Trabajo y Energa Autores Ignacio Cruz Encinas Mario Enrique
lvarez Ramos Roberto Pedro Duarte Zamorano Ezequiel Rodrguez
Juregui Rogelio Gmez Corrales UNIVERSIDAD DE SONORA Departamento de
Fsica
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Contenido Introduccin Introduccin Trabajo y Energa debido a una
Fuerza Constante Trabajo y Energa debido a una Fuerza Constante
Aplicada en la direccin de movimiento. Aplicada en la direccin de
movimiento. Aplicada en direccin diferente a la del movimiento.
Aplicada en direccin diferente a la del movimiento. Producto
Escalar de Vectores (repaso) Producto Escalar de Vectores (repaso)
Trabajo y Energa debido a una Fuerza Variable Trabajo y Energa
debido a una Fuerza Variable Aplicada en la direccin de movimiento.
Aplicada en la direccin de movimiento. Aplicada en direccin
diferente a la del movimiento. Aplicada en direccin diferente a la
del movimiento.
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Introduccin En los captulos anteriores, se resolvieron
problemas donde se involucraban Fuerzas constantes utilizando la
segunda ley de Newton: En los captulos anteriores, se resolvieron
problemas donde se involucraban Fuerzas constantes utilizando la
segunda ley de Newton: F = m a Donde F viene expresada en funcin de
las propiedades del cuerpo y del medio ambiente que lo rodea, por
medio de la ley de fuerzas ( o ley de la naturaleza ) respectiva
que rige el movimiento de un cuerpo. Bajo ciertas condiciones
iniciales, pudimos conocer la aceleracin a del cuerpo y al
sustituirla en las ecuaciones de movimiento o Donde F viene
expresada en funcin de las propiedades del cuerpo y del medio
ambiente que lo rodea, por medio de la ley de fuerzas ( o ley de la
naturaleza ) respectiva que rige el movimiento de un cuerpo. Bajo
ciertas condiciones iniciales, pudimos conocer la aceleracin a del
cuerpo y al sustituirla en las ecuaciones de movimiento o
Ecuaciones de cinemtica (exclusivas para aceleracin constante) x =
x 0 + v 0 t + a t 2 x = x 0 + ( v + v 0 ) t v = v 0 + a t v 2 - v 0
2 = 2 a ( x x 0 )
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Introduccin Ecuaciones que determinan la posicin como una
funcin del tiempo x(t) as como su velocidad v(t), con lo cual queda
resuelta la primera parte del problema fundamental de la mecnica
clsica. Es una primera parte ya que nicamente se consider el caso
de una Fuerza constante y en consecuencia una aceleracin dada por
la segunda ley de Newton: a = F m a = F m Si se analiza la ecuacin
anterior, la aceleracin del cuerpo depende de la Fuerza y de la
masa. La segunda parte del problema de la mecnica clsica es cuando
la Fuerza que acta sobre el cuerpo es variable, en cuyo caso, la
aceleracin tambin lo ser y consecuentemente, anteriores ya que stas
son exclusivamente para aceleracin constante. En este captulo se
aborda el mtodo (integracin) para resolver este tipo de problemas.
La segunda parte del problema de la mecnica clsica es cuando la
Fuerza que acta sobre el cuerpo es variable, en cuyo caso, la
aceleracin tambin lo ser y consecuentemente, no se pueden aplicar
las ecuaciones de movimiento de cinemtica anteriores ya que stas
son exclusivamente para aceleracin constante. En este captulo se
aborda el mtodo (integracin) para resolver este tipo de
problemas.
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Introduccin La tercera parte del problema es cuando se
consideran sistemas de masa variable como en el caso de los cohetes
que al ir quemando combustible su masa vara. Sin embargo, este tipo
de problemas corresponde a un segundo curso de mecnica. Dentro de
la primera parte, aunque podemos conocer la posicin y velocidad de
la partcula como una funcin del tiempo sin necesidad de abordarlos
desde el punto de vista del Trabajo y Energa, para fines didcticos
y facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados como el
de fuerzas variables, es necesario definir estos conceptos y poder
llegar al teorema del trabajo y la energa, en el cual no es
necesario conocer la aceleracin de la partcula aunque
indirectamente se aplique la segunda ley de Newton. Dentro de la
primera parte, aunque podemos conocer la posicin y velocidad de la
partcula como una funcin del tiempo sin necesidad de abordarlos
desde el punto de vista del Trabajo y Energa, para fines didcticos
y facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados como el
de fuerzas variables, es necesario definir estos conceptos y poder
llegar al teorema del trabajo y la energa, en el cual no es
necesario conocer la aceleracin de la partcula aunque
indirectamente se aplique la segunda ley de Newton. En el captulo
anterior vimos que el concepto de fuerza lo relacionbamos con jalar
o empujar un objeto y que para fines cientficos requeramos de una
definicin mas formal. De la misma forma, el concepto que tenemos de
la palabra trabajo, lo relacionamos con cualquier actividad que
requiere de un esfuerzo muscular o intelectual, as decimos que
vamos al trabajo, que al levantar y sostener un objeto estamos
realizando trabajo, que se requiere de un trabajo intelectual para
entender las notas de clase, etc.
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Trabajo En fsica, el cientfico requiere enunciar con exactitud
lo que significa la palabra trabajo, restringindola a los casos en
los cuales interviene la aplicacin de una fuerza sobre un cuerpo y
un desplazamiento. Sin embargo, dentro de dicha restriccin existen
diferentes variantes ya que la fuerza aplicada sobre un cuerpo
puede ser: a.Constante b.Variable En cualquiera de los dos casos el
desplazamiento puede ocurrir i.En una dimensin ii.En dos
dimensione. iii.En tres dimensiones Adicionalmente, la fuerza
aplicada puede estar en: a)En la direccin de movimiento b)En
direccin diferente a la del movimiento. As como en cinemtica donde
al inicio se abordan los casos mas sencillos y despus se van
complicando a medida que se avanza en el curso, para el caso del
trabajo y la energa se procede de la misma forma, abordando el caso
mas sencillo que es:
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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Consideremos un
cuerpo colocado sobre una superficie horizontal spera, al cual se
le aplica una fuerza horizontal constante ( P ) de tal manera que
mueve al cuerpo en la direccin positiva, desde la posicin inicial x
0 hasta la posicin final x f En una primera aproximacin, definimos
el trabajo (W) realizado por la fuerza P aplicada sobre el cuerpo
como : W = P x = Pd la unidad de trabajo es el Newton-metro
denominado Joule. ( 1 N ) ( 1 m ) = 1 Joule El trabajo realizado
por esta fuerza tiene un valor positivo ya que tanto P como x
apuntan en la direccin positiva. P PP x0x0 xfxf x = x x 0 = d x x +
(m)
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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Sobre un cuerpo
pueden estar actuando varias fuerzas, en el siguiente diagrama se
presentan varias fuerzas que pueden estar actuando sobre el cuerpo.
En el caso anterior, encontramos que la fuerza P realiza un trabajo
positivo, sin embargo, se pueden dar las condiciones para que el
trabajo sea negativo o nulo. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento
cintico que la superficie spera del piso ejerce sobre el cuerpo se
opone al movimiento resultando un trabajo negativo, ya que la
direccin de la fuerza (f k ) y el desplazamiento son opuestos. N P
W fkfk P W fkfk a) b)
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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Cuando actan varias
fuerzas sobre el cuerpo, el trabajo realizado por cada una de ellas
se determina a partir de la definicin de trabajo dada
anteriormente, y el trabajo neto realizado por las fuerzas sobre el
cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por cada
una de las fuerzas, calculados individualmente, esto es: W Total =
W P + W mg + W N + W fk En el diagrama de cuerpo libre a), al
aplicar la segunda ley de Newton encontramos una fuerza resultante
o neta F positiva y constante, motivo por el cual el trabajo neto
sobre el cuerpo es positivo. El efecto de este trabajo positivo, en
virtud de la segunda ley de Newton, se manifiesta en una aumento de
la velocidad del cuerpo. N P W fkfk a)
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Trabajo realizado por una Fuerza Constante En el diagrama de
cuerpo libre b), reducimos la fuerza aplicada de tal manera que su
magnitud fuera igual a la fuerza de rozamiento, de esta manera el
cuerpo va a continuar movindose con velocidad constante por lo que
la aceleracin del cuerpo ser cero y en consecuencia la fuerza neta
o resultante, luego entonces, el trabajo neto efectuado por las
fuerzas sobre el cuerpo es nulo. N P W fkfk b)
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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Para encontrar la
relacin entre el trabajo y los cambios de velocidad, analicemos un
movimiento que nos es familiar en el laboratorio. El ejemplo es el
siguiente: Un mvil se desplaza sobre un riel de aire sin friccin
bajo la accin de una fuerza constante transmitida por medio de la
tensin de un hilo que pasa por una polea sin friccin, en cuyo
extremo se encuentra suspendido un peso a una altura h, tal como se
muestra en la siguiente figura. h v1v1 v 0 = 0 x 0 = 0 x1x1 mg x=
d
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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Al soltar el peso,
el mvil inicia su movimiento (v 0 = 0 ) a partir del origen (x 0 =
0 ), y la posicin (x 1 ) del mvil al recorrer una distancia d vendr
dada por la ecuacin: y el trabajo realizado es: W = T x donde T es
la tensin del hilo, siendo la nica fuerza que acta sobre el cuerpo
(en el eje x) y en consecuencia la Fuerza neta, la cual viene
expresada de acuerdo con la segunda ley de Newton como: T = m a
Sustituyendo los valores de T y x 1 en W tenemos que:
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Trabajo y Energa para Fuerza constante Al adquirir esta
velocidad (v 1 ), el mvil se encuentra en la posicin x 1 y el peso
ha chocado con el suelo por lo cual la fuerza representada por la
tensin del hilo desaparece. Como no existe rozamiento, el mvil
continuar movindose con esta misma velocidad Sin embargo, el mvil
ha adquirido una propiedad que no posea cuando se encontraba en
reposo, esta propiedad consiste en la capacidad que tiene ahora de
realizar trabajo sobre otro objeto que interaccione con l. Para
comprobar lo anterior hagamos lo siguiente: En la posicin x 2
coloquemos un clavo apuntalado horizontalmente en un bloque de algn
material (frigolit) que permita al clavo penetrar en l y que a la
vez evite que el mvil retroceda en el choque. v1v1 v 0 = 0 x 0 = 0
x1x1 v 1 = v 2 x2x2 v = constante
Diapositiva 14
Trabajo y Energa para Fuerza constante De sta forma, el mvil
que tiene una velocidad v 1 = v 2 ejercer una fuerza F constante
sobre el clavo, la cual se suspender cuando su velocidad v 3 sea
cero. La aceleracin (desaceleracin) del mvil que en magnitud es la
misma que experimenta el clavo se puede determinar a partir de la
siguiente ecuacin de movimiento: donde v 2 es la velocidad del mvil
al momento del impacto e igual a v 1 y v 3 = 0 por lo que: donde v
2 es la velocidad del mvil al momento del impacto e igual a v 1 y v
3 = 0 por lo que: v 3 = 0 v 0 = 0 x 0 = 0 x2x2 v 1 = v 2 x3x3 v =
variable v1v1 x1x1 v = constante
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Trabajo y Energa para Fuerza constante Por lo que la fuerza que
ejerce el clavo sobre el mvil (Fc/m) de acuerdo a la segunda ley
es: Por la tercera ley de Newton, esta fuerza debe de ser de igual
magnitud pero en sentido contrario a la que ejerce el mvil sobre el
clavo. El trabajo realizado por el mvil sobre el clavo al clavarlo
una distancia x 3 - x 2 es:
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Trabajo y Energa para Fuerza constante Luego entonces se puede
afirmar lo siguiente: El trabajo realizado por una fuerza neta
sobre el mvil es el mismo trabajo que ste puede realizar sobre otro
objeto que interaccione con l. A la propiedad que tienen los
cuerpos para realizar un trabajo se le denomina Energa, en este
caso, el trabajo se relaciona con la velocidad del mvil, recibiendo
el nombre de Energa Cintica. La palabra cintica proviene del griego
kinematics que significa movimiento, utilizndose el smbolo K para
representarla y su valor es igual al trabajo que puede efectuar un
cuerpo en movimiento hasta quedar en reposo.
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Trabajo y Energa para Fuerza constante Para terminar el anlisis
de esta seccin, supongamos que de la posicin x 2 retiramos el
bloque con el clavo y a partir de esta posicin cancelamos todos los
orificios por donde sale el aire, en esta nueva situacin, el mvil
ya no estar "suspendido", por lo que las superficies entrarn en
contacto generando una nueva fuerza: la fuerza de rozamiento
cintico. Esta fuerza ser la nica que acte sobre el mvil y por lo
tanto la fuerza neta que har que se detenga a una determinada
distancia (x 3 -x 2 ) El trabajo realizado por esta fuerza ser: v 3
= 0 v 0 = 0 x 0 = 0 x2x2 v 1 = v 2 x3x3 v = variable v1v1 x1x1 v =
constante
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Trabajo y Energa para Fuerza constante donde la fuerza f k
viene dada por la segunda ley de Newton: f k = m a sustituyendo
tenemos que: W = m a (x) donde la aceleracin se encuentra a partir
de la ecuacin: sustituyendo tenemos el trabajo realizado por la
fuerza neta, en ste caso la fuerza de friccin:
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Teorema del Trabajo y la Energa siendo K la energa cintica
final del mvil y K 0 su energa cintica inicial. Luego entonces:
relacin que se conoce con el nombre deTeorema del Trabajo y la
Energa, cuyo enunciado es: El trabajo realizado sobre un cuerpo por
la fuerza resultante es igual al cambio de su energa cintica. Como
el valor de la velocidad est elevada al cuadrado, la energa cintica
siempre es positiva, pero en cambio, la diferencia de energas puede
ser positiva, negativa o nula. En el caso anterior, como v < v 0
encontramos una K < 0, es decir el trabajo realizado por la
fuerza neta sobre el mvil es negativo y en virtud de la tercera ley
de Newton, el trabajo efectuado sobre el mvil es el negativo del
trabajo realizado por el mvil sobre el agente que produjo esa
fuerza, por lo anterior decimos que: la energa cintica de un cuerpo
disminuye en la misma proporcin en que dicho cuerpo efecta
trabajo.
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Trabajo y Energa para Fuerza constante En la seccin anterior se
defini el trabajo hecho por una fuerza constante, la cual estaba
aplicada en la direccin de movimiento (entendindose por direccin el
eje x), en algunos casos el sentido de la fuerza era el mismo y en
otros contrario, como por ejemplo la fuerza de rozamiento. Sin
embargo, esta fuerza constante aplicada puede estar en una direccin
diferente a la del movimiento, tal como se muestra en la siguiente
figura, en donde la fuerza forma un ngulo con respecto a la
direccin de movimiento. P PP x0x0 xfxf x = x x 0 = d x x + (m)
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Trabajo y Energa para Fuerza constante En este caso, se define
el trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo como: El
producto de la componente de la fuerza en la direccin de movimiento
por la distancia que recorre el cuerpo a lo largo de dicha
direccin. De la figura observamos que dicha componente es: P x = P
cos luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza P para
llevar al cuerpo de la posicin inicial x 0 hasta la posicin final x
es: W = ( Pcos ) x W = ( Pcos ) ( x x 0 ) W = P cos (d) W = P d cos
donde d es la distancia recorrida por el cuerpo y es el ngulo que
forma la fuerza con respecto a la direccin de movimiento es el
ngulo que forma la fuerza con respecto a la direccin de
movimiento
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Trabajo y Energa para Fuerza constante Segn la ecuacin
anterior, el trabajo realizado por la fuerza aplicada, al igual que
en la seccin anterior, puede ser positivo, negativo o nulo, esto
depender del ngulo que forme la fuerza con respecto a la direccin
del movimiento ( el ngulo se mide a partir de la direccin de
movimiento y en sentido contrario a las manecillas del reloj ), de
tal forma que si: 0 0 0 90 0 < < 180 0 el trabajo W < 0
180 0 < < 270 0 el trabajo W < 0 270 0 0 Para ejemplificar
lo anterior, supongamos que una persona se pone a jugar con una
cuerda en cuyo extremo se encuentra atado un cuerpo de masa m. En
todos los casos que se presentan a continuacin, la persona realiza
un esfuerzo fsico que puede manifestarse en cansancio.
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Trabajo y Energa para Fuerza constante 1.La persona levanta
verticalmente al cuerpo hasta una altura h, de tal forma que el
movimiento es tan lento que no se pueden apreciar los cambios de
velocidad. Con esta condicin, la fuerza aplicada es constante, la
aceleracin resultante ser cero y en consecuencia tambin la fuerza
neta. La fuerza aplicada por la persona sobre el cuerpo es igual a
la tensin de la cuerda. A continuacin calculamos los trabajos
realizados por cada una de las fuerzas que intervienen. El trabajo
realizado por la fuerza aplicada es: El trabajo realizado por la
fuerza aplicada es: W 1 = T h cos Donde T, por la segunda ley de
Newton es T = mg y = 0 0 por lo que: W 1 = + m g h El trabajo
realizado por la Tierra (peso): El trabajo realizado por la Tierra
(peso): W 2 = w h cos Donde w, es el peso del cuerpo y = 180 0 por
lo que: W 2 = - m g h El trabajo total efectuado sobre el cuerpo
para levantarlo verticalmente, es igual a la suma de los trabajos
individuales calculados en los incisos anteriores, esto es: W = W 1
+ W 2 = mgh mgh = 0
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Trabajo y Energa para Fuerza constante 2.Posteriormente, la
persona sostiene al cuerpo en esa posicin a una altura h El trabajo
realizado por las fuerzas del punto No. 1 es cero debido a que no
existe desplazamiento. 3.La persona se mueve hacia la derecha una
cierta distancia d El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W 3 = m g d cos con
= 90 0 W 3 = 0 El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la
tierra sobre el cuerpo es: El trabajo realizado por la fuerza que
ejerce la tierra sobre el cuerpo es: W 4 = m g d cos con = 270 0 W
4 = 0 El trabajo total realizado por las fuerzas para desplazar el
cuerpo una distancia d hacia la derecha es: W = W 3 + W 4 = 0
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Trabajo y Energa para Fuerza constante 4.La persona baja el
cuerpo desde la altura h hasta el suelo, en las mismas condiciones
en que lo subi (v = constante). El trabajo efectuado por la fuerza
aplicada es: El trabajo efectuado por la fuerza aplicada es: W 5 =
m g h cos con = 270 0 W 5 = - mgh El trabajo efectuado por la
Tierra es: El trabajo efectuado por la Tierra es: W 6 = m g h cos
con = 0 0 W 5 = + mgh El trabajo total realizado por las fuerzas al
bajar el cuerpo una altura h es: W = W 5 + W 6 = 0
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Trabajo y Energa para Fuerza constante 5.Una vez colocado en el
suelo, la persona tira de l en forma horizontal, arrastrndolo con
velocidad constante hasta llevarlo nuevamente a su posicin inicial.
El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: El trabajo
realizado por la fuerza aplicada es: W 7 = F a d cos con = 0 0 W 7
= F a d W 7 = F a d El trabajo efectuado por la fuerza de
rozamiento cintico es: El trabajo efectuado por la fuerza de
rozamiento cintico es: W 8 = f k d cos con = 270 0 y puesto que se
mueve con velocidad constante, por la segunda ley de Newton, la
fuerza aplicada es igual a la fuerza de rozamiento cintico ( f k =
F a ) y puesto que se mueve con velocidad constante, por la segunda
ley de Newton, la fuerza aplicada es igual a la fuerza de
rozamiento cintico ( f k = F a ) W 8 = - F a d El trabajo total
realizado por las fuerzas al desplazar al cuerpo sobre el suelo una
distancia d es: W = W 7 + W 8 = 0
Diapositiva 27
Trabajo y Energa para Fuerza constante Si deseamos conocer el
trabajo total realizado sobre el cuerpo en todo el recorrido, desde
que se levant hasta que regres a su posicin original al ser
arrastrado por el suelo, hacemos: W T = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 + W 5
+ W 6 + W 7 + W 8 W T = +mgh mgh +0 + 0 mgh + F a d - F a d = 0
6.En el punto 1, se encontr que el trabajo realizado por una fuerza
constante para subir el cuerpo hasta una altura era mgh, es decir,
dependa del peso del cuerpo y de la altura. Calcularemos ahora el
trabajo que se realiza cuando el cuerpo es subido a esa misma
altura h pero bajo las siguientes condiciones: es empujado por una
fuerza constante, es subido con velocidad constante, el plano
inclinado es liso (sin friccin), el plano inclinado es de
diferentes longitudes. Analicemos el caso mediante la siguiente
figura:
Diapositiva 28
Trabajo y Energa para Fuerza constante La fuerza necesaria para
subirlo con velocidad constante se encuentra aplicando la segunda
ley de Newton: SF x = ma x (a x = 0 es subido con v = constante) P
w x = 0 P mg sen = 0 P = mg sen La distancia que recorre es la
longitud del plano inclinado: d = h sen El trabajo realizado por la
fuerza P es: W P = Pd cos (con = 0 0 ; misma direccin) W P = (mg
sen ) ( h sen ) W P = mg h h P P mg N P WxWx WyWy
Diapositiva 29
Trabajo y Energa para Fuerza constante Como se puede apreciar,
la fuerza aplicada depende del peso y del ngulo de inclinacin del
plano inclinado. P = mg sen si se desea subir hasta una altura h
con el mnimo esfuerzo, el ngulo debe ser pequeo, lo que trae como
consecuencia que la distancia (longitud del plano) se incremente. d
= h sen Sin embargo, el trabajo realizado es independiente del
ngulo de inclinacin del plano. W P = mg h depende exclusivamente
del peso y de la altura h del plano. depende exclusivamente del
peso y de la altura h del plano. h P P
Diapositiva 30
Trabajo y Energa para Fuerza constante 7.Analicemos un ltimo
caso: La persona hace girar el cuerpo sobre su cabeza, describiendo
una trayectoria circular con movimiento uniforme Cuando se analiz
el movimiento circular, se vio que el desplazamiento es tangente a
la trayectoria y que la fuerza centrpeta es radial y dirigida hacia
el centro de rotacin por lo que la fuerza y el desplazamiento
forman un ngulo de 90 0, por lo que el trabajo realizado es: W =
0
Diapositiva 31
Producto Escalar (repaso) Aunque en la parte relativa a
vectores se abord ste tema, nuevamente se retoma para redefinir el
concepto de trabajo. Sean A y B dos vectores que forman un ngulo
entre ellos. Se define el producto escalar como el producto de la
magnitud de uno de ellos (digamos A) por la proyeccin de B sobre A.
o viceversa, es decir, la magnitud de B por la proyeccin de A sobre
B, tal como se muestra en la figura adjunta a la anterior. Bcos
Proyeccin de B sobre A A cos Proyeccin de A sobre B A B A B
Diapositiva 32
Producto Escalar (repaso) Del producto punto entre vectores
unitarios (perpendiculares entre s) tenemos que: Lo cual nos
muestra que el producto punto entre dos vectores es un escalar
debido a que tenemos la multiplicacin de la magnitud de un vector
por la magnitud del otro lo cual nos da un escalar, que se
multiplica por el coseno del ngulo que se forma entre ellos, el
cual tambin es un escalar adimensional. Toda vez que tenemos
definido el producto punto entre vectores, tenemos que el trabajo
lo podemos definir como: W = Fx = F cos x = F d cos ya que la
magnitud del desplazamiento es la distancia recorrida (d = x ) y F
cos es la proyeccin del vector fuerza sobre el vector
desplazamiento. Por ello: W = Fx W = Fx
Diapositiva 33
Trabajo y Energa para Fuerza constante (mtodo grfico) Antes de
abordar el siguiente tema, para fuerzas variables, retomemos
nuevamente el caso donde la fuerza es constante y hagamos un
anlisis grfico de la situacin mostrada a continuacin. Si graficamos
la fuerza constante aplicada contra desplazamiento tendremos la
siguiente grfica: P PP x0x0 xfxf x = x x 0 = d x x + (m) F (Newton)
x (m) P ctte. x0x0 xfxf
Diapositiva 34
Trabajo y Energa para Fuerza constante (mtodo grfico) En donde
se ha sombreado toda la parte que se encuentra bajo la recta que
indica a la fuerza P constante, formndose un rectngulo de altura P
y base d. Como vimos anteriormente, el trabajo realizado por la
fuerza constante es: W = P x= P x cos = P d cos 0 0 = P d El
producto de P por d no es otra cosa mas que la altura del rectngulo
multiplicado por su base, es decir, el rea del rectngulo. Luego
entonces: A = P d = W El trabajo realizado por la fuerza P es igual
al rea del rectngulo que se forma bajo la recta.
Diapositiva 35
Trabajo y Energa para Fuerza variable Consideraremos ahora el
trabajo realizado por una fuerza que no es constante. El caso ms
sencillo es cuando la fuerza est aplicada en la direccin de
movimiento y que sta depende de la posicin del cuerpo. Por ejemplo,
tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una
pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado mediante una
cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia,
debemos de ejercer una fuerza F 1, si queremos moverlo mas, debemos
ejercer una fuerza F 2 mayor. En pocas palabras, a medida que
queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma
debemos de aumentar la fuerza aplicada.
Diapositiva 36
Trabajo y Energa para Fuerza variable Consideraremos ahora el
trabajo realizado por una fuerza que no es constante. El caso ms
sencillo es cuando la fuerza est aplicada en la direccin de
movimiento y que sta depende de la posicin del cuerpo. Por ejemplo,
tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una
pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado mediante una
cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia,
debemos de ejercer una fuerza F 1, si queremos moverlo mas, debemos
ejercer una fuerza F 2 mayor. En pocas palabras, a medida que
queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma
debemos de aumentar la fuerza aplicada.
Diapositiva 37
Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en direccin de
movimiento) Si medimos la fuerza con un dinammetro y la posicin del
cuerpo para esa fuerza aplicada, estaremos en posibilidad de
realizar una tabulacin de Fuerza contra posicin (F vs. x) y
graficar como se muestra a continuacin.
Diapositiva 38
Trabajo y Energa para Fuerza variable Al igual que para el caso
de una fuerza constante, el trabajo realizado por una fuerza
variable tambin es igual al rea bajo la recta, en este caso, un
tringulo rectngulo de altura F 5 - F 0 y base x 5 - x 0, siendo
sta: F1F1 F2F2 F3F3 F4F4 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 F5F5 x (m) F
(Newton) h = F 5 F 0 d = x 5 x 0
Diapositiva 39
Trabajo y Energa para Fuerza variable En los dos casos
anteriores, calcular el trabajo realizado por las fuerzas mediante
el mtodo del rea bajo la curva fue sencillo debido a que las
figuras geomtricas que se forman son conocidas. Sin embargo,
existen fuerzas variables que dependen de la posicin y cuya grfica
de fuerza contra posicin son complejas. En estos casos, el problema
se complica y se requiere de un mtodo mas sofisticado para calcular
el trabajo realizado por la fuerza. Dicho mtodo es el mtodo
matemtico de la integracin. Para llegar a l, supongamos que un
cuerpo se mueve en la direccin del eje x de la posicin x 1 hasta la
posicin x 2 bajo la accin de una fuerza variable que depende de la
posicin y que al medirla se obtiene la siguiente grfica.
Diapositiva 40
Trabajo y Energa para Fuerza variable xixi xfxf FiFi FfFf F(x)
x + (m)
Diapositiva 41
Trabajo y Energa para Fuerza variable Dividamos el
desplazamiento total de x i hasta x f en pequeos desplazamientos
iguales de anchura x xixi xfxf FiFi FfFf F(x) x + (m) xxxxxxxx F2F2
F3F3 F4F4 F1F1 F2F2 F3F3 F4F4
Diapositiva 42
Trabajo y Energa para Fuerza variable Como se puede observar,
se forman rectngulos de altura F variable y anchura x constante.
Consideremos el primer desplazamiento de x 1 a x 2 (o bien de x 1 a
x 1 + x ), en este intervalo, la fuerza puede considerarse
aproximadamente constante, teniendo un valor F 1. El trabajo
realizado por dicha fuerza para desplazar al cuerpo un x es: W 1 =
F 1 x (rea del primer rectngulo) En el siguiente intervalo de x 1 a
x 2 (o bien de x 1 a x 1 + x ), el trabajo realizado es: W 2 = F 2
x (rea del segundo rectngulo) De esta forma se sigue calculando el
trabajo para cada desplazamiento (reas de los rectngulos). El
trabajo total aproximado ser la suma de todos los incrementos de
trabajo calculados individualmente, lo cual expresado en notacin
matemtica es:
Diapositiva 43
Trabajo y Energa para Fuerza variable Se dice que es un trabajo
aproximado debido a que dentro de cada intervalo la fuerza vara. Si
tomamos el valor de F 1 en la posicin x 1, observaremos que para el
primer intervalo se forma un rectngulo de altura F 1 y anchura x,
adems de una figura geomtrica por encima. Para el siguiente
intervalo, se forma un rectngulo de altura F 2 y tambin de anchura
x, as como una segunda figura geomtrica parecida a un tringulo. En
los siguientes dos intervalos sucede algo parecido. Con el
procedimiento anterior, se puede asegurar que lo que estamos
calculando son las reas de los rectngulos de altura F i y anchura
x, quedndonos por encima de ellos las reas de las figuras
geomtricas sin calcular, las cuales representan la diferencia entre
el trabajo aproximado y el trabajo real efectuado por las
fuerzas.
Diapositiva 44
Trabajo y Energa para Fuerza variable xixi xfxf FiFi FfFf F(x)
x + (m) xxxxxxxx F2F2 F3F3 F4F4 rea faltante rea excedente
Diapositiva 45
Trabajo y Energa para Fuerza variable Para minimizar los
faltantes y excedentes, procedemos a aumentar el nmero de
intervalos haciendo mas pequeos los x, con lo cual obtendremos un
mayor nmero de figuras geomtricas por encima y debajo de los
rectngulos pero cuyas reas son mucho menores que las anteriores.
xixi xfxf FiFi FfFf x + (m) xxxxxxxx F2F2 F3F3 F4F4 rea faltante
rea excedente xxxxxxxx
Diapositiva 46
Trabajo y Energa para Fuerza variable Seguimos aumentando el
nmero de intervalos haciendo mas pequeos los x. xixi xfxf FiFi FfFf
x + (m) F4F4 F2F2 F3F3 rea faltante rea excedente
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Diapositiva 47
Trabajo y Energa para Fuerza variable Seguimos aumentando el
nmero de intervalos haciendo mas pequeos los x. xixi xfxf FiFi FfFf
x + (m) F4F4 F2F2 F3F3 rea faltante rea excedente xx
Diapositiva 48
Trabajo y Energa para Fuerza variable Sin embargo an seguimos
teniendo pequeas reas faltantes y excedentes, por lo que se procede
nuevamente a tomar x cada vez ms pequeos. Si queremos aproximarnos
an mas al trabajo real, debemos hacer que el nmero de rectngulos
tienda a infinito y que x 0 por lo que para cada rectngulo
tendremos valores mas representativos de la fuerza. De esta forma,
el trabajo realizado por la fuerza ser: Se define la integral
definida de F con respecto a x como:
Diapositiva 49
Trabajo y Energa para Fuerza variable Cuyo significado es el
siguiente: En el lmite cuando cada rectngulo se aproxima a cero, el
rea [ F(x) x ] de cada rectngulo se aproxima al valor real del rea
situada debajo de la curva F(x) entre los lmites x 1 y x n, lo cual
nos permite decir que El valor de la integral F(x) entre los
limites x 1 y x 2 es igual al rea situada debajo de la curva
descrita por F(x) entre esos lmites. Por lo tanto, el trabajo
efectuado por la fuerza F(x) que mueve al cuerpo de la posicin x i
hasta la posicin x f es: o en forma vectorial
Diapositiva 50
Trabajo y Energa para Fuerza variable De igual forma que
encontramos la relacin entre el trabajo realizado por una fuerza
constante y la velocidad del cuerpo (energa cintica), as mismo lo
hacemos para una fuerza variable que dependa de la posicin. En
aquella parte hicimos uso de las ecuaciones de cinemtica ya que la
aceleracin era constante, pero ahora, no se pueden usar debido a
que la fuerza aplicada es variable y en consecuencia tambin lo es
la aceleracin. Para salvar esta dificultad, realizamos un truco
matemtico (multiplicar y dividir por la misma cantidad) expresando
la aceleracin de la siguiente forma:
Diapositiva 51
Trabajo y Energa para Fuerza variable Con ello, la ecuacin para
el trabajo la podemos expresar como: Sustituyendo la expresin de la
aceleracin encontrada anteriormente y recordando que en la posicin
inicial (x i ) el cuerpo tiene una velocidad inicial (v 0 ); y que
en la posicin final (x f ) tiene una velocidad final (v ), tenemos
que: Del clculo tenemos que la integral: Luego entonces:
Diapositiva 52
Trabajo y Energa para Fuerza variable Que es el Teorema del
Trabajo y la Energa encontrado anteriormente para una Fuerza
constante
Diapositiva 53
Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en cualquier
direccin) La fuerza que acta sobre un cuerpo puede variar tanto en
magnitud como en direccin por lo que el cuerpo se mover en un plano
o en el espacio tridimensional describiendo trayectorias curvas.
Encontraremos el trabajo realizado por una fuerza variable que acta
sobre un cuerpo que se mueve en el plano, pudiendo generalizarse el
resultado de igual forma para el espacio. En la siguiente figura se
representa la trayectoria que describe el cuerpo y la fuerza F que
acta sobre l en varios puntos ( x, y ), as como el ngulo que forma
la fuerza con respecto al vector desplazamiento r el cual es
tangente a la trayectoria en esos puntos.
Diapositiva 54
Trabajo y Energa para Fuerza variable El trabajo realizado
sobre el cuerpo por una de las fuerzas puede calcularse a partir
de: Y + (m) x + (m) r r F a ( x 1, y 1 ) b ( x 2, y 2 ) r r F F r r
x1 x1 x2 x2 y1 y1 y2 y2
Diapositiva 55
Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en cualquier
direccin) Donde la fuerza y el desplazamiento dependen de las
coordenadas (x, y), la fuerza podemos descomponerla en sus
componentes rectangulares: Una perpendicular al vector
desplazamiento Una perpendicular al vector desplazamiento Otra
paralela o tangente a la trayectoria; Otra paralela o tangente a la
trayectoria; siendo esta ltima componente la que realiza trabajo.
El trabajo realizado por esta componente podemos considerarlo como
un elemento de trabajo que contribuye al trabajo total realizado
sobre el cuerpo para llevarlo desde la posicin a hasta la posicin
b. De esta forma, el elemento de trabajo correspondiente a un punto
sobre la trayectoria viene expresado por:
Diapositiva 56
Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en cualquier
direccin) El trabajo aproximado se encuentra sumando todos los
estos pequeos elementos de trabajo calculados para cada uno de los
segmentos lineales de r. Cuando estos segmentos se van haciendo mas
pequeos, los incrementos pueden reemplazarse por los diferenciales
dr y la suma por una integral. Luego entonces, el trabajo realizado
por la fuerza para llevar al cuerpo desde a hasta b ser: Como
podemos observar, en la expresin anterior, F y cos varan por lo que
no podemos realizar la integracin hasta no conocer esta variacin de
punto a punto sobre la trayectoria. Por otro lado, sabemos
que:
Diapositiva 57
Trabajo y Energa para Fuerza variable Por lo que el producto
escalar entre ellos vine dado por: Desarrollando y haciendo uso del
producto escalar entre vectores unitarios, encontramos lo
siguiente: Sustituyendo esta ltima expresin encontramos que: La
integral anterior es sobre todos los puntos de la trayectoria desde
a hasta b por eso se le conoce con el nombre de integral de lnea.
Para encontrar la relacin entre el trabajo realizado por la fuerza
variable y la velocidad del cuerpo, hacemos uso de la ecuacin:
Diapositiva 58
Trabajo y Energa para Fuerza variable Descomponemos la Fuerza
en sus componentes tangencial F t y perpendicular F o normal F N a
la trayectoria como se muestra en la siguiente figura: Y + (m) x +
(m) F r r x1 x1 x2 x2 y1 y1 y2 y2 FtFt FNFN
Diapositiva 59
Trabajo y Energa para Fuerza variable Expresando la segunda ley
de Newton en trminos de la componente tangencial de la fuerza y la
aceleracin (la componente normal no realiza trabajo) tenemos que:
donde v es la velocidad lineal o tangencial del cuerpo, la cual
viene expresada como: despejando Luego entonces: sustituyendo en la
expresin para el trabajo tenemos que:
Diapositiva 60
Trabajo y Energa para Fuerza variable Cuando el cuerpo se
encuentra en el punto a, tiene asociada una velocidad v = v i y
cuando pasa por el punto b tiene una velocidad v = v f, por lo que
los lmites de integracin cambiaron en la expresin anterior al
cambiar las variables de integracin, quedndonos: Integrando tenemos
que: Por lo que el teorema del trabajo y la Energa se sigue
cumpliendo, no importa si la fuerza es constante o variable; si el
movimiento es en una, dos o tres dimensiones; o si la fuerza
aplicada se encuentra en la direccin de movimiento o no.
Diapositiva 61
Potencia En las secciones anteriores se analiz la parte de
trabajo y energa cintica. Para una fuerza constante, se calculo el
trabajo realizado para subir un cuerpo hasta una altura h con
velocidad constante, ya sea subindolo verticalmente o utilizando un
plano inclinado con diferentes ngulos de inclinacin. Se encontr
que: La fuerza aplicada depende del peso y del ngulo de inclinacin.
La fuerza aplicada depende del peso y del ngulo de inclinacin. P =
mg sen La distancia recorrida o longitud del plano depende de la
altura a la que se encuentre la parte superior y del ngulo de
inclinacin. La distancia recorrida o longitud del plano depende de
la altura a la que se encuentre la parte superior y del ngulo de
inclinacin. d = h sen Finalmente, que el trabajo realizado es
independiente del ngulo de inclinacin del plano. Finalmente, que el
trabajo realizado es independiente del ngulo de inclinacin del
plano. W P = mg h h P P
Diapositiva 62
Potencia El trabajo realizado para subir un objeto hasta una
cierta altura puede efectuarse en un segundo, un minuto, un da, una
semana, o en el tiempo que se desee. Sin embargo, el trabajo seguir
siendo el mismo. Lo que puede cambiar es la Potencia ( P ) con que
se realiza el trabajo. Este nuevo concepto se define como: el
trabajo realizado por una fuerza aplicada por el tiempo que tarda
en efectuarse, es decir, la rapidez con que se efecta. Si una
cantidad de trabajo W se realiza en un intervalo de tiempo t, la
potencia media P se define como: Es una cantidad escalar cuyas
unidades son el Watt que se define como: Si el trabajo realizado en
una unidad de tiempo no es constante (por ejemplo cuando lo produce
una fuerza variable), en este caso la potencia instantnea P se
define como el lmite de este cociente cuando t 0
Diapositiva 63
Potencia En nuestra vida cotidiana es comn referirnos a la
potencia que desarrolla un motor en unidades del sistema britnico:
caballos de fuerza o horse power abreviado hp. Su equivalencia en
el Sistema Internacional es: 1 hp = 746 watts La potencia tambin
puede ser expresada como: para una fuerza constante que mueve el
cuerpo (con velocidad tambin constante) en la direccin de
movimiento. Como sabemos, el trabajo tiene unidades de energa
(Joule), con la definicin de potencia y a partir de la ecuacin que
la define, al despejar el trabajo se encuentra un nuevo tipo de
unidad. el Watt por segundo. que en unidades derivadas es mejor
conocido como kilowatt hora (kWh).
Diapositiva 64
Potencia Un kilowatt hora es el trabajo realizado por un agente
que desarrolla una potencia constante de 1000 watts Es decir, en un
segundo el agente desarrolla una potencia de 1000 Watts, luego
entonces, en una hora el trabajo realizado es: 1 kWh = (3600 s)
(1000 Watts) = 3.6 x 10 6 J = 3.6 MJ El ejemplo mas notable del uso
de esta unidad, lo encontramos en los recibos de luz o de consumo
de energa elctrica.
Diapositiva 65
Fuerzas conservativas y no conservativas En dinmica se hizo una
clasificacin de fuerzas dependiendo de su naturaleza (por contacto
o interaccin a distancia). Las fuerzas conservativas o no
conservativas no son un nuevo tipo de fuerzas; son referidas mas
bien a sistemas donde interaccionan cuerpos que disipan o no
energa. El trabajo realizado por estas fuerzas es: W total = W c +
W D Un ejemplo de fuerza no conservativa o disipativa es la
friccin. Al lanzar un cuerpo con una velocidad inicial sobre una
superficie spera, vemos que el cuerpo se detiene despus de recorrer
una distancia. El trabajo realizado por el piso para detenerlo es:
a) Aplicando el teorema del trabajo y la energa cintica W fk = K =
K K 0 = mv 2 - mv 0 2 = - mv 0 2
Diapositiva 66
Fuerzas conservativas y no conservativas b) Aplicando trabajo,
dinmica y cinemtica W fk = f k x W fk = f k x cos Donde por la
segunda ley, la nica fuerza que acta sobre el cuerpo es la friccin
y por consecuencia: -f k = ma x El desplazamiento de acuerdo a
cinemtica, en funcin de velocidades y aceleracin es: x = (v 2 v 0 2
) 2a Sustituyendo: W fk = - ma x cos 180 0 W fk = - ma x (-1) W fk
= ma (v 2 v 0 2 ) 2a W fk = - mv 0 2
Diapositiva 67
Fuerzas conservativas y no conservativas Donde el trabajo
encontrado es el mximo trabajo realizado por el cuerpo hasta que se
detiene. A medida que ste avanza, va realizando trabajo (disipando
energa en forma de calor), es decir, depende de la trayectoria, a
mayor distancia recorrida mayor ser el trabajo realizado, hasta un
mximo igual a la energa cintica que se le proporcion. En el caso de
fuerzas conservativas, se tienen la fuerza gravitacional, la fuerza
elctromagntica y la fuerza elstica. En estos casos, se encuentra
que el trabajo realizado: Es independiente de la trayectoria. Es
independiente de la trayectoria. Se puede recuperar en su
totalidad. Se puede recuperar en su totalidad. Depende de la
posicin inicial y de la final. Depende de la posicin inicial y de
la final. Los cuales se analizan en las siguientes secciones
Diapositiva 68
Energa Potencial En las secciones anteriores se analiz la parte
de trabajo y energa cintica. Uno de los casos analizados fue subir
un cuerpo hasta una determinada altura movindolo con velocidad
constante, ya sea subindolo verticalmente o utilizando un plano
inclinado con diferentes ngulos de inclinacin. Se encontr que el
trabajo realizado por la persona (o agente externo) fue W = mgh Que
depende exclusivamente del peso del cuerpo y de la altura a la que
se encuentra con respecto a un cierto nivel o posicin inicial. A
este trmino se le denomina Energa Potencial (U): Energa por que se
realiz un trabajo para subirlo y, Potencial por que adquiere una
propiedad que no posea antes: la capacidad de poder realizar un
trabajo. Para ver que tanto trabajo puede realizar, analicemos
nuevamente un caso que nos es familiar: un cuerpo que se desliza
sobre un plano inclinado liso partiendo del reposo.
Diapositiva 69
Energa Potencial Las fuerzas que actan sobre el cuerpo son la
fuerza normal y el peso. El cuerpo se acelera debido a la
componente del peso en la direccin del movimiento. Esto es: F x =
ma x w x = ma x mg sen = ma x a x = g sen La velocidad con la que
llega a la parte inferior del plano despus de recorrer una
distancia x = h sen es: v 2 v 0 2 = 2a x v 2 = 2gsen ( h sen ) v 2
= 2gh mg N WxWx WyWy h v = ? v 0 = 0 x = h sen Sen = h x
Diapositiva 70
Energa Potencial El cambio de energa cintica es: K K 0 = mv 2 -
mv 0 2 K = m(2gh) K = mgh Por el teorema del trabajo y la energa
cintica: K = W W = mgh Es decir, el cuerpo puede realizar un
trabajo igual al que se realiz para subirlo hasta la altura h. Un
cuerpo puede tener diferentes valores de energa potencial, debido a
que sta, est referida a un cierto nivel (o sistema) de referencia.
Pongamos el siguiente ejemplo: A un profesor que imparte clases en
el tercer piso de un edificio, inadvertidamente se le cae el
borrador. Si desea colocarlo nuevamente sobre el pizarrn, debe
realizar un trabajo.
Diapositiva 71
Energa Potencial W = mgh 2 Donde h 2 = y 2 y 1 es la altura del
piso a la parte inferior del pizarrn. Si desea colocarlo en la
parte superior del pizarrn, debe realizar un trabajo adicional: W =
mgh 3 Donde h 3 = y 3 y 2 es el ancho del pizarrn. La energa
potencial con respecto al piso, es U = mg (h 2 + h 3 ) Pero con
respecto a la parte inferior del pizarrn es: U = mgh 3 Se puede
decir que la energa potencial del borrador es cero cuando est en el
suelo, pero si recordamos que nos encontramos en el tercer piso, el
borrador contina teniendo energa potencial, debido a que realizamos
trabajo para llevarlo a ese tercer piso, esto es: U = mgh 1 Donde h
1 = y 1 y 0
Diapositiva 72
Energa Potencial Siendo y 0 la posicin en el suelo del primer
piso y y 1 la posicin en el piso del tercer piso. Energa que puede
ser liberada si dejamos caer el borrador desde el tercer piso y que
puede realizar un trabajo (producir un sonido al golpear el suelo,
abollar o clavar un objeto, etc.). En todos los casos, se ha
analizado el trabajo realizado por el profesor, es decir, por la
fuerza que ste le aplica al borrador. Sin embargo, tambin acta la
Fuerza Gravitacional. El trabajo realizado por dicha fuerza, es el
negativo del realizado por el profesor, en virtud de que la
direccin de movimiento y la fuerza gravitacional son opuestas ( 180
0 ). W G = -W P Donde W G es el trabajo realizado por la Fuerza
Gravitacional y W P es el trabajo realizado por el profesor. En
trmino de energa potencial gravitacional W P = U = mgh = mg (y 2 -
y 1 ) W G = - U
Diapositiva 73
Energa Potencial Elstica Cuando se abord el trabajo realizado
por una fuerza variable, se consider a un cuerpo elstico, los
cuales se definen como aqullos que recobra su tamao y forma
original cuando deja de actuar la fuerza deformante. Robert Hooke
encontr que cuando se aplica una fuerza F a sobre un resorte, se
produce en l un alargamiento x que es directamente proporcional a
la magnitud de la fuerza aplicada. F a = kx Donde k es una
constante de proporcionalidad que vara de acuerdo al tipo de
material (en resortes rgidos k es grande, en resortes flexibles k
es pequeo). Las unidades son N / m. Por el contrario y de acuerdo a
la tercera Ley de Newton, el resorte ejerce una fuerza (F R ) de
igual magnitud pero en sentido contrario a la fuerza aplicada F R =
-kx Donde F R es una fuerza restitutiva que se opone al
movimiento
Diapositiva 74
Energa Potencial Elstica Ya sea para alargar o comprimir un
resorte, se debe aplicar una fuerza variable. El trabajo realizado
por dicha fuerza es: Este trabajo realizado por el agente externo
sobre el resorte, queda almacenado en forma de Energa Potencial
Elstica, que se libera al momento de soltar el resorte. Ver video
Ver video
Diapositiva 75
Energa mecnica de sistemas conservativos Al lanzar un cuerpo
verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial, ste adquiere
una energa cintica: K 0 = mv 0 2 Al ir ascendiendo y en ausencia de
fuerzas disipativas, va perdiendo velocidad (energa cintica) pero a
la vez va ganando altura (energa potencial). U = mg (y y 0 ) En el
punto de mxima altura, su velocidad es cero y ha adquirido su mxima
energa potencial con respecto al lugar de lanzamiento. El trabajo
realizado para lanzarlo, de acuerdo al teorema del trabajo y la
energa cintica es W = K = K K 0 = mv 2 - mv 0 2 Por otro lado, para
poder subir el cuerpo hasta esa altura, se debi realizar un trabajo
en contra de la fuerza gravitacional W = - U = - (U U 0 ) Igualando
ambas expresiones para el trabajo K = -U K + U = 0 K + U = 0
Diapositiva 76
Energa mecnica de sistemas conservativos (K K 0 ) + (U U 0 ) =
0 mv 2 - mv 0 2 + mg y mgy 0 = 0 mv 2 + mg y = mv 0 2 + mgy 0 Se
define la energa mecnica total (E) de un sistema de fuerzas
conservativas como la suma de las energa cintica y la potencial en
cualquier momento. E = K + U Siendo E una constante. Es decir: E f
= E 0 Lo cual es el principio de la conservacin de la energa
mecnica para sistemas conservativos: Si sobre un sistema actan solo
fuerzas conservativas que estn efectuando trabajo, la energa
mecnica total del sistema no crece ni disminuye, permanece
constante, es decir, se conserva
Diapositiva 77
Trabajo hecho por fuerzas no conservativas Cuando arrojamos un
cuerpo sobre una superficie horizontal, ste se detiene. La energa
cintica inicial se convirti en otra forma de energa (trmica). El
trabajo realizado por el piso para detenerlo es: W fk = f k x W fk
= f k x cos Donde por la segunda ley, la nica fuerza que acta sobre
el cuerpo en la direccin de movimiento es la friccin y por
consecuencia: -f k = ma x El desplazamiento de acuerdo a cinemtica
y en funcin de velocidades y aceleracin es: x = (v 2 v 0 2 ) 2a
Sustituyendo: W fk = - ma x cos 180 0 W fk = - ma x (-1) W fk = ma
(v 2 v 0 2 ) 2a W fk = - mv 0 2
Diapositiva 78
Ley de la conservacin de la energa En la vida diaria
generalmente tenemos disipacin de energa por friccin. En un sistema
la energa debe conservarse, es decir, que en cualquier proceso la
energa inicial debe ser igual a la final. En el caso de sistemas
disipativos, la ley de la conservacin de la energa dice que: La
energa (cintica y potencial) inicial de un sistema es igual a la
energa (cintica y potencial) final mas las prdidas de energa. K 0 +
U 0 = K + U + Q mv 0 2 + mgy 0 = mv 2 + mgy + W fk