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UNIDAD I NÚMEROSi
Los primeros números escritos datan del tercer milenio A.C., en Babilonia y Egipto,
matemáticas dominadas por la aritmética y geometría. Pero el más notable de todos los
sistemas numéricos primitivos fue el del pueblo Maya en el siglo I A.c.
Para representar los números, los mayas utilizaban un doble procedimiento: usaban
una combinación de barras y puntos propios de un sistema vigesimal, o figuraban cabezas
humanas, cada una de las cuales representaba las cifras comprendidas del 1 al 13. En
ambos sistemas se utilizaba el cero.
En la actualidad usamos el sistema decimal para trabajar los números, y hemos
dividido este sistema en conjuntos numéricos cada uno con sus propias características, tales
como los Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales; conjuntos que estudiaremos a
continuación.
NÚMEROS NATURALES
Es un conjunto ordenado e infinito que tiene como primer elemento el 1. Se denota por:
= {1, 2, 3, 4,...}
El antecesor de un natural n es n – 1 y el sucesor de un natural n es n + 1. Cada
número natural tiene un sucesor; todo natural, excepto el 1, tiene un antecesor.
Concluyendo:
Para todo número natural mayor que 1 el antecesor es el número menos 1
Para todo número natural el sucesor es el número más 1.
COLEGIO SANTA PATRICIA DE LA FLORIDA “APRENDER A EMPRENDER”
TALLER DE P.S.U / Prueba de Acceso obligatorias Competencias Matemática
Tema : Unidad de Numero
PROFESOR: Luis Alberto Cartes Flores
NIVEL: Enseñanza Media
TIPO DE DOCUMENTO: Guía auto- aprendizaje N° I
Nombre: ………………………………… ……Curso: IV_________ Fecha: MMXX
> ; n 1 y con n n – 1 es el antecesor de n
n , n + 1 es el sucesor de n
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Ejemplo1: Si n + 2 y n + 2 > 1, el antecesor de n + 2 es:
Solución: n + 2 – 1 = n + 1
Ejemplo 2: Si 3n – 1 , el sucesor de 3n – 1 será:
Solución: 3n – 1 + 1 = 3n
Los naturales se dividen en dos subconjuntos: Pares e Impares.
Números naturales pares: son todos aquellos terminados en los dígitos 0, 2, 4, 6 u 8.
Ejemplo: 2, 126, 1534, etc.
Luego: Si n entonces 2·n es par
Números naturales pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . }
Números naturales impares: son todos aquellos terminados en 1, 3, 5, 7, o 9.
Ejemplo: 17, 33, 99, 131, 3405, etc.
Luego: Si n entonces 2n – 1 es impar
Números naturales impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,. . .}
Los números Naturales se operan a través de la Adición y Multiplicación. Recordemos que no
siempre es posible restar y dividir en este conjunto.
La Adición y multiplicación cumplen con ciertas propiedades, tales como la
Conmutatividad, Asociatividad, Neutro, Clausura y Distributividad de la multiplicación con
respecto a la suma. Gracias a estas propiedades es posible trabajar los números naturales
para resolver algunos problemas de la vida cotidiana.
Propiedades de la Adición en
Clausura : (a + b) a,b
Asociatividad : (a + b) + c = a + (b + c) , a,b c
Conmutatividad : a + b = b + a a,b
Cancelación : a + b = a + c b = c , a,b c
Propiedades de la Multiplicación en
Clausura : (a · b) a,b
Asociatividad : (a · b) · c = a · (b · c) a,b, c
Conmutatividad : a · b = b · a a,b
Cancelación : a · b = a · c b = c a,b, c
Elemento neutro : ! / a = a a
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3
Si a este conjunto le agregamos el cero, entonces lo escribimos como 0 ={0, 1, 2, 3, 4,...}
llamado “conjunto de los números cardinales”.
Este conjunto tiene las mismas características que el conjunto de los naturales.
En 0 se verifica además la propiedad del elemento neutro para la adición
Nota: Cabe mencionar que algunos autores incluyen el 0 en los números naturales, es decir,
llaman números naturales a los que nosotros llamamos números cardinales.
Esto es cuestión de convención y no existe contradicción entre ambas definiciones.
Los números Naturales los encontramos en diversos tipos de información como por
ejemplo las cifras de muerte en un terremoto, en las compras del supermercado, cuando
pagamos las cuentas, al pagar el pasaje en una micro, entre otros casos. Es por esto que
necesitamos saber siempre reconocer con que tipo de información (o números) estamos
trabajando para poder comprender mejor las cosas.
Números Primos: Son aquellos números naturales distinto de 1, que solamente poseen dos
divisores, el 1 y el mismo número.
Ejemplo: El 2, éste se puede dividir por 1 y por 2 solamente.
/ /
: 2 1 2
0
/ /
: 2 2 1
0
El conjunto de los 11 primeros números primos es: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}
Números Compuestos: Son aquellos que tienen 3 o más divisores distintos.
Ejemplo: El 4, sus divisores son 1, 2 y 4.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números naturales, es el menor de sus múltiplos
comunes. El mínimo común múltiplo de varios números, a,b,c, se designa abreviadamente
así: MCM (a,b,c).
Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números basta con buscar los
múltiplos de cada número hasta encontrar uno común a todos, o se puede recurrir a su
descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos que intervengan en las
descomposiciones de los distintos números elevado a la máxima potencia con que aparezca.
Como ejercicio comprobar de ambas formas que el MCM (3, 4,6) es 12.
Ejemplo:
Dos personas deben embaldosar (cada una) una terraza cuadrada de igual área. La
primera usa baldosas de 3 cm. de lado, y la segunda usa baldosas de 4 cm. de lado, si se les
pide que el área sea mínima, ¿Cuál es el área de las terrazas y quien ocupa menos baldosas?
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Solución: Para calcular el área de la superficie debemos calcular el MCM de las áreas de las
baldosas:
El área de la baldosa de 3 cm. de lado es igual a 9 cm2, y el área de la baldosa de 4 cm de
lado es 16 cm2.
Luego debemos buscar m.c.m (9,16) que es 144, entonces la menor área posible es de 144
cm.2. Entonces el área de las terrazas es de 144cm
2.
La situación la podemos graficar del siguiente modo:
Es evidente que la segunda persona usa menos baldosas que la primera, ya que al
ser las baldosas más grandes cubren mayor área.
El Máximo común divisor de dos o más números naturales, es el mayor de sus
divisores comunes. El máximo común divisor de varios números a, b, c, se designa
abreviadamente así: MCD. (a,b,c).
Para obtener el máximo común divisor de dos o más números basta con buscar los
divisores de cada número y buscar los comunes para finalmente elegir el mas grande, o se
puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos
comunes a todas las descomposiciones de los distintos números, elevado a la mínima
potencia con que aparezca. El máximo común divisor de dos números también se puede
obtener mediante el algoritmo de Euclides.
Como ejercicio comprobar que MCD (12, 28, 32) es 4.
Ejemplo:
Dividir una lamina de 24cm∙36cm en cuadrados iguales, tales que esos
cuadrados sean los más grandes posibles.
Solución: En este caso para buscar el lado de los cuadrados es necesario buscar el
MCD (24,36) que es 12. La situación la podríamos graficar de la siguiente forma:
Luego la lamina la podríamos dividir en 6 cuadrados iguales de lado 12cm.
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NÚMEROS ENTEROS
Los números Enteros surgen como una necesidad de llenar algunos vacíos que
existían con los Naturales, como por ejemplo poder expresar la perdida de dinero en un
negocio, la temperatura en la Antártica, entre otras cosas.
El conjunto de los números Enteros se denomina por ; es un conjunto ordenado e infinito,
sin primer elemento, se expresa por:
= {...,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Observe que los enteros se forman por: = - {0}
Además = .
OPERACIONES EN LOS NÚMEROS ENTEROS
ADICIÓN
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: Si tienen el mismo
signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los
sumandos:
3 + 9 = 12
-3 + -9 = -12
Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se
restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
Ejemplo:
8 + (-3) = 8 - 3 = 5
-8 + 3 = - (8 - 3) = -5
14 + (-14) = 0
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN
Clausura : (a + b) a,b
Asociatividad : (a + b) + c = a + (b + c) a,b, c
Conmutatividad : a + b = b + a a,b
Elemento neutro: 1 1 1!ε ε = ε a a a a
El elemento neutro para la adición de los enteros es el 0 ( 1ε = 0)
Elemento inverso: !( ) ( ) = ( ) 0 a a a a a a
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MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el
resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el
signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo
de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se
sintetiza del siguiente modo:
+ · + = + + · – = –
– · – = + – · + = –
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN
Clausura : (a · b) a,b
Asociatividad : (a · b) · c = a · (b · c) a, b, c
Conmutatividad : a · b = b · a a,b
Cancelación : a · b = a · c b = c , a,b c
Elemento neutro : ! a = a a
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Si D : d = c, entonces D = d c + r
r //
Donde:
- D es el dividendo
- d es el divisor
- C es el cuociente
- r es el resto
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Cuando encuentras un cálculo que implique varias operaciones tú debes seguir el
siguiente orden:
(1) Resolver los paréntesis.
(2) Potencias.
(3) Multiplicaciones y/o divisiones, de izquierda a derecha.
(4) Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones
internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números
enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
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Ejemplo:
Del uso de los números Enteros: Un comerciante compra 10 kg de pan en $5000.
Si el señor vende después cada kilo en $450, ¿Cuánto fue la ganancia del comerciante?
Desarrollo: $450 · 10 = $4500, es lo que el comerciante recaudó con los 10 Kg. de pan.
Para calcular la ganancia debemos restar el precio de venta con el precio de
compra:
$4500 – $5000 = – $500
El signo (–) nos indica que en realidad no hubo ganancia, sino perdida, que fue de $500.
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible:
POR CUANDO
2 Termina en cifra par
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de tres
4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son ceros
5 La última cifra es cero o cinco
6 Es divisible por dos y por tres a la vez
7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las
cifras restantes es múltiplo de siete
8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son ceros
9 La suma de sus cifras es un múltiplo de nueve
10 Termina en cero
RELACIÓN DE ORDEN EN Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que: i) a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.
ii) a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.
iii) a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
iv) a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).
VALOR ABSOLUTO
Llamamos valor absoluto de un número a la distancia de este al cero.
Por ejemplo el valor absoluto de 5 es 5, pues está a 5 unidades del cero, y de la misma
forma el valor absoluto de –12 es 12, porque está a 12 unidades del cero.
Representación gráfica
1 –2 3 2 0 –1 –3
8
8
Lo anterior se generaliza así:
,
| | , si
, si
a si a 0
a 0 a 0
a a 0
Esto quiere decir que el valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.
Observación: Los conceptos, vistos en los , de número par, impar, antecesor y sucesor se
extienden a los de la misma forma.
Ejemplo: 3 – 5 = – 2 = 2
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS En estos ejercicios de acceso obligatorio a competencias matemáticas; podrás ejercitar los
contenidos anteriormente visto; te recuerdo que debe tomar el tiempo para saber cuánto te
demoras en contestar.
1. –3 + (–307) =
Hora de inicio: ____________
A) 310
B) 304
C) 614
D) –304
E) –310
2. (1 + 5) – 32 + 8 : 2 ∙ 2 =
A) 15
B) 5
C) 1
D) –1
E) –5
3. –7 + (–20 : 4) =
A) –2
B) –12
C) 2
D) 12
E) 35
9
9
4. Al calcular: 6 + (–10) · 2 – (–3) + (–5) · (–1) – (–2)2. Se obtiene:
A) 10
B) 3
C) –2
D) –7
E) –10
5. Si al entero (–3) le restamos el entero (–5), resulta
A) –2
B) 2
C) 8
D) –8
E) Ninguno de los valores anteriores.
6. ¿Cuál es el valor de 2 · –2 + 5 · –4 + 3?
A) 4
B) –1
C) –6
D) –21
E) Ninguna de las anteriores.
7. Sabiendo que m y n son números enteros y que m2∙n es un número negativo,
¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre un número positivo?
I) m2 ∙ n
II) m2 – n
III) m2 + n
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
8. Si n es un número natural, entonces el sucesor del sucesor de n está representado
por
A) n + 4
B) 2n + 2
C) n + 2
D) n + 1
E) 2n + 1
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9. La diferencia de dos números es 2n. Si al menor se le suma n, ¿cuánto hay que
restarle al mayor para que ambos números sean iguales?
A) –n
B) 3n
C) 2n
D) n
E) 0
10. La suma de 3 pares consecutivos es 72. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el
menor?
A) 2
B) 4
C) 22
D) 24
E) 26
11. Tres números impares consecutivos suman 117. ¿Cuál es el menor?
A) 13
B) 37
C) 39
D) 41
E) 43
12. Los factores primos de 18 son
A) 3
B) 2, 3
C) 1, 2, 3
D) 1, 9, 18
E) 1, 2, 3, 6, 9, 18
13. ¿Qué número natural cumple con la siguiente relación? m ∙ m = m + m
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
14. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado un número primo?
I) 2 ∙ 5 + 5 + 2
II) 3 ∙ 5 + 5 + 2
III) 4 ∙ 45 + 5 + 2
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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15. Si b es múltiplo de a, entonces el mínimo común múltiplo entre a y b es: (a# 1)
A) a
B) b
C) a · b
D) b – a
E) a + b
16. En las siguientes igualdades los números n, p , q y r son enteros positivos. ¿Cuál
de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q?
A) p = nq
B) q = np
C) p = nq + r
D) q = np + r
E) p 1
=n+q q
17. Si 64 es un divisor de n, ¿cuál de los siguientes números es necesariamente un
divisor de n?
A) 16
B) 36
C) 40
D) 128
E) 256
18. Si la suma de los divisores de 3 es x, entonces la suma de los divisores de 12 es:
A) 3x
B) 4x
C) 6x
D) 7x
E) 8x
19. A es el conjunto formado por seis números enteros consecutivos negativos cuya suma
es –87. ¿Cuál de los enteros siguientes no es elemento de A?
A) –11
B) –12
C) –13
D) –14
E) –15
20. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por
A) 3
B) 5
C) 6
D) 9
E) 15
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21. La suma de dos múltiplos consecutivos de 6 es 222. Entonces, el sucesor del múltiplo
mayor es
A) 120
B) 117
C) 115
D) 114
E) 109
22. ¿Cuál de los siguientes valores no es un cuadrado perfecto?
A) 0,01
B) 0,04
C) 0,09
D) 0,10
E) 0,16
23. Si x es igual a la suma de los tres primeros números naturales, entonces x es igual a
A) 6
B) 9
C) 10
D) 14
E) 15
24. La suma de dos números impares es:
I) Siempre divisible por 2
II) Siempre divisible por 3
III) Siempre divisible por 4
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
25. Si a es un número par y b uno impar. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es
(son) siempre un número par?
I) 2a + b + 1
II) a + b + 1
III) a + 2b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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26. La suma de cinco números pares consecutivos es igual a cero. ¿A cuánto es igual el
cuadrado del número menor?
A) 16
B) 9
C) 4
D) 1
E) 0
27. Si el sucesor de n es n +1 , entonces el sucesor de 3(n – 5) es
A) 3 ( n – 4 )
B) 3 ( n – 6 )
C) 3n – 4
D) 3n – 16
E) 3n – 14
28. Si n – 1 es un número par, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es
(son) número(s) impar (es)?
I) n + 2 II) 3n + 1 III) 2n + 1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
29. Si a es un número múltiplo de 3 y b es un número múltiplo de 6, entonces ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) a + b es siempre un número impar.
II) a · b es un número par.
III) ( b : a ) es siempre múltiplo de 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre el número 215 – 25 es (son)
verdadera(s)?
I) El número es divisible por 3
II) El número es producto de tres números enteros consecutivos
III) El número es divisible por 210
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
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31. El mínimo común múltiplo entre 2a2 ; 3a4 ; 4a3 es :
A) 12a4
B) 12a12
C) 12ª
D) 12a9
E) 24a12
32. Si n es un número primo y m un número natural. De las proposiciones:
I) El mínimo común múltiplo entre n y m es n · m
II) El máximo común divisor entre n y m es n.
III) El producto de n y m no es necesariamente un número primo.
Es (son) siempre verdadera(s)?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
33. Si A = 23 32 y B = 22 33 5, entonces el m.c.m. y M.C.D. son respectivamente
A) 22 32 y 23 33 5
B) 23 33 5 y 22 32
C) 2 3 5 y 23 33 5
D) 23 33 5 y 22 33
E) 22 33 y 23 33 5
34. Si A = 23 · 32 , B = 2 · 32 · 52 , C = 23 · 3 · 5. Entonces el producto entre el
mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre A, B y C es :
A) 24 · 33 · 53
B) 23 · 32 · 52
C) 24 · 33 · 52
D) 22 · 3 · 52
E) 24 · 33 · 5
35. Tres ciclistas parten juntos en una carrera en donde la pista es circular. Si el primero
tarda 120 segundos en dar vuelta a la pista, el segundo tarda 140 y el tercero 180,
¿en cuántos segundos pasarán nuevamente, los tres juntos, por la línea de partida?
A) 2520
B) 1260
C) 630
D) 252
E) 210
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36. Tres personas desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolates,
respectivamente, entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba
un número exacto de libros, de juguetes y de chocolates. ¿Cuál es el mayor número
de niños que pueden beneficiarse de esa forma?
A) 20
B) 45
C) 60
D) 90
E) 120
37. La temperatura mínima de un día en la ciudad de Santiago fue de tres grados Celsius
bajo cero y la máxima de nueve grados Celsius sobre cero. ¿Cuál fue la variación de
la temperatura ese día en Santiago?
A) 13° Celsius.
B) 12° Celsius.
C) 6° Celsius.
D) –6° Celsius.
E) –13° Celsius.
38. Si n es entero positivo cualquiera, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) a tres múltiplos consecutivos del entero k, siendo k ≠ 0 y k ≠ 1?
I) kn, kn + 1, kn + 2
II) kn, kn + k + 1, kn + k + 2
III) kn + k, kn + 2k, kn + 3k
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
39. Si m = –7, entonces m – |m| + |–m| es igual a
A) –21
B) –7
C) 7
D) 21
E) 14
40. Si m < n, entonces |m – n| es equivalente a
A) m + n
B) –m – n
C) n – m
D) m – n
E) 0
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41. Si a = |–5|, b = (–3)2 , c = –|–5| y d = –32 , entonces | a + b | – | c + d | =
A) 0
B) 10
C) 28
D) –10
E) –28
42. Si x < 0. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) | x | = x
II) –x > 0
III) | –x | = –x
IV) | x | = x2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo II y III
D) Sólo I, II y III
E) Sólo II, III y IV
43. Si a, b , a < b. Entonces la expresión 2| a – b | – 3| b – a | es:
A) 5a + 5b
B) 2a + b
C) b – a
D) a – b
E) No se puede calcular.
44. Si |x| representa el valor absoluto de x, con a y b dos números enteros distintos,
entonces | a – b | – | b – a | =
A) 2a – 2b
B) 2b – 2a
C) –2a
D) –2b
E) 0
45. Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b. ¿Cuál(es) de las siguientes
relaciones es (son) verdadera(s)?
I) b – a = 1
II) a : b = –1
III) a · b = a2 + 1
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
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46. Sean a, b, c, d . Si a < b , d > c y b < 0 < c , entonces la recta numérica que
mejor representa estas relaciones es
47. Si a < 0 y a > –b, entonces se puede afirmar que siempre es(son) verdadera(s)
I) –a > – b
II) b < 0
III) –a < b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
48. ¿Cuál(es) de las relaciones siguientes es (son) FALSAS?
I) 2 3
3 4 II)
4 3
5 4 III)
4 4
5 5
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
b a 0 c d
A)
a b 0 c d
B)
a b 0 d c
C)
a 0 b c d
D)
b 0 a c d
E)
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49. Sean a y b dos números positivos. Se puede determinar que b es un divisor de 2a si:
(1) b es un múltiplo de a
(2) 2a + 2 es un múltiplo de b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
50. Se puede determinar si n es un número natural par si:
(1) m y n son naturales consecutivos
(2) m es impar
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Hora de termino:_____________
En este cuadro indica las respuestas a las interrogantes planteadas:
Obs: Una vez terminada esta guía de ejercicio, envía tus respuestas a este email:
[email protected]; donde se te enviaran las respuestas de los ejercicios. Con el fin de que
revises tus respuestas y tu puntaje obtenido.
i Libro Preuniversitario Preutech; autores Aguayo / Cartes (2015); se prohíbe
su reproducción parcial o total. Sin permiso de los autores. LEY N° 17.336.
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