¿Tu calculadora sabe sumar?
Mario González Cardel
Introducción.
A lo largo de la historia, el hombre hadesarrollado diversos equipos decomputo.
Abaco RomanoAbaco Japonés
Abaco Ruso
Introducción.
Computadora digital
Algoritmos de multiplicar.
Introducción.Regla de Cálculo
1850 - 1980
Regla de cálculo de 25 cm (Pickett N902-T)
Regla de cálculo circular
Introducción.
Se impartían cursos de manejo de regla de cálculo
Introducción.
Se recurria a la literatura sobre manejo de regla de cálculo
Introducción.
Calculadora mecánica
Introducción.
Sumaba y restaba
Introducción.
Introducción.
Remington
Olivetti
Burroughs
Introducción.
Facit
Introducción.
Olivetti
Burroughs
Introducción.
• Con el desarrollo de económicas yportátiles calculadoras se haincrementado el número de personas queconfiadamente se apoyan en el uso de
Introducción.
confiadamente se apoyan en el uso deestas máquinas para realizar sus cálculos.
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Introducción.
• Muchos usuarios de computadorasconfían ciegamente en los resultados quela máquina les entrega, y este problemaes compartido por el creciente número de
Introducción.
es compartido por el creciente número deusuarios. Un resultado producido por unacomputadora es aceptado como correcto,esto es más o menos aceptado como unaprueba matemática.
Introducción.
HP9830A
Introducción.
Apple II
Commodore SX-64
• Continuamente el mercado se veinundado por nuevas generaciones decomputadoras Personales. Estasmáquinas frecuentemente superan a las
Introducción.
máquinas frecuentemente superan a lasanteriormente fabricadas, en capacidad yeficiencia.
Introducción.IBM Personal System/2 Model 25
IMB Model 80
IBM 5150 (1981)
IBM Personal System/2 Model 55 SX (1987)
Introducción.
MacBook
• Los usuarios quedan completamenteatónitos cuando se enfrentan al hecho deque un cálculo numérico simple, con unascuantas operaciones, puede producir
Introducción.
cuantas operaciones, puede producirresultados incorrectos. Ellos quedan másatónitos al comprender que en cálculoscon punto flotante nada puede serconfiable, dadas las técnicascomputacionales usadas actualmente.
• Ax3 + Bx2 + Cx + D = D + x(C + x(B + xA))
Introducción.
35 15 3510 10 10+ −
• Ax + Bx + Cx + D = D + x(C + x(B + xA))
GWBASIC
GWBASIC
GWBASIC
GWBASIC
GWBASIC
Borlan C
Borlan C
Excel
Excel
MathCad
MathCad
MathCad
MathCad
Matlab
Matlab
Mathematica
Mathematica
Mathematica
−2237x8
11340+21473 x10
56700−24683 x12
56700+6485153 x14
17860500−8608231 x16
35721000+85931369 x18
642978000−8586380969 x20
135025380000+
16985903 x22
642978000−65399931389 x24
6751269000000+43833311 x26
13891500000−2062210963 x28
2250423000000+37403225893 x30
157529610000000−
25893327853 x32 17663674519 x34 13359775033 x36 15495397 x38
Mathematica
25893327853 x32
472588830000000+
17663674519 x34
1575296100000000−
13359775033 x36
6616243620000000+
15495397 x38
49009212000000−
106553 x40
2520473760000+
115697 x42
24700642848000−
30353 x44
74101928544000+
127x46
4940128569600−
127x48
145239779946240
Caracteristicas de operación.
• Notación Flotante.• Sistema Binario.• Tamaño finito de palabra.
Notación flotante
700 = 0.7 x 103
Mantisa
Exponente
Mantisa
Sistema binario
0.710 = 0.101100112
= 0.6992187510= 0.6992187510
0.000000012 = 2-8 = 0.00390625
Sistema binario
0.710 = 0.10110011001100102
= 0.6999969510= 0.6999969510
0.00000000000000012 = 2-16
=0.0000152588
El error de redondeo
0.00390625 x 1035 = 3.9 x 1032
0.0000152588 x 1035 = 1.52 x 10300.0000152588 x 10 = 1.52 x 10
El error de redondeo truncado
10.333333333...
33.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937... π
=
= ββ3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937...
e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 ...
π = ββ
El error de truncamiento
0
2 1
!
( 1)
ix
i
i i
xe
i
x
∞
=
+∞
=
−
∑
∑β β 2 1
0
( 1)( )
(2 1)!
i i
i
xsen x
i
+∞
=
−=+∑
β β
Error absoluto
( )12
1
1
×−=
×=
−−
−−
e
e
t
tr
ββ
ββ
( )( ) ( )
( )!1
)(
111
1
+−=
×−=++
−−
n
axfe
enn
t
trt
ε
ββ
Error relativo
( ) −
−
×−=
×=
trt
tr
r
r
12
ββ
ββ
( )( ) ( )
( )( )
∑=
++
−+
−
=
×−=
n
i
ii
nn
t
rt
i
axaf
n
axf
r
r
0
)(
11
!)(
!1)(
1
ε
ββ
Errores inherentesFabricación
Errores inherentesMedición
Errores inherentesMedición
Errores inherentesMedición
Errores inherentes
Errores inherentesMedición
Excel
• Cuando se van a sumar y/o restarnúmeros, trabajar con los números máspequeños primero.
Recomendaciones.
• De ser posible, evitar la substracción dede dos números aproximadamenteiguales.
• Una expresión del tipo a(b - c) puedereescribirse ab – ac y (a-b)/c puedereescribirse a/c – b/c. Si hay númerosaproximadamente iguales en el paréntesis,ejecutar la resta antes de la multiplicación.
Recomendaciones.
ejecutar la resta antes de la multiplicación.
• Cuando no se aplique ninguna de las reglasanteriores, minimizar el número de operacionesaritméticas.
Polinomios.
3/ 2 3 5/ 2 5 7 / 2 7 9/ 2 91 7 127 4369
2 24 960 80640 11612160
yE y y y y
π π π π π= + + + +
2 2 2 21 1 1 127 43691 1 7
2 12 40 12 7 1008
yE y y y y
π π π π π = + + + +
Conclusión.
Para evitarnos problemas y/o errores, debemoshacerle la vida fácil a la computadora.
Referencias.
S. M. Rump, Wie zurerlássig sind die Ergebrisse unsererRechenanlagen? Jahrbuch Überblicke Mathematik 163 –168 (1983)
Antologíade Matemáticas, Serie: LecturasUniversitarias,Antologíade Matemáticas, Serie: LecturasUniversitarias,vol. 7, Universidad Nacional Autónoma de México,Segunda edición 1983, pp 134-137
Panteleeva, O., González Cardel M. F., “MétodosNuméricos” Instituto de Investigaciones en TecnologíaEducativa de la Universidad Tecnológica de México,México, 2002.
Referencias.
McCracken, D. y D. Dorn, W. S.,Métodos Numéricos yprogramación fortran, Limusa México, 1986.
Burden L. R. y Faires J. D.,Análisis Numérico, ThomsonLearning. México,2002.Learning. México,2002.
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