8/17/2019 Trabajo Colaborativo2 Melina
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
TRABAJO COLABORATIVO 2
ALGEBRA LINEAL
PRESENTADO POR:
Rosa Melina Muillo Co!unu"o
C#$i%o: &'(&)&*)&+
Tu,o
Juan Pa"lo Va%as
EL ESPINO
2'&-
DESARROLLO DE EJERCICIOS
1
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&. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas lassoluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.1.464
575
174
−=++−
=−−
=−−
z y x
z y x
z y x
[1−4−7∨15−7−1∨5−416∨−4 ] f 3 + 4 !" 3
[ 1−4−7∨1
5−7−1∨5
0−15−22∨0
] # + $% !" #
[ 1−4−7∨101334∨0
0−15−22∨0] !3 3 + !% #" 3
[1−4−7∨1
01334∨0
00224∨0 ] 3 & ##4" 3
[1−4−7∨101334∨000 1∨0 ] ! + ' 3" !
[ 1−4 0∨1
01334∨0
001∨0 ] !3 ! + 4 #" !
[1300∨13
01334∨0001∨0 ]
# + ($34) 3" #
[1300∨13
0130∨0
001∨0 ] ! & !3 " !2
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*" !40 + 4%-
1" !0 + 3#-
x5 5 dependen de -, si - " t, t 6
*" !40 + 4%t1" !0 + 3#tes decir este sistema de ecuaciones tiene una ininidad de soluciones a7ue para cada 8alor de t, 9a/rá un 8alor para x, , -
1.3.
26
764
8575
11474
−=−−−
−=−++−
−=−−−
−=+−−
w z y x
w z y x
w z y x
w z y x
[1−4−74∨−115−7−1−5∨−8−416−1∨−76−1−1−1∨−2
] f2 + -5f1= f2
[
1−4−7 4∨−11
01334−25∨47
−416−1∨−76−1−1−1∨−2
] f3 + 4f1= f3
[ 1−4−74∨−1101334−25∨47
0−15−2215∨−516−1−1−1∨−2
] 4 + ($) !" 4
[
1−4−74∨−1101334−25∨47
0−15−2215∨−51
02341−25∨64
] # & !3 " #
[ 1−4−74∨−11
0134
13−
25
13∨
47
13
0−15−2215∨−5102341−25∨64
] ! + 4 #" !4
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[
10 45
13−
48
13∨
45
13
0134
13−
25
13∨
47
13
0−15−2215∨−5102341−25∨64
] 3 + !% #" 3
[ 10
45
13−
48
13∨
45
13
01 34
13−
25
13∨
47
13
00224
13−
180
13∨
42
13
02341−25∨64] f 4 + $#3 # " 4
[ 10
45
13−
48
13∨
45
13
0134
13−25
13∨
47
13
00 224
13−
180
13∨
42
13
00−249
13
250
13∨−24913
] f 3 & 22413 " 3
[ 10
45
13−
48
13∨
45
13
0134
13−25
13∨
47
13
001−45
56∨0.1875
00−249
13
250
13∨−24913
] −4513 3 + !" !
5
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[
100−51
56∨2.8125
0134
13−25
13∨
47
13
001
−
45
56∨0.1875
00−249
13
250
13∨−24913
]
−3413 3 + # " #
[
100−51
56∨2.8125
010 5
28∨3.125
001−45
56∨0.1875
00−24913
250
13∨−249
13
] −24913 3 + 4" 4
[
100−51
56∨2.8125
01 0 5
28∨3.125
001−45
56
∨0.1875
000 215
56∨15.5625
] 4 +
215
56 " 4
[
10 0−51
56∨2.8125
01 0 5
28∨3.125
001−45
56∨0.1875
0001∨−1743430
]
51
56 4 + ! " !
6
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[
1000∨−189215
01 0 5
28∨3.125
001
−
45
56∨0.1875
0001∨−1743430
] −528 4 + #" #
[
1000∨−189215
0100∨331
86
001−45
56∨0.1875
0001∨−1743430
]
45
56 4 + 3 " 3
[
1 000∨−189215
0100∨331
86
0010∨−13243
0001∨−1743
430
]
esultado:
*" $189
215 "331
86 -"−132
43 ;"−1743430
1.4.
4164
275
34
−=+−
−=−
−=−
y x
y x
y x
7
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[ 1−4∨−3
5−7∨−2
−416∨−4] # + ($%) ! " #
[ 1−4∨−3
013∨13
−416∨−4] 3 + 4 ! " 3
[1−4∨−3
013∨13
00∨−16 ]2e la tercera ila se tiene x +" $!, el sistema no tiene solución
2 esuel8a el siguiente sistema lineal, empleando para ello la actori-ación LU
26
764
8575
11474
−=−−−
−=−++−
−=−−−
−=+−−
w z y x
w z y x
w z y x
w z y x
(%)
Uniendo las ecuaciones (3) (4):$4x + + - $ ;" $' (3)
x$ $ - $;" $ # (4)
#x + %- $ #; " $0
#(x $ ;) + %- " $0
(x $ ;) " ($0 $ %-)?# ()
8
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sustituendo los 8alores de () en (%):
3(x $ ; + ) $ - " $!>
3( ($0 $ %-)?# + ) $ - " $!>@ desarrollando
3( $0 $ %- + #)?# $ - " $!>
$#' $ !%- + $ #- " $3
$!'- + " $0 (')
=omando tam/ién las ecuaciones (#) (4):
%x $ ' $ - $ %;" $> (#) @ cam/iando el signo
x$ $ - $;" $ # (4)
$%x + ' + - +%; " >
x $ $ - $ ; " $#
x + + 4; " (>)
=omando nue8amente (3) (4), pero con signo cam/iado la primera:
4x $ $ - + ;" ' (3)
x$ $ - $;" $ # (4)
!x $ # $ '- " % (0)
=omando las ecuaciones (!) (#):x $ 4 $ '- + 4;" $!! (!)@ multiplicando por %
%x $ ' $ - $ %;" $> (#)@ multiplicando por 4
%x $ # $ 3%- + #; " $%%
#x $ #> $ 4- $ #; " $3#
#%x $ #> $ 30- " $>' (!)
Agrupando las ecuaciones ('), (0) (!)
$!'- + " $0 (')
!x $ # $ '- " % (0)
#%x $ #> $ 30- " $>' (!)
2esarrollando este sistema:
- " #!?!3
" '40?#
x " !43?%
9
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). esuel8a el siguiente sistema lineal, empleando para ello la in8ersa (utilice
el método 7ue preiera para 9allar
1− A
)
764
9275
11743
=++−
−=−−
−=−−
z y x
z y x
z y x
[3−4−7
5−7−2
−416 ] x" [ x
y
z ] B" [−11
−9
7 ]
Matriz inversa= A. x= BX= A-1. B A-1= 1/ |A| . A! AA!A= Bt
"a##$ #a eter%inante &$r e# %'t$$ e sarr(s.
A=[3−4−75−7−2−416 ] [
3−4−7∨3−45−7−2∨5−7−416∨−4 1 ]
$!#$3#$3%$($!0 $ $!#)" !#0 CAC" !#0
Adunta de A
Dea B matri- de coactores de A
| A|=[3−4−7
5−7−2
−416 ] B=[b11b12b13b21b22b23
b31b32b33]
/!! " [−7−216 ] $4# –($#)" $4
/!#" [5−2−46] 3$(>)" ##
1)
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/!3" [5−7−41] %$(#>)" $#3
/#!" [−4−716 ] $#4 –($')"$!'
/##" [3−4−41] !>$ (#>)" $!
/#3" [3−4−41] 3$ (!)"$!3
/3!" [−4−7−7−2 ] >$(40)"$4!
/3#" [3−75−2] $$($3%)" #0
/33" [3−45−7 ] $#!$($#)"$!
B=[b11b12b13b21b22b23
b31b32b33] " [−40−22−23
17−1013
−41−29−1 ] B transpuesta=[ −4017−41
−22−10−29
−2313−1 ]
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Eatri- in8ersa A$!
A-1= 1/ |A| . A! A
A-1= 1/129 x
[ −4017−41−22−10−29−2313−1
]
*ee%azan$
X= A-1. B
[ x y
z ] " !?!#0 x [ −4017−41
−22−10−29
−2313−1 ].[−11
−9
7 ] " !?!#0 [
0
129
129] " [
0
1
1]
x" , " ! -"!
4 6ncuentre las ecuaciones simétricas paramétricas de la recta 7ue:
-.& Fontiene a los puntos
)1,4,8(−= P
)38,1( −−−=Q
6cuaciones paramétricas
*" x! + at
1" ! + /t
" -! + ct
6cuaciones simétricas
x− x 1a "
y− y1
b " z− z1
c
H "
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H"
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" 4>i + 34 + !#M
6ntonces utili-ando cual7uiera de los tres puntos eemplo I($!,$>,$3)
4> (x$ x!) + 34 ( – !) + !# ( -$-!)
4>( x – ($!)) +34 ( – ($>)) + !# ( - –($3))" I
4> ( x + !) + 34 ( + >) + !# ( - + 3) " I
4>x + 4> +34 + #'# + !#- + 3" I
4>x + 34 + !#- " $4> $#'# $3
4>x + 34 + !#- " $#
(.2 Fontiene al punto
)38,1( −−−= P
tiene como 8ector normal a
k jin ˆ5ˆ2ˆ3 −+−=
Dolución
$3(x + !) + #( +>) – %( - + 3) " I
$3x $3 + # +! $%- $!% " I
$3x + # $%- " 3 $! +!%
$3x + # $%- " #
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# Di x" " - entonces # " # "2
−2 " $! ( , $!, )
3 Di " " -, entonces $3x " # x"2
3 (2
3 , ,)
6ncuentre todos los puntos de intersección de los planos:
π 1=9 x−2 y−8 z=10 y π
2=−5 x−7 y−8 z=2
( 9 −2 −8−5 −7 −8|102 ) R2+ 59 R1→
(9 −2 −80 −739
−1129 |
10
68
9 )(−973 ) R2
→
(9 −2 −80 1 11273
| 10
−6873
)16
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y+112
73 z=
−6873
y=−6873
−112
73 z
9 x−2 y−8 z=10
9 x−2(−6873 −11273 z)−8 z=10
9 x+136
73+224
73 z−8 z=10
9 x=594
73+360
73
x=66
73+40
73 z
seaz=t
{ x=66
73+ 40
73t
y=−68
73−
112
73t
z=t
Solucion donde t puedetomar cualquier valor de los reales( R)
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/ 2emuestre 7ue el conunto ormado por los 8ectores de
2 R
, constituen un
6spacio Hectorial
Nota: Euestre 7ue cada uno de los axiomas se satisace
Fonsidere 7ue el conunto de matrices reales # x #, donde tenemos el conuntocomo E## a se deinió las apariciones de adición multiplicación para escalar en
este conunto, esta orma un espacio 8ectorial De anali-aran algunos axiomas
para compro/ar esto
Usando la notación 8ectorial para indicar los elementos de m## sean:
u=(ac bd ) 1 V =(eg !)
2os matrices # x # cuales7uiera se tiene entonces 7ue:
Axioma !:
¿¿
a+¿ c+¿ egb+¿d+¿
!
u+V =(ac bd )+(eg !)=¿
U+H es una matri- de #x#
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2)