Prof. Gruber A. Caraballo V.
Universidad de Carabobo
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica
Departamento de Térmica y Energética
Semestre 1-2008
Dinámica de gases
UC Semestre 1-2008. Prof. Gruber A. Caraballo V.
Onda de choque normal
Relaciones de Rankine-Hugoniot
UNIDAD IV: Ondas de choque normal
Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Las ondas de sonido se generan por variaciones de presión infinitamente pequeños que viajan a través de un
medio a la velocidad del sonido transportando energía mecánica.
Onda: es una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o
campo magnético, que se propaga a través del espacio transportando energía.
Ondas Mecánicas:
Ondas Electromagnéticas:
2
22
2
2
x
t,xc
t
t,x
…(4.1)
(x,t): propiedad del medio perturbado
c: velocidad de propagación
Transversal: Longitudinal:
1
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Relaciones de Rankine-Hugoniot
UNIDAD IV: Ondas de choque normal
Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Una onda de choque es una distorsión donde ocurren cambios repentinos y finitos en las propiedades del fluido
tales como presión, temperatura, densidad y entropía.
Onda de Choque
Propiedades
x
p
T
s
x
px
Tx
sx
y
Ty
sy
py
Cambios
infinitesimales
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Relaciones de Rankine-Hugoniot
UNIDAD IV: Ondas de choque normal
Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Durante una onda de choque normal se puede considerar flujo estacionario sin transferencia de calor o
interacciones de trabajo, y sin cambios de energía potencial, de esta manera se tiene:
0
0
0
0
0
s
h
T
p
x
x
x
x
x
s
V
T
p
y
y
y
y
y
s
V
T
p
V.C.
Continuidad:
yyxx AVAV
yyxx VV …(4.2)
Cantidad de movimiento:
xyyx VVmApp …(4.3)
Cantidad de la energía:
2
Vh
2
Vh
2y
y
2x
x …(4.4)
0sss xy
Apx
Apy
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Sea: y que al combinarlas:
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UNIDAD IV: Ondas de choque normal
Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Las relaciones de conservación de la masa (4.2) y de energía (4.4) pueden combinarse en una sola ecuación y graficarse en un
diagrama h-s. La curva resultante se denomina línea de Fanno y en ella se localizan los estados que tienen el mismo valor de
entalpía de estancamiento y flujo de masa por unidad de área.
GV 2
Vhh
2
0 2
2
02
Ghh
h
1v
ctteh0
ctteG
Aumento del flujo másico
Aumento de la entropía
ctteh0
h
s
Puntos de máxima entropía
1h
2h
2
V21
2
V22
ctteG
cttes
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Sea: que se puede escribir como
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UNIDAD IV: Ondas de choque normal
Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
De la misma manera al combinar las relaciones de conservación de la masa (4.2) y de cantidad de movimiento (4.3) en una sola
ecuación y graficarse en un diagrama h-s, se obtiene la curva denomina línea de Rayleigh.
2x
2yyx VV
A
mpp
p
1v
Aumento de la temperatura
Aumento de la entropía
ctteh0
h
s
ctteT
2x
2yyx VVVpp
ctteGVp 2 G2yy
2xx GVpGVp
ctteG
pó2
Punto de
máxima
temperaturaPunto de
máxima
entropía
Aumento de la presión
Punto límite
máxima entropía
Punto límite
máxima temperatura
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UNIDAD IV: Ondas de choque normal
Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Al superponer las líneas de Fanno y Rayleigh en el mismo diagrama h-s, los puntos de intersección entre las curvas del mismo flujo
másico por unidad de área representan los estados en que se cumplen las leyes de conservación antes y después de la onda de
choque normal.
ctteh0
KgKJh
KKg
KJsxs ys
x0p y0p
1M
1M
1M
Puntos límites de
máxima entropía
x
y
2
V2x
2
V2y
xh
yh
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UNIDAD IV: Ondas de choque normal
Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Estas relaciones se utilizan para evaluar las propiedades del flujo justo antes y justo después de la onda de choque y
están basadas en las ecuaciones fundamentales de conservación.
Se tiene que: 2222 kpMkRTMRT
pMc
RT
pV
Sustituyendo (B) y (C) en (A):
Combinando (4.2) y (4.3) se tiene : 2xx
2yyxyxyyx VVAVmVmVVmApp
2xx
2yyyx VVpp …(A)
2xx
2xx MkpV
2yy
2yy MkpV …(C)
…(B)
2xx
2yyyx MkpMkppp
2xxx
2yyy MkppMkpp
2y
2x
x
y
kM1
kM1
p
p
Relación de presiones:…(4.5)
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Línea de Fanno y línea de Rayleigh
Introducción
Ondas de choque en toberas convergente-divergente
El principio de la conservación de la energía requiere que la entalpía de estancamiento permanezca constante a través
del choque, es decir, h01=h02 y T01=T02, luego a partir de la ecuación (3.14) se puede escribir:
2
xxx0 M2
1k1TT
2
yyy0 M2
1k1TT
2
yy2xx M
2
1k1TM
2
1k1T
y0x0 TT
2y2
1
2x2
1
x
y
M1k1
M1k1
T
T
…(4.6)
Relación de temperaturas:
y
Por otra parte, de la ecuación de estado y de continuidad, podemos escribir sucesivamente:
x
y
xx
yy
xx
yy
xy
yx
x
y
kRT
kRT
pM
pM
pV
pV
p
p
T
T
2
x
y
xx
yy
2
x
y
kRT
kRT
pM
pM
T
T
2
xx
yy
x
y
pM
pM
T
T
…(4.7)
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Línea de Fanno y línea de Rayleigh
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Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Combinando (4.5), (4.6) y (4.7)
2y2
1
2x2
1
2x
2y
2
2y
2x
M1k1
M1k1
M
M
kM1
kM1
0MkMMM2
1k1MM 2
y2x
2x
2y
2x
2y
…(4.8)
En esta ecuación una solución es que Mx=My y corresponde naturalmente a que no existe choque, pero la otra es:
1kkM
M1k1M
212
x
2x2
1
y
…(4.9)
x
y
2
x
y
2
x
y
T
T
M
M
p
p
2y
2x
kM1
kM1
2y2
1
2x2
1
M1k1
M1k1
Relación de los números de Mach:
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Ondas de choque en toberas convergente-divergente
dividiendo (4.3) entre (4.2):
xy
yy
y
xx
x VVV
p
V
p
y multiplicando por Vx+Vy, se tiene después de reagrupar:
y
x
y
y
y
y2y
x
y
x
x
x
x2x
V
VppV
V
VppV
aplicando nuevamente que: yyxx VV
x
x
x
y
y
y2y
y
y
y
x
x
x2x
V
VppV
V
VppV
x
y
y
y2y
y
x
x
x2x
ppV
ppV
…(D)
ahora de la (3.19) ecuación de Bernoulli para un gas perfecto se tiene:
…(E)
y
y2y
x
x2x
p
1k
k2V
p
1k
k2V
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Ondas de choque en toberas convergente-divergente
restando D menos E:
y
y
x
y
x
x
y
xp
1k
1kpp
1k
1k
p
p
multiplicando por y ordenando la expresión se obtiene: y
yp1k
x
y
x
y
x
y
p
p1k1k
p
p1k1k
…(4.10)
Relación de densidades:
finalmente para las presiones de estancamiento:
x0
x
x
y
y
y0
x0
y0
p
p
p
p
p
p
p
p
1k
k
2yM
2
1k1
2
y
2x
kM1
kM1
1k
k
2xM
2
1k1
1k
1
2x
1k
k
2x
2x
x0
y0
1kkM2
1k
M1k2
M1k
p
p
…(4.11)
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Línea de Fanno y línea de Rayleigh
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Ondas de choque en toberas convergente-divergente
Finalmente con la ecuación (3.24) se puede determinar a partir de la relación de presiones de estancamiento antes y
después del choque, el cambio de entropía :
R
ss
x0
y0
xy
ep
p …(4.12)
ctteh0
KgKJh
KKg
KJsxs ys
x0p y0p
x
y2
V2x
2
V2y
xx T,h
yy T,h
xpx
ypy
x0 y0
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0p
p
Caso aCaso b
Caso dCaso c
0
0
0
0
0
s
h
T
p
bp
sp
0p
p
G
G S
g
ef
h
Caso d
Caso e
Caso f
Caso g
Caso h
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