Trabajo Prctico

El siguiente trabajo prctico consta de tres partes y cada una de ellas tiene como objetivos que el alumno sea capaz de: Parte I: Resolver Ecuaciones Algebraicas y no Algebraicas, resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales y obtener polinomios de interpolacin. Parte II: Obtener una solucin aproximada a la solucin de un problema de valor inicial mediante distintos mtodos numricos.

Presentacin del Trabajo Prctico

Para cada ejercicio se debe presentar los siguientes tems:

Planteo del problema Introduccin terica: se realiza una pequea introduccin terica de los mtodos a aplicar. Desarrollo: En los casos que sea necesario Resumen de Resultados: A travs de una tabla y/o un grfico se presentaran los resultados obtenidos. Comentarios y Conclusiones

Observaciones: Con Gn indica un nmero que est relacionado con el nmero del grupo, el cul es utilizado en la definicin de algunos ejercicios. En los ejercicios que tienen (*) deben consultar teora para su realizacin

PARTE IEcuaciones Algebraicas y no Algebraicas

Ejercicio 1:

Resuelva la siguiente ecuacin ex +(Gn)-x + Gncos(x)- 6 =0. a) Mediante un anlisis grfico determinar el intervalo que contiene a la raz buscada.(En el caso en que sean varias buscar la menor positiva) Utilizar el Mtodo de Biseccin. b) Calcular la raz con una tolerancia para el error absoluto de 0.02. Utilizar 5 decimales. c) Verificar el clculo obtenido, mejorando la aproximacin, utilizando otro mtodo que consideren conveniente. Obtenga conclusiones sobre los resultados obtenidos por los mtodos utilizados.

RESOLUCIN

MTODO DE BISECCINEn general si f(x) es real y continua en el intervalo [xl ;xu] , si analizamos la funcin en sus extremos y vemos que f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, entonces hay al menos una raz real entre xl y xu. Aprovechando esta caracterstica, los mtodos de bsqueda incremental logran localizar el cambio de signo (la raz) con ms exactitud mediante una divisin de dicho intervalo en varios subintervalos.El Mtodo de Biseccin es un tipo de bsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la funcin cambia de signo sobre un intervalo, se evala el valor de la funcin en el punto medio y la posicin de la raz se determina situndola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximacin:

Paso 1: Elija valores inciales inferior y superior que encierren la raz, de forma tal que la funcin cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f() * f() < 0.Paso2: Una aproximacin de la raz se determina mediante:Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qu subintervalo est la raz:Si f() * f() < 0 , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.Si f() * f() > 0 , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.Si f() * f() = 0 , la raz es igual a y termina el clculo.

SolucinFuncin: ex + 10-x + 10*cos(x) 6

Grafica

a) Mtodo de la biseccinN IteracinExtremos del intervaloAproximacinf(xl)f(xu)f(xr)Error absolutoError relativo (%)

f(xl)*f(xu) 9, considerar Gn = nmero de grupo +2. Solo en este ejercicio.

1. Primero use el mtodo de Euler y luego el mtodo de RungeKuttade orden 4 con paso h=0.25 en cada caso. 1. Realice lo mismo con h=0.1 y con h=0.05.1. La solucin para el problema de valor inicial, la solucin exacta es

Calcule en cada caso el error cometido para y(0.5), y(1.25) y en y(2)

RESOLUCIN

MTODO DE RUNGE KUTTAEnanlisis numrico, losmtodos de Runge-Kuttason un conjunto de mtodos genricos iterativos, explcitos e implcitos, de resolucin numrica deecuaciones diferenciales.Sea una ecuacin diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condicin de que el valor inicial de sea. Entonces el mtodo RK (de ordens) tiene la siguiente expresin, en su forma ms general:,Dondehes el paso por iteracin, o lo que es lo mismo, el incrementoentre los sucesivos puntosy. Los coeficientesson trminos de aproximacin intermedios, evaluados en de manera local

Concoeficientes propios del esquema numrico elegido, dependiente de laregla de cuadraturautilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explcitos o implcitos dependiendo de las constantesdel esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,para, los esquemas son explcitos.

MTODOS DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDENUn miembro de la familia de los mtodos Runge-Kutta es usado tan comnmente que a menudo es referenciado como RK4 o como el mtodo Runge-Kutta.Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el mtodo RK4 para este problema est dado por la siguiente ecuacin:

Donde

As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) ms el producto del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, dondees la pendiente al principio del intervalo,es la pendiente en el punto medio del intervalo, usandopara determinar el valor deyen el puntousando elmtodo de Euler.es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usandopara determinar el valor dey;es la pendiente al final del intervalo, con el valor deydeterminado por. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

1. Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.25:

N IteracinValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+1

001-20.250.5

10.250.520.251

20.51-20.250.5

30.750.520.251

411-20.250.5

51.250.520.251

61.51-20.250.5

71.750.520.251

821-20.250.5

Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.25: N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de paso

x(i)y(i)h

101-20.75-3.417968751.201007840.25

20.250.744377930.79459726-0.104982810.89574290-1.568439470.25

30.500.778031180.51632160-0.093404560.61594505-1.103703730.25

40.750.797101970.34656114-0.071490750.42719565-0.765432790.25

51.000.809291060.23348641-0.051752700.29394234-0.523768740.25

61.250.817378430.15649435-0.036224990.19979565-0.353807170.25

71.500.822787950.10411939-0.024768570.13418150-0.236347880.25

81.750.826396170.06879413-0.016654190.08921327-0.156494970.25

920.828788560.04519988-0.011066770.05885949-0.102942160.25

1. Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.1N IteracinValores InicialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+1

001-20.10.8

10.10.80.320.10.832

20.20.8320.0133120.10.8333312

30.30.83333122.1333E-050.10.83333333

40.40.83333335.4614E-110.10.83333333

50.50.833333300.10.83333333

60.60.833333300.10.83333333

70.70.833333300.10.83333333

80.80.833333300.10.83333333

90.90.833333300.10.83333333

1010.833333300.10.83333333

111.10.833333300.10.83333333

121.20.833333300.10.83333333

131.30.833333300.10.83333333

141.40.833333300.10.83333333

151.50.833333300.10.83333333

161.60.833333300.10.83333333

171.70.833333300.10.83333333

181.80.833333300.10.83333333

191.90.833333300.10.83333333

2020.833333300.10.83333333

Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.1

N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de pasoh

x(i)y(i)

001-2-0.72-1.511552-0.158001930.1

10.10.889648234-0.60120543-0.27081796-0.44969541-0.11499820.1

20.20.853694395-0.20858549-0.10050155-0.15618214-0.04769840.1

30.30.840866873-0.07601645-0.03749437-0.05697248-0.018403380.1

40.40.836144314-0.02820463-0.01403104-0.02114769-0.006967940.1

50.50.834385481-0.01053476-0.00525741-0.00790024-0.002622050.1

60.60.833727612-0.00394465-0.00197093-0.00295837-0.000984530.1

70.70.833481149-0.00147842-0.00073901-0.0011088-0.000369380.1

80.80.833388759-0.00055429-0.00027712-0.00041572-0.000138540.1

90.90.833354117-0.00020784-0.00010392-0.00015588-5.1956E-050.1

1010.833341127-7.7939E-05-3.8969E-05-5.8454E-05-1.9484E-050.1

111.10.833336256-2.9227E-05-1.4613E-05-2.192E-05-7.3066E-060.1

121.20.833334429-1.096E-05-5.48E-06-8.22E-06-2.74E-060.1

131.30.833333744-4.11E-06-2.055E-06-3.0825E-06-1.0275E-060.1

141.40.833333487-1.5412E-06-7.7062E-07-1.1559E-06-3.8531E-070.1

151.50.833333391-5.7797E-07-2.8898E-07-4.3347E-07-1.4449E-070.1

161.60.833333355-2.1674E-07-1.0837E-07-1.6255E-07-5.4184E-080.1

171.70.833333341-8.1276E-08-4.0638E-08-6.0957E-08-2.0319E-080.1

181.80.833333336-3.0479E-08-1.5239E-08-2.2859E-08-7.6197E-090.1

191.90.833333334-1.143E-08-5.7148E-09-8.5721E-09-2.8574E-090.1

2020.833333334-4.2861E-09-2.143E-09-3.2145E-09-1.0715E-090.1

Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.05 :N IteracinValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+1

001-20.050.9

10.050.9-0.720.050.864

20.10.864-0.3179520.050.8481024

30.150.8481024-0.150308170.050.84058699

40.20.840587-0.073167970.050.83692859

50.250.8369286-0.036107710.050.83512321

60.30.8351232-0.017937190.050.83422635

70.350.8342263-0.008939720.050.83377936

80.40.8337794-0.004462680.050.83355623

90.450.8335562-0.002229550.050.83344475

100.50.8334448-0.001114330.050.83338903

110.550.833389-0.000557050.050.83336118

120.60.8333612-0.00027850.050.83334726

130.650.8333473-0.000139240.050.8333403

140.70.8333403-6.9619E-050.050.83333681

150.750.8333368-3.4809E-050.050.83333507

160.80.8333351-1.7404E-050.050.8333342

170.850.8333342-8.7022E-060.050.83333377

180.90.8333338-4.3511E-060.050.83333355

190.950.8333336-2.1755E-060.050.83333344

2010.8333334-1.0878E-060.050.83333339

211.050.8333334-5.4389E-070.050.83333336

221.10.8333334-2.7194E-070.050.83333335

231.150.8333333-1.3597E-070.050.83333334

241.20.8333333-6.7986E-080.050.83333334

251.250.8333333-3.3993E-080.050.83333334

261.30.8333333-1.6996E-080.050.83333333

271.350.8333333-8.4982E-090.050.83333333

281.40.8333333-4.2491E-090.050.83333333

291.450.8333333-2.1246E-090.050.83333333

301.50.8333333-1.0623E-090.050.83333333

311.550.8333333-5.3114E-100.050.83333333

321.60.8333333-2.6557E-100.050.83333333

331.650.8333333-1.3279E-100.050.83333333

341.70.8333333-6.6393E-110.050.83333333

351.750.8333333-3.3196E-110.050.83333333

361.80.8333333-1.6599E-110.050.83333333

371.850.8333333-8.2985E-120.050.83333333

381.90.8333333-4.1508E-120.050.83333333

391.950.8333333-2.0754E-120.050.83333333

4020.8333333-1.0377E-120.050.83333333

Aplicacin del mtodo de Runge Kutta de orden 4 con paso h=0.05N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de pasoh

x(i)y(i)

001-2-1.33-1.54776675-0.988430730.05

10,050.927133631-1.04358493-0.73212357-0.82337003-0.559559240.05

20,10.887849203-0.58082246-0.41914858-0.46364281-0.325118930.05

30,150.865586502-0.33501489-0.24561975-0.26930921-0.192112820.05

40,20.852611622-0.19724271-0.14594232-0.15922877-0.114705350.05

50,250.84492587-0.11753801-0.08743958-0.09512727-0.068922530.05

60,30.840329251-0.07054649-0.05265107-0.05718351-0.041572770.05

70,350.837564348-0.04252496-0.03179933-0.03450199-0.02513450.05

80,40.835895497-0.02570041-0.01924075-0.02086342-0.015217610.05

90,450.83488611-0.0155567-0.01165485-0.01263315-0.009221380.05

100,50.834274826-0.00942557-0.00706452-0.00765582-0.005590770.05

110,550.833904351-0.00571409-0.00428386-0.0046418-0.003390660.05

120,60.833679717-0.00346528-0.00259833-0.00281521-0.002056740.05

130,650.833543475-0.00210195-0.00157623-0.00170771-0.001247750.05

140,70.833460829-0.00127515-0.00095627-0.00103601-0.000757010.05

150,750.833410689-0.00077363-0.00058019-0.00062856-0.00045930.05

160,80.833380269-0.00046938-0.00035202-0.00038137-0.000278680.05

170,850.833361812-0.00028479-0.00021359-0.00023139-0.000169090.05

180,90.833350613-0.0001728-0.0001296-0.0001404-0.00010260.05

190,950.833343818-0.00010485-7.8636E-05-8.5189E-05-6.2253E-050.05

2010.833339695-6.3618E-05-4.7714E-05-5.169E-05-3.7773E-050.05

211,050.833337193-3.8602E-05-2.8951E-05-3.1364E-05-2.292E-050.05

221,10.833335676-2.3422E-05-1.7567E-05-1.9031E-05-1.3907E-050.05

231,150.833334755-1.4212E-05-1.0659E-05-1.1547E-05-8.4383E-060.05

241,20.833334196-8.6233E-06-6.4675E-06-7.0065E-06-5.1201E-060.05

251,250.833333857-5.2324E-06-3.9243E-06-4.2513E-06-3.1067E-060.05

261,30.833333651-3.1749E-06-2.3811E-06-2.5796E-06-1.8851E-060.05

271,350.833333526-1.9264E-06-1.4448E-06-1.5652E-06-1.1438E-060.05

281,40.83333345-1.1689E-06-8.7667E-07-9.4972E-07-6.9403E-070.05

291,450.833333404-7.0925E-07-5.3194E-07-5.7626E-07-4.2112E-070.05

301,50.833333376-4.3035E-07-3.2276E-07-3.4966E-07-2.5552E-070.05

311,550.833333359-2.6112E-07-1.9584E-07-2.1216E-07-1.5504E-070.05

321,60.833333349-1.5844E-07-1.1883E-07-1.2873E-07-9.4075E-080.05

331,650.833333343-9.6138E-08-7.2104E-08-7.8112E-08-5.7082E-080.05

341,70.833333339-5.8334E-08-4.375E-08-4.7396E-08-3.4636E-080.05

351,750.833333337-3.5395E-08-2.6547E-08-2.8759E-08-2.1016E-080.05

361,80.833333335-2.1477E-08-1.6108E-08-1.745E-08-1.2752E-080.05

371,850.833333335-1.3032E-08-9.7737E-09-1.0588E-08-7.7375E-090.05

381,90.833333334-7.9072E-09-5.9304E-09-6.4246E-09-4.6949E-090.05

391,950.833333334-4.7978E-09-3.5984E-09-3.8982E-09-2.8487E-090.05

4020.833333334-2.9112E-09-2.1834E-09-2.3653E-09-1.7285E-090.05

1. La solucin para el problema de valor inicial, la solucin exacta es:

Calcule en cada caso el error cometido para y(0.5), y(1.25) y en y(2):

Valores exactosh= 0,25Errorh = 0,1Errorh = 0,05Error

xiyiyiyiyi

0,50.834270210.1657297890.83333330.000936910.83344480.00082541

1,250.83333390.50.3333338510.83333335.5092E-07

20.833333310.1666666660.83333333.362E-080.83333333.362E-08

Ejercicio 3:

a) Utilice el mtodo de Euler con paso h = 0.1 para obtener una solucin numrica y luego utilice spline cbicos para obtener una curva solucin en el intervalo [0, 2] para el siguiente

problema de valor inicial (PVI) Realice la grfica de la curva obtenida.

b) La solucin exacta para el problema de valor inicial es y(x)= eGnsenx, realice su grfica y compare con la solucin aproximada obtenida.

c) Realice el tem a) utilizando el mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.1 y compare la solucin aproximada con la solucin exacta.

Resolucina) Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.1N IteracinValores InicialesPendienteTamao de pasoAproximacinError Relativo (%)

xiyif'(xi;yi)hyi+1

0010,11

10,119,950041650,11,995004170

20,21,995004219,55236910,13,9502410749,8747914

30,33,950241137,73809440,17,7240505149,4966477

40,47,724050571,14321640,114,838372148,8579073

50,514,838372130,2189660,127,860268847,9454321

60,627,860269229,9407210,150,854340846,7400252

70,750,854341388,9554530,189,749886145,2155542

80,889,749886625,2934780,1152,27923443,3377099

90,9152,27923946,5828980,1246,93752441,0622947

101246,937521334,209130,1380,35843738,3328902

111,1380,358441725,291120,1552,88754935,0776795

121,2552,887552003,430910,1753,2306431,2050999

131,3753,230642014,883140,1954,71895426,5978414

141,4954,718951622,708530,11116,9898121,1044636

151,51116,9898790,1273320,11196,0025414,5275142

161,61196,0025-349,2270280,11161,079846,60640179

171,71161,07981495,987440,11011,481093,00777791

181,81011,4811-2298,106230,1781,67047-14,7900683

191,9781,67047-2527,059080,1528,964562-29,3999367

202528,96456-2201,269290,1308,837633-47,7736933

b) N IteracinValores exactosTamao de paso

xiyih

0010,1

10,12,71375740,1

20,27,29138350,1

30,319,2056030,1

40,449,115930,1

50,5120,814390,1

60,6283,276860,1

70,7627,771890,1

80,81304,48150,1

90,92523,16440,1

1014512,96590,1

111,17421,03340,1

121,211163,3440,1

131,315299,5980,1

141,419043,8080,1

151,521481,5530,1

161,621932,7460,1

171,720264,9510,1

181,816957,6830,1

191,912874,4610,1

2028892,59570,1

Notamos que las curvas son muy similares en su forma y recorrido, solo que la solucin exacta tiene un mximo de mayor valor en el mismo x que en el mtodo de Euler.c) Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.1N IteracinValores Incialesk1k4Tamao deValoresError

x(i)y(i)k2k3paso hExactos

1011014,981253917,468768227,33153880,110

20,12,70426,903516840,035692546,528050372,10021240,12,7137573930,36472219

30,27,23970,9507435104,51578120,776571184,5427030,17,2913834960,71321895

40,319,007181,584142263,837445302,470699453,6632410,119,205603141,03227186

50,448,472446,454323637,466662723,4649151060,279760,149,115930051,31156315

60,5118,9481043,87011459,02641635,991872331,965570,1120,81438821,54453783

70,6278,3802297,565723130,662063462,269314777,254010,1283,2768631,72880168

80,7616,0584711,868496231,435816787,361069020,914690,1627,77189271,8660096

90,81278,8978910,1627711380,784812196,069215530,95080,11304,4814821,96125878

100,92472,14415367,095118849,434719862,243824088,66850,12523,1643732,02206895

1114420,13023882,062127934,796528943,058133177,99530,14512,9659192,05710234

121,17267,05932963,097936417,529237123,075139784,58610,17421,0334142,07483745

131,210930,87439608,869340712,27140886,234640176,97950,111163,34432,08244396

141,314980,58840072,898137196,606336881,642831730,74530,115299,598332,08508799

151,418646,59131693,077324379,209923938,539214883,42170,119043,808222,08580979

161,521033,45714878,47914528,568924420,95662-6270,758850,121481,553432,08595813

171,621475,237-6270,66654-16743,3278-16329,0247-25565,75530,121932,745572,08596239

181,719842,218-25565,6054-33089,4867-32418,9356-37716,28480,120264,950662,08602877

191,816603,906-37724,4216-40560,5034-40169,7052-40692,24830,116957,683412,08623836

201,912605,954-40753,7349-39121,7006-39423,7745-36053,20090,112874,461212,08557811

2128707,656-36236,6357-31794,7631-32818,7762-27391,83170,18892,5957232,07970273

Ejercicio 4:

Un tanque de almacenamiento contiene un lquido con profundidad , donde = 0 cuando el tanque est lleno a la mitad. El lquido se extrae con una tasa de flujo constante a fin de satisfacer las demandasdiarias. Se suministra el contenido a una tasasenoidal de 3 2().

Para este sistema, la ecuacin de conservacin puede escribirse como:() = 3 2() (cambio en el volumen) = (flujo de entrada) (flujo de salida)

a) Como el rea de la superficie es constante en este caso, la ecuacin diferencial para la profundidad puede escribirse como: = 3 2() Emplee el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundidad , desde = 0 hasta 10 , con un tamao de paso de 0.5 . Los valores de los parmetros son = 1200 2 y = 500 3/. Suponga que la condicin inicial es = 0.

b) Suponga que el flujo de salida no es constante, sino que la tasa depende de la profundidad para este caso, la ecuacin diferencial para la profundidad puede escribirse como:

Use el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundidad y, desde t=0 hasta 10 d, con un tamao de paso de 0,5 d. Los valores de los parmetros son A=1200m2 y Q=500m3/d, . Suponga que la condicin inicial es y=0.

Solucina) Teniendo en cuenta que:

Nmero de iteracionesValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+1

100-0,416666670,5-0,20833333

20,5-0,20833333-0,129355610,5-0,27301114

31-0,273011140,468425110,5-0,03879858

41,5-0,038798580,827078640,50,37474074

520,3747407380,61686060,50,68317104

62,50,6831710360,031044470,50,69869327

730,69869327-0,39177310,50,50280672

83,50,502806722-0,262855580,50,37137893

940,3713789340,299270850,50,52101436

104,50,5210143610,777789750,50,90990923

1150,9099092350,732753040,51,27628575

125,51,2762857540,205567270,51,37906939

1361,37906939-0,319075390,51,21953169

146,51,219531695-0,358820910,51,04012124

1571,0401212420,122872570,51,10155753

167,51,1015575280,683138280,51,44312667

1781,4431266680,806870510,51,84656192

188,51,8465619220,380310420,52,03671713

1992,036717132-0,204364610,51,93453483

209,51,934534827-0,409607050,51,7297313

21101,7297313-0,046717960,51,70637232

Llegamos finalmente a un valor aproximado de la profundidad para t=10d y un tamao de paso de 0,5 d, siendo los valores de A=1200m2 y Q=500m3/d, y suponiendo como condicin inicial y=0:

b) Tendremos en este caso que:

Nmero de iteracionesValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+f'(xi;yi)*h

100-0,250,5-0,125

20,5-0,1250,082689170,5-0,083655415

31-0,083655410,665797020,50,249243096

41,50,2492430960,894676980,50,696581588

520,6965815880,481065620,50,937114396

62,50,937114396-0,226309070,50,823959864

730,823959864-0,590939380,50,528490172

83,50,528490172-0,318615120,50,369182612

940,3691826120,315410270,50,526887747

104,50,5268877470,722772930,50,888274209

1150,8882742090,500729110,51,138638765

125,51,138638765-0,159656960,51,058810283

1361,058810283-0,640932530,50,738344016

146,50,738344016-0,515139690,50,480774168

1570,4807741680,089061580,50,52530496

167,50,525304960,628854690,50,839732308

1780,8397323080,599698980,51,139581798

188,51,1395817980,014568960,51,146866279

1991,146866279-0,574105180,50,85981369

209,50,85981369-0,627020550,50,546303414

21100,546303414-0,11076010,50,490923365

As, suponiendo para este caso, que el flujo de salida no era constante, y para un t=10d, un tamao de paso de 0,5 d, A=1200m2, Q=500 m3/d, Y suponiendo que la condicin inicial era de y=0. Obtuvimos un valor aproximado de:

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL PARANINGENIERA CIVIL

CLCULO AVANZADOTRABAJO PRCTICO FINAL

Profesora: Lic. Liliana TabordaAlumnos: BROWN MOIA, TOMASMORALES, HUGO ORSI GAITN, ERNESTO MANUELNivel: 3er AoFecha de entrega: 27 Julio 2015Ao de cursado: 2014