.
A. Escribe 3 horas y 12 minutos en forma de número mixto.
12 min =1260 h =
15 h.
Por lo tanto, 3 h y 12 min en forma de número mixto es 315 h.
Piensa:
60 min = 1 h
1 minuto =1
60 h
B. 5 h 15 min
+2 h 50 min 7 h 65 min
7 h (60 + 5) min
7 h + 1 h +5
60 h 8
112
h
C. Convierte una hora en minutos para restar.
4 h 22 min 3 h + 1 h + 22 min = 3 h + 60 min + 22 min
–1 h 40 min –1 h 40 min
3 h 82 min
–1 h 40 min = 24260
= 27
10 h
2 h 42 min
También puedes sumar o restar horas y escribir la respuesta en forma de número mixto
37CAPÍTULO 2
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Números y operaciones
1. ¿Cuál de las alternativas muestracorrectamente ordenados los números de menor a mayor ?
A 2,36; 2,63; 2,62; 2,26
B 2,26; 2,62; 2,36; 2,63
C 2,63; 2,62; 2,36; 2,26
D 2,26; 2,36; 2,62; 2,63
Utilizando la recta numérica responde laspreguntas 2 y 3.
2. Qué números están representados por lospuntos rojos de la recta numérica.
A 0,2 y 0,5
B 0,1 y 0,6
C 0,3 y 0,7
D 0,1 y 0,5
3. ¿Cuál de los siguientes números no se puedenubicar entre los puntos rojos?
A 0,52
B 0,46
C 0,22
D 0,61
Patrones y álgebra4. ¿Qué alternativa muestra una fracción reducida
a su mínima expresión?
A 4
__
6 C 4
__
8
B 1
__
8 D 4
__
16
5. ¿Qué número mixto corresponde a la fracciónimpropia ?
A 2 C 2
B 2 D 2
6. Si x = 8, el valor de x + 15 – 3 = es igual a:
A 20 C 18
B 23 D 19
7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?
A C
B D
0 1
Aprendizaje en espiral
8. ¿Cuál es el número que falta?24 598 – = 14 009
A 10 599 C 10 579
B 10 589 D 10 570
9. Si el divisor es 24, el cociente es 321 y elresto es 6, ¿cuál es el dividendo?
A 7 704 C 13 375
B 7 710 D 13 381
1
11
24
38
910
18
511
5
115
115
38
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 53/314
Geometría – Medición
10. Calcula el perímetro de la figura
A 10 cm
B 20 cm
C 21 cm
D 42 cm
11. ¿Cuánto mide el perímetro del siguientetriángulo?
A 17 cm
B 30 cm
C 34 cm
D 60 cm
12. Si el área de un cuadrado es 16 cm²,¿cuál es la medida del lado?
A 6 cm
B 4 cm
C 8 cm
D 16 cm
Datos y probabilidades
3 cm
7 cm
5 cm
12 cm 13 cm
NOTAS DE QUÍMICA
Cantidad de alumnos 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
N O T A S
13. Si se hace girar la flecha, ¿en qué color esmenos posible que se detenga?
A rojo
B amarillo
C verde
D no se puede determinar
14. En una bolsa negra se introdujeron 10 bolitas:2 negras, 2 amarillas,1 verde y 5 rojas. ¿Québolita es más probable sacar?
A verde
B roja
C amarilla
D negra
15. Responde la pregunta a partir del gráfico.
¿Cuál es la diferencia entre la nota mayor y la menor?
A 7
B 6
C 2
D 4
39CAPÍTULO 2
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Imagina que trabajas en laguardia forestal del parquenacional Torres del Paine.Si un visitante quiere haceruna caminata de 7 hrs y 30minutos, ¿qué senderosdebe elegir?
Adición y sustracción
de fraccionesLa idea importante La adición y sustracción de fracciones y números mixtos se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes.
El Sistema Nacional de
Áreas Silvestres Protegidasdel Estado de Chile tiene a
su cargo el Parque Nacional
Torres del Paine, uno de los
parques más grandes del
país y el tercero en visitas.
Su superficie es de 242 242
hectáreas.
(1 ha = 10 000 m cuadrados)
www.conaf.cl
Sendero Tiempo
Sendero lagoPingo
81
2 km
Glaciar Grey 23
4 km
Glaciar Thindell 61
10
km
Laguna Azul 72
5 km
Lago Sarmiento 22
3 km
Tiempo estimado de
recorrido por los senderos
DATO
BREVE
40
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 3.
Fracciones equivalentes
Completa.
1. 2
__
7
___
14 2. 1
__
8
___
24 3. 1
__
3
___
24 4. 1
__
6 5
__
5.
__
6 2
___
12
6. 2
__
20
____
100 7. 9
___
36 1
__
8.
___
36 1 __
2 9.
___
15 1
__
3 10.
__
4 11
___
44
Mínima expresión
Escribe la fracción en su mínima expresión.
11. 3
__
6 12. 4
___
32 13. 5
___
15 14. 2
___
10 15. 9
___
27
16. 4
__
6 17. 6
___
10 18. 2
___
40 19. 5
___
75 20. 4
___
16
Sumar y restar fracciones con igual denominador.
Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.
21. 11
___
20 9
___
20 22. 3
__
8 1
__
8 23. 14
___
15 1
___
15 24. 3
__
4 2
__
4 25. 5
__
8 3
__
8
26. 9
___
12 1
___
12 27. 9
___
10 2
___
10 28. 9
___
20 5
___
20 29. 3
__
5 1
__
5 30. 1
__
7 1 __
7
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
mínimo común denominadorfracciones con distintodenominador
PREPARACIÓN
mínimo común denominador El mínimo común múltiplo dedos o más denominadores.
41CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Aprende
Paso Paso
PROBLEMA El cuerpo humano está compuesto por aproximadamente 3 _ 5
de oxígeno, 1
_ 5 de carbono y 1
__
10 de hidrógeno. Halla la fracción del cuerpohumano compuesta por estos elementos.Puedes sumar y restar fracciones con distinto denominador con la ayudade las barras de fracción.
Actividad 1
Materiales ■ barras
Suma.
3 __
5
1 __
5
1
___
10
Entonces, 9
__ 10 del cuerpo humano está compuesto por oxígeno, carbono e hidrógeno.
Primero, usa cálculo mental para hallar 3
_ 5 1
_ 5 .
3
_ 5 1
_ 5 4
_ 5
Luego, usa las representaciones pictóricaspara representar 4
_ 5 1
__
10
.
1 3 __
8 8 __
8 3 __
8 5 __
8
Vuelve a expresar 1 con ocho barras de 1 _
8 .
Resta 3 _
8 .
En la siguiente actividad puedes ver un ejemplo: cuando restas una fracción de un número natural,expresas el número natural como fracción.
Actividad 2
Materiales ■ barras
Resta. 1 3 __
8
Como 5
_ 8 está cerca de la estimación de 1
_ 2 , la respuesta es razonable. Entonces, 1 3
_ 8 5
_ 8 .
Por último, halla las barras que caben exactamente a lolargo de 4
_ 5 y 1
__
10
.
4 __
5 1
___
10 8
___
10 1
___
10 9
___
10
Adición y sustracción defraccionesOBJETIVO: sumar y restar fracciones con distinto denominador.
Completa.
1. 9
__
3
_ 4 2. 10
__ 15
__
3
3.
__
36 2
_
9 4. 16
__
28 4
__
5. 12
__ 54
__
9
Vocabulariofracciones con distinto denominador
mínimo común denominador
L E C C
I Ó N
1 11
1 11
42
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Paso Paso
Paso Paso
Usar denominadores comunesPara sumar o restar fracciones con distinto denominador sin usar materialconcreto, halla fracciones equivalentes. Las fracciones equivalentes puedenescribirse usando un denominador común o el mínimo común denominador .El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos omás denominadores.
Ejemplo 1 Usa un denominador común para hallar 5 __
6 4 __
9 .
Compara la respuesta con tu estimación. Como 1 5
__
18 está cerca de la
estimación de 11
_ 2 , la respuesta es razonable.
Entonces, 5
_
6 4
_
9 1 5
__
18
.
Ejemplo 2 Usa el mínimo común denominador para hallar 7
___
12 1 __
3 .
Estima. 7
___
12 está cerca de 1 __
2 y 1 __
3 está cerca de 0. 1 __
2 0 1 __
2 .
Multiplica 6 por 9 parahallar un denominadorcomún, 54. Usa eldenominador comúnpara escribir fracciones
equivalentes.
Suma los numeradores.Escribe la suma sobre eldenominador. Escribe larespuesta comofracción o como
número mixto.
7___
12 – 1
__
3
1 __
3• 4 __
4=
4___
12
7___
12– 1
__
3= 7
___
12– 4___
12
= 3___
12= 1
__
4
El mínimo común
denominador de 7
__ 12 y 1
_
3
es 12. Multiplica paraescribir fraccionesequivalentes con
el mínimo comúndenominador
Resta los numeradores.
Escribe la diferencia sobreel denominador. Anota larespuesta expresada como
fracción en su mínimaexpresión.
Compara la respuesta con tu estimación. Como 1
_ 4 está cerca de la
estimación 1
_ 2 , la respuesta es razonable.
Entonces, 7
__ 12 1
_
3 1 _ 4 .
Multiplica el numerador y eldenominador por un mismofactor para hallar una fracciónequivalente.
5 __
6 + 4
__
9
5 __
6· 9
__
9=
45
___
54
4 __
9· 6
__
6=
24
___
54
5 __
6 = 45
___
54; 4 __
9= 24
___
54
45
___
54 + 24
___
54= 69
___
54 =
1
1554
= 1518
43CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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13
712
16
45
23
13
Práctica adicional en la página 62, Grupo A
12. Explica cómo se halla 1
_ 8 5 _
6 .
Usa un denominador común para escribir el problema
con fracciones equivalentes. Luego, encuentra el resultado de la operación.
2. 5
__
8 1
__
6 3. 5
__
6 1
__
2 4. 6
__
7 1
__
2 5. 7
__
9 2
__
3 6. 2
__
3 5
___
12
Estima. Luego anota la suma o la diferencia en fracción simplificada a su mínima expresión.
7. 2
__
3 1
___
12 8. 11
___
18 3
___
18 9. 4
___
15 2 __
5 10. 7
___
16 3 __
4 11. 3
__
4 5
___
12
1. Usa las barras para hallar 1
_ 4 2 _
3 .
Usa un denominador común para escribir el problema con fracciones equivalentes.
Luego, encuentra el resultado de la operación.
13. 5 __
8 1
__
4 14. 4
___
11 8
___
22 15. 7
___
16 3
__
8 16. 4 __
9 1 __
5 17. 11
___
20 1
__
3
18. 2 __
5 1
__
6 19. 6
__
7 1
__
3 20. 1 1
___
15 21. 1
__
2 3
___
14 22. 2
__
3 1
__
5
Estima. Luego anota la suma o la diferencia en fracción en su mínima expresión.
23. 7 __
9 1
__
2 24. 4
__
5 1
___
15 25. 3
__
8 1
___
10 26. 1 __
2 1
__
3 27. 4
__
5 2 __
5
28. 2 __
3 1
__
4 29. 6
___
10 4
___
15 30. 6
___
25 3
___
10 31. 11
___
20 2
__
5 1 __
2 32. 1
__
4 1
__
3 1 __
2
33. ¿Cuánto es la suma de 2
__
7 y 1
__
2 ? 34. ¿Cuánto mayor es 1
__
4 que 1
__
6 ?
35. ¿Cuánto más largo que 3
__
4 de kilómetro es 7
__
8 de kilómetro? 36. ¿Cuál es la suma de 5
__
6 y 5
___
12 ?
Álgebra Usa el cálculo mental y resuelve. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.
37. n 1
__
8
7
__
8 38. y
1
__
6
1
__
6 39. m
1
__
3
2
__
3 40. z
1
__
9
6
__
9
Del 41 al 43, usa el diagrama de la derecha.
41. Halla la suma de las fracciones que están dentrodel triángulo, pero fuera del cuadrado.
42. Halla la suma de las fracciones que están fueradel triángulo, pero dentro del cuadrado.
43. Halla la diferencia entre las fracciones que estándentro del triángulo y del cuadrado.
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
1 11
44
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Comprensión de los Aprendizajes
Paso Paso
Fracción
de roca
sedimentaria
Tipo Esquisto Arenisca Piedra caliza
Tipo de roca sedimentaria
53
203
41
ÁLGEBRA Si conoces la regla de formación, puedes usarla para hallar el número que
sigue en la secuencia. Observa la siguiente secuencia 56
; 1 13
, 1 56
, 2 13
; . Halla el
número que sigue en la secuencia.
USA LOS DATOS Del 44 al 45, usa la tabla.
44. ¿Qué fracción de roca sedimentaria no es piedra caliza?
45. Plantea un problema Observa otra vez el problema 44,escribe y resuelve un problema similar.
46. DATO BREVE Los geólogos clasifican las rocasen tres grupos principales: ígneas, metamórficas y
sedimentarias. La corteza terrestre está compuesta por aproxima-damente 13
__
20 de rocas ígneas, 1
_ 4 de rocas metamórficas y 1
__
10 de rocassedimentarias. ¿Aproximadamente qué fracción de la corteza terrestreestá compuesta por rocas ígneas o por rocas metamórficas?(adaptado de: www.ciudadciencia.es)
47. Explica cómo se usa el mínimo común denominadorpara hallar la suma de 1
_ 4 y
5
_ 6 en fracción irreductible.
Halla una regla posible.
Como los números aumentan, prueba con la adición.
Intenta sumar 1 __
2 .
5 __
6 1 __
2 11
__
3 11
__
3 1 __
2 15
__
6 15
__
6 1 __
2 21
__
3
Una regla posible es sumar 1 _ 2 .
Usa la regla parahallar el número que sigue.
21
__
3
1
__
2
25
__
6
Entonces, 25 __
6 es el número que sigue en el patrón.
Escribe una regla posible. Halla la fracción que sigue en la secuencia según la regla de formación que
encontraste.
1. 1
___
12 , 1
__
3 , 7
___
12 , 10
___
12 , 2. 5, 41
__
4 , 31
__
2 , 23
__
4 , 3. 12
__
3 , 15
__
6 , 2, 21
__
6 ,
48. Ordena 5 _ 8 , 1 _
2 , 3 _ 4 de menor a mayor.
49. Leo necesita 4
_ 5 de metro de tela azul y 1
_ 4 de
metro de tela roja para hacer un proyecto.¿Aproximadamente cuánta tela necesita?
50. ¿Cuál es el mínimo común múltiplode 14 y 35?
51. ¿Cuánto es la suma, en fracción en su mínimaexpresión, de 9
__
16 14
__
16 12
__ 16 ?
A B C D 2
52. ¿Cuál es la diferencia, en fracción irreductible,entre 7
__
12 3
__ 10 ?
A 8
___
15 B 9
___
20 C 17
___
60 D 53
___
60
9
16
37
16
14
16
3
16
Una fracción escrita ensu mínima expresiónse denomina “FracciónIrreductible”.
Ejemplo912
=34
45CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Aprende
Adición y sustracción denúmeros mixtosOBJETIVO: Calcular adiciones y sustracciones de números mixtos.
Combina las partes enteras.
Combina las partes fraccionarias.
8 es múltiplo común de 4 y 8. Es decir,14
=28
2 1 3 2 __
8 3 __
8 5 __
8
Entonces, Valeria estuvo 35
_ 8 min en ambas montañas rusas.
Usa un denominador común.
Suma. 32 __
3 23
__
4
3 2 __
3 23
__
4 =
3 8___
12 2 9
___
12=
5 17
___
12= 5 + 1 5___
12= 6 5___
12
Entonces, 32 __
3 23
__
4 6 5
___
12 .
Escribe fracciones equivalentes conel mínimo común denominador, 12.Suma las partes fraccionarias. Sumalas partes enteras.
Expresa la fracción como númeromixto. Vuelve a escribir la suma.
Muestra 21
_ 4 13
_ 8 .
PROBLEMA En un parque de diversiones, Valeria estuvo 21 _ 4 min en
una montaña rusa y 13
_ 8 min en otra. En total, ¿cuánto tiempo estuvo
en ambas montañas rusas?
Adición. 21
__
4 1 13
__
8 Estima. 2 1 11
__
2 5 31
__
2
Haz un diagrama.
Halla la suma o la resta enfracción simplificada a sumínima expresión.
1. 3
_ 4 1
__
12
2. 5
__ 12 2
_
3 5
_
6
3. 7 __ 10 1 _
5
4. 3
_ 4 1
__
12
5. 1
_ 4 1
_
3 5
__ 12
L E C C
I Ó N
Suma las partes enteras 2 + 1 = 3
Suma las partes fraccionarias28
+38
=58
46
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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3
Restar números mixtosLa montaña rusa Kingda Ka, ubicada en Nueva Jersey, EE.UU., es la más alta y famosa del mundo. Desciende
desde su punto más alto hasta el más bajo en 31
_ 2 seg. La montaña rusa, ubicada en Santiago, Chile, desciende
desde su punto más alto hasta su punto más bajo en 2 3
__ 10 seg. ¿Cuál es la diferencia entre los tiempos de
descenso de cada montaña rusa? (Adaptada de www.altonivel.com)
1. Copia el siguiente diagrama. Luegousa tu diagrama para anotar y hallar
la diferencia entre 22
__
3 y 24
__
6 .
Haz un diagrama para mostrar la adición o sustracción. Luego, escribe la respuesta en fracción
simplificada en su mínima expresión (fracción irreductible).
2. 15
__
6 21
__
3 3. 22
__
5 3 1
___
10 4. 3 4
___
12 31
__
3 5. 31
__
3 21
__
4 6. 54
__
5 3 3
___
10
Estima. Luego escribe la suma o diferencia simplificada a su mínima expresión.
7. 8 7
__
8 21
__
8 8. 37
__
8 31
__
2 9. 10 9
___
20 83
__
4 10. 81
__
3 1 2
___
15 11. 4 1
__
6 31
__
4
12. Explica cómo se halla 45
__
8 21
__
4 .
Haz un diagrama.
Representa 312
10 es múltiplo común de 2 y 10.
Escribe las decimas equivalentes12 • (
12 =
510)
Resta la parte entera 3 – 2 = 1
Resta la parte fraccionaria510 –
310 =
210
210 =
15
Entonces 312 – 2
310 = 1
15
31 __
2 2 3
___
10 1 2
___
10 o 11
__
5 . Entonces, la diferencia de tiempo es de 11
__
5 seg.
•Expl ica por qué usaste la resta para resolver el problema.
Usa el mínimo común denominador para hallar 44 __
5 2 21 __
4 .
Estima. 44 __
5 está cerca de 5 y 21
__
4 está cerca de 2. Entonces, la diferencia es de aproximadamente 3.
44 __
5 – 21
__
4=
416
___
20 – 2 5
___
20 = 211
___
20
Si 5 no es múltplo de 4, se debe buscar el mínimo común múltiplo entre ambos números.
El mínimo común múltiplo de 5 y 4 es 20.
Escribe las fracciones equivalentes según corresponda:45
=1620
y14
=520
Resta las partes enteras 4 – 2 = 2Resta las partes fraccionarias
1620
–520
=1120
Entonces, 44 __
5 21
__
4 211
___
20 .
Resta. 31 __
2 2 3
___
10
Práctica con supervisión
47CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 62/314
Comprensión de los aprendizajes
Silver Star
Stealth
Beast
Thunder Dolphin
Montaña rusa Altura (metros)
Alturas de las montañas rusasmás extremas del mundo
41
73 metros
52
62 metros
21
97 metros
51
95 metros
Práctica adicional en la página 62, Grupo B
Haz un diagrama para mostrar la adición o sustracción. Luego escribe la respuesta en una fracción simpli-
ficada a su mínima expresión (fracción irreductible).
13. 41
__
2 21
__
5 14. 95
__
6 11
__
3 15. 3 5
___
12 1
__
3 16. 24
__
7 11
__
2 17. 11
__
3 21
__
6
Estima. Luego escribe la suma o la diferencia en fracción simplificada a su mínima expresión.
18. 163
__
4 51
__
3 19. 125
__
6 32
__
3 20. 5 718 51
__
6 21. 4 35 2 14 22. 41
__
2 34
__
5
23. 122
__
3 63
__
4 24. 75
__
6 41
__
5 25. 83
__
8 21
__
3 26. 4 7
___
10 12
__
5 27. 51
__
2 21
__
6
28. ¿Cuánto es la suma de 41
_ 2 y 71
_ 6 ?
30. ¿Cuánto mayor es 103
_ 4 que 82
_ 3 ?
29. ¿Cuánto es la suma de 65
_ 6 y 45
_ 6 ?
31. ¿Cuánto mayor es 12 7
__ 12 que 91
_ 3 ?
Halla la incógnita.
32. 51
__
2 31
__
4 51
__
2 33. 71
__
8 0 34. 11
__
6 (11
__
5 11
__
4 ) (11
__
6 ) 11
__
4
USA LOS DATOS Del 35 al 37, usa la tabla.
35. ¿Cuánto más alta es la montaña rusa Thunder Dolphinque la montaña rusa Stealt?
36. Razonamiento ¿Qué montañas rusas tienen la menordiferencia en su altura?
37. ¿Cuál es el error? Francisco dice que
Thunder Dolphin es más alta que Stealth por 103
20
metros de altura. Describe su error y halla la
respuesta correcta.
Álgebra
38. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de losnúmeros 2 y 3?
39. Haz una lista con los primeros tres múltiploscomunes del numerador y el denominadorde 3
_ 5 .
40. Hay 163
_ 4 metros de tela en un rollo. Si se usan
42
_ 3 metros, ¿cuánto queda?
A 10 metros C 121
__
4 metros
B 12 1
___
12 metros D 21 5
___
12 metros
41. Carlos usó 2
_ 3 de taza de jugo de uva y 3
_ 4 de taza
de jugo de manzana para preparar refrescode frutas. ¿Aproximadamente cuántas tazas derefresco de frutas preparó?
42. Un carnicero vendió dos paquetes de carneque pesaban 12
_ 3 kg y 53
_ 4 kg. ¿Cuánto pesaba la
carne en total?
A 4 kg C 53
_ 4 kg
B 41
_ 3 kg D 7 5
__
12 kg
Práctica independiente y resolución de problemas
48
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 63/314
Resolución de problemas Resume la
información y resuelve los problemas.
¡Atracción a tracción!
Destreza
de lectura Resumir
1. Resuelve el problema de arriba.
2. Una de las montañas rusas de madera más famosas es Psyclone. Tiene un tren que consta de 6vagones. Los 24 pasajeros del tren se ordenan en 2 filas de 2 pasajeros. Viper , otra montaña rusadel parque, fue alguna vez la montaña rusa de circuito cerrado más larga del mundo. Viper estácompuesta por un tren de 7 vagones y cada vagón tiene capacidad para 4 personas. Según el registrode los operadores, 41
_ 4 de los vagones de Viper y 51
_ 2 de los vagones de Psyclone estaban completos
antes de comenzar el recorrido. ¿Cuántos vagones estaban llenos durante el conteo en ambasmontañas rusas? Resuelve el problema.
Un parque de diversiones, ofrece a los visitantes gran
diversidad de juegos. La montaña rusa recorre 576 metros y
consta de 3 trenes con 8 vagones cada uno. Las personas se
sientan en filas de 4, por lo que cada tren puede llevar a 32
personas.
Los operadores llevan un registro de los pasajeros que
se suben a cada tren. En un recorrido, los operadores
informaron que 41
4 de los vagones del primer tren y 5
1
2 de
los vagones del segundo tren estaban ocupados. En el tercer
tren registraron que 3
3
4 de los vagones llevaban pasajeros.¿Cuántos vagones más tenía ocupado el primer tren con
respecto al tercero?
Cuando resumes, vuelves a enunciar la información más
importante de manera más breve para comprender lo que
leíste.
Resumen: Hay tres trenes con 8 vagones cada uno.
Los pasajeros se sientan en filas de 4 en cada vagón. En
el primer tren, un total de 41
4 de los vagones estaban
ocupados. En el segundo 51
2 de los vagones llevaban
pasajeros. En el tercero, 33
4 de los vagones estaban
llenos.
49CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 64/314
Representar sustraccionesde números mixtosOBJETIVO: usar material concreto para expresar y restarnúmeros mixtos.
Materiales ■ barras
Las barras pueden usarse como ayuda para restarnúmeros mixtos y números naturales.
Usa barras para hallar 3 12
_ 3 . Representa
3 con tres barras enteras.
Como estás restando tercios, representa 3 con partesenteras y partes fraccionarias, reemplazando una delas barras enteras con tres barras de 1
__
3 .
Resta 12
_ 3 . Escribe la respuesta en su fracción irreductible.
Sacar conclusiones 1. Explica cómo se expresó el número 3.
2. En el paso B, ¿por qué 3 tuvo que expresarse como23
_ 3 ?
3. ¿Hay otras maneras de expresar 3? Explica.
4. Aplicación Usa pasos similares a los de arriba parahallar 5 21
_ 6 .
Halla el m.c.m. de cadagrupo de números.
1. 9, 12 2. 8, 123. 5, 6 4. 4, 55. 12, 18, 72
50
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 65/314
Explica por qué es necesario expresar 519
como 4109
para hallar la diferencia entre:
519
– 259
. Luego resuelve.
Explica por qué es necesario expresar 5xplica por qué es necesario expresar 5xplica por qué es necesario expresar 5
Las barras también pueden usarse para restar dos números mixtos.
Actividad
Materiales ■ barrasHalla 21 __
4 2 13 __
8 .
· Usa las barras para representar 21 __
4 .
Halla la diferencia. Con las representaciones de barras se muestra la forma en que es necesario expresar la resta.
1. 2 11
__
5
· Como estás restando octavos, piensa cuántos octavos hacen14
. Ya que
8 es múltiplo de 4, ambos tienen como mínimo común denominador 8.
·
¿Puedes restar 13
_
8 de alguno de estos modelos?
· Otra manera de representar 228
es representando uno de los enteros
en88
más28
=108
.
Por lo tanto es 1108
¿Puedes restar 138
a 1108
en este modelo?
Entonces, 21
4
13
8
7
8
21 __
4
22 __
8
2. 31
__
3 22
__
3
Usa barras para hallar la diferencia. Escribe la respuesta en fracción simplificada a su mínima
expresión.
3. 6 2 4. 5 1 5. 3 1 6. 4 1
7. 5 4 8. 41
__
6 1 9. 62
__
6 5 10. 4 3
11. ¿Cuál es el error? Juan resolvió la operación 101
_ 4 63
_ 4
Observa su respuesta: 105
__
4 2 63
__
4 5 41
__
2 . Describe su error y halla la respuesta correcta.
3
4
1
2
9
10
1
4
1
10
7
10
5
6
5
6
1
8
5
8
1 1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8 110
___
8
51CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 66/314
Aprende
Paso Paso
Halla la diferencia.
1. 7 __
8 2 __
8 2. 4 __
9 1 __
9
3. 3 __
4 1 __
8 4. 1 __
2 1
___
10
5. 2 __
3 1 __
6
Puedes usar un diagrama de mínimo común denominadorpara hallar la diferencia entre dos números mixtos.
Haz un diagrama.
8 1 __
3– 4 7
___
12
8 4___
12 – 4 7
___
12
Entonces,8 1
_
3 4 7
__ 12 33
_ 4 .
Usa el mínimo común denominador para hallar 81 __
3 2 4 7
___
12 .
Estima. 81 __
2 2 41
__
2 4.
El mínimo común
denominador de 1 _
3 y 7
__
12
es 12. Escribe fraccionesequivalentes usando el
mínimo común
denominador
8 1 __
3– 4 7
___
12
8 4___
12 – 4 7___
12
7 16
___
12– 4 7
___
12
3 9___ 12
o 3 3 __
4
7 __
12 es mayor que 4
__
12 ,
entonces hay que expresar
8 4
__
12
como parte entera y parte
fraccionaria.
8 4
__
12 7 12
__
12 4
__
12 716
__
12 .
Resta y luego simplifica.
Halla 21 __
2 2 15 __
6 .
2 1 __
2– 1 5
__
6= 2 3
__
6– 1 5
__
6
2 1 __
2– 1 5
__
6= 2 3
__
6– 1 5
__
6= 19
__
6– 15
__
6
1 9 __
6– 1 5
__
6= 4 __
6= 2 __
3
Entonces, 21 __
2 15
__
6 4 __
6 o 2
__
3 .
Algoritmo de la sustracciónde números mixtosOBJETIVO: expresar el algoritmo para hallar la diferencia entre dosnúmeros mixtos.
L E C C
I Ó N
Escribe una fracción equivalente usando el
mínimo común denominador
Como 5 __
6 3 __
6 , expresa 23
__
6 como 19
__
6
Resta y luego simplifica.
52
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 67/314
Comprensión de los aprendizajes
Cantidad
Jugo denaranja
Jugo depiña
Jugo dearándano
Jugo demanzana
FRUTA
Medidas para refresco de fruta
241
43 1
32
31
1. Copia y completa para expresar 22
__
3 como 15
__
3 . 22
__
3 1 15
__
3
Estima. Luego escribe la diferencia como fracción simplificada a su mínima expresión.
2. 43
__
8 25
__
8 3. 13
__
4 7
__
8 4. 121
__
9 71
__
3 5. 41
__
2 34
__
5 6. 91
__
6 23
__
4
7. Explica cómo se vuelve a expresar la operación para hallar 31
_
9 21
_
3 .
Estima. Luego escribe la diferencia como fracción simplificada a su mínima expresión.
8. 21
__
5 14
__
5 9. 32
__
3 111
___
12 10. 41
__
4 21
__
3 11. 111
__
9 32
__
3 12. 6 31
__
2
13. 7 52
__
3 14. 75
__
9 25
__
6 15. 11
__
5 1
__
2 16. 43
__
8 31
__
2 17. 131
__
6 34
__
5
18. ¿Cuál es la diferencia entre 122
_ 5 y 53
_ 4 ? 19. ¿Cuánto mayor es 61
_ 7 que 111
__ 14 ?
Álgebra Halla el valor de la fracción simplificada a su mínima expresión: c 2 7
__ 10 .
20. 43
__
5 c 21. 51
__
2 c 22. 43
__
5 c 23. 51
__
2 c
USA LOS DATOS Para 24 - 26, usa la receta.
24. Para la fiesta, Raúl decidió reducir lacantidad de jugo de naranja en 3/4.¿Cuánto jugo de naranja usó Raúl?
25. En la receta, ¿cuánto más jugo de naranjaque de manzana hay?
26. Raúl decidió reducir la cantidad de jugo dearándano en 3/4 a partir de la receta original. ¿Cuánto jugo de arándano usó?
27. ¿Por qué escribes fracciones equivalentes antes derealizar la operación correspondiente? ¿Puedes cambiar la expresión antes deescribir la fracción equivalente? Explica.
28. Tomás echó 21
_ 4 kg de arena en la entrada de
autos porque estaba cubierta de nieve. ¿Cuántole queda de su bolsa de 5 kg?
29. Escribe 51
_ 2 como fracción impropia.
30. María usó 1
_ 3 de metro de tela morada y 1
_ 6 de
metro de tela amarilla. ¿Cuánta tela usó en total?
31. Patricia suele trabajar 813 horas diarias. El día
viernes, estuvo ausente 223 horas. ¿Cuántas
horas trabajó el día viernes?
A 523 C 61
3
B 513 D 62
3
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
Práctica adicional en la página 62, Grupo C 53CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Destreza
de lectura
33 metros
521
metros
1621 metros
1 poste
521
metros 521
metros
521
metros
521
metros
521
metros
521
metros
521
metros
521
metros
Usa la estrategiaPROBLEMA Imagina que la Sociedad Protectora de Animales de Osorno decidecomprar un canil rectangular que mide 33 metros por 161
_
2 metros. Se insertaránpostes de acero cada 51
_
2 metros a lo largo del perímetro. Habrá un poste en cadaesquina y todos los postes medirán 6 metros de altura. ¿Cuántos postes de acero senecesitarán?
• Identifica los datos.
• ¿Qué datos usarás?
• ¿Hay algún dato que no usarás? Si es así, ¿cuál?
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver este problema?
Puedes hacer un diagrama para resolver el problema.
• ¿Cómo puedes usar la estrategia para
resolver el problema?
Traza un rectángulo para representarel canil. Coloca marcas a lo largo del
perímetro del rectángulo para representarlos postes.
Cuenta el número de marcas quecolocaste alrededor del rectángulo. Cadaesquina debe tener solo una marca.
Entonces, se necesitarán 18 postes deacero.
• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
55CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 70/314
Resolución de problemas con supervisión
1. Imagina que los veterinarios deciden dividir el canil que se muestra enla página 55, para tener un área que sea solo para perros pequeños.Esta nueva sección medirá 101
_ 4 metros por 161
_ 2 metros. Halla las
dimensiones del canil usado para los demás perros.
Primero, haz un diagrama de todo el canil. Luego, resta la longitud de la nueva sección de la
longitud de todo el canil.
Por último, anota las dimensiones del área paraotros perros.
2. ¿Qué pasaría si la longitud de la sección paraperros pequeños fuera 51
_ 2 metros más larga? ¿Cuál
sería la longitud del canil para los demás perros?
3. Ingresan dos perros nuevos en el canil. Rex
pesa 21 _ 2 kg más que el doble del peso de Bobby.
Juntos, los perros pesan 100 kg. ¿Cuánto pesacada perro?
Haz un diagrama y resuelve.
4. La camioneta de la Sociedad Protectora recorrió71
_ 2 kilómetros hacia el sur para recolectar una
donación de provisiones. Luego recorrió 31
_ 2
kilómetros hacia el este, 41 _
3 kilómetros haciael norte y 111
_ 2 kilómetros hacia el oeste. ¿Qué
distancia recorrió la camioneta antes de cruzarsu propio camino?
6. El gato de Sandra fue uno de los primeros cuatrodel concurso, pero no tuvo mejor posición queel gato de Carlos. El gato de Pedro se ubicódebajo del de María y el de Sandra. El gatode Carlos quedó dos lugares arriba que el deBruno. ¿Qué gato fue el ganador?
8. Daniel usa la tabla de la derecha para llevar lacuenta de la cantidad de alimento que debedar a los perros del canil. ¿A qué perro le dio lamayor cantidad de alimento? ¿A qué perros lesdio entre 31
_ 2 tazas y 41
_ 4 tazas de alimento?
5. Una tienda de mascotas donó en total 72 latasde alimento para perros y para gatos. Había4 latas más de alimento para perros que el triple
de la cantidad de latas de alimento para gatos.¿Cuántas latas de alimento para perros donó latienda?
7. Marcos llevó a su perro al parque el 1° de marzoy a partir de esa fecha lo llevó una vez cada tresdías. Salieron a correr el 2 de marzo y una vezcada cuatro días a partir de esa fecha. ¿Cuál esla primera fecha en que Marcos llevó a su perroal parque y a correr con él?
9. Observa la tabla de la derecha. Dos de los perroscomen un total de 81
_ 8 t de alimentos en una
comida. Si un perro come 11
_ 8 t más que el otro
por comida, ¿cuánto come cada perro?
Ali
Blanca
Orson
Max
Nombre Tazas de alimento (t)
Cantidad diaria de alimentos
481
341
483
343
Resolución de problemas · Práctica de estrategias
56
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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ESTRATEGIAESTRATEGIAELIGE UNA
Apolo
Broko
Perro Primer salto (m) Segundo salto (m) Tercer salto (m)
Salto largo de las Olimpiadas caninas
321
461
331
343
4121
365
Hacer un diagrama o dibujo
Hacer un modelo o unadramatización
Hacer una lista organizada
Buscar un patrónHacer una tabla o gráfico
Predecir y probar
Trabajar desde el final hastael principio
Resolver un problema más sencillo
Escribir una ecuación
Usar el razonamiento lógico
Práctica de estrategias mixtas10. Un saco de alimento para perros de 50 kg
contiene proteínas de carne, vitaminas ycereales. En el saco de 50 kg, las proteínas decarne abarcan 193
_ 4 kg y las vitaminas, 187
_ 8
kg. ¿Cuántos kilógramos de cereales hay en elalimento?
12. Cada semana, Marcela ahorra 2
_ 3 de su mesada
y gasta 1
_ 5 en juguetes para su nuevo cachorro.
¿Qué fracción de su mesada le queda?
14. Problema abierto Imagina que quieresconstruir un área de juegos rectangular paratu nuevo cachorro y quieres cercarla. Haz unplano del área de juegos usando 241
_ 2 metros
de cerca. Haz un diagrama del área de juego yrotula las medidas en cada lado.
11. Un cachorro pesó 13
_ 4 kg al nacer. Durante la
primera semana, aumentó 1
_ 8 kg por día. ¿Cuánto
pesaba el cachorro después de la primerasemana?
13. Plantea un problema Vuelve a leer elproblema 12. Escribe uno similar, pero cambiala cantidad de dinero que ahorra Marcela de sumesada.
15. Explica las operaciones queusaste para resolver el problema 10.
ESFUÉRZATEEn la competencia de salto largo de las Olimpiadas
Caninas, se suman las longitudes de los tres saltos deun perro para obtener la distancia final. Del 16 al 17,
usa la tabla.
16. En la segunda ronda de saltos se midió la distanciaentre Apolo y Bronco. ¿Cuál fue la diferencia entrela suma de las longitudes de los saltos de Apolo yBronko en la segunda ronda de salto?
17. El último salto de Romeo fue 11
_ 4 metros mayor que el de Apolo. ¿Qué longitud tuvo el salto de Romeo
en el tercer salto?
57CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 72/314
Aprende
Practicar adiciones ysustracciones de fraccionesOBJETIVO: Adición y sustracción de fracciones y números mixtos.
Escribe en su forma irreductible
1. 5
___
25 2. 10
___
16
3. 18
___
36 4. 25
___
30
5. 9
___
15
Estima. Tanto 7 __ 10 como 3 _ 5 están cerca de 1 _
2 . Entonces, ladiferencia es aproximadamente 4 (1
_
2 1 _
2 ) o 3.
Suma y halla la distancia que recorrieron hasta ahora.
7___
10+ 3
__
5= 7
___
10+ 6
___
10
= 13
___
10o 1 3
___
10
Resta y halla la distancia que queda por visitar.
4 – 1 3___
10 = 310
___
10 – 13___
10
=2 7___
10
Escribe fracciones equivalentes usando elmínimo común denominador: 10.
Expresa la fracción como número mixtoreducido a fracción irreductible.
Como estás restando decenas, expresa las
partes enteras 4 como 310
__
10 .
Resta las partes fraccionarias.
Resta las partes enteras.
La respuesta es razonable porque está cerca de la estimaciónde 3.
Entonces, a la familia de Juan le quedan 2 7
___
10 km por visitar.
¿Qué pasaría si para llegar a la Piedra del Águila hubiesen
tenido que recorrer 1 3
___
10 km? ¿Cómo crees que esto cambiaríala respuesta?
PROBLEMA Juan y su familia visitan el Parque Nacional Nahuelbuta.Esta es una reserva de araucarias y eligieron para visitar uno de sus sectoresde 4 km aproximadamente, donde encontrarán vistas al océano Pacífico y bosquesde diferentes especies. Ayer recorrieron km. Hoy, recorrieron km para visitar unmirador llamado la Piedra del Águila por la entrada norte. Si la familia quiere recorrertodo el lugar, ¿cuántos kilómetros más le quedan por visitar?
Ejemplo 1 Calcula 4 2 ( 7___
10 1 3 __
5 ).
L E C C
I Ó N
7
10
3
5
58
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 73/314
Ejemplo 2
Resta. 8 35
2 2 910
8 35
2 2 910
=
8 610
2 2 910
=
8 35
2 2 910
= 8 610
2 2 910
= 6 610
2 910
= 51610
2 910
= 5 710
Más ejemplos
Halla 3 13
2 14
.
3 13
2 14
3 412
2 312
3 2 5
412 3
12 7
12
Entonces, 3 13
2 14
5 712
Escribe fraccionesequivalentes usandoel mínimo comúndenominador: 12.
Suma la parte entera.
Suma la parte fraccionaria.
Entonces, 2 13
– 1 16
1 16
Halla 2 13
– 1 16
.
2 13
– 1 16
2 26
– 1 16
2 – 1 1
26
– 16
16
Escribe fraccionesequivalentes usandoel mínimo comúndenominador: 6
Resta.
1. Halla la diferencia de la siguiente sustracción.
82 __
3 – 1 6
___
21 =
Práctica con supervisión
Práctica adicional en la página 62, Grupo D
Expresa la resta connúmeros mixtosequivalentes cuandoel numerador dela fracción que seresta es mayor queel numerador de lafracción de la que sequiere restar.
R e cuer d a
Resuelve aplicando el procedimiento.
El mínimo común denominador: de 35
y 910
es 10.
Escribe fracciones equivalentes usandoel mínimo común denominador, 10.
Como 910
es mayor que 610
, expresa 8 610
como un
número mixto equivalente.
8 610
7 1010
610
71610
.
Resta las partes enteras. Resta las partesfraccionarias.
Entonces, la diferencia entre 8 35
– 2 910
es 5 710
.
59CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 74/314
Álgebra
Estima. Luego, escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión.
2. 3
___
16 5 __
8 3. 3
___
4 2 __
3 4. 5
___
18 3
___
20 5. 7
___
8 1
___
6
6. 3 (21
__
6 1 __
3 ) 7. 10 5
___
18 85
__
6 8. 5 1
___
12 1 __
4 9. 3 21
__
6
10. Explica cómo sabes si es necesario expresar la operación como unnúmero mixto equivalente para restar una fracción o un número mixto.
Estima. Luego, escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión.
11. 12. 13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 43
__
4 2 7
___
20 20. 21
__
6 11
__
2 21. 21
__
5 1 1
___
20 22. 23
__
5 53
__
8
23. 7 23
__
5 24. 8 11
__
4 5
__
6 25. 3
__
5 1 __
3 4
___
15 26. 61
__
3 21
__
2 1 __
4
27. ¿Qué número es 5
__
7 menor que 31
__
2 ? 28. ¿Cuánto menor que 21
__
2 es 3 5
___
12 ?
30. 9, 73
_ 4 , 6
1
_ 2 , 5
1
_ 4 , , 31. 53
_ 8 , 6
3
_ 4 , 8
1
_ 8 , 9
1
_ 2 , ,
Resuelve. Luego, explica cómo resolviste el problema.
32. Daniela estuvo 31
_ 3 de h andando en bicicleta
cuesta abajo el sábado y 43
_ 5 de h el domingo.
¿Cuántas horas estuvo andando en bicicleta losdos días?
34. Iván y su hermana participan de una cicletadaque tiene un circuito de 15
_ 6 km de largo.
Recorrieron 2
_ 3 km antes del almuerzo y 3
_ 4 km
después de almorzar. ¿Cuántos kilómetros lesquedan por recorrer?
33. Matías recorrió en su bicicleta 41
_ 3 km de
un circuito dado que termina en el club Los
Ciclistas. Después de recorrer los 27
_
8 km pasócerca de una granja. ¿A qué distancia está elclub de la granja?
35. Nicolás corrió 31
_ 4 km, luego trotó 21
_ 8 km y
caminó 31
_ 6 km. ¿Qué distancia recorrió en total?
29. Razonamiento Eric eligió un número mixto. Luego, sumó 12
y restó 13
.
El número final fue 213
. ¿Cuál fue el número mixto?
Práctica independiente y resolución de problemas
5
6
1
4
24 7
10
2
5
1
5
3
10
963
4
13 4
5
2
3
38
1
7
1
2+9
16
1
4
2
3
7
9
Halla una regla posible para cada secuencia. Usa la regla
para escribir los siguientes dos números de la secuencia.
60
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Circuito
Las Águilas
Las Grutas
El Puente
Los Troncos
Distancia (km)
Comprensión de los aprendizajes
u Minerva, diosa de
la sabiduría.
uncia
sextans
quadrans
triens
semis
Fracción Denominación romana
121
61
41
31
21
USA LOS DATOS Del 36 al 37, usa la tabla.
36. El señor Díaz participó en dos circuitos. Recorrió untotal de 9
__
10 km. ¿En cuáles circuitos participó?
37. ¿Cuál es la pregunta? La respuestaes que el circuito Los Troncos es 1
_ 4 km más largo.
38. En un plano cartesiano, ¿cómo podría escribirsecomo un par ordenado ( x , y ) el punto que está3 unidades arriba del origen y 2 unidades a laderecha?
39. Luis corrió 63
_
4 km el lunes y 31
_
2 km el domingo.
¿Cuántos kilómetros corrió los dos días?
A 8 kilómetros C 101
_ 4 kilómetros
B 91
_ 2 kilómetros D 12 kilómetros
40. Si se coloca una caja de 1
_ 3 de metro de altura
encima de una caja de 3
_ 4 de metro de altura,
¿aproximadamente qué altura tienen las cajasapiladas?
41. Halla 2
_
3
2 _
3
2 _
3
42. Halla el número que falta.
9 8
__
7
A 6 C 8
B 7 D 9
En la Antigua Roma se escribían las fracciones con palabras en lugar de usarnúmeros. Por ejemplo, la fracción dos séptimos se hubiera representadocomo duae septimae.
Sin embargo, cuando los romanos necesitabanhacer cálculos con fracciones, usaban el uncia, querepresentaba 1
__
12 de cualquier cosa. En la tabla, se muestranlas denominaciones de la Antigua Roma para algunasfracciones comunes.
Usa la tabla de denominaciones romanas de las
fracciones y resuelve.
1. Lulius aró un triens de su campo en la mañana y otroquadrans en la tarde. ¿Cuántos uncia le quedan porarar?
2. Lulia derramó un uncia del agua de la jarra mientras latraía del pozo. Usó quadrans de la jarra para prepararsopa. ¿Cuántos uncia de la jarra le quedaron?
Resolución de problemas Conexión con Historia, Geografí a y Ciencias Sociales
Adaptado de: Institutianum Justiniani Procemium.
61CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 76/314
Grupo A Usa un denominador común para escribir el problema usando fracciones equivalentes.
Luego, resuelve.
1. 2
__
3
1
__
4 2.
2
__
5 2
1
___
15 3. 5
__
8 2
1
__
5 4.
1
__
4
1
__
6 5.
3
__
4 2
2
__
5
6. 1
__
2 3
__
5 7. 9
___
10 1
__
3 8. 6
__
7 2 1 __
4 9. 3 __
5 1
__
4 10. 1 2 1
__
6
11. Uno de los cachorros de Coni pesa 95
_ 6 kg
y el otro, 71
_ 3 kg. ¿Cuánto pesan los dos
juntos?
12. Pablo cortó cuerdas de 63
_ 4 y 32
_ 3 metros de
longitud. ¿Cuánto mayor es la longitud deltrozo de cuerda más largo?
Grupo C Estima. Luego escribe la diferencia como fracción en su mínima expresión.
1. 31
__
4 2 23
__
4 2. 22
__
3 2 15
__
6 3. 51
__
5 2 31
__
4 4. 101
__
8 2 43
__
4 5. 5 23
__
4
6. 8 2 41
__
3 7. 51
__
6 2 42
__
5 8. 11
__
6 2 2
__
3 9. 33
__
8 2 21
__
2 10. 81
__
3 2 35
__
6
11. El gásfiter usó 21 _
2 metros de cañería de cobre yluego otros 3
_ 4 de metros. ¿Cuánto usó en total?
12. Luis guardó 14 fardos de pasto seco y Tomás,101
_ 6 fardos de pasto seco. ¿Cuánto más pasto
seco guardó Luis que Tomás?
Grupo D Estima. Luego escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión.
1. 1
___
10 1 __
3 2. 13
___
16 2 3 __
4 3. 85
__
8 2 41
__
4 4. 10 2 32
__
5 5. 2
__
5 2 __
3 7
___
15
6. 11
___
12 2 2 __
5 7. 53
__
4 1 65
__
6 8. 4 1
___
10 2 33
__
5 9. 6 3
___
16 2 23
__
8 10. 43
__
8 1 21
__
4 1 5
___
12
Grupo B Estima. Luego escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión
1. 121
__
3 2 71
__
5 2. 55
__
6 2 31
__
3 3. 32 5
___
18 45
__
6 4. 9 7
___
20 51
__
4 5. 33
__
4 74
__
5
6. 55
__
6 2 31
__
2 7. 121
__
3 2 91
__
4 8. 55
__
8 31
__
2 9. 31
__
2 21
__
9 10. 145
__
7 2 3 3
___
14
Práctica adicional
62
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 77/314
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 78/314
31. Claudio camina 11
_ 2 km hacia el sur, 21
_ 4 km hacia el oeste, 3
__
8 km hacia el norte, 1 km hacia el este y
11
_ 8 km hacia el norte. ¿A qué distancia y en qué dirección debe volver a casa por el camino más
corto?
32. María construye un corral rectangular para su cerdo. El corral tiene 131
_ 2 metros de longitud y 9
metros de ancho. Se colocarán postes de madera cada 41
_ 2 metros alrededor del perímetro con un
poste en cada esquina. ¿Cuántos postes necesitará?
33. Mientras caminan juntos por una calle recta, Juan está 151
_ 2 metros delante de un
punto que está 123
_ 4 metros detrás de Andrea. ¿Dónde está Andrea con respecto a Juan?
Explica con un diagrama.
Repasar el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. Las fracciones equivalentes se pueden representar utlizando un ________
2. Una fracción ________________ es aquella que no se puede reducir más.
Repasar las destrezasEstima la suma o la diferencia.
3. 1
__
9 8
___
11 4. 7
___
15 3
__
5 5. 6
__
7 1
__
8 6. 411
___
12 25
__
8
7. 71
__
8 64
__
7 8. 10 1
___
16 17
__
8 9. 11
___
12 3
__
7 1
__
9 10. 34
__
5 77
__
8 11
__
9
Usa un denominador común para escribir el problema usando fracciones equivalentes.
11. 3
__
8 3 __
4 12. 5
___
13 3
___
26 13. 1
__
3 4 __
9 14. 4
__
5 2
___
15 15. 5
__
7 1 __
2
16. 3
__
4 1 __
5 17. 5
__
6 1 __
4 18. 13
___
20 1 __
3 19. 4
__
9 1
__
5 20. 1
__
2 1 __
3
Estima. Luego escribe la suma o la diferencia en su fracción en su mínima expresión.
21. 2
__
5 3
___
10 22. 3
__
4 2 __
3 23. 2
__
9 1
__
3 24. 4
__
7 1
__
2 25. 22
__
5 12
__
5
26. 7
5
___
12
3
1
__
6 27. 10
3
__
4
8
1
__
3 28. 4
1
__
2
2
2
__
3 29. 3
1
__
3
2
3
__
4 30. 2
2
__
3
4
3
__
8
1
__
2
Repasar la resolución de problemasResuelve.
VOCABULARIO
simplificada a su mínima
expresiónmínimo común
denominador
fracciones con distinto
denominador
Repaso/Prueba del capítulo 3
64
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 79/314
Las fracciones unitarias creadas por los antiguos egipcios,son fracciones que tienen 1 como numerador y un númeronatural que no sea cero como denominador. Los egipciosusaban sumas de fracciones unitarias para representartodas las fracciones no unitarias.
Una fracción escrita como suma de diferentes fraccionesunitarias se llama fracción egipcia. Cada fracción puedeescribirse como una suma de fracciones unitarias. Cadasuma puede escribirse en un número ilimitado de formas.
TraduceEscribe las fracciones como la suma de fracciones unitarias.
1. 8
___
15
2. 4
__ 9 3. 9
___
14
4. 10
___
21
5. 4
__ 3 6. 7
___
24
p Henry Rhind compró este pergamino
de papiro en Egipto, en el año 1858.
El papiro está guardado en el British
Museum de Londres, Inglaterra.
El papiro representa la mejor fuente de
información sobre matemática egipcia
que se conoce. Escrito en hierático,
consta de 87 problemas y su resolución,
abarcando aritméticas básicas,
fracciones, cálculo de áreas, volúmenes,
progresiones, repartos proporcionales,
reglas de tres, ecuaciones lineales y
trigonometría básica. Fue escrito por elescriba Ahmes aproximadamente en el
año 1650 a.C.Fuente:
Adaptación de www.egiptología.org
Como los egipcios
Escribe 5 _ 6 como la suma de fracciones unitarias.
Entonces, 5
_
6 puede escribirse como 1
_
2 1
_
3 .
• Muestra que 1
_ 3 puede escribirse como 1
_ 4 1
__
12 y1
_ 4 puede
escribirse como 1
_ 5 1
__
20 .
• Muestra que 5
_
6 puede escribirse como 1
_
2 1
_ 4 1
__
12 o como
1 _ 2 1
_ 5 1
__
12 1
__
20 .
Paso 1
5
__ 6 1
__ 2 , entonces resta 1
__ 2 . Halla la fracción unitaria mayor que
pueda restarse de 5
_
6 .
Paso 2
5
__ 6 1
__ 2 5
__ 6 3
__ 6 Resta. Repite el proceso hasta que la
diferencia sea una fracción unitaria.
2
__ 6 o 1 __ 3
Informa de tus descubrimientos
Explica cómo se escribe 3
__ 8 como la suma de fracciones unitarias.
Descubre
omo los egipciosomo los egipciosomo los egipciosomo los egipcios
Como los egipcios
La fracción unitariamás grande quepuede haber es 1
__ 2 .
1 __ 2 1 __
3 1 __
4 1 __
5 . . .
R e cuer d a
Enriquecimiento • Fracciones unitarias
65CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 80/314
Patrones y álgebra
7. ¿Qué situación podría describirse con la
expresión v 31
__
4 ?
A Gloria anduvo en bicicleta 31
_ 4 de kilómetros
ayer y 31
_ 4 kilómetros hoy.
B Gloria anduvo en bicicleta 31
_ 4 kilómetros ayer
y v veces esa distancia hoy.
C Gloria anduvo en bicicleta v kilómetros ayer
y 31
_ 4 kilómetros más lejos que v hoy.
D Gloria anduvo en bicicleta v kilómetros ayer
y 31
_ 4 kilómetros menos hoy.
8. En el siguiente plano cartesiano, se muestra laubicación de 4 árboles distintos.
¿Qué árbol está en el punto (3,4)?
A arce
B pino
C olmo
D alerce
Números y operaciones
1. ¿Cuál es el máximo común divisor de 64,48 y 128?
A 4 C 12
B 8 D 16
2. 5
__
6 1
__
9
A 5
___
54
C 17
___
36 B 1
__
3 D 17
___
18
3. La clase de la profesora Rodríguez estudióCiencias 1
_ 4 de día y Ortografía 1
_ 3 de día.
¿Qué fracción del día hicieron otra actividad?
A 1
___
12 C 1
__
2
B 5
___
12 D 7
___
12
4. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 6, 8 y 12?
A 36 C 12
B 24 D 2
Aprendizaje en espiral
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
87
6
5
4
3
2
1
0
olmo
alerce
arce
pino
6. Halla 3
_ 4 12
_ 3 . Explica cómo
hallaste la respuesta.
5. Rodrigo tiene $ 13 594 ahorrados, paga unadeuda en su colegio de $ 2 005 y luego gana$ 8 740 por un trabajo con su papá. ¿Cuántodinero tiene Rodrigo ahora?
A 2 849 C 20 329
B 19 549 D 24 370
66
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 81/314
Geometría – Medición 9. En la figura de abajo, ABCD es un rectángulo.
Si el área del triángulo ABD es de 24 metroscuadrados, ¿cuál es el área de ABCD?
A 12 metros cuadrados C 36 metros cuadrados
B 24 metros cuadrados D 48 metros cuadrados
10. ¿Cuál es el área total de la caja que se formasegún el dibujo de abajo?
Datos y probabilidades 12. En el gráfico, se muestra la cantidad de meteoritos
que un astrónomo contó durante cuatro noches.
El viernes, contó 6 meteoritos menos queel miércoles. ¿Cuántos meteoritos contó el
viernes?
A 2 C 6
B 4 D 8
13. Bárbara obtuvo las siguientes notas en las
pruebas de matemática:
5,8 – 6,7 – 5,2 – 6,0
¿Cuál es el promedio de las notas?
A 6,0 C 5,89
B 5,7 D 5,925
14. Alejandro tiene una bolsa de maní de1 kilogramo y se comió la cuarta parte.¿Cuánto maní le queda en la bolsa?
A C
B D
A B
D C
1 m
1 m
1 m
2 m 2 m
2 m
2 m
3 m
3 m
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
C a n t i d a d d e m e t e o r i t o s
Día
Meteoritos contados
Lun Mar Mié Jue
A 6 metros cuadrados
B 12 metros cuadrados
C 18 metros cuadrados
D 22 metros cuadrados
11. Tengo un cuadrado cuyos lados miden cmcada uno, ¿cuál es su perímetro?
A cm C cm
B cm D cm
24
34
44
12
3
8
3
2
12
2
4
8
4
12
67CAPÍTULO 3
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 82/314
68
Multiplicar decimalesLa idea importante La multiplicación de decimales se basa en el valor posicional y
la multiplicación con números naturales.
Algunos cursos de 6° básicovisitaron el Parque Nacional
Isluga. Mientras estaban en elparque, cada clase participóen una exposición sobre lahistoria del parque.
Elige dos cursos y muestracómo hallar el costo total departicipación en el programa.
El Parque Nacional Isluga tiene
una superficie de
174 744 hectáreas y se
encuentra en las comunas de
Colchane, Camiña y Huara,
provincia de Iquique. En su
interior destacan el río Arabilla,
la quebrada de Aroma, y las
lagunas Parinacota y Arabilla,
que poseen gran variedad
de aves, animales y entornos
escénicos relevantes.
Adaptado de: www.conaf.cl
Excursión de estudiantesal Parque Isluga
Profesor Cantidad de
estudiantes
Señor Pérez 29
Señor González 27
Señora Álvarez 32
Señorita Muñoz 25
Señor Torres 27
Valor entrada: $1 500
DATO BREVE
68
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69CAPÍTULO 444
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 4.
Estimar productosEstima el producto.
1. 57 · 4 2. 32 · 8 3. 74 · 5 4. 426 · 7
5. 926 · 2 6. 268 · 9 7. 97 · 3 8. 629 · 8
9. 83 · 5 10. 317 · 3 11. 692 · 6 12. 207 · 4
Multiplicar por números de 2 dígitos
Halla el producto.
13. 94 · 3 14. 47 · 5 15. 83 · 7 16. 32 · 2
17. 18 · 6 18. 92 · 3 19. 76 · 8 20. 67 · 5
21. 72 · 9 22. 78 · 2 23. 56 · 4 24. 25 · 6
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
decimalcoma decimalfactorcentésimadécima
PREPARACIÓN
factor Nombre que se le da a los términos que semultiplican para obtener un producto.
décima Una de diez partes iguales.
centésima Una de cien partes iguales.
69CAPÍTULO 4
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70
1. 15 · 5 2. 22 · 83. 86 · 3 4. 64 · 65. 71 · 9
Representar la multiplicaciónde números naturales pornúmeros decimalesOBJETIVO: usar material concreto para multiplicar números naturalesy decimales.
Materiales ■ cuadrícula de centésimas ■ lápices de colores
Puedes usar cuadrículas como ayuda para multiplicardecimales por números naturales.
Halla 3 · 0,61. Usa una o más cuadrículas si fueranecesario. Sombrea 0,61 tres veces.
Cuenta el número de centésimas sombreadas.¿Cuántas centésimas hay?
Escribe 3·
0,61 en forma de suma reiterada. Halla lasuma. ¿En qué se parece la suma a tu respuesta en B?
Escribe la multiplicación y la suma que representan tucuadrícula.
Sacar conclusiones1. ¿Cuál es el valor de un cuadrado en la cuadrícula de
centésimas? ¿Cuál es el valor de una columna o deuna hilera?
2. ¿En qué se parece multiplicar 3 · 0,61 a multiplicar3 · 61?
3. ¿Es el producto de 3 · 0,61 mayor o menor que 3?Explica por qué.
4. Síntesis ¿De qué otras maneras puedes expresar elproducto de 3 · 0,61?
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71CAPÍTULO 4
Paso Paso
Sombrea cuando corresponda para calcular el producto.
1. 2.
3 · 0,25 4 · 0,45
Usa cuadrículas de centésimas para calcular el producto.
3. 4 · 0,42 4. 0,13 · 5 5. 3 · 0,36 6. 0,33 · 6
7. 2 · 0,28 8. 0,48 · 5 9. 5 · 0,92 10. 8 · 0,04
Halla el producto.
11. 0,44 · 3 12. 0,67 · 4 13. 6 · 0,45 14. 2 · 0,96
15. 0,64 · 2 16. 0,51 · 3 17. 0,39 · 4 18. 7 · 0,61
19. 6 · 0,19 20. 0,92 · 3 21. 4 · 0,73 22. 5 · 0,17
23. Explica por qué el producto de un decimal entre 0 y 1 y un númeronatural mayor que 1 es un número que está entre ambos factores.
Halla 4 · 0,27.
Usa cuadrículas de centésimas.
Sombrea 0,27 cuatro veces.
Cuenta el número de
cuadrados sombreados.
Hay 108 centésimas o 1 entero,
8 centésimas.
Registra.
0,27 · 4__
1,08
Usa la cuadrícula para colocar
la coma decimal. 4 · 0,27 es 1
entero, 8 centésimas: por lo
tanto, coloca la coma decimal
después de 1.
Escribe una multiplicación para la cuadrícula.
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72
ÁLGEBRA
Patrones en factoresy productos decimalesOBJETIVO: usar patrones en factores para hallar productos decimales.
Más ejemplos
PROBLEMA La duración de un día es la cantidad de tiempo que tarda un planetaen hacer una rotación completa sobre su eje. En realidad, un día terrestre duraaproximadamente 23,93 horas. Un día en Marte dura aproximadamente 24,62horas terrestres. ¿Cuántas horas hay en 1 000 días terrestres? ¿Cuántas horas hayen 1 000 días en Marte? (Adaptado de: www.lavidacotidiana.es)
Puedes usar operaciones básicas y patrones de valor posicional para hallarproductos.
La coma decimal se mueveun lugar a la derecha cuand
multiplicas por 10, doslugares a la derecha cuand
multiplicas por 100 y treslugares a la derecha cuandmultiplicas por 1 000. ¿Por
qué se da estaregularidad?
6,75 · 1 6,756,75 · 10 67,56,75 · 100 6756,75 · 1 000 6 7506,75 · 10 000 67 500
0,769 · 1 0,7690,769 · 10 7,690,769 · 100 76,90,769 · 1 000 7690,769 · 10 000 7 690
0,004 · 1 0,0040,004 · 10 0,040,004 · 100 0,40,004 · 1 000 40,004 · 10 000 40
Ejemplo
Por lo tanto, en la Tierra, hay aproximadamente 23 930 horas en 1 000 días.En Marte, hay aproximadamente 24 620 horas terrestres en 1 000 días.
1. 8 · 1 2. 8 · 103. 8 · 100 4. 8 · 1 0005. 8 · 10 000
Tierra Marte
23,93 · 1 23,93 1 día 24,62 · 1 24,62
23,93 · 10 239,3 10 días 24,62 · 10 246,2
23,93 · 100 2 393 100 días 24,62 · 100 2 462
23,93 · 1 000 23 930 1 000 días 24,62 · 1 000 24 620
Copia y completa para hallar los productos que faltan.
1. 1 · 0,4 0,4 2. 1 · 9,81 9,81 3. 1 · $ 0,07 $ 0,07
10 · 0,4 4 10 · 9,81 10 · $ 0,07
100 · 0,4 40 100 · 9,81 981 100 · $ 0,07 $ 7,00
1 000 · 0,4 1 000 · 9,81 1 000 · $ 0,07
L E C C
I Ó N
Práctica con supervisión
Aprende
Idea matemática
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73CAPÍTULO 4
Comprensión de los aprendizajes
Duración de los díasen los planetas
Planeta
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Duración del día
(horas terrestres)
9,8
10,2
15,5
15,8
31. Claudia trazó dos rectas que se entrecruzaban y
formaban ángulos rectos. ¿Qué clase de rectastrazó?
32. Si un pastel de guindas tiene más o menos250 guindas, aproximadamente ¿cuántasguindas hay en 16 pasteles?
33. El ancho de un terreno rectangular es 567
metros y su perímetro es 2 268 metros. ¿Cuáles la longitud de cada lado del terreno?
34. Un auto recorre 24 kilómetros por cada treslitros de bencina ¿Cuantos kilómetros puederecorrer con 33 litros de bencina?
A 2,64 kilómetros C 264 kilómetros
B 26,4 kilómetros D 2,264 kilómetros
Multiplica cada número por 10, 100 , 1 000, y 10 000.
13. 1,146 14. 6,32 15. 33,52 16. 0,009 17. 0,78
18. 0,1 19. 0,50 20. 483,2 21. 2,14 22. 81,75
Halla el valor.
23. 10 · 16,49 24. 3,24 · 324,00 25. 1,41 · 14 100 26. · 0,095 95
USA LOS DATOS Para 27–29, usa la tabla.
27. ¿Cuántas horas hay en 10 días en Neptuno?
28. ¿Cuántas horas hay en 1 000 días en Saturno?
29. Razonamiento ¿Cuántas horas más hay en100 días en Urano que en 100 días en Júpiter?
30. Explica cómo sabes dónde colocarla coma decimal en 75,95 · 10.
4. 3,19 · 1 5. 0,298 · 1 6. 0,005 · 1 7. 1,017 · 1
3,19 · 10 0,298 · 10 0,005 · 10 1,017 · 10
3,19 · 100 0,298 · 100 0,005 · 100 1,017 · 100
3,19 · 1 000 0,298 · 1 000 0,005 · 1 000 1,017 · 1 000
8. Explica por qué el producto de 2,78 · 10 es igual al producto de 0,278 · 100.
Usa patrones para hallar el producto.
Usa patrones para hallar los productos.
9. 9,35 · 10 10. 0,002 · 10 11. 3,105 · 10 12. $ 12,65 · 100
9,35 · 100 0,002 · 100 3,105 · 100 $ 12,65 · 1 000 9,35 · 1 000 0,002 · 1 000 3,105 · 1 000 $ 12,65 · 10 000
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica adicional en la página 74, Grupo A y B
Adaptado de: www.lavidacotidiana.es
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74
Grupo A Multiplica y completa los productos que faltan, usando patrones.
1. 2.
3. 4.
Multiplica cada número por 10, 100, 1 000 y 10 000.
5. 1,29 6. 548,1 7. 9,1 8. 1,25 9. 0,7
10. 0,24 11. 2,016 12. 0,003 13. 0,05 14. 38,62
15. Una modista ocupa 0,42 m de cinta para adornar un vestido.¿Cuánta cinta necesitará para hacer 10 vestidos iguales al que ya confeccionó?
1 · 0,8 = ________
10 · 0,8 = 4
100 · ___ = ________
___ · 0,8 = ________
1 · 2,4 = ________
___ · ___ = ________
100 · 2,4 = ________
1 000 · 2,4 = 2 400
1 · 0,011 = ________
10 · ___ = 0,1
___ · 0,011 = 1,1
___ · ___ = ________
0,892 · 1 = ________
___ · 10 = ________
0,892 · 100 = ________
0,892 · 1 000 = ________
Grupo B Calcula.
1. 4,3 · 5 2. 2,5 · 4 3. 2 · 1,31 4. 5,15 · 3 5. 1,68 · 1
6. 7,4 · 6 7. 8 · 2,26 8. 3,52 · 5 9. 4,26 · 9 10. 3 · 4,38
11. El día lunes, Alicia tejió 1,75 cm de una bufanda. El día martes tejió 10 veces más que esa cantidad.¿Cuántos centímetros tejió el día martes aproximadamente?
12. Una pulgada equivale a 2,5 cm aproximadamente. ¿Cuántos centímetros, aproximadamente,son 10 pulgadas?
Haz una estimación. Luego halla el producto.
13. 41,2 · 5 14. 3,2 · 5 15. 0,19 · 6 16. 2,01 · 4 17. 12,45 · 3
18. 0,455 · 4 19. 126,3 · 8 20. 1,24 · 9 21. 0,24 · 8 22. 8 · 3,50
23. Elisa tiene una cinta para hacer pulseras de 48,125 cm de largo. Catalina una cinta que mide 8 vecesmás de largo que la cinta de Elisa. ¿Cuánto mide la cinta de Catalina?
Práctica adicional
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75CAPÍTULO 4
Productos poderosos
¡Prepárense!2 jugadores
¡Listos!· 10 tarjetas con dígitos de 0 a 9· Tarjeta con factor decimal por
factor natural ( )· tabla de dos columnas· bolsa de papel.
¡A jugar!
El jugador 1 pone las tarjetas en la bolsa depapel, la agita y luego saca cuatro tarjetas.El jugador 1 usa las tarjetas para crear dosfactores uno decimal y otro natural queresulten en el mayor producto posible.
El jugador 1 pone las tarjetas con los factoresen el esquema de productos decimales y hallael producto. El jugador 1 registra el productoen la tabla.
El jugador 2 comprueba el producto del jugador 1 y escribe Sí o No junto al producto enla tabla. Si es incorrecto, se pone un cero en latabla.
Las tarjetas se vuelven a poner en la bolsa.Luego el jugador 2 saca cuatro tarjetas y repiteel proceso.
Al final de cada ronda, los jugadores comparanlos resultados de la tabla. El jugador con másrespuestas correctas obtiene 1 punto. El primer jugador que obtenga 5 puntos gana el juego.
Jugador 1 Jugador 2Producto ¿Correcto? Puntos Producto ¿Correcto? Puntos
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24. En una ferretería se han apilado varias láminasde aluminio: tres de 3,2 mm de espesor, dosde 2,1 mm de espesor y una de 1,7 mm deespesor. ¿Cuánto mide la altura de dichomontón?
25. El día lunes Francisco vendió 10paquetes de 3,25 kg de azúcar en su negocio.¿Cuántos kg de azúcar vendió Francisco el díalunes?
Repasa los conceptosCompleta.
1. Explica cómo puedes usar una cuadrícula para hallar el producto de 4· 0,37.
2. ¿Por qué al multiplicar el 0,02 · 100 la coma decimal no aparece representada en el producto 2?Explica tu respuesta.
Repasa las destrezasMultiplica cada número por 10, 100, 1 000, y 10 000.
3. 7,653 4. 8,59 5. 0,8 6. 4,025 7. 265,45
Estima el producto.8. 2,6 · 9 9. 16 · 8 10. 7 · 3,4 11. 4,59 · 4
Halla el producto.
12. 7 · 0,5 13. 4,07 · 2 14. 93,7 · 3 15. 9,15 · 10
16. 0,4 · 2 17. 0,09 · 3 18. 0,91 · 2 19. 2 · 0,005
20. 2 · 6,17 21. 6 · 18,7 22. 0,053 · 100 23. 0,08 · 10
Repasa la resolución de problemasResuelve.
Repaso/Prueba del capítulo 4
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A 0,5 kg C 1,5 kg
B 0,75 kg D 2,25 kg
2. ¿Cuántos kilos de ingredientes secos senecesita para hacer 3 pasteles de café?
A 0,75 C 1,75
B 1,25 D 2,25
Números y operaciones
1. La siguiente tabla muestra los ingredientessecos que se necesitan para hacer dos tiposde pastel.
Aprendizaje en espiral
Entender el problema.Mira el ítem 7. La ecuación dice quen 2 7 es igual a 9 12, que es 21. Dadoque 7 se resta de n, necesitas hallar unnúmero que es 7 más que 21.
Patrones y álgebra
6. Un bus del Transantiago recorre 30 kilómetros porcada 5 litros de bencina. ¿Cuántos kilómetrospuede recorrer con 30 litros de bencina?
A 180 kilómetros
B 18,0 kilómetros
C 180,1 kilómetros
D 1,80 kilómetros
7. ¿Qué número se representa con n?
n 7 9 12
A 14 C 28
B 21 D 35
Tipo de pastel
Piña
Café
Harina (kg)
0,75
0,5
Azúcar (kg)
0,5
0,25
Ingredientes del pastel
¿Cuántos kilogramos de harina necesitas
para hacer 3 pasteles de piña?
3. Si quiero hacer dos pasteles de piña y uno decafé, ¿cuántos kilogramos de harina y azúcarnecesitas respectivamente?
10. El valor de x en la ecuación 37 + x = 100 es
9. Encuentra un posible patrónde formación entre x e y en esta tabla.
Entrada
Salida
x
y
18
3
30
5
48
8
72
12
5. Explica cómo colocar la comadecimal en el producto de 0,06 · 2.
4. Una botella de bebida contiene 2,5 litros.¿Cuántos litros contienen 6 botellas de bebida?
A 10 litros C 150 litros
B 1,5 litros D 15 litros
A 1,5 kg 0,5 kg
B 2 kg 1,25kg
C 2,5 kg 0,5 kg
D 1,5 kg 0,75 kg
Harina Azúcar
8. 40 8 40
A 6 · 8 C 2 · 3
B 2 · 4 D 4 · 12
A 53 C 63
B 137 D 163
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79CAPÍTULO 4
14. Halla el área de un triángulo cuya base mide20 cm y la altura mide 12 cm.
A 130 cm2 C 150 cm2
B 120 cm2 D 240 cm2
Datos y probabilidades 15. La siguiente tabla muestra la cantidad de puntos
obtenidos por 4 jugadores en 5 partidos debásquetbol.
Nombre
Emilia
Aurora
Isabel
Olivia
Partido1
14
12
7
10
Partido2
8
12
15
9
Partido3
11
8
13
12
Partido4
9
11
11
14
Partido5
10
13
15
11
Puntos anotados
¿Quién tuvo una media (promedio)de 12,2 puntos?
A Emilia C Isabel
B Aurora D Olivia
Geometría – Medición
11. ¿Cuáles de las siguientes figuras muestranpares de rectas paralelas?
16. En una ferretería se han dañado variasláminas de cobre: 4 de 3,5 mm de espesor,5 de 2,1 mm de espesor y 7 de 1,8 mm deespesor. ¿Cuántos mm de espesor mide eltotal de láminas de aluminio dañadas?
A 37,1 mm C 0,371 mm
B 13,71 mm D 0,037 mm
17. Observa la tabla que muestralos puntos obtenidos por un equipo de fútbolen un campeonato.
Explica cuál es la diferencia entre los puntosa favor y los puntos en contra del 1° y 2°partido.
Equipo “ Los súper campeones”Partidos Puntos a favor Puntos en contra
1er
partido
15
72° partido 10 9
3er partido 8 11
12. ¿Cuál es la longitud de un segmento de rectavertical con extremos en (4, 5) y (4, 0)?
A 3 unidades C 7 unidades
B 5 unidades D 10 unidades
13. Mira la siguiente figura:
Explica en tu cuaderno cómo calcular el áreade la figura.
A
B
C
D
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Pesos del huemul chileno
cachorro recién nacido
5 meses
17 meses
macho adulto
hembra adulta
Edad Peso (kg)
2 – 3,5
15 – 25
40 – 50
80 – 90
50 – 65
Dividir decimalesLa idea importante La división de decimales entre números naturales y entre decimales se basa en el valor posicional y en la división y multiplicación con
números naturales.
La siguiente tabla muestra los rangos de peso delhuemul de acuerdo a su edad.
Escoge un número que se encuentre entre elrango del peso del cachorro y determina cuántasveces es más grande el peso del macho adultocomparado con el peso del cachorro.
El huemul chileno es un
animal autóctono quehabita exclusivamente en
los bosques de la cordillera
patagónica andina.
DATO BREVE
Adaptado de www.conaf.cl
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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 5.
Patrones de división
Completa el patrón.
1. 24 : 6 4 2. 21 : 7 3 3. 32 : 4 n 240 : 6 40 210 : 7 n 320 : 4 80
2 400 : 6 n 2 100 : 300 3 200 : 4 800
4. 30 : 5 6 5. 54 : 9 6 6. 40 : 8 5 300 : n 60 n : 9 60 400 : n 50
3 000 : 5 600 5 400 : 9 600 4 000 : 8 500
Estimar cocientes
Estima el cociente. 7. 316 : 8 8. 88 : 3 9. 437 : 5 10. 402 : 6
11. 956 : 3 12. 96 : 4 13. 479 : 8 14. 312 : 6
Dividir números de 3 dígitos por 1 dígitoDivide.
15. 258 : 3 16. 210 : 5 17. 912 : 8 18. 276 : 4
19. 882 : 6 20. 342 : 9 21. 448 : 7 22. 651 : 3
23. 630 : 5 24. 924 : 4 25. 354 : 6 26. 584 : 8
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
decimal
estimarcentésimacocientedécima
PREPARACIÓN
estimar Hallar un número que se aproxime a una
cantidad exacta.
centésima Una de cien partes iguales.
décima Una de diez partes iguales.
81CAPÍTULO 5
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82
Materiales ■ cuadrículas ■ lápices de colores ■ tijeras
Haz una representación para dividir un decimalpor un número natural.
¿Como puedes representar en la cuadrícula la fracción
decimal2410
?
¿Cómo se escribe el número decimal que representa la
fracción2410
?
Halla 2,4 : 3
Sombrea la representación decimal para mostrar 2,4.
Recorta tu representación convenientemente para
mostrar el número de décimas que resulta de ladivisión.
Divide las décimas en 3 gruposdel mismo tamaño.
Usa tu representación para completar elenunciado de división.
2,4 : 3
Sacar conclusiones 1. ¿Por qué recortaste la representación en décimas?
2. ¿Cómo puedes usar tus materiales para hallar1,4 : 2?
3. Síntesis Explica cómo cambiaría tu representaciónpara el problema 0,24 : 3.
1. 329 : 7 2. 475 : 53. 804 : 6 4. 756 : 45. 891 : 9
Dividir decimales por númerosnaturales con material concretoOBJETIVO: usar material concreto para dividir decimales entre númerosnaturales.
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83CAPÍTULO 5
1. 3,8 : 2
2. 4,5 : 3
3. 12,6 : 44. 5,15 : 3
5. 14,7 : 7
6. 12,9 : 3
7. 36,6 : 68. 28,7 : 4
10. 1,5 : 3
11. 3,2 : 4
12. 0,18 : 9
13. 0,28 : 4
14. 6,96 : 6
15. 6,45 : 5
16. 4,68 : 3
17. 5,11 : 7
18. Calcula la cantidad aproximada de nievecaída diariamente durante la gran nevadade los 6 días registrada durante el mes deagosto.
20. Compara la nevada de 5 días en juliocon el promedio de nieve que cayódiariamente durante todo el mes de julio.¿Qué puedes decir?
19. ¿Cuáles son los promedios de la grannevada de 5 días y la gran nevada de 6días?
21. ¿Cuál es el error? Durante una nevada de6 horas, nevó 3,8 cm. Magdalena dijo quenevó un promedio de 0,06 cm por hora.
9. Explica cómo te ayudan las barras o los dibujos para resolver una división entre númerosdecimales y números naturales.
Describe cómo puedes usar barras o hacer una representación gráfica para encontrar 0,39 : 3.
Nevadas registradas en un centro de ski
Suceso Cantidad de nieve (en cm) Fechas en que se registraron
Gran nevada de 5 días 175,4 27 de julio a 31 de julio de 2001
Gran nevada de 6 días 174,3 1 a 6 de agosto de 1988
Nevada de julio 346,1 4 a 10 de agosto de 1964
USA LOS DATOS Para responder de los ejercicios 18 – 21.
Usa barras o haz un dibujo para representar el cociente.sa barras o haz un dibujo para representar el cociente
Usa representaciones decimales para determinar el cociente.
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84
Paso Paso
Dividir decimales pornúmeros naturales deun dígito y múltiplos de 10OBJETIVO: divide decimales por números naturales.
PROBLEMA En una carrera de relevos de natación, cada nadador nada unaparte igual de la distancia total. Dora y otras 3 nadadoras ganaron el relevoen 5,24 minutos. ¿Cuál fue el promedio de tiempo que nadó cada niña?
1. 827 : 7 2. 946 : 23. 285 : 9 4. 522 : 45. 326: 5
Usa fracciones.
Halla 5,24 : 4.
Vuelve a escribir el dividendoy el divisor en forma defracciones.
524
____
100 : 4
__ 1
El cociente se calcula multiplicando eldividendo por el inverso multiplicativodel divisor.Representa la fracción decimal comonúmero decimal.
524
____
100 : 4
__ 1 524
____
100 · 1 __
4 524
____
400 131
____
100 1,31
La división de númerosnaturales o fracciones sepuede pensar como repartiren partes iguales. Cuandodivides algo por 4, estásrepartiéndolo en 4 partes, yeso correspondería a tomarla cuarta parte (1/4) de loque estás dividiendo, omultiplicar por 1/4.
Aprende
L E C C
I Ó N
Paso Paso
Usa el procedimiento de división con reagrupación.
Divide como lo harías connúmeros naturales, respetandoel colocar la coma después deoperar con la parte entera.
5,24 : 4 = 1,314 12
12 0
Continúa la división.
5,24 : 4 = 1,314 12 12 04
4 0
Por lo tanto, cada niña nadó un promedio de 1,31 minutos.
• ¿Es esta respuesta razonable? Explica.
Usa la división para escribir 68 en forma de decimal.
56 40 40
0
6,00 : 8 =
Dado que 6 : 8 es menor que1, coloca un 0 en el lugarde las unidades. Coloca lacoma decimal.
Divide como lo harías connúmeros enteros.
Por lo tanto,68
= 0,75.
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85CAPÍTULO 5
Usa fracciones para hallar el cociente.
1. 4,11 : 3 2. 7,32 : 4 3. 3,78 : 7 4. 4,72 : 8
411
___
100 : 3
__ 1 732
____
: 4
__
____
100 :
__ 1
____
100 : 8
__
411
___
100 · 1
__ 3
732
____
·
__ 4
____
100 · 1 __
____
100 ·
__ 8
____
300
____
400
____
700
____
800
Escribe el cociente correcto ubicando la coma según corresponda.
5. 8,65 : 5 = 173 6. 4,14 : 9 = 046 7. 0,056 : 7 = 0008 8. 51,30 : 8 = 64125
Halla el cociente. 9. 224,7 : 3 10. 38,88 : 8 11. 3,15 : 5 12. 0,072 : 9
13. 97,2 : 7 14. 64,08 : 7 15. 93,42 : 5 16. 8,820 : 6
17. Explica cómo puedes comprobar que la coma decimal está ubicadacorrectamente en el cociente.
• En el ejemplo B, ¿por qué colocas un cero en el lugar de las unidadesdel dividendo?
• En el ejemplo C, ¿por qué se coloca un cero a la derecha de 9,08?Colocar un cero a laderecha del último dígitodespués de la comadecimal no cambia el valor.
Más ejemplos
Divisor mayor quedividendo
Halla 2,61 : 3
2,61 : 3 = 0,87
Agrega ceros aldividendo
Halla 9,08 : 8
9,08 : 8 = 1,135
Divide
Halla 22,95 : 5
22,95 : 5 = 4,59
Comprueba Comprueba Comprueba
2029
2545
450
810
828
2440
400
Práctica con supervisión
4,59 • 522,95
0,37 • 32,61
1,135 • 89,080
Práctica adicional en la página 88, Grupo A
24 21 21 0
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86
Dimensiones de lapiscina de competición
Número decarriles marcados
8
9
10
21,92
21,96
21,30
Ancho de todos los carrilesmarcados (en metros)
En las preguntas 18 a 21, ubica la coma donde corresponda.
18. 94,8 : 4 = 237 19. 0,504 : 6 = 0084 20. 3,68 : 8 = 046 21. 75,40 : 10 = 754
Halla el cociente.
22. 0,032 : 8 23. 7,92 : 3 24. 58,88 : 4 25. 83,57 : 6
26. 8,46 : 9 27. 8,12 : 4 28. 7,52 : 6 29. 10,20 : 8
Para 30–34, usa la tabla.
30. Generalmente se marcan ocho carriles igualesen una piscina. ¿Cuál es el ancho permitido de
cada carril?
31. Imagina que se marcan 10 carriles en una piscina.Si el ancho total de la piscina es de 25 metros,¿cuál es el ancho de cada lado de la piscina fuerade los carriles en uso?
32. Formula un problema. Mira el problema 30. Usa la tabla para cambiarel número y escribe un problema nuevo. Intercambia problemas conun compañero y resuelve.
Práctica independiente y resolución de problemas
Adaptado de www.csd.gob.es
33. DATO BREVE El rorcual común es la segundaballena más grande del mundo. Es conocida por ser laballena que se mueve con mayor rapidez. Puede viajarcerca de 38,6 kilómetros por hora en cortos períodos detiempo. ¿Qué distancia puede viajar en un minuto a estavelocidad? Pista: 1 hora 60 minutos.
34. ¿Cuál es la pregunta? La señora Díaz necesita cintasrojas y azules para hacer un disfraz, las cintas rojas sonde 8 metros y las azules son de 4,50 m. Compró en
total 28,50 metros de cinta. ¿Cuál es la pregunta delproblema, si la respuesta es 3?
p El rorcual común, también
llamado ballena de aleta, es una
especie de cetáceo de la familia
Balaenopteridae. Es el segundo
animal más grande del planeta.Fuente: http://marinebio.org
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87CAPÍTULO 5
Comprensión de los aprendizajes
35. ¿Cuáles dos de las mascotas de la claserecibieron en conjunto 10 votos?
Mascota favorita de la clase
C a n t i d a d
d e v
o t o s
Tipo de mascota
1086420
pez cobayo tortuga hámster
36. Nico corrió 8,45 kilómetros. Redondea estadistancia a la décima más cercana.
37. Calcula el cociente de 319 : 8
38. 570,9 : 3.
A 19,3 C 17,3
B 190,3 D 193
39. Daniel pagó $ 4 000 por un pase de nataciónmensual. Nadó 16 veces ese mes. ¿Quécantidad representa el costo de cada vez quenadó?
A $ 0,250 C $ 25
B $ 2,50 D $ 250
ÁLGEBRA Puedes usar la división para resolver ecuacionesde multiplicación. Natalia dio 9 vueltas a la piscina. Tardó en total71,55 minutos en total. Si en cada vuelta demora el mismo tiempo,¿cuánto tiempo empleó en cada una de las vueltas?
Sea c el tiempo de una vuelta.
9 · c 71,55 minutos. Resuelve esta ecuación.
Ya que la multiplicación y la división son operaciones inversas,si 9 · c 71,55 minutos entonces 71,55 : 9 c.
71,55 : 9
c 7,95 c
Por lo tanto, el tiempo de una vuelta es 7,95 minutos.
Usa la división para resolver cada ecuación.
1. 5 · c 18,40
2. 7 · n 16,8
3. 3 · a 74,34
Práctica adicional en la página 88, Grupo B
p Kristel Kobrich, una gran nadadora
chilena, obtuvo la medalla de plata
en 800 metros libres de los Juegoa
Panamericanos de Toronto 2015.
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88
Grupo B Usa fracciones para hallar el cociente.
1. 2. 3. 4. 5,23 : 3
523
____
100 : 3
__ 1
523
____
100 · 1
__ 3
____
300
1,09 : 4
109
____
:
4
__ 1
109
____
·
__ 4
____
4
2,532 : 5
2 532
______
:
5
__ 1
2 532
______
1 000 ·
__ 5
______
5 000
4,82 : 4
___
:
___
___
·
___
___
Halla el cociente.
5. 37,5 : 3 6. 3,84 : 4 7. 10,68 : 5 8. 13,80 : 2
9. 0,035 : 7 10. 148,5 : 4 11. 67,8 : 6 12. 0,038 : 2
13. 1,08 : 9 14. 24,84 : 8 15. 2,32 : 2 16. 364,8 : 6
17. 7,92 : 4 18. 254,8 : 7 19. 39,78 : 3 20. 284,05 : 5
21. 6,3 : 2 22. 468,72 : 9 23. 571,52 : 7 24. 32,65 : 5
Grupo A Calcula.
1. 37,2 : 4 2. 2,2 : 7 3. 87,3 : 9 4. 3,301 : 5
5. 49,03 : 8 6. 0,295 : 7 7. 118,6 : 9 8. 82,6 : 9 9. 5,63 : 6 10. 17,91 : 6 11. 4,063 : 2 12. 238,1 : 4
13. Luis tiene 25,5 metros de una cuerda paraembalar 6 cajas iguales. ¿Cuánta cuerdaocupará en cada caja?
14. Ana y Clemente participan en la competenciade atletismo de su colegio. Ana corre los100 m planos en 17,25 segundos, Juanregistra una marca de 200 m en 35 segundos.Calcula el tiempo que tardan en recorrer 1metro. Razona si sus marcas en este casoserían equivalentes?
25. Felipe usó 13,5 tazas de harina para hacer9 tandas de panqueques. Si en cada tandade panqueques usó la misma cantidad,¿cuántas tazas de harina usó en cada tanda depanqueques?
26. Silvia está cortando un trozo de cordel quemide 73,5 metros en 4 partes iguales.¿Qué longitud tiene cada parte del cordelen metros?
Práctica adicional
00
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89CAPÍTULO 5
¡Prepárense!
2 jugadores
¡Listos!• Set de tarjetas con divisionesexactas.• Set de tarjetas con diferentescocientes exactos.• Set de tarjetas con diferentesestimaciones de cocientes.
¡A Jugar!
Los jugadores barajan las tarjetas de divisióny las colocan boca abajo en una matriz de 3por 4.
Los jugadores barajan las tarjetas de númeroscompatibles y las colocan boca abajo en otramatriz de 3 por 4.
Los jugadores barajan las tarjetas de estimacióny las colocan boca abajo en una tercera matrizde 3 por 4.
Los jugadores se turnan para poner las tarjetasde cada matriz boca arriba y determinar si lastres tarjetas se corresponden entre sí.
Si las tarjetas sí corresponden, el jugador sequeda con las tres tarjetas y tiene otro turno.Si las tarjetas no corresponden, las vuelve acolocar boca abajo en su posición original.
El juego continúa hasta que no queden tarjetas.
¡El jugador que tenga más tarjetas gana!
serteD¡
sertne !
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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90
Repasa los conceptos
Completa. 1. Dibuja una representación en tu cuaderno para hallar 0,52 : 4
2. Explica dónde colocar la coma decimal del cociente cuando divides un decimal en 10.
3. Puedes usar fracciones para dividir un decimal por un número natural. Explica cómo hallar 0,21 : 7usando fracciones.
Repasa las destrezasCalcula.
4. 1,9 : 6 5. 63,72 : 8 6. 18,5 : 6 7. 2,106 : 4
8. 251,43 : 5 9. 178,5 : 9 10. 0,364 : 5 11. 57,6 : 9
Halla el cociente.
12. 5,65 : 5 13. 15,6 : 8 14. 3,14 : 3 15. 1,25 : 5
16. 2,26 : 6 17. 6,36 : 2 18. 0,45 : 9 19. 6,25 : 5
Divide.
20. 1,8 : 3 21. 1,60 : 4 22. 7,2 : 6 23. 6,9 : 2
24. 6,24 : 6 25. 10,8 : 7 26. 7,5 : 5 27. 43,86 : 3
28. 2,10 : 2 29. 15,0 : 15 30. 409,6 : 3 31. 8,88 : 4
Repasa la resolución de problemasResuelve.
32. Un jarro de jugo cuya capacidad es de2,20 ml, se reparte en 4 vasos de igualcapacidad. ¿Cuánto jugo contiene cada vaso?
33. Una pecera tiene una capacidad de25,8 litros de agua. ¿Cuántos jarros de10 litros se ocuparán para llenarla?
34. Cada vez que Patricia toma elautobús, compra un boleto por $ 620. Jaimecompra un talonario de 6 boletos por $ 3 150para ahorrar dinero en cada viaje.Explica cómo saber si Jaime ahorra dinero.
Repaso/Prueba del capítulo 5
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Nombres diferentes
Enriquecimiento · Fracciones y decimales
Por lo tanto, enumerados de menor a mayor distancia, loscorredores son: Carla, Patricia, Luisa.
EjerciciosExpresa cada fracción en forma de número decimal.
1. 2
__ 5 2. 1
__ 4 3. 7
___
20
4. 3
__ 6 5. 11
___
25
6. 1
__ 8 7. 6
___
25
8. 6
___
30
9. 13
___
50
10. 9
___
15
Resumen
Una receta para ensalada de frutas requiere 2 _
4 gramos de manzanas, 0,75
gramos de uvas y 0,35 gramos de cerezas. Explica los pasos que darías para escribir lospesos de las frutas de menor a mayor. Luego, sigue tus pasos y resuelve.
Corredor Distancia ( km )
Patricia
Carla 0,4
Luisa 0,65
Durante una sesión de entrenamiento, tres corredores
comenzaron con ejercicio de calentamiento de 5 minutos.De menor a mayor, ¿en qué orden terminó cada corredorsegún la distancia recorrida?
La distancia que corrió Patricia se muestra en forma de fracción.Puedes dividir 5 entre 8 para convertir 5
8 en forma de decimal.
Paso 1
Divide como lo harías connúmeros enteros.
4 8
2016
40400
Paso 2
Compara los decimales.
0,625 Patricia
0,4 Carla
0,65 Luisa5,000 : 8 = 0,625
5
8
91CAPÍTULO 5
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Aprendizaje en espiral
1. Todos los días Rafael corre 1,5 kilómetros.¿Cuántos kilómetros corre en un mes?(Considerando un mes de 30 días)
A 45 km C 4,5 km
B 35 km D 25 km
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones está máscerca del cero?
A 2
_ 3 C 1
___
10
B 4
_ 9 D 3
_ 3
3. ¿Cuántos centímetros son 13
_ 4 metros?
A 1 750 cm C 150 cm
B 175 cm D 1 500 cm
7. ¿Qué valor de z hace verdadero el enunciado? 2 • 10 = ( z • 5 ) + ( 2 • 5 )
A 2 C 10
B 5 D 15
8. Si la regla es sumar 7, ¿qué número sigue enel siguiente patrón? 9; 16; 23; ____
A 29 C 31
B 30 D 32
9. ¿Cuál es el resultado de 12,3 • 5?
A 62,5
B 63,5
C 60,5
D 61,5
10. La señora Herrera tiene $ 250 000 en sucuenta de ahorros. Hizo 3 cheques por$ 15 000 cada uno, para pagar sus deudas.¿Cuánto dinero le queda a la señora Herreraen su cuenta de ahorros?
A $200 000 C $205 000
B $195 000 D $190 000
Patrones y álgebraNúmeros y operaciones
11. Mónica lee un libro de 150 páginas en10 horas. A la misma velocidad, ¿cuánto
tardará en leer un libro de 225 páginas?
A 15 horas C 20 horas
B 17 horas D 30 horas
5. Gabriel mantuvo el récord de los 100 metrosplanos durante 3
_ 4 del año. Ana lo mantuvo por
1 ___
12 del año y Fernanda por 1
_ 6 , ¿quién mantuvo
el récord por menos tiempo?
A Gabriel C Ana
B Fernanda D Gabriel y Ana
6. El equipo de básquetbol de un colegio jugó 28partidos durante el año. Ganaron 8 partidosmás de los que perdieron, ¿cuántos partidosganaron?
A 18 partidos C 10 partidos
B 20 partidos D 15 partidos
4. ¿Cuántos centímetros hay en 23
_ 4 metros?
A 75 centímetros
B 225 centímetros
C 255 centímetros
D 275 centímetros
92
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Datos y probabilidades
Geometría - Medición
12. Un cuadrado tiene 49 cm de área. ¿Cuántomide cada lado?
A 6 cm2 C 8 cm2
B 7 cm2 D 9 cm2
13. Un ángulo está formado por:
A dos rayos C dos rayos con unvértice común
B dos segmentos D dos alturas
14. El perímetro del rectángulo de la figura es:
A 84 centímetros
B 225 centímetros
C 255 centímetros
D 275 centímetros
Observa la tabla y responde las preguntas 18,19 y 20.
Observa la tabla y responde las preguntas 21 y 22
24 cm
18 cm
15. ¿Cuántas caras se pueden reconocer en unparalelepípedo?
A 4
B 8
C 6
D 10
16. ¿Cuántos vértices y aristas se pueden reconoceren el paralelepípedo de la figura anteriorrespectivamente?
A 8 vértices y 10 aristas C 12 vértices y 8 aristas
B 8 vértices y 12 aristas D 12 vértices y 10 aristas
17. La transformación que muestra la figura es:
A traslación C rotación
B simetría D ninguna de ellas
18. ¿Cuántos niños respondieron la encuesta?
A 16 C 31
B 20 D 38
19. ¿Cuántos niños juegan tres horas o más?
A 2 C 6
B 4 D 16
20. ¿Cuántos niños juegan menos de 2 horas?
A 16 C 8
B 4 D 2
Edificios de Chile
Nombre Altura en metros
El Mirador 15
Aguas Claras 32
Los Viñedos 14
Don Mateo 27
21. ¿Qué edificio es el más alto?
A El Mirador C Los Viñedos
B Aguas Claras D Don Mateo
22. ¿Cuál es el promedio de altura de los edificios?
A 22 C 44
B 33 D 55
Resultados sobre encuesta de las horas de juego
Número de horas
N ú m e r o d
e n i ñ o s
10
2
4
6
810
12
14
16
18
2 3 4
93CAPÍTULO 5
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Razones y porcentajesLa idea importante Los porcentajes pueden expresarse como fracciones y como decimales.
Imagina que estás estudiando lospumas. En la siguiente tabla semuestran los datos que se
obtuvieron sobre varios de ellos.Compara la rapidez que alcanzócada uno para cubrir una distanciadeterminada. Usa esta fórmula
R =
EjemplarDistancia recorrida
(metros)Tiempo (segundos)
Hembra grande 137 5
Hembra pequeña 1 160 6
Hembra pequeña 2 228 9
Macho grande 182 4
El puma es el depredador
más peligroso de Chile. Se
encuentra desde Arica a
Magallanes. Habita tanto
en la cordillera (hasta los
5 000 m), como en los
bosques densos hasta elnivel del mar (0 m).
Adaptado de www.conaf.cl
distancia
tiempo
d
t
R =
DATO
BREVE
Rapidez del puma
94
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes quese necesitan para el aprendizaje del capítulo 6.
Relacionar decimales
Escribe cada fracción como decimal.
1. 8 2
10 2. 4
5 3. 4 1
4 4. 2
5 5. 8 9
10
6. 5 69
100 7. 4 24
25 8. 3
4 9. 62
100 10. 4 17
25
11. 1 35
50 12. 2 5
10 13. 6 2
4 14. 6 13
20 15. 1 1
2
Escribir decimales como fraccionesEscribe cada decimal como una fracción.
16. 0,2 17. 0,35 18. 0,06 19. 0,85 20. 0,41 21. 0,092 22. 0,07 23. 0,625 24. 0,15 25. 0,015
26. 0,12 27. 0,01 28. 0,99 29. 0,255 30. 0,199
Escribir fracciones simplificadas a su mínima expresiónEscribe la fracción simplificada en su mínima expresión.
31. 6 10
20 32. 5 32
14 33. 49
63 34. 120
48 35. 81
9
36.420
800 37.600
300 38.125
305 39.123
93 40.166
420
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
porcentaje
PREPARACIÓN
porcentaje Número o cantidad que representa la
proporcionalidad de una parte respecto a un total que seconsidera dividido por cien unidades.
razón Una razón entre dos números a,b es el resultado de
la división o cociente entre ambos. Una razón nos permite
comparar cantidades.
95CAPÍTULO 6
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Aprende
PROBLEMA En el Día de las Profesiones, el papá de Erica visita laclase para hablar sobre las partes de un microchip. Tiene un microchipy un diagrama de él. La razón del tamaño real del microchip aldiagrama es de 1 a 60. Es decir, el tamaño del microchip es 1
__
60 deltamaño del diagrama. Puedes escribir una razón de tres maneras:
con la palabra “es a” con dos puntos como una fracción
1 es a 60 1:60 1
___
60 primer término
____________
segundo término
Todas ellas se leen: uno es a sesenta.
Las razones comparan cantidades: una parte con otra parte,una parte con el todo, el todo con una parte.
Ejemplo 1 El teclado de la computadora de Tomás tiene 104 teclas.Hay 20 teclas de números y 26 de letras. Escribe las siguientes razones.
a. teclas de números es a teclas de letras 20
___
26 o 10
___
13 la parte con la parte
b. teclas de letras es a cantidad total de teclas 26
____
104 o 1
__
4 la parte con el todo
c. cantidad total de teclas es a teclas de números 104
____
20 o 26
___
5 el todo con la parte
Las razones equivalentes son todas aquellas comparaciones en donde elresultado del cociente expresa el mismo valor.
12
= 0,5 24
= 0,5
fichas rojas
___________
fichas amarillas
2 __
4
Divide ambos términosentre un factor común.
Multiplica ambos términospor el mismo número.
Entonces, 1
_ 2 , 2
_ 4 y 6
__
12 son razones equivalentes.
Indica si las dos fraccionesson equivalentes.
1. 2 __
5 , 3
__
5 2. 5 __
8 , 10
___
16
3. 7
___
21 , 1 __
3 4. 10
___
11 , 5 __
6
5. 12
___
36 , 3
__
9
Vocabulariorazones equivalentes
Razones OBJETIVO: identificar razones y escribir razones equivalentes.
L E C C
I Ó N
24
2 :4 :
12
22
24
2 ·4 ·
612
33
Ejemplo 2 Escribe tres razones equivalentes para comparar las fichasrojas y las fichas amarillas.
96
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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1. Escribe la siguiente razón: Estrellas es a líneas
diagonales de la bandera de Magallanes
___
12
2. Escribe la siguiente razón: Líneas diagonales es a
estrellas de la bandera de Magallanes. 12
___
Escribe dos razones equivalentes para cada caso.
3. 6
___
14 4. 15
___
21
5. 3 __
4 6. 7 __
8
7. Explica cómo puedes determinar
razones equivalentes.
Observa la tabla del ejercicio siguiente y descubre cuál es el posible patrón o regla de formación que
da origen a los valores de la tabla.
8. Elisa se entrena diariamente para participar en una carrera de resistencia, ella recorre 2 kilómetros cada20 minutos. ¿Cuántos kilómetros podría recorrer en 80 minutos?
Completa la tabla con los valores
Km 1 2 4 6 8
min 20 80
Escribe dos razones equivalentes para cada fracción.
9. 15
___
35 10. 8
___
12 11. 16
___
40 12. 22
___
20 13. 3
__
5 14. 2
__
9
Escribe las razones en forma de fracción.
15. 72 kilómetros es a 4 litros 16. 90 tarjetas es a 6 sobres
17. 18 objetos es a 12 cajas 18. 288 páginas es a 15 días
19. Si en cada caja siempre se pone la misma cantidad de botellas y en cada caja caben 12 botellas, ¿cuántasbotellas podrían caber en 4 cajas?, ¿y en 6 cajas?
Cajas
Botellas
20. En un lavado de autos se lavan 25 automóviles diariamente. ¿Cuántos se lavan en 7 días?
Días
Autos
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
Patrones.
Comprensión de los aprendizajes
21. Ordena los valores de menor a mayor:2,35; 2,03; 2,3.
22. ¿Cuál es la razón de 55 a 15 reducida a sumínima expresión?
23. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a2 : 3?
A 4 : 5 B 8 : 10 C 12 : 13 D 14 : 21
Práctica adicional en la página 106, Grupo A
t Junto con otros
símbolos regionales, la
bandera fue adoptada
oficialmente el 15 deoctubre de 1996.
Fuente: Gobierno regional de laRegión de Magallanes.
97CAPÍTULO 6
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Aprende
1 %
PROBLEMA Diego ha diseñado un mural de pared con mosaicos. Veinticinco de los 100 mosaicos son azules. Escribe esta relacióncomo un porcentaje.
La razón 25 de 100 puede expresarse como porcentaje.Probablemente los porcentajes los has visto en descuentos. Eltanto por ciento, significa “por cada 100” o “cuantos de cada 100”.
mosaicos azules
______________
100 25
____
100 25%
Entonces, 25% del mural de Diego es azul. Así se obtiene unporcentaje.
Un porcentaje puede estar entre 0% y 100%, o ser mayor que100%.
Ejemplo Escribe el porcentaje que está sombreado.
68 de los 100 cuadrados están
sombreados.
68
___
100 68%
PorcentajesOBJETIVO: comprender los porcentajes.
Compara. Escribe o .
1. 52 48 2. 0,7 73. 33 32,3 4. 102 1205. 0,6 0,9
Ideamatemática
Los porcentajes puedenrepresentarse en unacuadrícula de 10 · 10. Elcuadrado completo esel 100%. Un cuadradopequeño es 1%.
En el siguiente ejemplo:
Vocabularioproporción
porcentaje
98
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Comprensión de los aprendizajes
Práctica adicional en la página 106, Grupo B
Escribe el porcentaje sombreado.
1. 26 de 100 26
____
100 2.
3. 4.
5. Explica cómo
39
___ 100 puede escribirse como un porcentaje.
Escribe el porcentaje sombreado.
6. 7. 8. 9.
Del 10 al 12, usa el mural.
10. Karina usó 100 mosaicos para diseñar el mural que se muestraa la derecha. ¿Qué porcentaje del mural es blanco?
11. ¿Que porcentaje del mural es de color rojo?
12. ¿A qué total deben llegar todos los porcentajesde todos los colores de mosaicos? Explica.
13. Un encuestador hizo preguntas a 10 personasde un total de 500. ¿Cuál es la razón de laspersonas encuestadas y la cantidad total depersonas?
14. Convierte 350 metros = centímetros
15. En la prueba, Carla tuvo 7 respuestasequivocadas de un total de100 preguntas.¿Cuál es la razón entre las respuestasequivocadas y las respuestas correctas?
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
99CAPÍTULO 6
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Resolver problemasusando calculadoraOBJETIVO: resolver problemas usando calculadora.
Materiales ■ calculadora científica
La calculadora científica puede ayudar a resolver unproblema en menos tiempo ya que los cálculos serealizan más rápido, pero se debe identificar los datosy las operaciones que se realizarán.
Paso
Paso
Paso
PROBLEMA Don Gabriel ha comprado un DVD por$ 45 900 y un televisor por $ 149 000. Por la compra deestos dos productos, le hacen un descuento de $ 27 286.
Si don Gabriel pagó con 9 billetes de $ 20 000, ¿recibirávuelto? Si es así, ¿qué cantidad sería?
Sacar conclusiones
1. ¿Qué operación debes realizar para calcular el total deuna compra?
2. ¿Qué operación debes realizar para calcular un valorcon descuento?
3. Si conoces el monto del descuento, ¿cómo calcularíasel vuelto que debe recibir una persona después de sucompra?
Debes saber cuál es el total de la compra.
Al total se hace el descuento.
Don Gabriel pagó con $ 180 000 por lo tanto
debe recibir vuelto. Para calcularlo, se resta
45900 149000 19490059 149 1949+59 149 1949=
180000 167614 123868 167614 12386-8 167614 12386=
194900 27286 167614949 27286 167614-949 27286 167614=
100
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8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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L E C C
I Ó N
Estrategia: información relevante eirrelevanteOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia información relevante e irrelevante.
PROBLEMA Camila está haciendo figuras de artesanía que miden 9
centímetros por 12 centímetros. Ya ha terminado 12 de las 36 figuras deartesanía que tiene planeado hacer para el festival de Arte y Manualidadesde su colegio. Puede hacer 8 figuras de artesanía en 2 h. ¿Cuánto tiempotardará en terminar el resto de sus figuras de artesanía?
Piensa y comentaIndica qué información es relevante o irrelevante. Luego
resuelve el problema.
a. Juanita espera 10 min en la caja registradora y luego
gasta $1 800 en 2 metros de papel volantín. Regresa aldía siguiente para comprar 1 metro más del mismo papel.¿Cuánto dinero gasta en 1 metro más de papel volantín?
b. Miguel compra un frasco de pegamento de 4 litros a$1 900 y un frasco de 8 litros a $3 800. Tiene en su bolsilloun billete de $5 000 y uno de $10 000. ¿Qué frasco leconviene llevar?
Vuelve a leer el párrafo de arriba con atención y determina qué informaciónes relevante y qué información es irrelevante.
RELEVANTE
• Ha terminado 12 de las 36 figurasde artesanía.
• Puede hacer 8 figuras deartesanía en 2 h.
IRRELEVANTE
• Las figuras de artesanía miden 9 centímetros por 12 centímetros.
• Está planeando exponer sus figurasde artesanía en el festival de Arte yManualidades de su colegio.
Usa la información relevante para resolver el problema.
36 12 24 Resta para hallar el número de figuras de artesanía que aúntiene que hacer.
artesanías
_______
horas
8
__
2 Escribe la razón de figuras de artesanía
es a horas.
8 3
_____
2 3 24
___
6
artesanías
_______
horas Usa razones equivalentes para hallar el
número de horas.
Entonces, Camila tardará 6 h en terminar el resto de sus figuras de artesanía.
··
figuras de artesaníahoras
82
102
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Identifica la información relevante y la irrelevante. Luego usa la
información relevante para resolver el problema.
1. Valentina hace arreglos florales que miden 42 cm de altura.En 3 h puede hacer 9 arreglos. ¿Cuánto tiempo podría tardar enhacer 54 arreglos para el festival de música de su colegio?
Primero, identifica la información relevante e irrelevante.Relevante: En 3 h puede hacer 9 arreglos.
Hará 54 arreglos.Irrelevante: Los arreglos miden 42 cm de altura.
Los arreglos son para un festival.
Luego, usa la información relevante para escribir razones equivalentes.arreglos
_______
horas
9 ?
_____
3 ?
54
___
?
Por último, escribe la cantidad de horas en la razón equivalente.
2. ¿Qué pasaría si Valentina hiciera arreglos de 36 cm de altura ytardara 4 h en hacer 15 de esos arreglos? ¿Cuánto tiempo podría tomarhacer 45 arreglos?
3. Después de comprar tres láminas en el festival de arte, Sebastiánconduce 20 km hasta su casa. Si conduce a una velocidad promedio de40 km por hora, ¿cuánto tiempo podría tardar en llegar a su casa?
4. José conduce 416 kilómetros para ir a visitar a su mamá, donde planeagastar $5 000 en cuadros. El promedio de velocidad en las primeras3 horas de viaje es de 83 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros haviajado?
5. Si la razón entre los niños y las niñas del 6° C es de 1 es a 2, ¿cuántosniños hay en el curso?
7. El 6º C participa de un día de mejoras en el colegio. Si durante el día 4 estudiantes puedenpintar 3 paredes, ¿cuántos estudiantes se requieren para pintar 24 paredes?
8. Cata usa 36 centímetros de encaje para hacer una toallita para bebés y 24 centímetrospara hacer una toalla de manos. Está haciendo 18 juegos de cada uno. ¿Cuánto encajenecesitará?
Resolución de problemas con supervisión
··
Resolución de problemas • Práctica de estrategias
p Arreglo floral de
42 cm de altura.
6. ¿Cuál es la razón entre la cantidadde alumnos del 6º A con respectoal total de alumnos de todos loscursos?
Estudiantes por curso
Curso
6ºA
6ºB
6ºC
32
28
36
Cantidad de estudiantes
103CAPÍTULO 6
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Clases de teatro ofrecidas
en diferentes grados
Curso
PreBásica
Básica
Media
18%
36%
68%
Porcentaje
1. Jacinta encuestó a los miembros de su Club Osorno para saber cuántosaños tenían. Organizó sus datos en una tabla. ¿Cómo se compara la cantidadde miembros en cada grupo de edades con la cantidad total de miembrosdel club?
Edades de los miembros del Club Osorno
Grupo
Infantes
Menores
Intermedios
Adolescentes
45
90
18
27
Cantidad
5–8
9–11
12–13
14–19
Edad (años)
USA DATOS Usa la tabla para responder las preguntas 6, 7 y 8.
6. ¿Qué porcentaje de clases de teatro no se ofrecen a escuelasprimarias?
7. ¿Para qué grupo de estudiantes se ofrece la mayor cantidad declases?
8. Vuelve al problema 6. Explica cómo hallaste turespuesta.
2. ¿Qué pasaría si hubiera 36 miembros en elgrupo de adolescentes y 81 miembros enel grupo de menores? ¿Cómo cambiarían tusdatos?
4. ¿Qué grupo presenta la mayor cantidad demiembros del Club Osorno? ¿Cuántos son?¿Cómo lo sabes? Explica.
3. De los 10 primeros premios otorgados en unaferia regional, los intermedios obtuvieron 3.¿Cómo se compara el número de ganadoresdel grupo intermedio con los ganadores de losotros grupos?
5. ¿Cuántos miembros tiene el Club Osorno?Escribe la operación matemática que te ayudaa responder la pregunta.
Aplicaciones mixtas
104
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Jugadores2 jugadores
Materiales• Tarjetas con preguntas• 2 fichas o monedas• Calculadora• Papel y lápiz• Reloj de arena
¡A jugar!
Coloca las tarjetas sobre la mesa, boca abajo enun mazo.
Cada jugador ubica su ficha en el casilleroSALIDA
A la cuenta de tres, el jugador 1 saca unatarjeta y la da vuelta, colocándola de maneratal que ambos la puedan leer.
El jugador 2 da vuelta el reloj de arena paramedir el tiempo en que se demoran en resolverla situación planteada en la tarjeta.
Cada jugador lee la tarjeta y realiza la actividadque se le pide.
El jugador que termina antes de que el reloj dearena acabe, dice: “ALTO”.
Si está correcto el resultado, el jugador avanzatres casilleros. Si no está correcto, permaneceen la casilla que está.
Gana el juego el primero en llegar a laLLEGADA.
Gánale al reloj
S A L I D A
L L E G A D A
105CAPÍTULO 6
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Escribe una razón para cada enunciado.
16. 18 juegos ganados es a 6 perdidos. 17. 16 libros de aventuras es a 12 libros de ficción.
Grupo A Escribe razones equivalentes para cada fracción.
1. 3
10 2. 7
17 3. 3
100 4. 1
5 5. 29
10
6. 22
35 7. 3
5 8. 5
8 9. 15
10 10. 18
4
11. 3
4 12. 9
12 13. 13
26 14. 27
10 15. 5
15
Práctica adicional
Grupo B Escribe el porcentaje sombreado.
1.
2.
3. 4.
18. 10 adultos es a 120 niños. 19. 69 empleadas de una empresa es a 90empleados en total.
20. 16 minutos es a 30 minutos. 21. 15 partidos ganados es a 20 partidos jugados.
106
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Grupo C Resuelve los problemas. Usa calculadora si es necesario.
Observa la tabla y responde.
1. Una tienda de artículos electrónicos ofrece untelevisor de 42 pulgadas en $ 200 000. Si uncliente lo compra y paga en 12 cuotas de igualprecio cada una, ¿cuánto es el valor de cada cuota?
2. Felipe compra un nuevo refrigerador. Tiene que
hacer 8 pagos de $ 45 500 cada uno. ¿Cuánto lecostó finalmente el refrigerador?
3. Rosa y sus amigos gastaron un total de $ 34 950en un almuerzo. La cuenta se diviidió entre los 5amigos en partes iguales. ¿Cuánto dinero tuvo quepagar cada amigo?
4. Cristina pidió un sándwich de jamón que costaba$ 3 570 y un té que cuesta $ 1 350, ¿cuánto dinerogastó Cristina?
5. Rodrigo vendió dos carretillas para jardinería a$ 50 000 cada una y 3 podadoras mecánicas a$ 100 000 cada una. ¿Cuánto dinero recaudó conla venta de las carretillas y las podadoras?
6. Patricia ha empezado a trabajar en una empresa ydesea saber la cantidad de dinero que ahorrará en30 años para hacer una casa cuando se jubile. Ellatiene un sueldo de $ 500 000 y la décima parte deesa cantidad es para su casa. ¿Cuánto dinero tendrá
ahorrado para su casa?7. Una empresa fabrica 100 pares de zapatos a la
semana. Se trabaja de lunes a viernes. Si vendecada par de zapatos en promedio a $ 12 000,¿cuánto dinero recibe la empresa aproximadamenteen una semana por la venta de los 100 pares dezapatos?
8. Un vendedor de una automotriz vende 10 autos deun modelo en particular y del mismo año en$ 120 990 000, ¿cuánto costó cada auto?
9. Calcula la diferencia entre los totales de lacantidad de niños y niñas que posee conexión ainternet y los que no poseen conexión.
10. Calcula el total de niños y niñas que poseenconexión a internet de las últimas tres regiones
de la tabla.
11. ¿Cuál es la diferencia entre los niños y niñasque poseen conexión a internet y los que noposeen conexión a internet en la región de laAraucanía?
Fuente: www.ine.cl
Niños y niñas con conexión a Internet en el hogar
Posee conexión a Internet
Región Sí No Total
Tarapacá 12 594 122 563 135 157
Antofagasta 20 191 136 451 156 642
Atacama 6 491 78 674 85 165
Coquimbo 12 311 179 386 191 697
Valparaíso 44 039 405 662 449 701
Libertador General Bernardo O´Higgins 15 022 231 975 246 997
Del Maule 12 551 272 584 285 135
Del Biobío 34 340 543 137 577 477
La Araucanía 13 420 260 718 274 138
Los Lagos 17 596 311 716 329 312
Aysén del General Carlos Ibáñez Del Campo 1 781 27 697 29 478Magallanes y de la Antártica chilena 6 802 35 275 42 077
Metropolitana de Santiago 275 781 1 526 481 1 802 262
Total 472 919 4 132 319 4 605 238
107CAPÍTULO 6
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Repasa el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. Las ________ se obtienen multiplicando o dividiendo (amplificando o simplificando)los términos por un mismo número.
2. __________ es una forma de comparar cantidades, en relación a una cantidad omagnitud, con respecto a un todo que es 100.
Repasa las destrezasEscribe razones equivalentes.
Repaso/Prueba del capítulo 6
VOCABULARIO
razones equivalentes
porcentaje
3. 4. 5.
20
30
12
3
21
7
15
20
4
7
3
4
5
9
3
9
1
2
6. 7. 8.
9. 10. 11.
Escribe una razón para cada enunciado.
12. 36 niños en una fiesta es a 18 niñas. 13. 23 sillas es a 10 mesas.
14. 8 dulces es a 12 chicles. 15. 120 monedas de $ 5 es a 100 monedas de $ 10.
16. 40 minutos es a 15 minutos. 17. 12 botellas de bebida es a 15 botellas de jugo.
Repasa la resolución de problemas
18. Felipe y su mejor amigo fueron a almorzar a un restaurante. La cuenta salió $ 27 580. Si se dividieron lacuenta entre los dos por igual, ¿cuánto dinero pagó cada uno?
19. Sara compra 12 bolsas de dulces para repartir en su cumpleaños. Si cada bolsa cuesta $ 580, ¿cuántodinero gasta Sara en dulces?
20. Mi papá compra un equipo de música nuevo. Lo paga en cuotas de $ 15 590 cada una. Si paga 15cuotas del mismo valor, ¿cuánto pagó por el equipo de música?
21. Claudia tiene ahorrado $ 350 095 en su cuenta de ahorros, si depositó $ 13 467 más, ¿cuánto dinerotiene ahorrado hasta el momento?
108
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Enriquecimiento • Plantear proporciones
Marcia y Laura están disfrutando de la kermese de la escuela. Marcia tiene
$ 5 000 para comprar 20 entradas. Laura quiere comprar 15 entradas.¿Cuánto debería gastar? Puedes plantear una proporción para resolver esteproblema.
InicioHaz una tabla que relacione el precio con la cantidad de entradas.
TIE MP O
DE F E S T I V AL
5. Samuel contó 36 latidos de su corazón en medio minuto. Explica cómo puedes saber lacantidad de veces que late el corazón de Samuel en 3 minutos.
PruébaloUsa el plantear una proporción para encontrar el valor desconocido.
1. David corre la pista 2 veces en 5 minutos. Si continúa a la misma velocidad, ¿cuántas veces correrála pista en 40 minutos?
2. Sofía compra 24 bolsas de maní tostado a $ 5 500. ¿Cuánto debería pagar por 8 bolsas de manítostado?
3. Para entrar a la “Casa del terror”, 6 estudiantes necesitan comprar 18 tickets. ¿Cuántos tickets de
esta atracción se comprarán si entran 48 estudiantes? 4. El stand de “Pesca milagrosa” cobra $ 500 por cada 10 minutos de juego. ¿Cuánto le costará al
señor López 40 minutos de juego?
De una maneraEl precio de 20 entradas es de $ 5 000.
Divide ambas columnas entre 4 para encontrar el precio de5 entradas. Multiplica ambas columnas por 3 paraencontrar el precio.
De otra maneraEl precio de 20 entradas es $ 5 000.Divide entre 2 para encontrar el precio de 10 entradas.Divide entre dos para encontrar el precio de 5 entradas.Suma las dos primeras líneas.
Entonces, Laura debería gastar $ 3 750 por 15 entradas.
Precio Entradas
$ 5 000 20
$ 2 500 10$ 3 750 15
Precio Entradas
$ 5 000 20
$ 2 500 10
$ 1 250 5
$ 3 750 15
109CAPÍTULO 6
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110
1. Marcos ahorra 6
__ 16 de lo que gana por cortar
el pasto cada mes. ¿Cuál de las siguientesfracciones es equivalente a 6
__ 16 ?
A 1
__
4
B 1
__
3
C 3
__
8
D 8
__
3
2. En una fiesta de cumpleaños, el pastel
se corta en 12 porciones iguales. Se comencuatro porciones. ¿Qué fracción en su mínima
expresión representa lo que queda del pastel?
A 1
__
4 C 2
__
3
B 4
___
12 D 8
___
12
3. Un curso compró 24 helados para venderen los recreos. La mitad de los helados losvendieron durante el primer recreo, la tercera
parte de los helados que les quedaba losvendieron en el segundo recreo. ¿Cuántoshelados quedaron sin vender?
A 8 helados C 4 helados
B 12 helados D no quedaron helados
4. ¿Cuánto es + + como fracciónexpresada en su mínima expresión?
A C
B D
6. ¿Qué lista de fracciones está ordenada de mayor a menor?
A 3
__
5 ; 5
__
8 ; 7
___
15 ; 1
__
4
B 5
__
8 ; 3
__
5 ; 1
__
4 ; 7
___
15
C 7
___
15 ; 5
__
8 ; 3
__
5 ; 1
__
4
D 5
__
8 ; 3
__
5 ; 7
___
15 ; 1
__
4
7. 3
___
12 1
__
8
A 1
__
6 C 8
___
24
B 1
__
5 D 3
__
8
8. ¿Cuál de las siguientes fracciones está máscerca del 1?
A C
B D
9. Un panadero vendió hogazas de pan quepesaban 12
_
3 kg y 11
_
4 kg. ¿Cuánto pesabael pan en total?
A 13
__
4 kg C 211
___
12 kg
B 23
__
4 kg D 3 kg
10. ¿Cómo se escribe 3 enteros23 comofracción impropia?
A 11
___
3 C 15
___
5
B 10
___
5 D 6
___
9
Repaso/Prueba de la unidad
5. Al transformar en número decimal resulta:
A 6,26 C 0,0625
B 0,625 D 0,06025
5
8
2
5
1
2
12
87
45
56
5
8
61
16
61
24
61
40
61
80
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111CAPÍTULO 6
15. En un sitio arqueológico, 5 _ 9 de los objetos
que se hallaron son herramientas y el restoson piezas de alfarería. ¿Qué fracción de losobjetos son piezas de alfarería?
16. La familia Fernández compró tres pizzaspequeñas. En el modelo de abajo se muestracuánta pizza sobró. Las partes que sobraronestán sombreadas. ¿Cuánta pizza comió lafamilia Fernández?
17. Si Jorge tiene tres fracciones condenominadores de 5, 10 y 6, ¿quédenominador podría usar Jorge para sumarlas fracciones?
18. Javier usa 6 tarros de pintura verde por cada 4tarros de pintura roja. Si compra 20 tarros de
pintura roja, ¿cuantos tarros de pintura verdetendrá que comprar?
Escribe una V si es verdadero o una F si es falsocada enunciado.
19. ______ Si dividimos 95,81 en 5, el resultadoobtenido es 19,162.
20. ______ El producto entre 2,56 por 2 es 51,2.
21. ______ Una razón equivalente a 2: 3 es 4: 6.
11. Francisco calculó la siguiente sustracción de
números mixtos: 814
– 523
.
¿Cuál es el resultado de la operación de
Francisco?
A 2 7
___
12 metros C 13 3
___
12 metros
B 3 metros D 1311
___
12 metros 12. ¿Cuál es el producto de 0,035 · 5?
A 0,0175 C 1,75
B 0,175 D 0,75
13. El producto de 2,26 · 6 es:
A 1 356
B 135,6
C 13,56
D 1,356
14. ¿Cuánto es 95,81 : 5?
A 19,182 C 19,072
B 18,162 D 19,162
22. Raúl registró la cantidad de kilómetros quecaminó diariamente durante 8 días: 2 km,
3 km, 4 km, 2 km, 3 km, 6 km, 3 km y 5 km.¿cuál es la distancia media que caminó esosdías? Explica cómo hallaste la respuesta.
23. Javier y Rodrigo están pintando una casa.
Javier pinta 2
5 de la casa y Rodrigo pinta
1
2 de lo que queda. Explica cómo hallar la
fracción de la casa que queda por pintar.
24. Tamara trabaja 7 1
2 de horas al día. Su
hermana trabaja 5 34
horas al día. ¿Cuánto
más trabaja Tamara que su hermana?
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De aquí yde allá
Resoluciónde problemas
A L MA NAQ U E PARA ES TUD IANTES
uando los ciudadanos votan Presidente o Vicepresidentede Estados Unidos, en realidad están eligiendo a una serie
de electores que emitirán su voto para Presidente y Vicepresidenteen el Colegio electoral. Hoy, el candidato que obtiene más votosde los ciudadanos de un estado en particular suele obtener todoslos votos electorales de ese estado.
En la Antigua Grecia, la forma de gobierno era la democraciadirecta. Esto significa que era el pueblo de Grecia el que hacía lasleyes y velaba por su cumplimiento. La única manera de sancionaruna ley era por el consenso de la mayoría de las personas. Este tipode gobierno coloca todo el poder en manos de los ciudadanos.
Del 1 al 4, usa el mapa. Escribe todas lasfracciones en su mínima expresión.
➊ Para ser presidente, un candidato deberecibir la mayoría (más de la mitad) delos votos electorales. ¿Cuántos votoselectorales se requerían para ganar laelección de 2012? Escribe esta cantidad
como fracción.
➋ ¿Cuántos votos electorales tieneCalifornia? Escribe esta cantidad como
fracción.
➌ Escribe una fracción de adición de fracciones cuyo resultado sea mayor o igual a los votos del estado de California.
➍ Plantea un problema Escribe un problema similar alProblema 2, pero emplea otro estado.
AK
3
HI4
WA11
MT3
ND3
SD3
NE5
KS6
OK 7
LA9
AR6
MS6
AL9
GA15
SC8
NC 15
FL27
KY 8
TN 11
MO11
IA7
MN10 WI
10
IL21
IN11
OH20
WV
5 VA
13
MI17
NY31
PA21
ID4 WY
3
CO9
UT5
OR7
CA55
NV5
ME4
NH4
MA 12
CT 7
RI 4
NJ 15
DE 3
MD 10
DC 3
VT3
AZ10
NM5
TX34
DE AQUÍ Y DE ALLÁ
C
Número de electores en el Colegio electoralpor estado al año 2012—total 538.
Contar votos
112
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¿Chile debería dejar de acuñar monedas de $ 1?
Sí No
A Las máquinas expendedoras no lasaceptan.
A Las monedas de $ 1 mantienen los preciosbajos. Sin ellas, los vendedores deberíansubir los precios de 5 en 5.
B Estas monedas están hechas de aluminio(98%) y de otros metales (2%). El preciodel aluminio ha aumentado y el costo deproducción de una moneda de $ 1 es másalto.
B Son parte de la Historia y rindenhomenaje al libertador BernardoO’Higgins quien ha estado en estamoneda desde el año 1975.
C Las monedas de $ 1 son muy incómodaspara transportar.
C Se pueden cambiar paquetes de monedasde $ 1 por dólares.
En Chile hay 60 distritos electorales paraelegir a 120 diputados
(2 por distrito) y 19 circunscripciones
electorales para elegir a 38 senadores(2 por circunscripción). Ambos componen,respectivamente, las cámaras de
diputados y senadores.
odo ciudadano estadounidense que tenga 18años o más tiene derecho a votar en las elecciones
nacionales, estatales o locales. Las personas votan paraelegir a los líderes de sus ciudades, condados, estadosy país. También votan para decidir acerca de temas localesde importancia, por ejemplo, si debería construirse una nueva escuela.
En Chile, un diputado presentó un proyecto de ley para que la moneda de $1 saliera decirculación. ¿Cómo votarías en este tema que afectaría a cada ciudadano del país? En la tablade abajo, se ofrecen algunos argumentos para iniciar el debate sobre las monedas de $1.
T
¿CÓMO VOTARÍAS?
Haz una encuesta a 30 personas. Cada persona debe elegir Sí o No y dar una razón que justifique suelección. Si lo deseas, puedes agregar otras razones, pero debe haber igual cantidad de razones porcada opción.
u Escribe una fracción que represente la parte del total de encuestados que eligió opcionescomo Sí-Razón A o No-Razón B.
u Escribe una fracción que represente la parte del total de encuestados que eligió Sí y otra
que represente la que eligió No.u Escribe un problema que esté orientado a ordenar fracciones de mayor a menor.
113UNIDAD 1
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114
Álgebra: Expresionesy ecuaciones
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¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografias deMatemática en Contexto?
REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientespalabras cuando estudiaste acerca de las expresiones ylas ecuaciones. ¿Cómo se relacionan estas palabras conMatemática en Contexto?
ecuación es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen
valores conocidos o datos, y por lo menos un valor desconocidoo incógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.
expresión algebraica es un conjunto de números y letrasrelacionados a partir de operaciones aritméticas comoadiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potencias.
expresión numérica es una frase matemática o la parte de unenunciado matemático que combina números y operacionesaritméticas.
Copia y completa el diagrama de clasificación de datos. Luego,con lo que sabes acerca de expresiones y ecuaciones describesemejanzas y diferencias entre ellas .
p Las cantidades de plantas cultivadas en
los invernaderos se tienen en cuenta
para calcular si cubren las necesidades
de la producción agrícola.
p La producción masiva de tomates
considera las cantidades que se destinan
a la industria conservera y las que se
destinan al consumo natural del producto.
p Debido a que cada vez más tiendas
venden productos orgánicos, más
huertas usarán este sistema de cultivo
de alimentos más puros.
Expresiones y ecuaciones
Escribe 5 ejemplos de cada una.
15 = 2a + 54 = 2y + 17b = 21
2x + 53 · 918y
Expresiones Ecuaciones
Matemáticaen Contexto
115UNIDAD 2
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Dimensiones del producto armado y embaladoImagina que compras una mesa deping-pong para poner en tu patio.
En la tienda te entregan un folletocon las dimensiones del productoarmado y embalado. Con lainformación de la tabla, escribe unaexpresión que te permita calcular lamedida del perímetro de la mesa deping-pong cuando esté armada.
Dimensiones de lamesa de ping-pong
armada
Dimensiones de lamesa de ping-pong
embalada
Longitud 274 cm 158 cm
Ancho 152 cm 143 cm
Alto 76 cm 12 m
Expresiones algebraicasLa idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se pueden usar
para calcular el valor de expresiones.
116
En Chile el tenis de mesa, también conocidopopularmente como ping-pong o pimpón esun deporte muy popular en los colegios.Existe una Federación Chilena de Tenis deMesa (FCHTM) con un circuito decompetencias a nivel nacional.El ping-pong es un deporte olímpico desdeSeúl 1988, y el deporte con mayor número
de practicantes, con 40 millones de jugadores compitiendo en todo el mundo.En la imagen, Partido tenis de mesa doblesdamas sub 14 de los Juegos DeportivosEscolares 2013. Arica, 24 de octubre de 2013.
DATO BREVE
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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 7.
PatronesCompleta cada ejercicio con el valor que falta según la regla de formación de la secuencia.
1. 2, 5, 7, x , 11, 13 2. 3, 6, 9, 12, 15, x 3. 9, 23 ,37, x , 65, 79 4. 8, 19, x , 41, 52, 63
5. 4, 11, 8, 15, 12, x 6. 7, 16, 15, 24, x , 32 7. 5, 3, 6, x , 7, 5 8. 6, x , 7, 15, 8, 16
9. 2,5; 5; x ; 10; 12,5; 15 10. 2; 3,5; 5; x ; 8; 9,5 11. 1,75; x ; 5,25; 7; 8,75; 10,5 12. x ; 1,3 ; 2,6; 3,9; 5,2; 6,5
Usar paréntesis
13. (3 6) · 6 14. 3 · (5 7) 3 15. 8 (9 3) 3
16. 4 · (3 7) 17. 4 · (8 5) 18. (2 6) · (2 9)
19. (2 6) · 3 20. (16 : 8) (72 : 9) 21. 34 (12 5) 12
Resolución de problemas
22. Esteban trabaja en una feria artesanal haciendo collares con mostacillas. Para un solo collar ocupael siguiente patrón: 3 mostacillas rojas, 4 mostacillas amarillas y 3 mostacillas verdes. Si repite elpatrón 7 veces, ¿cuántas mostacillas de cada color ocupará en el collar?
23. Ana vende trozos de queque a $200 cada uno. Si cada día vende 8 trozos. En un mes, ¿cuántodinero tendrá?
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
expresión algebraicasistema operativo algebraicotérminos semejantesexpresión numérica
prevalencia de las operacionestérminos
PREPARACIÓN
expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionadosa partir de operaciones aritméticas como adiciones, sustracciones,multiplicaciones, divisiones, potencias.
expresión numérica es una frase matemática o la parte de un
enunciado matemático que combina números y operacionesaritméticas.
prevalencia de las operaciones primero se resuelven las operacionesque están entre paréntesis, se despejan los exponentes, se resuelvenlas multiplicaciones y divisiones y, por último, se resuelven todas lasadiciones y sustracciones.
sistema operativo algebraico el sistema que usan las calculadoras paraseguir el orden de las operaciones al calcular el valor de expresionesde izquierda a derecha.
117CAPÍTULO 7
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Repaso rápido
Aprende
La multiplicaciónque usa unavariable puederepresentarse devarias maneras.
8 m 8 · m 8(m) 8m
R ecue r d a
118
Escribir expresiones algebraicasOBJETIVO: escribir una expresión algebraica para una situación dada. Escribe una expresión
numérica.
1. siete más cinco2. dieciocho menos dieciséis3.
cuarenta y dos por seis4. veinticuatro dividido entre 65. seis menos que el producto
de siete por ocho
Vocabularioexpresión algebraica
PROBLEMA El plan del teléfono celular de Irene permite enviar 200 mensajesde texto por mes a una tarifa fija de $ 4 990, y le cobran $ 50 por cadamensaje de texto después de los 200. Escribe una expresión algebraica parala cantidad que deberá pagar Irene por los mensajes de texto mensualmente.
Una expresión algebraica es una expresión que incluye uno o más valoresdesconocidos llamados variables o incógnitas.
Ejemplo 1 Escribe una expresión algebraica.
Escribe una expresión con palabras para representar el abono mensual por losmensajes de texto. Usa m para representar el número de mensajes de texto quepasen el límite.
$ 4 990 por el mes más $ 50 por cada uno de los m mensajes de texto que pasen los 200
4 990 50 · m
Entonces, 4 990 50m representa el costo mensual de los mensajes de texto de Irene.
expresión con palabras: expresión algebraica:
$ 90 por minuto para llamadas locales 90a
$ 120 por minuto para llamadas de larga distancia 120b
Entonces, una expresión algebraica que representa el costo total es 90a 120b.
Ejemplo 3 Escribe una expresión algebraica para cada expresión con palabras.
treinta más que el producto de cuatro por algún número, x 4 x 30
cuatro veces la cantidad de x 30 4( x 30)
algún número, w , dividido entre 5 veces otro número, t w
__
5t
A veces necesitas dos o más variables para escribir una expresión algebraica.
Ejemplo 2 Escribe una expresión algebraica usando dos variables.Una compañía de teléfonos celulares cobra $ 90 por minuto para las llamadaslocales y $120 por minuto para las llamadas de larga distancia. Escribe una expresiónalgebraica que indique el costo total, donde a representa los minutos de llamadaslocales y b representa los minutos de llamadas de larga distancia.
L E C C
I Ó N
expresión lgebr ic
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Práctica con supervisión
119CAPÍTULO 7
Ejemplo 4 Escribe una expresión algebraica usando tres variables.Una compañía de teléfonos celulares está ofreciendo una promociónespecial. Durante el primer mes, se paga la mitad del servicio mensualbásico más los costos de los mensajes de texto y los costos de las llamadastelefónicas. Escribe una expresión algebraica para el costo total.
Elige tus variables. Haz que s represente la tarifa delservicio mensual básico, que m represente el costo delos mensajes de texto y que l represente el costo de lasllamadas telefónicas.
Escribe números y signos para las partes de la expresióncon palabras.
mitad del servicio mensual básico: 1 __
2 s
costo de los mensajes de texto: m
costo de las llamadas telefónicas: l
1. Usa un signo de multiplicación y escribe unaexpresión algebraica de x multiplicado por 7.
2. Usa un signo de suma y escribe una expresiónalgebraica para m aumentado en 14.
Escribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.
3. g dividido entre 2,39
4. 2 menos que 4 multiplicado por d
5. 17 más que x
6. la mitad de un número más el número al cuadrado
7. Explica cómo puedes escribir una expresión algebraica para lo siguiente:Si compras 3 camisas de c pesos cada una, entonces te descuentan $ 500 del precio total.
Puedes usar las propiedades algebraicas para escribir expresiones algebraicasequivalentes.
Entonces, el costo total puede representarse mediante 1
_
2 s m l .
• Escribe una expresión algebraica para el costo mensual total si latarifa básica mensual del servicio se duplica en vez de reducirse a lamitad.
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Práctica adicional en la página 130, Grupo A
Práctica independiente y resolución de problemas
Comprensión de los aprendizajes
120
Escribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.
8. un número aumentadoen 32
9. 31
_ 2 disminuido en un
número 10. el producto de un
número y 36 11. longitud por ancho
por altura
12. un número disminuido
en 45
13. 24 menos que dos
tercios de un número
14. un número que luego
se divide entre 8
15. un número aumentado
en 5
16. Un número aumentado en eldoble de 8.
17. 24 disminuido en la terceraparte de un número.
18. La mitad de la suma de unnúmero y 5.
Escribe una expresión con palabras para cada expresión algebraica.
19. n 14 20. 36 : 2 n 21. n 2 __
5 n2 22. 3( n 1) : 4
Resuelve.
23. Una compañía de teléfonos celulares cobra $ 10 por el uso de cada kilobyte de datos adicional y $ 50 por cada mensaje de texto adicional.Escribe una expresión algebraica que indique el costo adicional total,donde k represente el número de kilobyte adicionales y m represente elnúmero de mensajes de texto adicionales.
24. En la boleta de su primer mes, los nuevos clientes pagan un cuarto de latarifa básica del servicio, la mitad de la tarifa por mensajes de texto y se lesdescuenta un adicional de $ 1 000 de toda la boleta. Escribe una expresiónalgebraica para el costo total del primer mes, si s representa el total de laboleta sin los descuentos. ( s = a lo que se debe pagar el primer mes).
25. Plantea un problema Vuelve a leer el problema 24. Escribe un problemasimilar en el que los clientes nuevos obtienen un descuento menor en elcosto los mensajes de texto. Elige tu propio porcentaje de descuento.
26. Marisol se compra un nuevo teléfono celular a $ 19 990y se anota en un plan que le costará $ 29 990 por mes. Explica cómose puede escribir una expresión para el costo total del teléfono y el planmensual para determinado número de meses.
27. ¿Cuál es la media de los siguientes precios:$ 35, $ 23, $ 40, $ 28 y $ 37?
28. Las notas que obtuvo Joaquín en matemáticasson: 4,8; 5,2; 5,7; 6,0; 4,5.
Encuentra el promedio. Si para obtener unabeca es necesario tener promedio 5,5, ¿obtuvoJoaquín la beca? Explica.
29. Un camping cuesta $ 15 000, más un cargoadicional de $ 2 500 por cada acampante, a.¿Cuál expresión algebraica representa el costototal?A 15 a C 15a
B 15 2 500 a D 15 000 2 500a
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Palabras y frases claves Operación
sumado a, combinado, aumentado en, másque, agregado a, junto con, total de
adición(+)
disminuido en, diferencia entre/de, menosque, menos, menor que, cuántos más que,cuántos menos que, quedan
sustracción(−)
por, producto de, multiplicado por, veces multiplicación (·)
por cada, de, por ciento (divide entre 100),cociente de, razón de, compartido por,
separado entre, dividido entre
división (:)
121CAPÍTULO 7
La matemática es una ciencia formal que utiliza unlenguaje que involucra dígitos, símbolos y palabras.El álgebra, entre otras cosas, nos permite traducirlas palabras de un lenguaje cotidiano a un lenguajematemático. Para esto se requiere comprender laspalabras y frases clave, saber qué representa cadavariable y cómo seguir el orden de las operacionespara evaluar las expresiones.
El profesor Araya pidió a sus estudiantesque escribieran una pregunta que pudierarepresentarse mediante la expresión algebraica3 550 n + 6
Escribir problemas
Paso1 El problema puede tratar de la compra de artículos con un valor de $ 3 500 cada uno
y después, de otro artículo con un valor de $ 2 000.
Paso 2 Piensa en una situación en la que estén involucrados estos datos.
Paso 3 Escribe un problema basado en la situación: “Marcia, su hermanito y algunos amigos
van al cine. Las entradas cuestan $ 3 500 cada una para Marcia y sus amigos, y la de su
hermanito cuesta $ 2 000. Escribe una expresión para el costo total de la salida al cine.
Resolución de problemas Escribe un posible
problema para cada una de las siguientes
expresiones algebraicas.
1. 12( x 4 y ) 2. 12 x 4 y 3. x (29,5 5) 12,5 4. x y
_____
3
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123CAPÍTULO 7
Expresiones con variablesPara evaluar una expresión algebraica con una variable, reemplaza la variable por un número.Luego sigue el orden de las operaciones para hallar el valor de la expresión.
Ejemplo 2 Calcula (18 1 n) • 6 2 4 si n 5 12.
(18
n) •
6
4 Reemplaza n por 12.(18 12) • 6 4 Haz las operaciones entre paréntesis.
30 • 6 4 Multiplica.
180 4 Realiza la sustracción.
176
Más ejemplos
Calcula 7 • (n 2 3,2) si n 5 6.
7 • (n 3.2) 7 • (6 3.2)
7 • 2.8 19.6
Calcula 3c 1 5 si c 5 1
_
3 .
3c 5
(3 • 1 __
3
) 5
1 5 6
Calcula 12 2 (6 1 c ) si c 5 21
_
2 .
12 (6 c )
12 (6 21 __
2 )
12 81 __
2
31
_
2
Calcula x
_
5
1 12 3 2 si x 5 20.
x
__ 5 12 2
20
___ 5 12 2
4 24 28
• Halla el valor de la expresión en el Ejemplo D si x 10.
1. Di qué operación debes realizar en primer,segundo y tercer lugar para evaluar laexpresión.
Calcula cada expresión.
2. 30 : (8 7) 3. 32 (7 • 3) 4. 20 • 4 2 5. (6 : 3) • 4 8
Evalúa las expresiones algebraicas para el valor dado de la variable.
6. n 23
__ 8 3 7. 9 ( n 2) 8. ( n • 6,2) 12 9. 8 • (28 : n)
si n 5
__ 8 si n 3 si n 4 si n 4
10. Explica cómo evaluar la expresión 9 m (50 : m) si m 10.
49 45 • 5 • 3
Práctica con supervisión
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124
Calcula cada expresión.
11. 27 (12 9) 12. 41 (42 : 14) 13. 13 • 3 7 14. (56 : 4) 9
Evalúa las expresiones algebraicas para el valor dado de la variable.
15. 4 ( n 3) 16. 17 d 5 17. 2c 4 18. 8 24
___
n
si n 6 si d 3 si c 4.8 si n 3
1 9. 3 k 1 20. 7 5d 21. 121
__ 4 n 3 22. 5t 2
si k 5 si d 1.2 si n 2 si t 4
23. 6 (q 43
__ 8 ) si q 10
7
__ 8 24. 15
1
__ 3 b 7 si b 5
1
__ 3 25. 3 h (2 0,3) si h 2.3
26. 5
( r
4,2) si r
12.6 27. 37
3,4 m si m
6 28. (3
1
__
2
n)
1
1
__
2 si n
7
Escribe una expresión algebraica usando una variable. Luego halla el valor.
29. Darius vio 5 mariposas monarca y algunasmariposas dama pintada. Luego, 3 de lasmariposas alzaron vuelo. ¿Cuántas mariposasquedaron si Darius vio 4 mariposasdama pintada?
30. La cámara de Josie puede tomar 36 fotografías.
Tomó algunas fotografías en la exhibición demariposas. Luego tomó 16 fotografías más enla sala de mamíferos africanos. Si Josie tomó13 fotografías en la exhibición de mariposas,¿cuántas fotografías le quedan por tomar?
31. Cynthia compró botellas de agua en el museo.Cada botella de agua cuesta $2.75. Cynthia tenía$10.00 al comenzar. ¿Cuánto dinero le quedó aCynthia si compró 3 botellas de agua?
32. Una clase de 24 estudiantes se
dividirá en grupos iguales en el museo. Cadagrupo tendrá dos guías. La cantidad total depersonas en cada grupo debe ser menosde 10. Explica si los estudiantes se deben dividiren 2, 3, o 4 grupos.
Escribe una expresión algebraica usando una variable Luego halla el valor
Práctica independiente y resolución de problemas
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125CAPÍTULO 7
Comprensión de los aprendizajes
33. ¿Cuál es la mediana de estas velocidades demanejo: 55 mph, 65 mph, 75 mph, 60 mph,55 mph, 65 mph, 55 mph?
34. ¿Qué valor de
hace verdadero este enunciadonumérico?
33 24 6
35. La expresión 6 m muestra el costo del almuerzopara 6 personas. Si m $3.50, ¿cuál fue el costototal del almuerzo?A $2.50 C $18.50
B $9.50 D $21.00
36. Diez tarjetas están numeradas del 1 al 10. Lastarjetas se mezclan y luego se colocan en unabolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que Bill saqueuna tarjeta impar de la bolsa?
37. Si d 7, ¿cuál es el valor de 5d 2? A 35 C 39
B 37 D 41
ÁLGEBRA Una expresión puede contener más de una operación y más de unavariable. Para evaluar una expresión con más de una variable, reemplaza losvalores dados para cada variable en la expresión. Luego sigue el orden de lasoperaciones para evaluar.
Evalúa la expresión 4 x 1 y 2 6 si x 5 5 y si y 5 21
_ 2
.
4 x y 6(4 • 5) 21
__ 2 6 Reemplaza cada variable por su valor dado.
Luego haz las operaciones entre paréntesis.
20 21 __
2 6 Realiza la adición.
221 __
2 6 Realiza la sustracción.
161 __
2
Por lo tanto, el valor de la expresión es 161
_
2
.
Evalúa la expresión algebraica para los valores dados de las
variables.
1. v w 7 si v 3 y w 8.6
3. a 2 b 3 si a 14 y b 4
5. s t 9 si s 43
__ 5 y t 7
2
__ 5
2. r 2 • s si r 10 y s 4
4. 3 m n si m 9 y n 12
6. c 2d si c 15,4 y d 6
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Ventas mensuales de tiras cómicas
Mes Mampato Barrabases En dosisdiarias
Ene 82 98 44
Feb 93 89 52Mar 102 90 47
Mampato 33 ejemplares más que los que vendió En dosis diarias
Barrabases 11 ejemplares más que los que vendió Mampato
En dosis diarias 54 ejemplares vendidos
Cucalón 43 ejemplares menos que los que vendió Barrabases
Tira cómica Comparación de ventas para junio
Resolución de problemas con supervisión
127CAPÍTULO 7
Aplicaciones mixtas
1. Pablo comienza el año con 24 ejemplares de lastiras cómicas de Mampato, 26 ejemplares deBarrabases y 38 ejemplares de En dosis diarias. Todoslos meses encarga 2 cajas de tiras cómicas de Mampato y de Barrabases y 1 caja de tiras cómicas de En dosis
diarias. En cada caja hay 48 ejemplares. ¿Cuántas tirascómicas tiene a fines de marzo?
USA LOS DATOS Del 4 al 6 usa la tabla.
4. Halla el número de ejemplares de latira cómica de Barrabases que se vendieronen junio.
5. Halla el número de ejemplares de la
tira cómica de Cucalón que se vendieronen junio. Explica la secuencia de pasosque seguiste.
6. Razonamiento Ordena la cantidad de ejemplares que sevendieron en junio de cada revista, de menor a mayor.
2. ¿Qué pasaría si hubiera 52 ejemplares en
cada caja que encargó? ¿Cuántos ejemplares deEn dosis diarias tendría a fines de marzo?
3. ¿Qué revista de tiras cómicas tiene el mayor
promedio de ventas mensuales? ¿Cuál es esepromedio redondeado al número natural máspróximo?
7. Cuarenta y dos estudiantes del sexto básico sesuscriben a la revista Mundo de Sexto Básico. Larevista se vende a $ 2 950. Estima la cantidad totalde dinero que se gastó en la revista durante 5meses.
9. Si este año, las tiras cómicasalcanzaran alrededor de $ 450 millones en ventasy el costo promedio de una tira cómica fuese de$ 1 800. ¿Cuántas revistas se hubiesen vendido?
11. Plantea un problema Vuelve a leer elproblema 10. Escribe y resuelve un problemasimilar cambiando el número de tiras cómicas quetiene Sara.
8. La tienda de Pablo recibe 3 cajas de revistas detiras cómicas de Chistes para niños a comienzosde junio. Cada caja contiene 48 ejemplares. Afines de mes, le quedan 34 ejemplares. ¿Cuántosejemplares se vendieron en junio? ¿La información
es suficiente o insuficiente para resolver elproblema?
10. Antonio tiene el doble de tiras cómicas que José.José tiene tres tiras cómicas más que Sara. Saratiene 12 tiras cómicas. ¿Cuántas tiras cómicastiene Antonio?
12. Explica cómo ordenar ensecuencia y priorizar la información te ayudaa resolver algunos problemas.
Primero, determina cuántos ejemplares de cadatira cómica compró en los últimos tres meses.
Luego, suma el número de cada tira cómica compradaal número con el que empezó al comenzar el año.
Por último, resta las ventas de los tres meses deltotal de números con los que empezó y que compró.
DATO BREVE
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Ejemplo 1
Ejemplo 2 Descubrir una posible regla de formación para la secuencia gráfica,sabiendo que 3 corresponde al total de segmentos de la figura.
Martina escribe en lenguaje matemático x + 5, siendo x el valor del resultado dela suma anterior.
1 + 5 = 6
6 + 5 = 11
11 + 5 = 16 … y forma la secuencia
Registra los datos en la tabla siguienteEscribe en lenguaje matemáticola regla descubierta.
Una posible expresión es 2n + 1,donde n es un número natural.
6, 11, 16, 21, …
paso 1
3 3 + 2 3 + 4 3 + 6 3 + 2n n = 0, 1, 2,
paso 2 paso 3 paso 4
Práctica con supervisión
1. Desarrolla una secuencia con la regla “siete menos”.
2. Desarrolla la secuencia si la regla es 3 n + 4. Registra los datos en una tabla.
3. Escribe la secuencia del enunciado “el número y siete más”.
Práctica adicional en la página 130, Grupo C128
Propiedad 1 2 3 4 5 6 7
cantidad desegmentos
3 5 7
Aprende
Tablas y patronesOBJETIVO: comprender la relación entre los valores de una tabla y
aplicarla en la resolución de problemas sencillos.
Repaso rápidoEncontrar el valor de:
1. 3 · 1 + 4 =2. 3 · 2 + 4 =3. 3 · 3 + 4 =4.
3·
4 + 4 =PROBLEMA Martina necesita escribir el enunciado “Un número aumentadoen 5” en lenguaje matemático y luego registrar la secuencia.
L E C C
I Ó N
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4. En la siguiente tabla, descubre la posible regla de formación de la secuencia.
5. ¿Cuántos kg de arroz recaudarán en la semana 9 si la recolección sigue latendencia mostrada en la tabla?
6. Completa la tabla para la semana 12 y para la semana 18.
7. Expresa una regla de formación en un lenguaje matemático.
8. Calcula la cantidad recaudada en la semana 15 usando la expresiónmatemática encontrada.
Práctica independiente y resolución de problemas
Comprensión de los aprendizajes
Si se mantiene la regla de formación descubierta, determina cuál es elvalor de salida de 27 y 59.
Con los datos del problema responde los ejercicios del 5 al 8.
En el sexto básico deciden juntar arroz para la campaña de solidaridad enbeneficio de un hogar de niños. Las cantidades que se recibieron son:
129CAPÍTULO 7
Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
15 kg 30 kg 45 kg 60 kg 75 kg
Entrada 3 6 9 12
Salida 15 30 45 60
Entrada 4 7 9 18
Salida 12 27 45
Entrada 10 11 13 35 47
Salida 1 2 4 8 11
Entrada 3 5 10 15
Salida 6 20
12. Calcula el valor de +
13. ¿Qué propiedad representa la expresión3 · 5 · 7 = 5 · 7 · 3?
14. En la prueba, Rosario se equivocó en25 preguntas de 100, ¿qué porcentajede respuestas correctas tuvo Rosario?
15. Escribe una expresión matemática posible querepresente la relación de los números de la tabla.
3
4
2
3
11. Javiera tenía una pareja de hámster y al cabo de 3 meses tiene 4 hámster, alos 6 meses tiene 8 hámsters, a los 9 meses tiene 16 hámsters.
¿Cuántos hámsters tendrá al cabo de dos años si la tendencia se mantiene?
10. Dada la tabla, determina si la regla se mantiene igual para los cuatro números.
9. Dada la tabla, determina si la regla se mantiene igual para los cuatro números.
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130
Grupo A Traduce a lenguaje matemático las siguientes expresiones dadas con palabras.
Práctica adicional
1. 6 • (8 – 3)
2. 8 – (5 + 1) 3. 12 • 6 : 6
4. 63 : (5 + 4)
5. 8 • 15 : 5
6. 48 – (4 + 5) • 4 7. 100 – 7 • 6
8. 49 + 12 : (4 + 2)
9. 35 : 7 + 5 • 3
10. 18 : (6 – 4) + 5 11. 23 + (12 • 6) – 2
12. 13 + 5 – 3 • 6
13. g – 7 si g = 9
14. h + 4,5 si h = 1
15. 7 – ( b + 4) si b = 0
16. 20,5 – p si p = 10
17. 4 s + 2 si s = 8
18. 2 +18c
si c = 3
19. 2 • r – 4 si r = 512
20. 8 : (1 + w ) si w = 3
21. 9 : ( y • 3) si y = 1
22. 9 + e + 16 si e = 4
23. 5 – (t + 2) si t = 3
24. 9 – 2d si d = 3
1. un número aumentado en 12.
2. el producto de un número y 15.
3. 17 menos que la mitad de un número.
4. el cuadrado de algún número que luego se dividaentre 6.
5. Los nuevos usuarios de Internet pagan un terciode la tarifa mensual básica por el primer mes deservicio. Escribe una expresión algebraica querepresente el costo del primer mes.
6. Los clientes pagan la mitad del costo de unteléfono nuevo más un cuarto de la tarifa mensualbásica durante el primer mes. Escribe unaexpresión algebraica que represente el costo deun teléfono nuevo y el servicio del primer mes.
7. 5 • (2a + 5 b) =
8. 8 • (5x + 4y) =
9. 9 • (3z – 4w) =
10. 6 • (3c – 7d) =
Grupo B Calcula cada expresión.
Grupo C ¿Cuál es una regla posible para los datos de la tabla?
Evalúa la expresión algebraica para el valor dado de la variable.
Escribe una expresión con palabras para cada expresión algebraica.
Encuentra la secuencia si el término que la describe es 3 x – 2.
Entrada 2 4 6 10 15
Salida 15 29 43 71 105
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131CAPÍTULO 7
Explorar la expresión
Jugadores2 jugadores
Materiales• dado• flecha giratoria de 3 secciones,
marcadas del 1 al 3• cronómetro o reloj• 2 monedas diferentes• 30 tarjetas de expresión (por ejemplo: g + 17; m − 9; 3 x − 8; 3t + 1)
Mezcla las tarjetas de expresión y apílalas boca
abajo. Cada jugador elige una moneda y la coloca enla SALIDA. Decidan quién saldrá primero.
El primer jugador saca una tarjeta de expresiónde la pila y lanza el dado.
Luego el jugador calcula el valor la expresiónen la tarjeta de expresión reemplazandola variable por el número del dado. El otro jugador comprueba la respuesta.
Si la respuesta es correcta, el jugador hace
girar la flecha giratoria, avanza el número deespacios que sale y saca otra tarjeta.
Si la respuesta es incorrecta, o después de queun jugador obtenga 3 respuestas correctas enun turno, le toca el turno al otro jugador.
El juego continúa hasta que un jugadoralcanza la LLEGADA. El primer jugador quellegue o pase la LLEGADA es el ganador.
Cómo jugar
SALIDA
LLEGADA
1
2
3
4
5 6
7
8
9
1011
12
13
14 1516
17
18
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132
Repasa el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. La expresión matemática que combina signos, números y letras, siendo ellasincógnitas o constantes, se conoce como ____________________ .
2. La expresión matemática 3 · 4 corresponde a una __________ .
Repasa las destrezas
Escribe verdadero o falso para cada enunciado. Explica tu respuesta.
Repaso/Prueba del capítulo 7
VOCABULARIO
expresión algebraica
expresión numérica
3. (16 4) 2 16 (4 2)
5. (16 · 1
__
2 ) · 1 __
4 16 · (1 __
2 · 1 __
4 )
4. 5 · 3 12 5 · 12 3
6. 2 (6 · 7) (2 6) · 7
Escribe una expresión algebraica para las expresiones dadas en lenguaje cotidiano.
7. 34 menos que 1
__
4 de y 8. un número 9. el producto de 10. h por j por k
disminuido en 26 un número y 12
Repasa la resolución de problemasResuelve.
11. El viaje de Karen durará 4 días y 3 noches. El viaje de ida y vueltacuesta $ 7 500 y el hotel cuesta $ 20 000 por noche. Si su presupuesto esde $ 132 500, ¿cuánto le quedará para gastar por día si gasta la mismacantidad todos los días?
12. El señor Sánchez tenía 12 cajas que contenían5 patinetas cada una. Vendió todas las patinetas, excepto 7.¿Cuántas patinetas vendió?
Explica los pasos que seguiste para resolver el problema.
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133CAPÍTULO 7
Expresiones y naturales consecutivos
Enriquecimiento · Escribir expresionespara hallar sumas
Dado cualquier natural n, puedes hacer una lista de naturalesconsecutivos usando las expresiones n, n 1, n 2, n 3, etc. Porejemplo, si n es igual a 17, entonces las expresiones darán comoresultado los naturales 17, 18, 19, 20, etc.
Del mismo modo, puedes hacer una lista de naturales impares o paresconsecutivos usando las expresiones n, n 2, n 4, n 6, etc. Si n esimpar, entonces la lista contendrá enteros impares. Si n es par, entoncesla lista contendrá naturales pares. Por ejemplo, si n es igual a 34,entonces las expresiones darán como resultado los naturales 34, 36, 38,40, etc.
PruébaloHalla los naturales dados para la adición dada.
1. 3 naturales consecutivos cuya suma sea 12
3. 3 naturales impares consecutivos cuya suma sea 27
5. 4 naturales impares consecutivos cuya suma sea 16
2. 3 naturales consecutivos cuya suma sea 15
4. 3 naturales pares consecutivos cuya suma sea 48
6. 4 naturales pares consecutivos cuya suma sea 28
Explica cómo, al usar expresiones de resta para hallar números naturales consecutivos,obtendrías números distintos a los que obtendrías usando expresiones de suma.
n 17
n 1 17 1 18
n 2 17 2 19
n 3 17 3 20
n 34
n 2 34 2 36
n 4 34 4 38
n 6 34 6 40
Sea n = el primer natural, n + 2 = el segundo natural y n + 4 = el tercernatural.
n + (n + 2) + (n + 4) Escribe una expresión que represente la suma
de 3 naturales pares consecutivos.
n + n + 2 + n + 4 Quita los paréntesis.
3n + 6 Simplifica combinando términos semejantes.
Usa la estrategia predecir y probar para elegir valores para n demodo que 3n + 6 = 24.
A continuación, evalúa n, n + 2 y n + 4 para n = 6 para hallarlos naturales pares consecutivos cuya suma sea 24.
n = 6 n + 2 = 6 + 2 = 8 n + 4 = 6 + 4 = 10
Comprueba: 6 + 8 + 10 = 24
n 3n 6 Resultado
4 3(4) 6 18 Muy bajo
8 3(8) 8 32 Muy alto
6 3(6) 6 24 Correcto
Entonces, tres números naturales pares consecutivos cuya suma es 24 son 6, 8 y 10.
Ejemplo Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 24.
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Números y operaciones
1. Todos los días, Tomás corre 1,5 km y nada1,8 km. ¿Qué número decimal está entre1,5 y 1,8?
A 2,1
B 1,9
C 1,81
D 1,75
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones está más cercade 0?
A 2
___
3 C 1
___
10
B 4
___
9 D 3
___
5
3. ¿Cuál es el valor de n si n
__
12 5 _
3 ?
A 4 C 20
B 12 D 60
Eliminar opciones.
Observa el Ejercicio 2. Primero ordena lasopciones en una recta numérica.
Patrones y álgebra
6. La expresión “El doble de un número disminuidoen el triple de otro número es igual a 57”.
A 2 x – 3 y = 57
B 2 x –3 x = 57
C 2 x – y = 57
D 2 – 3 y = 57
7. ¿Cuál es el producto de (5
2)
(3·
6)? A 27
B 21
C 25
D 23
8. El valor de + es:
A
B
C
D
9. Jessica desea dividir 18 bolitas en partes igualesentre ella y 5 de sus amigas. ¿Cuántas bolitasle corresponden a cada persona?
A 6 C 12 B 3 D 24
10. ¿Cuál es el cociente de (3 6) y (2 _ 6 2
_ 3)?
A 48 C 7
B 7 D 9
5. Luisa mantuvo el récord de los100 m planos durante 3
_
4 del año. Eva lo mantuvo
por 1
__ 12 del año y Ana, por 1
_ 6 del año. Explica
cómo ordenar estas fracciones de menor a mayor.¿Quién mantuvo el récord por menos tiempo?¿Quién lo mantuvo por más tiempo?
4. Compré 2,5 metros de cinta azul, si quiero cortarlaen 5 trozos iguales ¿cuánto debe medir cadatrozo?
A 0,5 m C 1,5 m
B 0,10 m D 1,75 m
14
25
1320
1414
710
1410
134
Aprendizaje en espiral
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Geometría – Medición
11. ¿Cuál de las siguientes opciones describe mejor la figura?
A Ángulo agudo
B Líneas perpendiculares C Ángulo recto
D Líneas paralelas
12. Una pista de patinaje tiene un largo de 12,5metros y un ancho de 7. ¿Cuál es el área parapatinar de la pista si tiene un borde para dejarlos patines de 5 metros cuadrados?
A 87,5 m2
B 8,75 m2
C 82,5 m2
D 8,25 m2
13. ¿Qué rectángulo tiene un área de 20 unidadescuadradas?
A
B
C
D
Datos y probabilidades
Observa la información del gráfico y responde laspreguntas 15 y 16.
800
700
600
500
400
300
200
100
0
C a l o r í a s
Alimentos
pera galletas chocolate plátano aceite
Calorías por porción de200 gramos de alimentos
135CAPÍTULO 7
17. En la escuela de Lorena, hay 5 cursos de sextobásico.
Número de estudiantes de sexto básico por curso
Curso 1 2 3 4 5
Número 15 17 18 15 16
18. Un jugador de golf profesional registró lossiguientes puntajes durante un campeonatode cuatro días.
68, 70, 73, 69
¿Cuál es la media del grupo de datos?
A 73 C 70
B 71 D 68
¿Cuál es el promedio del grupo de datos?
A 15 C 17,2
B 16,2 D 18
14. Explica cómo se puede ubicar elpunto (2,5) en un gráfico de barra.
15. ¿Qué alimento tiene mayor cantidad de calorías?
A Chocolate C Galletas
B Plátano D Aceite
16. Identifica 2 alimentos que tengan menos de 100calorías.
A Pera y aceite C Galletas y plátano
B Plátano y pera D Aceite y chocolate
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Informe de progreso: 2:30 p.m.
Ecuaciones con adicionesLa idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan
para resolver ecuaciones con adiciones.
Disciplina Atletasque ya
compitieron
Número totalde atletas que
compiten
100 mplanos
45 87
Salto alto 6 32
Vallas 18 51
Saltolargo
98 107
Imagina que eres un coordinadoren una competencia de las
Olimpiadas Especiales. Acabas derecibir el informe de progreso.Elige dos de las disciplinas deabajo y muestra cómo podríasusar ecuaciones con adicionespara hallar el número de atletasque todavía no compitieron.
136
Los Juegos Paralímpicoscorresponden a unacompetencia olímpica oficial,iniciada en 1960, llevada a
cabo por atletas con distintostipos de discapacidad: física,sensorial y/o intelectual. Enlos Juegos Paralímpicos deLondres 2012, la delegaciónchilena obtuvo una medallade oro en la competencia de5 000 metros planos.
Fuente: http://www. juegoslondres2012.com
DATO BREVE
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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 8.
Escribir expresiones1. el total, t , aumentado en 25 2. la suma de k y 4,5
3. 9 más que 2
__
3 m 4. la suma de 15 s y 2,4
5. la suma de 5 g y 3,5 6. la suma de 1
__
2 j y 1
__
3 k
7. 1,5 más que 2 __
3 p 8. 8 más que 2a
9. 34 más que un número, n 10. el número de estudiantes, e, aumentado en 5
11. 17 aumentado en un número, p 12. el número x , sumado a 12
13. 15 más que un número, y 14. 234 sumado a un número m
Restar números decimales y fracciones
15. 2,3 1,1 16.2
__
3 1
__
2 17. 1 225 925
18. 12,45 10,23 19. 201
__
2 101
__
4 20. 14
__
5 1
___
10
21. 105
__
6 8 22. 10,2 8,3 23. 234,4 102,3
24. 18,75 2,6 25. 23
__
4 11
__
3 26.
9
___
10 2 __
3
27. 7
__
8 3 __
4 28. 9,5 7,9 29. 121
__
2 53
__
8
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
ecuación
propiedad de resta de la igualdadigualdad
PREPARACIÓN
ecuación Es una igualdad matemática entre dos expresiones
algebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valoresconocidos o datos, y por lo menos un valor desconocido oincógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.
propiedad de resta de la igualdad La propiedad que estableceque, si se resta el mismo número de ambos lados de unaecuación, los lados permanecen iguales.
igualdad Es un enunciado matemático que muestra unaequivalencia de dos cantidades o expresiones. Ejemplo: 2 + 4 = 6.
137CAPÍTULO 8
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Aprende
Paso
Paso
Paso
Repaso rápido
138
Un taxi parte cobrando $ 350por viaje. Cada 100 metros derecorrido hace un recargo de$ 150 adicionales. Escribe una
ecuación que represente e costototal del viaje.
Vocabularioecuación
PROBLEMA Llenar el tanque de bencina de la camioneta del equipo defútbol cuesta $ 60 000. Si el litro de bencina cuesta $ 750, ¿cuántos litrosse necesitan para llenar el tanque?
Puedes escribir una ecuación para ayudarte a hallar el número de litros.Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valoresconocidos o datos, y por lo menos un valor desconocido o incógnita.Los siguientes son ejemplos de ecuaciones:
8 x 20 15 · y 45 a 3 14 d : 3 7
Ejemplo 1 Escribe una ecuación.Usa números, incógnitas y operaciones para convertir las palabras en ecuaciones.
Elige una variable. Sea g la incógnita que representa el número de litros de bencina
en el tanque.
Conoce la operación. Divide el costo total entre el costo por litro para hallar el
número de litros.
Escribe una ecuación. Convierte las palabras en una ecuación.
litros de bencina en
el tanque de bencina el costo de llenar el precio por de la camioneta es igual a el tanque dividido entre litro
g 60 000 : 750
Entonces, una ecuación es g 60 000 : 750.
Ejemplo 2 Escribe una ecuación para una expresión con palabras.
Escribe una ecuación para la siguiente expresión con palabras:La cantidad original de los ahorros de la cuenta de Jaime más los $ 219 000que depositó suman $ 876 540.
Elige una incógnita. Sea a la variable que representa la cantidad original de losahorros de Jaime en su cuenta.
la cantidad original más $ 219 000 depositados es en total $ 876 540
a 219 000 876 540
Entonces, una ecuación es a 219 000 876 540.
EcuacionesOBJETIVO: Escribir ecuaciones que representen situacionesproblemáticas.
L E C C
I Ó N
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Práctica adicional en la página 148, Grupo A
Rendimiento del combustible (km por litro)
Camioneta mini van 19 26
SUV 22 26
SUV híbrido 36 31
Camioneta 14 17
Sedán 20 28
El rendimiento del combustible
se mide en km por litro.
Carro kms por litro en ciudad kms por litro en carretera
Comprensión de los aprendizajes
Práctica con supervisión
139CAPÍTULO 8
Elige la ecuación correcta para la expresión con palabras.
1. 25 es 13 más que un número.
25 n 1313 n 25
2. 10 veces el número de globos es 120.
10 n 12010 n 120
Escribe una ecuación para la expresión con palabras.
3. 6 menos que un número es 122
__
3 . 4. El cociente de 20,7 y un número es 9.
5. Explica cómo se puede convertir una expresión con palabras en una ecuación.
Escribe una ecuación para la expresión con palabras.
6. Dos tercios de un número es 18. 7. 56 menos que g es 40.
8. 18,5 es 75 más que el doble de un número. 9. 3,67 menos que un número es igual a 46,33.
10. 8 veces un número es 62. 11. El cociente de un número y 3 es 16.
Escribe una expresión con palabras para cada ecuación.
12. x 21 6 13. 25 1 __
3 n 14. 15 g 135 15. w : 31
__
3 5 __
6 16. g 9 10
USA LOS DATOS Del 17 al 18, usa la tabla.
17. Escribe una ecuación que podrías usar para hallarcuántos kilómetros puede recorrer un vehículo SUVhíbrido en la ciudad con 20 litros de bencina.
18. Un Sedán recorrió 504 kilómetros por la carretera conel tanque de bencina lleno. Escribe una ecuación parahallar el número de litros que contiene el tanque.
19. ¿Cuál es el error? Antonio estáplanificando un viaje de 560 km. El primer día recorre313 km. Dice que la ecuación m 313 560 ayudaráa hallar el número de km que dejó atrás en su viaje.Describe su error.
Práctica independiente y resolución de problemas
20. ¿Cuál es mayor: 2
__
3 o 5
__
7 ?
21. Escribe esta expresión con palabras como unaexpresión algebraica: un número aumentadoen 6.
22. ¿Qué opción representa a la expresión conpalabras “12 menos que un número, n, es 17”?
A 12 n 17 C n 12 17
B n
___
12 17 D n 12 17
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Repaso rápido
140
Dibuja una línea en tu hoja blanca pararepresentar la recta numérica.
Representar ecuaciones con adicionesOBJETIVO: representar ecuaciones resolviendo ecuaciones con adicionesde un paso.
Materiales ■ lápiz – hoja blanca
Puedes usar la metáfora de los saltos (asociada a la recta numérica) para resolverecuaciones de adición.
Resta.
1. 42 162. 12 93. 37 54. 14 125. 50 18
Sacar conclusiones 1. ¿Qué significa retroceder dos pasos en la parte C? ¿Con qué operación aritmética se
relaciona?
2. Síntesis. ¿Qué harías para representar y resolver la ecuación x + 9 = 12?
Por lo tanto, x = 3 y se cumple la igualdad. x + 2 = 5 3 + 2 = 5
5 = 5
Resuelve 2 x + 2 = 6 usando la metáfora de lossaltos (recta numérica).
Tienes dos saltos y agregas dos pasos y llegas a 6.
Retrocede dos saltos y llegas a 4, ahora te das cuenta que tienes 4 saltos para repartirentre dos. Sabes que dos saltos equivalen a cuatro pasos. Entonces, un salto es igual ados pasos. Por lo tanto, x = 2.
x representa un salto. x
Tienes la ecuación x + 2 = 5. Si damos un saltoy dos pasos más es lo mismo que dar cincopasos.
Para encontrar el valor de x , el valor del salto eneste caso, debes retroceder los dos pasos yadados.
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Paso
Paso
Paso
Asegúrate de encerraren un círculo el mismonúmero de cuadradosde cada lado de laecuación.
141CAPÍTULO 8
Representa la ecuación.
Agrega dos cuadraditos rojosa cada lado de la igualdad.Un cuadrado rojo representa–1, por lo tanto, un cuadrado
blanco y un cuadrado rojo seanulan (1 + –1 = 0).
Encuentra el valor de x .
x = 3
Usa la recta numérica para resolver cada ecuación.
1. x 3 4 2. 5 x 2 3. 4 x 1 5
Resuelve cada ecuación haciendo un dibujo.
4. x
1
6 5. 8
x
2 6. x
6
6 7. x
9
11
8. x 1 5 9. 7 x 4 10. x 3 8 11. x 3 10
12. x 2 4 13. 6 x 4 14. 8 2 x 4 15. 4 x 3
16. 7 x 6 17. 9 2 x 3 18. x 4 5 19. x 3 7
20. Explica cómo representar con dibujos te ayuda a resolver ecuaciones de suma.
Puedes resolver ecuaciones de adición haciendo una representación con fichasrectangulares y cuadradas.
Un rectángulo representa la incógnita.
Resuelve x + 2 = 5.
esigual a
esigual a
esigual a
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Aprende
Repaso rápido
142
Resolver ecuaciones con adiciónOBJETIVO: resolver ecuaciones con adición de un paso. 1. 14 6
2. 42 __
3 15
__
6
3. 7,75 5,254. 59 23,8
5. 61,2 18,5
Vocabulariobalanza
PROBLEMA Daniel tiene una caja con cierta cantidad de bolitas, más 24bolitas sueltas. Si el total de bolitas que tiene Daniel son 57, ¿cuántasbolitas tiene Daniel dentro de la caja?
Ejemplo 1 Resuelve y comprueba. 24 52. Usa la balanza.
24 52 Escribe la ecuación representada.
24 24 52 24 Resta a ambos lados de la ecuación 24.
0 28 Resuelve.
h 28
24 52 Comprueba tu solución.
28 24 52 Reemplaza h con 28.
52 52 ✓ Se comprueba la solución.
Entonces, tienes que bailar 28 h más.
A veces la incógnita estará en el lado derecho de la ecuación.
Ejemplo 2 Resuelve, usando la descomposición y la correspondencia 1 a 1entre los términos de la ecuación.
= las cantidad de bolitas queDaniel tiene dentro de la caja.
Observa la balanza
Propiedad de resta de laigualdad: si restas el mismonúmero de ambos lados deuna ecuación, los dos lados
permanecen iguales.
Idea matemática
7 = 7 7 – 3 = 7 – 3 4 = 4
=
Si tengo 1 bolsa de bolitas, ¿cuántas bolitas hay?La ecuación representada es 3x = 30.
3x = 30, x = 10
tres bolsas de bolitas equivale a 30 bolitas.
Ordenamos las bolitas y las bolsas y
hacemos la correspondencia uno a uno.
Entonces, una bolsa tiene 10 bolitas.
L E C C
I Ó N
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Práctica adicional en la página 148, Grupo B
Récords mundiales
Nombre
en 30 seg
Sara
de un palo saltarín
Susanchicle
más grande
Récord Cantidad
58,4 cm de ancho
1 899 saltosmás saltos
globo de
tomado
Diego más helado
264 g
Comprensión de los aprendizajes
Práctica con supervisión
143CAPÍTULO 8
USA LOS DATOS Del 15 al 17, usa la tabla de
la derecha. Escribe una ecuación y resuelve.
15. Imagina que con un palo saltarín saltas 1 600 vecesseguidas. ¿Cuántos saltos más necesitarías paraempatar el récord mundial?
16. Imagina que quieres empatar el récord mundial detomar helado. Si tomas 100 g en los primeros 10 segy 98 g en los siguientes 10 seg, ¿cuántos gramos másnecesitas tomar?
17. ¿Cuál es la pregunta? Un amigo tedice que hizo 3 series de quinientos saltos cada una.La respuesta es 399 saltos más.
Utilizando la balanza, resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones.
7. n 9 25 8. y 11 26 9. 161
__
2 x 4 10. 43
__
4 v 121
__
2
11. z 6,8 15 12. 18,7 k 32,2
Resuelve, usando la estrategia de descomposición y la correspondencia 1 a 1.
1. 4x + 1 = x + 7 2. 3x + 7 = 13 3. b 7 15
4. y 6,7 9,8 5. 30 = 4x + 2
6. Explica cómo dejas a una incógnita sola de un lado deuna ecuación de suma.
13. Razonamiento ¿Cuál de los valores numéricos1, 2 y 3 es la solución a la ecuación x 5 7?
14. ¿Qué valor de k hace que la ecuación k 5 9 sea verdadera?
18. DATO BREVE · El récord más alto de temperatura, de 57,7 C, se registró enEl Azizia, Libia, el 13 de septiembre de 1922. Son 22,7 C más que la temperaturarécord de Canadá. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la temperaturarécord de Canadá (Organización Meteorológica Mundial (OMM)).
19. Javier compra galletas en $ 598. Si paga con$ 2 000, ¿cuánto recibe de vuelto? Escribe unaecuación y resuelve.
20. Escribe la expresión algebraica 7b en lenguajeverbal.
21. Francisco está comprando una bicicleta de$ 88 000 en dos pagos. El primer pago es de$ 42 000. ¿Qué ecuación puede usarse parahallar la cantidad del segundo pago, x ?
A. 42 000 x 88 000
B. x 88 000 42 000
C. x 88 000 42 000
D. 88 000 42 000 x
Práctica independiente y resolución de problemas
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144
Estrategia: escribir una ecuaciónOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia escribir una ecuación.
Aprende la estrategiaPuedes representar un problema escrito con lenguaje verbal en una expresiónmatemática, escribiéndola como una ecuación.
Una ecuación puede ayudarte a descubrir el valor de una incógnita
Una ecuación puede ayudarte a hallar un sumando.
Eric tiene por hobby, coleccionar monedas antiguas. El lunes fue a unaexhibición y compró 37 monedas antiguas. El martes fue a una tienda ycompró 29 monedas antiguas. ¿Cuántas monedas antiguas compró en total?
Siendo “b” la incógnita que representa el número total de monedas antiguas,suma para hallar el número total de monedas.
Julio tiene una colección de CD de diferentes estilos musicales. El viernes compró 13CD aumentando su colección. Al final del día viernes, contó nuevamente los CD yestos aumentaron a 123 CD. ¿Cuántos CD tenía su colección el día jueves?
• Siendo n la incógnita que representa el número de CD de la colección de Julio eldía jueves.
• Si la incógnita representa la cantidad de CD que tenía el día jueves a la que se leagregan los 13 CD que compró el día viernes
• Siendo la suma igual al total de 123 CD del día viernes.
¿Cuál sería el próximopaso para resolver laecuación en el segundoproblema de arriba?
L E C C
I Ó N
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Destreza
de lectura
145CAPÍTULO 8
Usa la estrategiaPROBLEMA Claudio y Maite están jugando a las adivinanzas. Claudio formó unasecuencia numérica eligiendo dos números, 9 y 12. A partir de la suma de los dosnúmeros obtuvo el siguiente número, estableciendo el patrón de la secuencia.Abajo se muestra el comienzo de su patrón.
9, 12, 21, 33, 54, . . . Claudio comienza con 9 y 12.
9 12 A continuación, suma 9 y 12 para obtener 21, luego
12 21 suma12 y 21 para obtener 33 y 21 y 33 para obtener 54.
21 33
Claudio le dice a Maite que dos números próximos uno de otro enel patrón son 228 y 369. Maite debe hallar el número que vieneantes de 228. ¿Cómo puede hallar el número?
• Resume lo que se te pide que halles.
• ¿Qué información tienes?
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?
Escribe una ecuación para hallar el número que viene antes de 228.
• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?
Elige una letra para representar la incógnita de un número que al sumarlo a 228 el resultado es 369.Luego, escribe una ecuación que represente la relación de la incógnita y los valores conocidos.
número antes de 228 más 228 es igual a 369
a 228 369
a 228 369 a 228 228 369 228 a 0 141 a 141
Entonces, el valor de la incógnita es 141.
• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
• ¿De qué otros modos podrías resolver el problema?
Escribe una ecuación.
Usa la propiedad de resta de la igualdad.
Sea “a” la incógnita que representa al númerosumado a 228.
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Promedio mensual de las temperaturas
de Santiago registradas en el año 2005
Mes Ene Feb Mar Abr
Máxima (°C) 30° 29° 28° 24°
Mínima (°C) 14° 13° 12° 8°
Sea n la incógnita que
representa el número
anterior a 521.
n 521 843
Fuente: Adaptada de: Dirección Meteorológica de Chile.
146
Resolución de problemas con supervisión
1. Paula forma un patrón numérico que comienza con 7 y 11. Suma 7 y 11 paraobtener el siguiente número, 18. Luego suma 11 y 18 para obtener el siguientenúmero, 29. Continúa el patrón así:
7, 11, 18, 29, 47, . . .
En el patrón, el número 843 le sigue a 521.Halla el número anterior a 521.
Primero, elige una incógnita que represente elnúmero anterior a 521.
Escribe una ecuación y resuelve.
4. Lucas forma el patrón numérico de la derecha usandoel mismo patrón que en el Ejercicio 1. Lucas amplía elpatrón. Halla el número anterior a 403.
5. Eliana gastó $ 575 en un sándwich y una bebida. Labebida costó $ 125. Halla el costo del sándwich.
6. Daniela tiene 5 años más que su hermana Marina.Marina tiene 11 años. ¿Cuántos años tiene Daniela?
Resolución de problemas · Práctica de estrategias
USA LOS DATOS Del 7 al 8, usa la tabla de temperaturas. Escribe una
ecuación y resuelve.
7. En enero, el promedio mensual de la temperaturamáxima de Santiago es 20 C más que el
promedio mensual más alto en Punta Arenas. ¿Cuáles el promedio mensual de la temperatura máximaen enero en Punta Arenas?
8. En febrero, el promedio de la temperatura mínima deSantiago es 7,5 C más que el promedio mensualmás bajo de Punta Arenas. ¿Cuál es el promedio mensualde la temperatura mínima en febrero en Punta Arenas?
9. Explica cómo usaste la estrategia escribir
una ecuación para resolver el ejercicio 6.
Luego, escribe una ecuación.
Por último, resuelve la ecuación para hallarel número anterior a 521.
2. ¿Qué pasaría si tuvieras que hallar el séptimo
número en el patrón del Ejercicio 1? El sexto númeroes 76 y el octavo número es 199. Escribe y resuelveuna ecuación para hallar el séptimo número.
3. Patricia gastó $ 1 440 por la compra de unabebida y unas galletas. Si las galletas costaban$ 570, ¿cuál era el precio de la bebida?
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ESTRATEGIAde resoluciónde problemas
ESTRATEGIAS
Gastos involucrados en la ventade un CD de singles
Gasto Cantidad
Derechos del artista $ 800
Fabricación/Distribución $ 850
Gastos del sello $ 1 455
Ganancia del sello $ 850
Publicidad $ 1 200
Sindicato de músicos $ 85
Derechos del compositor $ 410
Gastos del vendedor $ 1 940
Ganancia del vendedor $ 410
147CAPÍTULO 8
Práctica de estrategias mixtas
10. Razonamiento Salomón tiene 13 CD. Suhermano, Leo, tiene 7 CD más que él. Lahermana mayor, Bárbara, tiene más CD quecualquiera de los dos. Juntos, los tres hermanostienen 58 CD. ¿Cuántos CD tiene Bárbara?
11. Carolina centró la mesa sobre la que tiene sureproductor de CD contra una pared que medía6 metros de ancho. La mesa medía 31
_ 2 metros
de ancho. ¿Qué tan lejos estaba el extremoizquierdo de la mesa del extremo izquierdo de lapared?
USA LOS DATOS Del 12 al 15, usa la tabla.
12. Razonamiento Una banda quiere donar unaparte de sus derechos para caridad. Podría donar$ 100 por cada CD vendido o todas sus gananciaspor los primeros 10 000 CD vendidos a $ 1 000.¿Cuántos CD necesitaría vender la banda paradonar la misma cantidad de ambos modos?
13. La agencia de publicidad A puede proveerpublicidad por un tercio del costo que semuestra en la tabla. La agencia de publicidad Bofrece $ 750 menos que el costo que muestrala tabla. ¿Qué agencia puede publicitar pormenos? ¿Cuánto menos?
14. Plantea un problema Escribe un problemausando al menos tres ítems de los datos delrecuadro.
15. Problema abierto Imagina que debesencargarte de la publicidad de los CD de singles,de los que se espera vender 800 000 copias.Halla cuánto dinero puedes gastar. Decide quéporcentajes gastarás en anuncios para televisión,radio, periódicos, revistas e Internet. Hallala cantidad que gastarás en cada uno de losmedios de comunicación.
ESFUÉRZATE
Una tienda de música vende CD de singles a la mitad de su precio original y
cajas de colección de CD a tres cuartos de su precio original.
16. Valeria compró un CD rebajado a $7 680 y doscolecciones rebajadas a $3 885 cada una.¿Cuánto ahorró en total con respecto a los preciosnormales?
17. En una semana, la tienda vendió 872 CD queoriginalmente costaban $2 490 cada uno y64 cajas de colección que originalmente costaban$6 990 cada una. ¿Cuánto dinero ganó la tiendadurante esa semana?
Hacer un diagrama
Hacer una representación ouna dramatización
Hacer una lista organizada
Buscar un patrón
Hacer una tabla o gráfico
Predecir y probar
Trabajar desde el final hastael principio
Resolver un problema mássencillo
Escribir una ecuación
Usar el razonamiento lógico
Adaptado de http://www.ifpichile.cl
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148
1. 4,3 menos que un número es igual a 25,2.
3. La mitad de un número es 34,4.
5. 145 es 45 más que cuatro veces un número.
7. 1
_
2 menos que un número es 43
_ 4 .
9. Marcos registró 8 cm3 de agua de lluvia caídadurante el mes pasado. Imagina que registra lamisma cantidad durante los próximos 4 meses.Escribe una ecuación que pueda usarse parahallar la cantidad total de agua de lluvia caídadurante los próximos 4 meses.
2. Tres cuartos de un número es 12.
4. k menos que 48 es 36.
6. 20,3 es 18 más que el doble de un número.
8. x más que 35 es 56.
10. Se vendieron todas las entradas para un conciertoa cuya primera función fueron 1 440 personas.Imagina que la segunda función del conciertosolo está llena hasta la mitad. Escribe unaecuación que pueda usarse para hallar el númerode personas que van a la segunda función delconcierto.
Escribe una expresión con palabras para cada ecuación.
11. a 21
__
2 5 12. y 54 72 13. z : 1
__
2 4 14. 76 23 p 15. 12c 4 100
16. 30 1 __
5 n 17. w 32 38 18. 3 n 10 19. 20 x 140 20. d : 3 9
21. x 3 21
__
2 22. 2 y 7 21 23. 7t 150,5 24. a 3
__
4 51
__
4 25. 2w 3 11
Grupo BResuelve y comprueba.
1. x 35
__
6 10 2. 45 11 n 3. 5 4 s 4. 12 h 2
5. 23 5 v 6. r 51
__
2 8 7. 21,5 d 11,3 8. 4 1
___
12 q 8
9. 31,7 q 7,4 10. 5 7
___
12 k 13 11. 55
__
8 p 13 12. v 113
__
4 231
__
2
13. b 12 44 14. 19 m 6 15. 41
__
3 3 2
__
3 p 16. 15 r 22
17. Roberto está comprando un maletín a $ 75 000. Si le dio al cajero $ 28 000, ¿cuánto más le queda por pagarpor el maletín? Escribe y resuelve una ecuación para hallar la cantidad que aún debe pagar.
18. Esta semana, el señor Salazar pasó 12 h en el gimnasio, 4
1
_
2
h más que la semana pasada. Escribe y resuelveuna ecuación para hallar el número de horas que pasó el señor Salazar en el gimnasio la semana pasada.
19. Para un experimento científico, Marta y Carolina registraron las temperaturas promedio durante dos sábados.El primer sábado la temperatura promedio fue de 13 ºC, 11 ºC más que la temperatura promedio del segundosábado. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la temperatura promedio del segundo sábado.
Grupo A Traduce a lenguaje matemático las siguientes expresiones dadas con palabras.
Práctica adicional
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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¡Preparados!2 jugadores
¡Listos!• 2 monedas distintas• 30 tarjetas de
ecuaciones (como lasque se muestran en lailustración)
¡A empezar!
Mezcla las tarjetas de ecuaciones y colócalas enuna pila boca abajo.
Cada jugador selecciona una moneda y colocala moneda en la SALIDA. Decidan quiénempieza.
El primer jugador selecciona una tarjeta deecuaciones de la pila y resuelve la ecuación.El otro jugador comprueba la respuesta.
Si la solución es correcta, el jugador avanza elnúmero de espacios que indica la tarjeta. Luegole toca el turno al otro jugador.
Si la solución es incorrecta, le toca el turno alotro jugador.
El juego continúa hasta que la moneda de un jugador alcanza o pasa la LLEGADA. El primer jugador que alcanza o pasa la LLEGADA gana.
¿Podrás
resolverlo?Llegada
Salida
4 2 = s + 4 0
1 E s p a c i o
1 E s p a c i o
9 1 = r + 8 9
1 E s p a c i o
1 E s p a c i o
4,9 + t = 7,9
2 Espacios
2 Espacios
149CAPÍTULO 8
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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150
Repasar el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. Una ______________ es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valores conocidos odatos, y por lo menos un valor desconocido o incógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.
2. La ______________ establece que si restas el mismo númerode ambos lados de una ecuación, los dos ladospermanecen iguales.
Repasar las destrezas
Escribe una ecuación para el enunciado con palabras. 3. 34,9 es 14 más que tres veces un número. 4. La mitad de un número es 16.
5. 4,45 restado de un número es igual a 12,89. 6. k menos que 89 es 40.
Escribe un enunciado con palabras para cada ecuación.
7. 3 h 6 8. 12 x 8 9. 16 k 80 10. n 45 672
11. n : 41
__
4 1 12. 12 2 k 70 13. 5 g 12 96 14. a 21
__
8 3
Resuelve y comprueba.
15. 14 6 x 16. x 2 5 17. x 1 35 18. 58 x 23
19. x 8 12 20. 6 x 4 21. 10 x 5 22. x 7 7
23. 72 12 k 24. 10,2 x 2 25. 51
__
5 v 10 26. 5 n 22,2
27. x 5 1
___
12 20 28. 3,2 s 1,1 29. 16 w 5 30. 41,6 r 9,2
Repasar la resolución de problemasResuelve.
31. Cristóbal formó el patrón numérico 3, 8, 11, 19,30, ___, ___, 128, 207 sumando los dos númerosprevios para obtener el siguiente número. Hallael número que viene antes de 128 en el patrón.
32. Javier y Saúl coleccionaron un total de105 láminas de animales. Javier coleccionó41 láminas de animales. ¿Cuántas láminas deanimales coleccionó Saúl?
33. Explica cómo podrías usar la estrategia escribir una
ecuación para resolver el problema 32.
VOCABULARIO
ecuación
expresión
propiedad de resta de
la igualdad
Repaso/Prueba del capítulo 8
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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significa
“es aproximadamente
igual a”.
Torneo de natación
ºF = gradosFahrenheitºC = grados Celsius
R e c uer d a
Enriquecimiento · Fahrenheit y Celsius
¡A nadar!
Convierte a grados Fahrenheit o a grados Celsius, según corresponda.Redondea al grado más cercano.
1. 30 °C °F 2. 85 °F °C 3. 0 °C °F 4. 113 °F °C
5. 48 °F °C 6. 10 °C °F 7. 100 °F °C 8. 90 °C °F
Explica cómo convertir 32 °F a grados Celsius.
El encargado del club de natación debe mantener la temperatura del agua de la
piscina por lo menos a 76 °F para que pueda realizarse la competencia. Cuando
llega el equipo, la temperatura es de 25 °C. ¿Está el agua de la piscina
suficientemente caliente?
Puedes usar la expresión 9 _ 5 · C + 32 para convertir los grados Celsius a
grados Fahrenheit. Luego compara las temperaturas en grados Fahrenheit.
¡A sumergirse!Evalúa 9
_
5 · C 32 si C 25
También puedes convertir 76 °F a °C y comparar las temperaturas en gradosCelsius. Usa la expresión 5
_ 9 · (F 32) para convertir grados Fahrenheit a
grados Celsius.
Evalúa 5
_
9 · ( F 32) si F 76
Reemplaza C por 25.
Trabaja dentro de los paréntesis.
Suma.
Por lo tanto, 25 ºC 77 ºF.
Dado que 77 ºF 76 ºF, la temperaturadel agua está suficientemente caliente.
Reemplaza F por 76.
Trabaja dentro de paréntesis.
Multiplica. Redondea.
Por lo tanto, 76 ºF 24 ºC.
Dado que 25 ºC 24 ºC, la temperaturadel agua está suficientemente caliente.
5 __ 9 · (F 32) 5 __
9 · (76 32)
5 __ 9 · 44
244 __
9 24
9 __
5 · C
32
9 __
5 · 25
32
45 32
77
151CAPÍTULO 8
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152
Números y operaciones
1. ¿Qué lista de números está ordenada de mayor a menor ?
A 3
__
8 , 3
__
7 , 3
___
11 , 3
__
5
B 3
__
7 , 3
__
5 , 3
___
11 , 3
__
8
C 3
___
11 , 3
__
8 , 3
__
7 , 3
__
5
D 3
__
5 , 3
__
7 , 3
__
8 , 3
___
11
2. ¿Qué alternativa representa a la expresión conpalabras “25 disminuido en un número x es igualal doble de 12”?
A 25 – x = 12
B 25 + x = 24
C 25 – y = 24
D 25 - x = 24
3. 16 : 4 A 12 C 1
__
4
B 4 D 14
4. ¿Cuál es el máximo común divisor entre 24, 32 y64?
A 12 C 6
B 8 D 4
5. Explica cómo se puede hallarla suma de 1
_ 2 y
5
_ 6 .
Patrones y álgebra
7. José tenía algunas monedas en el bolsillo.Después de que su mamá le dio $ 380, Josétenía $ 976 en total. ¿Qué ecuación puede usarpara hallar la cantidad de dinero original, d , quetenía en el bolsillo?
A d 380 976 C d 976 · 380
B 976 d 380 D d 976 = 380
8. En la siguiente tabla, se muestran las
medallas que ganó un sexto básico en elinterescolar de atletismo.
¿Qué ecuación podría haberse usado para hallarel número de medallas de plata que ganó sextobásico?
A p 17 = 25 C p 7 25
B p 9 25 D p 16 25
9. Explica cómo se resuelve laecuación g 11
_
3 3 y cómo compruebas turespuesta.
Conteo de medallas de sexto básico
Curso Oro Plata Bronce Total
Sexto básico 9 p 7 25
Aprendizaje en espiral
6. Una fracción escrita en su mínima expresión es?
A15
30 C
1
75
B 10
100 D 14
1 000
10. El resultado de x, en la ecuación x + =para que se cumpla la igualdad es:
A C B D
11. La ecuación para la expresión “37 es 15 menosque un número” es:
A 37 = m + 15 C 37 = 15 + m
B 37 = m 15 D 37 = 15 + 52
34
6
8
5
818
88
78
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A
D C
B
13. El perímetro de la figura es:
A 4,4 cm
B 7,35 cm
C 8,8 cm
D 88 cm
153CAPÍTULO 8
Geometría - Medición
12. En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo.
Si el área del triángulo ABC mide 18 cm2 cuadrados, ¿cuál es el área de ABCD?
A 9 cm2
B 18 cm2
C 27 cm2
D 36 cm2
15. ¿Cuál es el error? Damián estáplanificando un viaje a La Serena de 480 km.
En la mañana recorre 256 km. Él dice que laecuación k - 256 = 480 ayudará a encontrar elnúmero de kilómetros que recorrió. Describe suerror.
Datos y probabilidades
17. Simón obtuvo los siguientes puntajes totales en5 partidos de dardos.
85, 92, 110, 123, 145
¿Cuál es el promedio de los datos?
A 66
B 85
C 110
D 111
18. En la tabla se muestran las ganancias mensualesde cinco compañías.
Ganancias mensuales
Compañía Ganancia
I $ 150 000
II $ 120 000
III $ 100 000
IV $ 175 000
V $ 150 000
¿Qué enunciado es válido acerca de lasganancias mensuales de estas cinco compañías?
A Las compañías I y IV obtuvieronlas mismas ganancias.
B Ninguna compañía obtuvo gananciasmenores de $ 125 000.
C Ninguna compañía obtuvo ganancias
mayores de $ 150 000. D La compañía IV obtuvo $ 25 000 de
ganancias más que la compañía I.
19. Explica cómo calcular la media opromedio de un grupo de datos.
14. cada parte que compone lasiguiente figura plana.
1,5 cm
2,9 cm
16. Los elementos de un cuerpo geométrico son:
A lados, vértices y aristas
B caras, vértices y aristas
C lados, puntos y aristas
D caras, vértices y lados
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Etapas decrecimiento Macho Hembra
Pudú recién nacido 3,2 kilogramos 3,2 kilogramos
Pudú joven 7,5 kilogramos 6,6 kilogramos
Pudú adulto 10,5 kilogramos 7,8 kilogramos
Un pudú adulto pesa aproximadamente10,5 kilogramos en promedio. Lashembras son un poco más pequeñas, su
peso es de 7,8 kilogramos en promedio.Elige una ecuación con sustracción que tepermita encontrar la diferencia de pesoentre el macho y la hembra joven.
Ecuaciones con sustraccionesLa idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan para
resolver ecuaciones con sustracción.
154
Peso aproximado en kilogramosdel Pudú chileno
El pudú es el más pequeño delos ciervos de América. Sutamaño es de 40 cm de altura ysu peso es de aproximadamente10,5 kg. Su color varía de caférojizo a grisáceo amarillento,siendo el primero el más común.De las dos especies de pudúes
que existen, solo una de ellashabita en Chile, y se encuentraen peligro de extinción.
Fuente: www.educarchile.cl
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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes quese necesitan para el aprendizaje del capítulo 9.
Sumar números decimales y fraccionesSuma.
1. 4,5 3,1 2. 3
__
4 1
__
2 3. 1 034 923
4. 131
__
4 31
__
6 5. 14
__
5 1
___
15 6. 105
__
6 2
7. 123,4 10,23 8. 10,23 3,89 9. 20 12,34
Cálculo mental y ecuacionesResuelve cada ecuación usando el cálculo mental.
10. c 6 9 11. 2 v 9 12. q 6 67
13. b 2 7 14. r 3 21 15. 12 p 8
16. x 6 11 17. 9 t 4 18. 25 10 w
Escribir expresionesEscribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.
19. el total, t , reducido en 12 20. k disminuido en 5
21. 4,53 menos que un número, x 22. la diferencia entre 23 y h
23. 78 menos que s 24. b reducido en 234
25. un número, n, disminuido en 175 26. 27 disminuido en un número y
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
propiedad de suma de la igualdad
PREPARACIÓN
propiedad de suma de la igualdad La propiedad que establece que,si se suma el mismo número a ambos lados de una ecuación, los ladospermanecen iguales.
ecuación Es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valoresconocidos o datos, y por lo menos un valor desconocido o incógnita.Ejemplo: 2 + x = 6.
propiedad de identidad de la suma La propiedad que establece que,cuando se le suma cero a un número, el resultado es el mismo número.
155CAPÍTULO 9
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156
Repaso rápido
Suma.
1. 24 82. 6 93. 73 25,5
4. 43 75. 10 6Materiales ■ balanza ■cajas ■bolitas
Imagina que tenemos el siguiente problema.
Elisa compró bolsas con dulces. Ella compró 3 bolsas y regaló 4 dulces y se quedó con5 dulces. ¿Cuántos dulces había en cada bolsa?
Para resolver este problema puedes representarlo a través de una ecuación.
Tienes la ecuación de resta 3 x – 4 = 5.
Usa la balanza para conocer el valor de x .
Se sacaron 4 bolitas de las cajas.
Se vuelven a agregar 4 bolitas para completar las cajas.Pero la balanza debe estar en equilibrio, por lo tanto, hay que agregar también 4 bolitasen el otro plato de la balanza.
Representar ecuacionescon sustracciónOBJETIVO: representar la resolución de ecuaciones con sustracción de un paso.
3 x – 4 = 5
Sacar conclusiones
1. ¿Cuál es la solución de x 4 10?
2. ¿Por qué en el paso B se vuelven a agregar las 4 bolitas?
3. Síntesis Explica cómo representarías y resolverías la ecuación x 2 8.
Entonces, 3 x = 9. ¿3 multiplicado por qué número es 9?
Por lo tanto, x = 3
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157CAPÍTULO 9
La balanza te puede servir para resolver otras ecuaciones de resta. Veamos otro ejemplo.
Resuelve x – 3 = 5
Representa la ecuación.
Como se sacaron tres bolitas de la caja, se
deben agregar la misma cantidad en ambos
lados de la balanza, completar la bolitas
faltantes en la caja. Así se deja la balanza
equilibrada para mantener la igualdad y, por
la misma razón, se agregan al plato derecho
la misma cantidad.
Encuentra el valor de x, respondiendo a
la pregunta, ¿cuántas bolitas hay en una
caja?
Por lo tanto, en la caja hay 8 bolitas.
Usa la balanza para resolver la ecuación.
1. x 3 6 2. 5 x 2 3. x 2 3
Resuelve cada ecuación haciendo un dibujo en tu cuaderno.
4. x 7 6 5. x 3 1 6. x 6 6 7. x 1 5
8. x 9 11 9. 7 x 4 10. x 5 2 11. 8 x 2
12. x 2 4 13. x 3 1 14. x 1 6 15. x 4 2
16. x 5 1 17. x 2 7 18. x 4 3 19. x 5 5
20. Explica cómo representar con fichas o dibujos te ayuda a resolver ecuaciones de resta.
Paso
Paso
Paso
Explica qué representael Paso 2.
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158
Repaso rápido
Aprende
Resuelve.
1. x 14 86
2. 52 __
3 p 35
__
6
3. 9,75 y 4,25
4. 14,7 12,8 w
5. a 45,6 65,4
PROBLEMA El director de la estación de cable KIDS - TV contrató a 18estudiantes y rechazó a 6. Formó 2 grupos para realizar un programa.¿Cuántos estudiantes había en cada grupo?
Tienes la ecuación 2 x – 6 = 18. Para resolverla puedes usar la balanza yla estrategia de descomposición y la correspondencia 1 a 1.
Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2 x – 6 = 18 usando la balanza.
Representa la ecuación.
Se sacaron 6 cuadraditos dellado izquierdo.
Para mantener la igualdadse deben agregar (sumar) 6cuadraditos al lado derecho.
Por lo tanto, si habían 18cuadrados al lado derecho, estosaumentaron a 24.
Si 24 cuadraditos equivalen a 2x,el total se debe descomponeren dos grupos con la mismacantidad.
Por lo tanto, a cada incógnita x
le corresponden 12 cuadraditos,entonces, x = 12.
Resolver ecuacionescon sustracciónOBJETIVO: resolver ecuaciones con sustracción de un paso.
Propiedad de suma de laigualdad: si sumas el mismonúmero a ambos lados de
una ecuación, los dos ladospermanecen iguales.
Idea matemática
7 = 7 7 + 2 = 7 + 2 9 = 9
L E C C
I Ó N
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159CAPÍTULO 9
Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones.
10. n 26 11 11. 22 x 9 12. z 7 12 13. a 9 15
14. y 3 13 15. 2,5 k 7 16. p 22 30 17. 6 m 12
Resuelve, usando la estrategia de descomposición y la correspondencia 1 a 1.
1. 4 x 7 15 2. 9a 32 49 3. 78 10w 39 4. 8 d 2
5. 2 y 4 12 6. 10 3 p 5 7. 52 4 s 16 8. w 20 4
9. Explica cómo se puede usar la propiedad de suma de la igualdad pararesolver x 15 6.
18. Razonamiento ¿Cuál de los valores numéricos19, 20 y 21 es la solución de la ecuación x 12 7?
19. ¿Qué valor de y hace que la ecuación y 6 10 sea verdadera?
USA LOS DATOS Del 20 al 21, usa el gráfico de
barras. Escribe una ecuación y resuélvela.
20. La cantidad de agua que se usa para ducharse es7 litros menor que la cantidad de agua que seusa para lavar la ropa. ¿Cuántos litros se usan para
lavar la ropa?
21. ¿Cuál es el error? Rolando diceque la solución de la ecuación x 3 12 es x 9. Halla su error y luego resuelve la ecuación.
Comprensión de los aprendizajes
22. El oso negro americano permanece activodurante 7 meses del año. Durante los meses deinvierno, el oso negro hiberna. ¿Cuántos meseshiberna el oso negro americano?
24. Ordena los números de menor a mayor
2,3 ; 2,388 ; 2,35 ; 2,2885
23. Escribe una ecuación para el enunciado conpalabras “15 menos que x es igual a 36”.
25. ¿Cuál es la solución de y – 12 = 16?
A y = 14 C y = 28 B y = 4 D y = 16
Adaptado de Explora conicyf.
Práctica adicional en la página 160, Grupo A y B.
25
20
15
10
5
0
L i t r o s
Consumo aproximadode agua por persona
Lavarse Ducharse Lavarlos dientes los platos
1 litro
22 litros
15 litros
Uso del agua
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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160
22. En el musical de la escuela, participan 14 estudiantes de séptimo básico. Esto es 8 menos que el número
de estudiantes de sexto básico. Escribey resuelve una ecuación para hallar el número de estudiantes de sexto básico que participan en el musical.
23. En una competencia de robótica entre estudiantes de tercer año, el primer puesto lo obtuvo el equipo dela Escuela Einstein. El equipo que obtuvo el segundo puesto terminó con 10 puntos menos que el primero,pues anotó 125 puntos en total. Escribe y resuelve una ecuación para hallar cuántos puntos anotó elequipo de la Escuela Einstein.
1. n 13 10 2. s 7 14 3. 27 a 52
4. 4
y
2 5. 14
b – 4 6. x
26
2
7. k 4 = 5 8. 8 k 17 9. m 9 = 12
10. a 5 7 11. 10 = q 7 12. 7 = y 21
13. 91 x 2 14. 2 = x 5 15. 15 = n 21
16. 7 = a 8 17. k 21 = 10 18. x 9 19
19. 36 n 32 20. 21 = a 14 21. 27 x 12
Grupo B Resuelve y comprueba.
1. s 11 22 2. 12 n 21 3. 5 x 7
4. x 2 9 5. a 6 12 6. 9 q 31
7. 5 m 4 8. 20 21 y 9. 16 n 35
10. a 7 46 11. a 12 102 12. 38 n 42
13. 3 2 k 14. x 2 44 15. y 5 5
16. v 3 16 17. 6 k 1 18. 7 a 96
19. z 1 9 20. 4 x 9 21. 1 y 6
22. La señora Sánchez guarda el dinero que recauda para el centro de Ayuda animal en un sobre grande.Después de colocar $ 15 250 en el sobre, la señora Sánchez tuvo un total de $ 34 750. Escribe yresuelve una ecuación para hallar la cantidad de dinero que había en el sobre originalmente.
23. Marcos es 4 años mayor que Paola, que es 2 años más joven que Carlos.Carlos tiene 12 años. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la edad de Paola. Luego, escribe yresuelve otra ecuación para hallar la edad de Marcos.
Grupo A Resuelve y comprueba.
Práctica adicional
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Ecuación misteriosa¡En sus marcas!2 jugadores
¡Listos!• 20 tarjetas con una fracción propia,
un número mixto o un número natural• reloj o cronómetro
¡Ya!
b- =
Mezclen las tarjetas del juego y colóquenlas bocaabajo en un mazo.
Lancen una moneda para determinar quién seráel jugador 1.
El jugador 2 saca dos tarjetas del mazo y lascoloca en los espacios vacíos de la ecuación.
El jugador 1 tiene un minuto para resolver laecuación. El jugador 2 controla el tiempo.
El jugador 2 comprueba la respuesta. Si la respuestaes correcta, el jugador 1 obtiene 1 punto. Si larespuesta es incorrecta, no se otorga ningún punto.
Las tarjetas que están en el tablero se vuelvena colocar en el mazo. Las tarjetas del mazo semezclan y es el turno del jugador 2.
El juego continúa hasta que un jugador obtiene5 puntos y gana.
161CAPÍTULO 9
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Enriquecimiento • Ecuaciones
La criptografía es un sistema de escritura secreta. Durante siglos, las personas crearon
maneras de enviar mensajes secretos codificados. Para enviar tus propios mensajescodificados, puedes elegir un código básico y asegurarlo con una ecuación. En la siguientetabla, se muestran dos códigos separados que se conectan mediante una ecuación.
Usa la claveDecodifica el mensaje. Usa la ecuación x 3 y para decodificarlo.
1. P N M I 2. Y I P T I 3. V I N T Y B 4. A V O I V E B
5. P N I Y T I 6. I V Y A J N I E A M A I V T B
Para crear un código difícil de descifrar, necesitas una clave secreta.
Descifra el códigoHas recibido un mensaje secreto: AESE ZJH. La ecuación para decodificarlo es x 1 y . Para decodificar el mensaje, sigue los siguientes pasos.
Repite los pasos 1 y 2 para el resto de las letras del mensaje secreto. Entonces,el mensaje secreto es GANA HOY.
A B C D E F G H I J K L M
6 12 20 25 0 9 22 24 2 14 23 8 10
N O P Q R S T U V W X Y Z
18 4 16 21 1 13 17 5 11 19 3 15 7
Valores de y
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Letras decodificadas de x
Enriquecimiento
• Ecuaciones
La criptografía es un sistema de escritura secreta. Durante siglos las personas crearon
Criptografía revelada
Paso 1 x 1 y
x 1 A
x 1 6 x 7
Reemplaza y por A, la primera letra
del mensaje secreto. Reemplaza A
por 1, su valor en la tabla Valoresde y . Halla el valor de x .
Paso 2 Observa la tabla Letras decodificadas de x .
Como x 7, la letra que corresponde es G.
Entonces, la primera letra del mensaje secreto
es G.
Haz tu mensaje
Explica cómo decodificar un mensaje secreto usando unaecuación. Escribe tu propio mensaje codificado y luego muestra la clave.
163CAPÍTULO 9
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164
1. ¿Qué fracción está más cerca de 0?
A 7
___
12
B 1
__
3
C 1
__
4
D 5
__
6
2. ¿Qué punto indica la ubicación de 5
_ 2 en la recta
numérica?
A punto A
B punto B
C punto C
D punto D
3. ¿En qué lista los números están ordenados de mayor a menor?
A 1
__
2
; 21
__
2
; 0,45; 0,045
B 21
__
2 ; 1
__
2 ; 0,045; 0,45
C 0,045; 0,45; 1
__
2 ; 21
__
2
D 21
__
2 ; 1
__
2 ; 0,45; 0;045
4. 21
_
2 + 4 _
5
A
B
C
D
5. Explica cómo se puede hallar lasuma de 1
_ 2 y
5
_ 6 .
6. Nelson tiene algo de dinero en su escritorio.Después de que Manuel le diera 350, Nelsontuvo $ 2 150 en total. La ecuación para hallarla cantidad de dinero, d , que Nelson tenía en suescritorio originalmente es:
A d 2 150 = 350
B 2 150 + d = 2 500
C d 350 = 2 150
D d + 350 = 2 150
7. En la tabla, se muestra la cantidad de cajas dehelado que vendió la heladería Pingüino el mespasado.
Heladería Pingüino
Vainilla Chocolate Frutilla Total
8 14 x 32
¿Cuál de las siguientes ecuaciones permiteencontrar la cantidad de helados de frutilla que
vendió la heladería Pingüino el mes pasado?
A 8 14 x 32
B 32 x 8 14
C 8 14 x 32
D 32 x 8 14
9. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo?
A 29 cm3 C 190 cm3
B 72 cm3
8. Explica cómo se puederesolver la ecuación a 92
_
3 151
_
4 .
Repaso/Prueba de la unidad
D 456 cm3
3310
20
10335
332
0 A 1 B 2 C 3 D 4
6 cm
4 cm19 cm
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165CAPÍTULO 9
12. Susana conoce el perímetro y elancho de una puerta rectangular. Explica cómopuede hallar la altura de la puerta.
10. ¿Qué figura incluye un ángulo mayor que unángulo recto?
A C
B D
11. ¿Cuál es el perímetro, en centímetros, de lafigura plana?
16,05 cm
7,65 cm
A 23,70 cm C 47,40 cm
B 47,15 cm D 39,75 cm
17. La señora Gómez tenía $ 22 500 en su cuentacorriente. Luego hizo 3 cheques por $ 7 000cada uno. ¿Cuánto dinero tiene ahora la señoraGómez en su cuenta?
18. María escribió la ecuación 4,5 + x = 2 + 1,2.Halla el valor de la expresión.
19. Ordena los números racionales de menor a mayor : 12
_
3 ; 0,75; 1,8; 3
_ 8 .
20. Teresa y Cecilia están jugando a un juego.Cada una comienza con $ 1 000 en dinero de juguete. Durante el juego, Teresa da a Cecilia$ 2 800 y luego Cecilia da a Teresa $ 3 900.Al final del juego, ¿cuánto dinero más que Cecilia
tiene Teresa?
21. Sara tiene una joyería. Vendió 5 joyas por díadurante 6 días, 3 joyas por día durante 2 díasy 8 joyas por día durante 4 días. Halla el númerototal de joyas que vendió Sara en esos 12 días.
2
153
10
22. Joaquín y Marcela comen torta de sucumpleaños. Joaquín come de la torta y
Marcela . Qué fracción de la torta se comierónen total?
23. Jaime se despierta a las 6:30 a.m. Tarda25 minutos en prepararse y luego 15 minutosen tomar el desayuno. La escuela comienza a las8:10 a.m. Explica cómo puedes determinar eltiempo que Jaime demora en llegar a su escuela.
Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cadaenunciado.
13. ______ En la siguiente ecuación 7 + 15 = x – 10,el valor de x es 42.
14. ______ En la expresión 2 x = 20 debes dividir elnúmero 20 por 2 para determinar el valor de x .
15. ______ La expresión “el doble de un número esigual al triple de 8” en ecuación es 2 x = 24.
16. ______ En la secuencia 1, 2, 4, 7, 11, ... el patrónes “sumar un número impar”.
24. Desarrolla la expresión aplicando la propiedaddistributiva.5 (4x + 18y)
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167CAPÍTULO 9Capítulo 9 167 9
apítulo 9apítulo 9
9
apítulo 9
9
167167
En octubre de 2012, el austriaco FelixBaumgartner se lanzó al vacío desde 39689 metros de altura, luego de ascender
con la ayuda de un globo de helio. Alcaer, logró superarlos 1 300 kms por hora. Rompió
la barrera del sonido y tardóaproximadamente 4 minutos y 19
segundos en pisar tierra firme.
¡EXPLOSIÓN SÓNICA!
na explosión sónica es el sonido que hace unobjeto que viaja mas rápido que la velocidad del
sonido. La explosión es causada por la compresión deondas sonoras que se produce frente al objeto. Si unavión provoca una explosión sónica, las personas queestán en la tierra pueden oírla, pero el piloto no.
U
➊ La barrera del sonido ha sido rota por otros vehículosademás de aviones. El primer vehículo terrestre querompió la barrera del sonido fue conducido por AndyGreen, un piloto de guerra británico, en el desiertoBlack Rock de Nevada. El 15 de octubre de 1997, Greenmarcó un récord mundial de velocidad terrestre de1 228 km/h. ¿A qué velocidad en números Mach estaba
viajando Green?
➋ Los números Mach también sirven para describir objetosque viajan más lento que la velocidad del sonido. Porejemplo, un objeto que viaja a 917 km/h, viaja a Mach 0,75.
u Identifica e investiga tres animales veloces, treshumanos veloces y tres vehículos veloces.
u Halla sus velocidades en km/h y convierte esasvelocidades a números Mach. ¿Cuántas veces másrápido tendrían que viajar para romper la barreradel sonido?
u Calcula tu propia velocidad máxima y conviértela aun número Mach. ¿Cuántas veces más rápido tendríasque moverte para romper la barrera del sonido?
u Decide cómo representar los datos que recopilaste.Presenta lo que hallaste al resto de la clase.
Esta ecuación sirve paracalcular el número Mach decualquier rapidez en km/h:
y = x
1 228 donde y es el número
Mach y x la rapidez en km/h.
Se sugiere ver la siguiente página:http://hipertextual.com/2014/10/ alan-eustace-salto-felix-baumgartner
Se sugiere ver la siguiente página
➌ Explica cómo podrías usar el razonamiento lógico para hallar lavelocidad equivalente a Mach 0,25 en km/h.
167UNIDAD 2
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168
Geometría – Medición
168
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169CAPÍTULO 1010
Cuadrado y rombo
cuadrado rombo
4 lados de igual
medida
sus ángulos noson de 90 grados
¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografías de
Matemática en Contexto? ¿Cómo se usan las líneas paralelasy perpendiculares en la arquitectura paisajística?
REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientespalabras cuando estudiaste sobre figuras bidimensionales. ¿Cómose relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?
Congruentes en Geometría Figuras o elementos geométricos que
tienen la misma forma y tamaño.
líneas paralelas Líneas rectas sobre un mismo plano cuyos puntosse encuentran siempre a una misma distancia.
líneas perpendiculares Líneas rectas en un mismo plano que seintersecan formando un ángulo recto (90º).
Copia en tu cuaderno un cuadrado y un rombo, traza lasdiagonales. Explica por qué al trazar las diagonales del rombo suslongitudes varían con respecto al cuadrado
pArtistas, paisajistas y urbanistas se
han encargado de modificar los espacios
públicos con hermosas e imponentesobras. Es el caso del Conjunto escultórico
de Federico Assler, ubicado en el Parque
de las Esculturas de Santiago (Fotografía
de Carlos Reusser Monsalvez).
p Las líneas paralelas y los ángulos
congruentes forman vistas de patrones
agradables y apacibles.
p En una ciudad se forma un contraste
asombroso entre los edificios altos
y el hermoso espacio que los rodea.
Matemáticaen Contexto
169UNIDAD 3
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Relaciones entre ángulosLa idea importante Se pueden identificar, describir y clasificar los ángulos y sus relaciones.
Haz una lista con losdiferentes polígonosque ves en la imagen.Luego, identifica lacantidad de vértices,lados y ángulos de cadafigura.
Tipos de ángulos
Triángulo
Rombo
Romboide
Cuadrado Rectángulo
A C
D
B
A
C
B
D
A
D
B
C
A
C
B
D
170
1
El viaducto de Malleco fueconstruido entre 1886 y1888. Con sus 102 metros dealtura, es el segundo másalto de Chile. Su longitud esde 347,5 metros y descansasobre cuatro pilares de acero.
www.amigosdeltren.cl
DATO BREVE
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W U X
Z Y
K L
OP
D
P
H E
J
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitanpara el aprendizaje del capítulo 10.
Nombrar ángulosNombra el ángulo formado por los rayos azules.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
Usar un transportador para medir ángulosDel 9 al 14, usa la figura de la derecha. Copia la figura en tu cuaderno.
Luego usa un transportador para medir cada ángulo.
9. ABD 10. DBF
11. FBA 12. EBC
13. CBD 14. FBC
VOCABULARIO DEL CAPÍTULOángulos adyacentesángulos complementariosángulos congruentesángulos suplementariosángulos opuestos por el vértice
PREPARACIÓNángulos opuestos por el vértice Un par de ángulos, opuestosentre sí y congruentes, que se forman cuando se intersecandos líneas rectas.
R
J W
D
ángulos congruentes Que tienen el mismo tamaño y la mismaforma.
ángulos adyacentes Pares de ángulos consecutivos que tienenun vértice y un rayo en común.
G
M
K F
A
D
L
E
U
P
S
R
T U
Q
R
1 2 31 2 31 2 31 2 3
Un ángulo es la abertura formada por dos rayosque parten de un punto común llamado vértice.
B
DE
F
A C
171CAPÍTULO 10
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172
Aprende
A
vértice B
C
L
M
N
40°
20°
10°K
J
Lee JKM como lamedida del ángulo JKM .
L E C C
I Ó N
Un ángulo agudo mide menos de 90.
Un ángulo recto mide 90.
Un ángulo obtuso mide más
de 90 pero menos de 180.
Un ángulo llano o extendido mide 180.
Dos rayos que tienen un extremo en común forman un ángulo.Al extremo común se lo llama vértice del ángulo.
El ángulo se mide en grados. Un grado mide 1
___ 360 de un círculo.
Un ángulo se clasifica por el número de grados que mide.
PROBLEMA Para conseguir que una piedra rebote en el agua es mejorarrojarla desde un ángulo de 20 hacia el agua. ¿Qué tipo de ángulo esun ángulo que mide 20?
Puedes clasificar los ángulos por sus medidas.
Puedes nombrar el ángulo con los trespuntos que se muestran o con el vértice.
BAC , CAB o A
Como 20 90, un ángulo que mide 20 es un ángulo agudo.Puedes usar la medida de uno o más ángulos para hallar lamedida de otro ángulo.
Tipos de ángulosOBJETIVO: clasificar ángulos e identificar ángulos opuestospor el vértice,adyacentes y ángulos entre paralelas.
Repaso rápido
O R
D E
K L
M
A B
C
Nombra cada figura.
1. 2.
3. 4.
5.
Vocabularioángulos opuestos por el vértice
ángulos correspondientes
ángulos alternos externos
ángulos alternos internos
ángulos exteriores
ángulos congruentes
ángulos adyacentes
ángulo transversal
ángulos interiores
JKM JKL LKM
JKL 40 LKM 20
JKM 40 20
Ejemplo 1 ¿Cuánto mide el JKM ?
Entonces, JKM tiene 60.
• ¿Por qué los ángulos anteriores no se nombran usando solo la letra del vértice?
• ¿Cuál es la medida de JKN ? Explica cómo hallaste la respuesta.
20
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173CAPÍTULO 10
1
2
UR
V
P S
Idea matemáticaUn ángulo puede serparte de un par deángulos opuestos porel vértice y parte deun par de ángulos
adyacentes.RVU y PVS son ángulosopuestos por el vérticeRVU y QVR sonángulos adyacentes.
Ejemplo 2 Observa la figura anterior. ¿Es PVQ adyacente a RVU ?
Ejemplo 3 Observa la figura anterior. Halla un ángulo opuesto por el vér-tice al ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.
PVQ y RVU tienen un vértice en común, V , pero no tienen un rayo encomún. Entonces, PVQ no es adyacente a RVU .
SVT
Ángulo opuesto por el vértice: QVR
Ángulos adyacentes: PVS , TVU
PVQ
Ángulo opuesto por el vértice: TVU
Ángulos adyacentes: QVR, PVS
•¿Puedes nombrar otros ángulos adyacentes a SVT y PVQ?
Ejemplo 4 Indica si el par de ángulos es opuesto por el vértice, adyacente o ninguno
de los dos.
1 y 2
1 y 2 son opuestos entre sí yestán formados por dos líneas quese intersecan.
A y B
A y B son consecutivos y tienen unvértice y un rayo en común.
Tipos de ángulos de acuerdo a su construcción
Los ángulos opuestos por el vértice son pares de ángulos opuestos entre sí que seforman cuando se intersecan dos líneas. Los ángulos opuestos por el vértice tienen lamisma medida. Los ángulos que comparten la misma medida se llaman congruentes.Usa el símbolo para mostrar que dos ángulos son congruentes.
PVS y RVU son ángulos opuestos por el vértice. Cada uno mide 150,entonces PVS RVU .
Los ángulos adyacentes son pares de ángulos consecutivos que tienen un vértice yun rayo en común.
Ambos pares de ángulos, UVS y SVP y PVR y RVU , son ángulos adyacentes.
Entonces,1 y 2 son ángulos opuestospor el vértice.
Entonces, A y B son ángulosadyacentes.
A
B
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174
4 m
21
3
65
7 8 n
Figura 1
1
3
2
4
5
7
6
8
m n
Figura 2
Idea matemáticaDos ángulos sonsuplementarios cuandola suma de sus medidases igual a 180º
Ejemplo:
A = 150º
B = 30º
A + B = 180º
Ejemplo Observa la figura 3. Las líneas m y n son paralelas.
Ángulos entre paralelas
Una línea que se intersecta con dos o más líneas se llama transversal.
Los ángulos formados dentro de las dos líneas paralelas se llaman ángulos
interiores y los ángulos formados fuera de las dos líneas paralelas se llamanángulos exteriores. Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son ángulos interiores.
Los ángulos 1, 2, 7 y 8 son ángulos exteriores.Los ángulos correspondientes son ángulos que aparecen en lamisma posición en relación con una línea transversal y con las líneasque esta línea intersecta. Los ángulos correspondientes soncongruentes cuando las líneas que intersecta la línea transversal sonparalelas.En la figura 1, son pares de ángulos correspondientes:
1 y5,3 y7,2 y6 ;4 y8
Los ángulos interiores ubicados en los lados opuestos de la líneatransversal se llaman ángulos alternos internos. Los ángulos alternosinternos son congruentes cuando las líneas que intersectan la líneatransversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos 2 y 7 y los ángulos4 y 5 son pares de ángulos alternos internos.
Los ángulos exteriores ubicados en los lados opuestos de la líneatransversal se llaman ángulos alternos externos. Los ángulos alternosexternos son congruentes cuando las líneas que intersectan la líneatransversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos 1 y 8 y los ángulos 3y 6 son pares de ángulos alternos externos.
4 m
21
3
657 8 n
Figura 3
Si 3 65, halla 5.
3 y 7 son ánguloscorrespondientes; entonces7 65.
5 y 7 son ángulos suplementariosque suman 180º; entonces
5 180 65 115.
Entonces,5 115.
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175CAPÍTULO 10
115°35°
P S
N
115°30° 35°
30°
T R
M
O
K
L
MS
H
GF R
P
°155
U 65°
W
T
Y
X V
25°
25°
90°
Práctica adicional en la página 186, Grupo B
Del 2 al 4, usa la figura de la derecha. Halla un ángulo opuesto por el vértice al
ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.
2. MOS 3. PON 4. TOR
5. Explica cómo sabes si un par de ángulos es opuestos por el vértice oadyacente.
Del 12 al 15, usa la figura de la derecha. Halla un ángulo opuesto por el vértice
al ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.
12. FPR 13. KPL
14. RPK 15. MPL
Del 16 al 21, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
opuesto por el vértice, adyacente o ninguno de los dos.
16. TUV y YUT 17. XUY y WUV
18. XUY y TUV 19. XUV y YUX
20. YUW y WUV 21. YUT y XUV
A140°
40°
140°
40°E
D C
B1. AEB es opuesto a DEC y estos ángulos están formados por doslíneas que se intersectan. Nombra el ángulo opuesto por el vértice a DEA.
Del 6 al 11, usa la figura 3. Las líneas m y n son paralelas. Escribe correspondiente,
alterno interno o alterno externo para cada uno de los siguientes pares de ángulos.
6. 3 y 7 7. 2 y 6 8. 8 y 1
9. 5 y 4 10. 7 y 2 11. 8 y 4
Explica cómo podrías usar las propiedades de losángulos para hallar la medida de 7 en la Figura 3 si 2 mide 79.
4 m
21
3
65
7 8 n
Figura 3
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
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176
A
C
B
E
D
130°
130°
50°50°
Comprensión de los aprendizajes
29. ¿Qué valor de k hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera? k · 4 48
31. Usa el cálculo mental para resolver. + 135 = 190
32. Escribe una expresión algebraica para “la mitaddel triple de un número aumentado en ocho”.
30. ¿Qué enunciado es verdadero? A CBE es opuesto por el
vértice a ABC .
B ABD es adyacente aCBE .
C DBE es opuesto por elvértice a ABD.
D DBE es adyacente a ABD.
A
C
B
E
D
130°
130°
50°50°
B
A
C
D
E
26. Álgebra Usa la figura 3 de la derecha.
Claudia quiere hallar m ABE . Si ABC y DBE miden 15 y CBD mide 20, ¿cuál es la medidade ABE ? ¿Cuál es la diferencia entre la medidade ABE y la medida de CBE ? Explica.
27. Razonamiento Rodrigo dice que la letra X formados pares de ángulos congruentes. Camila dice quela letra X forma dos pares de ángulos opuestos porel vértice. ¿Quién tiene razón? Explica.
28. ¿Cuál es el error? Pablo diceque todos los ángulos opuestos por el vértice sonagudos. Describe el error de Pablo. Justifica turespuesta con ejemplos.
Observa la figura 1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica en cada caso.
22. La medida del ángulo β se calcula como 90º – 56º.
Justificación:
23. La medida del ángulo α es 56º.
Justificación:
24. La suma de las medidas de los ángulos α y β es 180º.
Justificación:
En la figura 2, KJ // HI, m( DCI) = 76o y m( FBC) = 52o.
25. Calcula α + β
56ºβ
α
AK
B
E
J
I
D
C
FG
Hβ
α
Figura 3
Figura 2
Figura 1
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177CAPÍTULO 10
Paso PasoAhumada
Agustinas
90
90
ElPaseo Ahumada es la calle más activa ycomercial del centro de Santiago.
En la tabla se muestran las medidas aproximadas delos ángulos de las intersecciones formadas poralgunas calles del centro de Santiago. Puedesvisualizar la información que se da en un problemapara comprender la situación. Cuando visualizas, teimaginas algo en tu mente.
1. ¿Qué tipo de ángulos se formanen la intersección de las callesTeatinos con Morandé?
2. Clasifica todos los ángulosformados por la intersección delas calles 21 de Mayo y DiagonalCervantes.
Resolución de problemas Visualiza para entender el problema.
En la esquina
Ejemplo Clasifica todos los ángulos formados por la intersección deAhumada y Agustinas.
Imagina cómo se podría ver la intersección de
las dos calles desde un avión o en un mapa.
Simplifica el dibujo en tu mente para que
parezcan líneas que se intersecan.
Para que sea más fácil, usa lo que sabes
sobre tipos de ángulos formados por
líneas que se intersecan.
VisualizaDestrezade lectura
Ahumada y Agustinas 90º
21 de mayo y Diagonal Cervantes 45º
Santa Lucía y Huérfanos 150º
Calles Medida
Ángulos aproximados de intersección
21 de Mayo y Diagonal Cervantes
177CAPÍTULO 10
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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178
1 2 4 5 0 1 8 0
1 0
1 7 0
2 0
1 6 0
3 0
1 5 0
4 0
1 4 0
5 0
1 3 0 6 0
1 2 0 7 0
1 1 0 8 0
10 0
1 0 0
8 0
1 1 0 7 0
1 2 0
6 0
1 3 0
5 0
1 4 0 4 0
1 5 0 3
0
1 6 0 2
0
1 7 0
1 0
1 8 0
0
90
J
L K
Prolonga los
rayos si esnecesario.
Actividad Materiales ■ transportador
Mide JKL.
1. Coloca el punto central del transportadoren el vértice del ángulo.
2. Coloca la base del transportador sobreel lado KL.
3. Lee la escala que empieza con 0 enel rayo KL. La medida de JKL es 60.
Puedes usar un transportador para medir ángulos. Un transportador esuna herramienta que se usa para medir o trazar ángulos.
B Elángulo STU es un ángulo obtuso,por lo tanto mide más de 90 y menosde 180.
El punto de referencia, 135, está en lamitad de 90 y 180.
Por lo tanto, la medida de STU es aproximadamente 135
o un pocomenos de 135.
180º
90º
T U
S135º
Aprende
L E C C
I Ó N
Medir y trazar ángulosOBJETIVO: estimar, medir y trazar ángulos.
Para estimar la medida de un ángulo puedes usar puntos de referencia ylo que sabes sobre ángulos agudos, rectos y obtusos.
Ejemplos Estima la medida de cada ángulo.
Repaso rápido
Clasifica cada ángulo comoagudo, recto, u obtuso.
1. 2.
3. 4.
5.
Vocabulariotransportador
A El ángulo LMN es un ángulo agudo,por lo tanto mide menos de 90.
El punto de referencia, 45, está en lamitad de 0 y 90.
Por lo tanto, la medida de LMN es aproximadamente 45 o un pocomenos de 45º.
45º
90º
M N
L
Los topógrafos usanuna herramienta
llamada teodolito
para medir ángulos.
www.rae.es
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http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 193/314
179CAPÍTULO 10
Paso Paso Paso
1 2 4 5 0 1 8 0
1 0
1 7 0
2 0
1 6 0
3 0
1 5 0
4 0
1 4 0
5 0
1 3 0 6 0
1 2 0 7 0
1 1 0 8 0
10 0
1 0 0
8 0
1 1 0 7 0
1 2 0
6 0
1 3 0
5 0
1 4 0 4 0
1 5 0 3
0
1 6 0 2
0
1 7 0
1 0
1 8 0
0
90
A
B C
Amplíalos rayos.
Trazar ángulosTambién puedes usar un transportador para trazar ángulos de unamedida dada.
Actividad Materiales ■ transportador ■ regla
Usa un transportador para trazar FDE con una medida de 608.
Dibuja el rayo DE . Alinea el rayo con el transportador.Marca el punto F en 60.
Usa una regla para trazarel rayo DF .
Cuando los ángulos parecen ser iguales, mídelos con un transportador yluego compáralos.
Más ejemplos Halla la medida de los ángulos.¿En qué se parecen ABC y XYZ?
Por lo tanto, ABC y XYZ tienen la misma medida, 130. Por tanto, son ánguloscongruentes.
1. Traza y rotula un ángulo que tenga aproximadamente la misma medida queMOQ, ilustrado a la derecha.
a. ¿Es tu ángulo agudo, obtuso o recto? Estima la medida de tu ángulo.
b. Usa un transportador para hallar la medida de tu ángulo. ¿Cómo se comparatu estimación con la medida real del ángulo?
A
ABC mide 130.
B
XYZ mide 130.
D E 1 2 4 5 0
1 8 0
1 0
1 7 0
2 0
1 6 0
3 0
1 5 0
4 0
1 4 0
5 0
1 3 0 6 0
1 2 0 7 0
1 1 0 8 0
10 0
1 0 0
8 0
1 1 0 7 0
1 2 0
6 0
1 3 0
5 0
1 4 0 4 0
1 5 0 3
0
1 6 0 2
0
1 7 0
1 0
1 8 0
0
90
D
F
E D
F
E
1 2 4 5 0
1 8 0
1 0
1 7 0
2 0
1 6 0
3 0
1 5 0
4 0
1
4 0
5 0
1 3 0 6 0
1 2 0 7 0
1 1 0 8 0
10 0
1 0 0
8 0
1 1 0 7 0
1 2 0
6 0
1 3 0
5 0
1 4 0 4
0
1 5 0 3
0
1 6 0 2
0
1 7 0
1 0
1 8 0
0
90
Y
X
Z
M O
Q
Recuerda que la medida deun ángulo se determina porel grado de rotación de unrayo y no por la longitudtrazada del mismo.
35º
5 c m
35º 3
c m
Práctica con supervisión
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180
Estima la medida de cada ángulo. Luego, usa un transportador
para hallar la medida.
2. TXW 3. WXY 4. UXY
5. YXZ 6. TXU 7. UXW
Usa un transportador para trazar cada ángulo. Clasifica los ángulos.
8. 45 9. 60 10. 125 11. 14
12. Explica cómo puedes estimar y hallar la medida de
WXZ en la figura anterior.
Estima la medida de cada ángulo. Luego usa un transportador
para hallar la medida.
13. YXZ 14. VXT 15. WXZ
16. VXU 17. VXW 18. UXT
19. VXZ 20. UXY 21. TXZ
Usa un transportador para trazar los ángulos. Clasifica los ángulos.
22. 35 23. 159 24. 16 25. 95
26. 120 27. 44 28. 180 29. 135
30. un ángulo que mida entre 110 y 130 31. un ángulo que mide menos de 65
USA LOS DATOS Para 32–34, usa los relojes.
32. Copia el ángulo que forman las manecillas del relojque muestra las 6:00. ¿Cuánto mide este ángulo?Explica cómo lo sabes.
33. ¿A qué hora forman las manecillas del reloj un ángulo recto?
34. Estima la medida del ángulo que forman las manecillas delreloj que muestra las 3:05. Luego mide el ángulo.
35. ¿Cuál es el error? Según Teresa, un ángulo medía50, pero en realidad medía 130. Describe su error.
T X Z
U W Y
T X Z
U
W V
Y
Práctica independiente y resolución de problemas
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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181CAPÍTULO 10
Comprensión de los aprendizajes
Observa el plano del barrio de Rodrigo. El ángulo que se forma entre las calles Constitución y Las Araucariasmide 30°
1. ¿Cuál es la medida del ángulo formado por las calles Los Olivos y Las Araucarias?
2. ¿A qué tipo de ángulo corresponde la intersección de las calles Los Olivos con Las Petunias?
3. Francisco dice que las calles Los Olmos con Las Petunias se intersecan. ¿Es correcta la afirmación deFrancisco?
36. Si n 6, ¿cuál es el valor de 5 n 2?
37. ¿Qué figura es una superficie que se extiendeinfinitamente en todas direcciones?
38. ¿Qué tipo de ángulo es el siguiente?
39. ¿Qué enunciado sobre ángulos obtusos en untransportador es cierto?
A Van desde 0º a 89º.
B Van desde 45º a 135º.
C Van desde 0º a 180º.
D Van desde 91º a 180º.
40. ¿Qué ángulo mide menos de 90º?
A ángulo extendido C ángulo agudo
B ángulo recto D ángulo obtuso
Práctica adicional en la página 186, Grupo A
LOS OLIVOS
CONSTITUCIÓN
L A S P E T U N I A S
L O S
O L M O S
L A S A R A U C A R I A S
30º
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182
Aprende
C
B O
D
A
I
H
F
G
P
T
UV
S
W 55°
35°
Repaso rápido L E C C
I Ó N
Práctica con supervisión
Actividad
Materiales ■ transportador ■ papel calco ■ tijeras
• Traza BOC y AOD sobre papel calco.
Nombra dos pares de ángulosadyacentes de la figura.
Vocabularioángulos complementarios
Ángulos complementariosOBJETIVO: identificar ángulos complementarios.
1. ¿Son SWV y TWU ángulos complementarios?
SWV mide 35. TWU mide 55.
35 55
Sí, los ángulos forman un ángulo recto.
45 45 90
Ejemplo El puente mecano que cruza el río Biobío mide 1 351 m. Esel más largo de Latinoamérica. ¿Son complementarios los ángulosque forman las vigas cruzadas del puente?
• Usa un transportador para medir ambos ángulos.
• Recorta los ángulos y coloca _
›
OC sobre _
›
OD .
• Halla mBOA.
• Repite para FPG y IPH , coloca _
›
PF sobre _
›
PI .
Luego halla mHPG.
• ¿Qué observas acerca de BOA y HPG?
Dos ángulos cuyas medidas suman 90 se llaman
ángulos complementarios. Pueden ser adyacentes o no.
K 155°
35°155°
35°P
M N
L
45º45º
1 2 4 5 0
1 8 0
1 0
1 7 0
2 0
1 6 0
3 0
1 5 0
4 0
1 4 0
5 0
1 3 0
6 0
2 0 7 0
1 1 0 8 0
10 0
1 0
8 0
1 1 0
0
1 2 0
6 0
3 0 5 0
1 4 0 4
0
1 5 0
1 6 0 2
0
1 7 0
1 0
90
X
Z
Y
1 8 0
Es importante leer laescala adecuada sobreun transportador. Leela escala que comienza
con 0 en_
›
YZ . XYZ es un ángulo agudo.La m XYZ 75.
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183CAPÍTULO 10Práctica adicional en la página 186, Grupo C
L
60°
M80°
N
30°
P
K
60°90°
40°
O
J
70°
90°20°
B
70°
G20°
90°
C
DE
F
A
QR
P
L K
J
R
P
E
AB
F
C
D
50˚60˚
65
˚
25˚
125˚55˚
30˚
30˚
Comprensión de los aprendizajes
Del 7 al 12, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
adyacente, complementario, ambos o ninguno.
7. FGE y CGD 8. AGF y BGC
9. AGB y BGC 10. DGE y BGC
11. AGF y FGE 12. BGC y CGD
13. Estima las medidas de JKL y PQR de la derecha.Luego mide los ángulos con un transportador e indicasi son ángulos complementarios. ¿Fueron razonables tusestimaciones? Explica.
14. Razonamiento Explica por qué el ángulo complementariode 18° no es 162°.
Para los ejercicios 15 y 16 usa la figura de la derecha.
15. Álgebra Si la medida de uno de los ángulos complementarios es 46°,¿qué ángulo es?, ¿cuál es la medida del ángulo desconocido?
16. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta esBEF y DEF .
17. La temperatura por la tarde era de 8 C.Bajó 15 C durante la noche. ¿Cuál era la
temperatura a la mañana siguiente?
18. Resuelve usando el cálculo mental.95 180
19. ¿Cuánto mide PQR?
20. ¿Qué par de ángulos es complementario?
A BGE y AGB
B AGF y FGD
C EGD y AGF
D AGF y BGE
Del 2 al 5, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
adyacente, complementario, ambos o ninguno.
2. JPO y KPJ 3. NPO y LPK
4. LPK y MPN 5. NPO y MPN
6. Explica cómo sabes si dos ángulos son complementarios.
60°
30°
B
90°
G150°
D
E
F
A
30°
QR
P
Práctica independiente y resolución de problemas
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184
Destreza
de lectura
Estrategia: hacer un diagramaOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia hacer un diagrama.
Usa la estrategia
PROBLEMA El ángulo 1 mide 30. Los ángulos 1 y 4 son ángulos opuestos porel vértice. Los ángulos 1 y 2 son ángulos complementarios adyacentes. Elángulo 3 es adyacente al ángulo 2 y al ángulo 4. La suma de las medidas de losángulos 2, 3 y 4 es 180. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos 2, 3 y 4?
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?
Puedes hacer un diagrama para resolver el problema.
• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?
Haz un diagrama donde se muestren las relaciones entre los ángulos.
Los ángulos 1 y 4 son ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestospor el vértice quedan opuestos entre sí cuando dos líneas se intersecan.Miden lo mismo. Traza 1 y 4. Rotula 1 y 4 con 30.
Los ángulos 1 y 2 son complementarios adyacentes. Los ánguloscomplementarios adyacentes tienen un rayo común y la medida total es90. Traza 2 adyacente a 1 para formar un ángulo recto. 90 30 60,entonces 2 mide 60. Rotula 2 con 60.
El ángulo 3 es adyacente a los ángulos 2 y 4. Marca 3 en el diagramaadyacente a 2 y 4. La suma de las medidas de los ángulos 2, 3,
y 4 es 180.
30 60 90 y 180 90 90; entonces 3 mide 90. Rotula 3 con 90.
Entonces,2 mide 60, 3 mide 90 y 4 mide 30.
• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
• ¿Cómo pueden ayudarte las claves del contexto a entender el problema?
• ¿Qué información se da?
L E C C
I Ó N
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185CAPÍTULO 10
Resolución de problemas con supervisión ESTRATEGIAde resoluciónde roblemas
ESTRATEGIAS
Práctica de estrategias mixtas
1. El ángulo 1 es un ángulo recto. Los ángulos 1 y 3 son opuestos por elvértice. ¿Cuánto miden los ángulos 2, 3 y 4?
Primero, traza 1 y rotula su medida.
Luego, usa las relaciones entre los ángulospara trazar y hallar la medida del ángulo 3.
Por último, usa las relaciones entre los ángulos paratrazar y hallar las medidas de los ángulos 2 y 4.
2. ¿Qué pasaría si en el problema 1, los ángulos 1 y 4 fuesen ánguloscomplementarios en lugar de ser ángulos opuestos por el vértice? ¿Seríanlas mismas las medidas de los ángulos 2 y 4? Explica.
3. El tablero de un juego de mesa se compone de 25 cuadrados organizadosen 5 filas iguales. Los colores de los cuadrados se alternan entre rojoy azul en forma horizontal y vertical. El cuadrado del extremo superiorizquierdo es azul. ¿Cuántos cuadrados del tablero son azules? ¿Cuántosson rojos?
Usar el razonamiento lógico
Hacer un modelo o dibujo
Hacer un modelo o unadramatización
Hacer una lista organizadaBuscar un patrón
Hacer una tabla o gráfico
Predecir y probar
Trabajar desde el final hastael principio
Resolver un problema más sencillo
Escribir una ecuación
Resuelve.
4. El colegio de Fabián es sede de un maratón de juegos demesa. Veintiún estudiantes están jugando solamente al ajedrezy 36 estudiantes están jugando solamente a las damas. Untotal de 75 estudiantes están jugando al ajedrez, a las damas oa ambos juegos. ¿Cuántos estudiantes están jugando a ambos juegos?
USA LOS DATOS Del 5 al 8, usa la tabla.
5. El puntaje obtenido por Marta en Creatividad y en Diseñoes la mitad del puntaje que obtuvo Boris en las mismascategorías. Boris tuvo 8 puntos más en Creatividad queen Diseño. ¿Cuáles son los puntajes que tuvo Boris enCreatividad y en Diseño?
6. Plantea un problema Observa el problema 5. Cambia ladiferencia entre la calificación de Boris en creatividad y endiseño. Resuelve el nuevo problema.
7. La calificación total de Pamela en el concurso es 4 más que2 veces la calificación total de Marta. ¿Cuál es la calificacióntotal de Pamela?
8. Explica cómo usaste una estrategia pararesolver el problema 7.
Práctica adicional en la página 186, Grupo D
Concurso de diseño de juegos
Categoría Puntos de Marta
Creatividad 9Diseño
Valor del entretenimiento
Justicia de las reglas
610
4
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186
3590
A
B
C
D
E
F
55
55
35 90
G
60 A
B
C
D
E
F
90
Grupo A Del 1 al 4, medir los ángulos dados .
Grupo C Del 1 al 6, usa la figura de la derecha.
Indica si el par de ángulos es complementario.
1. AED y BEC 2. CED y BEC 3. AED y CED
4. CED y AEB 5. AED y AEB 6. AEB y BEC
Grupo B Del 1 al 6, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos
es opuesto por el vértice, adyacente o ninguno de los dos.
1. DGE y EGF 2. AGF y CGD 3. CGD y AGB
4. AGF y BGC 5. AGF y DGE 6. CGD y EGF
Grupo D Del 1 al 6, usa la figura de la derecha.
Halla la medida del ángulo desconocido. Explica tu respuesta.
1. AFB 2. BFC 3. CFD
4. AFC 5. DFB 6. EFB
7. Los ángulos A y B son ángulos complementarios.Si la medida del ángulo B es 35º, ¿cuál es lamedida del ángulo A?
8. Los ángulos C y D son ángulos adyacentescomplementarios. Si la medida del ánguloD es 42º, ¿cuál es la medida de un ángulocomplementario del ángulo C ?
1. 2. 3. 4.
5. que mida 60º 6. que mida 135º
Usa tu transportador para trazar un ángulo.
68 112
158
22 EB
C
A
D
Práctica adicional
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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187CAPÍTULO 1010
Preparados2 jugadores
Listos• 2 monedas diferentes• transportador• regla• dado
Cada jugador selecciona una moneda y la colocaen la SALIDA. Decidan qué jugador empieza.
El jugador 2 traza dos rayos para formar unángulo agudo.
El jugador 1 mide el ángulo con un transportador yanota la medida del ángulo.
El jugador 1 lanza una moneda para determinaruna relación del ángulo.
Si sale cara, el jugador traza un ángulocomplementario no adyacente y anota la
medida del ángulo. Si sale cruz, el jugadortraza un ángulo complementario adyacentey anota la medida del ángulo.
El jugador 2 comprueba la medida del ángulo. Si larespuesta es correcta, el jugador 1 lanza el dado ymueve su moneda ese mismo número de espacios.Si la respuesta es incorrecta, el jugador 1 no haceningún movimiento. Sigue el próximo jugador.
Gana el primer jugador en alcanzar la LLEGADA.
A empezar
Salida
Llegada
Retrocedes3 casilleros
Pierdesun turno
Avanzas 2casilleros
¡Hazlo otra
vez!
Retrocedes3 casilleros
Pierdesun turno
Avanzas2 casilleros
¡Hazlo
otravez! Retrocedes3 casilleros
Pierdesun turno
¿Cuál es el ángulo?
187CAPÍTULO 10
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Ángulo manía
Usa la siguiente figura para responder a las preguntas
1. Nombra seis pares de ángulos opuestos por el vértice.
2. Nombra seis pares de ángulos adyacentes.
3. Mira el dibujo y nombra
a. Dos ángulos agudos
b. Dos ángulos obtusos
c. Dos ángulos extendidos
Con tu transportador mide los ángulos
4. GKF = _______ 5. GKH = _______ 6. AKB = _______
7. CKD = _______ 8. DKE = _______ 9. HKB = _______
Piénsalo
10. Piensa más allá, ¿cuántos ángulos sonadyacentes a GKF? Nómbralos.
Explica cómo hallaste la respuestaal problema anterior.
42º26º K
A
B
C
D
E
F
G
H
48º
189CAPÍTULO 10
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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190
Números y operaciones
1. ¿Cuál es el máximo común divisor entre 42 y 18?
A 3 C 72
B 6 D 126
2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 4, 6 y 10?
A 2 C 60
B 30 D 120
3. ¿Cuál es la diferencia entre 11 _
3
y 1 _
2
?
A 1
__
3
B 2
__
3
C 5
__
6
D 22
__
3
4. ¿Cuánto es 12
_ 7 + 3
_ 5 ?
A 2
B 1
C 1
D 27
___
35
5. Sandra escribió 4,05; 4,5; 4,055y 4,505 en su hoja. Explica cómo se ordenan losdecimales de mayor a menor .
Patrones y álgebra
7. En la tabla se muestra cuánto gasta una empresaen la producción de tapas para lápices. Cada tapale cuesta $ 2 y por transporte le cuesta $ 5. ¿Quénúmero completa la siguiente tabla de costos?
Número de tapas 2x 5 Costo
1 (2 • 1) 5 7
2 (2 • 2) 5 9
3 (2 • 3) 5 11
4 (2 • 4) 5
A 12
B 13
C 14
D 15
8. ¿Qué valor de x hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera?
0,5 x 13
A 65
B 26
C 13,5
D 12,5
9. ¿Qué valor de n hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera?
10 x 120
A 110
B 100
C 11
D 10
Aprendizaje en espiral
6. ¿Cuál es la suma de 34,62 + 6,8 + 320,965?
A 362,385
B 623,385
C 326,385
D 362,835
2135
512
3135
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191CAPÍTULO 10
Geometría – Medición
10. Armando trazó un triángulo con ángulos quemiden 90°, 28° y 62°. ¿Qué tipos de ángulos
forman este triángulo?
A Solo ángulos obtusos
B Solo agudos
C Ángulos agudos y recto
D Solo recto
11. Si dos ángulos son adyacentes, ¿qué tienen encomún?
A Solo un vértice B Un vértice y un rayo
C Dos vértices
D Dos rayos
12. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, ¿quétienen en común?
A Solo un vértice
B Un vértice y un rayo
C Dos vértices
D Dos rayos
13. Si m A mide 42 y mB mide 48, ¿qué términodescribe los dos ángulos?
A Opuestos por el vértice
B Complementarios
C Adyacentes
D Congruentes
14. Los ángulos A y B son ángulosopuestos por el vértice. Los ángulos B y C sonángulos complementarios. Los ángulos C y D suman 180º y los ángulos D y E son ángulosopuestos por el vértice. Explica cómo puedeshallar mE , si m A mide 66.
Datos y probabilidades
Resultados de los exámenes
Examen Carla Luisa Marcos Joaquín
1 99 98 96 92
2 87 98 83 94
3 90 95 97 93
17. ¿Cuál fue la media que obtuvo el grupo en elexamen número 2?
Pista: Busca palabras importantes.
Usa la tabla para responder desde la pregunta 15 a la21.
15. La media que obtuvo Carla en sus exámenes es:
A 94
B 92
C 89
D 94
16. La media que obtuvo el grupo en sus exámeneses:
A 91,5B 92
C 93,5
D 94
18. ¿Cuál fue la diferencia entre el puntaje más alto yel más bajo?
19. ¿Cuántos puntajes hay sobre 90 puntos?
20. ¿En qué examen obtuvo Marcos el mayorpuntaje?
21. ¿Quién obtuvo el mejor puntaje en el examennúmero 2?
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A
C B
P
QR
NL
MM
N
S
E D F
Z
X
Y
LD
R X
B
G
3 cm
3 cm3 cm
3 cm
2 m
2 m
2 m
2 m
6 cm
2 cm
4 m
2 m
Comprueba si has aprendido las destrezas importantesque se necesitan para el aprendizaje del capítulo 11.
Clasificar ángulosClasifica cada ángulo como agudo, obtuso, recto o extendido.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
Identificar cuadriláterosDa el nombre más exacto para la figura. Escribe romboide,
rectángulo, rombo, cuadrado o trapecio.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
triángulo acutángulodiagonaltriángulo equiláterotriángulo isóscelestriángulo obtusángulotriángulo rectángulotriángulo escaleno
PREPARACIÓN
triángulo acutángulo Un triángulo que tiene tres ángulosmenores que 90.
triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto.
triángulo obtusángulo Un triángulo que tiene un ángulomayor de 90.
193CAPÍTULO 11
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194
Aprende
40
5035
25120
65
75 40
3 cm3 cm
3 cm 1 m
3 m3 m 4 km9 km
11 km
D
F
E
2,6 m
3 m
5 m
122 27
31
G
H J
45
45
5,0 cm
5,0 cm
7,1 cm
7 cm 7 cm
5 cm
A
B C
L E C C
I Ó N
TriángulosOBJETIVO: usar las propiedades de un triángulo para clasificartriángulos y hallar medidas desconocidas.
Un triángulo puede clasificarse según los ángulos que contiene. Un triánguloacutángulo contiene solo ángulos agudos. Un triángulo rectángulo contieneun ángulo recto. Un triángulo obtusángulo contiene un ángulo obtuso.
Clasificación según los ángulos
Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo
Un triángulo también puede clasificarse según las longitudes de sus lados. Loslados que tienen la misma longitud son congruentes. Un triángulo equilátero tiene tres lados congruentes. Un triángulo isósceles tiene exactamente doslados congruentes. Un triángulo escaleno no tiene lados congruentes.
Clasificación según los lados
Ejemplo 1 Cristina hizo un bosquejo de uno de los triángulos que semuestran en el edificio de la derecha. Clasifica el triángulo según sus lados.
El triángulo tiene exactamente doslados congruentes.
Entonces, ABC es un triángulo isósceles.
Ejemplo 2 Clasifica el triángulo según sus lados y ángulos.
El triángulo no tienelados congruentesy tiene un ánguloobtuso.
El triángulo tiene2 lados congruentes yun ángulo recto.
Entonces, DEF es un triángulo obtusángulo escaleno. Entonces, GHJ es un triángulo rectángulo isósceles.
Repaso rápido
Identifica el ángulo como agudo,
obtuso o recto.
Vocabulariotriángulo acutángulo triángulo isósceles
triángulo rectángulo triángulo escaleno
triángulo obtusángulo diagonal
triángulo equilátero adyacente
Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno
p Este imponente edificio es
la Hearst Tower, ubicado en
Nueva York. Es el primer
rascacielos que se levantó
en Manhattan después de
los atentados del 11 de
septiembre de 2011.
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195CAPÍTULO 11
180
180
C
A BD
A
C
B
x
40 110
31 31
1182 cm 2 cm
3,5 cm
3,1 cm 3,1 cm
3,1 cm
60
60 60
75
75
30
4 mm
2 mm
4 mm
1,8 m
1,1 m
2,1 m
3258
Práctica con supervisión
Medidas de los ángulos de los triángulos
Dibuja un triángulo cualquiera, recorta dos de sus ángulos y ubícalos a los lados deltercer ángulo, como muestra la figura, ¿qué medida tiene el ángulo que se forma?
Este ejercicio muestra que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es180°.
1. Halla la medida del ángulo desconocido. Luego clasifica el triángulo según sus ángulos.
x 40 110 180
x 150 180
x 150 150 180 150
x
0
30 x
Entonces, ABC es un triángulo .
Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
2. 3. 4. 5.
Dos líneas sonperpendiculares
si se intersectan yforman ángulosrectos.
R e cuer d a
Si dibujas otro triángulo, igual al que tenías y lo haces compartiendo ellado de mayor longitud, se forma un cuadrilátero cuya diagonal es ellado en común del triángulo. Como se forma con dos triángulos,entonces la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero serádos veces la del triángulo, es decir: 2 · 180° = 360°.
Luego la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadriláteroes igual a 360°.
a + b + c = 180º
a
a
c
c
b
b
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196
A
37B C x
A
54
B
C
x
96
A60
B
C
x
60 A
B
C 28 46
90
4347
2,6 cm
2,8 cm
3,7 cm
63 13 m
2712 m
5 m
9 cm
3,5 cm
8, 7 5 c
m
33 64
83
5,8 m
3,4 m
4,2 m
30
30 120
A
88
C
B45 x
A
C
B
48
105 A
C
B
20
x20 AC
B x
20
C ángulo exterior
27
L JG
120
T
QR
P
S
53
53
37 8 m 8 m
4,9 m4,8 m
5,6 m6,4 m
10 m
74
53
47 93
40
Práctica independiente y resolución de problemas
ÁlgebraHalla la medida de B y clasifica ABC según sus ángulos.
6. 7. 8. 9.
10. Explica por qué un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.
Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
11. 12. 13. 14.
Álgebra Halla la medida de B y clasifica ABC según sus ángulos.
15. 16. 17. 18.
Clasifica cada triángulo según las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos dados.
19. lados: 15 m, 18 m, 20 m 20. lados: 4,5 cm, 4,9 cm, 5,6 cm 21. lados: 8 km, 8 km, 8 km ángulos: 46, 60, 74 ángulos: 50, 58, 72 ángulos: 60, 60, 60
22. El triángulo PQR es un triángulo rectángulo yel ángulo Q mide 90. ¿Los ángulos P y R soncomplementarios o suplementarios?
24. Si extiendes un lado de un triángulo, formas unángulo exterior. CJL es un ángulo exterior deGCJ . Halla la medida de CJL. Explica.
23. El triángulo XYZ es un triángulo rectángulo. Si unode los ángulos agudos mide 46, ¿cuánto mide elotro ángulo agudo? Explica.
25. Observa la siguiente figura. Nombra todos lostriángulos. Luego clasifica cada triángulo segúnsus ángulos y las longitudes de sus lados.
26. Razonamiento En ABC , la medida de A esdos veces la medida combinada de B y C . Lamedida de B es dos veces la medida de C .¿Qué medidas tienen los ángulos de ABC ?Explica cómo lo sabes.
27. Plantea un problema Repasa el problema 26.Escribe un problema similar cambiando lasrelaciones entre las medidas de los ángulos deltriángulo. Luego resuelve.
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197CAPÍTULO 11
Comprensión de los aprendizajes
30N
AM
B
D
120
60 60
A
BC x30
30
A
B C
x37
104
A
B C
x
29
131
F
ángulo exteriorD
120
J
C
L
ángulos interiores no adyacentes
28
G
Práctica adicional en la página 204, Grupo A
Del 28 al 29, usa la figura de la derecha.
28. Halla todas las medidas de ángulo desconocidas. Nombratodos los triángulos y clasifícalos según sus ángulos.
29. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta esBMA y DAN .
RAZONAMIENTO Un ángulo exterior está formado por un ladode un triángulo y la extensión de otro lado. La medida de un
ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de lasmedidas de sus dos ángulos interiores no adyacentes.
En la figura, CJL es un ángulo exterior de CGJ .Los ángulos JCG y CGJ son ángulos interiores no adyacentes aCJL. Halla mCJL.
CJL m JCG mCGJ
CJL 120 28
CJL
148
Los ángulos JCG y CGJ son los ángulosinteriores no adyacentes a CJL.
Suma.
Entonces,CJL mide 148.
En cada triángulo, halla el ángulo desconocido.
1. 2. 3.
30. El jardín rectangular de Jazmín mide 30 metrosde largo. Si el perímetro mide 90 metros, ¿cuáles el ancho del jardín?
31. Carolina tiene 332 tarjetas de colección. Estoequivale al doble de lo que tiene Marta. ¿Cuántastarjetas de colección tiene Marta?
32. Halla el valor de n.
189 n 360
33. El triángulo FGH es un triángulo acutángulo. ¿Enqué opción se muestran las posibles medidas deángulos para el triángulo FGH ?
A 90, 35, 55 C 40, 65, 75
B 30, 115, 35 D 20, 140, 20
34. Los ángulos de un triángulo obtusángulo isósceles
miden 112, 34 y x . ¿Cuál es el valor de x ?
A 180 B 112 C 68 D 34
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198
Aprende
Repaso rápido L E C C
I Ó N
Escribe agudo, obtuso o recto para cada medida de ángulo.
1. 156 2. 76 3. 32 4. 90
5. 94
Puedes usar las propiedades de los triángulos para trazarlos enpapel punteado.
Trazar triángulosOBJETIVO: usar las propiedades de los triángulos para trazardiferentes tipos de triángulos.
Actividad
Materiales■papel punteado cuadriculado ■ papel punteado isométrico
• Usa las propiedades para trazar un triángulo rectángulo isósceles.
Puedes usar el papel punteado cuadriculado para trazar figuras
que tengan ángulos rectos.
Piensa: el triángulo debe tener dos lados congruentesque formen un ángulo recto. A partir del mismopunto, traza dos segmentos congruentes que seanperpendiculares entre sí. Asegúrate de que ambostengan la misma longitud de 2 unidades.
El triángulo también debe tener dos ánguloscongruentes. Une los extremos para
formar el tercer lado.
• Usa las propiedades para trazar un triángulo equilátero.
Puedes usar papel punteado isométrico para trazar figuras que tengan ladoscongruentes y no tengan ángulos rectos.
Piensa: el triángulo debe tener tres lados congruentes. A partir del mismo punto,traza dos segmentos congruentes tal como se muestra. Asegúrate de que ambostengan la misma longitud de 4 unidades. Une los extremos para formar el tercer ladode 4 unidades.
• ¿Es posible trazar un triángulo rectángulo que tenga un ángulo obtuso? Explica.
Idea matemática El papel punteadoisométrico se usa para trazartriángulos equiláteros, ya quelas diferentes hileras de puntosforman un ángulode 60 entre sí.
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199CAPÍTULO 11
Comprensión de los aprendizajes
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
L3
L1
ángulo exterior
126
Práctica adicional en la página 204, Grupo B
1. Copia y completa el dibujo de la derechapara trazar un triángulo obtusánguloisósceles.
Dibuja en tu cuaderno un punteado cuadriculado o un punteado isométrico y traza el triángulo donde
corresponda.
2. un triángulorectángulo isósceles
3. un triánguloequilátero
4. si cada lado tiene 4unidades de longitud,entonces es untriángulo
5. un triánguloobtusángulo isósceles
6. un triángulo obtusángulo isósceles que tengaal menos dos de sus lados de 4 unidades delongitud.
7. un triángulo rectángulo escaleno que tenga unlado de 3 unidades de longitud
8. Explica la diferencia entre papel punteado cuadriculado y papel punteado isométrico.
Traza el triángulo.
13. María trazó el triángulo equilátero ABC . Luegotrazó un segmento para unir el vértice A con elpunto medio del segmento BC . ¿Qué tipo de
triángulos formó?
14. Traza un triángulo rectángulo isósceles ABC . Sea A un ángulo recto. Halla las medidas de los otrosdos ángulos.
15. Razonamiento El ángulo exterior de un triángulo isósceles mide 126.Halla dos medidas posibles de los ángulos del triángulo.
16. Explica por qué usarías papel punteado cuadriculadoen lugar de papel punteado isométrico para trazar un triángulorectángulo escaleno.
17. La temperatura al atardecer era de 28 C. A lamedianoche, la temperatura había bajado 8 C.¿Cuál era la temperatura a la medianoche?
18. ¿Cuál es la media del conjunto de datos 8, 12, 9,10, 16, 12, 19, 10, 12?
19. Un triángulo tiene ángulos que miden 56, 49 y x. ¿Cuál es el valor de x ?
20. ¿En cuál de las siguientes opciones usaríaspapel punteado isométrico para trazar la figura?
A triángulo rectángulo escaleno
B triángulo rectángulo isósceles
C triángulo equilátero
D triángulo rectángulo
9. un triángulo rectángulo escaleno que tieneun lado de 6 unidades de longitud
11. un triángulo rectángulo isósceles que tiene2 lados de 7 unidades de longitud cada uno
10. un triángulo equilátero que tiene lados de8 unidades de longitud cada uno
12. un triángulo equilátero que tiene lados de4 unidades de longitud cada uno
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¿Por qué te resulta útilbuscar un patrón deformación para resolver losproblemas?
200
Estrategia: buscar un patrónOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia buscar un patrón.
Aprende la estrategiaBuscar patrones en los problemas puede servirte para identificar valores u otrotipo de información que no se da en el problema. Hay diferentes tipos depatrones en diferentes tipos de problemas.
Los patrones numéricos pueden aumentar, disminuir, repetirse o detenerse.Cristina abre una nueva cuenta de ahorros y deposita $ 32 000 cada semana.¿Cuál será su saldo después de 5 semanas?
Semana 1 2 3 4 5
Saldo $ 32 000 $ 64 000 $ 96 000 $ 128 000 $ 160 000
Los patrones geométricos pueden relacionarse con el tamaño, laforma, la posición, el color o el número de las figuras.Alicia está pintando una cenefa en la pared. Si continúa su patrón, ¿quéfigura geométrica podría pintar a continuación?
Algunos patrones visuales pueden describirse con números. Vera está trazando formas geométricas planas. Traza un triánguloequilátero seguido de un cuadrado. La tercera forma es un pentágonoregular y la cuarta forma es un hexágono regular. Si el patrón continúa,¿cuál podría ser la octava figura?
Estrategia buscar un patrón
L E C C
I Ó N
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Resolución de problemas con supervisión
Resolución de problemas • Práctica de estrategias
4 lados,
2 diagonales
5 lados,
5 diagonales6 lados,
9 diagonales
7 lados,
14 diagonales
Unidades = 1
Perímetro = 4
Unidades = 9
Perímetro = 12
Unidades = 4
Perímetro = 8
Unidades = 16
Perímetro = 16
202
1. En las figuras de la derecha semuestra la cantidad de diagonalesque pueden trazarse en uncuadrilátero, pentágono, hexágonoy heptágono. ¿Cuántas diagonalespueden trazarse en un octógono?
Busca un patrón para resolver.
4. Luis trazó 40 triángulos en la primera fila de undiseño de 4 filas que hizo en la clase de arte. Trazó30 rectángulos en la segunda fila y 24 pentágonosen la tercera fila. Si continuó su patrón, ¿qué formatrazó en la cuarta fila y cuántas formas trazó? ¿Cuál
es una regla posible del patrón?
5. Eduardo apila cajas cuadradas para crearcuadrados más grandes. Si apila cajas para crearun cuadrado con 8 unidades por lado, ¿cuántascajas usará en total y cuál será el perímetro delcuadrado más grande?
Polígono Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono
Número de lados 4 5 6 7
Diagonales trazadas
desde un vértice1 2 3 4
Número total dediagonales
2(4 · 1 : 2 2)
5(5 · 2 : 2 5)
9(6 · 3 : 2 9)
14(7 · 4 : 2 14)
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4
Altura (cm) 2 4 6 8
Área (cm2) 6 12 18 24
6. Según la tabla de la derecha, escribedos formas de hallar el área del triángulo 5 si secontinúa el patrón de la tabla.
2. ¿Qué pasaría si te pidieran que hallases el número de diagonales que puedentrazarse en un polígono que tiene 14 lados? ¿Cuántas diagonales puedentrazarse?
3. Irene traza un octógono regular que tiene un perímetro de 48 cm y unheptágono regular que tiene un perímetro de 35 cm. Luego traza un hexágonoregular que tiene un perímetro de 24 cm y un pentágono regular que tieneun perímetro de 15 cm. ¿Qué regla sigue este patrón? Si Irene continúa estepatrón, ¿cuál será la longitud de cada lado de su triángulo equilátero?
Primero, organiza la información en una tabla.
Luego, halla una regla para el patrón de la tabla que permita mostrarcuántas diagonales pueden trazarse en un polígono de n lados.
Por último, usa la regla para hallar el número de diagonales que hayen un octógono.
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ESTRATEGIAde resoluciónde roblemas
ESTRATEGIAS
fila 1
fila 2
fila 3fila 4
203CAPÍTULO 11
Práctica de estrategias mixtas
USA LOS DATOS Del 7 al 11, usa el diagrama y la tabla.
Hacer un diagrama
Hacer una representación
Hacer una lista organizada
Buscar un patrón
Hacer una tabla o gráficoPredecir y probar
Trabajar desde el final hasta elprincipio
Resolver un problema mássencillo
Escribir una ecuación
Usar el razonamiento lógico
7. Ana está haciendo un triángulo grande con fichaspara una clase de arte. Usa fichas de color verdeclaro y oscuro que tienen forma de triángulo
isósceles. Ana coloca las fichas como se muestra enel diagrama. ¿Cuántas fichas necesitará para hacer untriángulo de 6 filas?
8. ¿Cuántas fichas verde claro habrá en la séptima fila?¿Cuántas fichas verde oscuro habrá?
9. Si Ana quiere que la base del triángulo grande midaexactamente 80 cm, ¿cuántas filas necesitará?
10. Ana tiene $ 48 000 para comprar las fichas. ¿Cuálesson las longitudes de los lados y de la base deltriángulo más grande que puede hacer?
11. Plantea un problema Escribe y resuelve un nuevoproblema acerca del triángulo de Ana usandodiferentes costos para las fichas verde claro y verdeoscuro.
12. Tu profesor te dice que uno de losángulos de un triángulo rectángulo mide 30. Explica de qué manera hallarías la medida de los otros dosángulos.
ESFUÉRZATEAna compró una caja de 100 fichas que contenía
las figuras que se muestran abajo.
13. La mitad de las fichas poligonales de Ana contienenal menos un ángulo recto. Tres quintos de esasfichas son rectángulos y la mitad de los rectángulosno tienen lados iguales. ¿Cuántas fichas poligonales notienen todos los lados congruentes?
5 cm
30º
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3,5 cm
3 cm
2,5 cm60
7545
4,6 m 4,6 m
8 m
100
45 45
4 cm
30
5 cm
3 cm60
6 cm
6 cm45
45
8,5 cm
Práctica adicional
204
Grupo A Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
1. 2. 3. 4.
1. Un triángulo rectángulo isósceles que tiene doslados de 4 unidades.
3. Un ángulo basal de un triángulo isósceles mide92. ¿Cuáles son las medidas de los otros dosángulos?
2. Un triángulo acutángulo isósceles que tiene doslados de 3 unidades.
4. Un ángulo de un triángulo equilátero mide60. ¿Cuáles son las medidas de los otros dosángulos?
Escribe siempre, a veces o nunca para cada frase.
7. Un triángulo equilátero tiene lados congruentes.
9. Un triángulo rectángulo tiene dos ángulos agudos.
8. Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo recto.
10. Un triángulo escaleno es un triángulo acutángulo.
Grupo B Traza el triángulo. Usa papel punteado cuadriculado o papel punteado isométrico.
5. Un triángulo tiene lados que miden 8 m,8 m y 8 m. Clasifica el triángulo según las
longitudes de sus lados.
6. Un triángulo tiene ángulos que miden 32, 32 y 116. Clasifica el triángulo según sus ángulos.
5. Traza un triángulo obtusángulo isósceles quetiene dos lados de 7 cm.
6. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudoque mide 27º. ¿Cuánto mide el otro ánguloagudo?
7. Un triángulo isósceles tiene un ángulo quemide 38º. ¿Cuánto miden los otros dos que soniguales?
8. Traza un triángulo equilátero de lado 6 unidades.
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2 6
2 6
x
6 4 º
4 9 º
1 3 5 º
7
7
x
6 0 º
6 0 º
12
12
x
25º
145º
205CAPÍTULO 11
Mezcla las tarjetas y colócalas en un mazo bocaabajo.
Cada jugador elige una moneda y la coloca sobrela caja de SALIDA. Decidan quién empezará.
El jugador 1 saca una tarjeta del mazo.
El jugador 1 halla la medida del ángulo desconocidode la figura de la tarjeta.
El jugador 2 comprueba la respuesta. Si es correcta,el jugador 1 mueve su moneda un espacio en eltablero y el turno pasa al otro jugador.
Si la respuesta es incorrecta el jugador noavanza. El turno pasa al otro jugador.
Gana el primer jugador en alcanzar la LLEGADA.
SALIDA
LLE G AD A
¡Ya!
¡En sus marcas!2 jugadores
¡Listos!• 30 tarjetas con triángulos
o cuadrilátero que tenganun ángulo desconocido
• 2 monedas diferentes
¡Todo suma!
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13 cm
12 cm
5 cm60
30
8 m
17 m
15 m90
3060
60
60 60
5 m 5 m
5 m
20 20
1402,1 cm 2,1 cm
4 cm
42 x
107 x
45 27
43
x
206
Repasar el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. Un triángulo sin lados congruentes se llama ___________________ .
2. Un ________________ tiene tres lados congruentes.
3. Un ________________ tiene todos sus ángulos agudos.
Repasar las destrezasClasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
4. 5. 6. 7.
VOCABULARIO
triángulo acutángulotriángulo equilátero
triángulo escaleno
12. obtusángulo isósceles 13. que tiene un ángulo recto 14. que tiene lados iguales
Repasar la resolución de problemasResuelve.
Escribe siempre, a veces o nunca para cada conjetura.
8. Un triángulo escaleno tiene tres ángulos agudos. 9. Un triángulo rectángulo es un triángulo escaleno.
10. Un triángulo equilátero tiene un ángulo recto. 11. Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos.
Traza el triángulo. Usa papel punteado cuadriculado o papel punteado isométrico.
Halla la medida del ángulo desconocido.
15. 16. 17.
18. Matías traza un triángulo, un cuadrado y unpentágono. Si su patrón continúa, ¿qué figuradebe trazar en sexto lugar?
19. Eliana apila cajas cuadradas. Si apila cajas paracrear un cuadrado con 4 unidades de cada lado,¿cuántas cajas usará?
20. Mario trazó un hexágono con un área de 30 metros cuadrados, un pentágono con un áreade 20 metros cuadrados y un rectángulo con un área de 12 metros cuadrados. Si Mario continúa el patrón,¿cuál será el área de su triángulo? Explica.
Repaso/Prueba del capítulo 11
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Enriquecimiento • Trazar figuras con pares ordenados
Francisca está trazando el rombo ABCD en un plano cartesiano.
Ha trazando tres puntos sobre el plano de coordenadas: A (4,7),B (1,5) y C (4,3). ¿Dónde debe colocar el punto D?
Completa la actividad para hallar las coordenadas del punto D.
ActividadMateriales papel cuadriculado, regla
A Para hallar la ubicación del punto D necesitas conocer laspropiedades de un rombo. Un rombo tiene lados opuestosparalelos y cuatro lados congruentes.
B El punto D tiene la misma relación con el punto C que el punto A con el B. Compara el punto A (4,7) con el punto B (1,5). El punto A está tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba delpunto B.
C Para ubicar el punto D cuenta tres unidades a la derecha y dos unidadeshacia arriba desde el punto C (4,3). El punto D se ubica en (7,5).
D Usa una regla para unir los puntos A, B, C y D y formar elrombo ABCD .
E Para asegurarte de que los cuatro lados del rombo ABCD soncongruentes, mide las longitudes de los lados con una regla.
Entonces, Francisca debe colocar el punto D para formar el rombo ABCD en (7,5).
Explica cómo hallaste el punto desconocido en el problema 2.
6
8
4
2
0 2 4 6 8
y
x
A (4,7)
B (1,5)
C (4,3)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
y
x
B (1,5)
C (4,3)
D (7,5)
A (4,7)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
y
x
(6,2)
(4,0)
(0,4)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
y
x
(4,3)(1,3)
(5,7)
6
8
4
2
0 2 4 6 8
y
x
(6,1)(1,1)
(3,4)
PruébaloHalla el punto desconocido para completar la figura dada.
1. rectángulo 2. paralelogramo 3. trapecio con 2 ángulos rectos
207CAPÍTULO 11
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208
Números y operaciones
1. ¿Cuánto es 14
__ 8 expresado en forma de fracción
en su mínima expresión?
A 13
__
4
B 16
__
8
C 16
__
7
D 21
__
4
2. Cuál es el valor de 48
_ 9 +2 3 _
5 ?
A 611
___
14 B 722
___
45
C 711
___
45
D 57
___
14
3. ¿Qué lista de números está ordenada de menor a mayor?
A3
__
7 ; 3
__
8 ; 4
__
9 ; 2
__
5
B4
__
9 ; 3
__
8 ; 2
__
5 ; 3
__
7
C 2
__
5 ; 3
__
7 ; 4
__
9 ; 3
__
8
D 3
__
8 ; 2
__
5 ; 3
__
7 ; 4
__
9
4. ¿Qué lista de números está ordenada de mayor a menor?
A 1
__
5 ; 0,05; 0,5; 51
__
5
B 0,05; 1
__
5 ; 0,5; 0,5; 51
__
5
C 51
__
5 ; 0,5; 1
__
5 ; 0,05
D 51
__
5 ; 0,5; 0,05; 1
__
5
5. Explica cómo se puedeencontrar la diferencia entre 5 – 1
__
4. Escribe la
respuesta en su mínima expresión.
Patrones y álgebra
6. (7 3) : 2
A 5 C 10
B 8 D 20
7. ¿Qué valor de x hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera? x – 14 = 26
A 40 C 29
B 30 D 4
8. En la tabla se indica cuánto cuesta patinar yarrendar patines en el centro de patinaje El Sol.¿Qué expresión indica el costo total, en pesos,por x horas de patinaje?
Centro de patinaje El Sol
Patinaje: $ 7 500 por hora
Arriendo de
patines:
$ 500
A 7 500 x + 500
B 500 x + 7 500
C 7 500 x 500
D 500 x 7 500
Aprendizaje en espiral
9. Si tuviera 22,5 kg más de manzanas de los queahora tengo, podría llenar un recipiente en el
que caben 94,6 kg y me faltarían 5 kg parallenarlo. ¿Cuántos kg de manzanas tengo ahora?
A 62,1 kg C 72,1 kg
B 67,1 kg D 77,1 kg
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209CAPÍTULO 11
Geometría - Medición 10. ¿Qué enunciado es siempre verdadero sobre dos
ángulos complementarios?
A sus medidas suman 90º B sus medidas suman 180º
C son del mismo tamaño
D sus medidas suman 360º
11. Pablo trazó un triángulo isóscelesen un papel cuadriculado. Midió uno de losángulos y descubrió que medía 70. ¿Qué dosposibilidades hay para los otros ángulos de su
triángulo isósceles? Explica tu razonamiento ydibuja el triángulo.
Datos y probabilidades
14. En la tabla se muestran las puntuaciones de5 estudiantes en una prueba de ortografía.¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menorpuntuación?
Puntuación de la prueba de ortografía
Natalia Andrea Laura Alejandro Darío
53 42 75 98 62
12. El triángulo ABC es isósceles. Su perímetro es40 cm y uno de sus lados iguales mide 13,7cm.¿Cuánto mide el tercer lado?
A
C B
A 13,7 cm
B 27,4 cm
C 15,6 cm
D 12,6 cm
B 62 D 45
15. ¿Qué estudiante obtuvo la mayor puntuación dela prueba de ortografía?
A Natalia C Darío
B Alejandro D Laura
16. ¿Cuál es el promedio obtenido por los estudiantesen la prueba de ortografía?
A 66 C 65
B 80 D 70
A 98 C 56
13. En un festival de música, los organizadores quierensaber cuánta gente de la que asiste prefiere tomar jugo en lugar de bebida. ¿Cuál sería la mejor forma
de reunir esa información?
A Encuestar a toda la población.
B Realizar una encuesta online el día del evento.
C Preguntar por teléfono a las personas.
D Reunir los datos a medida que la genteva pasando.
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Estudia y describe la simetría en cadauna de las imágenes. Después, dibujauna flor que tenga tan solo un eje de
simetría y una que tenga más de un ejede simetría. Explica en qué se parecenlas dos flores y en qué se diferencian.
Flor Mariposa
Geometría en movimientoLa idea importante Realizar teselados de figuras 2D, usando traslaciones,
reflexiones y rotaciones.
El desierto florido es unfenómeno natural que seproduce en el desierto deAtacama, el más árido delmundo. Sucede cuando lapoca lluvia hace germinarsemillas que permanecenenterradas. Cada vez queesto ocurre florecen más de
200 especies distintas deflores.
www.conaf.cl
DATO
BREVE
210
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212
L E C C
I Ó N
TeseladosOBJETIVO: realizar teselados de figuras 2D, usandotraslaciones, reflexiones y rotaciones.
PROBLEMA Se llama teselado a una regularidad o patróngeométrico que permite el recubrimiento total del plano con unconjunto de figuras sin superponerlas, usando transformacionesisométricas.
Actividad
Materiales ■ compás ■ regla ■ tijeras ■ lápiz grafito ■ goma ■ hojas de block ■ papel lustre
Dibuja en el papel lustre de colores 20triángulos equiláteros de 3 cm de lado,20 cuadrados de 3 cm y luego recórtalos.
Ubica las figuras geométricas de papellustre, triángulos y cuadrados, en una hojade bloc, de modo que no se superpongan,
pero que tampoco queden espacios blancosentre estas. Luego, cuando encuentres unpatrón de llenado de la hoja, pégalas.
Cubre la hoja de bloc completamente conel patrón geométrico que decidiste utilizar. Exhíbelos en el muro de la sala de
clases junto con el de tus compañeros.
Sacar conclusiones1. ¿Es posible cubrir la hoja de bloc solo con
cuadrados o solo con triángulos?
2. ¿Cuántos patrones geométricos distintos sehicieron en tu clase?
3. ¿Qué condición deben satisfacer los cuadradosy triángulos para que se forme un teselado?
4. ¿Qué condición deben cumplir los ángulos deesos polígonos para formar un teselado?
5. ¿Es posible teselar con otras figurasgeométricas?
6. ¿Qué transformaciones isométricas utilizaste?
Aprende
Repaso rápido
Identifica la figura geométrica
Vocabularioteselado transformación isométrica
teselado semi regular traslación
teselado regular reflexión
rotación teselado no regular
La condición paraque una o másfiguras formenuna teselación,es que formen unángulo de 360°.¿Qué sucede conel pentágono?
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213CAPÍTULO 12
Clasificación de teselados
Los teselados se clasifican según las características de las figurasgeométricas que lo componen.
Teselado regular : es un teselado que emplea un solo tipo de polígono
regular. Ha sido ampliamente utilizado desde la antigüedad. Solo son
posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadradosy hexágonos regulares.
Teselado semi regular : es un teselado compuesto por 2 o más polígonos regulares.
7. ¿Qué transformaciones isométricas fueron utilizadaspara la creación de los siguientes teselados?
Teselado no regular : formado por polígonos no regulares, como por ejemplo lasteselaciones formadas por romboides, rectángulos y otros polígonos y combinacionesde estas figuras.
a) b) c)
d) e) f)
Rotación Traslación
ReflexiónEn este caso simetría axial
R e cuer d a
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214
Comienza con un cuadrado para recortaruna figura en un lado del cuadrado yluego añadirla en el lado opuesto concinta adhesiva.
La nueva figura está lista para teselar unasuperficie.
¿Puedes utilizar otro polígono regularcomo figura inicial?
¿Qué otro polígono regular puedesutilizar?
Clasifica el teselado en regular , semi regular o no regular .
Práctica con supervisión
Práctica adicional en la página 218, Grupo A
8. 9. 10.
Actividad Materiales ■ Papel lustre■ Tijeras
■ Cinta adhesiva
Una transformación isométrica modifica la posición de una figura en el plano.
La reflexión es unatransformación isométricadonde cada punto de unafigura se ve reflejada en suimagen al otro lado de un ejede simetría.
La traslación es unatransformación isométrica enel plano donde la figura semueve de una posición a otranueva sin cambiar la formani el tamaño. No hay cambio
de ángulo respecto de lahorizontal. La traslación ocurresegún una dirección, sentido ymagnitud.
La rotación es el movimientoque realiza una figuraalrededor de un punto y unángulo.
AA’ BA’
O
C’
B’
A B
C
B’
C
y
C’
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215CAPÍTULO 12
Clasifica los teselados en regular , semi regular
o no regular e identifica las figuras geométricas
presentes en los teselados.18. ¿Qué dificultad tuviste para contar los
polígonos de la pregunta anterior?
Identifica la o las figuras geométricas que dieron origen a cada teselado.
15. Identifica la o las transformaciones isométricas que se utilizaron en la teselación.
Práctica independiente y resolución de problemas
Según la imagen de la derecha, responde las preguntas 19 a 22.
19. ¿Qué transformaciones isométricas podrían utilizarse para convertir lostriángulos claros en los triángulos oscuros?
20. ¿Crees que existen otras opciones de transformaciones isométricasaplicables a la figura para desarrollar el teselado?
21. ¿Cuál es el polígono que da origen a este teselado?
22. ¿Podría hacerse este teselado solo con traslaciones?
23. Crea un teselado en una cuadrícula con al menos 3 de las siguientes figurase indica la transformación isométrica que utilizaste.
24. ¿Qué relación tienen entre sí las figuras geométricasque componen un teselado?
11. 12. 13. 14.
16. 17.
Comprensión de los aprendizajes
25. Indica si los siguientes teselados sonregulares, semiregulares, o no regulares.
26. Para formar un teselado, los ángulos exterioresde los polígonos al unirlos en un vértice, debensumar.
A 90º B 180º C 270º D 360º
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217CAPÍTULO 12
Práctica con supervisión
Comprensión de los aprendizajes
Práctica independiente y resolución de problemas
Edredón
1. A partir de las figuras de la derecha forma una secuencia geométrica conun patrón que incorpore transformaciones isométricas.
Práctica adicional en la página 218, Grupo B
16. ¿El par ordenado (3,2) hace que y 2 x 4 sea verdadera? Escribe sí o no.
17. Si se mantiene el mismo patrón, ¿qué figuraocupa el lugar 14?
Escribe una posible regla de formación del patrón. Después, copia y dibuja las dos posibles figuras
que siguen en la secuencia. 2. 3. 4.
5. Con un rectángulo y un punto crea un patrón. Escribe unaposible regla de formación para tu secuencia.
Escribe una posible regla de formación para cada una de las siguientes secuencias. Despues, copia y
dibuja las dos figuras que siguen en la secuencia.
6. 7. 8.
Escribe la regla de formación para el patrón. Después, copia y dibuja las dos figuras que siguen en la
secuencia.
9. 10. 11. ? — ? — ? — ? —
USA LOS DATOS Para los ejercicios 12 y 13, usa la imagen del edredón.
12. ¿Crees que la regla para la secuencia incluye color? Explica.
18. Nombra un polígono de 3 lados.
19. Si se mantiene el patrón de formación. ¿Cuál seríala décima figura de ejercicio 9?
A B C D
13. Escribe una regla para las dos hileras de abajo del edredón. Si se añadeotra hilera al edredón, ¿cómo se vería?
14. DATO BREVE Los patrones de los frisosse repiten en una dirección. Describe lastraslaciones, las inversiones o giros de este patrón de friso.
15. Forma tu propio patrón. Explica la regla que usastepara hacer el patrón.
Patrón de friso
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218
Práctica adicionalGrupo A Teselados
1. Indica si es posible teselar con cada una de las figuras que se muestran a continuación,en caso de ser posible hazlo, si no lo es, indica el motivo.
2. Agrupa las figuras geométricas presentes en el teselado de acuerdo a su forma y grafica lastransformaciones isométricas aplicadas para cubrir la superficie.
Grupo B Patrones geométricos
1. Encuentra el patrón de formación y determina cuáles son las dos figuras que siguen en la secuencia.
2. Si el área del siguiente triángulo (dibujo de triángulo) es dos unidades cuadradas.
¿Cuál es el área de la figura 5?
1 2 3 4 5
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219CAPÍTULO 12
Partido congruente¡Dobles!
2 equipos, por lo menos 2 jugadores en cadaequipo.
¡Sirve!• Papel de trazar• Fichas de dos colores (rojas y amarillas)
¡Punto!
Un equipo es rojo. El otro es amarillo.
Un jugador del equipo rojo coloca una ficharoja en una figura en el tablero de juego. Uncompañero de equipo coloca una ficha roja enla figura que es congruente. Pueden usar elpapel de trazar para determinar si las figuraselegidas son congruentes. Si lo son, dejenlas fichas en el tablero. Si las figuras no soncongruentes, saquen las fichas.
Después, el equipo amarillo coloca fichas
amarillas en figuras congruentes.
Los equipos se turnan hasta que todas lasparejas de figuras congruentes hayan sidoutilizadas.
El equipo con el mayor número de fichas en eltablero gana.
219CAPÍTULO 11
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221CAPÍTULO 12
Enriquecimiento • Percepción visual
Cuando las letras se escriben en mayúscula, algunas notienen ejes de simetría, algunas tienen 1 eje y otras tienen2 ejes. Si una letra tiene un eje de simetría, el eje eshorizontal o vertical.
¿Puedes leer la palabra de abajo usando la simetría axial?
Usa un espejo para ayudarte a leer una letra. Pon el espejo
de manera que refleje el eje de simetría. Cuando el espejo está en laposición correcta, ya sea horizontal o verticalmente, aparece la letracompleta.
ActividadLee la palabra de abajo.
Dibuja la segunda mitad de cada letra o usa un
espejo. La palabra es CAVA.
Escribe la palabra BEBE en código simétrico.
Dibuja la parte de arriba, la parte de abajo, lamitad derecha o la mitad izquierda de cada letra.
InténtaloEscribe cada palabra en código simétrico.
5. Escribe una palabra de 3 letras en la cual solouna letra tenga simetría axial.
6. Escribe una palabra de 5 letras en la cualcada letra tenga simetría axial.
1. PEPE 2. HOY 3. FÚTBOL 4. FAMA
Explica cómo se lee una palabra que estáescrita en código simétrico.
Recuerda. Una letra
puede tener un eje
de simetría
horizontal o vertical
o ambas. Algunas
letras no tienen ejes
de simetría.
ABCDEFGHI
JKLMNOPQ
RSTUVWXYZ H O L A
H O L A
C AVA E B E
Decimos que existe simetríaaxial cuando podemos dividircon una recta (llamada eje desimetría) una figura en dospartes congruentes, de maneraque si plegamos la figurapor el eje de simetría, las dospartes coinciden exactamente.
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222
Patrones y álgebra
5. Mira el problema de abajo.
6
Si 9, ¿cuánto es ?
A 27
B 18
C 15
D 3
6. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo?
(15 8) (2 · 9)
A 189
B 37
C 7
D 5
7. La expresión algebraica m · 36 d expresada
en palabras es:
A El cociente de un número y 36.
B El producto de un número y 36.
C La diferencia entre 36 y un número.
D La suma de 36 y un número.
Números y operaciones
1. Es correcto decir que:R
Q P 37º
Aprendizaje en espiral
A Los ángulos RPQ y QPR son
suplementarios.B El triángulo Δ PQR es un triángulo rectángulo
isósceles.
C El ángulo PRQ es recto.
D Sus ángulos interiores miden 360º.
3. ¿Qué enunciado no es verdadero?
A Los únicos factores de 9 son 1 y 9.
B Los únicos factores de 7 son 1 y 7.
C Los únicos factores de 5 son 1 y 5.
D Los únicos factores de 3 son 1 y 3.
4. El sr. Sánchez vendió 52cascos de bicicletas en su tienda por $ 3 900,¿cuánto dinero recibió el sr. Sánchez por eltotal de la venta?
2. 6 053 : 7
A 8,6471 C 864,71
B 86,471 D 8647,1
8. La cuidadora de mascotas llevóa Rex a dar un paseo de 1,6 kilómetros dos
veces al día por d días.
Explica cómo escribir una expresión algebraicapara el número total de kilómetros quecaminó Rex.
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223CAPÍTULO 12
S á n d w i c h e s q u e n o
s e v e n d i e r o n
V enta de sándwiches
Hora
11:00 2:00 3:001:0012:00
28
24
20
16
12
8
4
0
Datos y probabilidades13. Hugo hizo una encuesta acerca del número
de veces que los estudiantes compraronalmuerzo en la cafetería la semana pasada. Losresultados de su encuesta se muestran en la
tabla.
¿Cuántos estudiantes compraron la mayor cantidadde almuerzos?
A 4 C 3
B 5 D 1
14. Mira el gráfico de línea.
La meta de un curso era vender por lo menos20 sándwiches en 3 horas en la kermesse delcolegio. ¿El curso logró su meta? Explica cómolo sabes.
Geometría – Medición
9. ¿Cuál es el valor del ángulo Z ?
A 180º C 60º
B 90º D no se puededeterminar
Z
Z Z
10. Gina dibuja los siguientes
triángulos.
Explica dos maneras en que puede clasificarcada triángulo.
11. El complemento de un ángulo es 37º.¿Cuánto mide el ángulo?
A 53º C 63º
B 143º D 73º
12. El complemento de 35º y el suplemento de
180º es respectivamente:
A 45º y 0º C 55º y 0º
B 100º y 65º D 45º y 90°
Veces Nº de estudiantes
0 x x x x x
1 x x x
2 x x
3 x x
4 x x x x x
5 x x x x x x
S á n d w i c h e s p a r a v e n d e r
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Figuras 3DFiguras 2D
triángulos
cuadriláteros
Representación de figuras 2D
prismas
pirámides
Representación de figuras 3D
Figuras bidimensionales
y tridimensionalesLa idea importante Las figuras bidimensionales y tridimensionales se puedenclasificar de acuerdo con sus propiedades geométricas.
Busca ejemplos de figuras planas y de cuerposgeométricos en el perfil de la ciudad deValparaíso. Luego traza el perfil de tu ciudad enuna hoja de papel. Incluye diversas figuras planasy cuerpos geométricos. Describe las propiedadesde tus figuras.
224
Valparaíso es la segunda ciudad más importante de Chile anivel administrativo. A mediados del siglo XIX era elprincipal centro comercial y financiero del país. Se
caracteriza por ser una ciudad que se expande desde loscerros hacia el mar y en ella viven alrededor de 1 700 000personas según las estimaciones de población para 2012.(Adaptado de www.ine.cl)
DATO BREVE
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VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN
triángulo isósceles Un triángulo que tiene
exactamente dos lados congruentes.
triángulo escaleno Un triángulo que no tiene ladoscongruentes.
triángulo equilátero Un triángulo que tiene treslados congruentes.
triángulo acutángulo
basetriángulo equiláterotriángulo isóscelesredtriángulo obtusánguloparalelogramopoliedro
prisma
pirámiderombotriángulo rectángulotriángulo escalenotrapecio
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 13.
Medir y clasificar ángulosClasifica cada ángulo. Escribe agudo, recto u obtuso.
1. 2. 3. 4.
Caras de los cuerpos geométricosDa el nombre de la figura plana correspondiente a la cara sombreada de cada representación de
los siguiente cuerpos geométricos.
5. 6. 7.
8. 9. 10.
225CAPÍTULO 13
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Aprende
7 cm
superior
frontal
lateral
15 cm 2 cm
75 cm
75 cm
75 cm75 cm
75cm
75cm
75 cm P Q
R
S U
T
Repaso rápido L E C C
I Ó N
226
PROBLEMA Para el proyecto final de la clase de diseño, Daniel usóun cubo de espuma con aristas de 75 cm cada una para hacer unbanco. Cubrió cada una de las seis caras con tela. ¿Cuánta tela usóDaniel para cubrir todo el cubo?
Puedes usar la fórmula para el área de un cuadrado y hallar lasuperficie de un cubo. La superficie A, es la suma de las áreas decada superficie de un cuerpo geométrico.
Halla el producto.
1. 11 · 4 · 5 2. 16 · 3 · 43. 12 · 6 · 3 4. 20 · 10 · 55. 9 · 5 · 2
Vocabulariosuperficie cubo
paralelepípedo
Área totalOBJETIVO: hallar la superficie de cubos y paralelepípedos.
Ejemplo 1 Usa una red para hallar el área total.
Como en el cubo cada cara es un cuadrado, usa la fórmula A
l 2
. Área de la cara P : A 752 5 625
Como cada cara de un cubo tiene las mismas dimensiones, las caras Q a Utienen la misma área que la cara P. El área total de un cubo es la suma delas áreas de sus caras o 6 veces el área de una cara.
At 6 · 5 625 33 750
Entonces, Daniel usó 33 750 cm2 de tela para cubrir el cubo de espuma de estireno.
• ¿Qué pasaría si cada arista del cubo de espuma de estireno midiera la mitad
de la longitud original? ¿Cuánta tela usaría Daniel?
Para hallar el área total, At , de un paralelepípedo, recuerda que las caras opuestastienen la misma área.
Ejemplo 2 Halla el área total del paralelepípedo.
Usa la fórmula A la.
caras frontal y trasera: 2 · l · a 2 · 15 · 7 210
caras superior e inferior: 2 · l · a 2 · 15 · 2 60
caras izquierda y derecha: 2 · l · a 2 · 7 · 2 28
At 210 60 28 298
Entonces, el área total es de 298 cm2.
Multiplica por 2 para incluirlas caras opuestas.
Halla la suma.
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1 cm
20 cm
5,5 cm
227CAPÍTULO 13
Ejemplo 4 Halla el área total del paralelepípedo.
Ejemplo 3 Halla el área total del paralelepípedo.
Las figura corresponde a un paralelepípedo de base rectangular. Para encontrarel área total, separaremos las caras de la figura 3D.
Las cara roja se repite dos veces,entonces, el área es:
110 cm² 110 cm² 220 cm²
Finalmente con la cara verde.
5,5 cm² 5,5 cm² 11 cm²
Lo mismo ocurre con la cara azul.
20 cm² 20 cm² 40 cm²
Área total 40 cm² 11 cm² 220 cm²
Entonces, el área total del paralelepípedo es 271 cm².
Paralelepípedos
Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas caras opuestas son paralelogramosiguales y paralelos.
Hasta el momento hemos trabajado con dos paralelepípedos especiales, el cuboy el prisma rectangular.
¿Es posible separar las caras de un cubo para calcular su área?
7 cm
La figura 3D corresponde a un cubo, que también es un paralelepípedo, perode base cuadrada. Para encontrar el área total, separaremos sus caras.
En este caso todas las caras tienen las mismas dimensiones, por lo tanto:
Área total 49 cm² 49 cm² + 49 cm² 49 cm² + 49 cm² 49 cm²
Entonces, el área total del paralelepípedo de base cuadrada es 294 cm².
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Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
11 cm
superior
frontal
lateral
21 cm
5 cm
2 m
2 m
2 m
2 cm
0,5 cm
0,5 cm
1 cm1
5
cm8
cm34 cm
1
2
1
2
5 cm
5 cm
5 cm
3 m
5 m
8 m
12,5 m3 m
9,3 m
2 m94
1
m321
m
228
1. Halla el área total del prisma rectangular (paralelepípedo recto).
área de las caras frontal y trasera 2 · ·
área de las caras superior e inferior 2 · ·
área de los lados izquierdo y derecho 2 · ·
Suma para hallar el total de las áreas de todas las caras.
Halla el área total de cada paralelepípedo recto.
2. 3. 4. 5.
Halla el área total de cada paralelepípedo recto.
7. 8. 9. 10.
6. Explica cómo se halla el área total de un cubo que tiene 3 cm de lado.
Halla el área total de cada cubo, cuyos lados miden la longitud dada At .
11. At 15 m 12. At 3,5 cm 13. At 41
__
2 km 14. At 50 m
15. Calcula el área total de un paralelepípedo cuyos
ángulos son rectos y sus dimensiones son 4 cm,8 cm y 12 cm.
17. Halla un objeto con forma de prismarectangular. Mide el objeto y redondea lamedida al centímetro más próximo. Estima elárea total redondeada al centímetro cuadradomás próximo.
16. Benjamín quiere construir un nuevo acuario
de vidrio, con tapa en forma de prisma rectopara sus tortugas marinas. Las medidas son 60cm de ancho, 70 cm de largo y 50 cm de alto.¿Cuántos cm2 de vidrio usará Benjamin para suacuario?
18. Mide una caja de leche y calcula cuánto materialtetra pack se necesita para fabricarla.
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Comprensión de los Aprendizajes
Práctica adicional en la página 238, Grupo A
10 cm
6 cm
6 cm
3 cm
6 cm
229CAPÍTULO 13
19. Para la clase de diseño, Luisa pintó un viejo baúl rectangular de maderaque mide 21 cm de longitud, 11 cm de ancho y 5 cm de altura. ¿Cuántomide la superficie que pintó?
20. DATO BREVE El edificio Costanera Centeres el edificio más alto de Chile; mide 300 m delongitud, 250 m de ancho y 303 m de altura.
Halla el área total del edificio. DATO: El área totalno incluye el subterráneo del edificio.
21. Para un proyecto del curso,Daniela cubre los lados de 5 floreros con formade cubo de lado 26 cm. Explica los pasos que
debe seguir Daniela para calcular cuánto papelnecesita.
GEOMETRÍA Para hallar el área total de una figura compleja, debesdescomponerla en figuras más sencillas y determinar el área total de cada figura.
Ejemplo Halla el área total de la figura de la derecha.
Entonces la superficie total de la figura es 198 cm2 + 90 cm2 = 288 cm2.
Halla el área total de la figura.
22. Un cuadrilátero tiene lados opuestos queson paralelos y congruentes. ¿Qué tipo decuadrilátero podría ser?
23. ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide9 metros de longitud y 7 metros de ancho.
24. ¿Cuál es el área total de un cubo que mide2,4 centímetros de lado?
A 5,76 cm2 C 23,04 cm2
B 13,824 cm2 D 34,56 cm2
25. Juan pintará las paredes, el techo y la puertade una habitación rectangular sin ventanas quemide 14 m por 15 m por 8 m. ¿Cuál es el áreatotal que pintará?
6 cm
6 cm
6 cm
La superficie que se debe considerar del cubo es 198 cm2.
cubo
Halla el área de una cara.6 · 6 = 36 cm2
Multiplica por 6 para calcular lasuperficie total. 6 · 36 = 216.Resta la superficie de la cara quecomparte con el paralelepípedomás pequeño que está al lado.
216 – (6·
3) = 216 – 18 = 198 cm
2
.
Halla la superficie de todas lascaras rectangulares excepto laque está pegada al cubo, esdecir:A = 2 · (4 · 3 + 4 · 6) + 6 · 3
= 2 · (12 + 24) + 18 = 2 · 36 + 18 = 72 + 18 = 90 cm2.
La superficie total de las carasque se consideran es de 90 cm2.4 cm
6 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
9 cm
3 cm
6 cm
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Aprende
cm221
cm441
cm32
1
ancholongitud
altura
2 cm4 cm
3 cm
2 cm4 cm
3 cm
Repaso rápido
L E C C
I Ó N
230
El volumen es el número de unidades cúbicas necesarias para ocuparun espacio determinado. El volumen se mide en unidades cúbicas. Enla siguiente actividad, se explora el volumen.
¿Cuántos metros cuadradosde baldosas se necesitan para
cubrir un piso cuadrado cuyoslados miden 3 metros?
Vocabulariovolumen
Volumen de paralelepípedosOBJETIVO: estimar y calcular el volumen de cubos y paralelepípedos.
Actividad
Materiales ■ red de un paralelepípedo recto ■ cinta adhesiva
■ tijeras ■ cubos de 1 centímetro
• Recorta la red. Dóblala a lo largo de las líneaspunteadas y pega los lados para formar una caja abierta.
• Estima cuántos cubos caben en la caja. Luego, colocatantos cubos como puedas en la caja.
• ¿Crees que el número de cubos que colocas en la caja es elvolumen real de ella o una estimación? Explica.
Observa el siguiente paralelepípedo. En la base hay una capa de cubos de 1 centímetro. Paracompletar la capa inferior se necesitan 8, o 4 · 2, cubos de 1 centímetro. El paralelepípedocompleto tiene 3 capas de 8 cubos cada una. Se necesitan 24 cubos, o 4 · 2 · 3, cubos paracompletar el paralelepípedo recto.
Observa la tabla. Observa la relación entre la longitud, el ancho, la altura y elvolumen de estos tres paralelepípedos.
Observa la tabla:
¿Cuál es la relación matemática entre las medidas de cada dimensión con respecto al volumen?¿Cómo se puede escribir una expresión que represente el volumen de un paralelepípedo?
Por lo tanto: Volumen = longitud · ancho · altura
Si se sabe que: al multiplicar la longitud · ancho se obtiene el área de la base delparalelepípedo, ¿cómo se puede escribir de otra forma una expresión que represente elvolumen del paralelepípedo?
Por lo tanto, la formula es: V = Base · altura
Longitud Ancho Altura Volumen
4 3 4 48
5 3 3 45
8 4 3 96
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2 cm
8 cm3 cm
2 cm
8 cm3 cm
1 cm31_
5,4 cm
9 m
5 m
12
231CAPÍTULO 13
Ejemplo 1 Halla el volumen.
V Bh, donde B l • a Escribe la fórmula.
V (8 • 3) • 2 Reemplaza B por 8 • 3 y h por 2. Multiplica.
V 48
Ejemplo 2 Halla el volumen.
Ejemplo 2
V = l · a · h Escribe la fórmula
V = 9 · 5 · 12 Reemplaza cada valor en la fórmula.
V = 9 · (5 · 12) Asocia el valor del ancho y el de la altura
porque su producto es un múltiplo de 10 y
será más fácil calcular el otro producto.
V = 9 · 60 Calcula el producto
V = 540 cm3.
Entonces, el volumen del paralelepípedo es 540 cm3.
Entonces, el volumen del paralelepípedo recto es de 48 cm3.
Recuerda que las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicaciónpermiten que el volumen anterior se pueda calcular multiplicando lasuperficie de la base por la altura, o la superficie de alguna de las caraslaterales por el largo o el ancho, según corresponda.
• Explica qué debes hacer para calcular el volumen de uncuerpo si las medidas están expresadas en fracciones,decimales y enteros.
¿En qué se parecería este procedimiento al del cálculodel área de la figura de al lado?
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4 cm
3 cm2 cm
Práctica adicional en la página 238, Grupo B
6 cm4 cm
12 cm
Comprensión de los aprendizajes
233CAPÍTULO 13
CAMBIAR LAS DIMENSIONES El paralelepípedo recto de la derecha mide 12 cmde altura, 6 cm de longitud y 4 cm de ancho.
1. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si cada dimensiónse redujera a la mitad?
13. Halla un objeto con forma de paralelepípedo. Mide el objeto y redondeala medida al centímetro más próximo. Estima el volumen redondeado alcentímetro más próximo.
14. Halla el área total y el volumen de un cubo cuyos ladosmiden 11
_
2 metros. Describe la diferencia entre el área total
y el volumen.
15. Calcula la superficie del paralelepípedo recto de la figura.
16. ¿Cuál es el error? Los estudiantes calcularon que elvolumen de un cajón de arena que mide 6 m de longitud, 5 m de ancho y3 m de profundidad es de 30 m3. Halla su volumen y corrige su error.
2. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si la alturay la longitud se duplicaran y el ancho permaneciera igual?
3. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si la altura seredujera a la mitad, la longitud se duplicara y el ancho permaneciera igual?
4. Explica de qué manera podrías cambiar todas las dimensiones delparalelepípedo para hacer un nuevo prisma rectangular con el mismo volumen.
17. Escribe un enunciado con palabras para lasiguiente ecuación: 17 n 9.
18. ¿Cuál es el volumen de una canasta rectangularque mide 20 centímetros de longitud,15,6 centímetros de ancho y 30,4 centímetros dealtura?
A 9 484,8 cm3
B 2 788,48 cm3
C 948,48 cm3
D 66 cm3
19. Ordena de mayor a menor: 3,508; 3,58; 3,08; 3,85.
20. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo recto?
A 1 500
B 450
C 45
D 38 10 cm15 cm
3 cm
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¿Qué otros tipos derepresentaciones crees quepuedes usar para resolverproblemas?
234
Se puede usar una representación paradeterminar si dos figuras son congruentes.¿Son congruentes las figuras azul y amarilla?
Se puede usar una representación pararesolver ecuaciones.José coloca 3 libros en el estante de arriba desu librero. Si el estante tiene capacidad para7 libros, ¿cuántos libros más necesita Josépara completar el estante? Resuelve laecuación x 3 7 para hallar la solución.
Se puede usar una representaciónpara hallar el área total.Un prisma rectangular mide 8 cm delongitud, 6 cm de ancho y 4 cm de altura.Halla el área total del paralelepípedo recto..
Aprende la estrategiaHacer una representación te puede ayudar a ver una solución de un problema.Puedes usar una representación para resolver diferentes tipos de problemas.
Estrategia: hacer una representaciónOBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia hacer una representación.
L E C C
I Ó N
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Como 6
__
48
1 _ 8 , también
puedes decir que lacaja pequeña tiene 1
_ 8
del volumen de lacaja grande.
Destreza
de lectura
235CAPÍTULO 13
• Identifica los detalles del problema.
• ¿Hay información que no usarás? Si es así, ¿cuál es?
Usa la estrategiaPROBLEMA Los rompecabezas vienen en cajas de diferentes tamaños. Para unacompañía, una caja grande de rompecabezas mide 6 cm de longitud, 4 cm deancho y 2 cm de altura. Una caja pequeña de rompecabezas tiene la mitad de lasdimensiones que la caja grande. ¿Cuál es la diferencia entre el volumen de la cajamás grande y el volumen de la caja más pequeña?
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?
Puedes hacer una representación para resolver el problema.
• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?
Haz un modelo de cada caja. Compara los volúmenes.
Cuenta los cubos para hallar el volumen de cada caja. Ahora,compara los volúmenes.
caja grande
____________
caja pequeña 48
___
6 8 __
1
Entonces, el volumen de la caja grande es de 48 cm3 u 8 veces mayor que el volumen de la caja pequeña.
• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
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6 cm 3,1 cm
4,2 cm
5,7 cm
238
19 cm5 cm
7 cm 3,8 m
3,8 m3,8 m
1. 2. 3. 4.
5. La altura de una caja es de cuatro veces su longitud. La longitud es de 5 cmmás que el ancho. El ancho es de 10 cm. Halla el área total.
6. Un cubo tiene un área total de 2 400 m2. ¿Cuál es la longitud de cada arista?
18 mm7 mm
11 mm
Grupo B Halla el volumen de los siguientes paralelepípedos rectos.
1. 2. 3.
8. Un macetero mide 30 cm de longitud, 15 cm de ancho y 15 cm de altura.¿Cuántos centímetros cúbicos de tierra se necesitan para llenar el macetero?
9. Una caja de cereal con forma de paralelepípedo recto mide 10 cm de longitud, 5cm de ancho y 15 cm de altura. ¿Cuál es el volumen de la caja de cereal?
4 cm
5 cm
cm3 1
2
8 cm
8 cm
6 cm
6 cm
Grupo A Halla el área total de los siguientes paralelepípedos rectos.
5 cm
2 cm
4 cm
5 cm
5 cm
Relaciona cada cuerpo geométrico con su red.
4. 5. a) b)
5 cm5 cm
8 cm
5 cm2 cm
6 cm12 cm
Práctica adicional
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x m
y m
z m x
3 y m
x m
y + z m
z m
x_ 2
z m m
2 y m m
m m
3 x c m
x c m
x + y m
z m y m
y m
3 z m
2 x m
z c m
y c m
z c m
c m y_
2
4 z c m
3 x
m 2 y
m
x c m
2 y z c
m
x y z
S A L I D A
L L E G A D A
Cada jugador elige una moneda y la coloca enla SALIDA.
El primer jugador lanza tres dados y los coloca
en los cuadrados marcados x , y y z que aparecenabajo. El número que muestra cada dadorepresenta el valor de esas variables.
El jugador usa los valores para hallar el volumende la figura del tablero donde está su moneda.Las respuestas deben redondearse a la parteentera más próxima.
El otro jugador comprueba la respuesta. Sila respuesta es correcta, el jugador mueve sumoneda un espacio. Si la respuesta es correcta
o incorrecta, el turno pasa al siguiente jugador. El primer jugador que alcance la LLEGADA y halleel volumen correcto de la figura que está en laLLEGADA es el ganador.
Cómo se juega
Jugadores
2 jugadores
Materiales• 3 dados• 2 monedas diferentes
239CAPÍTULO 13
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240
Halla el volumen de los siguientes paralelepípedos rectos.
6. 7. 8.
Halla la longitud desconocida de los siguientes paralelepípedos rectos.
9. 10. 11.
Repaso/Prueba del capítulo 13
Repasar el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. La suma de las áreas de cada superficie de un cuerpo geométrico es _______ .
2. El número de unidades cúbicas necesarias para ocupar un espaciodeterminado es ______________ .
Repasar las destrezasHalla el área total de los siguientes paralelepípedos rectos.
VOCABULARIO
cilindro
área total
volumen
Resuelve.
12. La caja de arena de un parque mide 5,5 m delongitud, 3 m de ancho y 0,75 m de profundidad.¿Cuántos metros cúbicos de arena se necesitanpara llenar la caja?
3. 4. 5.
13. Explica cómo podrías hallar elvolumen de una caja de zapatos utilizando loque ya has aprendido.
V
9 823 cm3
V
175 000 m3
V
160 cm3
Repasar la resolución de problemas
12,3 cm50 m
67 mm24 mm 12,4 m
50 m
47 cm
11 cm
50 m
x
x
x
26 m
8 cm
4 cm
12,4 m9,1 m
9,1 m
9,1 m
39 mm
15 m
5 cm
312 cm
312 cm
12 m
12,3 cm
12,3 cm
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Enriquecimiento • Cambiar las dimensiones
Paula y Adán tienen un negocio de frutos secos. Ellos querían duplicar la
cantidad de frutos secos que podían vender en cada caja; entonces,aumentaron las dimensiones de la caja de 10 cm de ancho, 30 cm delongitud y 20 cm de altura a 20 cm de ancho, 60 cm de longitud y 40 cm dealtura. ¿Duplicaron Paula y Adán el volumen de la caja al duplicar susdimensiones?
Halla y compara los volúmenes de la caja original con los de la caja nueva.
Caja original
V 10 · 30 · 20 Escribe la fórmula.
V 6 000 cm3 Reemplaza B y h.
Multiplica.
Caja nueva
V 20 · 60 · 40 Escribe la fórmula.
V 48 000 cm3 Reemplaza B y h.
Multiplica.
Compara:caja nueva
__________
caja original 96
___
12 8 __
1 8
Entonces, el volumen de la caja nueva es 8 vecesel volumen de la caja original, no el doble de ella.
3 cm
cm
cm
cm
8 cm
2 cm
t
r t
a o
o o
s e c
s
s
r t o s
e c o
oo
s
st d
5 cm2 cm
9 cm
10 cm4 cm
18 cm
AgrándalasHalla y compara los volúmenes de los siguientes grupos de paralelepípedos rectos.
3. Desafío Compara el volumen de los tres cubos. ¿Existe un patrón matemático quedefina el aumento del volumen en funcion de los lados?
Piénsalo
¿De qué manera cambiaría el volumen de un paralelepípedo si se triplicansus dimensiones? Explica tu respuesta con un ejemplo.
Agrandar cuerpos geométricos
7 cm 21 cm14 cm
1. 2.
241CAPÍTULO 13
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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242
9. ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo quemide 12 m de ancho, 30 m de longitud y 45 mde altura?
A 16 200 m3 C 4 500 m3
B 8 100 m3 D 87 m3
5. Respecto de los teselados, es correcto decir:1. Un paralelepípedo mide 4,5 cm de ancho. Lalongitud es el doble del ancho. La altura estres veces el ancho. ¿Cuál es el volumen delparalelepípedo?
A 20,25 cm3
B 91,125 cm3
C 121,5 cm3
D 1 093,5 cm3
2. El área de un triángulo es de 24 cm2. Si la basemide 6 cm, ¿cuál es la altura?
A 4 cm C 8 cm
B 6 cm D 10 cm
3. ¿Cuál es la transformación isométrica quecorresponde a un giro en un plano?
A Rotación
B Traslación
C Reflexión
D Simetría
4. ¿Cuál es la superficie de un paralelepípedoque mide 14 cm de ancho, 25 cm de longitudy 12 cm de altura?
A 568 cm2
B 1136 cm2
C 2 252 cm2
D 1 636 cm2
A Las figuras que se repiten en los teseladostienen la misma área, pero son de distintasformas.
B Las figuras que se repiten en los teseladostienen la misma forma, pero son de distintotamaño.
C Las figuras geométricas mantienen la formay tamaño en todo el teselado.
D Se forman solo por la rotación de una omás figuras geométicas.
6. El perímetro del siguiente pentágono es de61
_
4 m. ¿Cuál es la longitud desconocida?
A 11
__
8 m
B 21
__
4 m
C 51
__
8 m
D 61
__
4 m
121 m
241 m
43 m
x
85 m
7. ¿Cuál es el área de un cuadrado que mide26 metros de lado?
A 52 m2 C 338 m2
B 104 m2 D 676 m2
8. El perímetro de un rectángulo es de 320 cm. Si
el ancho es de 100 cm, ¿cuál es la longitud? A 220 cm C 60 cm
B 120 cm D 3,2 cm
Repaso/Prueba de la unidad
14 cm
25 cm
12 cm
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243CAPÍTULO 13
14. ¿Cuál es la figura geométrica en la que se basael teselado?
10. En el patrón que muestra la figura,si el lado del cada triángulo mide 2 cm,¿qué perímetro tendrá la novena figura?
A 9 cm
B 25 cm3
C 27 cm
D 54 cm
11. El volumen del siguiente paralelepípedo es de2 880 cm3. ¿Cuál es la longitud desconocida?
A 9 cm
B 32 cm
C 320 cm
D 2 844 cm20 cm
16 cm
x
12. ¿Con qué figura es posible teselar unasuperficie?
A Triángulo
B Octógono
C Decágono
D Semicircunferencia
13. ¿Qué figura tiene el área más grande?
A Un cuadrado cuyos lados miden 20 cm.
B Un rectángulo cuya base mide 26 cmy que mide 37 cm de altura.
C Un paralelogramo cuya base mide 44 cm yque mide 40 cm de altura.
D Un triángulo cuya base mide 59 cm y quemide 49 cm de altura.
A Pentágono
B Rectángulo
C Cuadrado
D Rombo
16. El área de un triángulo es de 435 cm2. Si laaltura es de 20 cm, ¿cuánto mide la base?
20. El perímetro de un rectángulo se puede
hallar usando las fórmulas P
2 l
2a oP l a l a. Explica por qué se puedenusar ambas fórmulas para hallar el perímetro.
21. Determina el área de cada rectángulo y cadatriángulo sombreados.
15 cm
7 cm
25 mm
49 mm
15. ¿Cuál es el perímetro de un área de tierrarectangular que mide 1,2 km de ancho y2,5 km de longitud?
Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cadaenunciado.
17. ______ Para que un ángulo sea complementariocon otro ángulo, la suma de ambos debe ser iguala 90°.
18. ______ Los ángulos adyacentes tienen en comúnun rayo, el vértice y miden lo mismo.
19. ______ La expresión “el doble de un número esigual al triple de 8” en ecuación es 2 x = 24.
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A L MA NAQ U E PARA ES TUD IANTES
244
¡Castillos de arena!
Desde hace 29 años, se celebra en Viña delMar un importante concurso de castillos de
arena. Más de 8 playas, desde Viña del Mar a Concónparticipan en la organización del evento.Al concurso acuden familias chilenas, equipos
formados por amigos y turistas.Algunos participantes tardan hasta dos días enrealizar su obra.La Municipalidad de Viña del Mar reparteimportantes premios entre los ganadores.
Usa los datos sobre la competencia para responder a las preguntas.➊ En el concurso de castillos de arena se asigna una zona cuadrada
de aproximadamente 3 metros por 3 metros a los equipos paratrabajar. ¿Cuál es el área de cada zona?
➋ Si compiten 12 equipos, ¿cuánta cinta se necesita para marcar laszonas de competición?
➌ Imagina que el ganador del primer puesto del concurso de castillosde arena usó una zona de 1,5 metros por 2 metros.Halla el área de la zona.
➍ Plantea un problema Imagina que las torres de una escultura dearena tienen forma de paralelepípedo. Usando esta información,escribe y resuelve un problema similar al problema 3.
De aquí y de allá
Resoluciónde problemas
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245UNIDAD 3
CONSTRUIR CASTILLOS
DE ARENA
N
El estadounidense Kirk Rademakerdiseña esculturas de arena y participa en
concursos de todo el mundo.
Este castillo de arena con aspectomecánico fue construido por él.
Haz un diseño de una escultura de arena.
➊ Dibuja tu diseño. ¿Qué cuerpos geométricos usarás para
hacer tu escultura? Escribe las dimensiones de cadacuerpo de la escultura.
➋ Halla el área de la base de cada figura y la cantidadtotal de espacio que ocupará tu escultura.
➌ Halla el perímetro de la zona que necesitarás para hacertu escultura. Recuerda dejar espacio alrededor de lazona para construir y observar.
➍ Halla el volumen de arena que necesitas para construir cada sección. ¿Cuánta arenanecesitarás para hacer toda la escultura?
➎ Un periodista de un diario local vino a entrevistarte. Escribe la forma en quedescribirás tu escultura, su temática y por qué lo elegiste. Menciona el tamaño de laescultura y el tiempo que te llevó construirla.
o necesitas ser un exper to para construir un castillo
de arena. Para hacer castillos de arena sencillos, lo único
que necesitas es un cubo y una pala. Llena el cubo con arena
mojada y presiónala hasta que quede firme. Esto te permitirá
moldearla y hacer formas. Con cuidado, da vuelta el cubo y
luego retíralo de la arena. Así obtendrás tu primera figura
de arena. Apila más figuras para formar paredes y torres.
Cuando tu castillo esté listo, usa una pala para hacer detallescomo ventanas, puertas y otros elementos decorativos. Los
escultores de arena profesionales usan herramientas
especiales para alisar los lados y hacer pequeños detalles.
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8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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247CAPÍTULO 1414
Matemáticaen Contexto
La Oficina de Estudios y Políticas Agrarias
(ODEPA) reúne, organiza y representa datos
para ayudar a los agricultores a decidir
cuánto de cada cosecha deben cultivar cada
año.
Granos, como la cebada, el maíz y el trigo
se cultivan en regiones donde los patrones
del clima y las estaciones son favorables
para estas cosechas.
¿Cómo crees que la Oficina de Estudios y Políticas Agrarias(ODEPA) reúne, organiza y representa la información (datos) queentrega a los agricultores? ¿Qué tipo de gráficas conoces?
REPASO DEL VOCABULARIO Las palabras siguientes lasaprendiste cuando estudiaste cómo organizar y analizar datos.
datos Información que se recopila sobre personas o cosas.
tabla de conteo Una tabla que usa marcas de conteo pararegistrar datos.
Los arándanos que flotan en una ciénaga
son succionados por bombas que los hechan
en camiones. También se lleva cuenta de los
datos acerca de los costos de producción
para ayudar a los agricultores.
Completa el esquema de abajo. Escribe lo que recuerdas sobre lasdiferentes formas de representar datos.
REPRESENTAR DATOS
GRÁFICO DE
LÍNEAS
GRÁFICO DE
BARRAS
TABLA
GRÁFICO
CIRCULAR
247UNIDAD 4
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Capacidad de los estadios de Chile
0
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
Nacional Monumental Santa Laura AlcaldesaEster Roa
RegionalAntofagasta
Sausalito
Estadio
N ú m e r o d e a s i e n t o
s
Hacer gráficos de datosLa idea importante Los datos se pueden mostrar y analizar usando gráficos de varios
formatos.
El Estadio Nacional de
Chile (oficialmente,Estadio Nacional Julio
Martínez Prádanos) seubica en el sector oriente
de Santiago de Chile, en lacomuna de Ñuñoa. Elestadio posee unacapacidad actual de47 000 espectadoressentados, y una cancha defútbol central rodeada poruna pista atlética. En elexterior, se ubica un grancomplejo deportivo yrecreacional con múltiplesinstalaciones en unasuperficie de 62 hectáreas.
www.chiledeportes.cl
En el gráfico de la derecha semuestra el número de asientosque tienen algunos de los
estadios de fútbol másimportantes del país. Analizalos datos mostrados en elgráfico de barra. ¿Cuál es laescala que utiliza el gráfico?
¿Cuál es el estadio con mayory menor capacidad?
DATO BREVE
Adaptado de: www.estadios.org
248
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Deportes preferidos
D e p o r t e
0 5 10 15
Número de personas
Fútbol
Tenis
Atletismo
Natación
Comprueba si has aprendido las destrezas importantesque se necesitan para el aprendizaje del capítulo 14.
Leer gráficos de líneas
Del 1 al 4, usa el gráfico de la derecha. 1. ¿Cuánto dinero se recaudó por la venta de
agua embotellada en el mes de marzo?
2. ¿Fueron las ventas en agosto mayoresque en septiembre?
3. ¿Cuáles fueron los dos meses con lamisma cantidad de ventas?
4. ¿Cuánto más se vendió en julio queen abril?
Leer gráficos de barrasDel 5 al 8, usa el gráfico de la derecha.
5. ¿Qué deporte prefiere la mayoría delas personas?
6. ¿Qué deporte es el menos preferido?
7. ¿Cuántas personas eligen el teniscomo deporte favorito?
8. ¿Cuántas personas más que los queprefieren atletismo prefieren fútbol?
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
gráfico circular
gráfico de barras doblegráfico de líneas doble
PREPARACIÓN
gráfico de barras Un gráfico que permite representar
gráficamente un conjunto de datos acerca de variables de tipocualitativas o cuantitativas, mediante barras rectangulares delongitud proporcionales a los valores representados.
gráfico de líneas Es un gráfico útil para comparar dos conjuntosde datos que cambian con el tiempo o para mostrar la tendenciasde un solo dato que cambia con el tiempo, mediante una líneapoligonal o quebrada.
gráfico circular Un gráfico que muestra la relación entre las partesde los datos con el todo y con otras partes.
VENTAS DE AGUA EMBOTELLADA
MESES
$1400
$1200
$1000
$800
$600
$400
$200
0
D Ó L A R E S
M a r z o A b
r i l M
a y o J u
n i o J u l i o
A g o s t o
S e p t i e m
b r e
249CAPÍTULO 14
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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L E C C
I Ó N
250
Paso
Paso
Paso
100
90
80
7060
50
40
30
20
10
0 Visitas
a espectáculos
Tipo de programa de arte
P o r c e n t a j e ( % )
Visitasa museos
de arte
Visitasa artistas
Valparaíso Araucanía
Escuelas básicas conprogramas de arte
Gráficos de barrasOBJETIVO: mostrar y analizar datos en gráficos de barras.
PROBLEMA Muchas escuelas promueven actividades relacionadascon las artes. En la tabla se muestran los porcentajes de las escuelasbásicas que ofrecen programas de arte extracurriculares en dosregiones del país. ¿En qué región hay más escuelas que ofrecen visitasa museos de arte?
Un gráfico de barras es una forma útil de mostrar y analizardatos que se agrupan en categorías. Un gráfico de barra doble es útil para comparar dos conjuntos de datos donde las variablespueden ser cualitativas o cuantitativas.
Ejemplo 1 Usa los datos de la tabla para hacer ungráfico de doble barra.
Determina una escala adecuada. Los números varían de
34% a 82%. Entonces, puedes usar una escala de 0% a 100%.
Usa los datos para determinar el largo de las barras.
Haz las barras del mismo ancho.
Usa diferentes colores para representar los diferentes
conjuntos de datos.
Los siguientes datos muestranla asistencia a las últimas cincovisitas. ¿Qué escala se puedeusar para hacer gráficos de lossiguientes datos?
45, 63, 24, 42 y 36
Vocabulariográfico de barra
gráfica de barra doble
Escuelas básicas con programas de arte
RegiónVisitas a
espectáculos
Visitas a
museos de arte
Visitas a
artistas
Valparaíso 82% 38% 37%
Araucanía 75% 69% 34%
En la comparación de las visitas a los museos de arte, la Región de laAraucanía tiene la barra más alta.
Entonces, las escuelas básicas de la Araucanía ofrecen más visitasa museos de arte que las escuelas de Valparaíso.
Aprende
Asegúrate de• incluir un título.• rotular las escalas.• crear una leyenda otabla de datos.
Fuente: Elaboración propia a partir de datos extraídos de la páginahttp://www.ine.cl/filenews/files/2006/agosto/pdf/ninos_chile.pdf
Fuente: Elaboración propia a partir de datos extraídos de la páginahttp://www.ine.cl/filenews/files/2006/agosto/pdf/ninos_chile.pdf
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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251CAPÍTULO 14
50
40
30
20
10
0Películas
Tipo de entretención
P o r c e n t a j e ( % )
Televisión Espectáculosen vivo
HombresMujeres
Formas de entretenimientofavoritas
1. A partir de la información del gráfico del Programa de arte en las escuelas básicas de la páginaanterior, Francisca dice que las visitas a los museos de arte en Valparaíso son mayores que lasvisitas a espectáculos en la Araucanía. ¿Tiene razón Francisca en su aseveración? ¿Por qué?
USA LOS DATOS Del 6 al 8, usa la tabla.
6. Usa los datos de la tabla para hacer un gráficode doble barra.
7. ¿Qué tipo de ayuda financiera ha disminuidodesde hace diez años hasta esta temporada?
8. Compara la ayuda financiera total de hace diezaños con el total de esta temporada. ¿Qué tipode ayuda muestra la mayor diferencia?
USA LOS DATOS Del 2 al 5, usa la tabla.
2. Cuál es el entretenimiento favorito de las mujeres?
3. Compara las barras correspondientes de los hombres ylas mujeres.¿En cuál se muestra la mayor diferencia?
4. ¿Qué podrías interpretar acerca de la diferencia queexiste entre las barras que representan Espectáculos envivo?
Ayuda financiera para la kermesse del colegioEl Bosque (en miles de pesos)
Venta por
entradas
Contribuciones del
Centro de Padres
Contribución
del colegio
Hace diez años 470 000 350 000 60 000
Esta temporada 520 000 570 000 50 000
Práctica adicional en la página 262, Grupo A
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
Comprensión de los aprendizajes
5. Explica los pasos que debes seguir parahacer un gráfico de barras. Para tu explicación, analiza elgráfico anterior.
9. ¿En qué casos debemos utilizar un gráfico de barradoble para mostrar una infomación?
10. Si quisieras representar en un gráfico datos de lacantidad de agua caída en invierno en Chile. ¿Quégráfico sería el más adecuado?
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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L E C C
I Ó N
252
Diagrama de puntosOBJETIVO: usar diagramas de puntos para leer y organizar datos.
PROBLEMA La tabla de abajo muestra la estatura de un grupo de alumnosde 6° básico. ¿Cuántos alumnos miden menos de 156 cm? Respuesta: 9alumnos. ¿Cómo determinaste la cantidad de alumnos que medían menos de156 cm? Respuesta: contando la cantidad de valores menores a 156.
Un diagrama de puntos es una gráfica utilizada para ilustrar un númeroreducido de datos. Este diagrama muestra cada uno de los elementos de unconjunto numérico por encima de una recta (eje horizontal) y se puede usarpara mostrar la cantidad de veces que aparece cada valor. Al graficar, sepuede representar tanto con “puntos” como con “equis”..
Aprende
Vocabulariodiagrama de puntos
valor atípico
Escribe los númerosrepresentados por lospuntos A, B y C.
A B C
0 10 20
La mayor cantidad de X aparece sobre el número 5.Esto significa que corrió 5 kilómetros con mayor frecuencia.
Actividad
Materiales ■ papel cuadriculado
Trazar una línea horizontal con
el valor mínimo colocado en el
extremo izquierdo. Sleccionar
una escala y, utilizando
intervalos regulares, marcar
la escala hasta que el valormáximo sea alcanzado.
Para cada valor numérico
presente en la tabla de datos,
colocar un punto sobre la escala
de valores en la recta numérica.
Cuando el valor numérico
aparece más de una vez, apilarlos puntos uno encima de
otro. Escribe un título para el
diagrama.
Mira el diagrama que construiste. La mayor parte de los datos seconcentran entre 150 y 158 centímetros. El valor 164 es un valor
atípico ya que está separado del resto de los datos.
¿Qué sugiere el valor atípico acerca de las estaturas de los alumnos?
Paso Paso
Construir un diagrama de puntos.
Estatura en centímetros de un
grupo de alumnos de sexto
156 152 152 164
154 158 154 164
152 156 152 150
154 156 158 152
6
5
4
3
2
1
0
150 152 154 156 158 160 162 164 166
C a n t i d a d d e a l u m n o s
Estatura de los alumnos de 6º básico
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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253CAPÍTULO 14
10 15 20 25 30 35 40
X XXXXX X
XXXX XX
X X
Temperatura en 15 días (en ºC)
Haz un diagrama de puntos con los datos. ¿Cuál fue la cantidad más común de votos?
Comienza por ordenar los datos. Después dibuja una X encima de los números en una recta numérica
para mostrar los datos.
Para los ejercicios 2 a 5, usa el diagrama de puntos Temperaturas en 15 días.
2. El diagrama de puntos muestra las temperaturas registradas durante
15 días de otoño. ¿Cuántos días hubo una temperatura menor a 20º?
3. ¿Cuántos días la temperatura fue más alta? ¿Cómo lo sabes?
4. Explica ¿Cuál sería un valor atípico de temperatura?
¿Por qué?
Para los ejercicios 6 a 8, usa el diagrama de puntos de Edades de los campistas. El diagrama de puntos
muestra las edades de los campistas en un camping de scouts.
5. ¿Cuántos campistas hay en el camping?
6. Escribe la diferencia de edades entre el menor de loscampistas y el mayor.
7. ¿Existe un valor atípico?
8. Haz un diagrama de puntos con los datos.
Práctica con supervisión
1. Los datos muestran la cantidad de votos por curso en una elección de Centro de Alumnos:
35, 15, 11, 17, 31, 21, 15, 21, 8, 15, 20, 34
Comprensión de los aprendizajes 9. Observa el diagrama de puntos de los ejercicios
6 a 8. ¿De qué edad hay mayor cantidad deniños?
10. ¿Cuál es el valor atípico de estos datos?
11. ¿Qué tipo de información se puede representarde mejor forma en un diagrama de puntos?
12. Observa el diagrama de puntos de los ejercicios
6 a 8. ¿De qué edades hay igual cantidad de niños?
A 7 y 13 C 11 y 15
B 8 y 10 D 9 y 12
Práctica independiente y resolución de problemas
119 12 1413 157 108
X XX XX
X
X X
X
X
X
X
X
X
X X
Medallas olímpicas ganadas por 27 países
8 88 59 12 11 57 38 17 14 28 28 26 25 23
18 8 29 34 14 17 13 13 58 12 97 10 9
Edades de los campistas
Práctica adicional en la página 262, Grupo B
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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254
L E C C
I Ó N
Escribe cada ejercicio en formade una fracción en su mínimaexpresión.
1. 6 de 10
2. 12 de 32
3. 451354. 78 de 99
5. 125500
Vocabulariográfico circular
Ejemplo 1 Usa el gráfico circular.
PROBLEMA Casi todos tenemos un color preferido. También haymuchas personas a las que no les gustan mucho ciertos colores.Los gráficos circulares muestra los resultados de una encuesta quese aplicó a las niñas del 6° B de diferentes escuelas de la comuna.¿Cuál es la diferencia entre el porcentaje de las niñas que eligen elmorado como el color que menos les gusta con el porcentaje deniñas que elige el amarillo como color que menos les gusta?
Un gráfico circular es útil para comparar las partes de los datoscon el todo y con otras partes.
Gráficos circularesOBJETIVO: analizar datos de gráficos circulares.
Aprende
Rojo4%
Azul2%
Amarillo13%
Morado26%
Gris12%
Verde13%
Anaranjado30%
Color que menos les gusta
Identifica las partes en el gráfico que representan el porcentaje deniñas que tienen como color menos preferido el amarillo y el morado.Compara dichos porcentajes.
El 26% de las personas eligió el morado y el 13% eligió el amarillo.
Entonces, el doble de las personas eligió el morado como el color quemenos les gusta en relación con quienes eligieron el amarillo.
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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255CAPÍTULO 14
1. En el ejemplo 2, el 4% de las personas encuestadas eligió el rojo comoel color que menos les gusta y el 12% eligió el gris. ¿Cuál es la diferencia entre el porcentaje de laspersonas que eligieron el gris y el porcentaje de las que eligieron el rojo?
Color que menos lesgusta a los niños
12 %24 %
2 %
12 %
3 %3 %
4 %
20 %20 %
Del 2 al 4, usa el gráfico circular de la derecha.
2. Escribe una fracción irreductible para representar el númerode niños que eligieron el morado o el gris como el color conrespecto al total que menos les gusta.
3. ¿Qué porcentaje representan los niños que eligieron el amarillocomo el color que menos les gusta?
4. ¿Cuál es la diferencia entre el porcentaje de niños queeligieron el gris como el color que menos les gusta con elporcentaje de niños que eligió el verde?
5. Explica por qué usarías un gráfico circularpara comparar los resultados de una encuesta.
Práctica con supervisión
Otra forma de mostrarlos datos del gráficocircular de arriba esusar fracciones.
Idea matemática
Ejemplo 2 Usa el gráfico circular.
Halla la parte que representa el número de niñas queeligieron el azul como color preferido.
105 niñas eligieron el azul como su color preferido.
Suma el número de niñas que eligieron cada colorpara hallar el número total de niñas que participaronen la encuesta.
105 + 18 + 9 + 60 + 69 + 27 + 12 = 300
Escríbelo como una fracción en su mínima expresión:
105
___
300 = 7
__
20
Entonces, 7
__
20 de todas las niñas encuestadas eligieron el azul
como color preferido.
¿Qué fracción del total de niñas encuestadas eligió el azulcomo su color preferido?
Colores que prefieren las niñas
60
12
69
27
105
18 9
olores que prefieren las niñasolores que prefieren las niñas
Colores que prefieren las niñasColores que más prefieren las niñas
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256
Libros de la bibliotecadel colegio (CRA)
Fábulas 9%
Obras dramáticas 12%
Leyendas 31% Cuentos48%
Costo de materiales para pintar
Diluyentede pintura,$ 480
Pincelo rodillo,$ 400
Pinturaazul,$ 720
Cubierta detela, $ 200
Pinturablanca,$ 600
Comprensión de los aprendizajes
13. Bárbara compro tres artículos de librería que lecostaron: $ 375, $ 915, y $ 435. ¿Cuál es el valortotal de sus compras?
14. Halla 2
__
5 + 1
__
2 .
15. En un gráfico circular se muestran los resultadosde una encuesta a 320 personas. ¿Qué fraccióndel gráfico representaría a las 100 personas que
contestaron "sí"?
A 4
___
15 B 3
___
10 C 5
___
16 D 3
__
8
Del 6 al 9, usa el gráfico circular de la derecha.
6. Escribe una fracción reducida a su mínimaexpresión para representar el costo del diluyente
de pintura en comparación con el costo total delos materiales para pintar.
7. ¿Qué tres ítems combinados forman 3
_ 4 del
costo total?
8. ¿Qué conclusión puedes sacar acerca del costode la pintura? ¿Es válida tu conclusión? Explica.
9. ¿Cuál es la diferencia entre el costo de una cubiertade tela y el costo de la pintura blanca más un pincelo un rodillo?
Del 10 al 12, usa el gráfico circular de la derecha.
10. ¿Cuál es la diferencia entre los porcentajes de librosde leyendas con respecto al total de libros de labiblioteca del colegio?
11. Razonamiento Claudia dijo que "Aproximadamente 1de cada 2 libros de la biblioteca eran de cuentos. ¿Esverdadero lo que dijo Caudia? Explica.
12. ¿Cuál es la pregunta? La respuestaes que, cuando se combinan, son casi el doble delporcentaje de los libros de leyendas.
Práctica adicional en la página 262, Grupo C
Práctica independiente y resolución de problemas
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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257CAPÍTULO 14
1. Escribe una pregunta sobre las personas quetenían entre 5 y 9 años en el año 1992.
3. Escribe una pregunta de resta y una preguntade suma sobre el gráfico de 2002.
2. Escribe una pregunta comparativa sobre las personas
que tenían entre 60 y 64 años en 1992.
4. Escribe dos preguntas donde compares losdatos de los gráficos de 1992 y 2002.
Resolución de problemas Usa los datos de
las pirámides de población para escribir preguntas.
Responde a tus preguntas.
Escribir preguntasLos estudiantes de la clase del profesor
Escobar aprendieron que una pirámide de
población es un tipo especial de gráficode barras: un gráfico donde se muestra la
distribución de la población según la edad y
el sexo. Los intervalos de edad se escriben
en la escala vertical y las barras se extienden
hacia la izquierda y hacia la derecha de esa
escala. Las barras comparan la población de
individuos de sexo masculino y femenino en
millones y en diferentes intervalos de edad. La
pirámide de población es como un gráfico de
barras dobles, porque muestra datos sobre dos
conjuntos. Los censos de población se realizan
cada 10 años en Chile. El último, se llevó a
cabo en 2012. Los dos censos anteriores
(1992 y 2002) arrojaron estas pirámides de la
población chilena. Los estudiantes escribieron
las siguientes preguntas y respuestas sobre la
pirámide de población del año 2002:
• ¿Había más hombres o más mujeres que tenían entre 20 y 24 años en el año 2002? Había aproximadamente 10 millones de hombres que tenían esas edades.
• ¿Había más hombres o más mujeres que tenían entre 75 y 79 años? Compara las barras de la izquierda y la derecha. Había más mujeres.
• ¿Cuántos hombres más que mujeres tenían entre 10 y 14 años aproximadamente? Estima los números de las barras de la izquierda y de la derecha. Había aproximadamente
1 millón de hombres más.
Hombres
por sexo y edad
80 y +75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14 5 – 9 0 – 9
800 600 400 200 0 200 400 600 800
en miles
Mujeres
Hombres
Mujeres
Censo 1992
Hombres
por sexo y edad
80 y +75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14 5 – 9 0 – 9
800 600 400 200 0 200 400 600 800
en miles
Mujeres
Hombres
Mujeres
Censo 2002
www.ine.es
257CAPÍTULO 14
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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258
L E C C
I Ó N
Usa la destrezaPROBLEMA Roberto vive en Santiago, donde la temperatura promedio en enero es de 24 ºC
aproximadamente y en julio de 18 ºC. Roberto se cambiará de ciudad para vivir y debe elegiruna de las siguientes ciudades:Arica, Antofagasta, Temuco, Puerto Montt o Chañaral.
Hizo una lista de requisitos. Le gustaría que latemperatura promedio en enero no se alejara másde 4 °C del promedio de la temperatura de Santiagoen enero.
Le gustaría que la temperatura promedio de julio nofuera menos de 13 °C y, por último, vivir muy cercadel océano Pacífico ¿Qué ciudad debe elegir Roberto?
¿Antofagasta es la única ciudad quecumple con los requisitos de Roberto?
Usa el gráfico para identificar los detalles.Luego repasa.
Antofagasta, Arica, y Chañaral cumplen conlos tres requisitos de Roberto.
Entonces, Roberto debería mudarse a Antofagasta, Arica o Chañaral.
Piensa y comentaHalla información en el gráfico para responder a cada pregunta.
Requisitos Arica Antofagasta Temuco Chañaral Puerto Montt
La temperatura promedio
en enero no se aleja más
de 4 °C del promedio de la
temperatura de Santiago en
enero.
✓ ✓ ✓
Temperatura promedio de julio
no es menos de 13 °C. ✓ ✓ ✓
Vivir muy cerca del océano
Pacífico ✓ ✓ ✓ ✓
a ¿Qué ciudad presenta la mayor diferencia detemperaturas promedio?, ¿cuál es esa diferencia?
b Calcula la diferencia de temperaturas promediosde cada ciudad. Ordena las ciudades de menor amayor diferencia de temperaturas.
c Halla la diferencia entre las temperaturas promediode Antofagasta y Chañaral en enero. ¿Qué dosciudades tienen la misma diferencia en julio? ¿Cuáles la diferencia?
d ¿Por qué un gráfico de barras doble es adecuadopara representar estos datos?
Destreza: usar un gráficoOBJETIVO: resolver problemas usando un gráfico.
Ciudad
T e m p e r a t u r a ( ˚ C )
EneroJulio
Temperatura promedio en enero y julio
2220
16
21
13
16
13
7
14
6
0
5
10
15
20
25
Arica Antofagasta Temuco Chañaral Pto Montt
Fuente: www.meteochile.gob.cl
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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259CAPÍTULO 14
Música favorita de losestudiantes de 6º básico
Otra
6%Clásica10%
Rock and roll58%
Jazz4%
Hip-Hop18%
Reggaeton
4%
Aplicaciones mixtas
Del 1 al 3, usa el gráfico.
1. Cristián vive en Temuco y se quiere mudar a otra ciudad. La temperatura promedio de Temuco es de 16°Cen enero y 7°C en julio, aproximadamente. Él quiere que la temperatura de la ciudad a la cual se mudarásea más cálida en julio que en la ciudad dónde vive y 7°C más cálidas que las temperaturas de su ciudad en
enero (Temuco). ¿Qué ciudad de las presentes en el gráfico debe elegir?Primero, haz una lista de las ciudades y los requisitos de Cristián.
Del 4 al 8, usa el gráfico circular.
4. ¿Qué tres tipos de música combinados son tan populares comoel Hip–Hop? Escribe el porcentaje de cada uno de los que elijas.
5. ¿Cuántas veces mayor es el número de estudiantes que prefierenHip–Hop que el número que prefiere "otro tipo de música"?
6. Imagina que 10 estudiantes dijeran que prefieren otro tipo demúsica. ¿Cuántos estudiantes crees que elegirían Hip–Hop?Explica.
7. Escribe una fracción irreductible que sea equivalente alporcentaje de estudiantes de sexto básico que eligieron lamúsica reggaeton como música favorita.
8. Explica por qué se usa un gráfico circular pararepresentar la música favorita de los estudiantes de sexto básico.
2. ¿Qué pasaría si Cristián también consideraramudarse a Iquique, donde la temperatura en eneroes 28 ºC y en julio es 18 ºC? ¿Cambiaría eso laciudad que eligiera? ¿Por qué?
3. ¿Cuál es la ciudad que presenta mayortemperatura promedio en enero?
CiudadTemperatura
en julio
Temperatura
en enero
Arica
Antofagasta
Santiago
Chañaral
La Serena
EneroJulio
Temperatura promedio en enero y julio
T e m p e r a t u r a ( ˚ C )
05
10
15
20
25
30
Arica Antofagasta
Ciudades
Santiago Chañaral La Serena
2320
2421 21
1613
18
14
18
Resolución de problemas con supervisión
Práctica adicional en la página 262, Grupo D
Fuente: www.meteochile.gob.cl
Luego, haz una marca en los requisitos quecumple cada ciudad.
Por último, identifica la ciudad que cumple
con todos los requisitos de Cristián.
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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260
Aprende
Paso
Paso
Paso
Tallo Hojas
2 2 4 4 5 5 6 7 8 8 8
3 0 1 1 1 1 1 2 4 5 6
4 2
5 2
6 2
El dígito de las
decenas de cada
número es sutallo.
El dígito de las
unidades de cada
número es su hoja.Edificios de Chile
5 | 2 representa 52.
Diagramas de tallo y hojasOBJETIVO: representar datos adecuadamente haciendo undiagrama de tallo y hojas.
PROBLEMA ¿Cómo puedes organizar los siguientesdatos para que sea más fácil interpretarlos?
Ordena de menor a mayor.
1. 92, 69, 39, 582. 36,27,103,2453. 75, 84, 80, 874. 118, 124, 132, 111
5. 154, 162, 95, 131
Vocabulariodiagrama de tallo y hojasUn diagrama de
tallo y hojas es unatabla que muestragrupos de datosordenados segúnsu valor posicional.Muestra el valor decada dato.
ActividadHaz un diagrama de tallo y hojas usando los datos de los edificios.Escribe todos los números aunque se repitan.
Ordena los datos de menor a mayor.
22, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 28, 28, 28,
30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 34, 35, 36, 42, 52, 64
Separa los datos en grupos, los que tengan el mismo tallo.
Enumera los tallos, en orden, en una columna.
Escribe cada conjunto de hojas en orden, de menor a mayor, a la derecha de su
tallo. Ponle un título a tu diagrama.
64 52 34 42 31
31 30 32 31 31
22 25 28 28 25
28 28 36 24 24
35 24 26 31 27
Cantidad de pisos de algunos edificios altosde Chile
L E C C
I Ó N
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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261CAPÍTULO 14
Comprensión de los aprendizajes
1 2 2 5 7 7 7 7 9
2 5 6 7
3 4 6
4 1 4
5
6 0 1
7 0 4
Tallo Hojas
Cantidad de pisos de losedificios de Chicago
76
79
69
92
73
67
73
85
86
85
81
82
94
92
93
98
86
89
61
86
76
74
75
80
Resultados de los partidosde básquetbol
Para 5–8, usa los datos de las temperaturas de diciembre.
5. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas.
6. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿Y la temperaturamáxima?
7. ¿Qué temperatura se registró con más frecuencia?
8. ¿Se registraron más temperaturas en los 20, los 30 olos 10 grados?
Para 9 –11 y 14 usa el diagrama de tallo y hojas.
1. Vuelve al diagrama de tallo y hojas Edificios de Chile.¿Cuántos edificios tienen 31 pisos?¿Cómo se ve esto en el diagrama?
Para 2–4, usa los puntajes de básquetbol.
2. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas.
3. ¿Cuál fue el puntaje más bajo del equipo? ¿Y el más alto?
4. Explica la relación entre una hoja y un tallo en eldiagrama de tallo y hojas que hiciste con los datos del puntajede los partidos de básquetbol.
13. Representa gráficamente el par ordenado (2,5)en una cuadrícula de coordenadas.
14. ¿Cuántos edificios de Chicago se incluyen enlos datos del diagrama de tallo y hojas anterior?
A 8 B 19 C 20 D 29
28º 31º 28º 29º 26º 19º
28º 32º 32º 26º 27º 28º
31º 29º 29º 27º 25º 20º
23º 27º 28º 27º 25º 33º
Temperaturas máximas de diciembre enRancagua (en º C)
12. Haz un diagrama de tallo y hojas. Responde: ¿Cuántaslíneas de taxi–bus tienen entre 30 y 40 buses?
Líneas de taxi–bus en la ciudad de Chillán
33 32 26 31
44 42 15 34
34 29 33 26
DATO BREVE Chicago es considerada la ciudad dondenacieron los rascacielos. El primero fue un edificio de tan solo12 pisos construido en el año 1885.
9. ¿Cuántos edificios tienen entre 10 y 19 pisos?
10. ¿Cuántos edificios tienen exactamente 17 pisos?
11. Explica ¿Qué tipo de información se puederepresentar en un diagrama de tallo y hoja?
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
Práctica adicional en la página 262, Grupo E
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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262
Comida
Alojamiento
Recreación
Transporte
Otros
Gastos de un estudiante universitario
5%
10%
15%
25%
45%
Práctica adicional
P a r t e d e l d í a
Número de personas
Momento del día para ir al cine
Mañana
Tarde
Noche
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Grupo A Usa la tabla de la derecha.
1. Usa los datos de la tabla para hacer un gráfico debarras doble.
2. ¿Qué día fue mayor la diferencia entre el númerode botellas de agua mineral y de bebidas defantasía que se vendieron?
Grupo B Diagrama de puntos.
1. ¿Cuántos días fueron considerados en eldiagrama de puntos?
2. ¿Cuántos días se registró la temperaturamás alta?
Grupo C Usa el gráfico circular de la derecha.
1. ¿Qué categoría constituye el porcentaje mayor delos gastos del estudiante?
2. ¿Qué categorías combinadas suman un poco másde un cuarto de los gastos del estudiante?
3. ¿Qué tres categorías combinadas suman la mitadde los gastos del estudiante?
Grupo D Usa el gráfico de la derecha.
1. Pedro llegó a la conclusión de que la noche es elmomento que más les gusta a las personas parair al cine. ¿Es válida su conclusión?
2. La pregunta de la encuesta fue: “A mí me encantair al cine. ¿Cuándo prefieres ver películas tú?” Siel gráfico es confuso, explica por qué.
Grupo E Diagrama de tallo y hojas.
1. En el diagrama de tallo y hojas aparece el nº decalzado de niños de 6º básico. ¿Cuántos niñosfueron encuestados?
2. ¿Cuántos niños calzan el nº mayor?
Ventas del quiosco día sábado
Viernes Sábado Domingo
Agua mineral 19 25 21Bebidas de
fantasía13 26 14
Número de calzado de niños de 6º básicoTallo Hojas
4 0 0 0 0 1 1 1 1
3 7 7 7 7 7 8 8 9 9
8
xxxxxx
9
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxx
10 11 12 13
xxx
14 15(Temperatura (en ºC)
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
263CAPÍTULO 14
!GR ÁFICOS Y M ÁS GR ÁFICOS!¡En sus marcas!2 equipos con 3 jugadores cada uno
¡Listos!• tarjetas con preguntas
(Libro del profesor)• 2 monedas distintas• hoja de papel cuadriculado
Mezclen las tarjetas con preguntas y pónganlasboca abajo en un mazo.
Los jugadores lanzan una moneda al aire paradeterminar cuál será el equipo 1 y cuál el equipo 2.
Cada equipo elige una moneda y la pone en elcasillero de SALIDA.
El equipo 1 saca una tarjeta de preguntas delmazo y responde a la pregunta mirando la hojade papel cuadriculado.
El equipo 2 comprueba la respuesta. Si es correcta,el equipo 1 mueve su moneda el número decasilleros que indica la tarjeta y cede el turno alequipo 2.
Si la respuesta es incorrecta, es el turno del otroequipo.
Gana el primer equipo que avanza hasta elcasillero LLEGADA.
S A L I D A
L L E G A D A
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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264
Repasar el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.
1. Un __________ es útil para comparar dos conjuntos de datos quese pueden contar.
2. Un __________ es útil para representar información que cambia con el tiempo.
3. Un __________ es útil para comparar las partes de los datos con el todoy con otras partes.
Repasar las destrezasDel 4 al 5, usa la tabla de la derecha.
4. Usa los datos de la tabla para hacer un diagramade tallo y hoja.
5. ¿Entre qué años nacieron más niños que niñas?
Usa el gráfico de la derecha.
6. Cuando Marco miró el gráfico del total de ventasde Juan, Marco y Pedro, llegó a la conclusión deque Juan vendió más del doble que Marco oPedro ¿Es válida su conclusión? Explica.
7. ¿Cuál vendedor obtuvo más ganancias porsus ventas? Explica cómo lo sabes.
8. ¿Por qué se utilizó un gráfico de barras simple paraorganizar la información? Fundamenta.
Repasar la resolución de problemas
V e n
d e d o r
Número de ventas
Juan
Marco
Pedro
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Ventas
VOCABULARIO
gráfico de líneas
gráfico circular
gráfico de barras doble
Repaso/Prueba del capítulo 14
Número de bebés nacidos2008 2009 2010 2011
Niños 47 39 61 58
Niñas 53 46 42 39
9. ¿Cuál es el número que más se repite en la tabla? ¿Qué se puede interpretar de esa información?
10. ¿Qué intervalo elegirías si estuvieras haciendo ungráfico de barras usando los datos de la encuestaMúsica favorita de la página 259? ¿Por qué?
11. Francisca dice que según la tabla hay más niñasque niños en el equipo. Explica cuál es el error deFrancisca.
12. Comenta con un compañero cuándo esconveniente usar un gráfico de barras simple o ungráfico circular.
Equipo de gimnasia
Edades
Niños 11 13 12 11 12 11
Niñas 10 14 12 11 12 12
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Enriquecimiento •Re laciones entre gráficos
Sofía sale a pasear en bicicleta. En el siguiente gráfico se cuenta una historia sobre
su paseo. En él se muestra la relación entre la velocidad y el tiempo de Sofía.
• La velocidad de Sofía aumenta poco a poco.
• Luego Sofía avanza a una velocidad constante.
• Avanza más lentamente cuando sube una colina.
• Pedalea a una velocidad lenta constante y luegoaumenta su velocidad nuevamente cuando baja lacolina.
• Alcanza una velocidad mayor que antes y lamantiene hasta que reduce la velocidad y luegofrena de golpe.
Ejemplo Vas en bicicleta hasta un parque, juegas al tenis yluego vuelves a casa en bicicleta. Haz un gráficoen el que muestres el tiempo que anduviste enbicicleta y la distancia que recorriste.
En tu gráfico se mostrará un aumento en la distancia hasta que te detienes en el parque.El tiempo que pasaste en el parque no cambia la distancia. Cuando vuelves a casa,la distancia aumenta nuevamente hasta que llegas a destino.
PruébaloDescribe la historia que se narra en cada gráfico.
1. 2.
3. Haz un gráfico en el que muestres el tiempo quedemoras y la velocidad mientras caminas hacia laparada del autobús, mientras esperas el autobúsy mientras estás sentado en el autobús cuando sedetiene dos veces rumbo a la escuela.
4. Haz un gráfico en el que muestres el tiempoque demoras y el volumen de agua de una tina.Llenas la tina, te sumerges y te quedas en ella.Le agregas agua caliente, te quedas allí otrorato y luego vacías la tina.
Explica qué cambiaría en el gráfico del problema 1 si un jugador del equipo atrapara lapelota.
POTENCIA DE PEDALEO
Paseo en bicicletade Sofía
Tiempo V e l o c i d a d
Tu paseo enbicicleta
Tiempo D i s t a n c i a
Saltos de Carla desde el trampolín
Tiempo A l t u r a ( e n m )
s o b r e e l s u e l o
Tiro libre directo (de fútbol)
Metros hasta el arco A l t u r a ( e n m )
s o b r e e l s u e l o
265CAPÍTULO 14
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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266
Aprendizaje en espiral
Números y operaciones Patrones y álgebra
5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la quecorresponde al siguiente planteamiento? Unnúmero es aumentado en tres unidades yluego se le resta 6.
A 3 + x – 6 C ( x + 3) – 6
B 3 – x – 6 D (3 – x ) – 6
6. ¿Cuál es valor de la incógnita en la siguienteecuación?
x – 5 = 23 – 3
1. Catorce centésimos, escrito en cifras es: A 14
B 0,14
C 0,014
D 1,4
2. Al sumar 3 + 4 resulta:
A 7
B 7
C 7
D 7
3. La suma de 0,26 + 0,24 es:
A 2,93
B 0,5
C 1,23
D 8,57
4. Ordenar de mayor a menor los siguientes números:
0,2 ; ; ; 0,6 ; 0,4
A 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; ;
B ; 0,6 ; ; 0,4 ; 0,2
C 0,6 ; 0,4 ; 0,2 ; ;
D ; ; 0,6 ; 0,4 ; 0,2
25
512
4960
16
760
717
1
2
9
10
9
10
9
10
9
10
9
10
1
2
1
2
1
2
1
2
7. Los siguientes números son los que dijeronalgunos niños del curso cuando jugabana crear un patrón. ¿Cuál es el patrón quesiguieron?
45, 57, 69, 81, 93….
A Sumar 10 C Sumar 12
B Restar 12 D Restar 10
8. José está contando mentalmente. Comenta lasecuencia de números que contó: 5; 12; 26;54; etc. ¿Qué número viene después del 54?
A 110 C 100
B 108 D 128
9. ¿Qué valor de "b" hace que la siguienteecuación sea verdadera?
1400
b = 14
A 100
B 10
C 1 000
D 10 000
A 25
B 10
C 15
D 20
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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267CAPÍTULO 14
16. Observa el diagrama de tallo y hojas.
15. El siguiente gráfico muestra las preferencias queexisten por tres tipos de frutas.
17. El 6° A y 6° B aportaron alimentos en la campañade recolección para un hogar de ancianos de lacomuna. Según el gráfico, ¿cuántos kg de azúcarse recolectaron en total?
A 35
B 40
C 65
D 70
piña25%
manzana40%
naranja35% Frutas
¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
A La menor preferencia la obtuvo la naranja.
B La mayor preferencia la obtuvo la manzana.
C La diferencia que hay entre la preferencia pornaranja que por manzana es de un 6%.
D La diferencia que hay entre la preferencia por
piña que por manzana es de un 1%.
¿Cuál es la cantidad mayor de boletos vendidospara la función de cine en un día?
A 37 boletos C 54 boletos
B 45 boletos D 73 boletos
Geometría – Medición Datos y probabilidades
A Punto A C Punto C
B Punto B D Punto D
14. ¿Qué punto representa (4,3) en el siguiente gráfico?
x
y
0 1 2
2
3
3456
7
8
9
54 6 7 8 9
1
A
B
C
D
10. El perímetro del triángulo es:
Cantidad de boletos vendidos para lafunción de cine en distintos días
tallo hojas
1 1 1 4
2 0 2 6 8
3 1 2 7 7 7
4 0 2 2 3 5
A 1,904 C 19,04
B 19,044 D 190,4
11. El área de un triángulo es de 36 cm2. Si laaltura mide 6 cm, ¿cuánto mide la base deltriángulo?
A 10 cm C 15 cm B 12 cm D 8 cm
12. El perímetro de un cuadrado es de 320 cm.¿Cuál es el área del cuadrado?
A 6 400 cm2 C 6 500 cm2
B 6 600 cm2 D 6 000 cm2
13. El perímetro de un rectángulo es de 84 cm.
Si el largo mide 32 cm, ¿Cuál es el área delrectángulo?
A 300 cm2 C 84 cm2
B 320 cm2 D 268 cm2
7,4 cm
6,3 cm 5,340 cm
10
20
30
40
arroz azucar leche
6º A6º B
Alimentos
Cantidad de alimento recolectado
C a n t i d a d
( k g )
32
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Probabilidad de sucesosLa idea importante La probabilidad mide la posibilidad de los sucesos y sienta lasbases para hacer predicciones.
El parque de diversiones más
grande de latinoamérica seencuentra en Chile. Cuentacon casi 40 atracciones yrecibe anualmente a más deun millón de personas.
Imagina que pasas el día en Parque de diversiones y decides llevar un conteo de las personas que se subierona las atracciones que consideras imperdibles, durante un par de horas. En la siguiente tabla se muestra la
cantidad de personas que se subió a los distintos juegos. Observando la tabla, ¿podrías hacer una predicciónrespecto de las preferencias de las personas por un juego en particular?, ¿por qué crees que ocurre esto?
DATO
BREVE
Juegos del Parque de diversiones
Nombre Cantidad de personas que se han subido en un día
Black hole
Raptor
Carrusel
Monga
Tiro al payaso
268
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
resultadoprobabilidad
PREPARACIÓN
experimento aleatorio Experimento cuyos resultados posibleso sucesos no se pueden predecir con certeza.
espacio muestral El conjunto de todos los resultados posiblesen un experimento aleatorio.
probabilidad La medida de cuán posible es que ocurra unsuceso. Su valor está entre 0 y 1.
Comprueba si has aprendido las destrezas importantesque se necesitan para el aprendizaje del capítulo 15.
Fracciones en su mínima expresión
Escribe cada fracción en su mínima expresión. 1. 3
___
12 2. 6
__
9 3. 24
__
40 4. 15
___
40 5. 42
___
56
6. 36
___
78 7. 18
__
75 8. 33
___
55 9. 60
__
96 10. 72
___
120
11. 39
___
90 12. 60
__
72 13. 70
___
130 14. 55
___
200 15. 200
___
600
Fracciones, decimales y porcentajesEscribe cada fracción como decimal y como porcentaje.
16. 3
__
5 17. 1
__
8 18. 9
___
10 19. 3
__
4 20. 7
___
20
21. 14
___
25 22. 1
__
4 23. 7
___
25 24. 4
__
5 25. 9
___
25
26. 3
___
10 27. 7
__
8 28. 3
___
20 29. 1
___
25 30. 4
___
50
Seguro, imposible o posibleIndica si el suceso es seguro, imposible o posible.
31. que la semana que viene tenga más de 7 días 32. que mañana hables por teléfono con un amigo
33. que octubre venga después de septiembre 34. mirar 7 películas en un día
35. caminar 100 km en un día 36. que cinco monedas de $ 100 sean igual a
quinientos pesos 37. que llueva en el desierto 38. sacar una ficha azul de una bolsa de fichas verdes
269CAPÍTULO 15
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Aprende
L E C C
I Ó N
Entonces, Luisa tiene un 25% de sacar cara.
Hay una opción de loscuatro resultados posibles.Se escribe la fracción 1
4.
El resultado de esta fracciónes 0,25 y esto correspondeal 25%.
0,25 = 25100
= 25%
Ejemplo 1Basándote en el diagrama con los resultados, calcula el porcentaje que tiene Luisade sacar cara al lanzar dos veces la moneda.
Una caja contiene 24 botonesrojos y 24 botones azules.Todos los botones tienen elmismo tamaño. ¿Cuál es la
probabilidad de elegir al azarun botón rojo?
Probabilidad de ocurrenciade eventosOBJETIVO: conjeturar posibles resultados en eventos específicos.
Vocabularioexperimento aleatorio
Un experimento aleatorio es una actividad en la que existe laprobabilidad de que haya diferentes resultados. Lanzar una monedaal aire, hacer girar una flecha giratoria o lanzar un dado son ejemplosde experimento aleatorio.
PROBLEMA Luisa lanza una moneda al aire y sabe que tiene solodos resultados posibles de sacar, cara o sello. Si lanza dos veces lamoneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara al lanzaruna moneda?
CC
S
SC
S
La probabilidadde un suceso secalcula como elcociente entrecasos favorables ycasos posibles.
270
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Práctica adicional en la página 276, Grupo B
1. 6 veces un dado
2. 12 veces un dado
3. 60 veces un dado
4. 120 veces un dado
5. Explica ¿Cuál es la fracción que representa mejor la probabilidad de que al lanzar un dado120 veces salga 5?
12. Sabiendo que la probabilidad se calcula dividiendo los resultados favorables por el total de posibilidades.¿Cuál es la fracción que representa la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda al aire?
13. ¿Cuál es la fracción que representa la probabilidad de que salga sello al lanzar una moneda al aire?
14. Si lanzas al aire una moneda de $10 y una de $100 al mismo tiempo, ¿cuántos son los resultados posibles?Completa la tabla para responder.
Realiza el siguiente experimento junto a un compañero. Lancen dos monedas al aire 20 veces. Anoten las veces
que sale cara en cada lanzamiento. Completen la tabla.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1 vez cara cuando se lanzan dos monedas al aire? Escribe la respuestacomo fracción.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1 vez salga sello cuando se lanzan dos monedas al aire? Escribe larespuesta como fracción.
Cuál es la probabilidad, expresada en fracciones, de que:
Marcelo quiere lanzar varias veces una moneda, quiere adivinar las veces que saldrá sello al lanzar:
Respecto a los experimentos realizados por Marcelo responde:
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de caras
6. Salga un número par al lanzar un dado.
7. Salga un número impar al lanzar un dado.
8. Salga un número primo al lanzar un dado.
9. 2 veces una moneda 10. 10 veces una moneda 11. 100 veces una moneda
Escribe la posibilidad de que al lanzar varias veces un dado, este salga 5. Cuántas veces podría salir el 5 si
se lanza:
Moneda de $10
C S
C C C
S M o n e d a s d e $ 1 0 0
271CAPÍTULO 15
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272
A partir de los datos de la tabla, conjeturen las siguientes fracciones para describir sus resultados.
A partir de los datos de la tabla, escribe las fracciones que representan los resultados.
En relación al experimento anterior
En relación al experimento anterior
Observa las tarjetas y escribe una fracción que describa la probabilidad de ocurrencia del suceso si sacas
una tarjeta al azar.
15. 0 caras =
__ 20 16. 1 cara = __
17. 2 caras = __
20. 0 sello =
__ 20 21. 1 sello =
__ 22. 2 sellos =
__
18. ¿¿Cuál es la probabilidad de sacar cara en al
menos una moneda?
19. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 caras?
23. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos unsello?
24. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 sellos?
25. Que el número sea menor que 30.
26. Que el dígito de las unidades sea 2 u 8.
27. Que el dígito de las unidades sea 1, 3 o 4.
28. Que el número sea mayor que 60.
29. Que el número sea un múltiplo de 4.
Realiza el siguiente experimento junto a un compañero. Lancen dos monedas al aire 20 veces. Anoten las veces
que sale cara en cada lanzamiento. Completen la tabla.
2 3 8 15 24 35 48 63 80 101 120 143
Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de caras
Comprensión de los aprendizajes
30. Traza un paralelogramo.31. Halla el resultado 13 · (5 + 8) =
32. Resuelve: 4
__
5 12
___
x
33. Realiza el experimento de lanzar tres monedasa la vez al aire. Usa un diagrama de árbol paraanotar los resultados obtenidos. Conjeturala posibilidad de que al lanzar una monedanuevamente salga cara o sello.
34. En el gráfico semuestra la raza de70 perros inscritos en el AmericanKennel Club. Según elgráfico, ¿A queraza perteneceaproximadamente lamitad de los perros? LabradorBeagle Pastor
AlemánGoldenRetriver
10
20
30
40
60
C a n t i d a d d e p e r r o s ( n ú m e r o )
Raza
Perros inscritos enAmerican Kennel Club
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273CAPÍTULO 15
Fichas de igual tamaño
Anaranjadas Moradas Café Roja Blancas
8 8 5 9 10
Escribir para demostraro contradecirA veces debes evaluar si un enunciado es verdadero o
falso. Puedes usar ideas matemáticas y el razonamiento lógico
para demostrar o contradecir tu respuesta. En una prueba de
matemáticas, Simón lee el siguiente problema con palabras.
En la tabla, se muestra el contenido de una bolsa de bolitas de igual
tamaño. Claudio dice que la probabilidad de elegir al azar una
bolita roja es mayor que la probabilidad de elegir al azar una bolita
de cualquier otro color por separado. ¿Es correcta su afirmación?
Rojo Azul Verde Amarillo
16 12 10 12
Lee la forma en que Simón evaluó la afirmación de Claudio. Para demostrar o contradecir una
afirmación:
• Haz los cálculos matemáticosque sustentarán tu explicación.
• Explica los pasos que seguistey el razonamiento que usaste.
• Resume tu párrafo usando
palabras como entonces y por lo tanto.
• Indica si la afirmación esverdadera o falsa.
Primero, para demostrar o contradecir la afirmación de Claudio,se halla la probabilidad de seleccionar cada color.
(rojo) 16, (azul) 12
(verde) 10, (amarillo) 12
Luego, se comparan las probabilidades.
16/50 > 12/50 > 10/50 > 12/50El rojo tiene mayor probabilidad.
Por último, se escribe una explicación lógica. Es verdad que 16/50
es mayor que 10/50 y que 12/50. Entonces, la probabilidad de elegir
una bolita roja es mayor que la probabilidad de elegir una bolita
de los otros tres colores. Por lo tanto, la afirmación de Claudio es
verdadera.
Demuestra o contradice cada afirmación de acuerdo a la probabilidad de cada grupo de fichas por
separado.
Resolución de problemas Las fichas y las
cuentas se colocan en bolsas diferentes.
1. La probabilidad de elegir al azar una fichablanca es el doble que la de elegir una fichacolor café.
2. La probabilidad de elegir al azar una ficharoja es 9/36, o sea 1/4.
3. La probabilidad de elegir al azar una ficha
blanca es de 8/36, o sea 2/9. 273CAPÍTULO 15
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Aprende
L E C C
I Ó N
Simplifica.
1. 6
___
18 2. 9
___
24
3. 10
___
25 4. 3
___
12
5. 14
___
16
Vocabulariodiagrama de árbol
Cuando necesitas hallar muchos resultados posibles puedes hacer undiagrama de árbol.
PROBLEMA En un circo, los payasos tienen dos opciones de trajes:con lunares o con rayas. Y tienen tres opciones de pelucas: con chapeso moñitos, pelo multicolor o pelo azul. ¿Cuántos disfraces diferentespueden usar los payasos?
Sigue cada rama del diagrama de árbol para encontrar todos los resultadosposibles: {lunares y chapes o moñitos; lunares y pelo multicolor; lunares ypelo azul; rayas y chapes o moñitos; rayas y pelo multicolor;rayas y pelo azul}
Hay 18 resultados posibles.
Ejemplo 1 Usa el diagrama de árbol para saber los diferentes disfraces quepueden usar los payasos del circo.
Ejemplo 2 Camila tiene un dado de seis caras y una flecha giratoria dividida en
tres sectores iguales de colores rojo, azul y verde. Usa un diagrama de árbol paraenumerar los resultados posibles.
Probabilidad y resultadosposiblesOBJETIVO: encontrar los resultados posibles en un experimento.
Flecha giratoria A
Azul VerdeRojo
R, 1R, 2 R, 3 R, 4 R, 5
R, 6 A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5
A, 6 V , 1 V , 2 V , 3 V , 4 V , 5
V , 6
Combina el primer traje depayaso con cada peluca.
Combina el segundo trajede payaso con cada peluca.
274
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Práctica con supervisión
1. Se lanza una moneda tres veces al aire, ¿cuáles son los resultados posibles de obtener? Usa el diagrama deárbol para responder.
8. Explica Explica por qué es útil el uso de diagrama de árbol.
3. Explica cómo te ayuda un diagrama de árbol a enumerar los resultados obtenidos allanzar un dado de seis caras dos veces al aire.
4. Si se realiza un experimento de lanzar una moneda al aire y a la vez sacar una ficha de una bolsa quecontiene 4 fichas numeradas del 1 al 4, ¿cuántos son los resultados posibles?
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica adicional en la página 276, Grupo A
2. Felipe tiene un dado y lo lanza 10 veces. Anota
en la siguiente tabla los resultados obtenidosen cada lanzamiento. ¿Qué puedes predecir sivuelve a lanzar el dado?, ¿cuántos resultadosposibles obtiene?
5. Un restaurante ofrece de plato principal pollo, pescado y carne y de acompañamiento, arroz, fideos, ensaladachilena y papas cocidas. ¿Cuántas combinaciones posibles puede una persona escoger para comer?
6. Claudio y sus compañeros van a ir de campamento. Hicieron una listacon la ropa básica que deben llevar. Si llevan 3 tipos de ropa:a. Un short, un buzo y un pantalón.
b. Una polera y un polerón.c. Una par de zapatillas y un par de sandalias.¿Cuántas combinaciones de ropa podrán realizar durante su estadía enel campamento?
7. Razonamiento ¿Puedes predecir lo que ocurra en un experimento sihas realizado varias veces el mismo experimento?
Comprensión de los aprendizajes
9. Traza un triángulo rectángulo isósceles.
10. Resuelve 23 + x 36.
11. Si lanzas una moneda de $100 al aire veinteveces, ¿cuántas veces podría salir cara?
Caras dadoLanzamientos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
275CAPÍTULO 15
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Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de caras 1 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 1 2
276
Responde.
11. ¿Cuántas veces lanzó las monedas para obtener esos resultados?
12. Cuenta las veces que salió cara en ambas monedas. Escribe como fracción las veces que salió cara enambas monedas.
13. ¿En qué fracción de los experimentos salió al menos una vez cara?
Grupo A1. Los estudiantes de un curso deben tomar un taller de arte y un taller de deporte como actividad dentro
de la jornada de clases. Los talleres de arte son: mosaico, dibujo en 3D, pintura al óleo y papel maché.Los talleres deportivos son: fútbol, básquetbol, vóleibol, tenis, gimnasia artística y patinaje. ¿Cuántascombinaciones existen? Dibuja un diagrama de árbol para responder a la pregunta.
2. Karen elegirá entre una blusa y una falda o unos pantalones de su clóset para vestirse e irse a una fiesta.Encuentra la cantidad de combinaciones diferentes que puede hacer si tiene 3 blusas, 3 pantalones y 3faldas. Usa el diagrama de árbol.
3. En una escuela compran camisetas de fútbol. Cada una tendrá una letra y un número. Las letras posibles sonde la A a la C y los números posibles son del 1 al 5. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Grupo BEn una caja se colocan tarjetas del mismo tamaño 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 8. Eliges una tarjeta al azar.
Escribe la probabilidad que salga.
4. El número 4
5. Un número impar
6. Un número par
Expresa en fracciones las siguientes probabilidades:
7. Lanzar un dado y que salga el número 6.
8. Lanzar un dado y que salga un número compuesto.
9. Lanzar un dado y que salga un número divisible por 2.
10. Lanzar un dado y que salga un número múltiplo de 3.
En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos por Gonzalo al lanzar dos monedas al aire y
anotar el número de veces que salió cara.
Práctica adicional
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277CAPÍTULO 15
¡Preparados!2 a 4 jugadores
¡Listos!• Set de tarjetas para juego• dado• diferentes monedas
Cada jugador elige una moneda y la coloca sobrela SALIDA. Se decide quién empezará.
Mezcla las tarjetas del juego y colócalas bocaabajo en el mazo.
Un jugador toma una tarjeta del mazo.
El jugador debe responder la pregunta.
El otro jugador comprueba la respuesta. Si escorrecta, el jugador lanza el dado, avanza elnúmero de casilleros que saca y es el turno delsiguiente jugador.
Si la respuesta es incorrecta, el jugador no avanza.Es el turno del siguiente jugador.
Gana el primer jugador que alcanza la LLEGADA.
Cómo se juega
SALIDA
LLEGADA
¿Cuáles son las posibilidades?
277CAPÍTULO 15
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278
Repaso/Prueba del capítulo 15
Repasar el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. Un _______________ es una actividad en la que existe la probabilidad de quehaya diferentes resultados.
2. Un ____________________es una forma de organizar la información.
Repasar las destrezasUna caja contiene 4 botones de diferentes colores. Los colores de los botones son rojo, blanco, azul y verde.
Si se realiza el experimento de sacar botones 10 veces:
3. ¿Cuál será el diagrama de árbol que represente lasituación? Dibújalo.
4. ¿Cuántas posibilidades de sacar botonesdistintos se tiene?
Repasar la resolución de problemasObserva las tarjetas y escribe una fracción que describa la probabilidad de ocurrencia del suceso si sacas
una tarjeta al azar.
5. Que el número sea menor que 40.
6. Que el dígito de las unidades sea 1 o 9.
7. Que el dígito de las unidades sea 2, 3 o 7.
8. Que el número sea mayor que 50. 9. Que el número sea un múltiplo de 3.
Resuelve.
10. Gustavo lanzó una moneda 10 veces al aire, y piensa: “Salió cara tres veces seguidas, entonces ahora tiene quesalir sello”. ¿Es razonable su suposición?
11. Juan tiene 5 gorras cuyas tallas son mediana, mediana pequeña, grande y extra grande.Dice que tiene el 50% de probabilidades de tomar al azar la talla mediana. Explica cómo sabes que surespuesta no es razonable.
VOCABULARIO
probabilidad
experimento
diagrama de árbol
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
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279CAPÍTULO 15
Enriquecimiento •Pr obabilidad
En el programa de televisión “La ruleta de la suerte”, tienes que
hallar las probabilidades de ganar las siguientes cantidades dedinero. Escribe tu respuesta como una fracción, un decimal o unporcentaje.
¡Inténtalo!6. Usa la rueda de arriba para escribir tu propiapregunta. Respóndela.
_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________
¡Piénsalo!7. Explica cómo hallaste laprobabilidad de que ocurra un suceso expresadacomo fracción.
_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________
1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar $ 10 000?
_____________________________________________________________ _____________________________________________________________
2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una cantidad mayor que $ 900?
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3. ¿Cuál es la probabilidad de que no saques una cantidad que seamayor que $100 y menor que $500?
_____________________________________________________________ _____________________________________________________________
4. Para la ronda siguiente, si la flecha se detiene en una sección anaranjada, la cantidad se duplica. ¿Cuál es laprobabilidad de que la flecha se detenga en una sección anaranjada?
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
5. Para la ronda siguiente, si la flecha se detiene en una sección anaranjada, la cantidad del premio se duplica.¿Cuál es la probabilidad de que saques una cantidad mayor que $ 750?
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
$ 10 000 $ 100
$1 000
$2 500
$500
$900$750
$5 000
$400
$100
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281CAPÍTULO 15
Usa la tabla para responder las preguntas del
ejercicio 10 al 12.
Escribe una V si es verdadero o una F si es falsocada enunciado.
14. ______ El gráfico de barras nos sirve paramostrar y analizar datos que se agrupan encategorías.
15. ______ El gráfico circular representa proporcionesde las partes con respecto a un todo.
Probabilidades de ganar un premio
Televisor HD 17%
Reproductor de DVD 22%
Reloj 13%
Equipo de música 21%
Anillo de diamantes 27%
Personas que tienenmascotas
60
1224
24tienen gatos
y perros
tienen solo
gatos
tienen
solo perros
no tienen
mascotas
16. Usa la tabla para dibujar un gráfico de doblebarra.
Usa el gráfico:
17. ¿Cuántas personas se encuestaron?
18. ¿Qué fracción representa a las personas quetienen solo gatos?
19. ¿Qué fracción representa a las personas quetienen gatos y perros?
8. De acuerdo al gráfico, es falso decir que:
A Los lugares históricos son los más preferidospor las personas.
C Los parques temáticos y otros lugares enconjunto son igualmente preferidos que las
montañas.B Las playas son los lugares preferidos por la
mayoría de las personas.
D Las montañas son preferidas por un 25% depersonas encuestadas.
10. ¿Es más probable que ganes un televisor o unreloj?
11. ¿Es más probable que ganes un reproductor deDVD o un equipo de música?
12. ¿Es más probable que ganes un anillo dediamantes, un reproductor de DVD o un equipode música?
Temperatura promedio en grados Celsius
Mayo Septiembre
Arica 25º 27º
La Serena 18º 23º
Santiago 19º 28º
Concepción 15º 25º
Punta Arenas 6º 12º
9. De acuerdo al gráfico, es correcto afirmar que:
A La mayoría de las personas prefieren lasplayas.
B La mayoría de las personas prefieren loslugares históricos.
C La mayoría de las personas prefieren lasmontañas.
D La mayoría de las personas prefieren losparques temáticos.
13. En una bolsa hay 4 bolitas rojas, 3 bolitasazules, 4 bolitas verdes y 1 bolita negra. Alsacar una bolita al azar, ¿de qué color es labolita que tiene menor probabilidad de salir?
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282
De aquíy de allá
Resoluciónde problemas
¿CUÁNTOS LADOS?
muchas personas les encanta jugar a juegos de mesacon familiares y amigos. En muchos de los juegos de
mesa más famosos, se lanzan piezas con números. Nombraalgunos juegos que hayas jugado en los que se usen piezas connúmeros. Las piezas con números que se usan en los juegos demesa pueden tener 6, 8, 10 o 20 lados. Todos los lados de la piezatienen la misma posibilidad de salir. Eso es lo que hace que el juego sea justo.
Para 1 y 2, usa un dado de seis caras, numerado del 1 al 6.
➊ Lanza el dado 10 veces. Anota los resultadosobtenidos en la siguiente tabla.
¿Cuál de estas piezashas visto o usado?
A
282
A L MA NA Q U
E
PARA ES TUDIANTES
Juegos de mesa
➋ Si lanzas un dado y una moneda de $ 100, ¿cuáles son todos los resultadosposibles? Dibuja el diagrama de árbol que te ayuda a resolver la situación.
Compara el uso de una tabla y el uso de un diagrama de árbol paraorganizar la información, ¿cuál prefieres?, ¿por qué?
Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº del dado
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283CAPÍTULO 1515
DÍA DE JUEGOS
n muchas ciudades la Asociación deJuegos de Mesa celebra los Días de
Juegos. En estos encuentros, se anima a laspersonas a que lleven sus juegos de mesafavoritos. Las personas pueden elegir juegossencillos, como Ludo, o juegos de estrategiamás difíciles, que llevan horas. Los encuentrosduran todo el día.
E
➊ Imagina que estás en un encuentrode los Días de Juegos. Puedes jugar 3 juegosdiferentes. Estas son las opciones.
Primera ronda: ludo o damas Segunda ronda: ajedrez o tablero chino Tercera ronda: juego de Historia o juego de
preguntas y respuestas
Haz un diagrama de árbol para mostrar todos losresultados posibles de los 3 juegos que puedes jugar.¿Cuántas combinaciones diferentes hay?
➋ En el juego de preguntas y respuestas, estas son lascategorías posibles que puedes elegir para cada una detus tres primeras rondas.
Primera ronda: Historia o noticias de actualidadSegunda ronda: Música o deportesTercera ronda: Ciencias, Matemática o Literatura
Haz una tabla para mostrar todos los resultados posiblesde las tres primeras rondas. ¿Cuántas combinacionesdiferentes hay?
En muchas ciudades de Chile, lasmunicipalidades proporcionan los
elementos necesarios para practicaren plazas públicas juegos de
inteligencia. En la foto, la Plazade Armas de Santiago, donde
se practica el ajedrez.
283UNIDAD 4
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GLOSARIO
altura
base
altura
base
altura
base
altura Altura en un polígono es el segmentoperpendicular trazado desde un vértice al ladoopuesto (o su prolongación). Ejemplo:
ángulo Una figura formada por dos semirrectas que seunen en un extremo común.Ejemplo:
ángulo agudo Un ángulo cuya medida es mayor que 0ºy menor que 90°.Ejemplo:
ángulo extendido Un ángulo que mide 180°.Ejemplo:
X Z Y
ángulo obtuso Un ángulo cuya medida es mayor que90° y menor que 180°.
ángulo recto Un ángulo que mide la mitadde un ángulo extendido, es decir, 90°.Ejemplo:
ángulos adyacentes Pares de ángulos consecutivos quetienen un vértice y un rayo en comúnEjemplo: M N
QP
R
MRN y NRQ son ángulos adyacentes.
ángulos complementarios Dos ánguloscuyas medidas suman 90°.
Ejemplo:
ángulos opuestos por el vértice Un par de ángulos,opuestos entre sí y congruentes, que se formancuando se intersecan dos líneas.Ejemplo: M N
QP
R
20° 20°
MRP y NRQ son ángulos opuestos por el vértice.
área El número de unidades cuadradas necesarias paracubrir una superficie.
área total del cuerpo La suma de las áreas de lassuperficies de un cuerpo geométrico.
base (geometría) En dos dimensiones, un lado deun triángulo o de un paralelogramo que sirve parahallar el área. En tres dimensiones, una figura plana,generalmente un polígono o un círculo, que se usapara describir parcialmente un cuerpo geométrico.
Ejemplos:
cara Uno de los polígonos de un cuerpo geométricocelsius Escala métrica para medir la temperatura
centésima Una de cien partes iguales.Ejemplos: 0,56 cincuenta y seis centésimas
45
___
100 cuarenta y cinco centésimas
cociente El número, sin incluir el residuo, que se obtienecomo resultado en la división.
coordenada x El primer número de un par ordenado,que indica la distancia hacia la derecha o hacia laizquierda desde el punto (0,0) en un plano cartesiano.
coordenada y El segundo número de un par ordenado,que indica la distancia hacia arriba o hacia abajo desdeel punto (0,0) en un plano cartesiano.
cuadrado de un número El producto de un número porsí mismo; un número con un exponente de 2.Ejemplo: 3 2= 9
cuadrantes Las cuatro regiones deun plano de coordenadas.Ejemplo:
cuadrilátero Una figura planacerrada formada por cuatrolados rectos que son segmentosconectados y que tiene cuatro ángulos.
décima Una de diez partes iguales.Ejemplo: 0,7 = siete décimas
decimal Un número de uno o más dígitos, ubicado a laderecha de la coma decimal.
descomposición en factores primos Un númeroexpresado como el producto de sus factores primos.Ejemplo: 24 = 23 · 3
diagrama de árbol Un diagrama que muestra todos losresultados posibles de un suceso.
diagrama de puntos Un gráfico que muestra lafrecuencia de los datos en una recta numérica
dividendo El número que se divide en un problema dedivisión.Ejemplo: En 56 : 8, el dividendo es 56.
divisor El número que divide al dividendoEjemplo: En 45 : 9, el divisor es 9.
ecuación Es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecenvalores conocidos o datos, y por lo menos un valordesconocido o incógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.
eje de la x La recta numérica horizontal de un plano decoordenadas.
eje de la y La recta numérica vertical de un plano de
coordenadas.
75°
15°
Cuadrante 2
Cuadrante 3
Cuadrante 1
Cuadrante 4
x
(2,2)
284
Glosario
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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GLOSARIO
ejes La recta numérica horizontal (eje de la x ) overtical (eje de la y ) que se usa en una gráfica o enun plano de coordenadas.
estimación Un número que se aproxima a unacantidad exacta.
expresión Una frase matemática que combinaoperaciones, números y a veces variables pararepresentar un número.
expresión algebraica es un conjunto de números y letrasrelacionados a partir de operaciones aritméticas comoadiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones,potencias.
expresión numérica Una frase matemática que usasolamente números y signos de operaciones.
factor Un número que se multiplica por otro parahallar un producto.
figuras semejantes Figuras con la misma forma, perono necesariamente el mismo tamaño.
fracciones equivalentes Fracciones que representan lamisma parte o cantidad.
gráfico circular Un gráfico que muestra la relaciónentre las partes de los datos con el todo y con otraspartes.
gráfico de barras Un gráfico que permite representargráficamente un conjunto de datos acerca devariables de tipo cualitativas o cuantitativas,mediante barras rectangulares de longitudproporcionales a los valores representados.
gráfica de barras doble Es un gráfico útil paracomparar dos conjuntos de datos donde las variablespueden ser cualitativas o cuantitativas.
gráfica de líneas Es un gráfico útil para comparar dosconjuntos de datos que cambian con el tiempo o paramostrar la tendencias de un solo dato que cambia conel tiempo, mediante una línea poligonal o quebrada.
gráfica de líneas doble Es una gráfica útil paracomparar dos conjuntos de datos que cambian con eltiempo.
igualmente probable Con la misma probabilidad deocurrir.
lados correspondientes Lados que están en la mismaposición en figuras planas semejantes.Ejemplo:
línea transversal Una líneaque cruza dos o máslíneas.
XY es una línea transversal.
líneas paralelas Líneas en un plano queestán siempre a la misma distancia.Ejemplo:
líneas perpendiculares Dos líneas que se intersecanpara formar ángulos rectos, o de 90°.
máximo común divisor (m.c.d.) El mayor divisor quetienen en común dos o más números.
mínima expresión o fracción irreductibleUna fracción está en su mínima expresión cuando elúnico factor común del numerador y el denominadores 1.
mínimo común denominador El mínimo comúnmúltiplo de dos o más denominadores.
mínimo común múltiplo (m.c.m.) El número máspequeño, mayor que cero, que es múltiplo común dedos o más números.
múltiplo El producto de un número entero dado y otronúmero entero.
número compuesto Un número entero mayor que 1que tiene más de dos factores enteros.
número mixto Un número representado por unnúmero entero y una fracción.
número primo Un número entero mayor que 1 quetiene como únicos factores el 1 y sí mismo.
números naturales El conjunto de números de conteo:1, 2, 3, 4...
operación inversa Operaciones que se anulan una a laotra, como la suma y la resta, o la multiplicación y ladivisión.
orden de las operaciones Orden de las operacionesson reglas que definen la prioridad para resolverun ejercicio combinado. Primero se resuelvenlas operaciones que están entre paréntesis,se desarrollan las potencias, se resuelven lasmultiplicaciones y divisiones, según orden deaparición desde izquierda a derecha y, por último,se resuelven todas las sumas y restas por orden deaparición de izquierda a derecha.
par ordenado Un par de números que se usan paraubicar un punto en un plano de coordenadas.Ejemplos: (0,2), (3,4), (–4,5)
paralelogramo Un cuadrilátero cuyos lados opuestosson paralelos y congruentes.
Ejemplo:
perímetro La distancia alrededor deuna figura.
pirámide Un cuerpo geométrico cuya base es unpolígono y cuyas otras otras caras son triángulos quese unen en un vértice común.
CA y FD son lados correspondientes.
A
BC
D
E F
Y
C D
A B
X
A
L
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GLOSARIO
P
R
3 cm
3 cm
3 cm
Q
105°
plano cartesiano Un plano formado por una línearecta horizontal (eje de la x ) que interseca una líneavertical (eje de la y ).
polígono Una figura plana cerrada formada por tres omás lados rectos que son segmentos conectados
polígono regular Un polígono cuyos lados y ángulosson congruentes
poliedro Un cuerpo geométrico cuyas caras sonpolígonos.
Ejemplo:porcentaje La razón de un número a 100; porcentaje
significa “por cien” o “por ciento”
probabilidad La medida de cuán posible es que ocurraun suceso. Su valor está entre 0 y 1.
producto Es el resultado de la multiplicación de dos omás números o expresiones algebraicas.Ejemplo: 12 · 5 = 60
propiedad asociativa La propiedad que estableceque, aunque se cambie la manera de agrupar lossumandos o los factores, el total o el producto es elmismoEjemplos: 12 (5 9) (12 5) 9
(9·
8)·
3 9·
(8·
3)propiedad conmutativa La propiedad que establece
que, aunque se cambie el orden de dos sumandos ofactores, el total o el producto es el mismoEjemplos: 6 7 7 6
7 · 3 3 · 7
propiedad de división de la igualdad La propiedadque establece que, si se dividen ambos lados de unaecuación entre el mismo número distinto de cero, loslados permanecen iguales
propiedad de identidad de la suma La propiedad queestablece que, cuando se le suma cero a un número,el resultado es el mismo númeroEjemplo: 25 0 25
propiedad de multiplicación de la igualdadLa propiedad que establece que, si se multiplicanambos lados de una ecuación por el mismo número,los lados permanecen iguales
propiedad de resta de la igualdadLa propiedad que establece que, si se resta el mismonúmero de ambos lados de una ecuación, los ladospermanecen iguales
propiedad de suma de la igualdadLa propiedad que establece que, si se suma el mismonúmero a ambos lados de una ecuación, los ladospermanecen iguales
propiedad distributiva La propiedad que establece que
multiplicar una suma por un número es igual quemultiplicar cada sumando por ese número y luegosumar los productosEjemplo: 14 · 21 14 · (20 1)
(14 · 20) (14 · 1)
proporción Es una igualdad entre dos razones.
Ejemplo: 13 3
9
red Un patrón de figuras bidimensionalesque, al doblarse, forma un poliedro
Ejemplo:
resultado La consecuencia posible de un experimentode probabilidad.
rombo Un paralelogramo que tiene cuatro lados deigual longitud y cuyos ángulos internos no son de 90ºya que las rectas están inclinadas y no sonperpendiculares entre sí.
segmento Una parte de una línea que tiene dosextremos.Ejemplo:
sobrestimación Una estimación mayor que la respuestaexacta.
subestimación Una respuesta menor que la respuestaexacta.
suceso Resultado cuando se realiza un experimentoaleatorio.
términos semejantes Expresiones que tienen lasmismas variables con los mismos exponentes.
trapecio Un cuadrilátero que tiene solo dos ladosparalelos.
triángulo acutángulo Un triángulo que tienetres ángulos de menos de 90°.Ejemplo:
triángulo equilátero Un triángulo que lostres lados y ángulos iguales.Ejemplo:
triángulo escaleno Un triángulo quetiene los 3 lados y ángulos iguales
triángulo isósceles Un triángulo que tieneexactamente dos lados congruentes. Ejemplo:
triángulo obtusángulo Un triánguloque tiene un ángulo mayor que90°.Ejemplo:
triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto.Ejemplo:
valor atípico Un valor que es muy pequeño o muygrande en comparación con la mayoría de los valoresde un conjunto de datos.
variable Una letra o un signo que representa uno omás números.
vértice El punto donde se unen dos o más rayos; elpunto de intersección de dos lados de un polígono;el punto de intersección de tres o más aristas de uncuerpo geométrico; la cúspide de un cono.
volumen El número de unidades cúbicas necesariaspara ocupar un espacio determinado.
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Índice temáticoÁlgebra: 22, 29, 38, 44, 45, 48, 53, 60, 66, 72, 78, 87, 92, 115, 116,
117, 118, 122, 125, 134, 136, 152, 154, 180, 183, 190, 196, 208,
222, 266.
Ángulos: 73, 103, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178,
179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188, 189, 191, 193, 194,
195, 196, 197, 198, 199, 201, 203, 204, 206, 207, 208, 210, 215,
218, 222, 225, 228, 243.
Ángulos adyacentes: 170, 171, 176, 177, 179, 182, 186, 243.
Ángulos complementarios: 170, 171, 182, 183, 184, 185, 186, 188,
191, 209.
Ángulos opuestos por el vértice: 170, 171, 176, 177, 180, 184,
185, 189, 191.
Ángulos suplementarios: 170, 171.
Área: 23, 39, 40, 56, 57, 67, 68, 79, 93, 135, 153, 202, 206, 218,
226, 227, 228, 229, 230, 231, 233, 234, 237, 238, 240, 242, 243,
244, 245, 248, 267, 268.
Área total: 23, 67, 226, 227, 228, 229, 233, 234, 237, 238, 240.
Base: 12, 79, 166, 172, 203, 225, 227, 230, 231, 236, 242, 243, 245,
267, 268.
Buscar un patrón: 57, 147, 185, 200, 201, 203, 237.
Cálculo mental: 42, 44, 155, 180, 183.
Centésima: 69, 70, 71, 81, 95.
Clasificar ángulos: 176, 193, 225.
Cociente: 20, 25, 36, 38, 81, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 95, 125, 134, 139.Coma decimal: 69, 71, 72, 73, 76, 78, 85, 90, 91, 94.
Congruentes: 169, 171, 176, 177, 178, 180, 188, 191, 194, 198,
201, 204, 206, 207, 219, 225, 229, 234.
Cuadrícula: 4, 70, 71, 76, 82, 98, 198, 199, 204, 206, 207, 209, 215,
252, 261, 263.
Cuadriláteros: 192, 193, 224.
Decimal: 22, 34, 36, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 78, 80, 81,
82, 83, 84, 85, 90, 91, 94, 95, 110, 137, 155, 190, 231, 255, 269,
276, 278, 279.
Descomposición en factores primos: 3, 10, 11, 12, 13.
Diagonales: 97, 202, 218.
Diagrama: 10, 27, 30, 44, 46, 47, 48, 52, 54, 55, 56, 57, 64, 96, 115,
147, 175, 184, 203, 237, 247, 252, 253, 260, 261, 264, 267, 280.
Diagrama de árbol: 270 y 271
Diagrama de punto: 247, 252, 253.
Diagrama de tallo y hojas: 253, 260, 261, 267.
Diagrama escalera: 10, 27.
Dimensión: 56, 86, 169, 192, 224, 226, 227, 228, 230, 233, 235,
236, 237, 241, 245.
Distinto denominador: 41, 42, 43, 64.
Dividir decimales: 80, 82, 84.
Ecuación: 22, 57, 78, 87, 115, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142,
143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 153, 154, 155, 156,
157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 180, 185, 190,
203, 208, 233, 234, 237, 243.
Escribir una ecuación: 57, 138, 144, 146, 147, 150, 185, 203, 237.
Estimación: 42, 43, 47, 52, 58, 59, 74, 89, 173, 183, 230.
Expresión algebraica: 29, 115, 116, 117, 118, 122, 123, 124, 130,
132, 139, 155, 180, 222.
Expresión numérica: 115, 117, 118, 122, 132.
Expresiones: 77, 115, 116, 117, 118, 121, 122, 123, 125, 130, 132,
133, 137, 148, 155, 266.
Factor: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 20, 21, 26, 27, 29, 36,
43, 69, 71, 72, 75, 96, 222.
Factor común: 10, 15, 26, 27, 96.
Figuras bidimensionales: 169, 192, 224.Figuras geométricas: 192, 212, 213, 215, 218, 230, 242.
Figuras planas: 192, 224.
Fracción simplificada a su mínima expresión: 3, 27, 28, 44, 46,
47, 48, 51, 53.
Fracciones con distinto denominador: 41, 42, 43, 64.
Fracciones equivalentes: 1, 14, 25, 26, 28, 29, 32, 40, 41, 43, 44,
46, 47, 52, 53, 58, 59, 64, 98.
Fracciones impropias: 24, 25, 30.
Grado: 49, 151, 173, 176, 211, 261, 281.Gráfico circular: 247, 249, 254, 255, 256, 259, 262, 264, 280, 281.
Gráfico de barra: 159, 247, 249, 250, 251, 257, 258, 262, 264, 281.
Gráfico de barras doble: 249, 257, 258, 262, 264.
Gráfico de línea: 223, 247, 249, 262.
Hacer un diagrama: 54, 55, 57, 147, 184, 203, 237, 261, 264.
Hacer un gráfico: 250, 251, 262.
Hacer una representación: 83, 147, 203, 234, 235, 236, 237.
Isometría: 211, 215
Líneas paralelas: 135, 169, 178.
Líneas perpendiculares: 135, 169.
Material concreto: 5, 43, 50, 51, 70, 82.
Matriz: 3, 4, 7, 19, 89, 192.
ÍNDICE TEMÁTICO 287
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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Máximo común divisor: 36.
Medir ángulos: 171, 172.
Mínimo común denominador: 41, 42, 43, 64.
Mínimo común múltiplo: 3, 12, 13, 14, 15, 16, 43, 45, 48, 66, 190.
Multiplicar decimales: 68, 70.
Múltiplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 28,
29, 32, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 66, 84, 190, 231, 264, 282.
Numerador: 26, 27, 28, 30, 32, 43, 48, 59, 65, 91.
Número compuesto: 3, 8, 17, 19, 20, 36.
Número mixto: 1, 22, 24, 25, 30, 32, 31, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 43,
46, 47, 50, 51, 52, 58, 59, 60, 63, 161.
Número primo: 8, 9, 10, 14, 17, 20, 21, 29, 36.
Números naturales: 3, 25, 32, 50, 68, 70, 80, 82, 83, 84, 133.
Números y operaciones: 22, 38, 66, 92, 115, 134, 208, 222, 266
Ordenar: 3, 4, 7, 25, 32, 33, 38, 45, 49, 97, 110, 126, 127, 134, 142,
152, 159, 164, 165, 190, 207, 208, 217, 233, 253, 258, 260, 261, 266.Ordenar fracciones: 25, 32.
Ordenar números naturales: 3.
Paralelepípedo: 93, 164, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233,
241, 242, 243, 244, 276.
Paralelogramo: 153, 192, 193, 207, 225, 227, 243, 274.
Patrón: 8, 22, 38, 45, 57, 60, 66, 72, 73, 74, 78, 81, 92, 97, 117,
128, 134, 145, 146, 147, 150, 152, 165, 169, 185, 190, 200, 201,
202, 203, 206, 208, 211, 212, 216, 217, 218, 220, 222, 241, 243,
247, 266.
Patrón geométrico: 200, 212, 216, 218.
Patrón numérico: 45, 145, 146, 150, 200.
Patrones y álgebra: 22, 38, 66, 92, 115, 134, 208, 222, 266.
Pirámide: 23, 224, 225, 257.
Poliedro: 225.
Polígono: 201, 202, 212, 213, 214, 215, 217, 218.
Polígono regular: 201, 213, 214.
Porcentaje: 94, 95, 98, 99, 101, 104, 105, 106, 108, 124, 129, 147,
250, 251, 254, 255, 256, 259, 262, 269, 275, 276, 278, 281.
Porcentaje de descuento: 95, 108, 124.
Prevalencia de las operaciones: 117.
Prisma: 23, 224, 225, 227, 228, 233, 234.
Probabilidad: 23, 39, 67, 79, 93, 135, 153, 191, 209, 223, 247, 267,268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280,
281.
Probabilidad de sucesos: 268.
Probable: 39, 269, 281.
Producto: 3, 4, 5, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 21, 33, 69, 70, 71, 72, 73,
74, 75, 76, 77, 78, 100, 101, 111, 115, 120, 122, 124, 125, 130, 132,
134, 147, 222, 226, 231, 281.
Propiedad de identidad de la suma: 155, 162, 266.
Propiedad de resta de la igualdad: 137, 142, 145, 150, 195.
Propiedad de suma de la igualdad: 155, 158, 159, 162.
Propiedad distributiva. 118, 120, 121, 123, 124, 165, 266.
Proporción: 98, 109, 247, 249, 281, 283.
Punto de referencia: 172.
Razón equivalente: 103, 111.Razones: 94, 96, 97, 102, 103, 106, 108, 109, 113.
Red: 23, 225, 226, 230, 238, 245.
Reflexión: 212, 214, 242.
Regla: 11, 45, 60, 92, 97, 128, 129, 130, 173, 185, 187, 201, 202,
207, 212, 216, 217, 220.
Relaciones entre los ángulos: 170.
Resta de fracciones: 40, 41, 42, 43, 58.
Restar números mixtos: 50, 52.
Rombo: 169, 192, 193, 207, 213, 225, 243.
Rotación: 72, 93, 173, 210, 212, 213, 214, 242
Términos semejantes: 117, 133.
Teselación: 215, 218, 220.
Teselado regular: 212, 213.
Teselado semi regular: 212, 213.
Tipos de ángulos: 170, 176, 181.
Transformación isométrica: 214, 215, 242.
Transportador: 171, 172, 173, 174, 182, 183, 186, 187, 189, 171.
Trapecio: 192, 193, 207, 217, 225.
Traslación: 93, 210, 212, 213, 214, 215, 217, 242.
Trazar ángulos: 172, 173.
Triángulo acutángulo: 193, 194, 197, 204, 206, 225.
Triángulo equilátero: 193, 194, 198, 199, 200, 202, 204, 206, 225.
Triángulo escaleno: 193, 194, 204, 206, 225.
Triángulo isósceles: 193, 194, 199, 203, 204, 209, 225.
Triángulo obtusángulo: 193, 194, 195, 197, 199, 204, 225.
Triángulo rectángulo: 193, 194, 196, 198, 199, 203, 204, 206, 222,
225, 271.
Unidad de patrón: 211, 216.
Usar un gráfico: 251, 258, 264.
Valor atípico: 252, 253.
Variable: 29, 77, 115, 122, 123, 125, 131, 132, 137, 138, 140, 141,
142, 143, 144, 145, 156, 157, 239.
Volumen: 164, 230, 231, 232, 233, 235, 236, 237, 238, 239, 240,
241, 242, 243, 245.
ÍNDICE TEMÁTICO288
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SOLUCIONARIO 289
UNIDAD 1
Capítulo 1
Página 3 1. <2. <3. >4. =5. <6. >
7. 48 799 ; 48 797 ; 47 8998. 43 100 ; 40 133 ; 14 3309. 78 311 ; 78 310 ; 78 30010. 99 934 ; 94 586 ; 92 80111. 4 · 3 = 1212. 2 · 6 = 1213. 5 · 5 = 2514. 9 · 1 = 9
Capítulo 1 • Lección 1
Página 5 1. 1 · 12 = 12 ; 4· 3 = 12 ; 2 · 6= 12. Los
factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.Página 62. 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Ver cuaderno del
estudiante.3. 1 y 5. Ver cuaderno del estudiante.4. 1, 7 y 495. 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Ver cuaderno del
estudiante.
6. 1, 5 y 25. Ver cuaderno del estudiante.7. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.8. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.9. 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,
110.10. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.11. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80.. E úeo es úpo de , a
que 3• 4 = 12, por lo tanto, 3 esfactor de 12.
13. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. Ver cuader-no del estudiante.
14. 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Ver cuader-no del estudiante.
15. 1, 3 y 9. Ver cuaderno del estudiante.16. 1, 2, 5, 10, 25 y 50. Ver cuaderno del
estudiante.17. 1, 3, 11 y 33. Ver cuaderno del
estudiante.18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64. Ver cuaderno
del estudiante.19. 1, 3, 7 y 21. Ver cuaderno del estudiante.20. 1, 3, 5, 15, 25 y 75. Ver cuaderno del
estudiante.
21. 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Ver cuaderno delestudiante.22. 1 y 17. Ver cuaderno del estudiante.23. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 y 9024. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 1025. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 y 7026. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 10027. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 y 12028. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30.29. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 y 8030. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 y 5031. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 2032. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 y 6033. Sí 34. No35. Sí 36. Sí 37. Sí 38. No39. Sí 40. Sí 41. Sí
42. No43. 1244. 2845. 1046. 3647. 20, 28, 32, 36, 40 y 4448. 4, 8, 12, 16, 24 y 4849. 4 y 36 ; 8 y 32 ; 12 y 28 ; 16 y 24 ; 20
y 20.50. ¿Cuáles son los factores de 18?Página 7 51. 304 bolitas52. 31 estantes. ihas54. Solo 955. CPode Mateáo1. 4 ; 8 y 12. Ver cuaderno del estudiante.2. 36. Ver cuaderno del estudiante.3. 8 ; 16 y 24. Ver cuaderno del
estudiante.
4. 15. Ver cuaderno del estudiante.5. 6 ; 12 y 18. Ver cuaderno del
estudiante.6. 10. Ver cuaderno del estudiante.7. 9 y 18. Ver cuaderno del estudiante.8. 10 ; 20 y 30. Ver cuaderno del estudiante.
Capítulo 1 • Lección 2
Página 91. 18 ; 36 y 54. Ver cuaderno del estudiante.2. 24 ; 48 y 723. 20 ; 40 y 604. 60 ; 120 y 1805. 12 ; 24 y 366. 24 , 48 y 727. 1 y 28. 19. 1 ; 2 y 410. 1 ; 2 ; 3 y 611. 112. E úeo ee soo dos fatoes,
el 1 y sí mismo. Por esta razón esprimo. Y además es par.
13. 36 ; 72 y 10814. 70 ; 140 y 21015. 72 ; 144 y 21616. 48 ; 96 y 14417. 28 ; 56 y 8418. 119. 1; 3; 5 y 1520. 1; 2; 5 y 10
21. 122. 1; 2, 3 y 623. 1 y 224. 1,3 y 925. 1 y 226. 127. 1; 2 y 428. Compuesto29. Primo30. Ninguno31. Primo32. Compuesto33. Ninguno34. 535. 236. 337. 438. 2; 3 y 639. 2440. 13 • 541. Copuesto. Poue a upa dos
números primos obtenemos por pro-ducto un número compuesto, ya queee os dos fatoes pos e .
42. Respuesta posible: podría buscaros peos úpos de uegodividir entre 3.
43. 3/10044. 5,6245. 3,5646. B
Capítulo 1 • Lección 3
Página 111. 2; 7; 2 y 42. 63. 254. 95. 36. 27. Respuesta posible: escribir los
factores primos de cada número
y enumerar los factores primosoues paa uego upaos así obtener el m.c. d.
8. 29. 410. 2411. 712. 113. 614. 715. 316. 117. 118. 1619. 320. 1021. 122. 423. 8 y 1624. 6 y 1225. 12 y 24
26. 15 y 30
27. 12 plantas28. 12 estudiantes29. 6 estudiantes30. Respuesta posible: 12 y 24, siendo
12 el número31. 4,932. 1; 2; 4; 8 y 1633. 19,334. C
Capítulo 1·
Lección 4Página 131. 12 = 12; 24; 36; 48; 60 y 72. 18 = 18; 36; 54; 72; 90 y 108
m.c.m. es 36.2. 363. 604. 255. 156. 127. 15 y 3; 15 y 58. 2 y 16; 4 y 169. 2 y 44; 4 y 4410. 2 y 100; 4 y 10011. 4 y 56; 7 y 5612. Respuesta posible: se relacionan porquetodos los números son factores de 24Página 1413. 7514. 5615. 16
16. 2217. 3618. 6019. 8020. 10821. 7022. 5423. 2 y 40; 40 y 2024. 39 y 3; 39 y 1325. 24 y 2; 24 y 426. 30 y 2; 30 y 527. 22 y 2; 22 y 1128. 1 y 10; 2 y 10; 5 y 1029. 4 y 20; 5 y 20; 10 y 2030. 2 y 18; 3 y 18; 6 y 1831. 4 y 28; 7 y 28; 14 y 2832. 3 y 45; 9 y 45; 15 y 4533. 2. Vaaá a adad de oteas ue
compre. Si compra naranja y manzanaseá oteas espeaete.
Si compra manzana y guinda serán oteas espeaete.Comprará 2 botellas más si elige lacombinación manzana y guinda.
35. 6 y 336. 4 y 2037. Respuesta posible: El m.cm. de dos
números es 24. El m.c.d. es 6. ¿Cuálespodrían los números posibles?
. “ ee azó, po ejepo e ...entre 3 y 7 es 21. Se buscan los diezpeos úpos de ada úeo se usa os úpos oues en este caso el m.c.m. es 21.
39. Porque el 3 es factór o divisor de 6.40. 1241. C42. 60 y 12043. BPágina 151. Primero busca los 10 primeros
úpos de , , as eotaásel menor número de luces de cadaoo. Luego, paa sae a adadde paquetes que debes comprar, seupa a adad de ues uevienen en el paquete y que sea 24.Para las luces rojas debe comprar 4paquetes, para las luces blancas 3 ypara las luces azules 8 paquetes.
2. Primero debes buscar el m.c.dentre 12 y 36. Es 12. Luego, dividea adad tota de ojetos poete e ..d. Po úo, e adapauete haá ate oetasde muestra.
Capítulo 1 · Lección 5
Página 16a. 2 y 4; 4 y 8; 6 y 12. Fijándome en el
número mayor.. Mupado os úeos ete s.
c. El m.c.d. es el número más pequeño.
Página 171. El m.c.m es el producto de los dos
números.2. El m.c.m. sería el producto de los
tres números.3. Las sumas de números pares e
paes ee ua dfeea de 4. Son todos cuadrados perfectos5. El producto de dos números pares
es mayor que el producto de un
número par y un número impar.12 • 6 = 72 y 11 • 6 = 66. El productode dos números pares es menorque el producto de dos númerosimpares. 3 • 5 = 15 y 2 • 4 = 8
6. 360 minutos7. 120 estampillas. ooes de ada poPágina 18Grupo A1. 12; 24 y 362. 24; 48 y 723. 14; 28 y 424. 12; 24 y 365. 40; 80 y 1206. 1; 2; 4; 5; 10 y 207. 18. 1; 2; 4 y 89. 1; 2; 4; 8 y 1610. 1 y 511. Compuesto12. Compuesto13. Primo14. Ninguno15. PrimoGrupo B1. 82. 83. 184. 25. 126. 37. 68. 129. 710. 5. loeos12. 4 bolsasGrupo C1. 122. 143. 304. 12
5. 246. 367. 368. 809. 2110. 36011. 3512. 3613. 7214. 6015. 4816. 4 y 1617. 20 y 40Página 201. m.c.d.2. 243. 14. 6; 12; 18; 24 ….5. 1; 2; 3 y 66. 18. Múpos
8. Factores. Múpos10. Factor11. C12. m.c.d. = 1 y m.c.m. = 1213. m.c.d. = 8 y m.c.m. = 6414. m.c.d. = 3 y m.c.m. = 9015. m.c.d. = 3 y m.c.m. = 3616. m.c.d. = 10 y m.c.m. = 100. es fato de es úpo de
6. 15 y 30, etc18. 6. No, a ue s e ..d es sgia
que son números primos entoncessu eo úpo oú es u-plicar los números entre sí.
Página 21. Deiete2. Abundante3. Perfecto. Deiete
5. Abundante
Solucionario
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 304/314
SOLUCIONARIO290
6. Abundante. Deiete8. Abundante9. Abundante10. Abundante. Deiete12. Perfecto13. Tienen los mismos dígitos, de
ambos números sus divisorespropios es 1, por lo tanto ambosso úeos deietes.
14. 945Páginas 22 y 231. C2. B3. C
4. C5. 0,3756. B7. C8. C9. C. “e sustue po se esuee.11. P = 14 cm12. D13. B14. B15. A16. D17. B
Capítulo 2
Página 251. 1/22. 1/43. 1/10
4. 3/45. >6. <7. <8. >9. <10. <11. >12. <13. 1/6 ; 1/3 ; 2/314. 3/10 ; 2/5 ; 1/215. 5 2/12 ; 5 2/6 ; 5 2/316. 2 1/8 ; 2 3/4 ; 4 1/1217. 618. 719. 420. 3021. 322. 1223. 024. 925. 4
26. 3627. 5428. 729. 1130. 3031. 7
Capítulo 2 · Lección 1
Página 271. 92. 63. 204. 35. 166. 57. 24Página 288. 14/159. 3/410. 3/14
11. 4/1112. 5/913. 1/314. Mupa o dd faoes po
un número.15. 216. 1717. 16018. 6319. 2820. 321. 4/722. 3/523. 2/524. 3/225. 9/426. 5/627. 2/1328. 4/3129. 1/330. 8/931. 1/2
32. 1/233. A veces34. A veces35. Nunca36. Siempre37. 22/10038. “, a ue o ee
dso oú dsto de po ecual podamos reducir la fracción.
39. 17/100; 1/100; 27/10040. 7/2041. ¿Qué faó, epesada e su
a epesó, oespode aas azaas ojas ue ee Lus?
Página 2942. $ 6 300
43. 3944. 3/545. C46. BPode Mateáo1. A= 18 y B= 602. A= 12 y B= 23. A = 20 y B= 284. A = 4 y B = 36
Capítulo 2 · Lección 2
Página 301. 1 2/3 = Un entero, dos tercios ; 5/3 =
cinco tercios2. 19/33. 7/44. 17/55. 23/166. 11/27. 17/8
Página 318. 2 4/59. 4 1/210. 711. 3 1/612. 413. 2 3/414. Usa el resto como el numerador y
el divisor como el denominador.15. 37/816. 23/317. 35/618. 45/419. 64/520. 37/1021. 5/222. 43/523. 53/1024. 51/825. 15/426. 5/227. 5 2/3
28. 5 1/229. 3 3/430. 2 5/1831. 1332. 3 2/533. 4 4/734. 1535. 8 1/236. 8 1/437. 7 2/338. 6 1/239. 26/15, 104 minutos40. 107/60 ; 1 47/6041. /, Pa hzo a opeaó a
eés, dee upa e eteo(2) por el denominador (7) y luegosumarle el numerador (5).
42. Jugo de azaa= / ; heado deyogur = 4/4 ; tazas rodajas de duraz-nos = 6/4 ; yogur de duraznos = 4/4
43. 12/8
44. 1245. 2 1/346. 20 cm47. D
Capítulo 2 · Lección 3
Página 33
1. 2/5 > 2/82. >3. <4. <5. >6. =7. Busco el número en la recta, luego
el que esté más a la izquierda ese eo a auetado haaa deeha.
8. <9. <10. >
11. >
12. >13. 5/6 ; 5/7 ; 5/1214. 4/5 ; 4/7 ; 4/1015. 1 3/4 ; 1 3/5 ; 5/716. 3 7/10 ; 3 2/5 ; 3 1/617. 5/6 ; 2/3 ; 3/718. 11/18 ; 1/2 ; 2/919. 1 9/10 ; 1 7/8 ; 6/720. 5 3/4 ; 5 7/10 ; 5 5/821. Amalia22. 19/2423. Igualar denominadores (con fracciones
equivalentes y usando el mcm) yluego comparar numeradores
24. 24 • 325. 0
26. 627. BPágina 34Grupo A1. 32. 73. 154. 125. 56. 97. 108. 29. 1210. 16Grupo B1. 19/42. 36/53. 38/34. 57/105. 7/26. 21/8
7. 45/78. 7/39. 29/510. 73/1011. 33/412. 23/313. 6 1/314. 5 7/815. 616. 5 3/417. 6 3/718. 8 5/819. 14 2/420. 421. 1122. 18 4/623. 11 2/524. 1 13/18Grupo C1. >2. <
3. >4. <5. >6. >7. <8. <9. <10. >11. >12. <13. >14. <15. =16. >17. >18. <19. =20. >21. <22. >23. =24. <Página 361. Número primo2. Máo oú dso3. Número compuesto4. MCD = 1 ; m.c.m. = 125. MCD = 8 ; m.c.m. = 646. MCD = 3 ; m.c.m. = 907. MCD = 3 ; m.c.m. = 368. MCD = 10 ; m.c.m. = 1009. 19/310. 2 4/511. 3 8/912. 43/413. 30/714. <15. <16. >17. <18. >19. 5/220. 1 1/4
21. 25/522. 2 2/323. es fato de es úpo de 24. 625. Respuesta abiertaPágina 371. 2 25/602. 1 24/603. 6 30/604. 3 50/605. 2 15/606. 7 20/60Páginas 38 y 391. D2. C3. C
4. B5. D6. A7. C8. B9. B10. B11. B12. B13. C14. B15. B
Capítulo 3
Página 411. 42. 33. 84. 305. 1
6. 107. 48. 189. 510. 111. 1/212. 1/813. 1/314. 1/515. 1/316. 2/317. 3/518. 1/2019. 1/1520. 1/421. 1/1022. 1/223. 124. 1/425. 1/426. 5/627. 7/10
28. 7/1029. 2/530. 2/7
Capítulo 3 · Lección 1
Página 44 y 451. 11/122. 15/24 + 4/243. 5/6 + 3/64. 12/14 - 7/145. 7/9 - 6/96. 8/12 + 5/127. 3/48. 4/99. 2/310. 1 3/1611. 1/312. Se igualan denominadores (usando el
mcm) y se suman los numeradores.13. 5/8 + 2/8
14. 8/22 - 8/2215. 7/16 + 6/1616. 20/45 + 9/4517. 33/60 - 20/6018. 12/30 + 5/3019. 18/21 - 7/2120. 15/15 - 1/1521. 7/14 + 3/1422. 10/15 + 3/1023. 1 5/1824. 11/1525. 11/4026. 5/627. 2/528. 5/1229. 1/330. 27/5031. 1 9/2032. 1 1/1233. 11/1434. 1/1235. 1/8
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 305/314
SOLUCIONARIO 291
36. 1 1/437. 3/438. 2/6 = 1/339. 1/340. 7/941. 11/1242. 1 7/1543. 1/644. 17/2045. ¿Qué fracción de roca sedimentaria
es Arenisca o Caliza? ¼ + 3/20 = 2/546. 9/1047. Se realiza la suma y luego, con
el mcd entre el numerador y eldenominador del resultado, seusa paa spia a faó se
divide el numerador por el mcd y eldenominador por el mcd). Queda lafracción irreducible.
48. 1/2 ; 5/8 ; 3/449. 1 1/2050. 7051. D52. CPode Mateáo1. 1 1/122. 23. 2 1/3
Capítulo 3 · Lección 2
Página 471. Ver cuaderno del estudiante2. 4 1/6 Ver cuaderno del estudiante3. 5 1/2 Ver cuaderno del estudiante4. 0 Ver cuaderno del estudiante5. 1 1/12 Ver cuaderno del estudiante6. 2 1/2 Ver cuaderno del estudiante7. 6 3/4
8. 7 3/89. 19 1/510. 7 1/511. 7 5/1212. Se igualan los denominadores,
usando mcm y se opera entre lasfracciones (sin el entero) y luego serestan los enteros.
Página 4813. 2 3/10 Ver cuaderno del estudiante14. 8 1/2 Ver cuaderno del estudiante15. 3 3/4 Ver cuaderno del estudiante16. 1 1/14 Ver cuaderno del estudiante17. 3 1/2 Ver cuaderno del estudiante18. 11 5/1219. 9 1/620. 10 5/921. 6 17/2022. 8 3/1023. 19 5/1224. 3 19/30
25. 10 17/2426. 3 3/1027. 3 1/328. 11 2/329. 11 2/330. 2 1/1231. 3 1/432. / ; Popedad outaa33. / ; Popedad de euto ado34. / ; Popedad asoaa35. 32 enteros 4/5 metros36. Beast Thude Doph37. Error de procedimiento de
sustaoes de úeos tos.Respuesta correcta 10 enteros17/20 metros.
38. 639. 15 ; 30 y 4540. B41. 1 5/1242. DPágina 491. 1/2 de los vagones2. 9 3/4Página 511. 4/52. 2/33. 3 1/44. 3 1/25. 1 1/106. 2 3/47. 2/58. 2 1/39. 1/210. 1/211. Copió mal, es 10¼ no 10 5/4. La
respuesta es 3 ½.
Capítulo 3 · Lección 4
Página 531. Ver cuaderno del alumno2. 1 3/4
3. 7/8
4. 4 7/95. 7/106. 6 5/127. 7/98. 2/59. 1 3/410. 1 11/1211. 7 4/912. 2 1/213. 1 1/314. 4 13/1815. 7/1016. 7/817. 9 11/3018. 6 13/2019. 4 5/14
20. 7 3/1021. 2 4/522. 1 9/1023. 8 1/524. 1 2/4 o 1 1/2 litros25. 1 11/12 litros26. 11/1227. “e puede aa e úeo to
a fracción impropia y luego igualardenominadores y operar.
28. 2 3/429. 11/230. 1/231. A
Capítulo 3 · Lección 5
Página 561. 22 3/4 por 16 1/22. 17 1/43. Bo = , kg Re = , kg
4. 26 5/6 kilómetros5. 55 latas de alimento para perros6. El gato de Carlos7. El 17 de marzo8. A Oso. A A a Ma9. X = 3 5/16 ; Y = 4 13/16Página 5710. 11 3/811. 2 5/812. 2/1513. Cada seaa, Maea ahoa
2/3 de su mesada y gasta 1/12 enhes dues. ¿Qué faó de sumesada le queda?
14. Ver cuaderno del alumno15. 50 – (19 3/4 + 18 7/8)16. 1 entero 1/1217. 5 1/3
Capítulo 3 · Lección 6
Páginas 59 y 60
1. 7 8/212. 13/163. 1 5/124. 23/1805. 17/246. 1/27. 19 1/98. 4 5/69. 5/610. Respuesta abierta11. 1/212. 1913. 2414. 1615. 3216. 1 1/417. 16 1/1018. 4 13/1519. 7 1/1020. 2921. 1 3/2022. 7 39/4023. 4 2/524. 5 11/1225. 1 1/526. 9 1/1227. 2 11/1428. 11/1229. 2 1/630. 4 ; 2 3/431. 10 7/8 ; 12 1/432. 7 14/1533. 1 11/2434. 0/135. 8 13/24Página 6136. Las Grutas y El Puente37. ¿Cuál es la diferencia entre el circuito
Los Troncos y el circuito Las Grutas?38. ( 2, 3 )39. C40. 1 1/12
41. 242. B1. 5/12 = 5 uncias2. 2/3 u 8/12 = 8 unciasPágina 62Grupo A1. 11/122. 1/33. 17/404. 5/125. 7/206. 1 1/107. 1 7/308. 17/289. 17/2010. 5/6
Grupo B1. 5 2/152. 2 1/23. 37 1/94. 14 3/55. 11 11/206. 2 1/37. 3 1/128. 9 1/89. 5 11/1810. 11 1/211. 17 1/612. 3 1/12Grupo C1. 1/22. 5/63. 1 19/204. 5 3/85. 2 1/46. 3 2/37. 23/30
8. 1/29. 7/810. 4 1/2Grupo D1. 13/302. 1/163. 4 3/84. 6 3/55. 1 8/156. 31/607. 12 7/128. 1/29. 3 13/1610. 7 1/2411. 3 1/412. 3 5/6Página 641. Mínimo común denominador2. “piada a su a epesó3. 83/994. –2/155. 55/56
6. 2 7/247. 31/568. 11 15/169. 1 115/25210. 12 283/36011. 6/16 + 12/16 o 3/8 + 6/812. 10/26 - 3/2613. 3/9 + 4/914. 12/15 - 2/1515. 10/14 + 7/1416. 15/20 + 4/2017. 20/24 - 6/24 o 10/12 – 3/1218. 39/60 - 20/6019. 20/45 - 9/4520. 3/6 + 2/621. 1/1022. 1 5/1223. 5/924. 1/1425. 126. 10 7/12
27. 2 5/1228. 1 5/629. 7/1230. 7 13/2431. A / k haa e Este32. 10 postes33. 2 1/4 más atrás de JuanPágina 651. 1/3 + 1/52. 1/3 + 1/93. 1/2 + 1/74. 1/3 + 1/75. 1/2 + 1/2 + 1/36. 1/4 + 1/24Páginas 66 y 671. D2. D3. B4. B5. C6. 2 5/127. C
8. D9. D10. D11. A12. D13. 5,925; D14. B
Capítulo 4
Página 691. 2282. 2563. 3704. 2 9825. 1 852
6. 2 4127. 2918. 5 0329. 41510. 95111. 4 15212. 82813. 28214. 23515. 58116. 6417. 10818. 27619. 60820. 33521. 64822. 15623. 22424. 200
Capítulo 4 · Lección 1
Página 711. 0,752. 1,83. 1,684. 0,655. 1,086. 1,987. 0,568. 2,49. 4,610. 0,3211. 1,3212. 2,6813. 2,714. 1,9215. 1,2816. 1,5317. 1,5618. 4,2719. 1,1420. 2,76
21. 2,9222. 0,8523. Respuesta abierta
Capítulo 4 · Lección 2
Página 721. 4002. 98,1 ; 9 8103. 0,7 ; 70Página 734. 3,19 ; 31,9 ; 319 ; 3 1905. 0,298 ; 2,98 ; 29,8 ; 2986. 0,005 , 0,05 , 0,5 ; 57. 1, 017 ; 10,17 ; 101,7 ; 1 0178. 2,78 · 10 = 27,8 (se corre la coma
un espacio) y 0,278 · 100 = 27,8 (secorre la coma 2 espacios)
9. 93,5 ; 935 ; 9 35010. 0,02 ; 0,2 ; 211. 31,05 ; 310,5 ; 3 10512. 1 265 ; 12 650 ; 126 500
13. 11,46 ; 114,6 ; 1 146 ; 11 46014. 63,2 ; 632 ; 6 320 ; 63 20015. 335,2 ; 3 352 ; 33 520 ; 335 20016. 0,09 ; 0,9 ; 9 ; 9017. 7,8 ; 78 ; 780 ; 7 80018. 1 ; 10 ; 100 ; 1 00019. 5,0 ; 50 ; 500 ; 5 00020. 4 832 ; 48 320 ; 483 200 ; 4 832 00021. 21,4 ; 214 ; 2 140 ; 21 40022. 817,5 ; 8 175 ; 81 750 ; 817 50023. 164,924. 10025. 10 00026. 1 00027. hoas28. hoas29. hoas30. Respuesta abierta31. Rectas perpendiculares32. 4 000 cerezas33. 567 metros34. C
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 306/314
SOLUCIONARIO292
Capítulo 4 · Lección 3
Página 74Grupo A1. 0,8 ; 8 ; 0,8 y 80 ; 1 000 y 8002. 2,4 ; 10 ; 2,4 ; 24; 2403. 0,011 ; 0,011 ; 100 ; 1 000 ;0,011
; 114. 0,892 ; 0,892 ; 8,92 ; 89,2 ; 8925. 12,9 ; 129 ; 1 290 ; 12 9006. 5 481 , 54 810 ; 548 100 ; 5 481
0007. 91 , 910 ; 9 100 ; 91 0008. 12,5 ; 125 ; 1 250 ; 12 5009. 7 ; 70 ; 700 ; 7 000
10. 2,4 ; 24 ; 240 ; 2 40011. 20,16 ; 201,6 ; 2 016 ; 20 16012. 0,03 ; 0,3 ; 3 ; 3013. 0,5 ; 5 ; 50 ; 50014. 386,2 ; 3 862 ; 38 620 ; 386 20015. 4,2 mGrupo B1. 21,52. 103. 2,624. 15,455. 1,686. 44,47. 18,088. 17,69. 38,3410. 13,1411. 17,5 cm12. apo.13. 20614. 16
15. 1,1416. 8,0417. 37,3518. 1,8219. 1 010,420. 11,1621. 1,9222. 2823. 385 cmPágina 761. “e usa uaduas de
(suponiendo que cada cuadradovale 0,01). Se pinta 4 veces 37cuadraditos (4 • 0,37). Contar elresultado.
2. Por simplicidad, ya que el productode 0,02 • 100 es igual 2,0 = 2
3. 76,53 ; 765,3 ; 7 653 ; 76 5304. 85,9 ; 859 ; 8 590 ; 85 9005. 8 ; 80 ; 800 ; 8 0006. 40,25 ; 402,5 ; 4 025 ; 40 2507. 2 654,5 ; 26 545 ; 265 450 ; 2
654 5008. 23,49. 12810. 23,811. 18,3612. 3,513. 8,1414. 281,115. 91,516. 0,817. 0,2718. 1,8219. 0,0120. 12,3421. 112,222. 5,323. 0,824. 15,5 mm25. 32,5 kgPágina 77
1. 0,15 • 5 = 0,25 • 32. 9 • 1,2 = 2,7 • 43. 7 • 0,6 = 1,4 • 34. 0,3 • 8 = 6 • 0,45. 0,05 • 6 = 2 • 0,156. 4 • 0,14 = 0,7 • 0,8Páginas 78 y 791. D2. D3. B4. D5. “e upa · . Luego, teeos
dos espacios después de la comaen el 0,06, entonces el productodebe tener lo mismo, dos dígitosluego de la coma.
6. A7. C8. B9. “e dde e o = • y10. C11. A
12. B13. 157 cm214. B15. C16. A17. 15 – 7 = 8
Capítulo 5
Página 811. 4002. 303. 84. 55. 5406. 8
7. 39,58. 29,39. 87,410. 6711. 318,612. 2413. 59,8714. 5215. 8616. 4217. 11418. 6919. 14720. 3821. 6422. 21723. 12624. 23125. 5926. 73
Capítulo 5 · Lección 1
Página 831. 1,9 Ver cuaderno del estudiante2. 1,5 Ver cuaderno del estudiante3. 3,15 Ver cuaderno del estudiante4. 1,716 Ver cuaderno del estudiante5. 2,1 Ver cuaderno del estudiante6. 4,3 Ver cuaderno del estudiante7. 6,1 Ver cuaderno del estudiante8. 7,175 Ver cuaderno del estudiante9. Respuesta abierta10. 0,5 Ver cuaderno del estudiante11. 0,8 Ver cuaderno del estudiante12. 0,02 Ver cuaderno del estudiante13. 0,07 Ver cuaderno del estudiante14. 1,16 Ver cuaderno del estudiantea15. 1,29 Ver cuaderno del estudiante16. 1,56 Ver cuaderno del estudiante17. 0,73 Ver cuaderno del estudiante18. 29,0519. 174,8520. La pea es apoadaete a
mitad de la otra nevada.21. 0,63; . El cociente entre 3,8 y 6 es 0,6.
Capítulo 5 · Lección 2
Página 85
1. 411/3002. 100 ; 1 ; 100 ; 1 ; 732 ; 1,833. 378 ; 7 ; 378 ; 7 ; 378 ; 0,544. 472 ; 1 ; 472 ; 1 ; 472 ; 0,595. 1,736. 0,467. 0,0088. 6,41259. 74,910. 4,8611. 0,6312. 0,00813. 13,88514. 9,15415. 18,684
16. 1,4717. Mupo e oete po e dsode a opeaó e ee ue dael dividendo.
Página 8618. 23,719. 0,08420. 0,4621. 7,5422. 0,00423. 2,6424. 14,7225. 13,92826. 0,9427. 2,0328. 1,25329. 1,27530. 2,74 m31. 1,8532. Si se marcaran 9 carriles iguales,
¿uá sea e aho pedo de
cada carril?
33. , k apo.34. Si la señora Díaz compra una cinta
azul ¿cuánta cinta roja compró?Página 8735. Totuga háste36. 8,5 km37. 39,87538. B39. DPode Mateáo1. 3,682. 2,43. 24,78
Capítulo 5 · Lección 3
Página 88Grupo A1. 9,32. 0,3143. 9,74. 0,66025. 6,1286. 0,0427. 13,17777788. 9,1779. 0,93810. 2,98511. 2,031512. 59,52513. 4,25 m14. A = 0,1725 ; C = 0,175 ; noGrupo B1. 523 ; 1,7432. 100 ; 1 ; 100 ; 109 ; 0,27253. 1 000 ; 1 ; 2 532 ; 0,50644. 482/100 ÷ 4/1 ; 482/100 • 1/4 ;
482/400 ; 1,2055. 12,56. 0,967. 2,1368. 6,99. 0,00510. 37,12511. 11,312. 0,01913. 0,1214. 3,10515. 1,1616. 60,817. 1,9818. 36,419. 13,2620. 56,8121. 3,1522. 52,0823. 81,64524. 6,53
25. 1,5 tazas26. 18,375 mPágina 901. Ver cuaderno del estudiante2. Respuesta abierta3. Ver cuaderno del estudiante4. 0,35. 86. 37. 0,58. 509. 2010. 0,0711. 612. 1,1313. 1,9514. 1,04615. 0,2516. 0,37617. 3,1818. 0,0519. 1,25
20. 0,621. 0,422. 1,223. 3,4524. 1,0425. 1,5426. 1,527. 14,6228. 1,0529. 130. 136,5331. 2,2232. 0,55 ml33. 2,58 jarros34. Dividiendo $3150 en 6 para saber
cuánto le sale cada boleto. Cadaboleto a Jaime le sale $525, por lotato s ahoa deo.
Página 91
1. 0,42. 0,25
3. 0,354. 0,55. 0,446. 0,1257. 0,248. 0,29. 0,2610. 0,6Página 92 y 931. A2. C3. B4. D5. A6. A7. A
8. B9. D10. C11. A12. B13. C14. A15. C16. B17. B18. C19. C20. C21. B22. A
Capítulo 6
Página 951. 8,22. 0,8
3. 4,254. 0,45. 8,96. 5,697. 4,968. 0,759. 0,6210. 4,6811. 1,712. 2,513. 6,514. 6,6515. 1,516. 2/1017. 35/10018. 6/10019. 85/10020. 41/10021. 92/100022. 7/10023. 625/100024. 15/100
25. 15/100026. 12/10027. 1/10028. 99/10029. 255/10030. 199/100031. 13/232. 51/733. 7/934. 5/235. 936. 21/4037. 238. 25/6139. 41/3140. 83/210
Capítulo 6 · Lección 1
Página 971. 5
2. 53. 3/7 ; 18/424. 5/7 ; 30/425. 6/8 ; 12/166. 14/16 ; 28/327. Apiado ada pate de
a azó, es de upo enumerador y el denominador porel mismo factor.
8. 10; 40 y 609. 3/7 ; 30/7010. 4/6 ; 32/4811. 8/20 ; 32/8012. 11/10 ; 66/6013. 9/15 ; 6/1014. 4/18 ; 6/2715. 72/416. 90/617. 108/1218. 288/15
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
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SOLUCIONARIO 293
19.
Cajas 1 2 3 4 5 6
Botellas 12 24 36 48 60 72
20.
Días 1 2 3 4 5 6 7
Autos 25 50 75 100 125 150 175
21. 2,03 ; 2,3 ; 2,3522. 11 a 323. D
Capítulo 6 · Lección 2
Página 991. 26%2. 70%3. 16%4. 12%5. 39%6. 55%7. 28%8. 99%9. 8%10. 58%11. 1%12. “epe ue haaos de %, e
total es 100%.13. Aleatoria14. 35 00015. 7/93
Capítulo 6 · Lección 3
Página 101
1. 110 litros más2. $ 728 0003. $ 2 5004. $ 171 5005. $ 2 700 0006. $ 8 940
Capítulo 6 · Lección 4
Página 102a. $ 900b. frasco de 8 LPágina 1031. hoas2. hoas3. 30 minutos4. 249 kilómetros5. 12/246. 32/967. 32 estudiantes8. 1 080 cm
Página 1041. “e puede hae u gáio2. No cambiaría3. Co u gáio.4. Menores,90. Respuesta abierta5. 45 + 90 + 18 + 27 = 1806. 88%7. La educación media8. Múpes espuestasPágina 106Grupo A1. 6/20; 18/302. 70/170; 49/1193. 6/200; 12/4004. 2/10; 4/205. 290/100; 87/306. 44/70; 66/1057. 6/10; 12/208. 10/16; 15/249. 150/100; 3/210. 9/2; 36/8
11. 75/100; 6/812. 3/4; 18/2413. 1/2; 26/5214. 270/100; 81/3015. 1/3; 10/3016. 18 : 617. 16 : 1218. 10 : 12019. 69 : 9020. 16 : 3021. 15 : 20
Grupo B1. 75%2. 0,85%3. 50%4. 24%Página 107Grupo C. $ apo.2. $ 364 0003. $ 6 990
4. $ 4 9205. $ 400 0006. $ 18 000 0007. $ 1 200 0008. $ 12 099 0009. $ 3 659 40010. 284 36411. 72 183Página 1081. Razones equivalentes2. Porcentaje3. 8/144. 10/185. 2/46. 6/87. 2/38. 3/19. 4/110. 1/311. 3/412. 36/1813. 23/1014. 8/1215. 120/10016. 40/1517. 12/1518. $13 79019. $6 96020. $233 85021. $363 562Página 1091. 162. 1 8333. 1444. $2 000Página 110 y 111
1. C2. C3. A4. A5. B6. D7. D8. B9. C10. A11. A12. B13. C14. D15. 4/916. 19/2417. 60 o 3018. 30 tarros de pintura verde19. V20. F21. V
22. 3 1/4 Sumando los km y dividiendopor 8
23. / apo.24. / hoas
UNIDAD 2
Capítulo 7
Página 1191. 2. M + 143. G : 2,394. 4D – 25. X + 176. / + 2
7. Calculo cuanto salen las 3 camisetas:c+c+c o 3c, a eso le aplico el des-cuento. 3c-500
Página 1208. + 9. 3 1/2 – y
10. 11. • a • h12. a – 4513. / – 14. b : 815. b + 516. X + 2 • 817. – /18. (X + 5) / 219. Un número disminuido en 1420. 36 dividido en el doble de un número21. Un número aumentado en 2/5 más
el mismo número al cuadrado22. El triple de la suma de un número y
1, dividido en 423. 10k + 50 m24. s = 1/4t + 1/2 m –1 00025. En el primer mes, los nuevos clientes
pagan un tercio por el valor del mensa- je y al costo total se le descuentan 500.Ese a epesó de aea agea-ica para el costo total del primer mes.
26. Costo de m meses=29990m y elcosto inicial (del equipo) es 19990.19990+29990m
27. 32,628. 5,24, no ubtuvo la beca29. DPágina 121
1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante
Capítulo 7 · Lección 2
Página 123
1. Primero, dividir45 por 5; segundo,upa po ; teeo, esta27 a 29
2. 23. 114. 785. 166. 07. 48. 12,89. 5610. Remplaza m por 10. Luego escribe
9 • 10 + (10 + 50) = 9 • 10 + 5 =90 + 5 = 95
Página 124
11. 612. 3813. 3214. 515. 1316. 1517. 5.6
18. 1619. 1420. 1321. 6 1/422. 2223. 12 1/224. 1725. 4.626. 4227. 16,628. 929. (5 + b) – 3; 6 mariposas30. – p + ; fotogaías31. 10 000 – (w • 2,75); $ 1,7532. Epaó pose: Paa sae uá-
tos estudates dee hae eadagupo, ese ua epesó uegoeueta e ao paa a adadde grupos. Compara cada valor con. Epesó:24 / g + 2si g = 2 : 24 / 2 + 2; 14 personas
si g = 3 : 24 / 3 + 1: 10 personassi g = 4 : 24 / 4 + 2; 8 personaspor lo tanto, los estudiantes sedeben dividir en 4 grupos.
Página 125
33. ph34. 335. D36. 5/10 o 1/1037. B38. 4,639. 240. 2541. 3942. 343. 3,4Página 126
1. Ver cuaderno del estudiante2. No, porque 4 • 75 = 300, menos de
los que vende.
3. NoPágina 127
1. 1112. Auetaa as as óas ue
ee. doss daas3. Mapato Codoto. apo.4. 98 ejemplares5. 55 ejemplares6. 54 ; 55 ; 87 ; 987. $ 619 5008. ejepaes. Es suiete a
información9. Menor10. as óas11. Respuesta abierta12. Poeas o uhos datos, auda
a tener orden y no confundirse
Capítulo 7 · Lección 4
Página 1281. ; ; –
2. 7 ; 10 ; 13 ; …..etc.3. ; ; + Página 1294. 9 y 145. 135 kg6. 180 y 2707. 15n8. 15 • 15 = 225 kg9. 10; 3010. 21 ; 15 ; 5411. hástes12. 17/1213. Coutadad14. 75%15. 5nPágina 130
Grupo A1. + 2. 15n3. / – 4. 2/65. 1/3 t6. 1/2 f + 1/4 t7. El quíntuple de la suma del doble de
un número y 5 veces otro número8. La sua de ees ees ,
upado po 9. La diferencia entre el triple de un
número y el cuádruple de otroúeo, upado po
10. La diferencia entre el triple de unúeo ees d, upadopor 6
Grupo B1. 302. 23. 12
4. 75. 246. 127. 588. 519. 2010. 1411. 9312. 013. 214. 5,515. 316. 10,517. 3418. 819. 720. 221. 322. 2923. 024. 3
Grupo C1. 7n + 12. 1 ; 4 ; 7 ; 10
Página 1321. Epesó ageaa2. Epesó uéa3. V, po asoadad.4. F, a outadad es soo uado
ha a sa opeaó soo suao soo upaó
5. V, po asoadad.6. F, a asoadad es soo uado
ha a sa opeaó soo suao soo upaó
7. 1/4y – 348. n – 269. 12n10. hjk11. $ 16 25012. paetas. · = uego
– 7 =53
Página 1331. 3 ; 4 ; 52. 4 ; 5 ; 63. 11 ; 9 ; 74. 14 ; 16 ; 185. 1 ; 3 ; 5 ; 76. 4 ; 6 ; 8 ; 10Págs. 134 y 1351. D2. C3. C4. A5. Ea ; Lusa espeaete.6. A7. B8. A9. B10. D11. D12. C13. A14. Ver cuaderno del estudiante
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 308/314
SOLUCIONARIO294
15. A16. B17. B18. C
Capítulo 8
Página 1371. t + 252. k + 4,53. 9 + 2/3m4. 15s + 2,45. 5g + 3,56. 1/2j + 1/3k7. 1,5 + 2/3p8. 8 + 2 a
9. n + 3410. e + 511. p + 1712. + 13. y + 1514. m + 23415. 1,216. 1/617. 30018. 2,2219. 10 1/420. 1 7/1021. 2 5/622. 1,923. 132,124. 16,1525. 1 5/1226. 7/3027. 1/828. 1,629. 7 1/8
Capítulo 8 · Lección 1
Página 1391. 25 = n + 132. • = 3. – = /4. , ÷ = 5. Reconocer la operación y los números o
factores que operan, luego ver el orden.6. 2/3n = 187. 56 – g = 408. , = + 9. 3,67 – n = 46,3310. 8y = 6211. ÷ = 12. Un número disminuido en 21 es 613. La tercera parte de un número es 2514. 15 veces un número es 13515. El cociente entre 3 1/3 es 5/616. Un número disminuido en 9 es 1017. • =
18. : = 19. El total el 560. Ya recorrió 313, entoncesle quedan 560 – 313 = m o m+313=560.
20. 2/321. n + 622. D
Capítulo 8 · Lección 2
Página 1411. 1 Ver cuaderno del estudiante2. 3 Ver cuaderno del estudiante3. 1 Ver cuaderno del estudiante4. 5 Ver cuaderno del estudiante5. 6 Ver cuaderno del estudiante6. 0 Ver cuaderno del estudiante7. 2 Ver cuaderno del estudiante8. 4 Ver cuaderno del estudiante9. 3 Ver cuaderno del estudiante10. 5 Ver cuaderno del estudiante11. 7 Ver cuaderno del estudiante12. 2 Ver cuaderno del estudiante
13. 2 Ver cuaderno del estudiante14. 2 Ver cuaderno del estudiante15. 1 Ver cuaderno del estudiante16. 1 Ver cuaderno del estudiante17. 3 Ver cuaderno del estudiante18. 1 Ver cuaderno del estudiante19. 4 Ver cuaderno del estudiante20. Respuesta abierta
Capítulo 8 · Lección 3
Página 1431. = 2. = 3. b = 84. y = 3,15. = 6. Se van “eliminando” lo que acom-
paña a la variable, operando consu opuesto a cada lado.
7. 168. 15
9. 12 1/210. 7 3/411. 8,212. 13,513. 214. 415. 299 saltos16. 66g17. ¿Cuántos saltos más debe dar para
alcanzar el record mundial?18. + , = , ; = 19. = – ; = 20. Siete veces un número21. D
Capítulo 8 · Lección 4
Página 1461. 322 = n2. 76 + n = 199 ; n = 1233. $8704. n + 403 = 652 ; n = 2495. + = ; = $ 6. d = 11 + 5 ; 16 años7. 20 + p = 30 , p= 10°C8. p + 7,5 = 13, p = 5,5°C9. Daea ee ás ue Maa,
entonces M = D + 5, pero Marinaee . Queda = D +
Página 14710. 25 cd11. 2 1/212. 80 000 cd13. La A ; 50 menos14. Respuesta abierta15. Respuesta abierta16. $ 10 270
17. $ 1 416 840Página 148Grupo A1. a – 4,3 = 25,22. / = 3. / = ,4. 48 – k = 365. + = 6. , = + 7. n – 1/2 = 4 3/48. + = 9. X = 4 • 8 ; 32 cm310. ÷ = ; 11. Un número disminuido en 2 1/2 es 512. Un número y menos que 54 es 7213. El cociente entre z y 1/2 es 414. 76 es 23 más p15. 12 veces un número c disminuido
en 4 es 10016. 30 es igual a la quinta parte de un
número17. Un número w menos 32 es igual a 38
18. El triple de un número es 1019. 20 veces un número es 14020. Un número d dividido en 3 es 921. U úeo eos es /22. El doble de un número menos
7 es 2123. 7 veces un número es 150,524. Un número más 3/4 es igual a 5 1/425. El doble de un número w disminui-
do en 3 es 11Grupo B1. 6 1/62. 343. 14. 105. 186. 2 1/27. 10,28. 3 11/129. 24,310. 7 5/12
11. 7 3/812. 11 3/413. 3214. 2515. 2/316. 717. + = ; = $ 18. = - / ; = /19. y = 13 – 11 ; y = 2°CPágina 1501. Ecuación2. Propiedad de resta de la igualdad3. , = + 4. / = 5. – , = ,6. k – 89 = 407. E tpe de h es 8. Doce menos un número es igual a 89. 16 veces k es 8010. Un número disminuido en 45 es 6711. El cociente entre n y 4 1/4 es 1
12. 12 es el doble de k aumentado en 70
13. El quíntuple de g menos 12 es 9614. Un número aumentado en 2 1/8 es 315. 816. 317. 3418. 3519. 420. 221. 522. 023. 6024. 8,225. 4 4/526. 17,227. 14 11/1228. 2,1
29. 1130. 32,431. 7932. 64 láminas33. = + ;Página 151
1. 862. 293. 324. 455. 96. 507. 388. 194Páginas 152 y 1531. D2. D3. B4. B5. 8/6 = 4/36. C7. A8. D9. Resto 1 1/3 a ambos lados de la
igualdad. Me queda g + 1 1/3 – 1/ = – /, ahoa opeo etenúmeros. Tenemos g=1 2/3. Paracomprobar reemplazo ese valor enla ecuación inicial.
10. B11. B12. D13. C14. Vée ; águo ; egó ado15. No, E ez de esta, dee hae
un signo de suma.16. B17. D18. D19. Sumar todos los datos y luego
dd po a adad de datosque sumó.
Capítulo 9
Página 1551. 7,62. 1 1/43. 1 9574. 16 5/125. 1 13/156. 12 5/67. 133,638. 14,129. 32,3410. 311. 1112. 6113. 914. 2415. 2016. 1717. 518. 1519. t -1220. k – 521. – ,22. – h23. s – 7824. b – 23425. n – 17526. 27 – y
Capítulo 9 · Lección 1
Página 1571. 9 ; Ver cuaderno del estudiante2. 7 ; Ver cuaderno dl estudiante3. 5 ; Ver cuaderno del estudiante4. 135. 46. 127. 68. 209. 11
10. 7
11. 1012. 613. 414. 715. 616. 617. 918. 719. 1020. Respuesta abierta
Capítulo 9 · Lección 2
Página 1591. = ,
2. a = 93. w = 11, 74. d = 105. y = 86. p = 57. s = 98. w = 249. Sumo 15 a cada lado de la igual-
dad. X-+=+ → =10. 3711. 3112. 1 13/3013. 2514. 17,515. 12,416. 5217. 1818. 1919. 420. 30 litros21. debe sumar 3 a cada lado de la
guadad. X-+=+ → =22. 5 meses al año23. 2,2885 ; 2,3 ; 2,35 ; 2,38824. – = 25. CPágina 160Grupo A1. 232. 113. 794. 65. 186. 287. 98. 259. 2110. 1211. 1712. 2813. 9314. 715. 36
16. 1517. 3118. 2819. 6820. 3521. 1522. – = ; = 23. e – 10 = 125 ; e = 135Grupo B1. 332. 93. 124. 115. 66. 227. 98. 19. 1910. 5311. 9012. 80
13. 114. 4615. 016. 1917. 718. 8919. 1020. 521. 522. + = ; = 23. p = 12 – 2 ; p = 10 años y m = p + 4 ;
m = 14 añosPágina 1621. Propiedad de suma de la igualdad2. Respuesta abierta3. 114. 225. 176. 97. 438. 8
9. 93
8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016
http://slidepdf.com/reader/full/texto-del-estudiante-6-2016 309/314
SOLUCIONARIO 295
10. 1111. 1312. 1013. 1514. 815. 3716. 717. 2118. 919. 2620. 1521. 1622. 923. 1424. 425. 40 miembros
26. / hoasPágina 1631. sume2. reste3. neutro4. ingenio5. suerte6. enriquecimientoPáginas 164 y 1651. C2. C3. D4. A5. 1 1/3 ; Igualando denominadores y
sumando numeradores.6. D7. C8. 5 7/12 ; restando la igualdad.9. D10. A11. C
12. P-aho=atua13. F14. V15. V16. F17. $ 1 50018. 1,319. 3/8 ; 0,75 ; 1 2/3 ; 1,820. $ 1 10021. 68 joyas22. 13/30 se comieron23. hoa. Respuesta aeta24. • + •
UNIDAD 3
Capítulo 10
Página 1711. < QRT2. < MFK3. < ALD4. < PSR5. < WUY6. < LPO7. < JWD8. < HPJ9. 33°10. 110°11. 145°12. 60°13. 147°14. 35°
Capítulo 10 · Lección 1
Página 1751. < CEB2. < opuesto po e ée = < NOT ; <
Adyacentes = < SOP y < ROM3. < opuesto po e ée = < MOR ; <
Adyacentes = < NOT y < POS4. < opuesto po e ée = < PO“ ; <
Adyacentes = < NOT y < MOR5. Adyacente están “pegados”, unidos
po u ao, adeás de éecomún.
6. ∠ correspondiente7. ∠ correspondiente8. Ateo eteo9. Alterno interno10. ALteo eteo11. ∠ correspondiente12. < opuesto po e ée = < MP“ ; <
Adyacentes = < FPG y < RPK13. < opuesto po e ée = < GPH ; <
Adyacentes = < RPK y < LPM14. < opuesto po e ée = < “PH ; <
Adyacentes = < KPL y < RPF15. < opuesto po e ée = < GPF ; <
Adyacentes = < MPS y < KPL16. < adyacentes17. Ninguno de los dos18. < opuestos po e ée19. < adyacentes20. < adyacentes
21. < opuestos po e ée
Página 17622. F, 180 - 5623. V, so ateos eteos24. V, águo eteddo25. Ver libro del estudiante. α + β = 180º.26. < ABE = 50o D = 1527. Respuesta abierta28. Puede es águos opuestos po
e ée agudos, etos u otusos.29. 1230. D31. 5532. / + Página 1771. 90°2. Respuesta abierta
Capítulo 10 · Lección 2
Página 1791. Ver cuaderno del estudiante
a. Obtuso, respuesta abiertab. Respuesta abierta
Página 1802. 100°3. 44°4. 104°5. 35°6. 32°7. 60°8. Agudo. Ver cuaderno del estudiante9. Agudo. Ver cuaderno del estudiante10. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante11. Agudo. Ver cuaderno del estudiante12. Respuesta abierta13. 15°14. 110°
15. 80°16. 50°17. 35°18. 15°19. 110°20. 150°21. 180°22. Agudo. Ver cuaderno del estudiante23. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante24. Agudo. Ver cuaderno del estudiante25. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante26. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante27. Agudo. Ver cuaderno del estudiante28. Eteddo. Ve uadeo de
estudiante29. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante30. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante31. Agudo. Ver cuaderno del estudiante32. 180°, respuesta abierta33. A as : hoas a as : hoas34. 60°35. Mdó a eés, haa e oto ado
de éePágina 18136. 2837. Un plano38. Recto39. D40. C1. 30°2. Ángulo recto3. No
Capítulo 10 · Lección 3
Página 1821. 90°Página 1832. < adyacentes3. < opuestos po e ée4. < complementarios5. < complementarios y adyacentes6. Su suma debe medir 90°
7. < complementarios8. < complementarios9. < adyacentes10. Ninguno de los dos11. < adyacentes y complementarios12. < adyacentes y complementarios13. No son complementarios.
Respuesta abierta14. Porque completo corresponde a lo
que falta para llegar a 90°15. Agudo de 44°16. ¿Qué par de ángulos son comple-
mentarios y adyacentes?17. 7° bajo cero18. 8519. 180°20. C
Capítulo 10 · Lección 4
Página 1851. 90° cada uno
2. No, respuesta abierta
3. 13 azules y 12 rojos4. 18 estudiantes5. E eadad ee putos e
dseño ee putos6. Respuesta abierta7. 628. Caua a aiaó tota de Mata
+++=, uego o upopo , a ese esutado e suo →29·2= 58 y 58+4=62
Página 186Grupo A1. 60°2. 104°3. 180°4. 27°
5. Ver cuaderno del estudiante6. Ver cuaderno del estudianteGrupo B1. < adyacentes2. < opuestos po e ée3. < complementarias4. < ninguno de los dos5. < complementarios6. < ninguno de los dosGrupo C1. No2. No, son adyacentes3. Complementarios4. No5. No, son adyacentes6. No, son adyacentesGrupo D1. 120°2. 60°3. 30°4. 180°
5. 90°6. 180°7. 55°8. 48°Página 1881. Adyacentes2. Complementarios3. < adyacentes4. Ninguno de los dos5. Opuestos po e ée6. < adyacentes7. Ninguno de los dos8. < opuestos po e ée9. No10. Sí 11. Sí 12. No13. No14. No15. 53°16. 90°
17. 37°18. 53°19. 233°20. 180°21. B = 45° y C = 45°22. 90°23. 45° o 135°24. 35°25. Siempre, ya que es la única opción
para que dos ángulos iguales sumen. X+X= → X= → X=
Página 1891. <HKA y <EKD, <AKB y <EKF, <BKC y
<FKG, <CKD y <HKG, <HKB y <DKF,<AKC y <EKG
2. <HKA y <AKB, <EKDy <EKF, <BKC y<AKB, <CKD y <BKC, <EKD y <CKD,<GKF y <EKF
3. a. <HKG y <EKDb. <HKC y <AKDc.<FKB y <EKA
4. 42°5. 64°6. 48°7. 64°8. 26°9. 74°10. 11; <FKE, <FKD, <FKC, <FKB, <GKH,
<GKA, <GKB, <FKA, <FKH, <FKG,<GKE, <GKD
11. Se escriben todos los ángulos que sepuedan formar con un lado de <GKFy otro rayo, sin incluir los ánguloseteddos
Páginas 190 y 1911. B2. C3. C4. C5. 4,505 ; 4,5 ; 4,055 ; 4,05. Se va com-
parando dígito a dígito, de izquierdaa deeha.
6. A
7. B8. D9. A10. C11. B12. A13. B14. Respuesta abierta15. B16. C17. Ver cuaderno del estudiante18. 1619. 920. En el 321. Luisa
Capítulo 11
Página 1931. Agudo2. Recto3. Obtuso4. Agudo5. Eteddo6. Obtuso7. Recto8. Eteddo9. Rombo10. Cuadrado11. Trapecio12. Rectángulo13. Paralelogramo14. Trapecio
Capítulo 11 · Lección 1
Página 1951. 30° ; Triángulo obtusángulo
2. Triángulo obtusángulo e isósceles3. Triángulo acutángulo y equilátero4. Triángulo acutángulo e isósceles5. Triángulo rectángulo y escalenoPágina 1966. 53° y triángulo rectángulo7. 30° y triángulo obtusángulo8. 60° y triángulo acutángulo9. 106° y triángulo obtusángulo10. Sus ángulos interiores sumarían
más de 180º.11. Triángulo rectángulo y escaleno12. Triángulo rectángulo y escaleno13. Triángulo acutángulo y escaleno14. Triángulo obtusángulo y escaleno15. 47° y triángulo acutángulo16. 27° y triángulo obtusángulo17. 140° y triángulo obtusángulo18. 70° y triángulo rectángulo19. Triángulo escaleno y acutángulo20. Triángulo escaleno y acutángulo21. Triángulo equilátero y acutángulo
22. Son < complementarios23. 44°24. 147° ; . <CJL=27+120.25. Triángulo PQT = triángulo rectángulo
y escaleno ; Triángulo TQS = triánguloacutángulo e isósceles ; Triángulo QRS= triángulo obtusángulo y escaleno.
26. < A = 120° ; < B = 40° y < C = 20°.Aguos , . <=, <= <=→ ++== → =<=,<2=40 y <3=120
27. Respuesta abiertaPágina 19728. < MAB= 30° ; < BAD = 90° ; < ADN = 60°
; < BDA= 30°. Triángulo MBA = triánguloobtusángulo ; Triángulo BAD= triángulorectángulo y Triángulo acutángulo
29. ¿Qué par de ángulos son comple-mentarios?
30. 15 m31. 166 tarjetas32. 17133. C34. DPode Mateáo1. 60°2. 141°3. 102°
Capítulo 11 · Lección 2
Página 1991. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Ver cuaderno del estudiante6. Ver cuaderno del estudiante7. Ver cuaderno del estudiante8. En el papel punteado isométrico, las
dfeetes heas de putos foaun ángulo de 60º, en el cuadriculadode 90º.
9. Ver cuaderno del estudiante
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SOLUCIONARIO296
10. Ver cuaderno del estudiante11. Ver cuaderno del estudiante12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Ver cuaderno del estudiante15. 54° y 72°16. Es de 90°17. 20° C18. 1219. 75°20. C
Capítulo 11 · Lección 3
Página 2021. 20 diagonales
2. 77 diagonales3. 1 cm4. U heágoo ; iguas ; “e esta
e doe de u pa a pa de 5. 64 cajas y P = 32 unidades6. Respuesta abiertaPágina 2037. ihas8. 7 verde claro y 6 verde oscuro9. ias10. 50 cm por lado y 80 cm de base11. Respuesta abierta12. + + = → += → =13. ihasPágina 204Grupo A1. Triángulo acutángulo y escaleno2. Triángulo obtusángulo e isósceles3. Triángulo rectángulo y escaleno4. Triángulo rectángulo e isósceles5. Triángulo equilátero
6. Triángulo obtusángulo7. Siempre8. Nunca9. Siempre10. A vecesGrupo B1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Ver cuaderno del estudiante6. Ver cuaderno del estudiante7. Ver cuaderno del estudiante8. Ver cuaderno del estudiantePágina 2061. Triángulo escaleno2. Triángulo equilátero3. Acutángulo4. Triángulo rectángulo y escaleno5. Triángulo rectángulo y escaleno6. Triángulo acutángulo y equilátero7. Triángulo obtusángulo e isósceles8. A veces9. A veces10. Nunca11. Siempre12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Ver cuaderno del estudiante15. 31°16. 45°17. 110°18. Un octógono19. 16 cajas20. 6 ; respuesta abiertaPágina 2071. ( 2 , 6 )2. ( 2 , 7 )3. ( 6 , 4 )Páginas 208 y 2091. A2. B3. D
4. C5. Pasando 5 a fracción y luego igual-ando denominadores y operando
6. A7. A8. A9. B10. A11. Táguo osósees ee águos
(además de 2 lados) congruentes.Puede ser otro de 70 entonces eltee águo ee ue se . Lasegunda opción es que el ángulodado sea el diferente, entonces180-70=110 debe ser la suma dedos ángulos iguales, que valen 55
12. D13. D14. C15. B16. A
Capítulo 12
Página 211
1. Sí 2. No3. No4. Sí 5. Sí 6. No7. No8. Sí 9. 3/410. 8/811. 1/412. 1/2
Capítulo 12 · Lección 1
Página 2121. Respuesta abierta2. Respuesta abierta3. Respuesta abierta4. Respuesta abierta5. Respuesta abierta6. Respuesta abiertaPágina 2137. a) traslación
b) simetrías o rotacionesc) traslaciónd) traslacióne) rotación o traslaciónf) traslación
Página 2148. Regular9. Semi regular10. No regularPágina 215
11. Pentágono12. Tapeos, táguos heágoos13. heágoo14. Triángulos y pentágonos15. Tasaó, otaó, eleó16. Semi regular; triángulos y pentágonos17. “e egua; táguos heágoos18. Respuesta abierta19. Refeó; espuesta aeta, tasaó20. Sí; respuesta abierta21. Un cuadrado22. Si se puede23. Ver cuaderno del estudiante24. Respuesta abierta25. No regular; Semi regular y regular26. 360°
Capítulo 12 · Lección 2
Página 2171. Ver cuaderno del estudiante2. Aumentar 2; ver cuaderno del
estudiante3. Cuo gade puto a ote, C-
uo ho puto a ote; uogade puto a este, uo ho puto a este as suesaete.Ver cuaderno del estudiante
4. Un triángulo grande y tres pequeños.Ver cuaderno del estudiante
5. Retáguo+tad deehasombreada; rectángulo+mitadizquierda sombreada.
6. Se añade un cuadrado y un círculo aa igua. Ve uadeo de estudate
7. Catas ota e sedo otao deas aeas de eoj hasta egaa la posición original y así sucesiva-mente. Ver cuaderno del estudiante
8. Primer cuadrado con esquinaosua e a pate feo deehay segundo cuadrado con la esquinaoscura en la parte inferior izquier-
da. Ver cuaderno del estudiante9. Ver cuaderno del estudiante10. Ver cuaderno del estudiante11. Ver cuaderno del estudiante12. Sí; respuesta abierta13. Son cuadrados y en su interior se
alternan rombos y cuadrados dedstos ooes. Coezaa oun cuadrado y en su interior unrombo y así sucesivamente.
14. Tasaó a a deeha o zueday rotación en 180°
15. Respuesta abierta16. Sí 17. Rectángulo18. Triángulo19. APágina 218Grupo A1. Sí es posible. Ver cuaderno del
estudiante2. Ver cuaderno el estudiante
Grupo B1. Heágoo= ° dagoaes;
Octógono= 1 080° y 20 diagonales.Respuesta abierta
2. 2 u2 ; 6 u2 ; 12 u2 ; 20 u2 y 30 u2Página 220
1. Teselado regular2. Teselado3. No regular4. No regular5. Semi regular6. Cuadados; táguos heágoos7. Retáguos; táguos heágoos8. Cuadrados; triángulos; rectángulos
y paralelogramos
9. Se agregan 2, luego 6, 8, así (de a 4)10. Respuesta abiertaPágina 221
1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Respuesta abierta6. Respuesta abiertaPáginas 222 y 223
1. C2. C3. A4. $202 8005. C6. D7. B8. (1,6 · 2)· d9. C10. Respuesta abierta11. A
12. C13. B14. “, soo e a pea hoa a
haa eddo sádh
Capítulo 13
Página 2251. < recto2. < agudo3. < obtuso4. < agudo5. Rectángulo6. Triángulo7. Triángulo8. Cuadrado9. Triángulo10. Circunferencia
Capítulo 13 · Lección 1
Página 228
1. 11 • 21=462 ; 5 • 21=210 ; 11 • 5=110.Área total = 782 cm2
2. 24 m23. 4,5 cm24. 8 16/25 cm2
5. 155,5 cm2 6. Respuesta abierta7. 158 m2
8. 150 cm2
9. 363,3 cm2
10. 115 3/4 m2 11. 1 350 m2 12. 73,513. 121 1/214. 15 00015. 352 cm2
16. 21 40017. Ver cuaderno18. Ver cuadernoPágina 229
19. 782 cm2
20. 483 300 m2
21. Calcular el área de un lado deluo = ·=. Luego u-plicar por las 6 caras de un cubo,676·6=4056 (cm2), eso necesitapaa uo. Paa loeos de u-bos necesita 5·4056=20280 (cm2).
22. Paralelogramos23. 63 m2
24. D25. 884 m2
Pode Mateáo1. 354 cm2
Capítulo 13 · Lección 2
Página 2321. 3 750 cm3
2. 270 m3
3. 128 cm3
4. “e upa e ao de sus ados,
es de ago·aho·atua.
5. 1,024 cm3
6. 33 600 m3
7. 166 3/8 cm3
8. 12 cm9. 12,7 cm10. 5 cm11. 37,5 m3
12. 2 cmPágina 23313. Ver cuaderno del estudiante14. A= 13 1/2 m2 y V= 3 3/8 m3 ;
respuesta abierta15. 52 cm2.16. 6·5·3 no es 30, es 90.17. 17 es igual a un número aumentado en 918. A19. 3,85 ; 3,58 ; 3,508 ; 3,0820. BPode Mateáo1. Se reduciría el volumen, sería 36 cm3
2. Aumentaría el volumen, sería 1152 cm3
3. No cambiaría, seguiría siendo elvolumen 288 cm3
4. Respuesta abierta
Capítulo 13 · Lección 3
Página 2361. Ver cuaderno del estudiante2. Hay 315 cm3 de diferencia3. Aumentaría el volumen4. 144 cm3
5. La diferencia es de 750 cm3
6. “aae eetos a ada azo7. 5 caras8. 100 cm3, respuesta abierta
Página 2379. La cuarta caja es 64 veces másgrande que la segunda
10. Sí 11. Respuesta abierta12. $ 1 83313. Sí 14. Roeto, Vaea, Maa Noás15. Respuesta abierta16. Sí 17. $ 2 500Página 238Grupo A1. 526 cm2
2. A= 103 cm2
3. 384 m2
4. A= 86,64 m2
5. A= 3 300 cm2
6. 20 mGrupo B1. V= 1 386 mm3
2. V= 216 m3
3. V= 74,214 cm3
4. Con A5. Con B8. 6 750 cm3
9. 750 cm3
Página 2401. Área total2. Volumen3. A= 907,74 cm2
4. A= 3 060 m2
5. A= 94 1/2 cm2
6. V= 62 712 mm3
7. V= 3 997,76 m3
8. V= 753,571 m3
9. 19 cm10. 70 cm11. 5 cm12. 12,375 m3
13. Med ago, aho ato utpa.Página 2411. Fig.1, V= 90 cm3; ig., V= 3.
Tee ees ás oue a ig.2. Fig.1, V= 343 cm3; ig., V=
744 cm3, ig., V= . Vaaumentando
3. Sí, si el lado aumenta n veces, elvolumen crece n3 veces.
Páginas 242 y 2431. D2. C3. A4. D5. C6. A7. D8. C9. A10. D11. A12. A13. C14. A
15. 7,4 km
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SOLUCIONARIO 297
16. 43,5 cm17. V18. F19. V20. Respuesta abierta21. Área rectángulo 1= 105 cm2 y área
de triángulo 1= 52,5 cm2
Capítulo 14
Página 2491. $ 4002. Sí 3. Juo sepee4. $ 7005. Fútbol
6. Natación7. 4 personas8. 4 personas
Capítulo 14 · Lección 1
Página 2511. Fasa o ee a azó2. En películas3. Tato hoes oo ujees o-
parten el gusto por los espectáculosen vivo
4. Tato hoes oo ujees o-parten el gusto por los espectáculosen vivo
5. Ver cuaderno del estudiante6. Contribución Colegio de padres7. Contribuciones privadas8. Con información de dos conjuntos
de datos y compararlos9. Gáio de eas
Capítulo 14 · Lección 2
Página 2531. Ver cuaderno del estudiante2. 4 días3. , poue ha dos e os °4. 10°5. 166. (7 - 15) =87. Si, 158. Ver cuaderno del estudiante9. 9 años10. 1511. Aquella que puede usarse para mostrar
cuántas veces aparece la variable12. B
Capítulo 14 · Lección 3
Página 2551. 8%2. 11/25
3. 12%4. 21%5. Respuesta abiertaPágina 2566. 1/57. Pintura azul, diluyente de pintura y
pintura blanca8. Respuesta abierta9. $ 80010. 69%11. Verdadero12. Respuesta abierta13. $ 1 72514. 9/1015. CPágina 2571. Ver cuaderno de estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante
Capítulo 14·
Lección 4Página 258a. Temuco. 9°C.b. Arica, 6°C; Antofagasta, 7°C; Temuco,
°C; Chañaa, °C; Pueto Mo,°C. Aa, Atofagasta, Chañaa,Pueto Mo Teuo.
. Teuo Pueto Mo. Es d. Porque se comparan dos datos
Página 2591. Arica2. No, en Enero quiere 233. “aago4. Clásica con 10% ; Reggaeton con 4%
y jazz con 4%5. 3 veces o 12% más6. 30, respuesta abierta7. 1/258. Respuesta abierta
Capítulo 14 · Lección 5
Página 2611. edios, espuesta aeta2. Ver cuaderno del estudiante
3. putos espeaete4. Respuesta abierta5. Ver cuaderno del estudiante6. ° °C espeaete7. 28°C8. En los 20°C9. edios10. edios11. Información de datos agrupados12. Ver cuaderno del estudiante, 6
eas de tas13. Ver cuaderno del estudiante14. BPágina 262Grupo A1.Grupo
30
25
20
1510
5
0 Viernes Sábado Domingo
Agua mineral Bebida de fantasía
2. DomingoGrupo B1. 30 días2. 6 díasGrupo C1. Alojamiento, Recreación y trans-
portes y otros2. Transporte, recreación y otros3. Recreación, transporte y comidaGrupo D1. Sí 2. Respuesta aeta, íjate e a esaa
y los intervalos
Grupo E1. 17 niños2. 4 niñosPágina 2641. Gáio de aas does2. Gáio de aas3. Gáio ua4. Ver cuaderno del estudiante5. Entre 2010 y 20116. Respuesta abierta7. “o úpos oues8. Po e po de aae9. , a aoa de os depostas
ee años10. Respuesta abierta11. Error es que suma las edades12. Respuesta abiertaPágina 2651. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiantePágina 266 y 2671. B2. D3. B4. B5. C6. A7. C8. A
9. A10. C11. B12. A13. B14. B15. B16. B17. C
Capítulo 15
Página 2691. 1/42. 2/33. 3/5
4. 3/85. 3/46. 6/137. 6/258. 3/59. 5/810. 3/511. 13/3012. 5/613. 7/1314. 11/4015. 1/316. 0,6 ; 60%17. 0,125 ; 12,5%18. 0,9 ; 90%19. 0,75 ; 75%20. 0,35 ; 35%21. 0,56 ; 56%22. 0,25 ; 25%23. 0,28 ; 28%24. 0,8 ; 80%
25. 0,36 ; 36%26. 0,3 ; 30%27. 0,875 ; 87,5%28. 0,15 ; 15%29. 0,04 ; 4%30. 0,08 ; 8%31. Imposible32. Probable33. Seguro34. Improbable35. Imposible36. Seguro37. Improbable38. Imposible
Capítulo 15 · Lección 1
Página 2711. 1 vez es probable que salga 5.2. 2 veces es probable que salga 5.3. 10 veces es probable que salga 5.4. 20 veces es probable que salga 5.
5. 120/6, la probabilidad de que salga5 al lanzar una vez el dado es 1/6. Silo lanzas 120 veces es 120/6.
6. 1/27. 1/28. 1/39. 1 vez es probable que salga sello.10. 5 veces es probable que salga sello.11. 50 veces es probable que salga sello.12. 1/213. 1/214. a. 1/4 b. Son 8 resultados posiblesPágina 27215. Ver tabla y cuaderno del estudiante16. Ver tabla y cuaderno del estudiante17. Ver tabla y cuaderno del estudiante18. Respuesta abierta19. Respuesta abierta20. Ver tabla y cuaderno del estudiante21. Ver tabla y cuaderno del estudiante22. Ver tabla y cuaderno del estudiante
23. Respuesta abierta24. Respuesta abierta25. 5/1226. 1/627. 1/428. 5/1229. 5/1230. Ver cuaderno del estudiante31. 16932. 15
33. Respuesta abierta34. Raza beaglePágina 2731. V2. V3. F
Lección 15-2
Página 2751. 6 resultados posibles2. Va a depender de los resultados
registrados en la tabla. 60 resultadosposibles.
3. Comenta respuesta posible: ayudaa organizar la información y contar
todos los resultados posibles.4. 8 resultados posibles5. 12 combinaciones posibles6. 12 combinaciones posibles7. No, s teeos uato ihas de
diferentes colores y 1 moneda, loseeetos so as uato ihas osresultados de las monedas (cara osello) y eso sería 8 resultados posibles;no se puede predecir qué sucederádespués.
8. Porque facilita el cálculo de todos losresultados posibles.
9. Ver cuaderno del estudiante.10. X = 1311. Hay 20 posibilidades de que salga
cara.12. Moneda de $10
C S
C C C C S
S S C S S M
o n e d a s d e $ 1 0 0
Página 276Páa adoaGrupo A1. 24 combinaciones posibles de
talleres. Ver dibujo en cuaderno delestudiante.
2. 27 combinaciones posibles.3. 12 combinaciones posibles.Grupo B4. 12,5%5. 50%6. 50%7. 1/68. 1/39. 1/210. 1/511. 20 veces12. 1/513. 15/20Página 278
1. Epeeto2. Diagrama de árbol3. Ver cuaderno del estudiante4. 40 veces5. 6/12 = 1/26. 5/127. 08. 5/129. 1/310. Sí 11. Respuesta abiertaPágina 280 y 2811. B2. D3. C4. B5. A6. C7. D8. A9. A
10. Televisor11. Reproductor de DVD12. Anillo de diamante13. Negra14. F15. V16. Ver cuaderno del estudiante17. 120 personas18. 1/1019. 1/5
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Video
Doad e e pas de as ateáas
doad e e pas de as ateaas - YouTue
hp://.outue.o/ath?=WtItPuGo
// - “udo po apahepus
Doad e e pas de as ateáas opeto audo
ao po Joge Aado Heádez.
Bibliografía
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