TEORA DE LOS CAMPOS INGENIERA ELCTRICA
UUUNNNIIIDDDAAADDD VVVIIIIII
RRREEELLLAAATTTIIIVVVIIIDDDAAADDD EEESSSPPPEEECCCIIIAAALLL
CCCIIINNNEEEMMMTTTIIICCCAAA RRREEELLLAAATTTIIIVVVIIISSSTTTAAA
PROFESOR TITULAR: MSc. Ing. Edgardo Cmara
AYUDANTE: Ing. Ulises Manassero
Unidad VII Relatividad Especial 2 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
1 RELATIVIDAD NEWTONIANA.
Las relaciones entre las coordenadas de posicin de un punto en
dos sistemas de referencia (S y S), uno de los cuales se mueve en
traslacin uniforme con respecto al otro, son muy sencillas.
Designando x, y, z a las coordenadas de un punto referidas al
sistema S; se debe especificar adems el tiempo t para que queden
establecidas las coordenadas de un suceso: x, y, z, t.
Son ejemplos de sucesos a escala macroscpica: el choque de dos
cuerpos, el estallido de un explosivo, el paso de la aguja de un reloj por
un lugar determinado del cuadrante, etc. Son ejemplos a escala
microscpica: el choque de dos partculas, la absorcin de un fotn, la
emisin de una partcula , la desintegracin de un neutrn, etc.
Con respecto al sistema S las coordenadas del mismo suceso se
designarn x, y, z, t.
Para simplificar las ecuaciones es conveniente elegir las
direcciones de los ejes x y x coincidentes con la direccin del
movimiento y de modo tal que en el instante inicial (t=0) coincidan los
orgenes de los dos sistemas (00) y los ejes cartesianos de ambos
(figura VII.1).
Figura VII.1: Relatividad Newtoniana
Llamando v a la velocidad constante de traslacin de S en el
sentido y direccin de x, las ecuaciones de transformacin resultan,
sencillamente:
Unidad VII Relatividad Especial 3 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
tvxx '
yy ' Transformacin de Gal ileo
zz '
tt '
tvxx '
'yy Transformacin de Gal ileo Inversa
'zz
'tt
Donde se ha hecho hincapi en algo que estaba aceptado
implcitamente en la Fsica Clsica: que el tiempo transcurre por igual
para los observadores fijos en S o en S (t=t). Estas ecuaciones ya eran
conocidas por Galileo y el conjunto, que permite transformar x, y, z, t en
x, y, z, t, l leva su nombre.
Derivando las ecuaciones de transformacin de Galileo, con
respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones de transformacin de
velocidades que pueden sintetizarse en una nica ecuacin vectorial.
En t = t:
vdt
dx
dt
dx
dt
dx
'
'
' vVV xx '
dt
dy
dt
dy
'
' yy VV ' vVV
'
dt
dz
dt
dz
'
' zz VV '
Con una nueva derivacin se obtienen las ecuaciones de
transformacin de aceleraciones:
2
2
2
2
'
'
dt
xd
dt
xd xx aa '
2
2
2
2
'
'
dt
yd
dt
yd yy aa ' aa
'
2
2
2
2
'
'
dt
zd
dt
zd zz aa '
Ahora supngase adems que S sea un sistema inercial, es decir
uno en el cual se cumplen las leyes de la dinmica newtoniana (o
simplemente un sistema no acelerado). En tal caso S tambin es un
sistema inercial, dado que se mueve a una velocidad constante respecto
a S.
Unidad VII Relatividad Especial 4 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Puesto que en la Mecnica Clsica se considera constante a la
masa de una partcula (m=m), independientemente de la velocidad con
que sea observada, puede escribirse:
amF '' amF
Donde F
y 'F
son las fuerzas resultantes sobre la partcula de
masa (m), determinadas por observadores en reposo en S y S,
respectivamente.
Se concluye que: 'FF
Las leyes de la Mecnica Clsica se cumplen en todos los
sistemas inerciales para los cuales se puede aplicar la transformacin de
Galileo. Se dice que esas leyes son invariantes para dicha
transformacin.
Recordemos los principios de conservacin en la Mecnica Clsica:
Conservacin de masa (en sistemas cerrados)
Conservacin de cantidad de movimiento, o de momento (cuando la
resultante de las fuerzas exteriores es nula).
Conservacin de la cantidad de movimiento angular, o momento
angular (cuando el momento resultante de las fuerzas exteriores es
nulo).
Conservacin de la energa (considerando todas las formas
conocidas).
Estos principios de conservacin se cumplen en todos los sistemas
inerciales. En consecuencia, ningn experimento de carcter
mecnico realizado en el marco de un sistema inercial puede
indicar el movimiento absoluto , es decir con respecto a un sistema de
referencia privilegiado. Solo se puede determinar la velocidad relativa de
un sistema respecto a otro pero carece de sentido hablar de movimiento
absoluto. Este hecho se conoce como relatividad newtoniana.
En electromagnetismo la situacin era diferente. Sus leyes,
resumidas en las ecuaciones de Maxwell, se cumpl ian en un sistema de
referencia especial: el ter. As se designaba en el siglo pasado a un
medio hipottico que llenaba todo el espacio y que era asiento de las
perturbaciones de los campos E y B
. El vaco absoluto no exista. Las
ondas electromagnticas se interpretaban como vibraciones mecnicas
del ter.
Una de las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell es que los
campos electromagnticos pueden propagarse en ausencia de materia, a
velocidad:
s
mc 8
00
1099792458,21
Unidad VII Relatividad Especial 5 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Si son vibraciones del ter sta ser la velocidad medida por un
observador en reposo respecto a l. En cambio, otro observador en
movimiento a velocidad v
determinara para una onda electromagntica
una velocidad vc
. Habra posibil idad de poner de manifiesto, por medio
de experimentos electromagnticos, la existencia de un sistema inercial
privilegiado, el ter, con respecto al cual se podra determinar el
movimiento absoluto.
Esto es debido a que las ecuaciones de Maxwell (la ecuacin de
una onda electromagntica, es consecuencia de ellas) no conservan su
forma ante una transformacin galileana, es decir, no quedan invariantes
(el valor de c no es invariante). El principio de relatividad newtoniano no
se aplica al electromagnetismo.
OPCIONAL: REFERENCIAS HISTRICAS.
Ante esta situacin planteada en las leyes de la fsica, quedaban
las siguientes opciones:
1. Aceptar que existe un principio de relatividad para la mecnica,
pero no para el electromagnetismo. La transformacin galileana es
correcta pero no deja invariante las leyes electrodinmicas; es posible
localizar experimentalmente el sistema del ter en el cul se cumplen las
ecuaciones de Maxwell.
2. Suponer que existe un principio de relatividad nico, para la
mecnica y el electromagnetismo, siendo vlida la transformacin
galileana. Esta transformacin deja invariante las leyes de la mecnica,
pero no las leyes clsicas del electromagnetismo; por lo tanto, estas
ltimas deban ser corregidas.
3. Suponer que existe un principio de relatividad nico, para la
mecnica y el electromagnetismo, siendo vlidas l as ecuaciones de
Maxwell. Por lo tanto, deban deducirse nuevas ecuaciones de
transformacin distintas de las galileanas de modo que dej aran
invariantes las ecuaciones de Maxwell, y por consiguiente, que dejen
invariante la velocidad de la luz (en general, de las ondas
electromagnticas en el vaco). En consecuencia, deban corregirse las
leyes de la mecnica, de modo que resulten invariantes ante la nueva
transformacin.
Este ltimo camino es el que finalmente se sigui pese a la gran
resistencia de algunos fsicos que no se resignaban a abandonar las leyes
de Newton.
2 EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY.
2.1 FUNCIONAMIENTO DEL INTERFERMETRO DE MICHELSON.
A fines del siglo XIX, se disearon y discutieron varios
experimentos de naturaleza electromagntica destinados a revelar el
sistema de referencia absoluto del ter. A los fsicos de entonces les
Unidad VII Relatividad Especial 6 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
pareca ms lgico aceptar la existencia de un medio en el cual se
propagasen las ondas electromagnticas rechazando la existencia del
vaco absoluto, a pesar de que ese medio (el ter) deba tener
propiedades inslitas, tales como densidad casi nula, viscosidad
despreciable, y sin embargo, alta rigidez.
Debido al valor tan alto de la velocidad de la luz (6 rdenes de
magnitud mayor que la velocidad del sonido en el aire), los experimentos
para poner de manifiesto el movimiento con respecto al ter implicaban
lograr velocidades grandes. Se pens pues, aprovechar el movimiento de
la Tierra en su traslacin alrededor del Sol (v=30 [km/s]). La relacin
v/c resulta entonces aproximadamente 10 -4.
Los experimentos de ptica realizados exactos hasta el primer
orden de la relacin v/c no acusaban el movimiento absoluto de la Tierra.
Se aceptaba que una prueba que no dejase dudas deba poner de
manifiesto efectos de segundo orden
8
2
2
10c
v, es decir, variacin de
una parte en 100 millones. Solo experimentos de interferencia luminosa
podran realizarse con tal precisin.
Albert Michelson (1852 1931), (figura VII.2) fue quin invent el
interfermetro ptico de dos brazos, conocido por su nombre. En 1881
realiz sus primeras experiencias con dicho instrumento tratando de
localizar el movimiento con respecto al ter. Posteriormente, en 1887,
trabajando con Edward Morley (figura VII.3) realiz experiencias ms
precisas que llevaron a abandonar la teora del ter y sentaron las bases
para corregir las leyes de la Mecnica Clsica.
Figura VII.2. Albert Michelson Figura VII.3. Edward Morley
De all la importancia de estos trabajos conocidos como
Experimento de Michelson-Morley. En 1907 Michelson fue honrado con
el premio Nbel de fsica por la invencin del interfermetro ptico y las
investigaciones metrolgicas con dicho instrumento.
Unidad VII Relatividad Especial 7 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
2 l2
1
l1
Espejo E1
Velocidad del viento del ter
Espejo semiplateado Anteojo
Observador
Espejo E2
Velocidad de desplazamiento del laboratorio
Fuente de luz monocromtica
Figura VII.4. Interfermetro de Michelson
En la figura VII.4 se esquematiza el interfermetro de Michelson .
Una fuente de luz monocromtica enva un rayo de luz hacia un espejo
semiplateado inclinado 45. En este espejo, un 50 % de la superficie se
comporta como espejo (esta plateado), reflejando la luz y el otro 50 %
deja pasar la luz como un vidrio comn. Las zonas plateadas y las otras
se distribuyen en franjas contiguas. As, la reflexin parcial en el espejo
divide el rayo luminoso en dos rayos de igual intensidad. Uno de ellos
sigue la direccin original recorriendo el brazo 1 del interfermetro. El
otro se refleja en direccin normal recorriendo el brazo 2. Ambos rayos
se reflejan en los espejos E1 y E2, respectivamente, con incidencia
normal, y vuelven sobre su camino.
Al l legar nuevamente a la placa inclinada, una parte del rayo 1 se
refleja y se dirige a un anteojo ptico (telescopio) que emplea el
observador. Tambin una parte de la energa del rayo 2 sigue ese camino
despus de atravesar la placa semiplateada y continuar en la misma
direccin.
Si los caminos pticos l1 y l2 fuesen exactamente iguales, las dos
ondas luminosas deben llegar en fase al observador y se refuerzan
(interferencia constructiva) mostrando un campo i luminado. En el caso
de que el espejo E1 se corra alargando l1 en un cuarto de longitud de
onda, el camino ptico del rayo 1 vara (se alarga) en /2 y los dos rayos
llegan al observador en oposicin de fase mostrando un campo oscuro.
Otro desplazamiento de /4 del espejo E1 vuelve a producir un campo de
observacin iluminado, pues nuevamente estn las ondas en fase. Cada
desplazamiento /2 de uno de los espejos, en la direccin del brazo
correspondiente restituye la iluminacin observada al valor original.
Pero en realidad los espejos no estaban exactamente normales lo
cual equival a a intercalar una delgada cua de aire al haz de rayos
v
Unidad VII Relatividad Especial 8 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
paralelos que se refleja en uno de ellos. Como consecuenc ia el campo de
observacin no aparece uniformemente iluminado sino que presenta un
patrn de interferencias consistente en franjas claras y oscuras
paralelas. Los desplazamientos pueden medirse con exactitud debido a
un retculo en el plano focal del ocular del telescopio. Medidas
cuidadosamente repetidas y con el auxilio de un micrmetro ocular,
permiten apreciar corrimientos tan pequeos como 1/100 de franja, lo
que representa apreciar desplazamientos del espejo mvil del orden de
/200 (3x10 -9[m]) (figura VII.5).
Figura VII.5. Observacin de las ondas de luz incidentes en el telescopio del
interfermetro
El interfermetro se mont en el laboratorio de modo que uno de
los brazos (el brazo 1 en la figura VII.4) coincidiese en ese momento con
la direccin del movimiento de traslacin de la Tierra a velocidad v. Si el
ter no es arrastrado por la Tierra, el rayo 1 recorre la longitud l1 una
vez contra la corriente del ter y otra vez a favor de la corriente del
ter.
La velocidad de la luz vale c con respecto al ter, de modo que el
tiempo empleado por el rayo 1 en ir y volver es:
2
2
1
22122111
1
1
122
c
vc
l
vc
cl
vc
vcvcl
vc
l
vc
lt
2
11
1
12
c
lt (VII.1) donde
410c
v
Se ha despreciado aqu el movimiento del laboratorio debido al
movimiento de rotacin del planeta, pues es un orden menor que v (en el
ecuador no alcanza a 0,5 [km/s]).
Unidad VII Relatividad Especial 9 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
En la figura VII.6 se muestra la trayectoria del rayo 2 para un
observador en reposo con respecto al ter.
l2
v.t2
E2
Figura VII.6. Trayectoria del rayo 2
El rayo va hacia el espejo E2 a velocidad c, siguiendo un camino
inclinado y al reflejarse vuelve a encontrar la placa semiplateada que
mientras tanto se ha desplazado una distancia 2tv .
Por consiguiente, el tiempo para ir y volver, del rayo 2, resulta:
c
tvl
t
2
22
2
2
22
Observado desde el ter, donde la velocidad de la luz es c.
Operando para despejar t2:
22222
2
2
2
22
2
2
2
2 44 lvcttvltc
2
2
22
22
1
122
c
vc
l
vc
lt
2
22
1
12
c
lt
(VII.2)
La diferencia entre los tiempos empleados para los dos rayos es:
2
1
2
212
11
2
ll
cttt
Si ahora se hace girar el interfermetro 90, de modo que sea la
direccin del brazo 2 la que coincida con la direccin del viento del
ter, se invierten las situaciones de los dos brazos:
2
11
1
12'
c
lt
2
22
1
12'
c
lt
Unidad VII Relatividad Especial 10 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
La diferencia entre los tiempos resulta ahora:
2
1
2
212
11
2'''
ll
cttt
El interfermetro puede poner de manifiesto la diferencia tt ' ,
producida por la rotacin del instrumento:
22
12
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
12
11
2
11
2'
c
llll
c
ll
ctt
Puesto que 12 pueden hacerse las aproximaciones:
2
21
1
1
y 2
2 2
11
1
1
Resulta as:
2
2
2
111
2'
2
122212 c
ll
c
lltt
2
2
12'c
v
c
lltt
(VII.3)
Si la diferencia entre los intervalos de tiempos es igual a un
perodo de oscilacin de la onda, el desplazamiento del patrn de
interferencia es de una franja. Por lo tanto, el nmero de franjas N que
se corren frente al retculo es:
2
2
12'
c
v
Tc
ll
T
ttN
2
2
12
c
vllN
(VII.4)
Donde: Tc
En la experiencia de Michelson y Morley se haban logrado brazos
de interfermetro muy largos ( ][1121 mll ), haciendo recorrer a los rayos
un camino en zig zag, en cada brazo, reflejndose en espejos. P ara una
fuente de luz de 5900[A] (luz de sodio) deba observarse un
corrimiento de:
franjasN 37,0101059,0
22 246
Es decir, menos de media franja, pero perfectamente medible dada
la sensibil idad del instrumento. Para evitar vibraciones y variaciones de
las longitudes de los brazos al girar el pesado interfermetro, se mont
el instrumento sobre un bloque de granito que flotaba en una cuba con
mercurio. A pesar de las medic iones cuidadosas realizadas repetidamente
a lo largo del da (para tener en cuenta el desplazamiento debido a la
rotacin de la Tierra) y en distintas estaciones del ao (para tener en
Unidad VII Relatividad Especial 11 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
cuenta un posible movimiento de todo e l sistema solar), no se pudo
detectar el desplazamiento esperado.
El resultado nulo (N=0) de la experiencia de Michelson y Morley
parece eliminar totalmente la posibil idad de la existencia de un sistema
de referencia absoluto (el sistema del ter). Una prueba tan contundente
necesitaba ser confirmada y es por ello que durante ms de 50 aos los
fsicos repitieron el experimento con variaciones que les permitieron
asegurar mayor precisin. Incluso experimentos llevados a cabo en 1958
util izando microondas demostraron que si estaba presente el viento del
ter, este deba ser menor de un milsimo de la velocidad orbital de la
Tierra.
OPCIONAL (2.2 a 2.4): REFERENCIAS HISTRICAS.
No obstante, para salvar el ter y explicar el resultado nulo de
estas experiencias otros cientficos sugirieron varias hiptesis
adicionales, todas las cuales pueden reunirse en tres grupos:
1. Hiptesis de contraccin de Fitzgerald-Lorentz.
2. Hiptesis del arrastre del ter.
3. Hiptesis de la emisin.
2.2 HIPTESIS DE CONTRACCIN DE FITZGERALD-LORENTZ.
Sugerida por Fitzgerald en 1882 fue despus ampliada por Lorentz.
Explicaba el resultado nulo de la experiencia de Michelson y Morley
postulando que todos los cuerpos se contraen en la direccin del
movimiento absoluto (respecto al ter), por un factor:
2
1
c
v
As, si l1* y l2* representan los brazos del interfermetro en el
caso de estar en reposo respecto al ter, cuando el brazo 1 coincide con
la direccin del movimiento:
2
11 1* ll y *22 ll
Entonces resulta:
2
12
2
1
2
2
1
**2
1
*
1
*2
ll
c
ll
ct
Despus de rotar 90 el instrumento:
2
22 1* ll y *11 ll
Resultando:
Unidad VII Relatividad Especial 12 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
2
12
2
1
2
2
1
**2
1
*
1
*2'
ll
c
ll
ct
Por lo tanto 0' tt y no deba observarse ningn corrimiento de
las franjas de interferencia.
Lorentz explicaba la contraccin con una complicada teora
electrnica de la materia, que tambin predeca otros resultados que no
pudieron confirmarse.
Adems, realizando la experiencia con un interfermetro de brazos
desiguales deba esperarse an un corrimiento del patrn de
interferencia al variar la velocidad v con respecto al ter, por efecto de
la rotacin de la Tierra (cada 12 horas), o por desplazamiento del
sistema solar (a lo largo del ao). Estos efectos no fueron nunca
observados.
2.3 HIPTESIS DEL ARRASTRE DEL TER.
Propone que el ter es arrastrado por los cuerpos en movimiento,
de modo que el experimento de Michelson-Morley estaba realizndose
siempre en presencia de un ter local quieto con respecto al observador.
De all el resultado negativo.
Dos efectos contradicen la hiptesis del arrastre del ter:
aberracin estelar y coeficiente del arrastre de Fresnel.
La aberracin estelar era explicada por el movimiento de
traslacin de la Tierra orbitando alrededor del Sol. As la direccin en la
que se observa una estrella con respecto a coordenadas astronmicas
vara a lo largo del ao al componerse la velocidad c
de la luz con la
velocidad v
del ter. En el transcurso de un ao la direcc in en la que
se recibe la luz de una estrella describe un cono cuya semiabertura es
alrededor de 20 segundos de arco. Si el ter fuese arrastrado por la
Tierra no debera observarse ninguna aberracin.
El otro efecto est relacionado con la propagacin de las ondas
electromagnticas en medios en movimiento. Los experimentos llevados
a cabo por Fizeau en 1851, por Michelson y Morley en 1886, y por otros,
no concuerdan con la teora de que el medio en movimiento arrastre al
ter.
2.4 HIPTESIS DE LA EMISIN.
Entre los intentos hechos por mantener la hiptesis del ter
modificando las leyes del electromagnetismo, a fin de explicar el
resultado de Michelson y Morley, merecen destacarse aquellos que
suponen que la velocidad de la luz en el ter no es invariante sino que
depende de la velocidad de la fuente de emisin.
Unidad VII Relatividad Especial 13 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Estas teoras basadas en la emisin de la luz fueron refutadas por
dos tipos de observaciones bien confirmadas: la observacin de las
estrellas dobles y la experiencia de Michelson y Morley empleando un a
fuente de luz exterior a la Tierra.
Las estrellas dobles constituyen un sistema de dos cuerpos
mantenidos prximos por la atraccin gravitatoria, mientras giran
alrededor del centro de masa del conjunto. Si la velocidad de la luz que
nos envan dependiese de la velocidad de la estrella, en algn momento,
la luz de una de ellas nos llegara antes que la luz de su compaera, y el
fenmeno no parecera obedecer a las leyes de la Mecnica Celeste.
Otra forma de poner a prueba esta hiptesis es usar una fuente de
luz extraterrestre. En 1924 se repitieron las experiencias con el
interfermetro empleando la luz del sol como fuente luminosa y tambin
la luz de una estrella. No se verific ningn cambio en el patrn de
interferencia.
3 TEORA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL.
La teora de la relatividad emitida en 1905 por Albert Einstein
(1879-1955, figura VII.7) fue denominada luego Teora de la Relatividad
Especial, para distinguirla de la Teora General
de la Relatividad enunciada por el mismo
cientfico en 1915, que es ms completa y
considera la distorsin del espacio que produce
la presencia de la materia debido a los efectos
gravitatorios.
Supone la existencia de un principio de
relatividad nico para las leyes de la Mecnica
y del Electromagnetismo y admite que las
leyes conocidas para los fenmenos
electromagnticos, resumidas en las
ecuaciones de Maxwell, son correctas.
Fig. VII.7. Albert Einstein
Una de las consecuencias del Electromagnetismo es que las
perturbaciones de los campos E y B
pueden transmitirse en el vaco a
una velocidad dada por
00
1
c , conocida como velocidad de la luz en
el vaco, aunque es una constante para todo tipo de onda
electromagntica.
Dado que la transformacin de Galileo no deja invariante la
estructura de las ecuaciones de Maxwell, se proponen otras ecuaciones
de transformacin entre sistemas inerciales que mantienen invariantes
estas leyes y por lo tanto el valor de la velocidad de la luz en el vaco.
Unidad VII Relatividad Especial 14 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Esto produce resultados que difieren generalmente de los que se
obtenan en la Cinemtica Clsica. Denominaremos a este estudio
Cinemtica Relativista.
Adems, debido a que las leyes de la mecnica no quedan
invariantes con las nuevas transformaciones relativistas, se deben
modificar las leyes referentes a los efectos dinmicos para que el
principio de la relatividad se aplique tambin en Mecnica.
Denominaremos a esta segunda parte Dinmica relativista.
La teora Especial de la Relatividad puede enunciarse con dos
postulados generales:
Postulado 1: todas las leyes de la fsica son invariantes para
observadores ubicados en diferentes sistemas inerciales.
Postulado 2: la velocidad de la luz en el vaco es invariante
para todos los observadores en sistemas inerciales,
independientemente del movimiento de la fuente emisora.
El primer postulado implica que debe abandonarse la hiptesis de
la existencia del ter pues no existe ningn sistema de referencia
privilegiado.
Ningn experimento de carcter mecnico, electromagntico,
ptico, termodinmico, qumico o atmico puede poner de manifiesto el
movimiento absoluto.
El segundo postulado es una consecuencia de admitir la validez de
las ecuaciones de Maxwell que en el vaco dan para los campos E y B
la
relacin: 2
2
00
2
t
uu
(ecuacin de la onda), es decir, la existencia
de ondas electromagnticas con una velocidad nica:
00
1
c
El cumplimiento de estos postulados se logra admitiendo que el
tiempo no transcurre por igual para diferentes observadores inerciales y
revisando el concepto de simultaneidad de dos sucesos.
4 CONCEPTO DE SIMULTANEIDAD.
En un sistema inercial puede establecerse una escala de tiempos
t ubicando relojes idnticos quietos en el sistema de referencia, en
diferentes lugares del espacio, sincronizados con seales luminosas entre
los distintos puntos, teniendo en cuenta el tiempo para llevar la seal a
la velocidad invariante c.
En otro sistema inercial la escala de tiempos t ser diferente y las
nuevas ecuaciones de transformacin para las coordenadas de un suceso
x y z t deben contemplar la variacin de esta cuarta coordenada.
Unidad VII Relatividad Especial 15 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
En la Fsica Clsica se admite una escala temporal nica (t=t) y el
concepto de simultaneidad de dos sucesos A y B surge claramente.
Los dos sucesos son simultneos cuando ocurren en el mismo
tiempo (tA=tB) y en tal caso son tambin simultneos para los
observadores ubicados en otros sistemas inerciales.
Pero en la Fsica Relativista donde cada sistema inercial tiene su
propia escala de tiempos el concepto de simultaneidad adquiere carcter
relativo.
Dos sucesos que ocurren en el mismo lugar (x A=xB; yA=yB; zA=zB)
son simultneos si ocurren en el mismo tiempo (t A=tB), es decir,
coinciden las cuatro coordenadas x, y, z, t de los dos eventos.
Pero si los sucesos A y B acaecen en lugares diferentes pueden ser
simultneos para un observador inercial (tA=tB) y estar desfasados en el
tiempo para otro observador inercial (t A tB ). La simultaneidad es
relativa.
Un ejemplo puede aclarar estas ideas. Un observador en reposo en
un sistema inercial puede asegurar que dos sucesos A y B, ocurridos en
lugares diferentes, son simultneos con el siguiente mtodo: Al
producirse cada suceso se emite una seal luminosa en cada punto A y B,
en direccin al otro (f igura VII.8). Si ambas seales llegan en el mismo
momento al punto medio O del segmento AB diremos que los sucesos A y
B fueron simultneos (tA=tB).
BAO
Figura VII.8. Seales de los sucesos A y B
Ahora consideremos dos reglas: una fija en el sistema inercial S y
la otra fija en el sistema inercial S que se desplaza a la velocidad v
respecto al primero (figura VII.9).
A
A
B
B
v
O
O
S
S
A
A
B
B
O
O
S
S
A
A
B
B
O
O
S
S
Figura VII.9. Sistemas inerciales de los sucesos A y B
Los destellos luminosos en AA y en
BB son simultneos para S
La onda de B llega primera a O. Para S
el suceso B fue antes que A. tB
Unidad VII Relatividad Especial 16 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
En los puntos AA y BB se producen dos destellos luminosos y
se espera la llegada de las luces a los puntos medios O y O de ambas
reglas.
Cuando, para el observador en S, coinciden simultneamente las
marcas A y B de su regla con las marcas A y B de la regla mvil, se
emiten dos destellos en direccin al punto medio O.
La onda luminosa procedente de B alcanza al punto medio O de la
regla mvil antes que la onda originada en A. El observador en S deduce
que los sucesos no fueron simultneos sino que el destello en B ocurri
antes que el destello en A (tB
Unidad VII Relatividad Especial 17 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
5 ECUACIONES DE TRANSFORMACIN RELATIVISTA.
Denominaremos x, y, z, t a las coordenadas de un suceso referidas
al sistema inercial S y x, y, z, t a las coordenadas del mismo suceso
en el sistema S que se mueve a velocidad constante v
con respecto al
anterior (figura VII.11).
y
x
z
S
z
y
x
S
V
O
O
Figura VII.11. Simultaneidad de los sucesos en el sistema inercial S
Elegiremos las direcciones de los ejes x y x coincidentes con los
de v
y adems se ubicaran los orgenes de las ternas O y O, de manera
tal que coincidan para t=0. Para este suceso particular (OO) tambin
se eligir t=0.
Es decir: cuando t=0 y t=0 O coincide con O
Buscaremos las ecuaciones que permiten calcular las coordenadas
x, y, z, t en funcin de las coordenadas, x, y, z, t.
Para un observador en el sistema S el punto O se aleja a
velocidad v
. Para un observador en S el punto O se aleja a velocidad -
v
.
Las ecuaciones de transformacin inversa que permiten calcular
las coordenadas de un suceso en S a partir de sus coordenadas en S
deben tener la misma forma, obtenindose a partir de las ecuaciones de
transformacin directa intercambiando x x, t t y cambiando v por
v.
Por lo tanto deben ser ecuaciones lineales para que la
transformacin inversa tambin lo sea. Escribiremos:
tazayaxax 14131211'
tazayaxay 24232221'
tazayaxaz 34333231'
tazayaxat 44434241'
Unidad VII Relatividad Especial 18 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
A bajas velocidades debe coincidir con la transformacin de Galileo
porque la Mecnica Clsica da resultados coincidentes con las
observaciones mientras se estudien los movimientos de cuerpos a
velocidades pequeas comparadas con c.
Si v=0 144332211 aaaa y 0ija (ij)
Por razones de simetra muchos de estos coeficientes deben ser
nulos.
Por ejemplo: todos los sucesos que simultneamente para S
ocurren en un plano normal al eje x deben aparecer para S en un plano
normal al eje x. Esto significa que 012 a y 013 a
La escala de tiempos en S difiere de la escala de tiempos en S,
pero la relacin entre t y t no debe depender de las coordenadas y o z,
lo que significa 042 a y 043 a .
No debemos esperar que la coordenada y cambie si variamos x, z
o t. Por ello: 021 a , 023 a y 024 a . Entonces resulta 22' ay y, por lo cual
debemos aceptar que 122 a si tenemos la misma medida en S y S.
Por un razonamiento similar se concluye que: 0343231 aaa y que
133 a .
Resumiendo: taxax 1411'
yy '
zz '
taxat 4441'
El origen de coordenada O est en reposo en S y se mueve con
velocidad constante para S. Para todos los sucesos ocurridos en O: x=0
y x=v.t.
Entonces: tatvaO 1411 (para O)
Debe cumplirse: vaa 1114
Eliminando 14a en el sistema de ecuaciones, resulta:
tvxax 11'
taxat 4441'
Ahora haremos intervenir el segundo principio de la teora: la
constancia de la velocidad de la luz en el vaco c, para todos los
observadores inerciales.
Unidad VII Relatividad Especial 19 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
En el instante inicial (t=0) un rayo luminoso parte de 0
(coincidente con O) y despus de un recorrido recto en el vaco llega al
punto P, en el instante t (figura VII.12).
y
x
z
S
z
y
x
S
V
O
O
P (x,y,z)
(x,y,z)
r
r
Figura VII.12. Simultaneidad de los sucesos en el sistema inercial S
El suceso llegada al punto P tiene para el observador en S las
coordenadas x, y, z, t. Para l, el trayecto seguido por la luz est
indicado por el vector r
: 2222 zyxr
Para un observador en S la direccin del rayo de luz est indicada
por el vector 'r
: 2222 '''' zyxr
Y las coordenadas del suceso de llegada son x, y, z, t.
Pero, para ambos observadores la velocidad de la luz es c:
tcr '' tcr
Para S: 22222 tczyx (VII.5)
Para S: 22222 '''' tczyx (VII.6)
Reemplazando las ecuaciones de transformacin en VII.6:
2444122222
11 taxaczytvxa
Desarrollando:
222
44
2
4441
222
41
22222
11
2
11
22
11 22 ctactxaaxcazytvatvxaxa
Unidad VII Relatividad Especial 20 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Restando a esta igualdad la ecuacin VII.5, agrupando los
trminos que tienen los factores x2, x.t y t2 y extrayndolos como
factores comunes, se obtiene:
0221 4422221124441221124122112 accvataacvatxacax
Para que esta igualdad se verifique con cualquiera de los valores
de x y de t, deben ser nulos los parntesis:
012
41
22
11 aca
0444122
11 aacva
0442222
11 accva
Las incgnitas son los coeficientes 11a , 41a y 44a . Aunque no es un
sistema de ecuaciones lineales es posible calcular los coeficientes
resolvindolas (ver apndice VII.1) y se obtiene:
24411
1
1
aa
Donde para simplificar se ha designado como a la razn v/c.
2241
1
1
c
va
Por lo tanto, las ecuaciones de transformacin relativista resultan:
21'
tvxx yy ' zz '
2
2
1'
xc
vt
t (VII.7)
Estas son las ecuaciones de Transformacin directa.
Podemos observar que cuando
Unidad VII Relatividad Especial 21 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Tabla VII.1. Ecuaciones de Transformacin Relativista, vl idas para v paralela
al eje x.
Transformacin Directa Transformacin Inversa
21'
tvxx
21
''
tvxx
yy ' 'yy
zz ' 'zz
2
2
1'
xc
vt
t 2
2
1
''
xc
vt
t
Estas relaciones son conocidas como Ecuaciones de Transformacin
de Lorentz, siendo Poincar quin les dio originalmente el nombre.
Hendrick Lorentz (1853 1928, figura VII.13), fsico terico
dans, se dedic al desarrollo del electromagnetismo desde el punto al
cual haba llegado Maxwell. Desarroll una teora electrnica que
contribuy a explicar el efecto Zeeman, compartiendo con este fsico el
premio Nbel de fsica en 1902. Sus trabajos sobre los fenmenos
pticos en medios en movimiento sirvieron de base
a la teora de la relatividad. En 1895 introdujo la
idea del tiempo local y en 1903 desarroll las
ecuaciones de transformacin que llevan su nombre,
para preservar la forma de las leyes del
electromagnetismo.
Sin embargo, daba a las ecuaciones un
significado distinto al que les dio Einstein,
considerando a v como la velocidad con respecto a
un sistema de ter absoluto.
Fig. VII.13. Hendrick Lorentz
6 ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LAS ECUACIONES DE
TRANSFORMACIN DE LORENTZ.
6.1 VELOCIDAD DE LA LUZ COMO VELOCIDAD LMITE.
Las ecuaciones de Lorentz carecen de significado fsico si >1, es
decir si v>c, pues se obtienen valores complejos al hacerse negativo el
radicando de 21 .
Esto significa que nunca podremos observar desde un sistema
inercial S a otro observador en S movindose ms rpido que la luz.
Unidad VII Relatividad Especial 22 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
El valor de c aparece como lmite de las velocidades que se pueden
observar en los cuerpos, y este lmite es el mismo en todos los sistemas
inerciales.
Ms adelante, en Dinmica Relativista, veremos que cuando se
pretende acelerar una partcula hasta alcanzar la vel ocidad de la luz,
aparece una imposibilidad fsica pues la energa cintica crece tendiendo
a infinito cuando v tiende a c.
6.2 CONTRACCIN FITZGERALD-LORENTZ.
Consideraremos una varil la en reposo sobre el eje x del sistema
S. Las coordenadas x1 y x2 permiten obtener la longitud de ella para
S :
''' 12 xxx
Un observador en el sistema S mide la longitud de la varil la que
para l se mueve a velocidad v. Para eso lee simultneamente las
coordenadas x1 y x2 de los extremos y calcula:
12 xxx
Empleando la primera ecuacin de Lorentz:
2
11
2
2212
11'''
tvxtvxxxx
Pero, como las lecturas de x1 y x2 han sido hechas
simultneamente para S: t2=t1. Entonces:
22
12
11'
xxxx
21' xx
La longitud de la varil la medida desde S se contrae por un factor
21 con respecto a la longitud medida desde S donde est en reposo.
Las dimensiones en sentidos transversales a v
no varan debido a que
y=y, z=z.
Cada observador que mida la var il la en movimiento obtiene una
longitud distinta, siempre menor que la longitud en el sistema donde el
cuerpo est en reposo que se llama longitud en reposo o longitud
propia.
0' Lx longitud en reposo
Lx longitud en movimiento
2
0 1 LL (VII.9)
Este fenmeno es conocido como contraccin de Fitzgerald -
Lorentz, pues ambos cientficos propusieron esta frmula para explicar
Unidad VII Relatividad Especial 23 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
los resultados de las experiencias de Michelson y Morley , como un
acortamiento de uno de los brazos del interfermetro.
6.2.1 EJEMPLO VII.1.
Un avin se mueve a 2160 [km/h] (supersnico). Si la longitud en
reposo es 20 [m], en cunto aparece contrado cuando desde tierra se
lo observa en movimiento?
Resolucin:
s
m
s
m
h
kmv 600
3600
1021602160
3
6
81000,2
/103
/600
sm
sm
c
v
122 104
Usaremos la aproximacin: 22
2
111
22
11111
2
0
2
0
2
00
LLLLLL
4,0100,41000,220 1112 mmL
Vemos as que an a velocidades altas en el mundo macroscpico,
la contraccin relativista resulta inapreciable debido al bajo valor de y
ms an de 2.
6.3 DILATACIN DEL TIEMPO.
Consideremos el intervalo de tiempo medido por el observador en
S entre dos sucesos que se producen en el mismo lugar (x 1 =x2 ), como
ser el intervalo t medido por un reloj en reposo en S, o la vida de una
partcula subatmica observada en reposo (desde que se forma hasta su
posterior desintegracin).
Para otro observador en el sistema S los dos sucesos ocurren en
lugares diferentes, y el tiempo que mide t resulta diferente.
''' 12 ttt 12 ttt
Con las ecuaciones de transformacin inversa de Lorentz se
obtiene:
2
121
2
222
12
1
''
1
''
xc
vtxc
vtttt
Pero como x2 =x1 pues para S los dos sucesos ocurren en el
mismo lugar: 22
12
1
'
1
''
tttt
Unidad VII Relatividad Especial 24 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Cada observador en un sistema inercial distinto que mida el
tiempo t obtendr valores diferentes segn su velocidad respecto a S
(donde x2 =x1 ). Llamando:
0' tt Tiempo propio (en reposo)
2
0
1
tt (VII.10) Dilatacin del tiempo
El observador en S que estudie la marcha de un reloj que se
mueve a velocidad v, encuentra que la rapidez de funcionamiento del
reloj ha disminuido en un factor 21 y se atrasa con respecto a los
relojes en S. Lo mismo sucede con todos los fenmenos que se observen
desde S. Ver al observado r en S respirando ms lentamente, con un
ritmo cardaco menor, y envejeciendo ms despacio.
6.3.1 EJEMPLO VII.2.
Las partculas (muones) se forman en la atmsfera como
productos secundarios, a algunos kilmetros sobre el nivel del mar. Su
vida media propia vale s60 102,2 .
Calcular la vida media medida desde la Tierra para muones que
vienen a velocidad 0,99 c.
Resolucin:
99,0c
v 00 t (vida propia)
t (vida medida en movimiento)
sst
t
6,151056,109,7
141,099,011
5
00
2
0
2
0
Al multiplicarse por 7 la vida media de las partculas que se
mueven a casi la velocidad de la luz, las observaremos recorrer una
distancia media de 4,6 [km] antes de desintegrarse.
7 TRANSFORMACIN RELATIVISTA DE VELOCIDADES.
Si una partcula se mueve con velocidad V
con respecto a un
sistema inercial S, sus componentes son:
dt
dxVx
dt
dyVy
dt
dzVz
Para un observador del sistema S, tambin inercial, la partcula
tiene una velocidad 'V
cuyas componentes son:
Unidad VII Relatividad Especial 25 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
'
''
dt
dxVx
'
''
dt
dyVy
'
''
dt
dzVz
Pero, en la transformacin de Lorentz:
21'
dtvdxdx dydy ' dzdz '
2
2
1'
dxc
vdtdt
Reemplazando:
dxc
vdt
dtvdx
dt
dxVx
2
'
''
x
xx
Vc
v
vVV
21
' (VII.11)
dxc
vdt
dy
dt
dyVy
2
21
'
''
x
y
y
Vc
v
VV
2
2
1
1'
(VII.12)
dxc
vdt
dz
dt
dzVz
2
21
'
''
x
z
z
Vc
v
VV
2
2
1
1'
(VII.13)
Estas son las ecuaciones relativistas de transformacin de
velocidades. Para obtener la transformacin inversa puede seguirse el
mismo procedimiento que con la transformacin inversa de Lorentz. Ms
sencillo es intercambiar las coordenadas 'xx , 'yy , 'zz , 'tt y
cambiar el signo de v.
En la tabla siguiente se dan las ecuaciones de ambas
transformaciones.
Tabla VII.2. Ecuaciones de Transformacin de Velocidades, vl idas para v
paralela al eje x.
Transformacin Directa Transformacin Inversa
x
xx
Vc
v
vVV
21
'
'1
'
2 x
xx
Vc
v
vVV
x
y
y
Vc
v
VV
2
2
1
1'
'1
1'
2
2
x
y
y
Vc
v
VV
x
z
z
Vc
v
VV
2
2
1
1'
'1
1'
2
2
x
z
z
Vc
v
VV
Unidad VII Relatividad Especial 26 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Puede observarse que cuando y las razones Vx/c Vx /c son
pequeas, las ecuaciones se convierten en las de la Transformacin de
Galileo.
Para una partcula que se mueva en direccin paralela al eje x
(Vy =Vz =0):
'1
'
2 x
xx
Vc
v
vVV
Se observa la diferencia con la suma de velocidades de la
transformacin de Galileo:
vVV xx '
Supngase que se trate de un rayo de luz que se observa en el
sistema S con velocidad Vx =c.
Para un observador en S: c
c
v
c
vc
cc
v
vcVx
1
1
12
La velocidad en S no es c+v sino que sigue siendo c (invariante).
Si adems el sistema S se mueve a velocidad c con respecto a S:
cVx ' cv cc
cc
c
ccVx
2
2
12
Nunca se supera el valor lmite que es c.
Con respecto a las componentes transversales (V y, V z) de la
velocidad de un cuerpo observado desde S, stas estn relacionadas
tanto con las componentes transversales (V y , V z ) como con la
componente paralela (V x ) de la velocidad en S:
'1
1'
2
2
x
y
y
Vc
v
VV
'1
1'
2
2
x
z
z
Vc
v
VV
Ninguno de los observadores es propio. Si elegimos un sistema S
en el cual Vx =0, es decir donde el cuerpo se mueva en un plano normal
a x, las componentes transversales en S resultan:
21' yy VV 21' zz VV
Pero, si no hay contraccin de longitud en el sentido transversal,
cul es la razn del factor 21 ?
Unidad VII Relatividad Especial 27 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Debemos recordar que la velocidad se define en funcin de las
magnitudes espacio y tiempo y aunque no haya contraccin transv ersal
del espacio, el efecto de la dilatacin del tiempo persiste.
7.1 EJEMPLO VII.3.
Una nave espacial de ciencia ficcin se nueve a 0,5 c con respecto
a la Tierra. Otra nave espacial se mueve tambin a 0,5 c respecto a la
Tierra, pero en direccin opuesta.
Calcular la velocidad de una de las naves observada desde la otra.
Resolucin:
Ubicaremos el sistema S en Tierra y el sistema S en la primera
nave (figura VII.14). Desde ambos sistemas se observa la nave 2.
1
S
S
2
Figura VII.14. Representacin grfica del probl ema
?'xV cv 5,0 cVx 5,0
Calculando Vx :
c
ccc
Vc
v
vVV
x
xx
8,0
25,015,05,01
5,05,0
1
'
2
La segunda nave se acerca a la primera a velocidad relativa del
80% de c. Si se hubiera ubicado el sistema S en la nave 2 y el sistema S
en la nave 1, los tripulantes de ambas naves observan un punto sobre la
Tierra:
cVx 5,0' ?v cVx 5,0
Despejando v de:
'1
'
2 x
xx
Vc
v
vVV
Se obtiene:
cccc
Vc
V
VVv
x
x
xx
8,0
25,015,05,01
5,05,0
'1
'
2
Unidad VII Relatividad Especial 28 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
La nave 1 (sistema S) se acerca a la nave 2 (sistema S) a
velocidad 0,8 c.
8 EFECTO DOPPLER RELATIVISTA.
Johann Doppler (1803-1853) (figura VII.15) fue quien primero
explic este fenmeno (el efecto que lleva su
nombre), en relacin con el sonido.
Las ondas del sonido viajan en el aire a una
velocidad c=340 [m/s] (a 0 [C]), prcticamente
independiente de la frecuencia 0 . Si el observador o
la fuente sonora se mueven en el aire con
componente de velocidad v, segn la direccin entre
ambos, el observador percibe una frecuencia
diferente de aquella conque fue emitido ( 0 )
Fig. VII.15. Johann Doppler
Deben considerarse dos casos l igeramente diferentes:
Primer caso: el observador se aleja a velocidad v de la fuente
de sonido que est en reposo con respecto al aire (figura
VII.16). Llamamos c en este caso a la velocidad de la onda.
c
v101
Figura VII.16. Observador alejndose de la fuente de sonido
Segundo caso: la fuente de sonido se aleja a velocidad v del
observador que permanece en reposo en el aire (figura
VII.17).
)1(
102
c
v
Figura VII.17. Fuente de sonido alejndose del observador en reposo
En ambos casos las frecuencias percibidas ( 1 y 2 ) son menores
que la frecuencia propia ( 0 ).
Desarrollando la expresin de 2 en series de potencias de v/c:
FO
FO
v
Unidad VII Relatividad Especial 29 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
..........1
2
2
02c
v
c
v
Puede observarse que cuando v/c
Unidad VII Relatividad Especial 30 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
La fuente luminosa se aleja del observador a velocidad v en
direccin de la visual, emitiendo una onda en el sentido x.
La ecuacin de la onda referida al sistema S puede escribirse:
'''''','' txksenatx
Donde: 02'2' 0
2
'
2'
k c
k 00
'
'
Empleando las ecuaciones de Transformacin de Lorentz
tendremos la onda referida al s istema S:
22
2
2
2
2 1
''
1
''
1'
1',
vktc
vkxsena
xc
vttvxksenatx
La expresin que multiplica a t da la frecuencia angular de la
onda observada desde S, es decir la frecuencia percibida por el
observador:
222 1
1
'1
'
'1
'1
''
c
vv
k
vk (pues c
k
'
')
Expresndolas con las frecuencias: 2 02'
Resulta: 2
0
1
1
c
v
c
v
(VII.14) Efecto Doppler Relativista
Si la frmula se desarrolla en series de potencias de v/c se
obtiene:
..........
2
11
2
2
0c
v
c
v
Que difiere en trminos de segundo orden con las frmulas de 1 y
2 (ondas en medios materiales). Es sencillo demostrar que es la
media geomtrica de 1 y 2 ( 212 ).
Otras expresiones equivalentes para el efecto Doppler relat ivista
son:
c
v
c
v
1
1
2
0 (VII.15)
c
vc
v
1
1
0
(VII.16) vc
vc
0
(VII.17)
La relacin entre /c y 00 / c (longitud de onda propia) se
obtiene reemplazando:
Unidad VII Relatividad Especial 31 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
2
0
1
1
c
v
c
v
cc
c
v
c
v
1
1
2
0
(VII.18)
Cuando v/c
Unidad VII Relatividad Especial 32 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
SS
O F
x
x
y
v
y
Figura VII.19. Movimiento de la fuente emisora de las ondas
electromagnticas
Este efecto Doppler transverso, es puramente relativista y tiene
una interpretacin sencilla en la dilatacin del tiempo. La fuente en
movimiento acta como un reloj que marca el comps de las os cilaciones
electromagnticas. Observada desde S su marcha parece retrasarse por
un factor 21 y por lo tanto el nmero de oscilaciones en la unidad de
tiempo se ve reducido por este factor.
8.1 EJEMPLO VII.4.
Una galaxia se aleja de nosotros a una velocidad 0,1.c. Calcular el
desplazamiento de la longitud de onda por efecto Doppler para la lnea
del hidrgeno 0=6563[] y el corrimiento al rojo. Es buena
aproximacin la frmula que tiene en cuenta solamente las variaciones
de primer orden?.
Resolucin:
1,0c
v
][7256
1,01
1,016563
1
122
0
][6930 106,06563
693
0
La frmula aproximada da: 1,00
c
v
65665631,00
c
v
La diferencia es apreciable.
8.2 EJEMPLO VII.5.
Una sonda espacial que se mueve a 40 [km/s] con respecto a la
Tierra emite hacia ella una seal electromagntica de frecuencia propia
20,0 [MHz].
Unidad VII Relatividad Especial 33 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Calcular la variacin de frecuencia medida desde la Tierra:
A) Cuando la nave se aleja.
B) Cuando la nave se desplaza en sentido normal a la visual.
Resolucin:
A) 48
3
1033,1]/[1000,3
]/[1040
sm
sm
1
Puede emplearse la frmula aproximada:
1
1
10
2
0
][1067,21033,1100,201 3460000 Hz
B) Queda solo el efecto Doppler Transversal:
211
2
0
2
0
][177,0
2
1033,1100,20
221
246
2
0
2
000 Hz
9 LA PARADOJA DE LOS GEMELOS.
Mucho se ha escrito sobre esta aparente contradiccin, conocida
tambin como la paradoja de los relojes.
Si se dispone que un reloj sea llevado en un viaje durante un
tiempo, para luego regresarlo al lugar de partida, para compararlo con
otro reloj que permaneci en reposo, se encontrar que el tiempo de
viaje que marca el reloj mvil es menor que el tiempo indicado por el
reloj en reposo, debido a la dilatacin relativista del tiempo.
De manera similar imaginemos dos organismos vivos, casi
idnticos, como ser dos hermanos gemelos, los cuales viviendo en la
Tierra envejeceran a un mismo ritmo. Pero uno de los gemelos
permanece en la Tierra y el otro hace un viaje espacial a velocidades
cercanas a c. Cuando el segundo regrese y ambos hermanos se
reencuentren observarn que para el viajero transcurri poco tiempo
mientras que su gemelo ha envejecido ms.
La paradoja se presenta al aplicar el principio de equivalencia de
los sistemas inerciales, entre quin permanece en la Tierra y quin viaja
a velocidad constante.
El gemelo que viaj puede pensar que estuvo en reposo en el
Universo mientras que su hermano con la Tierra se alej para luego
regresar.
Unidad VII Relatividad Especial 34 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Entonces, en el reencuentro, el hermano que viaj con la Tierra
lucira ms joven que el que subi a la nave espacial, en contradiccin
con el resultado del razonamiento anterior.
Cul de los gemelos envejeci ms que el otro? Dnde reside el
error que condujo a esta paradoja?
El tiempo transcurrido para los observadores es diferente. Si
l lamamos t al que se registra en Tierra, para el viajero que se mova
siempre a velocidad v el tiempo t ser tal que:
21
'
tt Di latacin del tiempo
El signo de la velocidad (negativo en el viaje de regreso) no
influye.
Pero no es posible hacer un razonamiento similar considerando en
reposo al observador de la nave, porque para l habr inevitablemente
aceleraciones (visto desde el sistema inercial de la Tierra), tanto al
partir, como en los momentos en que desacelera, se detiene e invierte el
movimiento (acelerando), y finalmente al detenerse nuevamente en la
Tierra. Un sistema de referencia viajando con el no es inercial. El
principio de equivalencia entre los dos sistemas no puede aplicarse.
No hay contradiccin. La paradoja desaparece.
10 APNDICES.
10.1 APNDICE VII.1: DETERMINACIN DE LOS COEFICIENTES DE
LA TRANSFORMACIN DE LORENTZ.
Se trata de despejar las incgnitas a11, a41 y a44 del sistema de
ecuaciones:
012
41
22
11 aca (1)
0444122
11 aacva (2)
02
44
2222
11 accva (3)
Puede reducirse a un sistema de dos ecuaciones con dos
incgnitas, el iminando a11 entre las ecuaciones (3) y (1), y entre
ecuaciones (3) y (2).
Ecuacin (3) 02
44
2222
11 accva
Ecuacin (1) multiplicada por v 2 02
41
22222
11 avcvva
Restando miembro a miembro: 02
41
2222
44
22 avcvacc
Unidad VII Relatividad Especial 35 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Llamando c
v , este resultado se reescribe:
012
41
222
44 ava (4)
De manera similar:
Ecuacin (3) 02
44
2222
11 accva
Ecuacin (2) multiplicada por v: 04441222
11 aavcva
Restando miembro a miembro: 0444122
44
22 aavcacc
Que reescribiremos: 01 44412
44 aava (5)
Ha quedado un sistema de dos ecuaciones:
012
41
222
44 ava (4)
01 44412
44 aava (5)
Para resolverlo despejamos a41 de la ecuacin (5):
44
2
4441
1
av
aa
(6)
Y lo reemplazamos en (4): 01
1
2
44
2
44222
44
av
ava
Multiplicando por 2
44a y desarrollando el cuadrado:
0214
44
2
44
2
44
24
44
2
44 aaaaa
Es decir:
012
44
22
44 aa o 11 22
44 a
Por lo tanto:
244
1
1
a
Empleando este resultado en la ecuacin (6) se obtiene el valor de
a41:
2
2
2
2
2
2
2
44
2
4441
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
11
1
vvv
av
aa
Por lo tanto:
Unidad VII Relatividad Especial 36 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
2244
1
1
c
va
Por ltimo, reemplazando esta resultado en la ecuacin (1):
01
110
1
11
2
22
1124
222
11
ac
vca
Despejando: 22
22
2
22
111
1
1
1
11
a
2
2
111
1
a
10.2 APNDICE VII.2: TRANSFORMACIN RELATIVISTA INVERSA.
La transformacin directa puede escribirse:
tvxx' (1)
x
c
vtt
2' (2)
Donde: 21
1
Para despejar x y t puede operarse resolviendo el sistema de dos
ecuaciones con dos incgnitas:
'xtvx
'2
ttxc
v
El determinante del sistema vale:
222222
1
c
vv
2222 1''
1
''
1
'''
'
tvxtvxtvxt
vx
x
2
2
2
2
22
22
1
'/'
1
'/'
1
'''
'
xcvtxcvt
xc
vtt
c
vx
t
Que constituyen las ecuaciones de la Transformacin inversa de
Lorentz.
Unidad VII Relatividad Especial 37 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
10.3 APNDICE VII.3: EFECTO DOPPLER RELATIVISTA CUANDO LA
VELOCIDAD DE ALEJAMIENTO FORMA UN NGULO CON LA VISUAL.
Para el observador en S el ngulo de la direccin de avance de la
onda con el eje x es (figura VII.21)
Figura VII.21. Avance de la onda
Para el observador en S el ngulo de la direccin de avance de la
onda con el eje x es '' .
En general: '
Debemos trabajar con la ecuacin de la onda cuando la direccin
de propagacin no coincide con la del eje x.
Para un observador en S, cuando la onda se propaga en la
direccin l (figura VII.22), la ecuacin es: tlksenatxu ,
Donde: ysenxl cos tysenkxksenatyxu cos,,
Figura VII.22. Avance de la onda
Con referencia a la figura VII.21:
S S
F
x
x
y
v
y
'
x
y l
Unidad VII Relatividad Especial 38 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
coscos sensen
tysenkxksenatyxu cos,,
Donde: 2
2k c
k
Empleando las ecuaciones de la Transformacin de Lorentz inversa
tendremos la onda referida al s istema S:
2
2
2 1
'/''
1
''cos',',''
xcvtysenk
tvxksenatyxu
'
1
cos''
1
/cos',',''
22
2
tvk
ysenkxcvk
senatyxu
La expresin que multiplica a t da la frecuencia angular de la
onda observada desde S, es decir la frecuencia propia 0:
2220
1
cos1
1
cos1
1
cos'
c
vv
k
vk
Expresndolas con las frecuencias: 2 02'
20
1
cos1
cos1
1 2
0
11 BIBLIOGRAFA.
Robert Resnik, Conceptos de relatividad y teora cuntica, Editorial Limusa, Mxico
(1977).
Young, Hugh D. y Freedman Roger, Fsica universitaria con Fsica moderna, Vol.II,
Ed. Pearson Educacin, Mxico, 2009.
R. Serway y J. Jewett, Fsica para ciencias e ingeniera Vol.II, Ed. Thomson,
Mxico, 2005.
Arthur Beiser, Conceptos de fsica moderna, Ediciones del Castillo, Madrid (1963).
Charles Kittel, Walter Knight, Malvin Ruderman, Mecnica Berkeley Physics Course-
Volumen1, Editorial Revert, S.A., Barcelona, 1968.
W. Gettys, F. Keller y M. Skove, Fsica clsica y moderna, Mc. Graw Hill, Espaa,
1996.
Marcelo Alonso y Edward Finn, Fsica Volumen I Mecnica, fondo Educativo
Interamericano, Mxico, 1970.
Unidad VII Relatividad Especial 39 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Albert Einstein, El significado de la relatividad, Espasa Calpe Argentina, Buenos
Aires, 1948
Albert Einstein y Leopold Infeld, La fsica, aventura del pensamiento, Editorial
Losada, S.A., Buenos Aires, 1939
12 PROBLEMAS RESUELTOS.
7.1- En el experimento de Michelson y Morley se util iz un inter fermetro
con brazos de 11 [m] y luz de sodio (5900 []).
A) Qu desplazamiento de las franjas de interferencia se esperaba
medir debido al movimiento orbital de la Tierra (v=30 [km/s])?.
B) Calcular el tiempo que emplea la luz en ir y volver por uno de los
brazos. C) El experimento deba revelar un desplazamiento mnimo de
0,01 franjas. Qu velocidad lmite podra apreciarse?
Resolucin:
Recordando algunas frmulas que pueden ser tiles:
2111
11
12
c
l
vc
l
vc
lt 2
22
1
12
c
lt
2
1
2
212
11
2
ll
cttt
2 l2
1
l1
Espejo E1
v
Espejo
semiplateado Anteojo
Observador
Espejo E2
Fuente de luz
Monocromtica
Figura VII.23. Experimento de Michelson y Morley
a)
8
10
221 101105900
22
llN franjasN 37,0
b)
nsc
lt 3,73
1
122
11
Unidad VII Relatividad Especial 40 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
c) 510
1063,122
10590001,001,0
N
55 1031063,1cvc
v smv /109,4 3
7.2- En el experimento del problema anterior, cul sera la diferencia
de tiempo para las dos ondas luminosas que viajan a lo largo de los
brazos?
Resolucin:
2222
1
2
212
11
12
11
2
l
c
ll
cttt
99999999,0
10510333,7
1
11
103
112 982
2
8
t st
161067,3
7.3- Calcular los factores 21 y 21
1
para
=0,10/0,30/0,60/0,80/0,90/0,95/0,98/0,99 y hacer un grfico de ambos
en funcin de .
Resolucin:
21 211
0,100 0,995 1,005
0,300 0,954 1,048
0,600 0,800 1,250
0,800 0,600 1,667
0,900 0,436 2,294
0,950 0,312 3,203
0,980 0,199 5,025
0,990 0,141 7,089
Unidad VII Relatividad Especial 41 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,1 0,3 0,6 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99
Fig. VII.24. Factores en funcin de -La escala del eje de abscisas no es l ineal
7.4- A qu velocidad debe viajar un cohete para que su longitud se
contraiga solo 0,1% de su longitud en reposo?
Resolucin:
0000 999,0001,01001,0 LLLLL
04,0999,011999,0 220
L
L
810304,0cvc
v
smv /1034,1 7
7.5- Calcular la contraccin de Lorentz del dimetro de la Tierra para un
observador estacionario en el Sistema Solar (radio terrestre: 6370
[km]).
Respuesta: cmD 37,6
7.6- Una regla de 1,00 [m] se mueve en la direccin de su longitud con
velocidad 0,8.c respecto al observador. Cunto tiempo tarda en pasar
frente a l?
64,018,0
00,11 2
0
0
c
mt
v
L
v
Lt
Respuesta: st 9105,2
7.7- Una varil la en reposo en el sistema S, forma un ngulo de 30 con
el eje x. Para un observador en el sistema S forma un ngulo de 45 con
el eje x. Calcular la velocidad de S con respecto a S.
Resolucin:
21
211
Unidad VII Relatividad Especial 42 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
L L0
X x0
Y0
3045
Figura VII.25. Desplazamiento de una vari l la
3
111
3
1
)45(
)30(..)45();30( 22
0
0
0
0 tg
tg
x
xmamdividiendotg
x
y
x
ytg
x
y
82,0 ccv 82,0
7.8- El volumen de un recipiente, medido por un observador respecto al
cual est en reposo es 1000 [cm 3]. Con qu velocidad se debe mover
otro observador para que mida un volumen de 800 [cm 3]?
Resolucin:
y
x
z
S
z0
y0
x0
v
O
Figura VII.26. Variacin del volumen de un recipiente
Unidad VII Relatividad Especial 43 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
0000 zyxV 00 zyxV 2
0 1 xx
2
0000
00
0
1800,0 x
x
zyx
zyx
V
V cv 600,0
7.9- El tiempo de vida media propia de las partculas (muones) es
2,2x10 -6 [s]. Calcular la vida media que se observa cuando se desplazan
a velocidad 0,95.c.
Resolucin:
2
6
2
0
95,01
102,2
1
tt
st 6101,7
7.10- Un avin se mueve con respecto a la Tierra a una velocidad de 600
[m/s]. Observado desde un laboratorio en Tierra, cunto tiempo debe
transcurrir para que un reloj del avin atrase 1 ,00 [s]?
Resolucin:
2
6
2
6
02
06
0
2
111
1000,1
1
11
1000,1
11000,1
t
ttt
Como 22
1
1
2
111
6
8102
103
600
c
v
26
6
0
1022
1
1000,1t diast 8,5
7.11- Los mesones (piones) tienen una vida media de 1,8x10 -8 [s]. Un
haz de piones sale de un acelerador con velocidad 0,8.c. Qu distancia
recorren los piones, en promedio, hasta desintegrarse?
Resolucin:
st
t 88
2
0 10364,01
108,1
1
88 1031038,0tvx md 2,7
7.12- Un mun (vida media 2,2x10 -6 [s]) se forma en la atmsfera a una
altura de 7000 [m] y viaja verticalmente hacia la Tierra a velocidad
0,998.c. Alcanzar a llegar a nivel del mar?
Resolucin:
Unidad VII Relatividad Especial 44 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
s
tt 5
2
6
2
0 105,3998,01
102,2
1
mtvx 458 100,1105,3100,3998,0
Probablemente s, pues mm 7000100,1 4
7.13- Un astronauta dispone de un plazo de 25 aos (para l deben
transcurrir los 25 aos), para ir hasta una estrella situada a 10 aos luz
y regresar a la Tierra. Cul debe ser su velocidad de mdulo constante?
Resolucin:
2
22
2
0
2
0 18,018,05,12
1101
c
vcc
cvtvLL
22222
2
222
2
222 64,064,064,064,064,064,0164,0 cvvvc
c
vcc
c
vcv
cv 62,0
7.14- Un rayo de luz en el vaco tiene la direccin del eje z para un
observador en el sistema S. Calcular las componentes de la velocidad en
el sistema S (a velocidad v) y comprobar que el mdulo sigue valiendo
c.
Resolucin:
0' yy VV 0xV
cVz
22 11'c
vccVz
21
'
c
Vv
vVV
x
xx
vVx '
Unidad VII Relatividad Especial 45 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Figura VII.27. Rayo de luz en el vaco en los sistemas S y S
2
222222 1'''
c
vcvVVV zyx
2222 ''' cVVV zyx
7.15- A partir de las ecuaciones de transformacin de velocidades,
deducir las ecuaciones de la trans formacin inversa de velocidades,
despejando Vx, Vy, V z.
7.16- Un cohete viaja hacia la derecha con velocidad 0,5.c y otro cohete
hacia la izquierda con velocidad 0,5.c, ambas con respecto a un
observador en la Tierra. Cul es la velocidad de un cohete medida desde
el otro?. Resolver el problema ubicando el sistema S en el segundo
cohete y el sistema S en la Tierra.
Resolucin:
Unidad VII Relatividad Especial 46 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
Figura VII.28. Desplazamiento de cohetes
cvcVV xx 5,0;5,0'?;
22
5,05,01
5,05,0
'1
'
c
cc
cc
c
Vv
vVV
x
xx
cVx 8,0
7.17- Una partcula se mueve con velocidad 0,6.c que forma un ngulo
de 30 con el eje x, para un observador O. Calcular el mdulo de la
velocidad de la partcula para un observador O que viaja con velocidad
-0,6.c a lo largo del eje x, y el ngulo con el eje x.
Resolucin:
Figura VII.29. Desplazamiento de una partcula en los sistemas S y S
ccVx 52,0cos6,0 c
c
cc
cc
c
Vv
vVV
x
x
x
8,0
6,052,01
6,052,0
1
'
22
csencVy 30,06,0 c
c
cc
c
Vv
VV
x
y
y
2,0
6,052,01
)6,0(130,0
'1
1'
2
2
2
2
Tierra
Unidad VII Relatividad Especial 47 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
0'0 zz VV
22222 )182,0()854,0('''' ccVVVv zyx cv 9,0'
854,0
182,0arctg
V
Varctg
x
y 12
7.18- Un ncleo radioactivo que se mueve a velocidad 0,5.c con respecto
al laboratorio, emite una partcula con velocidad 0,9.c en direccin
normal al movimiento, medida por un observador que viaja con el ncleo.
Cul es la velocidad de la partcula para un observador en el sistema de
coordenadas del laboratorio?
Resolucin:
Figura VII.30. Desplazamiento de un ncleo radiactivo
0'xV cc
c
Vv
VV
x
y
y
8,0)5,0(190,0
'1
1'2
2
2
0zV c
c
c
c
c
Vv
vVV
x
xx
5,0
05,01
5,00
'1
'
22
22222
)8,0()5,0( ccVVVV zyx cV 9,0
5,0
779,0arctg
V
Varctg
x
y 57
0,9 c
Unidad VII Relatividad Especial 48 de 48
Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica
U.T.N. Facultad Regional Santa Fe
7.19- Una galaxia se aleja de la Tierra a una velocidad de 1500 [km/s].
Calcular el corrimiento para la longitud de onda de la lnea D2 del
sodio (0=5890 [])
Resolucin:
108
6
0
0
105890103
105,1
c
v
c
v
5,29
7.20- La lnea caracterstica del hidrgeno de 6563 [] se observa
corrida 950 [] cuando proviene de una galaxia que se est alejando.
Calcular la velocidad de alejamiento.
Resolucin:
ccvc
v
6563
950
00
cv 134,0
7.21- Un automvil se acerca a un radar detector de velocidad a 108
[km/h]. El radar opera a una frecuencia de 20 [GHz]. Qu cambio de
frecuencia se observa en la onda reflejada?.
Resolucin:
Hzp 9790202
0 1020101102012
111
1
1
kHzHzHzp 0,2102010111020 2790
FIN DEL DOCUMENTO
Top Related