ÍNDICE
INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................... 1
CAPITULO I............................................................................................................................................ 2
1.1. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.........................................2
1.2. OBJETIVOS................................................................................................................................ 3
1.2.1. OBJETIVO GENERAL........................................................................................................31.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS...................................................................................................3
1.3. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA..........................................................................................3
CAPITULO II........................................................................................................................................... 4
2.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL.......................................................................................................4
2.1.1. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO.......................................................................................42.1.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN..................................................................................52.1.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD.........................................................................5
2.2. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL...................................................................6
2.3. COMPROBACIÓN DE UNA SOLUCIÓN..................................................................................6
2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADOS A LA OFERTA Y DEMANDA.....................7
2.4.1. PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA................................................8
2.5. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON...............................................................................9
FIGURA 1: LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON........................................................................................10
CAPITULO II......................................................................................................................................... 13
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA ALIMENTARIA.........13
PROBLEMA N° 1.................................................................................................................................. 13
PROBLEMA N° 2.................................................................................................................................. 15
PROBLEMA N° 3.................................................................................................................................. 17
PROBLEMA N° 4.................................................................................................................................. 18
PROBLEMA N° 5.................................................................................................................................. 20
PROBLEMA N° 6.................................................................................................................................. 22
CONCLUSIONES................................................................................................................................. 24
REFERENCIAS..................................................................................................................................... 24
INTRODUCCIÓN
El estudio de la matemática, no se basa en el sólo cálculo matemático, sino en
un abordaje profundo y detallado de su aplicación en la industria, hecho éste
que causó gran curiosidad por ahondar en este tema, y más aún dar a conocer a
todos, y en especial a aquellos que consideran a la matemática como netamente
abstracta y sin más aplicación que para efectuar operaciones, que la matemática
es la ciencia más importante, pues en ella se basan las demás ciencias como la
medicina, la biología, química, etc.
El objetivo del presente trabajo titulado Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
en la Industria Alimentaria es un trabajo de investigación que desarrolla
contenidos matemáticos de manera general y se enfoca en mostrar su aplicación
en la industria de manera detallada, mediante explicaciones teóricas y con
ejemplos prácticos.
Para la presentación del trabajo, se ha dividido en tres capítulos. El PRIMERO
titulado Generalidades, se presenta una descripción detallada de la finalidad,
planteamiento del problema justificación, y objetivos del desarrollo de esta
trabajo; EL SEGUNDO, titulado Marco Teórico, desarrolla todos los conceptos
utilizados en la aplicación de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria;
EL TERCERO titulado Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en la industria
alimentaria, presenta lo que deseamos abordar: el contenido matemático y su
aplicación a la industria
En fin elaborar este trabajo es la muestra de que se existe una aplicación práctica
de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria.
1
CAPITULO I
GENERALIDADES
1.1. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
La aplicación de la matemática aumenta su importancia al ser una ciencia
auxiliar fundamental de otras disciplinas. Por esto, toda persona
debe poseer aunque sea un mínimo de conocimiento de la matemática y su
contenido; aspecto éste muy difícil de encontrar actualmente, pues el
docente contrariamente de enseñar a valorar este conocimiento, mediante
una motivación al estudio de la matemática, se ha dedicado a crear en el
estudiante un temor innecesario hacia la materia, dado que se la presenta
como algo irreal, sin antecedentes y además sin aplicación y utilización en
la vida, excepto de las operaciones matemáticas básicas; por lo que el
individuo considera innecesario profundizar en el conocimiento matemático.
Por este poco interés en la matemática, el estudiante no está consciente de
que en cualquier aspecto de la vida social en el que piense desenvolverse
necesitará un buen dominio de esta ciencia para alcanzar sus metas y
propósitos.
Aplicaciones de la ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria se
persigue básicamente demostrar la aplicación de la matemática y el
cálculo matemático en los aspectos y contenidos de la industria, ya
que son de uso cotidiano, además de concientizar al estudiante de la
utilización de la matemática en la vida.
2
1.2. OBJETIVOS
1.2.1. OBJETIVO GENERAL
Dar a conocer la utilización y aplicación de ecuaciones diferenciales en
problemas relacionados a la industria alimentaria.
1.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Presentar al estudiante la aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales
en la realidad.
Presentar de manera más ilustrativa y demostrativa la aplicabilidad de la
derivada en la industria alimentaria.
1.3. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA
Los estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial, frecuentemente se
preguntan ¿Para qué aprender tanto cálculo? , ¿Qué utilización práctica
tiene las ecuaciones diferenciales?, por ejemplo, preguntas a las que no
es fácil encontrar una respuesta que no sea más complicada que la misma
pregunta.
Con el presente trabajo se espera sirva de herramienta para mejorar la
calidad de la aprendizaje de la matemática y a su vez sirva para
demostrarle al estudiante la gran utilidad de la matemática, motivándole
a estudiarle, además de servirle como consulta en sus estudios.
En la búsqueda de esa aplicación de la matemática en la vida, se puede
encontrar fácilmente a la industria alimentaria como campo de aplicación de
la misma.
3
CAPITULO II
MARCO TEORICO
2.1. ECUACIÓN DIFERENCIALUna ecuación diferencial es una ecuación que involucra las derivadas de
una función de una o varias variables. Dicha función se llama función
desconocida o función incógnita o variable dependiente.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo, orden y
linealidad.
2.1.1. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPOSi la función desconocida depende de una sola variable, la ecuación se
llama ecuación diferencial ordinaria (EDO). En cambio si la función
desconocida depende de varias variables la ecuación se llama ecuación
diferencial parcial.
Así por Ejemplo:
dydx
=x− y2(1)
y=y(x) es la función desconocida y x es la variable independiente.
Cuando aparecen derivadas de orden superior tales como:
d2 yd x2
,d3 yd x3
,………,dn yd xn
Se utilizan con frecuencia las notaciones respectivas y2 , y3 ,……. , yn en la
ecuación diferencial d2udt 2
+5 t dudt
−8u=0 (2)
4
La ecuación desconocida es u=u(t) y la variable independiente es t.
En la ecuación diferencial parcial:
∂2u∂ x2
+ ∂2u∂ y2
=0 (3)
U=u (x,y) es la función desconocida y x,y son las variables independientes.
2.1.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDENEl orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la mayor
derivada que aparece en la ecuación, se utiliza para ello números ordinales.
La EDO (1), es de primer orden
La Edo (2), es de segundo orden, en tanto que la ecuación de derivadas
parciales (3), es de segundo orden.
Se puede afirmar en general, que una EDO es una relación entre la función
desconocida, la variable independiente y las derivadas de la función
desconocida respecto a la derivada independiente.
F ¿)=0 (4)
La ecuación diferencial (4) es ordinaria de n-esimo orden.
La EDO ordinaria de primer orden se puede escribir entonces como:
F (x , y , y ' )=0 (5)
2.1.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDADSe dice que una EDO es lineal, si tanto la función desconocida como sus
derivadas están derivadas a la potencia uno. Por lo tanto la EDO (4) es
lineal si F es lineal respecto y ' , y ' ' ,……… y (n) . La ecuación (2) es ordinaria,
de segundo orden y lineal.
La EDO lineal de n-ésimo orden, no homogénea con función desconocida
y=y(x) se puede escribir como:
5
y(n )+ p1 ( x ) y (n−1)+...+ pn−1 (x ) y '+ pn ( x ) y=q (x) (6)
En la cual Pi(x), q(x) son funciones de x continuas.
Si q(x)=0 la ecuación (6) toma la forma
y(n )+ p1 ( x ) y (n−1)+...+ pn−1 (x ) y '+ pn ( x ) y=0 (7)
Esta última ecuación se llama ecuación diferencial de n-ésimo orden,
homogénea con FD y=y(x).
2.2. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIALUna solución cualquiera definida en un intervalo I, n veces derivable, que al
sustituirse en una EDO de n-esimo orden, la reduce a una identidad es una
solución de dicha ecuación en I. con símbolos:
y=∅ (x ) Es solución de la EDO F ¿ si y solo si
F (x ,∅ ( x ) ,∅ ' (x ) ,∅ ' ' (x ) ,… ..……∅ (n) (x ) )=0 Para todo x en I
2.3. COMPROBACIÓN DE UNA SOLUCIÓNComprobación de una solución: Para comprobar que una función dada es
la solución de una EDO, se procede a derivar la función las veces que sea
necesario y luego se sustituye en la EDO, y esta última debe convertirse en
una identidad.
Por ejemplo, la función de y=−6/(x¿¿2+1)¿ es solución de la ecuación
diferencial de primer orden y '=−2 xy /(x¿¿2+1)¿ en efecto derivando la
función dada se obtiene:
y '=12 x /¿¿ Sustituyendo en la ecuación de primer orden:
12 x /¿¿
Entonces
6
12 x /¿¿. Por tanto si es solución.
2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADOS A LA OFERTA Y DEMANDA
Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de
este bien por alguna unidad especificada (por ejemplo un barril de petróleo)
en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t
así que p(t ) es el precio en el tiempo t.
El número de unidades del bien que desean los consumidores por unidad
de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t ),
o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en
cualquier tiempo t, esto es, p(t ) sino también de la dirección en la cual los
consumidores creen que tomaran lo precios, esto es, la tasa de cambio del
precio o derivada p ´ (t ). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t
pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a
incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t ) y p ´ (t ) puede
escribirse:
D=ƒ [ p(t )] , p ´ (t )Llamamos ƒ la función de demanda.
Similarmente, el número de unidades del bien que los productores tienen
disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se
denota por S(t ), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S
también depende de p(t ) y p ´ (t ). Por ejemplo, si los precios están altos en
tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir más, la oferta
disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En
símbolo esta dependencia de S en p(t ) y p ´ (t ) puede escribirse:
S=g¿
Llamamos g a la función oferta.
7
2.4.1. PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDAEl precio de un bien en cualquier tiempo t o sea p(t ), está determinado por
la condición de que la demanda en t es igual a la oferta en t, es decir:
F [ p(t ), p ’( t)]=g [ p (t) , p ’ (t) ]
Como se puede ver la ecuación anterior es una EDO de primer orden, con
función desconocida p=p (t).
Ahora bien, las formas más simples de f y g son funciones lineales en p(t ) y
p ´ (t ), esto es:
D=a1 p (t)+a2 p ’(t )+a3
S=b1 p (t)+b2 p ’(t )+b3
En donde a1 y a2 son constantes reales.
Aplicando el principio económico de oferta y demanda D=S se obtiene:
D=a1 p (t)+a2 p ’(t )+a3=b1 p( t)+b2 p ’ (t)+b3
Operando:
P ’( t)+[(a1– b1)(a2– b2)
] p (t)=(b3 – a3)(a2 –b2)
Con:
a1≠b1, a2≠b2 , a3≠b3 .
La EDO es lineal no homogénea, con FD p=p (t).
Si la ecuación está sujeta a la condición inicial p(0)=p0 se origina el PVI
definido como:
P ’( t)+[(a1– b1)(a2– b2)
] p (t)=(b3 – a3)(a2 –b2)
8
p(0)=p0
La solución particular del problema en concordancia con la ecuación y
después de aplicar la condición inicial p(0)=p0 es:
p(t )=B3−A3A 1−B1
+[Po−(B3−A3A1−B1
)¿e−( A1−B2 ) t
A 2−B2 ]Se presentan varias posibilidades
Caso 1: Si p0=(b3– a3)(a1 –b1) entonces de la aplicación inicial se obtiene que
p(t )=P0 Situación en la cual los precios son constantes todo el tiempo.
Caso 2: Aquí el precio p(t ) tiende a (b3 – a3)(a1– b1)
como el limite cuando t
crece, asumiendo que este límite es positivo. En este caso se tiene
estabilidad de precios y el límite (b3 – a3)(a1– b1) se llama precio de equilibrio.
Caso 3: (a1 – b1)(b2 – a2)
<0 en este caso el precio p(t ) crece indefinidamente, a
medida que t crece, asumiendo que P0> (b3 – a3)(a1– b1) . Se presenta aquí
inflación continuada o inestabilidad de precios.
2.5. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTONSi un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un
medio ambiente que se mantiene a una temperatura Ta ≠ T0, la experiencia
nos dice que, al paso del tiempo, la temperatura del cuerpo tiende a ser
igual a la del medio circundante. Es decir, si T (t) es la temperatura del
cuerpo en el tiempo t, entonces T (t)→ Ta Cuando t crece.
9
Figura 1: Ley de Enfriamiento de Newton
Para modelar la temperatura de un objeto utilizamos la ley de Enfriamiento
de Newton; esta afirma que la rapidez de cambio de temperatura de un
cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre
el cuerpo y el medio circundante.
T ' (t )=k [T (t )−T a ]
Donde k es la constante de proporcionalidad.
Notemos dos situaciones:
1. Cuando T 0>T a y por lo mismo T (t)>T a , en el cuerpo ocurre un
enfriamiento y se tiene que T (t) decrece y que T (t )−T a>0 , es decir
ddt
T ( t )<0 yT ( t )−Ta>0por lo que ,
ddt
T ( t )=k [T (t )−T a ] k<0.
2. Cuando T 0<T a y por lo mismo T (t )<T a , en el cuerpo ocurre un
calentamiento y se tiene que T (t ) crece y que T (t )−T a<0 , es decir
ddt
T ( t )>0 yT ( t )−Ta<0 , por lo que ddt
T ( t )=k [T (t )−T a ] k<0.
3. Concretando: Sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación
diferencial ddt
T ( t )=k [T (t )−T a ] tiene sentido siempre y cuando k sea
negativa (k<0).10
Tenemos entonces que la temperatura T(t) del cuerpo en el instante
t ≥0 ,está determinada por el T ' ( t )=k [T ( t )−T a ],con la condición inicial
T(0)= T 0.
Resolvemos la ecuación diferencial, que es claramente de variables
separables:
dTT−Ta
=Kdt
∫ dTT−T a
=Kʃdt
ln ⃓T−Ta ⃓=Kt+C1
|T−T a|=ekt+C1=ekteC1=c ekt
|T−T a|=cekt
|T−T a|=cekt
T (t )=T a+c ekt
Nota:
T>T a → T−T a>0
|T−T a|=T−Ta
Obtenemos lo mismo si:
T<T a → T−T a<0
|T−T a|=cekt
−(T−Ta)=cekt
11
T−T a=−c ekt
T−T a=c ekt
La temperatura en el instante t ≥ 0, para tener bien determinada la temperatura
T (t ) , son necesarias dos condiciones adicionales que permitan calcular valores
únicos para las constantes C y k. Estas condiciones podrían ser las temperaturas
del cuerpo en dos instantes cualesquiera y una de ellas podría ser la temperatura
inicial T 0 .
12
CAPITULO II
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA
ALIMENTARIA
PROBLEMA N° 1
Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de
publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la
que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número
de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la
mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él
por el final de 2 años?
SOLUCIÓN:
En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:
x : Es el número en millones de personas (clientes potenciales).
t : Tiempo que han oído hablar del producto.
1−x : Es el número de personas que no han oído de este.
dxdt
: La velocidad a la que la población conoce sobre el producto.
En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.
dxdy
=k (1−x) Ecuación Diferencial
13
Esta ecuación significa que la tasa de cambio de x, es proporcional a la diferencia
entre 1 y x.
Para resolver la ecuación diferencial:
1. Separamos las variables:
dx=k (1−x )dt→Formadiferencial
dx(1−x )
=kdt
2. Integramos a ambos lados de la igualdad.
∫ dx(1−x)
=∫kdt
−ln (1− x )=kt+C
ln (1−x )=−kt+C→Multiplicando por−1
e ln (1− x)¿e−kt+C→Aplicando exponenciales
1−x=e−kt .C
x=1−e−kt .C
Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales
del problema a la solución general, es decir:
x = 0 cuando t = 0
0=1−e−k .0 .C
C=1
Entonces
14
x=1−e−kt
x = 0.5 cuando t = 1
0.5=1−e−k .1
0.5=1−e−k
0.5=e−k
ln 0.5=ln e−k
K=0.693
x=1−e−0.693t
En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha
transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el
total de personas que lo conocen hasta el momento.
x=1−e−0.693(2)
X=0.75ó750000 Personas
Al final de dos años las personas que han oído hablar del producto (nuevo cereal)
son 750000.
PROBLEMA N° 2
La demanda y oferta de un producto alimenticio están en miles de unidades por
D = 48 – 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el
precio del bien es 10 unidades, encuentre:
a. El precio en cualquier tiempo t > 0
b. Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
SOLUCIÓN:
15
Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
−2 p (t )+3 p' ( t )+48=p ( t )+4 p' ( t )+30
p' (t )+3 p (t )=18
Solucionando:
p (t )=e−∫3dt(∫ e∫
3dt18dt+c )
p (t )=e−3 t(6 e3 t+c)
Aplicando la condición inicial:
p0=10=(6+c )
c=4
Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier
tiempo t:
p (t )=6+4e−3 t
Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si (a1−b1 )(a2−b2 )
>0
entonces había una estabilidad en los precios, y como (a1−b1 )(a2−b2 )
=3 entonces los
precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t→∞ ese es el
precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 6.
En la gráfica se puede apreciar mejor este punto:
16
PROBLEMA N° 3
Suponga que la oferta y la demanda de productos para consumo humano están
dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 – 3P, respectivamente,
la constante de proporcionalidad es K = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y
determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0
SOLUCIÓN:
La ecuación diferencial se expresara de la forma:
dpdt
=−4(60+2 p−120+3 p)
dpdt
+20 p=240
Solucionando:
p (t )=e−∫20dt(∫ e∫
20dt240dt+c)
p (t )=e−20 t(12e20t+c)
Aplicando la condición inicial:
p0=8=(12+c )
c=−4
Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier
tiempo t:
p (t )=12−4e−20 t
La grafica de la función es la siguiente:
17
Observación: Nótese que según lo estudiado al principio el precio es estable y el
precio de equilibrio es 12, que es el mismo que se obtiene al igualar las
ecuaciones de la oferta y la demanda.
PROBLEMA N° 4
Un productor de conservas de atún para proteger sus utilidades, decide que la
taza a la cual aumentan sus precios debe ser numéricamente igual a un cuarto de
la taza a la cual su inventario decrece además se sabe que la oferta y la demanda,
están determinadas en función del precio por: S=16 p ( t )+10 p ' ( t )+24 (2−e−2t ) y
D=−8 p (t )−2 p' (t )+240 , determine el precio en cualquier instante, si cuando el
tiempo es 0 el precio es 12 unidades.
SOLUCIÓN:
Por lo visto, cuando se desarrolló la teoría de los inventarios:
dpdt
=−αdqdt
dpdt
=−α (S−D)
18
Donde α es igual a 3:
dpdt
=−14
(16 p (t )+10 p ' ( t )+24 (2−e−2t )+8 p ( t )+2 p' ( t )−240)
dpdt
=−1/ 4(24 p (t )+12 p ' ( t )+24 (−8−e−2 t ))
dpdt
=−6 p ( t )−3 p' (t )+6 (8+e−2t )¿
4dpdt
+6 p ( t )=6 (8+e−2 t )¿
dpdt
+ 64p (t )=6
4(8+e−2 t )¿
Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial:
p (t )=e−∫ 64 dt
(∫ e∫ 64 dt(12+ 6
4e−2t)dt+c)
p (t )=e−64
t(∫e
64t(12+ 6
4e−2 t)d t+c)
p (t )=e−64
t(∫e
64t12dt+∫ e
64t 64e−2 tdt+c)
p (t )=e−64
t(e
64t8+∫ e
−24
t 64dt+c )
p (t )=e−64
t(e
64t8−e
−24
t3+c )
Aplicando la condición inicial:
12=e−64
(0)(e
64
(0)8−e
−24
(0 )3+c)
12=8−3+c
7=c
El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:
p (t )=e−64
t(e
64t8−e
−24
t3+7)
19
PROBLEMA N° 5
En la producción de embutidos es importante controlar los tiempos de
descongelamiento, ni muy rápido ni muy lento, para su posterior utilización en el
proceso:
1. Determine qué tipo de ecuación modela esta situación.
2. Si la temperatura ambiente es de 60ºF (15.5°C), determine la solución
general de la ecuación diferencial que representa el enfriamiento o
calentamiento de un objeto por factor integrante.
3. Cuando se saca mezclas cárnicas, se mide su temperatura en 350ºF
(176°C). Tres minutos después su temperatura es de 180ºF (82.2°C). Si la
temperatura ambiente es de 70ºF (21°C), determine la solución general de
la ecuación diferencial que representa el enfriamiento o calentamiento por
el método de separación de variables.
4. Cuando se saca una muestra de carne de un horno, se mide su
temperatura en 305ºF (176°C). Cinco minutos después su temperatura es
de 200ºF (93.3.°C). Si la temperatura ambiente es de 70ºF (21°C),
determine la solución general de la ecuación diferencial que representa el
enfriamiento o calentamiento por el método de separación de variables.
¿Cuánto tarda la muestra en alcanzar una temperatura ambiente de 90ºF
(32.2°C)?
SOLUCIÓN:
a) El tipo de ecuación diferencial que modela esta situación es una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden.
b) La ecuación que representa esta situación es:
dT t=k (T−60)
Aplicando el factor integrante tenemos que de la ecuación dTt−kT=−60k el
factor integrante es
20
u=e−kdt=e−kt
Ahora multiplicamos la ecuación por el factor integrante:
e−ktdTdt−ke−ktT=−60e−ktk
Escribiendo esta ecuación como la derivada de un producto tenemos:
ddte−ktT=−60e−ktk
Integrando esta última ecuación obtenemos:
e−ktT=60e−kt+c
Despejando T(t) se obtiene:
T (t)=60+Cekt
c) La ecuación que representa esta situación es:
dTt=kT−60T 0=350
Aplicando el método de separación de variables tenemos
dTT−60=kdt
Integrando obtenemos que:
lnT−60=kt+c
de donde
T (t)=60+Cekt
Si T (0)=350 entonces
350=60+c
por lo tanto tenemos
T (t)=70+290ekt
si en T=5 se tiene
180=60+290e5k
entonces al despejar de esta ecuación el valor de la constante se obtiene
que
21
k=−0.17647
Por consiguiente
T (t)=60+290e-0.1764 t
Para determinar el tiempo en que la muestra de carne alcanza una
temperatura ambiente de 90ºF, se resuelve
90=60+290e-0.1764 t
para t y se obtiene
t=12.8559minutos
PROBLEMA N° 6
Una muestra de insumos molidos: mezcla de carne de cerdo, vacuno, grasa, etc.;
de 4 lb (1.81 Kg), inicialmente a 50°F (10°C), se pone en un horno a 375°F
(190°C) a las 5.00pm. Después de 75 minutos se encontró que la temperatura de
la muestra era de 125°F (51°C) ¿A qué hora estará a 150°F (65.5°C) temperatura
a la cual está lista para su procesamiento?
SOLUCIÓN:
La ley empírica de Newton del enfriamiento o calentamiento de un objeto está
dada por:
dTt=k (T−Tm)
donde k es una constante de proporcionalidad, T(t)es la temperatura del objeto
para t >0 y Tm es la temperatura ambiente; es decir, la temperatura del medio en
torno al objeto.
dTt=k (375−T )1375−T dT=k dt−ln375−T=kt+C;
375−T=Be−kt
22
Ahora T (0)= 50 implica que B = 325, así T (t)=375−325e−kt .También sabemos
que T=125 cuando t=75. La sustitución de estos valores en la ecuación anterior
produce
k=−175 ln 250375=0.0035
De aquí finalmente resolvemos la ecuación
150=375−215e-0.0035 t
Para t=−ln (225375)0.0035=105min, es el tiempo total de acondicionamiento de la
muestra. Puesto que la muestra fue puesta en el horno a las 5.00 pm, debe
sacarse alrededor de las 6:45 pm.
CONCLUSIONES
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El uso de las ecuaciones diferenciales‚ facilita enormemente la
interpretación económica de los problemas relacionados con la oferta y
demanda, sobre todo la representación gráfica de las soluciones de las
mismas. De hecho, proporciona un magnífico cuadro visual para
determinar si en la situación planteada existe o no estabilidad de precio y
el precio de equilibrio, si estos existen. Se insiste en el hecho de que
cualquier resultado obtenido teóricamente, debe finalmente ser probado a
la luz de la realidad.
REFERENCIAS
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DERRICK / GROSSMAN (1984). Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones. México: Fondo Educativo Interamericano.
ZILL, Dennis (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado. México: Thomson.
*Ley del enfriamiento de Newton
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica//estadistica/otros/enfriamiento/
enfriamiento.htm
*Enfriamiento de un cuerpo. Estudio de la ley de Enfriamiento de Newton.
http://www.cienciaredcreativa.org/informes/enfriam_carrasco.pdf
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