TRIÁNGULOS
Lic. Meredy Siza Moreno
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Clasificación de Triángulos según la medida de sus lados:
Triángulos
Triángulo Isósceles
Dos lados iguales
Dos ángulos iguales
Triángulo escaleno
Lados y ángulos
desiguales
Triángulo Equilátero
Tres lados iguales
Tres ángulos iguales
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Clasificación de Triángulos según la medida de sus ángulos
Triángulos
Triángulo Rectángulo
Un ángulo de 90°
Tiene hipotenusa y
catetos
Triángulo Acutángulo
Todos los ángulos agudos
Triángulo Obtusángulo
Un ángulo mayor de 90°
RECTAS DE LOS TRIÁNGULOS
Mediatriz:
Es la recta perpendicular
que pasa por el punto medio de cada lado.
Mediana:
Es la recta que pasa por el vértice y el
punto medio del lado opuesto.
Altura:
Es la recta perpendicular trazada desde
un vértice hasta el lado
opuesto.
RECTAS DE LOS TRIÁNGULOS
Mediatriz :
Es la recta perpendicular
que pasa por el punto medio de cada lado.
Mediana:
Es la recta que pasa por el vértice y el
punto medio del lado opuesto.
Altura:
Es la recta perpendicular trazada desde
un vértice hasta el lado
opuesto.
TEOREMA DE LAS MEDIANAS DE TRIÁNGULO
Mediana:
Las medianas de un triángulo se intersecan en un punto situado a dos tercios de la distancia de cada vértice con su lado opuesto.
TEOREMA DE LAS MEDIANAS DE TRIÁNGULO
• En el ABC, AX, BY y CZ son medianas.
– Si BH = 3, HC = ____
– Si AJ = 4, JH = ____
– Si BC = CF, CJ = ____
TEOREMAS DE LOS TRIÁNGULOS
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°
La altura de un triángulo isósceles también es mediana correspondiente a la base.
EJERCICIOS
• La medida de los ángulos de la base de un triánguloisósceles se representa por x y el ángulo del otrovértice por 2x+30. Encuentre la medida de cadaángulo.
EJERCICIOS
• Sea el triángulo DEF isósceles con DE congruente conEF, Si DE = 4x+15 y EF= 2X+45 y DF=3x+15. Encuentrelas longitudes de los lados del triángulo.
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
Un lado del triángulo es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que
su diferencia.
A un ángulo mayor se le opone el lado mayor de un triángulo y viceversa.
La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del
tercer lado.
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Postulado LAL
• Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado ALA
• Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado LLL
• Si tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
EJERCICIOS
• Determine si los triángulos son congruentes eidentifique los postulados LAL, ALA o LLL.
PQ XY, QR YZ, PR XZ ______PR XZ, RQ ZY, <R <Z ______<P <X, <R <Z, PQ XY ______ <Q <Y, <R <Z, QR YZ ______<P <X, <Q <Y, <R <Z ______
EJERCICIOS
• Dado EH BH, AH DH, AC DF, <F <C. Compruebeque EF BC
H
TEOREMAS DE CONGRUENCIA
Teorema de congruencia LAA
• Si en un triángulo dos ángulos y un lado opuesto a uno de los ángulos son congruentes con dos ángulos y el lado correspondiente de un segundo triángulo, los triángulos son congruentes.
Teorema de la hipotenusa y el ángulo ( HA )
• Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Teorema de la hipotenusa y el cateto (HC)
• Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo , entonces los triángulos son congruentes.
EJERCICIOS
• Determine si la información dada asegura que lostriángulos sean congruentes:
PQ ST, <P<S, <Q <T ______PQ TU, QR SU, <Q <U ______<P <S, <Q <T, <R<U ______ <Q <T, PQ ST, PR SU ______PQ SU, QR ST, PR TU ______
EJERCICIOS
• Determine si la información dada asegura que lostriángulos sean congruentes:
AB DE, ACDF ______<A <D, BC EF ______<B <E, AB DE ______ AC DF, <A<D ______
APLICACIONES
• Una escalera de 6 pies se coloca contra una pared con la basea 2 pies de la pared. A qué altura del suelo está la pared másalta de la escalera?
• Una persona viaja a 8 millas al norte, 3 millas al oeste, 7 millasal norte y 11 millas al este. A qué distancia está la persona delpunto original?
APLICACIONES
• Una caja tiene 24 cm de largo, 8 cm de ancho y 10cm de alto. Cuál es la longitud de la diagonal AB?
A
B
RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
B
Las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes en un punto I que equidista de
los tres lados del triángulo.
El segmento DG es el radio de un círculo
inscrito
Las mediatrices de un triángulo son concurrentes
en un punto D que equidista de los tres
vértices del triángulo.
El segmento DA es el radio de un círculo circunscrito que toca los vértices del
triángulo.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
• Concepto de Proporción: es una igualdad entre dosrazones.
8 cm
6 cm
3 cm
4 cm
La razón 8:6, es la relación entre el alto y el ancho.
La razón 8:6 y la razón 4:3 forman una proporción:
8:64:3
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD
• Si una recta es paralela a un lado de un triángulo einterseca a los otros dos lados entonces esta rectadivide los dos lados proporcionalmente.
EJERCICIO
• Sea DE||AC. Determine el valor de x.
EJERCICIO
• Sea ABCD es un trapecio, EF||AB, EF||DC, AC =8,BC=18 y . Hallar BD y DC.
TEOREMA DEL SEGMENTO MEDIO
• El segmento que une los puntos medios de dos ladosde un triángulo es paralelo el tercer lado y tiene lamitad de su longitud.
EJERCICIO
• En los siguientes ejercicios, exactamente uno de lossegmentos a,b ó c, puede determinarse. Encuéntrelo
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Postulado de la semejanza AA
• Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.
Teorema de la semejanza LLL
• Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo entonces los triángulos son semejantes.
Teorema de la semejanza LAL
• Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y sus lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, los triángulos son semejantes.
APLICACIONES
• Si un hombre de 6 pies de altura proyecta unasombra de 9 pies, qué sombra proyectará un postede 20 pies?
APLICACIONES
• Un método para encontrar la altura de un objeto es colocar unespejo en el suelo y después situarse de manera que la parte másalta del objeto pueda verse enel espejo. Qué altura tiene una torresi una persona de 150 cm de altura observa la parte superior de latorre cuando el objeto está a 120 m de la torre y la persona está a6m del espejo?
APLICACIONES
• Se va a instalar una fuente a 32 pies de una esquina de un edificio ya 27 pies de la otra esquina. El edificio tiene 40 pies de ancho. Serealizó el plano para este proyecto y se localiza un punto F,corresponde a triángulos semejantes?
F
F
200 mm
160 mm135 mm
EJERCICIO
• Si AB=4 y BC=7, encuentre
DEFINICIÓN MEDIA GEOMÉTRICA
• Un número x es una media geométrica entre dosnúmeros a y b si:
En un triángulo rectángulo,
• La longitud de la altura a la hipotenusa es la mediageométrica entre las longitudes de los dos segmentos dela hipotenusa.
DEFINICIÓN MEDIA GEOMÉTRICA
Teoremas. En un triángulo rectángulo, la longitud de cadacateto es la media geométrica entre la longitud de lahipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusaadyacente al cateto.
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