UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
CAMPUS LOS ÁNGELES
ESCUELA DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE ERRORES FRECUENTES EN POTENCIAS Y RAÍCES EN
ESTUDIANTES DE SEGUNDO AÑO MEDIO DE LOS ÁNGELES
Seminario de Título para optar al Grado Académico de Licenciado en Educación y al Título
Profesional de Profesor de Matemática y Educación Tecnológica
Seminaristas: César Alejandro Tapia Gatica
Lindsay Geraldinne Ulsen Barra
Profesor Guía: Dr. Cristian Gamaliel Pérez Toledo
Los Ángeles, Marzo 2017
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
CAMPUS LOS ÁNGELES
ESCUELA DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE ERRORES FRECUENTES EN POTENCIAS Y RAÍCES EN
ESTUDIANTES DE SEGUNDO AÑO MEDIO DE LOS ÁNGELES
Seminario de Título para optar al Grado Académico de Licenciado en Educación y al Título
Profesional de Profesor de Matemática y Educación Tecnológica
Seminaristas: César Alejandro Tapia Gatica
Lindsay Geraldinne Ulsen Barra
Comisión Evaluadora:
Sr. Cristian Gamaliel Pérez Toledo, Dr. en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería
Matemática, Universidad de Concepción.
Sr. Victor Jara Sánchez, Mag. en Estadística, Universidad de Concepción.
Sr. Sixto Martínez Hernández, Mag. en Estadística, Universidad de Concepción.
Los Ángeles, Marzo 2017
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de segundo año medio de Los Ángeles 2017
Resumen
La presente investigación tiene como propósito identificar y analizar los errores más
frecuentes en el contenido de potencias y raíces, que cometen los estudiantes de segundo
año medio de colegios municipales de la ciudad de Los Ángeles, Chile. Para esto, se
considera una muestra compuesta por 168 estudiantes de dos colegios con distinta
modalidad escolar, un colegio con modalidad científico – humanista y un colegio con
modalidad técnico – profesional.
Durante el segundo semestre del año 2016, a la muestra se le aplica un instrumento
para la recolección de datos, diseñado por los autores de esta investigación, donde se hace
una recopilación de ejercicios obtenidos de la PSU de Matemática de años anteriores y
validado por un docente experto de la Universidad de Concepción. Tras el análisis
estadístico de los resultados, se puede observar que existe una gran cantidad de errores en
el contenido de potencias como también en el contenido de raíces. Al mismo tiempo,
tomando en cuenta las modalidades de los colegios se puede inferir que, si bien se cometen
aproximadamente la misma cantidad de errores en los dos establecimientos, el colegio
científico– humanista presenta más respuestas correctas, en comparación con el colegio
técnico– profesional que tiene más respuestas omitidas.
Después del análisis, se aprecia la gran cantidad de errores que cometen los estudiantes
en el contenido de potencias y raíces, y que se deben a la carencia de conocimientos
previos que han trasladado a este contenido.
Palabras Claves: Errores en Matemática, Potencias, Raíces, Obstáculos, Dificultades,
Modalidad, Investigación Educativa.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de segundo año medio de Los Ángeles 2017
Abstract
The present research aims to identify and analyze the most frequent errors in the
content of powers and roots, committed by high school students of second grade in the city
of Los Angeles, Chile. For this, it is considered a sample composed by 168 students of two
high schools with different school modality, a college with scientific – humanistic modality
and a college with technical – professional modality.
To the sample is applied an instrument during the second half of 2016, the instrument
used for data collection is a test designed by the authors of this research, where made is a
compilation of exercises obtained from the PSU of Mathematics for years and validated by
an expert professor at the University of Concepcion. After the statistical analysis, it is
possible to observe that there is a great amount of errors in the content of powers as well
as in the content of roots. At the same time, taking into account the modalities of the
schools can be inferred that although the same amount of errors are committed in both
establishments, the scientific – humanist college presents more correct answers, compared
to the professional technical college that has more answers omitted.
After the analysis, it is reflected the great number of mistakes made by students that
are part of the process of the teaching – learning process of the content of powers and
roots and that are due to the lack of previous knowledge that have been transferred to
these contents.
Key words: Mistakes in Mathematics, Powers, Roots, Obstacles, Difficulties, Modality,
Educational Research.
Índice General
Dedicatoria ...................................................................................................................... 1
Agradecimientos ............................................................................................................. 2
Introducción .................................................................................................................... 4
CAPÍTULO 1 .................................................................................................................. 6
Planteamiento del problema .................................................................................... 6
1.1 Definición del tema ............................................................................................ 6
1.2 Planteamiento del problema .............................................................................. 7
1.3 Justificación de la investigación .......................................................................... 8
1.4 Viabilidad de la investigación ............................................................................. 8
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................. 9
Propuesta de Investigación ....................................................................................... 9
2.1 Objetivo General ................................................................................................ 9
2.2 Objetivos Específicos .......................................................................................... 9
2.3 Preguntas de Investigación ............................................................................... 10
2.4 Hipótesis de Investigación ................................................................................ 11
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................ 12
Marco Teórico............................................................................................................ 12
3.1 Antecedentes previos ...................................................................................... 12
3.2 Investigación educativa .................................................................................... 14
3.3 Origen del concepto de error............................................................................ 15
3.4 ¿Por qué estudiar el error en matemática? ....................................................... 16
3.5 Definición de error ........................................................................................... 16
3.6 Dificultades, obstáculos y su relación con el error ............................................. 18
3.6.1 Relación entre dificultad, obstáculo y error ..................................................... 18
3.6.2 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas .......................................... 18
3.6.3 Obstáculos en la educación matemática .......................................................... 20
3.7 Causas y características de los errores en matemática ...................................... 22
3.8 Los errores en el aprendizaje de potencias y raíces ........................................... 24
3.9 Situaciones generadoras de errores .................................................................. 26
3.10 Errores frecuentes encontrados en potencias y raíces según los planes y
programas del Ministerio de Educación ......................................................................... 27
3.10.1 Errores frecuentes en potencias ....................................................................... 27
3.10.2 Errores frecuentes en raíces ............................................................................. 28
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................ 30
Marco Metodológico ................................................................................................ 30
4.1 Tipo de investigación ....................................................................................... 30
4.2 Diseño de investigación .................................................................................... 30
4.3 Población y muestra......................................................................................... 31
4.4 Variables de la investigación ............................................................................ 31
4.5 Descripción de las variables.............................................................................. 32
4.6 Descripción y características del instrumento ................................................... 33
4.7 Análisis de los ejercicios de la prueba ............................................................... 34
4.7.1 Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio ........................ 34
4.7.2 Clasificación de las situaciones generadoras de errores correspondientes a
cada ejercicio ................................................................................................................... 36
4.8 Limitaciones de la investigación ....................................................................... 37
CAPÍTULO 5 ................................................................................................................ 38
Análisis de datos y verificación de hipótesis ........................................................ 38
5.1 Análisis de los datos ......................................................................................... 38
5.2 Plan de análisis estadístico ............................................................................... 42
5.3 Análisis de las hipótesis de investigación .......................................................... 43
CAPÍTULO 6 ................................................................................................................ 54
Resultados, discusiones y conclusiones ................................................................ 54
6.1 Resultado de los alumnos ................................................................................ 54
6.2 Discusión de resultados .................................................................................... 60
6.3 Conclusiones .................................................................................................... 62
6.4 Sugerencias ...................................................................................................... 66
REFERENCIAS ............................................................................................................. 67
ANEXOS....................................................................................................................... 70
Anexo 1: Ejemplar del instrumento utilizado en esa investigación .................................. 71
Anexo 2: Planes y programas del Ministerio de Educación en el contenido de Potencias y
Raíces.............................................................................................................................. 77
Anexo 2.1: Potencias ....................................................................................................... 77
Anexo 2.2: Raíces ............................................................................................................. 80
Anexo 3: Tabulaciones ................................................................................................... 83
Anexo 3.1: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del
Establecimiento A (CH) ............................................................................................ 84
Anexo 3.2: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del
Establecimiento B (TP) ............................................................................................. 86
Anexo 4: Pruebas de normalidad y pruebas de hipótesis ................................................ 88
Anexo 4.1: Hipótesis 1 ............................................................................................. 88
Anexo 4.2: Hipótesis 2 ............................................................................................. 90
Anexo 4.3: Hipótesis 3 ............................................................................................. 92
Anexo 4.4: Hipótesis 4 ............................................................................................. 94
Anexo 4.5: Hipótesis 5 ............................................................................................. 95
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
1
Dedicatoria
Seminario de título dedicado a todas las personas que nunca dejaron de creer en mí y me
brindaron su apoyo hasta el final de mi carrera.
Dedicado a mis padres y hermano, por el amor y dedicación hacia mí y así de esta forma
lograr mi sueño de ser profesor.
¡Gracias por todo!
César Alejandro Tapia Gatica
Seminario de título dedicado a cada una de las personas que mantuvieron su confianza en
mí y creyeron que llegaría a este momento final de mi carrera.
Se lo dedico a mis hijas Antonia y Javiera, que fueron la razón por la que nunca me rendí y
me motivaron a seguir adelante cada día.
Gracias a todos.
Lindsay Geraldinne Ulsen Barra
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
2
Agradecimientos
“La educación es el arma más poderosa que puedes usar para cambiar el mundo”.
(Nelson Mandela)
En primer lugar quiero agradecer a mi familia que durante todos los años de estudio
fueron mi gran apoyo y un pilar fundamental en mi vida, a mis padres que gracias a su
esfuerzo y perseverancia me formaron como la persona que soy hoy en día, por la paciencia
que han tenido conmigo y que nunca dejaron de creer en mí, los amos.
Agradecer también a mi hermano Luis Cristóbal, por estar en conmigo en todas las
situaciones, jamás me dijo que no y siempre que pudo me ayudo en todo ámbito, más que un
hermano eres el amigo de toda mi vida, te quiero mucho.
A mis amigos y compañeros que hice durante este proceso, gracias por darme siempre las
mejores vibras, apoyo y el optimismo para nunca darme por vencido, sin importar la
adversidad que existiera, sin lugar a duda son los mejores.
Al profesor Sr. Cristian Pérez, por sus innumerables consejos, apoyo, paciencia y
dedicación que tuvo en esta presente investigación. Estaré siempre agradecido de todo
aquello que nos enseño, por su disposición y dedicación para guiar el desarrollo de este
seminario.
También a todas las personas que conocí durante mi última etapa como estudiante y a mi
compañera de seminario Lindsay Ulsen por sus consejos, dedicación y apoyo en la realización
de esta investigación.
¡MUCHAS GRACIAS!
César Alejandro Tapia Gatica
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
3
“Considerar el error no como una falta o una insuficiencia sino como una parte coherente de
un proceso, ayuda al alumno a tomar conciencia de que puede aprender de sus errores y a
nosotros mismos, los docentes, a aprender mucho de los errores de nuestros alumnos”.
(Roland Charnay)
En primer lugar, agradezco a Dios por permitirme llegar a esta etapa de mi vida y por
ayudarme a superar todas las dificultades que tuve durante todo este proceso.
A mi querida madre, que me enseñó que para lograr un objetivo hay que ser perseverante
y que desde el cielo me dio las fuerzas para nunca bajar los brazos.
Agradezco a un gran hombre que me ha apoyado durante todos estos años, creyendo en
mis capacidades, brindándome palabras de aliento en mis momentos de debilidad y flaquezas
y por tenerme toda la paciencia del mundo. Gracias por tu amor y apoyo incondicional.
A mi querida hermana Nayareth, que en todo momento mantuvo la confianza en mí y
siempre estuvo presente en cada momento que necesité de alguien para seguir avanzando en
todo el transcurso de mi carrera. Siempre estaré agradecida por todo lo que hiciste por mí.
A toda mi familia y amigos que tuvieron fe en mí y en mis aptitudes para poder llegar a
este momento de mi carrera.
A mi compañero de tesis, César Tapia. Gracias por apoyarme, soportar mis retos y en
ocasiones mi mal humor.
A mi profesor Cristian Pérez, por toda su paciencia y dedicación que siempre tuvo, por su
apoyo, consejos y críticas que hicieron posible desarrollar y terminar este trabajo. Muchas
gracias por todo.
Lindsay Geraldinne Ulsen Barra
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
4
Introducción
La matemática está presente durante todo el proceso de educación escolar chileno, y es
necesario aprenderla de manera correcta, para poder ir superando las dificultades que se
presentan durante su aprendizaje y no convertirlas en trabas que luego se reproducen en
forma de errores.
En la actualidad, las deficiencias que presentan los estudiantes en matemática se pueden
ver reflejadas en todos los niveles de escolaridad, como por ejemplo en los resultados de la
prueba SIMCE, prueba PISA y en la PSU, que son deficientes. De esta manera, año tras año el
Ministerio de Educación de Chile se enfoca en modificar y renovar los planes y programas de
estudio para apoyar al profesor en la mejora de las estrategias de enseñanza, contribuyendo
así a un mayor aprendizaje de los estudiantes.
Muchos son los factores que influyen en la reproducción de los errores que los estudiantes
cometen en matemática, sin embargo, esta investigación se centra en la identificación y
análisis de los errores más frecuentes en el contenido de potencias y raíces que se derivan de
los obstáculos epistemológicos que enfrentan los estudiantes.
La investigación está organizada en seis capítulos. En el primero se presenta el
planteamiento del problema, donde se define, se plantea, se justifica y se estudia la
factibilidad del problema de manera específica. El segundo capítulo desarrolla la propuesta de
investigación, seguida del marco teórico, donde se concentran los antecedentes previos, el
origen del error y los errores que se presentan en el aprendizaje del contenido de potencias y
raíces, llegando a determinar las situaciones que generan estos errores. En el capítulo cuatro,
se describe el marco metodológico en el que se inserta la investigación y el instrumento
utilizado para la recolección de los datos. En el siguiente capítulo se analizan los datos y se
verifican las hipótesis. Por último, en el capítulo seis se presentan los resultados, discusiones y
conclusiones que se obtienen de la investigación y las sugerencias para posteriores estudios.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
5
Se invita entonces al lector a conocer en detalle cuáles son los errores en los que incurren
los estudiantes y los obstáculos que los generan. Se espera que este estudio sea un aporte
para los colegios de la ciudad de Los Ángeles y los docentes, ayudándolos en el
perfeccionamiento de las estrategias de aprendizaje y así mejorar el aprendizaje de los
estudiantes en el contenido de potencias y raíces.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
6
Capítulo 1
Planteamiento del problema
1.1 Definición del tema
En la presente investigación se identifican los errores más frecuentes, en ejercicios de los
contenidos de potencias y raíces, que cometen los estudiantes de segundo año medio de
colegios municipalizados de la ciudad de Los Ángeles. La importancia de poder detectar los
errores que cometen los alumnos en potencias y raíces, es de gran ayuda al profesor para
poder realizar clases que incorporen metodologías constructivistas en la enseñanza de estos
contenidos y diseñar estrategias para lograr mejores aprendizajes haciendo hincapié en los
aspectos que generan más dificultades.
Este trabajo se inserta en el área de la investigación educativa, es decir, su finalidad es
conocer las dificultades y obstáculos que se originan en el aprendizaje de las matemáticas,
para así poder tomar decisiones correctas con respecto a las metodologías de enseñanza que
se están utilizando.
Para recoger la información, este estudio rediseña una prueba que contiene ejercicios de
potencias y raíces, para luego relacionar sus resultados con la variable modalidad de
enseñanza secundaria.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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1.2 Planteamiento del problema
En la actualidad la matemática se ha vuelto imprescindible para todas las personas, ya que
es la principal herramienta utilizada para el progreso de la ciencia y la tecnología, y además
consciente o inconscientemente es utilizada para resolver una gran variedad de problemas de
la vida diaria. Por esta razón es necesario conocer y aprender esta disciplina de manera
correcta, para en el futuro aplicarla adecuadamente.
El poder adquirir conocimientos matemáticos es parte de los objetivos de la educación en
Chile, sin embargo, es importante tener en cuenta las altas deficiencias en los resultados que
obtienen los alumnos en la asignatura de matemáticas. Por ejemplo, según el programa
internacional para la evaluación de estudiantes, en la prueba PISA el 52% de los estudiantes
de Chile tuvo un bajo rendimiento en matemáticas. Otro dato interesante entregado en dicho
informe indica que más de 130 mil estudiantes chilenos de 15 años tuvieron un bajo
rendimiento en matemáticas en Pisa 2012. (OCDE, 2012)
En este contexto, la gran mayoría de los estudiantes cometen errores reiteradamente en
el contenido de potencias y raíces, los cuales son síntomas de dificultades que han tenido
durante el transcurso de su aprendizaje. Estas complicaciones se deben a una falta de
comprensión de conceptos y a la manera de enfrentarse al álgebra, memorizando las reglas y
procedimientos de cálculos sin haberlos aprendido y luego los aplican, llevándolos a cometer
errores. Pero ¿qué errores son en los que más incurren los alumnos?, ¿qué factores son los
que llevan a cometer más errores?
Por todo lo anterior, es importante y necesario conocer cuáles son las dificultades y
errores que tienen los estudiantes en el tema de potencia y raíces. Resolver esta problemática
permitirá entregar a los profesores información útil para mejorar los aprendizajes de los
estudiantes.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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1.3 Justificación de la investigación
Dada la problemática que motiva esta investigación, es decir, la falta de información
acerca de los errores que presentan los estudiantes en potencias y raíces, su resolución
permitirá conocer con mayor profundidad los errores que cometen los estudiantes en este
contenido.
Además, el análisis de los errores cometidos en potencias y raíces ha sido escasamente
abordado, a pesar de que es un contenido en el que los estudiantes presentan un alto grado
de dificultad. En consecuencia, este aporte a la identificación de los errores en potencias y
raíces, contribuirá a la mejora de los procesos de enseñanza – aprendizaje.
1.4 Viabilidad de la investigación
La investigación realizada es viable, ya que se puede disponer de todos los recursos
necesarios para poder llevarla a cabo. Se cuenta con la autorización y colaboración de los
colegios, los que facilitan los cursos necesarios para aplicar la prueba utilizada para detectar
los errores en el contenido de potencias y raíces.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Capítulo 2
Propuesta de Investigación
2.1 Objetivo General
Para la investigación, se plantea el siguiente objetivo general:
“Identificar y analizar los errores cometidos por los alumnos de segundo año medio en los
contenidos de potencias y raíces de colegios con modalidad científico – humanista y técnico –
profesional”
2.2 Objetivos Específicos
1. Identificar y analizar los errores más frecuentes en alumnos de segundo año medio en el
contenido de potencias y raíces.
2. Identificar y analizar los errores más frecuentes en alumnos de colegios con distinta
modalidad escolar.
3. Identificar las situaciones generadoras de error que producen los errores más frecuentes
en alumnos de segundo año medio.
4. Identificar las situaciones generadoras de error que producen los errores más frecuentes
en estudiantes de colegios con distinta modalidad escolar.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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5. Comparar el promedio de errores cometidos en el contenido de potencias y raíces entre el
colegio CH y TP.
6. Conocer la relación entre los errores cometidos en los contenidos de potencias y raíces en
los alumnos de colegio CH y TP.
2.3 Preguntas de Investigación
Las preguntas que nos permitirán responder a los objetivos planteados en la investigación
propuesta son:
1. ¿Qué errores son los más frecuentes en potencias y raíces en los estudiantes de segundo
año medio?
2. ¿Qué errores son los más frecuentes en el contenido potencias y raíces en los estudiantes
de colegios con distinta modalidad escolar?
3. ¿Los errores identificados en el contenido de potencias y raíces, se dan por igual en
colegio CH y TP, o es más recurrente en alguno de ellos?
4. ¿Cuáles son las situaciones generadoras de error que originan los errores más recurrentes
en el contenido de potencias y raíces?
5. ¿Cuáles son las situaciones generadoras de error que originan los errores más frecuentes
en el contenido de potencias y raíces en los estudiantes de colegios con distinta modalidad
escolar?
6. ¿Existe relación entre los errores que se presentan en el contenido de potencias y los
errores que se presentan en el contenido de raíces en colegios con distinta modalidad
escolar?
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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2.4 Hipótesis de Investigación
Las siguientes hipótesis aluden a estudiantes de segundo año medio de un colegio con
modalidad científico – humanista y un colegio con modalidad técnico – profesional, ubicados
en la ciudad de Los Ángeles; considerando el contenido matemático ya aprendido de
potencias y raíces. Se usarán las siglas CH y TP para referirse a los establecimientos científico –
humanista y técnico – profesional, respectivamente.
Las mujeres cometen mayor cantidad promedio de errores que los hombres.
H1: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores que los alumnos
de colegio CH.
H2: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores en el contenido
de potencias que los alumnos de colegio CH.
H3: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores en el contenido
de raíces que los alumnos de colegio CH.
H4: Existe relación entre los errores cometidos en el contenido potencias y los errores
cometidos en el contenido de raíces en el colegio CH.
H5: Existe relación entre los errores cometidos en el contenido potencias y los errores
cometidos en el contenido de raíces en el colegio TP.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Capítulo 3
Marco Teórico
En este capítulo se abordan algunos antecedentes previos y los conceptos relacionados con
las variables consideradas en el estudio, para poder fundamentar la investigación.
3.1 Antecedentes previos
Existen muchas investigaciones que han tenido como propósito determinar errores, ya sea
a nivel de enseñanza básica o media, en una asignatura en particular o en un contenido
específico de una asignatura y otras que han tenido como objetivo determinar una
clasificación de los errores.
A continuación, se hace referencia a estudios que se han realizado en el ámbito de los
errores en matemática.
Una de las investigaciones que ha sido realizada en nuestro país es “Determinación de
errores frecuentes en el estudio de la matemática en la enseñanza media”, que es un trabajo
investigativo de la Universidad de Santiago de Chile, Reyes (2006). Este trabajo buscó
determinar aquellos errores que muestran los estudiantes en Matemática, para lo cual se
trabajó con muestras de estudiantes de segundo y cuarto año medio de dos colegios
particulares subvencionados de la Región Metropolitana de Santiago, aplicándose una prueba
de ejercicios con respuestas de selección múltiple para cada nivel, y analizando si los errores
manifestados en los estudiantes de Segundo Año son también cometidos por los estudiantes
de Cuarto Año. Su investigación muestra la posibilidad de construir instrumentos evaluativos
que permitan medir la aparición de errores en el trabajo de los alumnos en Matemática y
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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sugiere algunas estrategias para ciertas situaciones concretas, basándose en los aportes de
Socas (1997) y Mancera (1998). La conclusión más destacable de su trabajo, junto con el
probar la existencia de errores en los estudiantes evaluados, es que hay reiteración en Tercer
y Cuarto Año de los errores que se cometen en Primer y Segundo Año.
Otro trabajo que cabe destacar es “Obstáculos, dificultades y errores en el aprendizaje de
los números irracionales”, Herrera (2010). Esta investigación tuvo como objetivo describir los
problemas y conflictos cognitivos que surgen en estudiantes de tercer año de educación
media durante el aprendizaje de los números irracionales, conflictos interrelacionados con la
teoría propuesta por Socas (1997) sobre dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de
las matemáticas en la Educación Secundaria. Para ello, se recolectaron los cuadernos y las
evaluaciones escritas de los estudiantes, las que se utilizaron para diseñar un cuestionario y
luego aplicarlo. La autora destaca entre sus conclusiones que los errores presentados por los
estudiantes no se deben percibir como simples descuidos o equivocaciones ingenuas, ya que
surgen producto de dificultades y obstáculos, en donde alguno de los resultados que obtuvo
son los siguientes:
• Aprendizaje deficiente de los prerrequisitos.
• Aplicaciones de reglas o estrategias irrelevantes.
Finalmente, se tiene la investigación “Obstáculos didácticos en el aprendizaje de la
matemática y la formación de docentes”, Andrade (2011). Este trabajo tuvo como objetivo
reflexionar sobre los obstáculos didácticos en el aprendizaje de la matemática y como se
pueden evitar con una adecuada formación de docentes. El análisis de los errores más
frecuentes de los estudiantes permitió concluir que estos provienen de errores didácticos en
tres aspectos: metodológicos, curriculares y conceptuales.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Lo expuesto anteriormente deja en evidencia la presencia de los errores en el estudio de
las matemáticas, lo que sustenta esta investigación, ya que no se han encontrado estudios
específicos que determinen los errores frecuentes en potencias y raíces.
3.2 Investigación educativa
Para el desarrollo de esta investigación, es fundamental conocer el área en la que se
enmarca y su finalidad. De este modo, el presente trabajo se sitúa en el área de la
Investigación Educativa, que tiene como propósito mejorar la práctica cotidiana de los
docentes, elevando la calidad de la educación.
Según el Ministerio de Educación y Ciencia de España, Martínez (2007), la investigación
educativa nos ayuda a incrementar el conocimiento y a obtener conclusiones sobre la
realidad, los fenómenos y los hechos que observamos; nos ayuda a analizar la relación que se
establece entre los elementos que configuran una determinada situación educativa y, muchas
veces también, a tomar decisiones sobre como intervenir en dicha situación para mejorarla.
Las acciones que facilitan realizar la investigación educativa referente a esta investigación
son:
1. Dar respuesta a la necesidad de conocer y mejorar una determinada realidad educativa.
2. Formular juicios de valor sobre la situación estudiada (evaluación), y establecer las causas
que inciden sobre ella (diagnóstico). Esto facilita poder intervenir para potenciar,
modificar y mejorar las situaciones educativas.
En relación a estos dos puntos, Lucchini (2006) menciona que la investigación educativa
que se realiza para apoyar a los docentes en el ámbito de los errores que cometen los
alumnos al resolver ejercicios o responder una prueba, es una fuente inagotable de
conocimiento de las fallas que se cometen al enseñar, así también de los pasos que se pueden
seguir para remediar las dificultades que enfrentan los estudiantes.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Según Martínez (2007), la investigación educativa puede seguir distintas líneas de
investigación, siendo la línea comparativa la utilizada en este trabajo, ya que se utilizan
procedimientos cuantitativos, numéricos y estadísticos para cuantificar las características de
la realidad educativa estudiada.
3.3 Origen del concepto de error
A lo largo del tiempo se ha hablado del error. Ya Sócrates afirmaba que todos podemos
errar en el camino de la búsqueda de la verdad, y que es a través de la crítica racional y la
autocrítica como podemos examinar y corregir esos errores, para recuperar el rumbo hacia el
conocimiento genuino.
El filósofo Bachelard (1988) citado por Del Puerto, Minnaard y Seminara (2004), introdujo
el concepto de obstáculo epistemológico para explicar la aparición de los errores en la
conformación del conocimiento. El autor señala que los entorpecimientos y confusiones, que
causan estancamientos y retrocesos en el proceso del conocimiento, provienen de una
tendencia a la inercia, a la que da el nombre de obstáculo, el cual define como un
conocimiento adquirido deficientemente, el cual ofrece resistencia porque ha resultado eficaz
hasta el momento, pero cuando se pretende utilizar en un contexto o una situación
inadecuada, se produce el error.
Brousseau toma las ideas de Bachelard y las desarrolla en el ámbito específico del
aprendizaje de la matemática. En su trabajo diferencia tres obstáculos dependiendo de su
origen, los de origen psicogenético, que tienen relación con el estadio de desarrollo del
estudiante, de origen didáctico, relacionado con la metodología que caracterizó al estudiante,
y de origen epistemológico, relacionado con la dificultad intrínseca del concepto que se
aprende y que puede ser rastreado a lo largo del tiempo. En todos los casos se destaca el
carácter de resistentes que presentan estos obstáculos, y es necesaria su identificación, para
luego alcanzar los nuevos conocimientos a partir de su superación (Del Puerto, Minnaard y
Seminara, 2004). En Francia, los trabajos de Brousseau sobre los errores y sus grandes aportes
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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a la Didáctica de la Matemática, como la Teoría de las Situaciones Didácticas, le permitieron
difundir el concepto de “obstáculo epistemológico”, Brousseau (2009), al cual nos referiremos
más adelante, y que guarda directa relación con la aparición de errores.
3.4 ¿Por qué estudiar el error en matemática?
Los errores son una gran preocupación del docente, ya que durante el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas éstos aparecen constantemente, por lo que es
necesario poder diagnosticarlos, corregirlos y superarlos mediante actividades que
promuevan ejercitar las producciones de los errores. De forma general, la preocupación es la
permanencia y la masividad de los errores, ya que influyen en el aprendizaje de los diferentes
contenidos matemáticos y es necesario que los alumnos los puedan reconocer y superar para
lograr mejores aprendizajes.
En este sentido Piaget (1981) citado por Lucchini (2006), expresa que “es necesario
estudiar los errores de los alumnos y ver en ellos un medio de conocer su pensamiento
matemático; impulsar a la práctica del control personal y a la autocorrección”.
Por esta razón es necesario estudiar los errores en matemática, ya que su estudio está
directamente relacionado con la práctica docente, y por lo tanto resulta muy útil a los
profesores para diagnosticar y eliminar la presencia de ellos en los alumnos.
3.5 Definición de error
Un error es el resultado de algo equivocado o desacertado. Puede ser una acción, un
concepto o una cosa que no se realizó de manera correcta. En el proceso de aprendizaje de las
matemáticas, aparecen de manera permanente diferentes reproducciones de errores en los
alumnos que obstaculizan la enseñanza, manifestándose en forma de respuestas equivocadas.
Sin embargo, diversos autores han definido este concepto.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
17
El didacta Guy Brousseau (2009), plantea que un error es una declaración en primer lugar
“contradictoria” con un determinado contexto aceptado de antemano. El contexto es el de
una cultura o más generalmente el de una acción en curso. Es también “el resultado de un
procedimiento sistemático imperfecto que el alumno utiliza de modo consistente y con
confianza” Brousseau, Davis y Werner (1986) citado en Del Puerto, Minnaard y Seminara,
(2004). El error, además de ser un efecto de la ignorancia, de la inseguridad, del azar, puede
surgir como resultado de un conocimiento anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que
ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Brousseau (1997) citado en Franchi y Rincón
(2003).
Continuando con la idea de Brousseau, tenemos a Matz (1980), que indica que, los errores
son intentos razonables, pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva
situación, y Soccas (1997), afirma que el error debe ser considerado como la presencia en el
alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica
de conocimiento o una distracción.
Por otra parte, para Blanco (2003) y Mancera (1998), los errores forman parte del proceso
de construcción del conocimiento y pueden ser el motor que provoque un avance o un
cambio, transformándose así en un elemento constitutivo e innovador del proceso del
aprendizaje.
Por otro lado, Kilpatrick (1995) citado en Barquero y Segura (2004), afirma que, los errores
son datos objetivos que encontramos permanentemente en los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas; constituyen un elemento estable de dichos procesos”.
De acuerdo con la concepción de Brousseau (1983), el error no puede considerarse sólo
como la evidencia de la ignorancia, de la incertitud o del azar ya que éste puede ser producto
de un conocimiento anterior que en su momento le ayudó a resolver distintas situaciones
exitosamente pero ahora se revela falso o simplemente inadaptado; a estas concepciones el
autor las llama obstáculos.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
18
3.6 Dificultades, obstáculos y su relación con el error
Esta investigación tiene su fundamentación en la teoría propuesta por Socas (1997), la
teoría de obstáculos de Brousseau (1983), y los errores que se mencionan en el artículo
“Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que
ingresan a la universidad”, Pochulu (2005), de la Revista Iberoamericana de Educación.
3.6.1 Relación entre dificultad, obstáculo y error
Para comprender de mejor manera los conceptos de dificultad, obstáculo y error es
importante mencionar la estrecha relación entre ellos propuesta por Socas (1997), en donde
él postula que “Las dificultades se conectan y refuerzan en redes complejas que se concretan
en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan en los alumnos en forma de errores”.
Lo anterior da una idea de jerarquía entre dichos conceptos para no seguir utilizándolos
como sinónimos en los diferentes contextos y así poder diferenciarlos, caracterizarlos y
comprenderlos de una manera más clara. Por esto, de aquí en adelante, se hace referencia a
estos conceptos.
3.6.2 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas
Para poder hablar sobre las dificultades que están presentes en el aprendizaje de las
matemáticas, primero es necesario saber que se habla de dificultades de aprendizaje cuando
nos referimos a los problemas que cualquier persona puede tener al aprender algo. Las
dificultades son normales y esperables en todos los ámbitos educativos, ya sea de tipo formal
o no formal, y surgen cuando la persona encuentra problemas o complicaciones a la hora de
comprender aquello que se le enseña, así como también para asimilarlo como un
conocimiento nuevo y permanente.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
19
Por otra parte, Soccas (1997) afirma que “Las dificultades en el aprendizaje de las
matemáticas son debidas a múltiples situaciones que se entrelazan entre sí y que van desde
una deficiente planificación curricular hasta la naturaleza propia de las matemáticas”, de
manera que éstas vienen a ser el resultado de una combinación de elementos
intramatemáticos (objetos, procesos, simbolismo, etc.) y extramatemáticos (cognición,
actitudes, etc.).
La clasificación que hace este autor sobre las dificultades en el aprendizaje de las
matemáticas obedece a la naturaleza de su origen, es decir, que considera que las dificultades
tienen diferentes naturalezas:
1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas: Se relaciona con
el lenguaje en la comprensión y comunicación de los objetos matemáticos y el lenguaje
cotidiano como mediador en la interpretación de los signos.
2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático: Se relacionan con las
rupturas implícitas en los modos de pensamiento matemático; los ejemplos, los dibujos en
el pizarrón, las imágenes estandarizadas, pueden generar errores.
3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de
las matemáticas: Los métodos de enseñanza deben ser acordes con la organización
institucional escolar y la secuencia curricular.
4. Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos: Al momento
de diseñar los recursos y estrategias en la enseñanza se deben considerar las etapas del
desarrollo cognitivo de los estudiantes, sus características y capacidades.
5. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas: En ésta
el dominio afectivo comprende las creencias, actitudes y emociones, que actúan como
fuerza impulsadora o de resistencia al cambio de la actividad matemática.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
20
Como en esta investigación no se realiza una intervención pedagógica, las dificultades
consideras son las que están asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas y
las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.
Además, es importante mencionar que Socas considera que es posible que los docentes
puedan propiciar una adecuada enseñanza y así poder facilitar un mejor aprendizaje de las
matemáticas, si conocen de manera general o especifica los obstáculos por los que se originan
los diferentes errores que cometen los estudiantes.
3.6.3 Obstáculos en la educación matemática
Se entiende como obstáculo a las dificultades propias de cada persona, que causan
estancamiento y retroceso en el proceso de enseñanza – aprendizaje. También es entendido
como un conocimiento que por diversos motivos se convierte en trabas y se refleja en forma
de error (Herrera, 2010).
El concepto de obstáculo fue introducido por primera vez por Bachelard (1988) y lo
denominó obstáculo epistemológico. Este autor afirma que el obstáculo aparece en el acto
mismo de conocer algo nuevo.
Bachelard y Brousseau están de acuerdo en que un obstáculo es un conocimiento y éste
solo es válido en un determinado contexto y puede durar mucho tiempo hasta que surja un
conflicto, que nos lleva a un error. Es entonces necesario reestructurar el conocimiento
anterior, adaptándolo a la nueva situación, ya que este conocimiento no ha podido satisfacer
los nuevos saberes, frente al nuevo escenario.
Brousseau (1983) citado por Escobar (2015), menciona tres tipos de obstáculos de acuerdo
a su origen. Basándose en los extremos del sistema didáctico “alumno, profesor y saber”.
1. Obstáculos de origen ontogenético: vinculados con el estadio de desarrollo del aprendiz;
surgen de las limitaciones propias de cada individuo.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
21
2. Obstáculos de origen didáctico: vinculados con la metodología que caracterizó al
aprendizaje.
3. Obstáculos de origen epistemológico: relacionados con la dificultad intrínseca del
concepto que se aprende y que pueden ser rastreados a lo largo de la historia de la
matemática, en la génesis misma de los conceptos, por tanto, de la circunstancia social
económica de la época en que emergieron y en la que tomaron conciencia de él y de la
necesidad de superarlo.
Esta investigación considera los obstáculos de tipo epistemológico, que son los que están
relacionados con el saber. De esta manera cuando se hable de obstáculo, se hace referencia a
los obstáculos epistemológicos.
Refiriéndose al obstáculo epistemológico, Brousseau (1986) citado por Escobar (2015),
toma la idea de Bachelard, definiéndolo como un conocimiento que ha sido en determinado
momento eficiente para resolver algún tipo de problema, pero que falla cuando se aplica a
otro problema. Debido a su éxito previo en cierto tipo de problemas se resiste a ser
modificado o a ser rechazado y se convierte en una barrera para un aprendizaje posterior.
De esta manera Brousseau (1989) citado por Escobar (2015), considera al obstáculo como
una concepción que ha servido para resolver algún tipo de problema pero que falla cuando se
aplica a otro. También establece una serie de condiciones para poder calificar a una
concepción que produce errores en los alumnos bajo el concepto de obstáculo
epistemológico:
a) Ser un conocimiento, una concepción, no una dificultad ni una falta de conocimiento.
b) Producir respuestas ciertas en determinado contexto, pero falsas fuera de dicho contexto.
c) Resistir a las contradicciones con las que se confronta y al establecimiento de un
conocimiento mejor.
d) Aún después de tomar conciencia de su inexactitud, el obstáculo continúa
manifestándose.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
22
Desde este punto de vista, el obstáculo se presenta a través de errores persistentes, que
no son producto del azar, pero que vuelven a surgir luego que el estudiante lo ha rechazado
de su sistema cognitivo, el que también se puede modificar siguiendo un proceso de
adaptación.
3.7 Causas y características de los errores en matemática
En el ámbito de la educación matemática, los errores surgen de manera permanente
durante el proceso de enseñanza – aprendizaje. Es decir, cuando el alumno no puede superar
sus dificultades, éstas se convierten en obstáculos porque le impiden avanzar en la
construcción de nuevos conocimientos y lo lleva a cometer errores.
Los obstáculos que presentan los estudiantes no se pueden ignorar, como tampoco los
errores que cometen. En este sentido Brousseau, Davis y Werner (1986) citado por Rico
(1998), señalan cuatro vías mediante las cuales el error puede presentarse:
1. Los errores son a menudo el resultado de grandes concepciones inadecuadas acerca de
aspectos fundamentales de las matemáticas.
2. Frecuentemente los errores se presentan como resultado de la aplicación correcta y
crédula de un procedimiento imperfecto sistematizado, que se puede identificar con
facilidad por el profesor.
3. También los errores pueden presentarse cuando el alumno utiliza procedimientos
imperfectos y posee concepciones inadecuadas que no son reconocidas por el profesor.
4. Los alumnos con frecuencia inventan sus propios métodos, no formales pero altamente
originales, para la realización de las tareas que se les proponen y la resolución de
problemas.
Tomando en cuenta lo anterior es que toma importancia estudiar y analizar los errores
que cometen los estudiantes en matemática, ya que constantemente se ven enfrentados a
estas situaciones durante todo su proceso de aprendizaje.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
23
Por otra parte, Mulher (1989) citado por Rico (1998), considera como características de los
errores cometidos por los alumnos las siguientes:
• Los errores son sorprendentes. Con frecuencia los errores cometidos por los alumnos
surgen de manera sorprendente, ya que por lo general se han mantenido ocultos para el
profesor durante algún tiempo.
• Los errores son a menudo extremadamente persistentes, debido a que pueden reflejar el
conocimiento de los alumnos sobre un concepto o un uso particular de reglas
nemotécnicas. Son resistentes a cambiar por sí mismos ya que la corrección de errores
puede necesitar de una reorganización fundamental del conocimiento de los alumnos.
• Los errores pueden ser o bien sistemáticos o por azar. Los primeros son muchos más
frecuentes y, por lo general, más efectivos para revelar los procesos mentales
subyacentes; estos errores se toman como síntomas que señalan hacia un método o
comprensión equivocada subyacente, que el estudiante considera y utiliza como correcto.
Los errores por azar reflejan falta de cuidado y lapsus ocasionales, y tienen relativamente
poca importancia.
• Los errores ignoran el significado; de este modo, respuestas que son obviamente
incorrectas, no se ponen en cuestión. Los alumnos que cometen un error no consideran el
significado de los símbolos y conceptos con los que trabajan.
Estas características de los errores aluden a las definiciones del concepto de obstáculo y
error que se han mencionado anteriormente, de esta manera se verifica la relación que existe
entre un obstáculo que presenta un estudiante y la consecuencia de no poder superarlo,
llevándolo a cometer un error.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
24
3.8 Los errores en el aprendizaje de potencias y raíces
Para el desarrollo de esta investigación no se consideran clasificaciones de errores que
han realizado autores a lo largo del tiempo, sino que se toman en cuenta algunos de los
errores que se mencionan en el artículo de la Revista Iberoamericana de Educación, “Análisis y
categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la
universidad”, cuyo autor es Marcel David Pochulu (2005), y los errores detectados por los
autores de la presente investigación.
Pochulu describe los errores que los profesores aducen a los estudiantes en el aprendizaje
de la matemática, donde aquí tomamos en cuenta solo los que se atribuyen al aprendizaje del
contenido de potencias y raíces. También se incorporan los errores detectados por los autores
de esta investigación en la muestra considerada en el estudio. Primero se presentan los
errores correspondientes al contenido de potencias y luego los correspondientes al contenido
de raíces.
Errores en el contenido de potencias:
1. Asumen que toda potencia de exponente nulo da por resultado cero, o es igual a la base
de la misma.
2. Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero negativo y la base es una suma
algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos multiplicativos de los
sumandos.
3. Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de los
factores.
4. Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica.
5. Suman los exponentes de las potencias de otras potencias en un producto algebraico.
6. Multiplican los exponentes en el producto de potencias de igual base.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
25
7. Asocian que el exponente de la potencia de un cociente afecta sólo al numerador.
8. Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma o resta
algebraica.
9. Estiman que una potencia con exponente negativo corresponde a una potencia con
exponente fraccionario.
10. Asocian que el exponente de una potencia se multiplica con la base.
11. Consideran que tienen un número negativo cuando el exponente es un número negativo.
Errores en el contenido de raíces:
12. Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta.
13. Multiplican las raíces de igual índice y radicando cuando se trata de suma o resta.
14. Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el campo
de los reales.
15. Consideran que un número y una raíz son simplificables en el producto cuando el número
es igual al radicando de la raíz.
16. Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una expresión radical.
17. No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz.
18. En la potencia de una raíz, multiplican el índice de la raíz con el exponente.
19. Asocian que la raíz de un cociente afecta solo al numerador.
20. En expresiones con raíces y potencias distribuyen la potencia con respecto a la suma o
resta algebraica.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
26
3.9 Situaciones generadoras de errores
Anteriormente se ha mostrado que una parte importante de los errores que cometen los
estudiantes se deben a obstáculos epistemológicos, es decir, que son los responsables de
generar errores. Por este motivo, a continuación, se describen las situaciones generadoras de
errores mencionadas en la investigación “Análisis y categorización de errores en el
aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad” (Pochulu, 2005), que
aluden al contenido de potencias y raíces, y también se incorporan las situaciones
generadoras de errores identificadas por los autores de la presente investigación. El orden en
que se presentan es por contenido, primero las correspondientes a potencias y luego las
correspondientes a raíces.
Situaciones generadoras de errores en potencias
A. Resolver productos de potencias de igual o distinta base.
B. Trabajar con ejercicios combinados que involucren potencias de sumas o restas con
exponentes negativos.
C. Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre números y
literales.
D. Resolver potencias con exponentes enteros negativos o positivos.
E. Resolver potencias con exponente nulo.
F. Resolver el cociente de potencias donde el numerador y denominador contienen una
suma o resta algebraica con distinto o igual literal.
G. Calcular la potencia negativa de una suma o algebraica.
H. Resolver una potencia negativa, donde la base está compuesta por una suma o resta de
fracciones literales.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
27
Situaciones generadoras de errores en raíces
I. Determinar el valor de raíces de índice impar y radicando negativo.
J. Calcular sumas o restas de raíces.
K. Factorizar el radicando de una raíz para simplificar.
L. Manipular expresiones con radicales.
M. Calcular raíces cuadradas de números enteros que no son cuadrados perfectos.
N. Dividir sumas o restas de raíces por un número natural.
O. Calcular la potencia de una suma o resta algebraica compuesta por una raíz como segundo
término.
3.10 Errores frecuentes encontrados en potencias y raíces
según los planes y programas del Ministerio de Educación
En los Planes y Programas de Estudio del Ministerio de Educación se hace referencia a
errores frecuentes que se pueden presentar durante el aprendizaje de los distintos
contenidos, dentro de los cuales los atingentes al contenido de potencias y raíces podemos
encontrar:
3.10.1 Errores frecuentes en potencias
En el libro de Planes y Programas del Ministerio de Educación de Matemática,
correspondiente al primer nivel de enseñanza media, se mencionan los errores frecuentes que
pueden llegar a cometer los estudiantes en el contenido de potencias. Los errores son los
siguientes:
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
28
Errores frecuentes:
• Algunos estudiantes tienden a tener una gran imaginación al momento de utilizar las
propiedades de las potencias, especialmente cuando se involucran adiciones y
sustracciones.
• Los errores más comunes que los estudiantes cometen se relacionan con el uso de
paréntesis. Uno de ellos se refiere a la necesidad del uso de paréntesis cuando la base
de la potencia es negativa. El segundo de los errores es el empleo de paréntesis
cuando la base es una fracción.
• Algunos estudiantes tienden a “crear” propiedades, por ejemplo al resolver2³ • 56
multiplican las bases y suman los exponentes o cualquier otra combinación. Otro error
común es aplicar las propiedades de la multiplicación de potencias cuando deben
resolver una suma de potencias.
3.10.2 Errores frecuentes en raíces
Del mismo modo que en el contenido de potencias, dentro del libro de Planes y Programas
del Ministerio de Educación de Matemática, correspondiente al segundo nivel de enseñanza
media, se mencionan los distintos tipos de errores frecuentes que puedan llegar a cometer los
estudiantes en el contenido de raíces. Los errores mencionados son los siguientes:
Errores frecuentes:
• Gran parte de los errores asociados a este contenido tienen relación con el deseo de
los estudiantes de resolver los ejercicios rápidamente, y muchas veces en forma
mental. Además, los estudiantes podrían presentar problemas en aquellos ejercicios
combinados que implican varias operaciones y cálculo de raíces. Existe una posibilidad
de confusión al utilizar la expresión “multiplicar por sí mismo”: si decimos que x³
corresponde a “x multiplicado por sí mismo 3 veces”, entonces x² corresponde a “x
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
29
multiplicado por sí mismo 2 veces”, y x¹ necesariamente corresponde a “x multiplicado
por sí mismo una vez”, es decir x ∙ x.
• Es importante explicitar claramente qué operaciones tienen propiedades específicas
que permiten una reducción de los términos involucrados y cuáles operaciones no las
tienen. En particular, es necesario mencionar que no existen propiedades para la suma
o resta de raíces ni de cantidades subradicales:
√5� + √7� ≠ √5 + 7�
√5 − 7� ≠ √5� − √7�
• En la racionalización, es común que los estudiantes se queden con el primer
procedimiento de racionalización y posteriormente empleen siempre raíces cuadradas,
sin importar el índice de la raíz presente en el denominador. Además, cuando deben
racionalizar expresiones con binomios en el denominador los estudiantes suelen
amplificar por la misma expresión que está en el denominador y no por la
“conjugada”, o bien amplifican por la expresión que corresponde al numerador.
• Los alumnos suelen olvidar verificar la solución encontrada en una ecuación radical o
simplemente evitarla. En ocasiones, también, no realizan la verificación en la ecuación
original sino en algún paso intermedio de la resolución, lo que puede haber eliminado
restricciones.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
30
Capítulo 4
Marco Metodológico
4.1 Tipo de investigación
La presente investigación es de tipo cuantitativa-exploratoria, debido a que se obtienen
resultados cuantificables de las variables de estudio y porque pretende mostrar la ocurrencia
de una problemática de la cual no se tiene registro haber sido investigada; además es no
experimental, porque no se manipulan las variables.
4.2 Diseño de investigación
El diseño con el que se lleva a cabo esta investigación es el transversal, ya que se efectúa
sobre una situación y población concreta en un momento determinado y se recogen datos
una sola vez de cada sujeto en estudio, donde se pretende analizar cómo se comportan las
variables de estudio en esa situación. También tiene la finalidad de describir e identificar los
factores que inciden sobre la realidad estudiada, la frecuencia con que se presentan en ella los
errores en potencias y raíces y las relaciones que cabe establecer entre ellos. Además, se
cuenta con hipótesis que serán contrastadas y que sirven para sugerir acciones de mejora.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
31
4.3 Población y muestra
La población corresponde a todos los alumnos de segundo año medio de colegios
municipales de la ciudad de Los Ángeles.
La muestra para este estudio está compuesta por 168 estudiantes de segundo año medio
de dos colegios con distinta modalidad escolar, un colegio con modalidad científico –
humanista y un colegio con modalidad técnico – profesional. Se usan las siglas CH y TP para
referirse a los establecimientos científico – humanista y técnico – profesional,
respectivamente.
Colegio
Curso Cantidad de
alumnos
Total de
alumnos
Establecimiento CH 2º E 43
87 2º F 44
Establecimiento TP 2º B 41
81 2º D 40
Total 168
4.4 Variables de la investigación
Las variables que corresponden a la investigación son las siguientes:
• Variable independiente:
- Modalidad del colegio.
o Científico – Humanista.
o Técnico – Profesional.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
32
• Variable dependiente:
- Frecuencia de error, en que incurren los estudiantes de la muestra al responder la
prueba elaborada para esta investigación. (Anexo 1: Ejemplar del instrumento)
- Tipo de error. (pág. 24)
- Situación generadora de error. (pág. 26)
4.5 Descripción de las variables
• Modalidad del colegio: Se refiere a la modalidad escolar que entrega cada institución
escolar, es decir, puede ser:
- Modalidad científico – humanista: La formación diferenciada consiste en planes de
estudio que definen los establecimientos, en que alumnos y alumnas, aparte del
tiempo dedicado a la formación general dedican un tiempo adicional a expandir o
profundizar sus conocimientos y competencias en un número reducido de
sectores o subsectores, siguiendo sus intereses, aptitudes o expectativas de salida,
como, por ejemplo, plan matemático, plan humanista y plan biológico.
- Modalidad técnico – profesional: Alude a una formación especializada, definida en
términos de objetivos terminales agrupados en perfiles de salida que
corresponden a diferentes sectores ocupacionales, como, por ejemplo, atención
de enfermería, atención de párvulos, vestuario – confección textil, laboratorio
químico y servicio de alimentación colectiva.
• Frecuencia de error: Corresponde al total de errores que comete cada estudiante en el
contenido de potencias y en el contenido de raíces.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
33
• Tipo de error: Corresponde al uno de los 20 errores que comete el estudiante en cada
ejercicio.
• Situación generadora de error: Corresponde a la situación en la que se genera el error
cometido.
4.6 Descripción y características del instrumento
Los datos para esta investigación se recopilan mediante un instrumento de evaluación que
se aplica a toda la muestra considerada, el que después de ser analizado permite dar
respuesta a las preguntas de investigación y comprobar las hipótesis planteadas.
El instrumento empleado es una prueba de desarrollo, compuesta por 12 ejercicios del
contenido matemático de Potencias y Raíces en Primero y Segundo Año Medio
respectivamente, de acuerdo a los planes y programas del MINEDUC (Anexo 2). Como el plan
y programa de matemática es el mismo para segundo año medio, independientemente de la
modalidad de los colegios, se considera que los contenidos vistos por todos los alumnos de la
muestra, al momento de la aplicación de la prueba sean los mismos.
Se utiliza como instrumento de recolección de datos una prueba diseñada por los autores
de esta investigación, donde se hace una recopilación de ejercicios obtenidos de la PSU de
Matemática de años anteriores y validado por un docente experto de la Universidad de
Concepción.
De los ejercicios se considera solo el enunciado, ya que los alumnos para poder resolverlos
deberán mostrar el desarrollo correspondiente, para así poder identificar los posibles errores
en sus desarrollos.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
34
4.7 Análisis de los ejercicios de la prueba
El análisis de los ejercicios se hace considerando los errores que describe Pochulu (2005),
tomando en cuenta los correspondientes al aprendizaje del contenido de potencias y raíces, y
los identificados por los autores de la presente investigación.
4.7.1 Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio
A continuación, se presenta una tabla con la clasificación de los errores que pueden llegar
a cometer los alumnos en cada ejercicio del instrumento. Según lo definido en la sección 3.8,
(pág. 24).
Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
PREGUNTA POTENCIAS
1)(2�)� ∙ (3�)� =
X X X
2) ¿Cuál es el valor
de la expresión
3� ∙ (2� + 5�) +
(8� − 3�)?
X
X
3)4�� + 2�� −
2�� =
X X X
4) Si �� − �� = �
y � − � = �,
entonces el valor de
�� es
X
X
5)(2� · 3��)� =
X X X
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
35
6) Si = ��
+ �!
,
entonces �"
X
X
7) #$%#&
#&%#$ =
X
Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
PREGUNTA RAÍCES
8) √−32& =
X X
9) '√50 + √512 −
242÷2=
X
X
X
X
10) Si *2 + √3 −
*2 + √3 = �,
entonces �� − 2
es:
X
X
11) √12 − √2 +
√8 − √3 =
X
X
X
12) (1 − √2)� =
X
X
X
X
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
36
4.7.2 Clasificación de las situaciones generadoras de errores
correspondientes a cada ejercicio
Del mismo modo, se presenta una tabla correspondiente a las situaciones generadoras de
errores. La tabla se realiza a partir de la información extraída del trabajo de Pochulu (2005), y
por los autores de la presente investigación. De acuerdo a lo definido en la sección 3.9 (pág.
26).
Clasificación de las situaciones generadoras de errores correspondientes a cada error
A B C D E F G H I J K L M N O
ERROR POTENCIAS
1. Asumen que toda potencia de exponente nulo da por resultado cero, o es igual a la base de la misma.
X
2. Asocian que si el exponente de una potencia es un entero negativo, y la base es una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos multiplicativos de los sumandos.
X
3. Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de los factores.
X
4. Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica.
X
X
5. Suman los exponentes de las potencias de otras potencias en un producto algebraico.
X
6. Multiplican los exponentes en el producto de potencias de igual base.
X
7. Asocian que el exponente de la potencia de un cociente afecta sólo al numerador.
X
8. Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma o resta algebraica.
X
9. Estiman que una potencia con exponente negativo corresponde a una potencia con exponente fraccionario.
X
X
10. Asocian que el exponente de una potencia se multiplica con la base.
X X
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
37
11. Consideran que tienen un número negativo cuando el exponente es un número negativo.
X
X
Clasificación de las situaciones generadoras de errores correspondientes a cada error
A B C D E F G H I J K L M N O
ERROR RAÍCES
12. Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta.
X
X
13. Multiplican las raíces de igual índice y radicando cuando se tratan de suma o resta.
X
14. Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el campo de los reales.
X
15. Consideran que un número y una raíz son simplificables en el producto cuando el número es igual al radicando de la raíz.
X
16. Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una expresión radical.
X
17. No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz.
X X
18. En la potencia de una raíz, multiplican el índice de la raíz con el exponente.
X
19. Asocian que la raíz de un cociente afecta solo al numerador.
X
20. Corresponde a la situación en la que se genera el error cometido.
X
4.8 Limitaciones de la investigación
Las limitaciones a las que se vio enfrentada la investigación fueron la falta de cooperación
de una cantidad considerable de estudiantes para dar respuesta al instrumento utilizado y
también el hecho de que algunos cursos no habían estudiado los contenidos considerados
para la identificación de los errores.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
38
Capítulo 5
Análisis de datos y verificación de hipótesis
5.1 Análisis de los datos
Anteriormente en el marco teórico se hizo mención a que se toman en cuenta los errores
y las situaciones generadoras de errores que se presenta Pochulu (2005) referidos al
contenido de potencias y raíces, y los identificados por los autores de la presente
investigación. Es por esta razón que se separaran los errores que corresponden a potencias y
raíces de los errores que corresponden a otro contenido.
En el Anexo 3 se presenta en detalle el tipo de error que comete cada estudiante en cada
ejercicio, en cada contenido; el error que cometió cada estudiante está representado
utilizando la misma numeración que se menciona en el marco teórico.
A continuación, se presenta un resumen del error más frecuente cometido por los
estudiantes en cada ejercicio a través de una tabla de frecuencia. La primera tabla muestra el
desempeño correspondiente al establecimiento CH y la segunda tabla corresponde al
establecimiento TP.
Establecimiento CH
Pregunta Error más frecuente
Frecuencia
Potencias
1 3 4
2 1 2
3 9 3
4 8 9
5 3 5
6 2 18
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
39
7 8 5
Raíces
8 14 4
9 0 0
10 20 2
11 12 1
12 20 10
Establecimiento TP
Pregunta Error más frecuente
Frecuencia
Potencias
1 3 18
2 1 9
3 11 6
4 8 4
5 3 15
6 2 10
7 8 7
Raíces
8 14 3
9 17 6
10 12 10
11 12 5
12 20 10
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
40
Ahora se presenta un ranking de los tres errores más frecuentes en el contenido de
potencias y en el contenido de raíces en cada establecimiento, donde se presenta el error más
frecuente y su respectiva frecuencia.
Establecimiento CH
Error más frecuente
Frecuencia
Potencias
2 18
8 14
3 9
Raíces
20 12
14 4
12, 14, 15 2
Establecimiento TP
Error más frecuente
Frecuencia
Potencias
3 33
8 11
2 10
Raíces
12 15
20 10
17 7
De aquí podemos observar que en el contenido de potencias en ambos establecimientos
podemos encontrar los errores 2, 3 y 8, aunque en distinto ranking, y en el contenido de
raíces encontramos en ambos establecimientos los errores 12 y 20, también en distinto
ranking.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
41
Finalmente, se muestra un ranking de los tres errores más frecuentes cometidos por el
total de la muestra considerada.
Error más frecuente
Frecuencia
Potencias
3 42
2 28
8 25
Raíces
20 22
12 17
14, 16,17 7
Al observar los errores que presentan mayor frecuencia en los estudiantes de la muestra,
se pueden inferir los obstáculos que generan más errores en los estudiantes, los que
corresponden a las siguientes situaciones generadoras de errores:
C. Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre números
y literales.
H. Resolver una potencia negativa, donde la base está compuesta por una suma o resta de
fracciones literales.
F. Resolver el cociente de potencias donde el numerador y denominador contienen una
suma o resta algebraica con igual literal.
K. Factorizar el radicando de una raíz para simplificar.
L. Manipular expresiones con radicales.
M. Calcular raíces cuadradas de números enteros que nos son cuadrados perfectos.
J. Calcular sumas o restas de raíces.
I. Determinar el valor de raíces de índice impar y radicando negativo.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
42
5.2 Plan de análisis estadístico
Para el análisis estadístico de los datos se desarrollan comparaciones entre las variables:
errores en colegio CH y errores en colegio TP, modalidad escolar y frecuencia de error en
potencias, modalidad escolar y frecuencia de error en raíces
� Errores en colegio CH y errores en colegio TP (Hipótesis 1).
� Modalidad escolar y frecuencia de error en potencias (Hipótesis 2).
� Modalidad escolar y frecuencia de error en raíces (Hipótesis 3).
� Correlaciones entre las modalidades por cada contenido (Hipótesis 4 y 5).
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
43
5.3 Análisis de las hipótesis de investigación
Primera hipótesis de trabajo
La primera hipótesis planteada para la investigación es:
H1: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores que los alumnos
de colegio CH.
Para comparar los promedios de los totales de errores cometidos por los
establecimientos, se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”, que es un complemento de
Microsoft Excel. Primero se hace una prueba de normalidad utilizando Jarque – Bera.
Prueba de Jarque-Bera (CH):
JB (Valor observado) 4,806
JB (Valor crítico) 5,991
GL 2
valor-p (bilateral) 0,09
Alfa 0,05
Prueba de Jarque-Bera (TP):
JB (Valor observado) 2,151
JB (Valor crítico) 5,991
GL 2
valor-p (bilateral) 0,341
Alfa 0,05
Puesto que el valor-p calculado para el establecimiento CH y TP es mayor que el nivel de
significación alfa=0,05, no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo tanto los datos
presentan una distribución Normal y así se puede utilizar el estadístico t de Student.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
44
Para este análisis se considera la siguiente hipótesis, nula (+�) y alternativa (+"):
+�: No hay diferencia entre el promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH y
el promedio de error del colegio TP
+": El promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH es menor que el promedio
de error de TP.
Así entonces:
,": Cantidad promedio de errores en el establecimiento CH.
,�: Cantidad promedio de errores en el establecimiento TP.
Así, las hipótesis a contrastar para las medias poblacionales con un nivel de significación
α=0.05 son las siguientes:
+�: ,"= ,�
+": ,"˂ ,�
Aplicando una prueba t de Student con la ayuda del software estadístico, se obtienen los
siguientes valores (ver anexo 4.1):
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones Obs. con datos
perdidos
Obs. sin datos
perdidos
Mínimo Máximo Media Desv. típica
CH 32 0 32 0,000 8,000 2,563 1,795
TP 32 0 32 0,000 10,000 3,750 2,489
Diferencia -1,188
t (Valor observado)
-2,189
|t| (Valor crítico) 1,999
GL 62
valor-p (unilateral)
0,016
Alfa 0,05
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
45
Dado que el p-valor es menor que el nivel de significación alfa=0,05 entonces existe
evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo tanto la diferencia entre la cantidad
promedio de errores en el establecimiento CH y TP en el contenido de potencias es
significativa.
Como resultado de la prueba de hipótesis se determina que hay diferencia entre las
medias del establecimiento CH y TP, es por esto que se puede afirmar que los estudiantes del
colegio TP cometen mayor cantidad errores que los estudiantes del establecimiento CH.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
46
Segunda hipótesis de trabajo
La segunda hipótesis planteada para la investigación es:
H2: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores en el contenido
de potencias que los alumnos de colegio CH.
Para comparar los promedios de los totales de errores cometidos por los establecimientos
en el contenido de potencias, se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”, que es un
complemento de Microsoft Excel. Primero se hace una prueba de normalidad utilizando
Jarque – Bera.
Prueba de Jarque-Bera (CH):
JB (Valor observado) 4,486
JB (Valor crítico) 5,991
GL 2
valor-p (bilateral) 0,106
Alfa 0,05
Prueba de Jarque-Bera (TP):
JB (Valor observado) 2,258
JB (Valor crítico) 5,991
GL 2
valor-p (bilateral) 0,323
Alfa 0,05
Puesto que el valor-p calculado para el establecimiento CH y TP es mayor que el nivel de
significación alfa=0,05, no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo tanto los datos
presentan una distribución Normal y así se puede utilizar el estadístico t de Student.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
47
Para este análisis se considera la siguiente hipótesis, nula (+�) y alternativa (+"):
+�: No hay diferencia entre el promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH el
promedio de error del colegio TP en el contenido de potencias.
+": El promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH es menor que el promedio
de error de TP en el contenido de potencias.
Así entonces:
,": Cantidad promedio de errores en el establecimiento CH en el contenido de potencias.
,�: Cantidad promedio de errores en el establecimiento TP en el contenido de potencias.
Así, las hipótesis a contrastar para las medias poblacionales con un nivel de significación
α=0.05 son las siguientes:
+�: ,"= ,�
+": ,"˂ ,�
Aplicando una prueba t de Student con la ayuda del software estadístico, se obtienen los
siguientes valores (ver anexo 4.2):
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones Obs. con datos
perdidos
Obs. sin datos
perdidos
Mínimo Máximo Media Desv. típica
CH 32 0 32 0,000 6,000 1,875 1,385
TP 32 0 32 0,000 6,000 2,438 1,759
Diferencia -0,563
t (Valor observado)
-1,421
|t| (Valor crítico)
1,999
GL 62
valor-p (unilateral)
0,08
Alfa 0,05
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
48
Dado que el p-valor es mayor que el nivel de significación alfa=0,05 entonces no existe
evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo tanto la diferencia entre la cantidad
promedio de errores en el establecimiento CH y TP en el contenido de potencias no es
significativa.
Como resultado de la prueba de hipótesis se determina que no hay diferencia entre las
medias del establecimiento CH y TP, es por esto que no se puede afirmar que los estudiantes
del colegio TP cometen mayor cantidad errores que los estudiantes del establecimiento CH en
el contenido de potencias.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
49
Tercera hipótesis de trabajo
La tercera hipótesis planteada para el estudio es:
H3: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores en el contenido
de raíces que los alumnos de colegio CH.
Para comparar los promedios de los totales de errores cometidos por los establecimientos
en el contenido de raíces, también se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”. Primero se hace
una prueba de normalidad utilizando Jarque – Bera.
Prueba de Jarque-Bera (CH):
JB (Valor observado) 2,135
JB (Valor crítico) 5,991
GL 2
valor-p (bilateral) 0,344
Alfa 0,05
Prueba de Jarque-Bera (TP):
JB (Valor observado) 3,552
JB (Valor crítico) 5,991
GL 2
valor-p (bilateral) 0,169
Alfa 0,05
Puesto que el valor-p calculado para el establecimiento CH y TP es mayor que el nivel de
significación alfa=0,05, no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo tanto los datos
presentan una distribución Normal y así se puede utilizar el estadístico t de Student.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
50
Para este análisis se considera la siguiente hipótesis, nula (+�) y alternativa (+"):
+�: No hay diferencia entre el promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH el
promedio de error del colegio TP en el contenido de raíces.
+": El promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH es menor que el promedio
de error de TP en el contenido de raíces.
Así entonces:
,": Cantidad promedio de errores en el establecimiento CH en el contenido de raíces.
,�: Cantidad promedio de errores en el establecimiento TP en el contenido de raíces.
Así, las hipótesis a contrastar para las medias poblacionales con un nivel de significación
α=0.05 son las siguientes:
+�: ,"= ,�
+": ,"˂ ,�
Aplicando una prueba t de Student con la ayuda del software estadístico, se obtienen los
siguientes valores (ver anexo 4.3):
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones Obs. con datos
perdidos
Obs. sin datos
perdidos
Mínimo Máximo Media Desv. típica
CH 32 0 32 0,000 2,000 0,688 0,693
TP 32 0 32 0,000 5,000 1,313 1,424
Diferencia -0,625
t (Valor observado)
-2,232
|t| (Valor crítico)
1,999
GL 62
valor-p (unilateral)
0,0145
Alfa 0,05
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
51
Dado que el p-valor es menor que el nivel de significación alfa=0,05 entonces existe
evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo tanto la diferencia entre la cantidad
promedio de errores en el establecimiento CH y TP en el contenido de raíces es significativa.
Como resultado de la prueba de hipótesis se puede determinar que hay diferencia entre
las medias del establecimiento CH y TP, es por esto que se puede afirmar que los estudiantes
del colegio TP cometen mayor cantidad errores que los estudiantes del establecimiento CH en
el contenido de raíces.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
52
Cuarta hipótesis de trabajo
La cuarta hipótesis propuesta para la investigación es:
H4: Existe relación entre los errores cometidos en el contenido potencias y los errores
cometidos en el contenido de raíces en el colegio CH.
Para relacionar los errores del contenido de potencias y raíces en el establecimiento CH,
también se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”. Como anteriormente se ha hecho la prueba
de normalidad utilizando Jarque – Bera se procede a utilizar el estadístico Pearson (ver anexo
4.4):
Para este análisis se considera la siguiente hipótesis, nula (+�) y alternativa (+"):
+�: ρ = 0, No hay correlación.
+": ρ ≠ 0, Si hay correlación.
Región de rechazo de +�: R = {valor p ≤ α=0,05}
Matriz de correlaciones (Pearson):
Variables CH CH
CH 1 0,429
CH 0,429 1
Valores-p:
Variables CH CH
CH 0 0,014
CH 0,014 0
Los estudiantes del colegio CH presentan una correlación positiva entre los errores del
contenido de potencias y los errores del contenido de raíces, lo que es estadísticamente
significativo considerando el valor p = 0,014.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
53
Quinta hipótesis de trabajo
La quinta hipótesis planteada para la investigación es:
H5: Existe relación entre los errores cometidos en el contenido potencias y los errores
cometidos en el contenido de raíces en el colegio TP.
Para relacionar los errores del contenido de potencias y raíces en el establecimiento TP,
también se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”. Como anteriormente se ha hecho la prueba
de normalidad utilizando Jarque – Bera se procede a utilizar el estadístico Pearson (ver anexo
4.5):
Para este análisis se considera la siguiente hipótesis, nula (+�) y alternativa (+"):
+�: ρ = 0, No hay correlación.
+": ρ ≠ 0, Si hay correlación.
Región de rechazo de +�: R = {valor p ≤ α=0,05}
Matriz de correlaciones (Pearson):
Variables TP TP
TP 1 0,214
TP 0,214 1
Valores-p:
Variables TP TP
TP 0 0,239
TP 0,239 0
Los estudiantes del colegio TP presentan una correlación positiva entre los errores del
contenido de potencias y los errores del contenido de raíces, lo que resulta estadísticamente
no significativo al observar el valor p = 0,239.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
54
Capítulo 6
Resultados, discusiones y conclusiones
6.1 Resultado de los alumnos
En el Anexo 3, se presentan dos tablas, una para cada establecimiento enumerando a los
estudiantes y mostrando el desempeño de cada uno de ellos. En dicho anexo sólo se muestra
el resultado de 32 alumnos por cada establecimiento, ya que el nivel de omisión en el
establecimiento TP fue alto y el objetivo de la investigación es determinar los errores que
cometen los estudiantes.
A continuación, se presenta una tabla resumen de los resultados obtenidos por los
estudiantes en cada establecimiento por cada pregunta. Se muestra la cantidad de respuestas
donde el error corresponde al contenido de potencias y raíces, las respuestas correctas,
omitidas y las respuestas con otro error correspondiente a otro contenido.
Establecimiento CH
Pregunta Errores Correctas Omitidas Otro error
Potencias
1 8 22 0 2
2 2 29 0 1
3 5 24 0 3
4 15 9 4 4
5 6 22 2 2
6 19 5 5 3
7 5 21 4 2
Total 60 132 15 17
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
55
Raíces
8 6 23 3 0
9 0 17 8 7
10 3 17 6 6
11 1 24 1 6
12 13 10 0 9
Total 23 91 18 28
Establecimiento TP
Pregunta Errores Correctas Omitidas Otro error
Potencias
1 19 13 0 0
2 10 22 0 0
3 10 11 2 9
4 5 0 15 12
5 16 3 6 7
6 11 0 15 6
7 7 4 15 6
Total 78 54 53 40
Raíces
8 3 8 10 11
9 12 3 12 5
10 10 1 17 4
11 7 3 11 11
12 10 1 12 9
Total 42 16 62 40
De aquí se puede observar que en el establecimiento CH el desempeño de los estudiantes
en el contenido de potencias es bueno, ya que la cantidad de respuestas correctas es alta y el
nivel de omisión es bajo; en el establecimiento TP el desempeño de los estudiantes es más
bajo que en el establecimiento CH, ya que el nivel de respuestas correctas es bajo y el nivel de
erradas y omitidas es alto; lo mismo ocurre con el desempeño en el contenido de raíces.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
56
Es importante señalar también que en ambos establecimientos la cantidad de errores que
se encontraron en otro contenido distinto al de potencias y raíces no es menor, ya que las
frecuencias observadas no son bajas.
También se puede observar que en el establecimiento CH, el ejercicio con mayor
frecuencia de error en el contenido de potencias es el número 6 y en el contenido de raíces es
el ejercicio 12; en el establecimiento TP, en el contenido de potencias el ejercicio que tuvo
mayor frecuencia de error es el número 1 y en el contenido de raíces el ejercicio con mayor
frecuencia de error es el ejercicio 9.
A continuación, se analizan los ejercicios que tuvieron mayor tasa de error en ambos
establecimientos y en cada contenido.
• Establecimiento CH
− En el contenido de potencias el ejercicio corresponde al número 6, que es:
Si = ��
+ �!
, entonces �"
El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento
CH es el número 2, que es “Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero
negativo y la base es una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos
multiplicativos de los sumandos”, es decir, los alumnos no resuelven la suma algebraica antes
de aplicar la potencia negativa. El obstáculo que genera este error es la situación generadora
de error G, que es “Calcular la potencia negativa de una suma algebraica”.
− En el contenido de raíces el ejercicio corresponde al número 12, que es:
(1 − √2)� =
El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento CH es
el número 20, que es “En expresiones con raíces y potencias distribuyen la potencia con
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
57
respecto a la suma o resta algebraica”; este error se debe a que los alumnos
equivocadamente piensan que (1 − √2)� = 1� − √2 �
, que corresponde a un error que los
alumnos cometen en el contenido de potencias, pero se observa que también lo traspasan a
ejercicios que también involucran raíces; además este error también se explica porque los
alumnos siguen el siguiente procedimiento:
Donde se puede observar que los alumnos erróneamente simplifican la potencia con el
radical de la raíz, llevándolos a cometer un error.
El obstáculo que lleva a cometer estos errores corresponde a la situación generadora de
error es la O, que es “Calcular la potencia de una suma o resta algebraica compuesta por una
raíz como segundo término”.
• Establecimiento TP
− En el contenido de potencias el ejercicio corresponde al número 1, que es:
(2�)� ∙ (3�)� =
El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento TP
es el número 3, que es “Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a
algunos de los factores” como se muestra a continuación.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
58
Se puede ver que los alumnos aplican correctamente la potencia al coeficiente numérico,
pero no la aplican al factor literal, que es donde se produce el error. En otros casos los
alumnos no aplican la potencia al coeficiente numérico, pero si al factor literal.
El obstáculo que lleva a cometer este error corresponde a la situación generadora de error
C, que es “Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre
números y literales”.
− En el contenido de raíces el ejercicio corresponde al número 9, que es:
'√50 + √512 − √242- ÷ 2 =
El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento TP
es el número 17, que es “No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una
raíz”, como se muestra a continuación.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
59
El otro error que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento TP es el
número 16, que es “Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una
expresión radical”, como se muestra a continuación.
Los obstáculos que llevan a cometer estos errores son las siguientes situaciones
generadoras de error:
K. Factorizar el radicando de una raíz para simplificar.
M. Calcular raíces cuadradas de números enteros que no son cuadrados perfectos.
A continuación, se muestran los resultados obtenidos por el total de la muestra
considerada en el estudio, que corresponde a 64 estudiantes.
Errores 0 OO EC
Total Correctas Omitidas Errores en
otro contenido
PREGUNTA POTENCIAS
1 27 35 0 2
2 12 51 0 1
3 15 35 2 12
4 25 9 19 16
5 22 25 8 9
6 30 5 20 9
7 12 25 19 8
Totales 143 185 68 57
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
60
PREGUNTA RAICES
8 9 30 13 11
9 12 19 20 12
10 13 18 23 10
11 8 27 12 17
12 23 11 12 18
Totales 65 105 80 68
De aquí se puede observar que el ejercicio que tuvo la mayor frecuencia de error en el
contenido de potencias es el número 6 y el ejercicio que tuvo mayor frecuencia de error en el
contenido de raíces es el número 12. Estos ejercicios ya fueron analizados por esta razón no
se repite el proceso.
6.2 Discusión de resultados
Al analizar los errores más frecuentes en el contenido de potencias y raíces, se verifica que
las vías mediante las cuales se presentan los errores, corresponden a las vías planteadas por
Brousseau, David y Werner (citados en Rico 1998). Así, los errores de los alumnos surgen
debido a:
1. Grandes concepciones inadecuadas acerca de aspectos fundamentales de las
matemáticas.
2. Resultados de la aplicación correcta y crédula de un procedimiento imperfecto
sistematizado, que se puede identificar con facilidad por el profesor.
3. Utilización de procedimientos imperfectos y poseer concepciones inadecuadas que no son
reconocidas por el profesor.
4. Invención de métodos propios, no formales, pero altamente originales, para la realización
de las tareas que se les proponen y la resolución de problemas.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
61
Según el MINEDUC en su libro de Planes y Programas de primer año medio, uno de los
errores más frecuentes que cometen los alumnos en el contenido de potencias es imaginar
propiedades de las potencias en la adición y sustracción de ejercicios en donde existan éstas.
En la presente investigación también se pudo observar este error, como en el caso que
distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta. Otro error frecuente descrito por el
Ministerio de Educación es cuando los estudiantes “crean” propiedades. En este tipo de error
los estudiantes multiplican los exponentes en el producto de potencias de igual base y,
además, suman los exponentes de las potencias de otras potencias en un producto algebraico.
Según el Ministerio de Educación en el libro de Planes y Programa de segundo año medio,
dentro del contenido de raíces se menciona que uno de los errores frecuentes de los
estudiantes es que tienden a crear propiedades para la adición y sustracción de cantidades
subradicales. En la presente investigación se ve reflejado que muchos estudiantes aplican la
distributividad de la radicación con respecto a la suma o resta.
Los estudiantes considerados en la investigación cometen algún error, es decir, casi no
existen pruebas que no presenten alguna equivocación. Esto muestra que de cierta manera
los errores son parte de una gran cantidad de producciones de los estudiantes y que forman
un elemento constante de los procesos de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Además,
los errores que los estudiantes cometen en los contenidos de potencias y raíces, se deben a la
carencia de conocimientos previos que han trasladado a estos contenidos.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
62
6.3 Conclusiones
En esta investigación se han analizado los errores que cometen los estudiantes de segundo
año medio, se comparan las modalidades de los colegios con la cantidad de errores que
cometen los estudiantes en el contenido de potencias y raíces, y la relación que existe entre
ellos, pudiéndose inferir las siguientes conclusiones:
1. Los tres errores más frecuentes en el contenido de potencias en los estudiantes de
segundo medio son:
- Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta solo a algunos de
los factores. Donde el 30,4% de los alumnos incurrió en este error.
- Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero negativo y la base es
una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos
multiplicativos de los sumandos. Donde el 20,3% de los alumnos incurrió en este
error.
- Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma
o resta algebraica. Donde el 18,11% de los alumnos incurrió en este error.
Los tres errores más frecuentes en el contenido de raíces en los estudiantes de segundo
medio son:
- Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica. Donde el 33,8%
de los alumnos incurrió en este error.
- Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta. Donde el
26,1% de los estudiantes incurrió en este error.
- Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el
campo de los reales. Donde el 10,8% de los alumnos incurrió en este error.
- Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una expresión
radical. Donde el 10,8% de los alumnos incurrió en este error.
- No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz. Donde el 10,8
de los alumnos incurrió en este error.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
63
2. Los tres errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio CH
en el contenido de potencias son:
- Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero negativo y la base es
una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos
multiplicativos de los sumandos, con un 30%.
- Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma
o resta algebraica, con un 23,3%.
- Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de
los factores, con un 15%.
Los errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio CH en el
contenido de raíces son:
- Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica, con un 52,2%.
- Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el
campo de los reales, con un 17,4%.
- Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta, con un 8,7%.
- Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el
campo de los reales. Con un 8,7%.
- Consideran que un número y una raíz son simplificables en el producto cuando el
número es igual al radicando de la raíz. Con un 8,7%.
Los tres errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio TP
en el contenido de potencias son:
- Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de
los factores, con un 42,3%.
- Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma
o resta algebraica. Con un 14,1%.
- Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero negativo y la base es
una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos
multiplicativos de los sumandos. Con un 12,8%.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
64
Los tres errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio TP en
el contenido de raíces son:
- Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta. Con un 35,7%.
- Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica. Con un 23,8%.
- No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz. Con un
16,7%.
3. No hay diferencia significativa en el promedio de errores cometidos por el colegio CH y TP
en el contenido de potencias, en cambio si hay diferencia significativa en el promedio de
errores cometidos por el colegio CH y TP en el contenido de raíces.
4. Las situaciones generadoras de errores más recurrentes que se obtuvieron a partir de los
errores más frecuentes cometidos por los alumnos de segundo año medio en el contenido
de potencias son las siguientes:
- Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre
números y literales.
- Resolver una potencia negativa, donde la base está compuesta por una suma o
resta de fracciones literales.
- Resolver el cociente de potencias donde el numerador y denominador contienen
una suma o resta algebraica con igual literal.
Las situaciones generadoras de errores en la que más incurrieron los alumnos de segundo
año medio en el contenido de raíces son las siguientes:
- Factorizar el radicando de una raíz para simplificar.
- Manipular expresiones con radicales.
- Calcular raíces cuadradas de números enteros que nos son cuadrados perfectos.
- Calcular sumas o restas de raíces.
- Determinar el valor de raíces de índice impar y radicando negativo.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
65
5. Las situaciones generadoras de error en el contenido de potencias en el establecimiento
CH son las mismas que las situaciones generadoras de error que en el establecimiento TP y
además coinciden con las descritas en la conclusión anterior. Lo mismo ocurre en el caso
de las situaciones generadoras de error entre los establecimientos TP y CH en el contenido
de raíces.
6. Existe relación entre los errores que se presentan en el contenido de potencias y los
errores que se presentan en el contenido de raíces en el colegio CH. Sin embargo en el
colegio TP no existe dicha relación.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
66
6.4 Sugerencias
Al finalizar esta investigación se pueden proponer las siguientes sugerencias:
• Ampliar la muestra a más colegios de tipo municipal, particular subvencionado y
particular, para poder considerar más variables que las utilizadas en esta investigación.
• Estudiar la relación que tiene la frecuencia de error con el rendimiento escolar en
matemática.
• Comparar la frecuencia de error de colegios municipales, particulares subvencionados
y particulares.
• Proponer en trabajos futuros ingenierías didácticas para el aprendizaje de los
contenidos correspondientes a potencias y raíces, haciendo hincapié en los obstáculos
que generan errores.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
67
Referencias
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alumnos que ingresan a la universidad. En Revista Iberoamericana de Educación. Recuperado
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Reyes, C. (2005) Determinación de errores frecuentes en el estudio de la matemática en la
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Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Anexos
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
71
Anexo 1: Ejemplar del instrumento utilizado en esa investigación
PRUEBA DE POTENCIAS Y RAÍCES
Investigación realizada por los seminaristas de Pedagogía en Matemática y
Educación Tecnológica, Sr. César Tapia G. - Srta. Lindsay Ulsen B. y dirigida por el
profesor Sr. Cristian Pérez T.
Universidad de Concepción, Campus Los Ángeles, Departamento de Ciencias
Básicas.
Nombre:_________________________________________________________ Edad:_________
Establecimiento:___________________________________ Curso:________ Fecha:________
Instrucciones:
1. Con esta presente prueba pretendemos investigar los errores que se repiten con
frecuencia al resolver ciertos ejercicios matemáticos específicamente en potencias y
raíces.
2. Los resultados que obtengamos de este estudio nos pueden resultar útiles para tomar
decisiones correctas con respecto a las metodologías de enseñanza que se están utilizando
para conocer las dificultades y obstáculos que se presentan en el estudio de estas áreas
temáticas. Por lo mismo, te rogamos que respondas esta prueba con el máximo interés.
3. La prueba que te proponemos realizar consta de 12 ejercicios que tendrás que leer
detenidamente cada uno de los enunciados y tratar de resolverlo de la mejor manera.
4. Desarrolla cada ejercicio, utilizando los conocimientos adquiridos en Matemática durante
tu paso por los primeros cursos de Enseñanza Media.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
72
5. Responda con lápiz pasta o lápiz de mina, evitando borrones, de forma legible y con buena
redacción.
6. Utiliza sólo el espacio disponible en los recuadros para el desarrollo y/o la respuesta a
cada pregunta, este espacio es muy importante respetarlo ya que será base en nuestra
investigación.
7. Si no entiendes bien lo que se debe hacer o tienes alguna duda con respecto a algún
ejercicio, pregúntanos.
8. Tendrá un tiempo máximo de 50 minutos para responder la prueba.
9. Te garantizamos que la información obtenida en esta prueba será totalmente confidencial.
Tu nombre no aparecerá en ningún documento, y personas ajenas a esta investigación, no
podrán acceder a tus datos personales.
Se agradece tu colaboración.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
73
Desarrollo:
Desarrollo:
Desarrollo:
Potencias
1. (2�)� ∙ (3�)� =
2. ¿ Cuál es el valor de la expresión 3� ∙ (2� + 5�) + (8� − 3�)?
3. 4�� + 2�� − 2�� =
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
74
Desarrollo:
Desarrollo:
Desarrollo:
4. Si �� − �� = � y � − � = �, entonces el valor de ��
es
5. (2� · 3��)� =
6. Si = �� + �
@, entonces �"
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Desarrollo:
Desarrollo:
Desarrollo:
7. #$%#&
#&%#$ =
Raíces
8. El número √−32& es igual a:
9. '√50 + √512 − √242- ÷ 2 =
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Desarrollo:
Desarrollo:
Desarrollo:
10. Si *2 + √3 − *2 + √3 = �, entonces �� − 2 es:
11. √12 − √2 + √8 − √3 =
12. La expresión (1 − √2)� es equivalente a
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Anexo 2: Planes y programas del Ministerio de Educación en el contenido de Potencias y
Raíces
Basados en los Planes y Programas de Estudio del MINEDUC, se describirán los propósitos
en los contenidos de potencias y raíces.
Anexo 2.1: Potencias
Objetivo fundamental:
• Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y
exponente entero y utilizar sus propiedades.
Contenidos Mínimos Obligatorios:
• Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero
y aplicación de ellas en diferentes contextos.
• Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o
potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los
procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos
Aprendizaje Esperado: Comprender el significado de las potencias de base racional y
exponente entero.
• ¿Qué es una potencia de base racional y exponente entero?
• ¿Qué propiedades se pueden utilizar para operar con potencias?
Propósito del contenido:
− Identificar situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de
base racional y exponente entero.
− Conjeturar y verificar acerca de sus propiedades.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Habilidades: Representar situaciones utilizando las potencias de base racional y
exponente entero.
Indicadores de evaluación:
− Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de
base racional y exponente entero.
− Realizan operaciones de multiplicación y división de potencias de base racional y
exponente entero, utilizando sus propiedades.
− Resuelven problemas utilizando potencias de base racional y exponente entero.
Aprendizaje Esperado: Resolver problemas en contextos diversos que involucran números
racionales o potencias de base racional y exponente entero.
• ¿Cómo resolver problemas que involucran operaciones combinadas con números
racionales y potencias?
Propósito del contenido: Resolver problemas que involucren otras áreas del
conocimiento utilizando operaciones combinadas de números racionales y potencias.
Habilidades:
− Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales.
− Representar situaciones utilizando las potencias de base racional y exponente
entero.
Indicadores de evaluación:
− Explican los procedimientos empleados para resolver problemas que involucran
números racionales.
− Evalúan las soluciones de problemas con números racionales en función del
contexto.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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− Aplican propiedades de las potencias de base racional y exponente entero en la
resolución de problemas.
− Emplean más de una estrategia para resolver problemas referidos a potencias de
base racional y exponente entero.
Lecciones:
Lección 1: ¿Qué es una potencia de base racional y exponente entero?
Propósito:
• Comprender que las potencias de exponente entero y base en Q se utilizan para
representar diversas situaciones.
Palabras claves:
• Exponente, base, potencia.
Prerrequisitos:
• Potencias de base entera y exponente natural.
Lección 2: ¿Qué propiedades se pueden utilizar para operar con potencias?
Propósito:
• Simplificar los cálculos que involucran potencias utilizando sus propiedades.
Palabras claves:
• Multiplicación y división de potencias, potencia de una potencia.
Prerrequisitos:
• Propiedades de las potencias con base entera y exponente natural.
Lección 3: ¿Cómo resolver problemas que involucran operaciones combinadas con números
racionales y potencias?
Propósito:
• Resolver ejercicios y problemas utilizando operaciones combinadas y potencias.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Palabras claves:
• Operaciones combinadas de números racionales
Prerrequisitos:
• Operaciones con números enteros.
• Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.
• Prioridad de las operaciones.
Anexo 2.2: Raíces
Objetivo Fundamental:
• Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los
números reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolución de
problemas.
Contenido Mínimo Obligatorio de la Educación Media:
• Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su
relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus
propiedades.
Aprendizajes Esperados:
− Raíz enésima: Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales.
− Raíces y operaciones, potencias de exponente racional: Utilizar relaciones entre las
potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces.
− Racionalización y raíces enésimas, problemas y ecuaciones: Resolver problemas en
contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Lecciones:
Lección 1: Raíz enésima
Propósito:
• Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.
Palabras claves:
• Raíz, potencia, exponente, base, subradical, racional.
Prerrequisitos:
• Operaciones con números racionales.
• Concepto de potencia en la notación de expresiones numéricas.
• Cálculo de potencias de base racional y exponente entero.
• Aplicación de propiedades de la operatoria de potencias.
Lección 2: Potencias de exponente racional
Propósito:
• Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de
ellas.
Palabras claves:
• Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, exponente, racional, propiedades.
Prerrequisitos:
• Aplicación de propiedades de potencias.
• Cálculo de raíces enésimas por definición.
• Aplicación de propiedades de la operatoria con raíces.
Lección 3: Racionalización
Propósito:
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• Racionalizar expresiones fraccionarias.
Palabras claves:
• Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, amplificar, exponente, racionalizar,
expresiones.
Prerrequisitos:
• Aplicación de productos notables: en el cálculo de expresiones algebraicas.
• Aplicación de propiedades de las potencias.
• Cálculo de raíces enésimas por definición.
• Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas.
Lección 4: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones
Propósito:
• Resolver problemas que involucran raíces.
Palabras claves:
• Ecuaciones, radicales, problemas, resolución, raíces, soluciones, verificar
Prerrequisitos:
• Aplicación de productos notables: en el cálculo de expresiones algebraicas.
• Aplicación de propiedades de las potencias.
• Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas.
• Planteo y resolución de ecuaciones, y verificación de sus soluciones.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Anexo 3: Tabulaciones
Desempeño de una muestra de estudiantes de liceos municipales de Los Ángeles en el
contenido de potencias y raíces
0: El alumno responde correctamente.
OO: El alumno omite su respuesta.
E C: El alumno comete un error en otro contenido.
1 - 20: La respuesta del alumno es errada. Cada número corresponde al tipo de error en el
aprendizaje de la matemática.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Anexo 3.1: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del Establecimiento A
(CH)
Tabulación de los errores correspondientes a cada ejercicio — C. H. (Liceo Bicentenario)
Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Curso 2º año D 2º año B
Pregunta Potencias
1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 6 0 E C
0 0 0 0 6 0 0 0 0 E C
0 0 0 10
3 6 0 3
2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E C
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
3 0 0 0 0 0 E C
0 0 0 9 0 0 E C
10
0 9 0 0 11
0 0 0 0 E C
0 0 0 0 0 0 0 9
4 8 0 8 0 0 4 8 0 0 0 4 8 8 0 8 OO
0 0 8 OO
4 8 OO
4 0 0 0 OO
4 0 8 4
5 0 0 E C
OO
0 0 0 0 0 OO
0 0 3 5 0 0 0 0 3 0 E C
0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 3
6 E C
0 OO
2 2 2 2 2 0 2 2 2 7 E C
2 2 0 OO
2 2 2 2 2 OO
E C
0 2 2 2 OO
0 OO
7 EC
0 8 0 0 8 EC
OO
0 0 0 0 OO
0 E C
0 OO
0 8 0 0 0 OO
0 8 0 0 0 0 8 0 0
Errores 1 0 2 1 1 4 3 1 0 3 2 3 3 2 2 2 0 0 6 1 2 2 1 2 2 0 1 2 4 2 1 4
Correctas 4 7 3 5 6 2 3 5 7 3 5 4 2 3 4 4 6 6 0 5 4 5 4 2 4 7 6 4 3 4 6 2
omitidas 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1
Error en otro
contenido
2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0
Pregunta Raíces
8 0 0 0 OO
0 0 0 0 0 0 0 0 16
0 0 16
OO
0 14
0 0 0 0 14
0 0 0 14
14
OO
0 0
9 OO
0 OO
E C
0 0 EC
0 0 0 OO
0 E C
0 OO
E C
0 OO
0 0 OO
0 0 E C
0 0 E C
OO
0 E C
0 OO
10 0 0 E C
0 E C
0 OO
E C
0 0 E C
0 20
0 E C
0 OO
0 12
0 0 20
0 OO
E C
0 OO
0 OO
0 0 0
11 0 0 E C
0 0 0 0 OO
0 0 0 0 0 E C
E C
0 0 12
0 0 E C
0 0 0 0 0 0 0 E C
0 0 E C
12 0 0 20
E C
20
20
20
EC
20
0 0 18
E C
E C
20
20
E C
20
0 0 E C
0 15
0 E C
0 0 E C
15
20
E C
20
Errores 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1
Correctas 4 0 1 2 3 4 2 2 4 5 3 4 1 3 1 2 2 2 3 5 2 4 4 2 3 5 3 2 2 2 4 2
Omitidas 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 3 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1
Error en otro
contenido 0 0 2 2 1 0 1 2 0 0 1 0 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
85
Tabulación total de los errores correspondiente a cada ejercicio por Establecimiento A
(CH)
Errores 0 OO EC Error más frecuente
Total Correctas Omitidas Errores en otro
contenido
Tipo de error más recurrente
Frecuencia
PREGUNTA POTENCIAS
1 8 22 0 2 3 4
2 2 29 0 1 1 2
3 5 24 0 3 9 3
4 15 9 4 4 8 9
5 6 22 2 2 3 5
6 19 5 5 3 2 18
7 5 21 4 2 8 5
Totales 60 132 15 17
PREGUNTA RAICES
8 6 23 3 0 14 4
9 0 17 8 7 0 0
10 3 17 6 6 20 2
11 1 24 1 6 12 1
12 13 10 0 9 20 10
Totales 23 91 18 28
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
86
Anexo 3.2: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del Establecimiento B
(TP)
Tabulación de los errores correspondientes a cada ejercicio — TP (Liceo Técnico B-63)
Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Curso 2º año D 2º año B
Pregunta Potencias
1 3 6 0 3 0 0 3 3 0 3 3 3 0 0 3 3 0 0 0 3 3 3 3 0 3 0 3 0 3 0 3 3
2 4 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
3 0 11
E C
O O
0 0 11
11
11
OO
11
10
10
EC
EC
11
0 0 0 EC
EC
9 0 EC
EC
EC
0 EC
0 0 0 11
4 0 E C
O O
O O
8 OO
EC
EC
EC
EC
OO
4 OO
OO
OO
8 OO
OO
OO
OO
OO
EC
EC
EC
OO
OO
EC
EC
EC
EC
8 8
5 O O
E C
E C
O O
0 EC
3 3 EC
3 3 EC
OO
0 3 3 0 3 3 3 EC
OO
OO
OO
10
3 3 3 3 EC
3 3
6 2 6 E C
EC
2 OO
OO
OO
OO
EC
EC
2 OO
OO
OO
OO
EC
OO
2 2 OO
OO
OO
OO
2 2 2 OO
OO
EC
2 2
7 8 8 8 EC
0 OO
8 EC
OO
8 EC
8 EC
0 OO
8 0 0 OO
OO
OO
OO
OO
OO
OO
OO
EC
OO
EC
OO
OO
OO
Errores 4 5 1 1 3 1 5 4 1 3 4 5 1 1 2 6 0 1 2 3 1 2 1 0 3 2 3 1 2 0 4 6
Correctas 2 0 2 1 4 2 0 0 2 1 0 1 2 3 1 0 5 4 3 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 0
Omitidas 1 0 1 3 0 3 1 1 2 1 1 0 3 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 3 2 2 0 2 1 1 1 1
Error en otro
contenido
0 2 3 2 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 0 0
Pregunta Raíces
8 EC
0 14
0 0 0 OO
EC
EC
OO
EC
EC
OO
0 EC
14
0 EC
OO
OO
0 OO
OO
OO
EC
EC
EC
EC
OO
OO
0 14
9 OO
13
19
OO
EC
OO
16
16
16
17
16
OO
EC
OO
OO
OO
OO
OO
OO
17
17
17
17
OO
OO
OO
OO
EC
OO
17
OO
EC
10 OO
OO
12
12
0 OO
12
OO
EC
OO
OO
EC
OO
OO
OO
12
OO
OO
OO
12
12
12
EC
OO
OO
EC
OO
OO
12
12
12
OO
11 EC
OO
12
OO
0 12
12
EC
OO
17
16
EC
OO
EC
OO
12
0 0 EC
OO
EC
OO
OO
EC
OO
EC
OO
EC
EC
OO
EC
12
12 OO
EC
20
OO
20
OO
EC
EC
20
EC
OO
OO
OO
OO
OO
20
0 OO
OO
20
20
20
EC
OO
EC
EC
OO
EC
20
20
EC
20
Errores 0 1 5 1 1 1 3 1 2 2 2 0 0 0 0 4 0 0 0 3 3 3 1 0 0 0 0 0 2 3 1 3
Correctas 0 1 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Omitidas 3 2 0 3 0 3 1 1 1 2 2 2 4 3 4 1 2 3 4 2 0 2 2 4 3 1 4 1 2 2 1 1
Error en otro
contenido
2 1 0 0 1 0 1 3 2 1 1 3 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 2 4 1 4 1 0 2 1
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
87
Tabulación total de los errores correspondiente a cada ejercicio por Establecimiento B
(TP)
Errores 0 OO EC Error más frecuente
Total Correctas Omitidas Errores en
otro contenido
Tipo de error más recurrente
Frecuencia
PREGUNTA POTENCIAS
1 19 13 0 0 3 18
2 10 22 0 0 1 9
3 10 11 2 9 11 6
4 5 0 15 12 8 4
5 16 3 6 7 3 15
6 11 0 15 6 2 10
7 7 4 15 6 8 7
Totales 78 53 53 40
PREGUNTA RAICES
8 3 8 10 11 14 3
9 12 3 12 5 17 6
10 10 1 17 4 12 10
11 7 3 11 11 12 5
12 10 1 12 9 20 10
Totales 42 16 62 40
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
88
Anexo 4: Pruebas de normalidad y pruebas de hipótesis
Anexo 4.1: Hipótesis 1
Prueba de bondad de ajuste:
Pruebas de normalidad:
Prueba de Jarque-Bera (CH):
JB (Valor observado) 4,806 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,090 Alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La variable de la cual se extrajo la muestra sigue una distribución Normal.
Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal.
Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede rechazar la hipótesis nula H0.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 9,04%.
Prueba de Jarque-Bera (TP):
JB (Valor observado) 2,151 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,341 Alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La variable de la cual se extrajo la muestra sigue una distribución Normal.
Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede
rechazar la hipótesis nula H0.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 34,12%.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
89
Resumen:
Variable\Prueba Jarque-Bera
CH 0,090
TP 0,341
Prueba de hipótesis:
Muestra 1: Libro = Nuevo Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$A$1:$A$33 / 32 filas y 1 columna Muestra 2: Libro = Nuevo Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$B$1:$B$33 / 32 filas y 1 columna
Diferencia supuesta (D): 0
Nivel de significación (%): 5 Varianzas de la poblaciones para la prueba t: Suponer igualdad
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones Obs. con datos
perdidos Obs. sin datos
perdidos Mínimo Máximo Media Desv. típica
CH 32 0 32 0,000 8,000 2,563 1,795 TP 32 0 32 0,000 10,000 3,750 2,489
Prueba t para dos muestras independientes / Prueba unilateral:
Intervalo de confianza para la diferencia entre las medias al 95%: [ -2,272 ; -0,103 [
Diferencia -1,188 t (Valor
observado) -2,189 |t| (Valor
crítico) 1,999 GL 62 valor-p
(unilateral) 0,016 alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La diferencia entre las medias es igual a 0.
Ha: La diferencia entre las medias es diferente de 0. Puesto que el valor-p computado es menor que el nivel de significación alfa=0,05, se debe
rechazar la hipótesis nula H0, y aceptar la hipótesis alternativa Ha.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es inferior al 3,24%.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Anexo 4.2: Hipótesis 2
Pruebas de normalidad:
Prueba de Jarque-Bera (CH):
JB (Valor observado) 4,486 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,106 Alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La variable de la cual se extrajo la muestra sigue una distribución Normal.
Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede rechazar
la hipótesis nula H0.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 10,62%.
Prueba de Jarque-Bera (TP):
JB (Valor observado) 2,258 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,323 alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La variable de la cual se extrajo la muestra sigue una distribución Normal.
Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede rechazar
la hipótesis nula H0.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 32,33%. Resumen:
Variable\Prueba Jarque-Bera
CH 0,106
TP 0,323
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Prueba de hipótesis:
Muestra 1: Libro = hipotesis-1.xlsx / Hoja = Hoja2 / Rango = Hoja2!$A$2:$A$34 / 32 filas y 1 columna Muestra 2: Libro = hipotesis-1.xlsx / Hoja = Hoja2 / Rango = Hoja2!$B$2:$B$34 / 32 filas y 1 columna Diferencia supuesta (D): 0
Nivel de significación (%): 5 Varianzas de las poblaciones para la prueba t: Suponer igualdad
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones Obs. con datos
perdidos Obs. sin datos
perdidos Mínimo Máximo Media Desv. típica
CH 32 0 32 0,000 6,000 1,875 1,385 TP 32 0 32 0,000 6,000 2,438 1,759
Prueba t para dos muestras independientes / Prueba unilateral:
Intervalo de confianza para la diferencia entre las medias al 95%: [ -1,354 ; 0,229 [
Diferencia -0,563 t (Valor
observado) -1,421 |t| (Valor
crítico) 1,999 GL 62 valor-p
(unilateral) 0,08 Alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La diferencia entre las medias es igual a 0.
Ha: La diferencia entre las medias es diferente de 0. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede
rechazar la hipótesis nula H0.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 16,02%.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Anexo 4.3: Hipótesis 3
Pruebas de normalidad:
Prueba de Jarque-Bera (CH):
JB (Valor observado) 2,135 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,344 Alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La variable de la cual se extrajo la muestra sigue una distribución Normal.
Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede rechazar
la hipótesis nula H0.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 34,39%.
Prueba de Jarque-Bera (TP):
JB (Valor observado) 3,552 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,169 Alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La variable de la cual se extrajo la muestra sigue una distribución Normal.
Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede
rechazar la hipótesis nula H0.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 16,93%.
Resumen:
Variable\Prueba Jarque-Bera
CH 0,344
TP 0,119
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
93
Prueba de hipótesis:
Muestra 1: Libro = Hipotesis 2.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$A$2:$A$34 / 32 filas y 1 columna
Muestra 2: Libro = Hipotesis 2.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$B$2:$B$34 / 32 filas y 1 columna
Diferencia supuesta (D): 0
Nivel de significación (%): 5
Varianzas de la poblaciones para la prueba t: Suponer igualdad
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones
Obs. con datos
perdidos Obs. sin datos
perdidos Mínimo Máximo Media Desv. típica
CH 32 0 32 0,000 2,000 0,688 0,693 TP 32 0 32 0,000 5,000 1,313 1,424
Prueba t para dos muestras independientes / Prueba unilateral:
Intervalo de confianza para la diferencia entre las medias al 95%: [ -1,185 ; -0,065 [
Diferencia -0,625 t (Valor
observado) -2,232 |t| (Valor
crítico) 1,999 GL 62 valor-p
(unilateral) 0,0145 Alfa 0,05
Interpretación de la prueba: H0: La diferencia entre las medias es igual a 0.
Ha: La diferencia entre las medias es diferente de 0. Puesto que el valor-p computado es menor que el nivel de significación alfa=0,05, se debe rechazar
la hipótesis nula H0, y aceptar la hipótesis alternativa Ha.
El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es inferior al 2,92%.
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
94
Anexo 4.4: Hipótesis 4
Prueba de hipótesis:
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones Obs. con datos
perdidos Obs. sin datos
perdidos Mínimo Máximo Media Desv. típica
CH 32 0 32 0,000 6,000 1,875 1,385
CH 32 0 32 0,000 2,000 0,688 0,693
Matriz de correlaciones (Pearson):
Variables CH CH CH 1 0,429 CH 0,429 1 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05
valores-p:
Variables CH CH CH 0 0,014 CH 0,014 0 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05
Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017
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Anexo 4.5: Hipótesis 5
Prueba de hipótesis:
Estadísticos descriptivos:
Variable Observaciones Obs. con datos
perdidos Obs. sin datos
perdidos Mínimo Máximo Media Desv. Típica
TP 32 0 32 0,000 6,000 2,438 1,759
TP 32 0 32 0,000 5,000 1,313 1,424
Matriz de correlaciones (Pearson):
Variables TP TP TP 1 0,214 TP 0,214 1 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05
valores-p:
Variables TP TP TP 0 0,239 TP 0,239 0 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05
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