UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-116-3-M-1-00-2016_sA
CURSO: Matemática Aplicada 3
SEMESTRE: Primero
CÓDIGO DEL CURSO: 116
TIPO DE EXAMEN: Tercer Examen Parcial
FECHA DE EXAMEN: 4 de Mayo de 2016
RESOLVIÓ EL EXAMEN: Ing. Alfonso Velázquez
DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Juan Ramón Veleche Brán
COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz
INSTRUCCIONES:
Resuelva los temas que se presentan a continuación dejando los
procedimientos necesarios para justificar sus respuestas, trabaje limpio y
ordenado. UTILICE HASTA 6 DECIMALES
TEMA 1 (30 puntos)
Para el siguiente sistema:
2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 2
𝑥1 − 8𝑥2 + 3𝑥3 = −6
3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2
Partiendo de la aproximación inicial 𝑥(0) = 0́ y con una tolerancia de 10-3
determine la solución mediante la siguiente secuencia (DEJE CONSTANCIA
DE 1 ITERACIÔN COMPLETA POR CADA METODO) :
a) Determine SOLO 3 ITERACIONES con el método de Jacobi x(3)
Solución: Como primer paso para utilizar el método de Jacobi se debe de demostrar que
la matriz de valores del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante:
2 −1 41 −8 33 1 −3
=2−62
Se debe primeramente ordenar las filas en orden decreciente:
2 −1 41 −8 33 1 −3
=2−62
Se ordena de la siguiente manera:
3 1 −31 −8 32 −1 4
=2−62
Valor más grande
en la columna (1)
se le asigna a la
fila el número 1.
Valor más grande
en la columna (2)
y asigna a la fila
el número 2.
Se comprueba que la matriz
es diagonalmente dominante:
3˃|1 + 3|
|−8|˃(1 + 3)
|4|˃|2 + 1|
La matriz es diagonalmente
dominante.
Se procede a desarrollar el método. Se procede a despejar el sistema de
ecuaciones:
2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 2
𝑥1 − 8𝑥2 + 3𝑥3 = −6
3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2
Primera Iteración: k=1 con 𝑥(0) = 0,0,0 >
Ingresando al algoritmo computarizado de EXCEL®:
R// x(1) =<0,666 ; 0,75 ; 0,5˃
x(2) =<0,583 ; 1,02 ; 0,354˃
𝑥1 =−𝑥23
+𝑥33+2
3
𝑥2 =𝑥18+3𝑥38
+6
8
𝑥2 =−2𝑥14
+𝑥24+2
4
𝑥1 =−0
3+0
3+2
3= 2 3⁄
𝑥2 =0
8+3 ∗ 0
8+6
8= 6 8⁄
𝑥2 =−2 ∗ 0
4+0
4+2
4= 2 4⁄
Se calcula el error para los 3
valores :
‖𝑥(1) − 𝑥(0)‖ = 0,6; 0,75; 0,5 >
Se toma el valor de error más
grande: 0,75
3
x(3) =<0,444 ; 0,955; 0,463˃
b) Tome como valor de arranque la aproximación x(3) del inciso anterior y
llegue a la solución mediante el método de Gauss-Seidel con la
tolerancia indicada.
R// x (4) =<0,5001; 0,999; 0,4998˃
Tema 2 (20puntos)
Dado el siguiente sistema, resuélvalo con el Metodo de Punto Fijo no Lineal
DEJANDO CONSTANCIA DE 1 ITERACION COMPLETA
2𝑥 − 0,25(𝑠𝑖𝑛(𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = 0
2𝑦 − 0,25(𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑦)) = 0
Con : tol=10-3 x(0)=0,180,22
Primeramente se despejan las variables:
𝑔1 = 𝑥 =0,25(𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
2= 0,125𝑠𝑖𝑛𝑦 + 0,125𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑔2 = 𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛𝑥 + 0,125𝑐𝑜𝑠𝑦
Se evalúa el vector de arranque:
𝑔1 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,150 < 1
La función g1 cumple con la condición de g1(x0; y0) <1
Se evalúan las respectivas derivadas parciales para verificar la segunda
condición necesaria para aplicar el método a g1:
𝜕𝑔1𝜕𝑥
< 1𝑦𝜕𝑔1𝜕𝑦
< 1
𝑑𝑔1𝑑𝑥
= −0,125𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦𝜕𝑔1𝜕𝑦
= 0,125𝑐𝑜𝑠𝑦
Evaluando en x (0):
𝜕𝑔1𝜕𝑥
= −0,125𝑠𝑖𝑛0,18 = 0,01867 < 1
𝜕𝑔1𝜕𝑦
= 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,1219 < 1
De la misma manera para g2 :
𝑔2(0,18; 0,22) = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,14436 < 1
𝜕𝑔2𝜕𝑥
= 0,125𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,125𝑐𝑜𝑠0,18 = 0,1229 < 1
𝜕𝑔2𝜕𝑦
= −0,125𝑠𝑖𝑛𝑦 = −0,125𝑠𝑖𝑛0,22 = 0,0,02727 < 1
El despeje del sistema cumple con las condiciones necesarias para aplicar el
método. Aplicando el método
𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,150259
𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,18 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,22 = 0,14436
TOL =(0,22-0,14436)=0,075
𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,150259 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,14436 = 0,141575
𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,150259 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,14436 = 0,142411
TOL=0,0082
𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,141575 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,142411 = 0,14491
𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,141575 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,142411 = 0,141372
TOL=0,001
𝑥 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,14491 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,141372 = 0,141369
𝑦 = 0,125𝑠𝑖𝑛0,14491 + 0,125𝑐𝑜𝑠0,141372 = 0,141380
TOL=0,00012 <0,001
R// {𝑥 = 0,141369𝑦 = 0,141380
K=1
K=2
K=3
K=4
Tema 3 (25puntos)
Determine los valores y vectores característicos de la matriz 𝐴 = (2 −7 05 10 40 5 2
)
Solución Para la determinación de los vectores característicos se parte de la inserción
de λ :
‖𝐴 − 𝜆𝐼‖ = (2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆
)
Se encuentra el determinante de la matriz:
2 − 𝜆[ |(10 − 𝜆) + 20]
(2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆
) ↔ (2 − 𝜆)
(2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆
) ↔ −(−7)[5(2 − 𝜆) + 0] (2 − 𝜆 −7 05 10 − 𝜆 40 5 2 − 𝜆
)
↔ 0[25 + 0]
El determinante:
2 − 𝜆[ |(10 − 𝜆) + 20] + (7)[5(2 − 𝜆)]
|𝐴 − 𝜆𝐼| = (2 − 𝜆)
Se resuelve la ecuación: |𝐴 − 𝜆𝐼| = 0
Desarrollando |𝐴 − 𝜆𝐼| : −𝜆3 + 14𝜆2 − 59𝜆 + 70 = 0
Resolviendo se encuentran los valores propios: 𝜆1 = 2; 𝜆2 = 7; 𝜆3 = 5
Evaluando los valores propios para cada valor propio:
(2 − 2 −7 05 10 − 2 40 5 2 − 2
) = (0 −7 05 8 40 5 0
)
Se traduce en la ecuación: -7y=0; 5x+8y+4z=0
Por tanto: x=-4/5z, si z=5
Resolviendo: 𝐾1́ =−405
λ= 2
(2 − 7 −7 05 10 − 7 40 5 2 − 7
) = (−5 −7 05 3 40 5 −5
)
Resolviendo 𝐾2´ =
−755
(2 − 5 −7 05 10 − 5 40 5 2 − 5
) = (−2 −7 05 5 40 5 −3
)
Resolviendo 𝐾3´ =
−735
Tema 4(25 puntos)
De la tabla siguiente, formule un polinomio de grado 3 por el método de
DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON; SIMPLIFIQUELO y utilícelo para
encontrar la aproximación de f (30). Dejar constancia de todo el procedimiento:
X F(X)
5 30
15 45
25 55
40 35
Solución: Como primer paso, se debe definir qué tipo de diferencias divididas se adapta
al caso estudiado. Analizando la tabla:
X F(X)
5 30
15 45
25 55
40 35
x f(x) Col.1 Col.2 Col.3 Col.4
5 30
15 45 1,5
25 55 1 -0,025
40 35 -1,33333333 -0,09333333 -0,00195238
TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
λ= 7
λ= 5
Al interpolar el valor de
30, se utiliza el método
de diferencias
divididas progresivas
45 − 30
15 − 5=15
10= 1,5
De esta manera, se tiene la tabla de diferencias divididas:
TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
x f(x) Col.1 Col.2 Col.3 Col.4
5 30
15 45 1,5
25 55 1 -0,025
40 35 -1,33333333 -0,09333333 -0,00195238
Aplicando la fórmula de diferencias divididas:
P(x) = 30 +1,5(x-5)-0,035(x-5)(x-15)-0,00195238(x-5)(x-15)(x-25)
Valuando para x=30
P(30) = 53,4639
−0,093333 − (−0,00195238)
40 − 5= −0,00195238
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