II FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)
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Los modelos de programación lineal son muy variados y sus modelos adoptan muchas formas. Esta
diversidad puede confundir y hace difícil reconocer cuándo puede aplicarse la programación lineal para
estudiar problemas administrativos. La capacidad para reconocer la aplicabilidad de la programación
lineal es una aptitud administrativa y desarrollar esta aptitud es el objetivo del presente apartado.
La formulación y análisis de un modelo de programación lineal proporciona información para apoyar la
toma de decisiones. Esto significa que el modelo refleja con precisión la perspectiva administrativa del
problema. La programación lineal es una técnica determinista de análisis para elegir la mejor entre
muchas alternativas. Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al
mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño,
tipo (blanco, de centeno u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y
dividir estos criterios en dos categorías; restricciones y el objetivo.
Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más
de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las
alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan, puede quererse un paquete de pan blanco
rebanado y hecho no antes del día anterior. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse
el objetivo de un costo mínimo y escoger el más barato.
Existen muchos problemas en la empresa que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar
un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de
maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por
las leyes y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan
ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de
minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo
tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los
inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos
y otros problemas. El objetivo y cada una de las restricciones en la (PL) se deben expresar como una
relación lineal, de ahí el nombre de programación lineal.
Para las aplicaciones más reales es necesaria una computadora para resolver el modelo. A pesar de sus
limitaciones, la programación lineal, (PL) es una de las técnicas más poderosas y útil para la solución de
los problemas en las organizaciones.
Ya sea simple o complejo, un modelo es una representación que idealiza, simplifica y abstrae
selectivamente la realidad, y esta representación es construida por individuos, por lo que la creación de
modelos incluye una gran cantidad de arte e imaginación así como de conocimientos técnicos. A manera
de guía, podemos dividir el proceso de construcción de un modelo cuantitativo en tres etapas:
1. Se estudia el ambiente. La experiencia puede ser el ingrediente más esencial del éxito, la experiencia
tanto en construcción de modelos como en el trabajo en el ambiente que se estudia.
2. Se formula una representación selectiva de la realidad. Implica un análisis conceptual básico en el
que se deben hacer conjeturas y simplificaciones. El proceso de formulación requiere que el
constructor del problema seleccione o aísle del ambiente aquellos aspectos de la realidad que sean
relevantes dentro del ámbito del problema. Puesto que los problemas que nos interesan implican
decisiones, restricciones y objetivos, deben ser explícitamente identificados y definidos. Una vez que
se ha realizado la formulación lógica se debe elaborar una forma simbólica del modelo. En cierto
sentido, formulación y construcción son procesos integrados, siendo la formulación el aspecto lógico
conceptual y la construcción la expresión de las relaciones lógicas en el lenguaje simbólico de las
matemáticas.
3. Se formula una representación simbólica (es decir con expresiones matemáticas) del modelo. Las
interacciones entre la formulación y la construcción simbólica por lo común son críticas. Por lo que
II. FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)
2.1. CONCEPTO DE FORMULACIÓN DE MODELOS DE PL
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se requiere que los modelos sean construidos por grupos heterogéneos o interdisciplinarios de
expertos en varios campos.
El concepto de formulación y construcción del modelo podría ser más explicito con el siguiente ejemplo:
Considérese a un fabricante quien produce distintos productos y utiliza diferentes materias primas en el
proceso. El desea conocer que tanto tiene que producir de cada producto con el objeto de obtener el
mayor beneficio global, numeremos los diferentes productos que fabrica por 1,2,…,n y las materias
requeridas (tales como mano de obra, capital, acero y otras materias básicas) por 1,2,….,m supóngase que
el sistema de unidades se elige en términos de la cantidad de cada producto fabricado y en forma como
puede medirse las materias usadas, por ejemplo, la cantidad de acero usado puede medirse en toneladas,
la mano de obra en horas-hombre, y así sucesivamente. Ahora hagamos algunas suposiciones respecto a
la naturaleza del proceso de fabricación considérese primero que, para cada producto, se requiere una
cantidad fija de cada materia hacer una unidad de ese producto. Sea aij el número de unidades requeridas
de la materia i para producir una cantidad del producto j )1,1( njmi . Al referirse a aij como
"fijo" significa que el número determinado por i y j solamente y no varía con la cantidad producida del
producto j. A continuación, supóngase que consideramos un período de tiempo fijo durante el cual se
dispone de una cantidad fija de cada materia y que dicha cantidad no puede excederse durante ese tiempo.
Sea bi el número de unidades de la materia número i disponible durante el período de tiempo
fijo )1( mi . Finalmente supóngase que todos los productos fabricados durante el intervalo de tiempo
considerado se venderán y que se conoce el beneficio unitario de cada producto, el cual es independiente
del número de unidades producidas. Sea Cj el número de unidades de dinero que son el beneficio de la
venta de una unidad de cada producto j )1( nj . Entonces, si se producen Xj unidades del producto j
)1( nj en el intervalo de tiempo dado, el beneficio será C1X1 + C2X2 +………CiXj+…..+ CnXn,
puesto que deseamos maximizar el beneficio total sujeto a las condiciones mencionadas, debemos
formular el siguiente problema de programación lineal.
Maximizar Z = C1X1 + C2X2 +………CJXj+…..+ CnXn
Sujeta a: A11X1 + A12X2 +……… A1jXj +…..+ A1nXn (≤, = ó ≥) b1
A21X1 + A22X2 +……… A2jXj +…..+ A2nXn (≤, = ó ≥) b2
……………………………………………………………………..
Ai1X1 + Ai2X2 +……… AijXj +…..+ AinXn (≤, = ó ≥) bi
……………………………………………………………………..
Am1X1 + Am2X2 +……… AmjXj +…..+ AmnXn (≤, = ó ≥) bm
Xj ≥ 0 (j =1,2,….,n)
Las condiciones Xj ≥ 0 (j =1,2,…., n) están presentes debido a que no tiene significado hablar de producir
una cantidad negativa de un producto.
Los modelos típicos de programación lineal se pueden clasificar en cuatro categorías:
En cada caso, un rasgo distintivo importante es la naturaleza de las restricciones, como se vera en cada
modelo.
Son modelos de programación lineal que involucran la asignación de recursos limitados a las actividades.
La característica que identifica cualquier modelo de esos es que cada restricción funcional en el modelo
de programación lineal es una restricción de recursos, que tiene la forma:
2.2.1. Modelos de asignación de recursos
2.2.2. Modelos de trueque de costo-beneficio
2.2.3. Modelos de redes de distribución
2.2.4. Modelos mixtos
2.2. MODELOS TÍPICOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
2.2.1. Modelos de asignación de recursos
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Para facilitar la formulación del modelo de programación lineal de asignación de recursos, se requiere
reunir tres tipos de datos:
1. La cantidad disponible de cada recurso limitado para el uso colectivo de todas las actividades
objeto de estudio.
2. La cantidad de cada recurso necesario para cada actividad. En particular, para cada combinación
de recurso y actividad, debe estimarse la cantidad de recurso usado por unidad de actividad.
3. La contribución por unidad de cada actividad como la medida de desempeño global. (Esta
medida de desempeño, es la ganancia o costo total de las actividades).
Toda vez que se llena una tabla con todos los datos requeridos, se esta listo para la formulación del
modelo de programación lineal correspondiente. De hecho la siguiente tabla se llama tabla de
concentración de datos (parámetros) porque los datos son los parámetros del modelo.
Formato de la tabla de concentración de datos ( parámetros) para un problema de asignación de recursos.
Caso: Compañía Think-Big Development Co.
1. Definición del problema
La Compañía Think-Big Development Co. Es un inversionista importante en proyectos de desarrollo de
bienes raíces comerciales. Actualmente tiene la oportunidad de invertir en tres grandes proyectos de
construcción:
Proyecto 1: un edificio de oficinas de varios pisos.
Proyecto 2: un hotel.
Proyecto 3: un centro comercial.
Cada proyecto requiere que cada socio efectúe inversiones en cuatro momentos distintos: un pago inicial
ahora y capital adicional después de uno, dos y tres años. La siguiente tabla muestra, para cada proyecto,
la cantidad total de inversión de capital requerida de todos los socios en estos cuatro tiempos. Así, un
socio que toma cierto porcentaje de participación está obligado a invertir ese porcentaje de cada cantidad
mostrada en la tabla del proyecto.
Se espera que los tres proyectos sean muy rentables a largo plazo. Así es que la administración de Think-
Big desea invertir lo más posible en alguno o en todos ellos. La administración está dispuesta a
comprometer todo el capital de inversión disponible hoy, así como el capital de inversión adicional que se
espera esté disponible durante los siguientes tres años. El objetivo es determinar la mezcla de inversión
que resulte más rentable, basado en las estimaciones actuales de rentabilidad.
Puesto que pasarán varios años antes de que cada proyecto comience a generar ingresos, que continuarán
por muchos años en el futuro, se precisa tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo para evaluar
Cantidad de recurso empleado ≤ cantidad de recurso disponible
Para uno de los recursos limitados.
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cuán rentable podría ser. Esto se hace mediante el descuento de futuros flujos de efectivo que sale (capital
invertido) y flujos de efectivo que entra (ingreso) y después sumando los flujos de efectivo descontados
netos, para calcular el valor presente neto del proyecto.
Basado en las estimaciones actuales de flujos de efectivo futuros, el valor presente neto estimado para
cada proyecto se muestra en el último renglón de la tabla. Todos los inversionistas incluida Think-Big,
repartirán luego este valor presente neto en proporción a su parte de la inversión total.
Para cada proyecto, 100 participaciones de 1% (o fracciones de éstas) se venden a grandes inversionistas,
tales como Think-Big quienes se convierten en socios del proyecto al invertir sus partes proporcionales en
los cuatro tiempos especificados. Por ejemplo, si Think-Big toma 10 participaciones del proyecto 1,
deberá proporcionar $4 millones ahora y luego $6 millones, $9 millones y $1 millón en los años uno, dos
y tres, respectivamente.
Hoy la compañía cuenta con $25 millones disponibles para inversión de capital. En las proyecciones se
dispondrá de otros $20 millones más después de dos años y otros $15 millones en tres años. ¿Cuántas
participaciones debería tomar Think-Big en los respectivos proyectos para maximizar el valor presente
neto total de estas inversiones?
Cuadro de concentración de datos para el problema de Inversiones
2. Formulación del modelo
Las actividades consideradas son:
Actividad 1: invertir en el proyecto 1.
Actividad 2: invertir en el proyecto 2.
Actividad 3: invertir en el proyecto 3.
Los recursos limitados a asignar a estas actividades son los fondos disponibles en los cuatro puntos de
inversión. Los fondos que no se usan en un punto están disponibles en el siguiente. Entonces, la
restricción de recursos para cada punto debe reflejar los fondos acumulados a ese punto.
Recurso 1: capital de inversión total disponible ahora.
Recurso 2: capital de inversión acumulado disponible al final de un año.
Recurso 3: capital de inversión acumulado disponible al final de dos años.
Recurso 4: capital de inversión acumulado disponible al final de tres años.
Con las cantidades acumuladas de estos recursos y las participaciones del 1% para los proyectos
obtenemos la siguiente tabla. Obsérvese que los que aquí los números de la tabla anterior se multiplicaron
por 1%, porque cada unidad de una actividad (inversión en un proyecto) es 1% de la inversión total. Para
ilustrar el efecto de usar cantidades acumuladas para los recursos, considere los números de la columna
del proyecto 1 de la tabla siguiente que se obtienen a partir de la columna correspondiente en la tabla
anterior como sigue:
Cálculos para la columna del proyecto 1 de la tabla siguiente
Renglón 1: 0.01 ($40 millones) = $0.40 millones
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Renglón 2: 0.01 ($40 + 60 millones) = $1.0 millones
Renglón 3: 0.01 ($40 + 60 + 90 millones) = $1.9 millones
Renglón 4: 0.01 ($40 + 60 + 90 + 10 millones) = $2.0 millones
Fondo: 0.01 ($ 45 millones) = $0.45 millones
Contribución por unidad = valor presente neto de cada participación de 1% en este proyecto
Tabla de parámetros para el problema de mezclas de inversión de la Think-Big Development Co.
Las decisiones. Con tres actividades bajo consideración, deben tomarse tres decisiones:
Decisión 1: P1 = número de participaciones en el proyecto 1 (edificio de oficinas)
Decisión 2: P2 = número de participaciones en el proyecto 2 (hotel)
Decisión 3: P3 = número de participaciones en el proyecto 3 (centro comercial)
Las restricciones. Los cuatro recursos requieren de restricciones de recursos:
Total invertido ahora ≤ 25 (millones de dólares disponibles)
Total invertido dentro de un año ≤ 45 (millones de dólares disponibles)
Total invertido dentro de dos años ≤ 65 (millones de dólares disponibles)
Total invertido dentro de tres años ≤ 80 (millones de dólares disponibles)
La medida de desempeño. El objetivo es:
Maximizar VPN = Valor presente neto total de las inversiones
Matemáticamente la formulación del modelo es:
Función Objetivo: Maximizar VPN = 0.45P1 + 0.7P2 + 0.5P3
Sujeta a:
Total de inversión actual: 0.4P1 + 0.8P2 + 0.9P3 ≤ 25
Total invertido dentro de dos años: P1 + 1.6P2 + 1.4P3 ≤ 45
Total invertido dentro de un año: 1.9P1 + 2.4P2 + 1.6P3 ≤ 65
Total invertido dentro de un año 2.0P1 + 3.1P2 + 2.2P3 ≤ 80
Condiciones de no negatividad:
P1≥0 P2≥0 P3≥0
3. Solución del problema a partir del modelo
Aplicando un programa para obtener la solución del modelo se concluye lo siguiente:
No invertir en el proyecto 1
Invertir en 16.505 participaciones del proyecto 2
Invertir en 13.107 participaciones del proyecto 3
Con este plan de inversión se obtendrá un valor presente neto de $18.11 millones.
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Caso Compañía: El problema de mezcla publicitaria de la Súper Grain Co
1. Definición del problema
Claire Syverson, subdirectora de mercadotecnia de Super Grain Corporation, se enfrenta a un reto
intimidante: cómo entrar a un mercado ya saturado de cereales para desayuno, Por fortuna, el nuevo
cereal para desayuno de la compañía -Crunchy Start- tiene mucho a su favor: gran sabor. Nutritivo.
Crujiente de principio a fin. Ella puede recitar la letanía hasta en sueños. Contiene las condiciones de una
campaña promocional exitosa.
No obstante. Claire sabe que tiene que evitar los errores que cometió en su última campaña de un cereal
para desayuno. Ésa fue su primera asignación desde que ganó esta promoción y ¡qué desastre! Pensó que
había desarrollado una campaña verdaderamente buena. Pero de algún modo no hizo conexión con los
segmentos más cruciales del mercado, los niños pequeños y sus padres. También concluyo que fue un
error no incluir cupones de descuento de centavos en la publicidad en revistas y periódicos. Bueno. Vivir
y aprender.
Pero más vale que en esta ocasión lo haga bien, en especial después del gran tropiezo de la vez pasada. El
director general de la compañía, David Sloan, ya le ha hecho saber cuán importante es para el futuro de la
compañía el éxito de Crunchy Start. Recuerda exactamente cómo concluyó David la plática "los
accionistas de la compañía no están contentos. Debemos lograr que esos ingresos se muevan en la
dirección correcta de nuevo." Claire había escuchado esta tonada antes, pero vio en los ojos de David
cuán serio era esto en este momento.
David también es muy cooperativo. Dice que está asignando un equipo de métodos cuantitativos de
primera línea para trabajar con ella y ayudarle a optimizar la campaña promocional. Ésas son buenas
noticias. No haber involucrado a la gente de métodos cuantitativos fue otro error del que se ha arrepentido
desde entonces.
Ahora es el momento de sentarse con el equipo de métodos cuantitativos y enfrentar seriamente el
problema.
Claire ya contrató a una empresa publicitaría líder, Giacomi & Jackowitz, para que le ayuden a desarrollar
una campaña promocional de cobertura nacional que logrará la mayor exposición posible para Crunchy
Start. Super Grain pagará a esta firma honorarios basados en servicios realizados (sin exceder $1 millón)
y ha asignado $4 millones adicionales para gastos de publicidad.
Giacomi & Jackowitz ha identificado los tres medios publicitarios más efectivos para este producto:
Medio 1: Comerciales de televisión en programas infantiles sabatinos.
Medio 2: Anuncios en revistas de alimentos y orientadas a la familia.
Medio 3: Anuncios en los suplementos dominicales de los principales periódicos.
El problema ahora es determinar qué niveles deben seleccionarse para estas actividades publicitarias para
obtener la mejor mezcla publicitaria.
Para determinar la mejor mezcla de niveles de actividad para este problema de publicidad en particular, es
necesario (como siempre) identificar la medida de desempeño global para el problema y luego la
contribución de cada actividad a esta medida. Una meta esencial de Super Grain Corporation es
maximizar sus ganancias, pero es difícil determinar una relación directa entre exposición publicitaria y
ganancias. Así pues, como sustituto de las ganancias, Clara y el equipo de métodos cuantitativos
concuerdan en usar exposición esperada como medida de desempeño global. Cada unidad de exposición
esperada representa cierta cantidad de impacto positivo de un anuncio, basado en el número de personas
que lo vieron, el perfil del auditorio y la probabilidad de que verlo inducirá una compra.
Giacomi & Jackowitz elaboró planes preliminares para anuncios en los tres medios. La firma también
estimó el número de unidades de exposición esperada para cada anuncio en cada medio como se ofrecen
en el último renglón de la siguiente tabla:
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Tabla de concentración de datos (parámetros) para el problema de mezcla publicitaria.
2. Formulación del modelo:
El número de anuncios que pueden contratarse en los diferentes medios está restringido tanto por el
presupuesto de publicidad (un límite de $4 millones) como por el presupuesto de planeación (un límite de
$1 millón para los honorarios de Giacomi & Jackowitz) otra restricción: debido a que hay pocos espacios
de comerciales disponibles en televisión en programas para niños el sábado (medio 1) durante el tiempo
de la campaña promocional, sólo cinco comerciales diferentes podrían pasar en el tiempo deseado. (Los
otros dos medios cuentan con número amplio de espacios disponibles.)
En consecuencia, los tres recursos limitados para este problema son:
Recurso 1: presupuesto para publicidad ($4 millones).
Recurso 2: presupuesto para planeación ($1 millón).
Recurso 3: espacio para comerciales disponibles (5).
En la última columna de la tabla se muestran las cantidades disponibles de estos recursos. Luego se
muestra en el cuerpo principal de esta tabla una cantidad estimada de cada recurso que sería usada para
cada anuncio en el medio respectivo.
El primer renglón da el costo por anuncio en cada medio.
El segundo renglón muestra las estimaciones de Giacomi & Jackowitz de su costo total (incluidos
gastos generales y ganancia) por diseñar y desarrollar cada anuncio para el medio respectivo. (Este
costo representa los honorarios facturables de Super Grain Corporation.)
El tercer renglón indica que cada anuncio (comercial) exhibido en televisión usa uno de los cinco
espacios comerciales disponibles para compra.
El último renglón da el número esperado de unidades de exposición por anuncio.
Las decisiones. El objetivo es: determinar la mezcla publicitaria más efectiva entre los tres medios
seleccionados por Giacomi & Jackowitz. Por lo tanto, existen tres decisiones:
Decisión 1: TV = Número de comerciales en televisión.
Decisión 2: M = Número de anuncios en revistas.
Decisión 3: SS = Número de anuncios en suplementos dominicales.
Las restricciones. Las restricciones correspondientes son:
Gasto total en publicidad ≤4 000 (presupuesto de publicidad en $4 000)
Costo total de la planeación ≤1 000 (presupuesto de planeación en $1 000)
Número total de espacios de TV ≤ 5 (número disponible para compra)
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Las medidas de desempeño. Claire Syverson y el equipo de métodos cuantitativos acordaron usar la
exposición esperada como la medida global de desempeño. La exposición total esperada de toda la
publicidad es:
Maximizar Exposición = 130TV + 60M + 50SS
Matemáticamente la formulación del modelo de programación lineal es:
Función Objetivo: Maximizar Exposición = 130TV + 60M + 50SS
Sujeta a:
Gastos de publicidad: 300TV + 150M + 100SS ≤ 4 000
Costos de planeación: 90TV + 30M + 40SS ≤ 1 000
Número de espacios en televisión: TV ≤ 5
Condiciones de no-negatividad:
TV ≥ 0 M ≥ 0 SS ≥ 0
3. Solución del problema a partir del modelo
Aplicando un programa para obtener la solución del modelo se concluye lo siguiente:
No se efectúen comerciales de televisión.
Efectuar 20 anuncios en revistas.
Efectuar 10 anuncios en suplementos dominicales.
Como la “ganancia” en este caso se mide en unidades de exposición esperadas, el resultado es de 1700
unidades de exposición esperadas.
Los modelos de trueque entre costo y beneficio son modelos de programación lineal donde se elige la
mezcla de los niveles de las distintas actividades para lograr niveles mínimos aceptables de los diversos
beneficios a un costo mínimo. La característica identificadora es que cada restricción funcional es una
restricción del beneficio, que tiene la forma:
Al interpretar beneficio de manera amplia, puede pensarse en cualquier restricción funcional con signo ≥
como restricción de beneficio. En la mayoría de los casos el nivel mínimo aceptable será prescrito por la
administración como una decisión de política, pero ocasionalmente este número será dictado por otras
circunstancias.
Para cualquier modelo de trueque costo beneficio una gran parte del estudio incluye identificar todas las
actividades y beneficios que deben considerarse y luego reunir los datos relevantes para esas actividades y
beneficios. La siguiente tabla resume los tipos de datos necesarios. Para cada beneficio, se necesita
estimar en cuánto contribuye cada actividad a ese beneficio (por unidad de actividad) y luego se
determina el nivel mínimo aceptable. También debe estimarse el costo por unidad de cada actividad. La
tabla de concentración de datos (de parámetros) resultante da todos los parámetros necesarios para un
modelo de programación lineal.
Nivel logrado ≥ nivel mínimo aceptable
Para uno de los beneficios.
2.2.2. Modelos de trueque entre costo y beneficio
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Tabla de concentración de datos (parámetros) para un modelo de trueque entre costo y beneficio.
Caso Compañía: The Profit & Gambit Co.
Un ejemplo de minimización: Problema de mezcla de publicidad
1. Definición del problema
La compañía Profit & Gambit Co. fabrica productos de limpieza para uso doméstico. Éste es un mercado
muy competido y la compañía lucha en forma constante para aumentar su porcentaje de mercado. La
administración decidió llevar a cabo una importante campaña de publicidad que se enfocará en los
siguientes tres productos clave:
1. Un quitamanchas para prelavado en aerosol.
2. Un nuevo detergente líquido para ropa.
3. Un polvo detergente para ropa con mercado establecido.
Esta campaña utilizará televisión y medios impresos. Se desarrolló un comercial de televisión para
aparecer en el ámbito nacional que anunciará el detergente líquido para ayudar a establecer este nuevo
producto. La publicidad en medios impresos promoverá los tres productos e incluirá cupones de
descuento que los consumidores pueden usar para comprar el producto a precios reducidos. La
administración ha establecido metas mínimas para la campaña:
1. El quitamanchas debe captar 3% adicional de su mercado;
2. El nuevo detergente líquido debe captar 18% del mercado de detergentes para ropa, y
3. Un aumento de 4% de este mismo mercado debe ser captado por el detergente en polvo.
La siguiente tabla muestra los aumentos estimados en las participaciones de estos mercados por cada
unidad de publicidad en los medios respectivos.
(Una unidad es un bloque estándar de publicidad que Profit & Gambit Co. compra, pero también se
permiten otras cantidades).
La razón para el –1% para el detergente en polvo en la columna de televisión es que el comercial de TV
que anuncia el nuevo detergente líquido le quitará algunas ventas al detergente en polvo. El último
renglón de la tabla muestra el costo por unidad de publicidad para cada medio.
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Tabla de concentración de datos (parámetros) para el problema de mezcla publicitaria.
El objetivo de la administración es determinar cuánta publicidad hacer en cada medio para cumplir las
metas de participación de mercado a un costo total mínimo.
2. Formulación del modelo
Éste es un problema de trueque entre costo y beneficio. El objetivo es: determinar cuánta publicidad
asignar a cada medio para cubrir las metas de porcentaje de mercado a un costo total mínimo.
Las actividades consideradas son:
Actividad 1: Publicidad en televisión.
Actividad 2: Publicidad en medios impresos.
Los beneficios buscados de estas actividades son:
Beneficio 1: Proporción aumentada del mercado para un quitamanchas prelavado.
Beneficio 2: Proporción aumentada del mercado para un detergente de ropa líquido.
Beneficio 3: Proporción aumentada del mercado para un detergente de ropa en polvo bien establecido.
Las decisiones que deben tomarse en cuenta son:
Decisión 1: TV = Número de unidades de publicidad en televisión.
Decisión 2: PM =Número de unidades de publicidad en medios impresos.
Las restricciones identificadas sobre estas decisiones son:
Quitamanchas: Aumento total en porcentaje de mercado 3%
Detergente líquido: Aumento total en porcentaje de mercado 18%
Detergente en polvo: Aumento total en porcentaje de mercado 4%
La segunda y tercera columna de la tabla indican que los aumentos totales en porcentaje de mercado de
ambas formas de publicidad son:
Total para el quitamanchas = 1% de PM
Total para detergente líquido = 3% de TV + 2% de PM
Total para detergente en polvo = -1% de TV + 4% de PM
Matemáticamente la formulación del modelo es:
Función objetivo: Minimizar Costo = TV + 2PM (en millones de dólares)
Sujeta a:
Proporción de mercado aumentada de quitamanchas: PM 3
Proporción de mercado aumentada de detergente líquido: 3TV + 2PM 18
Proporción de mercado aumentada de quitamanchas: -TV + 4PM 4
Condiciones de no-negatividad:
TV 0, PM 0
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3. Solución del problema a partir del modelo
Aplicando un programa para obtener la solución del modelo se concluye lo siguiente:
Contratar 4 unidades de publicidad en televisión.
Contratar 3 unidades de publicidad en medios impresos.
El costo total mínimo de este plan será de $10 millones.
Los modelos de redes de distribución tratan la distribución de bienes a través de redes de distribución a un
costo mínimo.
Estas restricciones son una característica identificadora de los problemas de redes de distribución. Así, las
Las restricciones de requerimientos fijos tienen el mismo papel para problemas de redes de distribución
que las restricciones de recursos en los problemas de asignación de recursos y las restricciones de
beneficios en los problemas de trueque costo-beneficio.
Por ello, en vez de identificar recursos o beneficios, en los problemas de redes de distribución deben ser
los requerimientos y sus restricciones de requerimientos fijos correspondientes.
Así como se desarrolló una tabla de parámetros para los modelos de asignación de recursos y para los
modelos de trueque costo-beneficio, se puede elaborar una tabla, como a continuación se muestra, para
facilitar la formulación de modelos de redes de distribución. La primera columna enumera los tipos de
cantidades que contienen un requerimiento fijo y la última columna da el monto requerido para esas
cantidades. Cada entrada en el cuerpo principal de la tabla muestra cuánto contribuye cada unidad
embarcada por esa ruta para satisfacer la cantidad requerida en la última columna. El renglón de
capacidad muestra el número máximo de unidades que pueden enviarse por cada ruta de envío.
Tabla de concentración de datos (parámetros) para un problema de redes de distribución
Caso Compañía: The Distribution Unlimited Co.
1. Definición del problema
La compañía The Distribution Unlimited Co. Producirá el mismo producto en dos fábricas diferentes y
luego deben enviar el producto a dos almacenes. La fábrica 1 puede enviar una cantidad ilimitada por tren
sólo al almacén 1, en tanto que la fábrica 2 puede enviar una cantidad ilimitada por tren sólo al almacén 2.
Se pueden usar auto transportistas independientes para enviar hasta 50 unidades de cada fábrica a un
En este tipo de modelos se verá un nuevo tipo de restricción –las restricciones de requerimientos fijos.
2.2.3. Modelos de redes de distribución
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centro de distribución, de donde se pueden enviar hasta 50 unidades a cada almacén. El costo unitario de
envió para cada alternativa se muestra en la siguiente tabla, junto con las cantidades a producir en las
fábricas y las cantidades necesarias en los almacenes. El objetivo es determinar cómo enviar las unidades
necesarias con un costo total mínimo.
Tabla de concentración de datos para el problema de red de distribución.
La siguiente figura muestra la red de distribución para este problema. Cada flecha señala una de las rutas
de embarque factibles; el costo unitario de embarque correspondiente está dado a lo largo de la flecha.
También se muestra la capacidad límite de cuánto puede enviarse (sí se envía) a través de cada ruta.
2. Formulación del modelo de programación lineal
Se necesitan identificar las actividades y los requerimientos de este problema de redes de distribución
para formularlo como un modelo de programación lineal. En este caso se han mencionado dos tipos de
actividades –la producción de un nuevo producto en las dos fábricas y el envío del producto a través de
varias rutas-. Sin embargo, se conocen las cantidades específicas que debe producir cada fábrica, de modo
que no se requiere tomar decisiones sobre las actividades de producción. La toma de decisiones se ocupa
de los niveles de las actividades de envío –cuánto enviar a través de cada ruta-. Por lo tanto, la atención
debe centrarse en las actividades de envío para la formulación del modelo de programación lineal.
Las actividades corresponden a rutas de envío, señaladas por flechas en la figura anterior.
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El nivel de cada actividad es el número de unidades enviadas por la ruta correspondiente.
Igual que cualquier modelo de programación lineal puede describirse como la búsqueda de la mejor
combinación de niveles de actividad, éste implica encontrar la mejor mezcla de cantidades de envío para
las diversas rutas. Las decisiones que se toman son:
Las decisiones que se toman son:
SF1-DC = Número de unidades enviadas de la fábrica 1 al centro de distribución (50 máximo)
SF2-DC = Número de unidades enviadas de la fábrica 2 al centro de distribución (50 máximo)
SF1-W1 = Número de unidades enviadas de la fábrica 1 al almacén 1
SF2-W2 = Número de unidades enviadas de la fábrica 2 al almacén 2
SDC-W1 = Número de unidades enviadas del centro de distribución al almacén 1 (50 máximo)
SDC-W2 = Número de unidades enviadas del centro de distribución al almacén 2 (50 máximo)
El objetivo es: Minimizar Costo = costo total de enviar las unidades necesarias
Usando los costos de embarque unitarios dados en la tabla anterior
Costo = 300 SF1-DC + 400 SF2-DC + 700 SF1-W1 + 900 SF2-W2 + 200 SDC-W1 + 400 SDC-W2
El modelo requerirá algunas limitaciones que involucran requerimientos fijos:
Requerimiento 1: La cantidad total enviada de la fábrica 1 debe ser 80 unidades.
Requerimiento 2: La cantidad total enviada de la fábrica 2 debe ser 70 unidades.
Requerimiento 3: La cantidad total enviada a la bodega 1 debe ser 60 unidades.
Requerimiento 4: La cantidad total enviada a la bodega 2 debe ser 90 unidades.
Pero hay un requisito más ¡que no es tan evidente!. Al final todas las unidades se necesitan en los
almacenes. De modo que cualquier número de unidades enviadas de las fábricas al centro de distribución
deben ser remitidas a los almacenes. Por ello, la cantidad total enviada desde el centro de distribución a
los almacenes debe ser igual a la cantidad enviada de las fábricas al centro de distribución. En otras
palabras, la diferencia de estas dos cantidades enviadas debe ser igual a cero.
Requerimiento 5: Para el centro de distribución, la cantidad enviada menos la cantidad que llega = 0.
Con este sutil, pero significativo punto, debe poder verse que hay un requerimiento especial asociado con
cada una de las cinco localidades en la red de distribución mostrada en la figura (red) anterior. Tener un
requerimiento para cada localidad es una característica común de todos los problemas de redes de
distribución.
Estos cinco requerimientos pueden expresarse en forma de restricciones como:
Cantidad proporcionada = cantidad requerida
Por ejemplo, el requerimiento 1 puede expresarse en forma algebraica como
SF1-DC + SF1-W1 = 80
Donde el lado izquierdo es la cantidad total enviada de la fábrica 1 y 80 es la cantidad requerida que debe
enviarse de la fábrica 1. Así, esta limitación restringe a SF1-DC y a SF1-W1 a valores que suman la cantidad
requerida de 80.
Una característica identificadora de los modelos puros de redes de distribución es que las principales
restricciones funcionales en la forma final del modelo son restricciones de requerimientos físicos. Sin
embargo, otros modelos de programación lineal algunas veces incluyen también limitaciones de
requerimientos físicos.
La siguiente tabla de parámetros facilitara la formulación del modelo de redes de distribución. La primera
columna enumera los tipos de cantidades que contienen un requerimiento fijo y la última columna da el
monto requerido para esas cantidades.
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Cada entrada en el cuerpo principal de la tabla muestra cuánto contribuye cada unidad embarcada por esa
ruta para satisfacer la cantidad requerida en la última columna.
El renglón de capacidad muestra el número máximo de unidades que pueden enviarse por cada ruta de
envío (ilimitada para las rutas en las dos columnas centrales).
Tabla de parámetros para el problema de redes de distribución.
Matemáticamente la formulación del modelo de programación lineal es:
Minimizar Costo = 300 SF1-DC+400 SF2-DC+ 700 SF1-W1+ 900 SF2-W2+ 200 SDC-W1+ 40 SDC-W2
Sujeta a las siguientes restricciones:
1. Restricciones de requerimientos fijos:
SF1-DC + SF1-W1 = 80 (fábrica 1)
SF2-DC + SF2-W2 = 70 (fábrica 2)
SF1-W1 + SDC-W1 = 60 (almacén 1)
SF2-W2 + SDC-W2 = 90 (almacén 2)
-SF1-DC - SF2-DC + SDC-W1+ SDC-W2 = 0 (centro de distribución)
2. Restricciones de límite superior:
SF1-DC ≤ 50; SF2-DC ≤ 50; SDC-W1 ≤ 50; SDC-W2 ≤ 50
3. Condiciones de no-negatividad:
SF1-DC 0, SF2-DC 0, SDC-W1 0, SDC-W2 0, SF1-W1 0, SF2-W2 0
3. Solución del problema a partir del modelo
Aplicando un programa para obtener la solución del modelo se concluye lo siguiente:
16 = cantidad total enviada de la fabrica 1
17 = cantidad total enviada de la fabrica 2
18 = cantidad total enviada al almacén 1
19 = cantidad total enviada al almacén 2
110 = cantidad que sale menos cantidad que llega para el centro de distribución
El costo total de envío a un costo mínimo es de $110 000.
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Como se resume en la siguiente tabla. Cada tipo de modelo de asignación de recursos, de trueque costo-
beneficio, y de redes de distribución- presenta uno de los tres tipos de restricciones funcionales.
De hecho, la característica identificadora de un modelo puro de asignación de recurso es que todas sus
restricciones funcionales son restricciones de recursos.
La característica identificadora de un modelo puro de trueque costo-beneficio es que todas sus
restricciones funcionales son restricciones de beneficio. Las restricciones funcionales principales en un
modelo de redes de distribución son restricciones de requerimientos fijos de cierto tipo (aunque el
problema pueda tener algunas restricciones de recursos simples donde cada lado izquierdo es una sola
variable de decisión).
Tabla que muestra cada tipo de modelo de asignación de recursos, de trueque costo-beneficio, y de redes de
distribución- presenta uno de los tres tipos de restricciones funcionales.
Caso Compañía: The Save-It Company: Reciclado de desechos sólidos
1. Definición del problema
La compañía Save-It Company opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de materiales de
desperdicio sólidos y luego los trata para que se puedan amalgamar (tratamiento y amalgamado
constituyen procesos diferentes) como productos vendibles. Pueden elaborarse tres grados de este
producto, dependiendo de la mezcla de los materiales usados. Aunque hay alguna flexibilidad en la
mezcla para cada grado, las normas de calidad especifican la cantidad mínima o máxima de los materiales
permitidos en ese grado de producto. (Esta cantidad mínima o máxima es el peso del material expresado
como porcentaje del peso total para ese grado de producto.) Para cada uno de los dos grados más altos, se
especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales.
Estas especificaciones se dan en la siguiente tabla junto con el costo de amalgamado y el precio de venta
de cada grado.
La cuarta (y última) categoría de modelos de programación lineal es la de modelos mixtos. Incluye
cualquier problema que no está en alguna de las tres primeras categorías.
2.2.4 Modelos mixtos
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Tabla de concentración de datos de productos de la compañía Save-It Company.
El centro de beneficio recoge estos materiales de desechos sólidos de algunas fuentes regulares, por lo
que está en posibilidad de sostener una tasa estable para tratarlos.
La siguiente tabla da las cantidades disponibles para recolectar y tratar cada semana, así como el costo del
tratamiento, para cada tipo de material.
Tabla de datos de materiales de desperdicio sólido de la compañía Save-It Company.
La compañía Save-It Company es propiedad única de Green Earth, una organización dedicada a manejar
problemas ecológicos. Las ganancias de Save-It Company se usan íntegras para ayudar a sostener las
actividades de Green Earth. Green Earth ha reunido contribuciones y donaciones que suman $30 000
semanales, que usa sólo para cubrir el costo total del tratamiento de los materiales de desechos sólidos. El
consejo de administración de Green Earth dio instrucciones a la administración de Save-It Company para
que distribuya este dinero entre los materiales de forma tal que al menos la mitad de la cantidad
disponible de cada material se recolecte y se trate. Estas restricciones adicionales están listadas en la tabla
anterior.
Dentro de las restricciones especificadas, la administración desea asignar los materiales a los grados de
productos para maximizar la ganancia semanal (ingreso de las ventas totales menos costo total de
amalgamado).
2. Formulación del modelo de programación lineal
Este es un problema de programación lineal mixto. Para formularlo se necesita identificar todas las
actividades, recursos, beneficios y requerimientos fijos que lo rodean. La clave para identificar las
actividades se encuentra en la meta de la administración de encontrar la mejor asignación de materiales a
los grados de productos. Cada combinación de un material y un grado de producto requiere de una
decisión: ¿cuánto de ese material debe contener ese grado de producto? Esta cantidad se convierte en el
nivel de una actividad.
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Cada actividad corresponde al tratamiento de un material de desecho sólido que lo prepara para
amalgamarlo en un grado de producto. El nivel de esa actividad es la cantidad del material tratado en
preparación para amalgamarlo en el grado del producto.
Así, las decisiones a tomar son el número de libras de cada tipo de material asignadas a cada grado de
producto por semana.
Hay muchas restricciones sobre estas decisiones debido a los recursos limitados, los beneficios prescritos
y los requerimientos fijos, como se resumen enseguida.
Recursos limitados. Los cuatro materiales de desecho sólido, cuyas cantidades disponibles están dadas en
la segunda columna de la tabla. Además los usos limitados de los materiales 1 y 3 especificados en la
segunda columna de la otra tabla se interpretan como recursos limitados que conducen a restricciones de
recursos.
Beneficios prescritos. La recolección y tratamiento de cada material de desecho sólido es un beneficio,
donde el nivel aceptable mínimo (la mitad de lo disponible) se da en el lado derecho de la tabla anterior.
Además la segunda columna de la otra tabla especifica el uso mínimo aceptable del material 2, de modo
que este se interpreta como beneficio prescrito.
Requerimientos fijos. Los requerimientos fijos son: el uso fijo del material 4 especificado en la segunda
columna de la otra tabla y la cantidad fija de dinero para tratar los materiales de desechos sólidos, como
se especifica en el lado derecho de la tabla anterior.
El objetivo. El objetivo de la administración es maximizar la ganancia semanaria total de los tres grados
de productos, de modo que ésta es la medida de desempeño global de este problema. Se calcula restando
el costo total de amalgamado del ingreso total por ventas. Las contribuciones y donativos de $30 000
semanales específicamente para el tratamiento de los desechos sólidos cubren por completo los costos de
tratamiento, de manera que estos costos no se incluyen al calcular la ganancia. Por lo tanto, el único costo
considerado, es el costo de amalgamado. Entonces para cada grado de producto, la ganancia por libra se
obtiene restando el costo de amalgamado dado en la tercera columna de la otra tabla del precio de venta
en la cuarta columna.
Las decisiones. Las doce decisiones que se tomarán son:
XA1 = número de libras de material 1 asignado al producto grado A por semana.
XA2 = número de libras de material 2 asignado al producto grado A por semana.
XA3 = número de libras de material 3 asignado al producto grado A por semana.
XA4 = número de libras de material 4 asignado al producto grado A por semana.
XB1 = número de libras de material 1 asignado al producto grado B por semana.
XB2 = número de libras de material 2 asignado al producto grado B por semana.
XB3 = número de libras de material 3 asignado al producto grado B por semana.
XB4 = número de libras de material 4 asignado al producto grado B por semana.
XC1 = número de libras de material 1 asignado al producto grado C por semana.
XC2 = número de libras de material 2 asignado al producto grado C por semana.
XC3 = número de libras de material 3 asignado al producto grado C por semana.
XC4 = número de libras de material 4 asignado al producto grado C por semana.
Matemáticamente la formulación del modelo de programación lineal es:
Maximizar Ganancia = 5.5 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4) + 4.5 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) + 3.5 (XC1 + XC2 +
XC3 + XC4)
Sujeta a las siguientes restricciones:
1. Especificaciones de mezcla:
XA1 ≤ 0.3 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 1)
XA2 0.4(XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 2)
XA3 ≤ 0.5(XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 3)
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XA4 = 0.2(XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 4)
XB1 ≤ 0.5 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) (grado B, material 1)
XB2 0.1 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) (grado B, material 2)
XB4 = 0.1 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) (grado B, material 4)
XC1 ≤ 0.7 (XC1 + XC2 + XC3 + XC4) (grado C, material 1)
2. Disponibilidad de materiales:
XA1 + XB1 + XC1 ≤ 3 000 (material 1)
XA2 + XB2 + XC2 ≤ 2 000 (material 2)
XA3 + XB3 + XC3 ≤ 4 000 (material 3)
XA4 + XB4 + XC4 ≤ 1 000 (material 4)
3. Restricciones sobre cantidades tratadas:
XA1 + XB1 + XC1 1 500 (material 1)
XA2 + XB2 + XC2 1 000 (material 2)
XA3 + XB3 + XC3 2 000 (material 3)
XA4 + XB4 + XC4 500 (material 4)
4. Restricción sobre el costo de tratamiento:
3(XA1+XB1+XC1) + 6(XA2+XB2+XC2) + 4(XA3+XB3+XC3) + 5(XA4+XB4+XC4) = 30 000
5. Condiciones de no-negatividad:
XA1 0, XA20, XA3 0, XA4 0, XB1 0, XB2 0, XB3 0, XB4 0, XC1 0, XC2 0, XC3 0, XC4 0
3. Solución del problema a partir del modelo
Aplicando un programa para obtener la solución del modelo se concluye lo siguiente:
La solución óptima se muestra en la siguiente tabla, para el número de libras de cada tipo de material
asignado a cada grado de producto por semana. La ganancia total semanal resultante es: $35 109.65.
Solución del problema de la compañía Save-It Company
Caso: Agro-Tech
1. Definición del problema
Tom Anderson, gerente de producción de la Agro-tech necesita planear la combinación de fertilizantes
para el siguiente mes y no tiene claro cómo va a proceder para elaborar el plan. La Agro-Tech es una
compañía pequeña de productos químicos que fabrica entre otros artículos dos tipos de fertilizante que se
elaboran combinando ingredientes que se compran con proveedores externos. Cada mes, Tom tiene que
planear la cantidad de cada fertilizante que debe producirse. Su plan debe tomar en consideración el costo
de los ingredientes, el precio de venta de los fertilizantes, cualesquier pedido que deba surtirse y las
restricciones impuestas al uso de los recursos de la compañía, mano de obra, materias primas o tiempo de
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máquina. El proceso de planeación para este mes es más difícil que lo normal. Por lo general la Agro-
Tech fabrica fertilizantes de acuerdo con los pedidos de los clientes pero este mes los fertilizantes van a
venderse a través de un mayorista. Esto complica las cosas porque Tom tiene que elaborar un programa
de producción que conduzca a las mayores utilidades posibles para la Agro-Tech, al mismo tiempo que se
utiliza sólo la cantidad de ingredientes que están disponibles para el mes.
Los dos fertilizantes que la Agro-Tech fabrica son las mezclas denominadas 5-5-10 y 5-10-5. En cada
caso, el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato químico, el segundo
valor se refiere al porcentaje de fosfato que aparece en el producto final y el tercer valor da el porcentaje
de potasio. El fertilizante se estabiliza con un material de relleno como podría ser barro. Por ejemplo, el
5-5-10 está elaborado con 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y el 80% restante es barro. El
mayorista comprará cualquier cantidad de ambos fertilizantes que la Agro-Tech pueda fabricar. Esta
dispuesto a pagar $71.50 por tonelada del 5-5-10 y $69 por tonelada del 5-10-5. Este mes, la
disponibilidad y costos de materias primas son 1100 toneladas de nitrato a $200 por tonelada, 1800
toneladas de fosfato a $80 cada una y 2000 toneladas de potasio a $160 cada una. El relleno esta
disponible en cantidades ilimitadas al precio de $10 por tonelada, pero para los otros tres ingredientes
sólo se dispone de las cantidades mencionadas antes. No hay restricciones para el uso de la mano de obra
ni tampoco para el empleo de la maquinaría durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por tonelada por
concepto de mezclado de los fertilizantes. La pregunta que Tom debe resolver es ¿cómo utilizar los
recursos escasos (nitrato, fosfato y potasio) de que dispone Agro-Tech, de manera que se obtengan las
mayores utilidades para la compañía?.
2. Formulación del modelo
Características del caso. Es importante observar varias características de este caso. En primer lugar, Tom
tiene un solo objetivo, la maximización de las utilidades provenientes de la fabricación de los dos
fertilizantes. En segundo lugar el objetivo que debe lograrse está sujeto a la disponibilidad y uso de
recursos escasos; los ingredientes. En tercer lugar, tanto las utilidades como el uso de los recursos escasos
son directamente proporcionales a la cantidad que se fabrique de los dos fertilizantes. Es decir, pueden
sumarse las utilidades de los dos productos para calcular las utilidades totales. De manera similar, pueden
sumarse las cantidades individuales de recursos que se utilicen para determinar la cantidad total. Por
último no es posible fabricar una cantidad negativa de ninguno de los dos productos.
Variables de decisión. Para el caso de la Agro-Tech, las cantidades físicas que interesan son las
cantidades de los dos fertilizantes que pueden fabricarse.
X1 = Toneladas del fertilizante 5-5-10 a fabricar
X2 = Toneladas de fertilizante 5-10-5 a fabricar
Objetivo. Maximización de las utilidades. Para las utilidades se considerará el ingreso por ventas menos
los costos. En el caso de la Agro-Tech y de los dos fertilizantes que se consideran, los únicos costos que
se tomarán en cuenta son los costos de los ingredientes: nitrato, fosfato, potasio e ingredientes inertes; así
como también los costos de mezclado. Esos costos de mezclado son de $15 por tonelada de fertilizante
sin importar cuál sea la mezcla de ingredientes. Para el fertilizante 5-5-10, se tienen ingresos de $71.50
por cada tonelada que se fabrique. Del producto final, el 5% será nitrato, el 5% fosfato, el 10% potasio y
el 80% ingredientes inertes. Es posible calcular los costos de estos ingredientes para cada tonelada de
producto final de la siguiente manera:
Costo del nitrato por tonelada del 5-5-10 = (0.05) ($200) = $ 10
Costo del fosfato por tonelada del 5-5-10 = (0.05) ($80) = $ 4
Costo del potasio por tonelada del 5-5-10 = (0.10) ($160) = $ 16
Costo de los ingredientes inertes por tonelada del 5-5-10 = (0.80) ($10) = $ 8
Costo total de los ingredientes del 5-5-10 = $38
Costo del mezclado = $15
Costo total = $53
Ahora, dado que la contribución a las utilidades = ingresos-costos variables, se tiene una contribución de
las utilidades para el 5-5-10 = $71.50 - $53.00 = $18.50 por tonelada que se fabrique.
De manera similar los costos directos del 5-10-5 son:
Costo del nitrato por tonelada del 5-10-5 = (0.05) ($200) = $10
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Costo del fosfato por tonelada del 5-10-5 = (0.10) ($80) = $ 8
Costo del potasio por tonelada del 5-10-5 = (0.05) ($160) = $ 8
Costo de los ingredientes inertes por tonelada del 5-10-5 = (0.80) ($10) = $ 8
Costo total de los ingredientes del 5-10-5 = $34
Costo del mezclado = $15
Costo total = $49
Ahora y al igual que antes la contribución a las utilidades = ingresos – costos variables, por lo que la
contribución a las utilidades para el 5-10-5 = $69 - $49 = $20.00 por tonelada que se fabrique.
Usando estos valores de las contribuciones a las utilidades se puede plantear una función objetivo para la
Agro-Tech. Por cada tonelada de 5-5-10 que se fabrique, la utilidad es de $18.50: si se fabrican X1
toneladas, la contribución total a las utilidades es $18.5X1. De manera similar si se fabrican X2 toneladas
de 5-10-5, la contribución total a las utilidades es $20X2. La contribución total de ambos productos será la
suma de esas cantidades, es decir, 18.5X1 + 20X2 . Por ello la función objetivo es:
Maximizar Z = 18.5X1 + 20X2
Restricciones. Ahora es necesario considerar las restricciones del problema, es decir, ¿cuáles son las
relaciones físicas que existen entre la fabricación de un determinado fertilizante y el uso de los recursos
escasos disponibles? Para el nitrato existen disponibles 1100 toneladas. Por cada tonelada de 5-5-10 que
se fabrique se utilizan 0.05 de toneladas de nitrato. Por ello, si se fabrican X1 toneladas de 5-5-10, se
utilizarán 0.05X1 toneladas de nitrato. De manera similar, si se fabrican X2 toneladas de 5-10-5 se
consumirán 0.05X2 toneladas de nitrato. Puesto que sólo existen disponibles 1100 toneladas de nitrato
esto actúa como restricción sobre el nivel de producción de 5-5-10 o del 5-10-5. Se utiliza la palabra
pudiera porque algún otro recurso escaso podría ser más restrictivo que el nitrato. Si este fuera el caso, la
mezcla de producción que arroja máximas utilidades no consumiría todo el nitrato sino que dejaría cierta
cantidad sin utilizar. Dado que no estamos obligados a usar toda la cantidad disponible de cualquier
recurso, la restricción sobre el uso del nitrato es:
0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100
Esta restricción simplemente indica que la cantidad de nitrato que se utilice para fabricar X1 toneladas de
5-5-10, más el nitrato que se usa para fabricar X2 toneladas de 5-10-5, debe ser menor que o igual a la
cantidad disponible de nitrato. Para el fosfato, si se fabrican X toneladas de 5-5-10 entonces se utilizarán
0.05X1 toneladas de fosfato. Y si se fabrican X2 toneladas de 5-10-5, se usarían 0.10X2 toneladas de
fosfato. Puesto que existen disponibles 1800 toneladas de fosfato, la restricción sobre el uso de fosfato
puede escribirse de la siguiente manera:
0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800
Por último, para el potasio, si se fabrican X1 toneladas de 5-5-10, se utilizarían 0.10X1 toneladas de
potasio. Y si se fabrican X2 toneladas de 5-10-5, se consumirían 0.05X2 toneladas de potasio. Puesto que
existen 2000 toneladas disponibles de potasio para fabricar los dos tipos de fertilizantes, la restricción
sobre el uso del potasio puede describirse de la siguiente manera:
0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000
Matemáticamente la formulación del modelo de programación lineal es:
Maximizar Z = 18.5X1 + 20X2
Sujeta a:
0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100
0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800
0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000
X1, X2 0
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Instrucciones didácticas.- Las respuestas están después de los problemas. Trate de formular las
restricciones antes de ver la respuesta. Se recomienda resolver el problema y verificar su respuesta antes
de continuar con el siguiente ejercicio.
1. Una empresa fabrica dos productos, C y D, y la dificultad es la operación de ensamble. Durante el
ensamble pueden procesarse 100 unidades de C o 300 unidades de D o cualquier combinación lineal
de ellas. Formule la ecuación de restricción adecuada.
2. El producto R está conformado por 1,000 unidades de materia prima. Pueden emplearse dos
materiales, M y N, en cualquier combinación deseada. Cada unidad del material M pesa 1. 800 kg,
mientras que cada unidad de material N pesa 1. 200 kg. Las especificaciones requieren que el
producto R no pese más de 1.500 kg. ¿Cuál es la restricción adecuada?
3. El producto T debe producirse la próxima semana. Cualquiera de dos materiales, P y Q, puede
emplearse en cualquier combinación para producir el producto T. Si se hace únicamente de P, el
producto T pesaría 1.800 kg. Si se hace únicamente de Q el producto T pesaría 1.200 kg. Las
especificaciones requieren que el producto T no pese más de 1.500 kg. ¿Cuál es la restricción
adecuada?
4. Una fábrica produce dos artículos, Q y R. Ambos productos requieren dos minutos para ser
procesados en la maquinaría. Se dispone de 2,000 minutos de tiempo de máquina. El producto Q
puede hacerse tanto con el material A como con el material B, y requiere 3 kg de cualquiera de ellos.
El producto R puede hacerse ya sea con el material A como con el material B o con el material C, y
requiere 4 kg. Se dispone de 800 kg de material A, 1,000 kg de material B y 2,000 kg de material C.
¿Cuáles son las restricciones correspondientes?
5. El producto W se fabrica en un taller, ya sea en el turno regular o en tiempo extra. También se
procesa en el departamento de ensamble, siempre en el turno regular. El producto W proporciona una
contribución de $5.00 a la utilidad y al costo fijo si se produce completamente en el turno regular,
pero si se produce en tiempo extra la contribución es sólo de $1. El producto W requiere 10 minutos
en el taller y 2 minutos en el departamento de ensamble. Se dispone de 40 horas en el taller en un
turno regular y de 20 horas de tiempo extra. Se dispone de 10 horas en el departamento de ensamble.
¿Cuáles son las restricciones correspondientes?
6. El producto A requiere ser procesado tanto en un torno como en una fresadora. Puede procesarse en
cualquiera de dos tornos y en cualquiera de dos fresadoras. La operación de torno sobre cada unidad
del producto A requiere dos horas en el torno 1 y 3 horas en el torno 2. La operación de fresado para
cada unidad del producto A requiere 4 horas en la fresadora 1 y 6 horas en la fresadora 2. Se dispone
de 80 horas en el torno 1, 90 horas en el torno 2, 100 horas la fresadora 1 y 110 horas en la fresadora
2. ¿Cuáles son las restricciones correspondientes?
7. Se fabrican dos productos, R y T. Cada producto se procesa en los departamentos de colado,
maquinado y ensamble. El colado del producto T puede comprarse a $6 pieza y después procesarse
en las máquinas y ensamblarse. Si el colado no se compra, el producto T se hace a partir de 2 Kg de
material K y se cuela en la planta. El producto R puede hacerse ya sea de 4 kg de material L o de 5
kg de material K. Se dispone de 2,000 kg de material L y de 10,000 kg de material K para el
siguiente período de producción. El material L cuesta 10 centavos el kg y el material K cuesta 20
centavos el kg.
El departamento de colado puede colar 3,000 unidades del producto R o del producto T en el
siguiente período de producción. Se dispone de 200 horas de tiempo de máquina durante el siguiente
período de producción. El maquinado del producto R hecho con el material L requiere 8 minutos. El
maquinado del producto R hecho con el material K requiere 10 minutos. El maquinado del producto
T requiere 6 minutos. El departamento de ensamble puede armar 2,000 unidades del producto R o
4,000 unidades del producto T, o cualquier combinación.
2. 3. EJEMPLOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS DE PL
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Los costos variables de colado suman $1.00 por unidad. Los costos variables de maquinado son de
$0.20 por minuto. Los costos variables de ensamble son nulos. El producto R se vende a $10 y el
producto T a $12. Formule el problema como un modelo de programación lineal.
8. El producto T debe fabricarse la próxima semana. Cualquiera de dos materiales, P y Q, puede
emplearse en cualquier combinación para producir T. Si se hace únicamente con P el producto T
pesaría 1.800 kg. Si se hace únicamente con Q el producto T pesaría 1.200 kg. Las especificaciones
requieren que el producto T pese no más de 1.500 kg. ¿Cuáles son las restricciones correspondientes?
9. Una compañía tiene un contrato importante que debe cumplir la próxima semana. Este contrato
requiere la fabricación de 1,000 unidades de ensable K. Cada unidad de K consiste en el ensamble de
una parte X y dos partes Y.
Esta compañía tiene un departamento de ensamble y 3 departamentos de manufactura, con dos
máquinas principales en cada departamento de manufactura. Por conveniencia, los departamentos de
manufactura se designarán como D, E y F y las máquinas como D1, D2, E1, E2, F1, F2.
Cada parte se procesa a través de los 3 departamentos de manufactura, algunas veces únicamente en
una máquina, algunas veces en las dos y algunas veces en ninguna. La parte X se procesa en las
máquinas D1 y D2, ya sea en la E1 o en la E2, y en la F2. La parte Y se procesa en la máquina D2, ya
sea en la E1 o en la E2, o ya sea en la F1 o en la F2.
Los requerimientos de tiempo para la parte X son:
Máquina D1---4 minutos/pieza
Máquina D2---1 minuto/pieza
Máquina E1---6 minutos/pieza
Máquina E2---2 minutos/pieza
Máquina F2---4 minutos/pieza
Los requerimientos de tiempo para la parte Y son:
Máquina D2---3 minutos/pieza
Máquina E1---2 minutos/pieza
Máquina E2---3 minutos/pieza
Máquina F1---6 minutos/pieza
Máquina F2---4 minutos/pieza
En el departamento de ensamble, las dos partes Y se unen primero y a continuación la parte X, para
obtener la unidad K. Las partes Y se arman a una velocidad de una unión por minuto, mientras que
las partes X se arman a una velocidad de 10 uniones por minuto. Estas operaciones comparten las
mismas instalaciones de ensamble.
Se dispone de 8,800 minutos en cada máquina y de 40 horas de ensamble.
Los costos variables son los siguientes:
Material de la parte X-----$ 1.00
Material de la parte Y-----$ 2.00
Máquina D1---$ 0.10 por minuto
Máquina D2---$ 0.30 por minuto
Máquina E1---$ 0.20 por minuto
Máquina E2---$ 0.15 por minuto
Máquina F1---$ 0.05 por minuto
Máquina F2---$ 0.25 por minuto
No hay costos variables de ensamble. Formule el problema como un modelo de programación lineal.
10. La empresa lechera Milko no puede recibir más de 100,000 litros de leche por día debido a las
limitaciones impuestas por congestionamiento del departamento de recepción. Las políticas de la
II FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)
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45
administración requieren el uso de cuando menos 10,000 litros de leche diarios para la fabricación de
queso, y el resto para ser empleado en leche embotellada o mantequilla, según lo permita el equipo.
La contribución de cada litro de leche a la utilidad y al costo fijo, según se emplee, es como sigue:
Mantequilla 2 centavos
Leche 10 centavos
Queso 3 centavos
El equipo para fabricar mantequilla puede manejar hasta 60,000 litros de leche diarios. El equipo
para embotellar leche puede manejar hasta 40,000 litros diarios de leche. El equipo para fabricar
queso puede manejar hasta 30,000 litros de leche por día. Formule el problema como un modelo de
programación lineal.
11. Una empresa trituradora de piedra vende piedra que obtiene de cualquiera de tres canteras
adyacentes. La piedra vendida por esa empresa debe regirse por las siguientes especificaciones:
Material X igual a 30%
Material Y igual o menor al 40%
Material Z entre 30% y 40%
La piedra de la cantera A cuesta $1.00 la tonelada y tiene las siguientes propiedades:
Material X ------ 20%
Material Y ------ 60%
Material Z ------ 20%
La piedra de la cantera B cuesta $1.20 la tonelada y tiene las siguientes propiedades:
Material X ------ 40%
Material Y ------ 30%
Material Z ------ 30%
La piedra de la cantera C cuesta $1.50 la tonelada y tiene las siguientes propiedades:
Material X ------ 10%
Material Y ------ 40%
Material Z ------ 50%
¿De qué canteras debe obtener la empresa la roca y en qué proporciones? Formule el problema como
un modelo de programación lineal. Suponga que todos los materiales de todas las canteras pueden
combinarse en relaciones lineales.
12. Una compañía espacial tiene cinco clientes a quienes envía naves de tres diferentes bodegas. Los
cinco clientes se identifican como J, K, L, M y N, mientras que las tres bodegas se identifican como
P, Q y R. los costos en las bodegas son idénticos, de modo que los costos correspondientes son los
costos variables de envio a cada uno de los clientes. Estos costos se tabulan a continuación:
Al
cliente
Costos variables de envío
(cent/unidad)
De la
bodega J K L M N
P 20 10 15 10 8
Q 15 30 5 12 14
R 18 15 20 7 19
Las necesidades de los diferentes clientes son:
J------100 unidades
K----- 70 unidades
L------140 unidades
M-----180 unidades
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46
N----- 90 unidades
Las unidades disponibles en las bodegas son:
P------200 unidades
Q------300 unidades
R------150 unidades
Formule el modelo de programación lineal correspondiente.
13. Una compañía de transportes dispone de camiones en cuatro diferentes lugares en las siguientes
cantidades:
Lugar A ------5 camiones
Lugar B ------10 camiones
Lugar C ------7 camiones
Lugar D ------3 camiones
Los clientes W, X y Y necesitan camiones según sigue:
Cliente W ------5 camiones
Cliente X ------ 8 camiones
Cliente Y ------ 10 camiones
Los costos variables de enviar los camiones a los clientes son:
De A a W -----$ 7, a X ------ $ 3, a Y ------$ 6
De B a W -----$ 4, a X ------ $ 6, a Y ------$ 8
De C a W -----$ 5, a X ------ $ 2, a Y ------$ 4
De D a W -----$ 8, a X ------ $ 4, a Y ------$ 3
Formule el problema como un modelo de programación lineal.
14. Una compañía de computadoras tiene 85 operarios entrenados, localizados en los siguientes lugares:
Essex ----- 20
Forest ---- 13
Gates ----- 36
Holmes ---16
Los 16 operarios de Holmes no pueden dar servicio a la computadora más reciente X540 a causa de
que no cuentan con el entrenamiento adecuado.
Los pedidos de servicio provienen de cuatro clientes:
Wirtz necesita 12 operarios
Xores necesita 23 operarios
Yates necesita 21 operarios
Zimp necesita 29 operarios
Los clientes Wirtz y Xores tienen máquinas X540 y por lo tanto no pueden recibir servicio de
Holmes.
Los costos variables relativos a proporcionar operarios de las diversas estaciones a los clientes son:
Wirtz Xores Yates Zimp
Essex 8 7 4 7
Forest 10 3 6 8
Gates 7 9 4 5
Holmes - - 8 6
Formule el problema como un modelo de programación lineal.
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15. Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el B es de
baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de $ 0.40 y $ 0.30. Cada cinturón de tipo A
requiere el doble del tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la
compañía podría fabricar 1,000 al día. El abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800
cinturones diarios (A y B combinados). El cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que
solamente se dispone de 400 diarias. Se tienen únicamente 700 hebillas al día para el cinturón B.
Formule el problema como un modelo de programación lineal.
16. Una compañía tiene 3 plantas con una capacidad de producción en exceso. Las 3 tienen la facilidad
de fabricar un producto y la gerencia decidió usar una parte de la capacidad de producción en este
sentido:
Este producto se puede hacer en 3 tipos de tamaño grande, mediano y chico, que nos dan una
ganancia neta por unidad de 12, 10 y 9 respectivamente las plantas 1, 2 y 3 tienen personal en exceso
al igual que equipo para producir sin importar el tamaño o combinaciones de tamaño que se
fabriquen, sin embargo la cantidad de espacio que existe de almacén impone una restricción en los
rangos de producción.
Las plantas 1, 2 y 3 poseen 9,000; 8,000 y 3,800 m2 de área de almacén que pueden ser utilizadas,
respectivamente.
Cada unidad de los tamaños grande, mediano y chico requiere 20, 15 y 12 m2 respectivamente.
Las predicciones de venta indican que 600, 800 y 500 unidades de los tamaños grande, mediano y
chico cuando menos deben ser vendidos para mantener una carga uniforme de trabajo.
17. Una compañía de automóviles tiene tres centros de distribución, localizados en el D.F., Monterrey y
Guadalajara. Estos centros tienen disponibles 40, 20 y 40 autos respectivamente. Sus distribuciones
foráneas requieren las siguientes cantidades: Yucatán, 25; Toluca, 10; Querétaro, 20; Guanajuato, 30;
Morelos, 15.
El costo de flete por automóvil en pesos, entre los centros de distribución y foráneos se muestra en la
tabla siguiente:
Centro
foráneo
Yucatán Toluca Querétaro Guanajuato Morelos
Centro
Distribuidor
D.F. 550 300 400 500 400
Monterrey 300 300 1000 450 600
Guadalajara 400 600 950 350 300
Formule el problema como un modelo de programación lineal.
18. Un carpintero elabora mesas, sillas, escritorios y libreros y desea saber que cantidad de cada uno de
ellos deberá producir con objeto de maximizar sus ganancias, dado que cuenta con un suministro
limitado de madera de dos tipos y una mano de obra también limitada. Cuenta con 1500 pies2 de
madera no. 1, 1000 pies2 de madera no. 2 y 800 hrs-hombre. Existen también ciertos compromisos
que él ha contraído para la fabricación de algunos muebles.
Los datos de fabricación son los siguientes:
1).- Las mesas consumen 5 pies2 de madera no. 1 y 2 pies
2 de madera no. 2, así como 3 horas-
hombre. El carpintero se comprometió a fabricar 40 de estas mesas. La ganancia obtenida por
mesa es de $ 120.
2).- Las sillas consumen 1 pie2 de madera no. 1 y 3 pies
2 de madera no. 2, y requieren 2 horas-
hombre. Existe el compromiso de entregar 130 de ellas. La ganancia por silla es de $ 50.00.
3).- Los escritorios llevan 9 pies2 de madera no. 1 y 4 pies
2 de madera no. 2, necesitándose 5 horas-
hombre. Existe el compromiso por 30 de ellos. Ganancia por escritorio de $ 150.00.
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48
4).- El carpintero sabe que puede vender todo lo que produzca de mesas, sillas y escritorios.
5).- Los libreros utilizan 12 pies2 de madera no. 1, 1 pie
2 de madera no. 2 y llevan 10 horas-hombre.
El sabe que puede vender como máximo 10 libreros y obtiene una ganancia de 100.00 por cada uno.
Formule el problema como un modelo de programación lineal.
19. El Ing. Juan F. González dirige un rancho experimental para la cría de cabras y desea alimentar a sus
animales correctamente aprovechando al máximo sus recursos. Cuenta con 10 sementales y 300
animales de vientre y posee información de sus necesidades alimenticias en productos básicos así
como de la partición de esos productos.
Por cada cabra
al día
Calorías de 2,600 a 2, 800 U. diarias
Proteínas de 1,600 a 2, 000 U. diarias
Minerales de 770 a 890 U. diarias
Vitamina A de 8,000 a 9, 000 U. diarias
Kilos de alimento 3.5 a 6 Kg.
Por cada
Kilogramo
de alimento
Cal. Prot. Min Vit. $/kg3
Maíz desq. 900 200 300 150 1.60
Alfalfa 400 700 200 200 1.20
Sorgo 1100 300 100 175 2.30
Pastura 700 200 150 75 0.30
Unidad compuesta 50 50 2000 5000 3.90
Formule el problema como un modelo de programación lineal para determinar qué cantidad de cada
alimento debe estar contenida en la mezcla, para minimizar los costos de alimentación.
1. La restricción debe ser tal que si D=0, C=100; y si C=0, D=300. Si se elige un día como la
restricción, entonces:
1300
1
100
1 DC
Sería la ecuación de restricción correspondiente.
También podría emplearse como restricción el número de unidades de C o D que podrían producirse,
obteniéndose entonces:
3003
1003
1
DC
bieno
DC
Como la ecuación de restricción correspondiente.
Posiblemente es más fácil seleccionar el máximo valor 300 como restricción, obteniendo:
3003 DC
Como la ecuación recomendada.
Nótese que la restricción es una medida de capacidad, mientras que las variables son los productos C
y D, sobre los que resulta necesario tener control. Esto es, se puede decidir cuántas unidades fabricar
de C o D. Adviértase que una posible solución que utiliza totalmente la capacidad y 150D y que:
300)150(1)50(3
2. Una restricción adecuada es:
Respuestas
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49
500,12.18.1 NM
En este caso, las variables y no los artículos producidos deben ser los materiales usados, mientras que
el peso máximo de 1.500 kg del producto R corresponde a las 1,000 horas de tiempo de máquina para
formar la restricción. En general, la restricción es la limitación, mientras que los “artículos
producidos” o los “materiales empleados” son aquellas variables que pueden controlarse
introduciendo diferentes cantidades en la combinación total.
3. Una restricción adecuada sería:
1,5001,200Q1,800P
Nótese que ésta es exactamente la correspondiente al ejemplo 2. Sin embargo, se han cambiado las
unidades. P es ahora la fracción de ese material necesaria para producir la totalidad de los productos
T, y Q es la fracción de ese material requerida para producir todos los productos T. No obstante, las
variables son aún P y Q, sobre lo que se tiene control.
4. Las restricciones correspondientes son:
000,24
000,143
80043
000,222222
C
BB
AA
cBABA
R
RQ
RQ
RRRQQ
Nótese que la restricción sobre el material A requiere que tanto QA como RA (productos Q y R
hechos con el material A) se incluyan en la restricción de 800 kg de material A, y lo mismo con el
material B.
5. Las restricciones correspondientes son:
200,110
400,210
60022
O
R
OR
W
W
WW
Es necesario tener dos productos, WR (W producido en el turno regular) y WO (W producido en
tiempo extra), porque la contribución a la utilidad es diferente y cuando se incorporan esas
restricciones a un problema mayor podría resultar que se está produciendo WR pero no WO. Nótese
que aún en la operación de ensamble, en la cual las piezas parecen idénticas, el producto W aún se
clasifica como dos productos, WR y WO. Esto es necesario para lograr consistencia en la solución
simplex. Se han cambiado las unidades en las restricciones para hacerlas consistentes a lo largo de
cada renglón. Todos los coeficientes pueden, por supuesto, dividirse entre 60 o cualquier otra
constante sin cambiar la restricción. Las contribuciones a la utilidad no aparecen en las restricciones,
pero se introducen al emplearlas en los cálculos de la función objetivo.
6. Las restricciones correspondientes son:
11022
10022
9033
8022
42
31
43
21
AA
AA
AA
AA
Se requieren cuatro restricciones, puesto que existen cuatro limitaciones a la producción. Estas
limitaciones son las horas disponibles en cada una de las cuatro máquinas. Además existen cuatro
posibles productos, denominados por conveniencia A1, A2, A3, A4.
A1= Es el producto A producido en el torno 1 y en la fresadora 1
A2= Es el producto A producido en el torno 1 y en la fresadora 2
A3= Es el producto A producido en el torno 2 y en la fresadora 1
A4= Es el producto A producido en el torno 2 y en la fresadora 2
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7. Primero se identifican los productos RL (R hecho con el material L), RK (R hecho con el material K),
TC (T colado en la planta) y TP (T hecho de colados comprados).
A continuación se hacen los siguientes cálculos de costos:
80.4$40.9$00.6$00.7$
00.1200.1200.1000.10Pr
20.760.200.400.3var
20.120.100.260.1
000.100.100.1
00.6$40..$00.1$40.$
netaónContribuci
ventadeecio
iablesCostos
Maquinado
Colado
Materiales
TTRR PCKL
La función objetivo puede escribirse como sigue:
PCKL TTRRZ 80.440.900.600.7
A continuación se establecen las restricciones, que están determinadas por:
(1) Las 3,000 unidades de capacidad del departamento de colado.
(2) Las 200 horas disponibles de maquinado que se convierten en minutos.
(3) La capacidad de ensamble expresada como la habilidad para producir 4,000 unidades del
producto T.
(4) Los 2,000 kg disponibles de material L.
(5) Los 10,000 kg disponibles de material K.
Las restricciones son entonces
000,325
000,24
000,41122
000,1266108
000,3111
CK
L
PCKL
PCKL
CKL
TR
R
TTRR
TTRR
TRR
8. Las restricciones correspondientes son:
1,800P + 1,200Q ≤ 1,500
P + Q =1 (se requiere que se produzca el artículo T)
9. La parte X puede producirse de dos maneras, mientras que la parte Y puede producirse de cuatro
maneras. Las variables son, entonces, X1, X2, Y1, Y2, Y3, Y4.
Los costos correspondientes son
X1----1.00 + 4(.10) + 1(.30) + 6(.20) + 4(.25) = 3.90
X2----1.00 + 4(.10) + 1(.30) + 2(.15) + 4(.25) = 3.00
Y1----2.00 + 3(.30) + 2(.20) + 6(.05) = 3.60
Y2----2.00 + 3(.30) + 2(.20) + 4(.25) = 4.30
Y3----2.00 + 3(.30) + 3(.15) + 6(.05) = 3.65
Y4----2.00 + 3(.30) + 3(.15) + 4(.25) = 4.35
Las restricciones son los 8,880 minutos de cada una de las 6 máquinas, las 40 horas de ensamble, los
requerimientos de 1,000 unidades de X y los requerimientos de 2,000 unidades de Y. Estas
restricciones pueden escribirse como sigue:
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000,21111
000,111
880,85.5.5.5.1.1.
880,842444
880,866
880,8332
880,8226
880,8333311
880,844
4321
21
432121
421
31
432
211
432121
21
YYYY
XX
YYYYXX
YYXX
YY
YYX
YYX
YYYYXX
XX
10. Las variables son XB, XM, XC, es decir, los litros de leche convertidos ya sea en mantequilla, leche o
queso. Las restricciones son:
000,100
000,30
000,40
000,60
000,10
CMB
C
C
C
C
XXX
X
X
X
X
La función objetivo es:
CMB XXXZMAXIMIZAR 3102
11. Las restricciones correspondientes son:
(a) Material X = 30%
(b) Material Y ≤ 40%
(c) Material Z ≤ 40%
(d) Material Z ≥ 30%
(e) Deben producirse todos los productos.
Las variables son A, B y C, proporción del total obtenido de las canteras A, B y C. La función
objetivo (únicamente en términos de las variables reales) es:
CBAZMinimizar 50.120.100.1
Y el resultado es el costo por tonelada de la mezcla.
Las restricciones escritas en términos de las variables son:
1
30503020
40503020
40403060
30104020
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
La primera restricción satisface el requerimiento de X, la segunda el requerimiento de Y y la tercera
y la cuarta el requerimiento de Z; la quinta asegura que el producto que se va a obtener de las
canteras A, B y C.
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12. Las restricciones son:
150
300
200
90
180
140
70
100
RRRRR
QQQQQ
PPPPP
RQP
RQP
RQP
RQP
RQP
NMLKJ
NMLKJ
NMLKJ
NNN
MMM
LLL
KKK
JJJ
13. Las restricciones son:
3
7
10
5
10
8
5
DDD
CCC
BBB
AAA
DCBA
DCBA
DCBA
YXW
YXW
YXW
YXW
YYYY
XXXX
WWWW
14. Las restricciones son:
16
36
13
20
29
21
23
12
HH
GGGG
FFFF
EEEE
HGFE
HGFE
GFE
GFE
ZY
ZYXW
ZYXW
ZYXW
ZZZZ
YYYY
XXX
WWW
15. Supongamos que la compañía fabrica X1 cinturones de tipo A y X2 del tipo B, diariamente, Según las
restricciones sobre el número de hebillas disponibles tenemos:
700
400
2
1
X
X
A partir de la disponibilidad de piel tenemos:
80021 XX
Y de la limitación de tiempo:
10002 21 XX
La ganancia será:
21 30.040.0 XXZMaximizar Z
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53
16. Sean Xji, cantidad de artículo j producido en almacen i donde j= g, m, ch (grande, mediano y chico) y
para i=1, 2, 3
El problema es:
500
800
600
3800121520
8000121520
9000121520:
91012
321
321
321
333
222
111
3
1
3
1
3
1
chchch
mmm
ggg
chmg
chmg
chmg
i
chi
i
mi
i
gi
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
XXXaSujeta
XXXZMaximizar
17. Sea Xij , cantidad enviada de i a j ó de centro distribuidor a centro foráneo
0
15
30
20
10
25
40
20
40:
300350950600400
6004501000300350
400500400300550
352515
342414
332313
322212
312111
3534333231
2524232221
1514131211
3534333231
2524232221
1514131211
ijX
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
XXXXX
XXXXX
XXXXXaSujeta
XXXXX
XXXXX
XXXXXZMinimizar
18. Sean:
Xm ------Número de mesas
Xs ------Número de sillas
Xe ------Número escritorios
Xl ------Número de libreros
Podemos formar una tabla como la que sigue:
Xm Xs Xe Xl Recursos disponibles
Ganancia 120 50 150 100
Madera 1 5 1 9 12 1500
Madera 2 2 3 4 1 1000
Hrs-
hombre
3 2 5 10 800
Demanda 40 130 30 10(máx)
El problema es:
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54
0
10
30
130
40
80010523
10001432
150012915:
10015050120
l
l
e
s
m
lesm
lesm
lesm
lesm
X
X
X
X
X
XXXX
XXXX
XXXXaSujeta
XXXXZMaximizar
Sean:
Xma-----Ración diaria de maíz desquebrajada para cada cabra
Xal-----Ración diaria de alfalfa para cada cabra
Xso-----Ración diaria de sorgo para cada cabra
Xpa-----Ración diaria de pastura para cada cabra
Xuc-----Ración diaria de unidad compuesta para cada cabra
El problema es:
0,,,,
9000500075175200150
min8000500075175200150
8902000150100200300
min7702000150100200300
200050200300700200
160050200300700200
2800507001100400900
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XXXXXZMinimizar
Una pequeña fábrica de muebles
1. Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30
minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo
turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos cuatro sillas con cada mesa, lo
que significa que fábrica debe producir por lo menos cuatro veces más sillas que mesas, El precio
venta es de $135 por
Mesa y $50 por silla. Determine la combinación de sillas y mesas en la producción diaria que
maximizaría el ingreso total diario de la fábrica y comente el significado de la solución obtenida.
Un agricultor
2. Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 90 lb. de comida especial todos los días. El alimento
se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con siguientes composiciones:
2. 4. EJERCICIOS PROPUESTOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS DE PL
II FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)
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Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son
1. Cuando mucho 1% de calcio.
2. Por lo menos 30% de proteína.
3. Máximo 5% de fibra.
Determine la mezcla de alimentos con el mínimo costo por día.
Un pequeño banco
3. Un pequeño banco asigna un máximo de $20 000 para préstamos personales y para automóvil
durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual 14% a préstamos personales y del
12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El
monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los
préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen
1% de todos los
Préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos?
Popeye Canning Company
4. Popeye Canning Company tiene un contrato para recibir 60 000 libras de tomates maduros a 7c/lb. de
las cuales producirá jugo de tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se empacan
en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere 1 lb. de tomates frescos en tanto que una de
puré requiere sólo un tercio de lb. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2
000 cajas de jugo y 6 000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son $18 y
$9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía.
Una planta armadora
5. Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi-l y HiFi-2, en la misma línea de ensamble.
La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo
son:
Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las
estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480
minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La
compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de
minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones.
Una compañía de productos electrónicos
6. Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de
producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la
segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierta componente
electrónica, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas de la misma
componente. La disponibilidad diaria máxima de la componente especial es de 800 piezas. La
ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determine la producción
diaria óptima de cada modelo de radio.
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Dos productos
7. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina
asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia
por unidad de cada producto son:
Determine la combinación óptima de los dos productos.
Una compañía puede anunciar su producto
8. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciono de radio y televisión locales.
Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1,000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio
cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la
radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto
de publicidad por televisión generará en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de
publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por
radio y televisión.
Una compañía elabora dos productos
9. Una compañía elabora dos productos, A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos
el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima,
cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima a
los índices o tasas de 2 lb./unidad y 4 lb./unidad, respectivamente. El precio de venta de los dos
productos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de la materia prima a los dos
productos.
Una compañía elabora dos tipos de sombreros
10. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más
tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son
exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El
mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que
la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número
de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia.
Se elaboran cuatro productos
11. Se elaboran cuatro productos en forma sucesiva en dos máquinas. Los tiempos manufactura en horas
por unidad de cada producto se tabulan para las dos máquinas:
El costo total de producción de una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo
de la máquina. Supóngase que el costo por horas de las máquinas 1 y 2 es $10 y $5, respectivamente.
El total de horas presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el
precio de venta unitario de los productos 1, 2, 3 y 4 son $65, $70, $55 y $45, formule el problema
como modelo de programación lineal para maximizar la ganancia neta total. Analice solución óptima.
Un fabricante produce tres modelos
12. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. Utiliza dos tipos de materia prima
(A y B), de los cuales se dispone de 4 000 y 6 000 unidades, respectivamente. Los requisitos de
materias primas por unidad de los tres modelos son:
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El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor q el del modelo II y
tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fábrica puede producir el
equivalente de 1 500 unidades del modelo I. Un estudio del mercado indica que la demanda mínima
de los tres modelos es 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del
número de unidad producidas deben ser igual a 3:2:5. Supóngase que la ganancia por unidad de los
modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el problema como un modelo de
programación lineal para determinar el número de unidades de cada producto que maximizarán la
ganancia. Analice la solución óptima.
Educación universitaria
13. Previendo el alto costo de la educación universitaria de su hijo, un matrimonio ha iniciado un
programa anual de inversiones que comenzará en el octavo cumpleaños del niño y terminará en el
decimoctavo. Con base en su posición financiera esperada durante los próximos diez años, el
matrimonio estima que será capaz de invertir las siguientes cantidades al principio de cada año.
Para evitar sorpresas desagradables, la pareja opta por invertir el dinero en forma muy segura. Se les
presentan las siguientes opciones:
1. Ahorros asegurados con réditos de 7.5% anual.
2. Bonos a 6 años del gobierno federal con réditos de 7.9% y valor corriente comercial. Igual a 0.98
de su valor nominal.
3. Bonos municipales a 9 años con réditos de 8.5% y valor corriente comercial igual a 1.02 de su
valor nominal.
¿Cómo debería invertir la pareja su dinero en los próximos 10 años?
Un ejecutivo
14. Un ejecutivo de una empresa tiene la opción alternativa de invertir dinero dos planes. El plan A
garantiza que cada unidad monetaria invertida ganará 70 centavos de aquí a un año, y el plan B
garantiza que cada unidad invertida ganará $2.00 de aquí a dos años. En el plan B, sólo se permiten
inversiones en periodos que sean múltiplos de 2 años. ¿Cómo debe invertir el ejecutivo $100 000
para maximizar los ingresos al cabo de tres años? Formule el problema como un modelo de
programación lineal, y analice la solución óptima.
Autobuses necesarios
15. Supóngase que el número mínimo de autobuses necesarios en la i-ésima hora del día es bi, i = 1,
2...24. Cada autobús opera seis horas consecutivas. Si el número de autobuses en el periodo i excede
el mínimo necesario bi, se incurre en un costo adicional de ci por autobús. Formule el problema
como un modelo de programación lineal de manera que se pueda minimizar el costo total adicional
en que se incurre.
Tres tipos de avión
16. Considere el problema de asignar tres tipos de avión a cuatro rutas. La tabla ofrece los datos
pertinentes:
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Los costos asociados son:
Formule el problema como un modelo de programación lineal, y analice la solución óptima.
Dos aleaciones
17. Dos aleaciones, A y B, están hechas de cuatro metales diferentes, I, II, III y IV, según las
especificaciones siguientes.
Los cuatro metales se extraen de tres minerales metálicos diferentes:
Suponiendo que los precios de venta de las aleaciones A y B son $200 y $3 por tonelada, formule el
problema como un modelo de programación lineal, y analice los resultados.
[Sugerencia: supóngase que Xijk representa el número de toneladas del i-ésimo mineral asignado a la
aleación k y wk el número de toneladas de la aleación k producida.]
Un jugador
18. Un jugador participa en un juego que requiere dividir el dinero apostado entre cuatro opciones
diferentes. El juego tiene tres resultados. La tabla que sigue indica la ganancia (o pérdida)
correspondiente por unidad monetaria depositada en cada de las cuatro opciones de los tres
resultados.
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Supóngase que el jugador tiene un total de $500, que puede jugar sólo una vez. El resultado exacto
del juego no se conoce con anticipación, y afrontando esta incertidumbre el jugador decidió hacer la
asignación que maximizaría el ingreso mínimo. Formule el problema como un modelo de
programación lineal, y analice los resultados.
[Sugerencia: el ingreso del jugador puede ser negativo, cero o positivo.]
Una compañía manufacturera
19. Una compañía manufacturera produce un producto final que se ensambla con tres partes diferentes.
Las partes se manufacturan dentro de la compañía en dos departamentos. En virtud de la instalación
específica de las máquinas, cada departamento produce las tres partes a diferentes tasas. La tabla que
sigue señala las tasas de producción junto con el número máximo de horas, que los dos
departamentos pueden asignar semanalmente a la manufactura de las tres partes.
Sería ideal si los dos departamentos pudieran ajustar sus instalaciones de producción para producir
iguales cantidades de las tres partes, ya que esto daría origen a ajustes perfectos en términos del
montaje final. Este objetivo puede ser difícil de cumplir debido a las variaciones en las tasas de
producción. Una meta más realista sería la de maximizar el número de unidades ensambladas finales,
que en esencia equivale a minimizar los desajustes resultantes de la escasez de una o más partes.
El Señor Jaime produce dos tipos de pastel
20. El señor Jaime produce dos tipos de pastel (de chocolate y vainilla). Se puede vender cada pastel de
chocolate a $55.00 y cada pastel de vainilla a $40.00, cada pastel de chocolate tarda 20 minutos en
cocerse y requiere 15 huevos, cada pastel de vainilla tarda 40 minutos y requiere 5 huevos. Se
dispone de 8 horas de tiempo de horneado y de 100 huevos. Se sabe que los pasteles de chocolate se
venden tanto o más que los de vainilla, pero no le conviene vender más de 25, sin embargo, los
pasteles de vainilla deben de venderse cuando mucho 15. Formule un modelo de P.L.
Escribasa
21. ESCRIBASA, elabora cuadernos, libretas y agendas. Las utilidades que obtiene son de $3.00 por
cada libreta y $1.00 por cada cuaderno. En las agendas pierde $4.00 por cada una. Procesa sus
artículos en tres departamentos. Corte con 9 horas disponibles máximo, costura con más de 6 horas
disponibles y terminadas con un máximo de 12 horas. En corte las libretas requieren de una hora para
su proceso, y las agendas tres horas. En costura las libretas requieren de una hora por pieza, los
cuadernos de dos horas y en terminados cada agenda se lleva dos horas y cada cuaderno tres horas,
con está información elaborar el modelo de programación lineal.
La compañía llantera OXO
22. La compañía llantera "OXO" está tratando de encontrar la mejor manera de utilizar el exceso de
capacidad, en particular, 50,000 horas-hombre. La compañía esta considerando tres tipos de llantas:
normal, radial y especial. Cada llanta normal ocupa 2 hrs.-hombre, con una contribución marginal de
$50.00, una llanta radial, necesita 3 hrs.-hombre y da una contribución de $80.00. Una llanta
especial, requiere 4 hrs.-hombre y deja una contribución de $100.00. El departamento de
comercialización estima que puede venderse, al menos 15,000 llantas normales pero no más de
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20,000, sin embargo, las llantas radiales pueden venderse cuando menos 50,000. Las llantas
especiales se estima que no más de 10,000. Formule el problema como un modelo de P.L.
La señora Márquez
23. La señora Márquez tiene un pequeño negocio de aguas frescas preparadas al momento. Su capacidad
máxima de producción es de 50 litros por día. Sus productos principales son limonadas y naranjadas.
El precio por litro de limonada es de $6.00 y de $5.00 para el litro de naranjada. Ella utiliza 15
unidades de limón y 0.25 Kg. de azúcar para preparar un litro de agua fresca y 4 unidades de naranja
y 0.2 Kg. de azúcar para preparar un litro de naranjada. La disponibilidad de limones es de 102
unidades y 74 naranjas, cuenta únicamente con 15 Kg. de azúcar. Si el ciento de limones cuesta
$10.00, el de naranjas $8.00 y el kilogramo de azúcar cuesta $8.00, formule el problema como un
Modelo de programación lineal para maximizar la utilidad total.