República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universidad Nacional Experimental Politécnica
“Antonio José de Sucre”
Vicerrectorado Barquisimeto – Edo. Lara
Cordero Aldy C.I. 23 835087
Gené Michelle C.I. 24 398171
Asignatura: Resistencia de Materiales
Sección 04
Barquisimeto, Diciembre del 2014
Introducción
El analisis estreuctural de las vigas suele dividirse en vigas isostáticas e
hiperestáticas. Recordemos que esta división corresponde a las condiciones
de apoyo que presente el elemento a analizar. Sila viga tiene un número
igual o inferior a tres incognitas en sus reacciones. Bastará con aplicar las
condiciones de equilibrio estático para resolverla.
∑ Fx=0∑ Fy=0∑M=0
Si en cambio, la viga presenta un mayor número de incógnitas,no
bastarácon las ecuaciones antes indicadas, sino que será necesario
incorporar nuevas expresiones.
Para abordar el análisis de las vigas hiperestáticas o estáticamente
indeterminadas resulta necesario analizar las deformaciones que
experimenta la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre las
viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su cez la hacen
deformarse. El análisis de las deformaciones tiene basicamente dos
objetivos. Por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que
traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas
hiperestáticas. Y por otra parte, las deformaciones en sí, deber ser limitadas.
Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar
correctamente diseñados por resistencia, es decir, no se romperán bajo la
carga, pero podrán deformarse más allá de lo deseable. Por lo que muchos
dimensionamientos están determinados por la deformación y no por la
resistencia.
Línea elástica
Curva que forma la fibraneutra una vez cargada la viga, considerando
que ésta se encontraba inicialmente recta.
Ecuaciones Diferenciales de la línea elástica
La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga
de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica.
Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de
desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la
forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal
sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica
viene dada por:
(1)
Donde:
representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical,
respecto de la posición sin cargas.
=la abscisa (eje X) sobre la viga.
El momento flector sobre la abscisa .
El segundo momento de área o momento de inercia de la sección
transversal.
El módulo de elasticidad del material.
La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha
supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las
dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección
de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores
se obtiene la ecuación más exacta (1'):
(1')
La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga
distribuida q(x) sobre la viga:
(2)
Esta última ecuación es interesante porque su generalización
a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de
gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas:
Donde es la rigidez de una placa delgada en flexión.
Ejemplo
Viga deformada por flexión.
Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M1 y M2, la
forma de la curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes,
la forma aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de
estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en la figura adyacente.
Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la
viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación
diferencial siguiente:
La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de las dos
posibles elecciones de contorno, se obtiene como:
Cálculo de Deformaciones en Vigas
Método de integración
Este método consiste en la integración de la ecuación descrita en la
sección anterior. Es necesario obtener primero la ley de variación
del momento flector para la viga estudiada, tal como se hizo en el ejemplo
anterior. Una vez conocida la ley de momentos flectores, se procede por
integración directa.
Si se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el
desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor de
ese punto respecto a la posición original el resultado de la deformación el
resultado de la integración directa es simplemente:1
Equivalentemente la expresión anterior puede reescribirse
mediante integración por partes como una integral simple:
Método Principio de superposición
Como método suplementario para la evaluación de pendientes y
ordenadas de la elástica se pueden usar como resultados de algunos tipos
sencillos de cargas, para obtener, por suma de efectos, las soluciones
correspondientes a cargas complicadas. Este procedimiento llamado método
de superposición, determina la pendiente o las deflexiones producidas, en
ese mismo punto de una viga por la suma de pendientes o de las deflexiones
producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando están
actúan por separad. La única restricción o condición impuesta para poder
aplicar este método es que cada carga aislada no debe producir un cambio
apreciable en la forma lineal o en la longitud de la viga, esto es, la actuación
de cada carga no debe influir en la forma de actuar de las démosla aplicación
de este método presenta notables ventajas, sobre todo cuando las cargas
son una combinación de los tipos que aparecen en la tabla. En tales casos
es preferible el método de la doble integración. Si de lo que se trata es de
calcular la deflexión o la pendiente de un punto determinado, lo mejor es el
método de área momento. El principio de superposición establece que el
efecto de un conjunto de cargas que actúa simultáneamente, es el mismo
cuando se suman los efectos de cada una de ellas actuando por separado.
Bajo este concepto, es posible solucionar una viga continua analizando las
rotaciones en los extremos de las barras para las cargas dadas considerando
a cada barra simplemente apoyada. Para su aplicación es necesario conocer
las fórmulas de estas rotaciones para vigas simples y cualquier tipo de carga.
A continuación se dan las de uso común:
Método de Área de momento
Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión
en las vigas es el Método del Área de Momentos, en el que intervienen el
área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza,
en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una vez
calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de
momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está
especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión
en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la
elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y
relaciones geométricas en la elástica, no se pierde el significado físico de lo
que se está calculando.
El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones
que el de la doble integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como
un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo
dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a representa una viga
simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como
intersección de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los
centroides de las secciones, se representa en la figura 1-b, aunque
sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el
representado en la figura 1-c.
Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos
secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga
inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra. Se puede ver
con más detalle en la parte CD ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a
lo largo de la elástica entre las dos secciones es igual ρ dθ, siendo ρ el radio
de curvatura de la elástica en ese punto. Se tiene la ecuación:
1ρ=MEI
Y como ds = ρ dθ, ahora escribimos:
1ρ=MEI
=dθds
O bien
dθ=MEIds
Figura 1. Teorema de área de momento
En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se
comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En
estas condiciones, se tiene: (b)
Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en
la figura 1-b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC
y OD, por lo que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la
elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos
pequeños ángulos: (c)
Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la
elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la
tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los
segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la
elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados
por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada
uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y
ángulo dθ:
dt = x dθ
De donde
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)
La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente
trazada por A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura
2 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B
respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas
desviaciones son distintas.
Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A
El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos
teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama
de momentos flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el área
del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que
pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c)
se puede escribir en la forma:
(1)
Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar
como sigue:
Teorema 1:
La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la
elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el
área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos.
La figura 6-8c muestra como la expresión x (M dx) que aparece dentro
de la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado
con respecto a la ordenada en B.
Por tanto, el significado geométrico de la integral de x (M dx) es el
momento con respecto a la ordenada en B del área de la porción del
diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la
expresión algebraica es:
TB/A = 1/EI *(área)AB XB
El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al
cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.Se mide en radianes.
Áreas positivas indican que la pendiente crece.
Teorema 2:
La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente
trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a
la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto
a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y
B.
El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha
supuesto tácticamente que E el permanecían constantes en toda la longitud
de la viga, que es un caso muy común.
Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del
signo integral, y hay que conocerla en función de x. tales variaciones suelen
tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de
momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se
aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M.
En los dos teoremas (área)AB representa el área de diagrama de
momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es el
brazo de momento de ésta área con respecto a B. El momento de área se
toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviación se desea
obtener.
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la
desviación vertical entre las tangentes en A y B.
Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre
A Y B.
El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva
elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al
momento del área bajo la curva M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje
A.
Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por
articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición
original de la viga y se denomina flecha.
Convención de signos
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la
desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda
por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y
negativa si queda debajo de dicha tangente.
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor
positivo de la variación de pendiente qAB indica que la tangente en el punto
situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la
tangente trazada en el punto más a la izquierda, A, es decir, que para pasar
de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del
reloj, y viceversa para los valores negativos de q AB .
Ecuación de los tres momentos
Sea una viga sometida a una carga cualquiera que soporte en forma
arbitraria.
A esta viga la hemos cortado en 3 puntos cualesquiera 1, 2,3, además
hemos reemplazados los efectos de cargas y fuerzas a la derecha o
izquierda de cada sección de corte por la fuerza cortante y el momento
flector. La longitud de los tramos serán y los momentos flectores serán las
fuerzas cortantes acompañan a la misma teniendo en cuenta que cada
extremo se encuentra perfectamente en equilibrio De esta manera hemos
transformado a cada uno de estos tramos en una viga solamente apoyada
con 2 estados de cargas que sabremos distinguir, por un lado las cargas
reales en un tramo y por otro los pares aplicados en sus extremos
En el esquema se presenta en forma genérica los diagramas de
momentos debido a las cargas cortantes en cada tramo y debido a los
momentos generados en los extremos de cada corte.
La tangente trazada a la elástica en el punto 2 determina la desviación
tangencial 1/2 y 3/2 respectivamente y la recta trazada por dos paralelas a la
posición inicial a la viga que por comodidad supondremos que la horizontal
determina la altura de los puntos 1 y 3 respecto al punto 2.
Como se puede observar el diagrama de momento flector se le ha
descompuesto en el área y áreas triangulares en que se descomponen el
área trapezoidal producida por los 2 pares extremos. Lo mismo sucede en el
área de donde podemos concluir que la desviación 12 está dado por cada
uno con su mismo brazo.
Regla de Signos: En la deducción de la Ecuación General de los Tres
Momentos se ha hecho la hipótesis de que los momentos flexionantes en los
tres puntos son positivos y que los puntos 1 y 3 estaban situados por encima
del punto 2. Si el momento flexionante en cualquiera de los puntos es
negativo habrá que considerarlo con signo menos al sustituir su valor en la
ecuación. Recíprocamente, si al resolver la ecuación sale un valor negativo
para cualquiera de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas
h1 y h3 son positivas si los puntos si los puntos 1 y 3 quedan por encima del
2, y son negativos, o se obtendrán con signo menos, si el punto 1 o el 3
están por debajo del punto 2.
Vigas Continuas
Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no
pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando
el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para
resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la
siguiente manera:
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos
más complejos, sumándose o restándose. Si se va a trabajar con más de dos
tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de
tramos consecutivos. Por ejemplo:
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3,
M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las
ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en
estos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios: 1º
Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero.
Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.
2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación
adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los
valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el
apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de
Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:
3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo
cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la
suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último
apoyo.
Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los
momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es
igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman.
Por ejemplo:
Bibliografía
E.P. Ingeniería Civil-UNAP, Mecánica de materiales. UNIVERSIDAD
NACIONAL DEL ALTIPLANO E.P. INGENIERIA CIVI.
Singer, l y Pitol, A. Resistencia de materiales. 4 Ed.
Marilycita, Resistencia de Materiales II
Disponible en: http://marilycita.blogspot.com
Salomon, Vigas. La cima del éxito.
Disponible en: http://megaconstruccion.blogspot.com
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