Universidad de Tarapaca
Tema I: Fundamentos de la conversión electromecánica de energía
Dpto. de Electrónica
ENERGIA ALMACENADA EN UN CAMPO ELECTRICO
dv Ri
dt
dv Ri
dt
2 dv i R i i
dt
2 dv i R i i
dt
Potencia que va al campo magnético
Potencia que va al campo magnético
Tensión InducidaTensión Inducida
ii
i
vN
La energía es:
2
0 0 0
f f ft t td
vi Ri i dtdt
2
0 0 0
f f ft t td
vi Ri i dtdt
Energía que entrega la fuente
Energía que entrega la fuente
Energía que se transforma en calor
Energía que se transforma en calor Energía que va al
campo magnético
Energía que va al campo magnético
B
H
Energía que se disipa en forma de calor al efectuar una variación de un ciclo de la corriente
xhist hP K B f
Donde x es el coeficiente de Steinniertz (1,7<x<2)
Energía almacenada en un campo magnético
Cuando una corriente eléctrica fluye a través de un elemento en un circuito eléctrico, la potencia instantánea es:
p v i p v i
La energía suministrada al elemento durante cualquier intervalo de tiempo especificado
2 2
1 1
t t
t t
W pdt vidt 2 2
1 1
t t
t t
W pdt vidt
Si el elemento de circuito es una inductancia y L es constante entonces el voltaje a través de la inductancia en cualquier instante es
die L
dt di
e Ldt
2 2 2 22 1
1 1
( )
2
t i
t i
i idiW Li dt Lidi L
dt
2 2 2 22 1
1 1
( )
2
t i
t i
i idiW Li dt Lidi L
dt
Si en la ecuación anterior i1=0 e i2= i, se tiene:
21
2W Li 21
2W Li
La Energía almacenada se puede expresar como
NL
I I
Como 2
2 2
IW
L
22
1 1
W id Nid
Estas relaciones indican claramente que la energía almacenada está relacionada al producto de la corriente por el flujo concatenado o lo que es equivalente al producto de la FMM por el flujo
Graficamente
Graficamente
Coenergía W’c
Energía Wc
d
N
Ni
Se cumple
'c c f fW W I
Para “n” bobinados
'
1
n
c c j jj
W W I
1
0
W Nid
1
0
'Ni
Ni
W dNi
Energía
Co-Energía
CONVERSIÓN DE ENERGÍA
Conversión de la Energía
Yugo
EntrehierroArmadur
a
Flujo
i e
Cuando se excita un circuito magnético que cuente con una bobina y uno o más entrehierros el campo magnético produce fuerzas en diferentes partes del circuito.
Yugo
Armadura
iv
Si cambia el circuito magnético la energía almacenada varía
Si la armadura puede moverse y juntarse con el yugo se ejecuta trabajo
Se tiene una conversión de energía de forma eléctrica a energía almacanada en un campo magnético y por último a energía mecánica
Caso primer circuito
Energía de Campo
Curva de Magnetización inicial
K
o
La curva de magnetización resulta con NI=K
0
W NId
0
W NId
0
W NId
La energía total almacenada en el campo magnético
Energía de Campo
Curva de Magnetización Final
K
1
Para la segunda situación la energía almacenada es
La curva de magnetización cambia debido a que el circuito magnético ha sido alterado al suprimir el entrehierro
Curva de magnetización final
Curva de magnetización inicial
Trayectoria transitoria
A
B
C
1
0
K
El total del trabajo realizado se presenta en el área sombreada entre las dos curvas
0
Antes de que la armadura se mueva, la energía almacenada esta dada por el área OA0O. Pero cuando la armadura se mueve, la energía de campo se emplea para ejecutar trabajo y se proporciona al campo energía adicional de la fuente.
Si la corriente es constante la energía adicional suministrada al campo por la fuente se representa por el área 0AB10. Esto es si la armadura se mueve lentamente, pero la corriente no cambia de tal manera que las condiciones del circuito magnético varían a lo largo de una línea vertical desde A hasta B.
Si la corriente es constante la energía adicional suministrada al campo por la fuente se representa por el área 0AB10. Esto es si la armadura se mueve lentamente, pero la corriente no cambia de tal manera que las condiciones del circuito magnético varían a lo largo de una línea vertical desde A hasta B.
La fuente del circuito eléctrico es capaz de suministrar esta energía puesto que la variación de flujo induce un voltaje en la bobina, alterando el voltaje terminal y la potencia instantánea.
La fuente del circuito eléctrico es capaz de suministrar esta energía puesto que la variación de flujo induce un voltaje en la bobina, alterando el voltaje terminal y la potencia instantánea.
Bajo condiciones no ideales la corriente no permanece constante de tal forma que la transición desde el punto A hasta el B es a lo largo de una curva de variación transitoria.
Bajo condiciones no ideales la corriente no permanece constante de tal forma que la transición desde el punto A hasta el B es a lo largo de una curva de variación transitoria.
La energía total suministrada al campo se representa por el área OAB1O.
La energía total suministrada al campo se representa por el área OAB1O.
La energía almacenada después de que se ha completado el movimiento de la armadura se representa por el área OCB1O.
La energía almacenada después de que se ha completado el movimiento de la armadura se representa por el área OCB1O.
El trabajo mecánico ejecutado se representa por el área OABCOEl trabajo mecánico ejecutado se representa por el área OABCO
La fuerza mecánica instantánea puede ser calculada en términos de la rapidez del cambio de energía almacenada en el campo.
La fuerza mecánica instantánea puede ser calculada en términos de la rapidez del cambio de energía almacenada en el campo.Según el principio de los trabajos
virtuales, es claro que cuando la armadura se mueve una distancia diferencial dx, entonces se ejecuta una cantidad de trabajo diferencial.
Según el principio de los trabajos virtuales, es claro que cuando la armadura se mueve una distancia diferencial dx, entonces se ejecuta una cantidad de trabajo diferencial.
dWfdx dw f
dx dWfdx dw f
dx
Si el Flujo es constante, el estado del circuito se define por un punto que se mueve desde A hacia C a lo largo de una línea horizontal, luego la energía almacenada disminuye y dW es un número negativo.
Si f es la fuerza y se define como positiva, entonces:
Si el Flujo es constante, el estado del circuito se define por un punto que se mueve desde A hacia C a lo largo de una línea horizontal, luego la energía almacenada disminuye y dW es un número negativo.
Si f es la fuerza y se define como positiva, entonces:
cte
Wf
x
cte
Wf
x
Para un circuito magnético lineal la energía de campo y la co-energía son iguales y la fuerza f puede calcularse en base a la energía de campo.
Para un circuito magnético lineal la energía de campo y la co-energía son iguales y la fuerza f puede calcularse en base a la energía de campo.
'
i ctei cte
W Wf
x x
'
i ctei cte
W Wf
x x
Supongamos un circuito lineal
2
2
21
2
LIW
dW LIdI I dL fdx
Si el movimiento de la armadura es bajo condición de flujo constante, L es constante y dL=0
cte
cte
fdx LIdI
I Wf LI
x x
El signo menos es por la disminución del entrehierro
Para el movimiento de la armadura a corriente constante dI=0
2
2
1
2
2
I cte
I cteI cte
fdx I dL
I dL Wf
dx x
El signo positivo se obtiene del hecho de que L aumenta cuando se reduce el entrehierro.
e(t)
g
Eje directo
Eje cuadratura
Movimiento giratorio
gR
A gR
A
La reluctancia de cada entrehierro
La energía almacenada en el campo del entrehierro
La energía almacenada en el campo del entrehierro
2 2 2 2 2
02 2 2 2
LI N I N I AW
R g
2 2 2 2 2
02 2 2 2
LI N I N I AW
R g
La diferencial de la energía almacenada debido al giro de la armadura
2 2 2
0 02 2 2
N I N AIdW dA dI Td
g g
Donde T es el par desarrollado. Para el caso de la rotación de la armadura con I constante, dI=0 tenemos
2 2
0 2 2 I cteI cte
N I dA WT
g d
El signo positivo es debido que a medida que aumenta el área del entrehierro, aumenta el flujo y la energía almacenadaEl sentido del Torque es siempre tal que
reduce el ángulo a cero, que es la disposición geometrica para la reluctancia mínima del entrehierro.
Rotor y Estator con bobinas
e1
e2
RotorEstator
Cuando el rotor y el estator son excitados por bobinas separadas que llevan corriente, se dice que es un circuito magnético con doble excitación.
Solo existe un campo magnético y para cualquier orientación angular dada de la armadura el campo se calcula considerando el total de la FMM y la reluctancia del circuito magnético.
Solo existe un campo magnético y para cualquier orientación angular dada de la armadura el campo se calcula considerando el total de la FMM y la reluctancia del circuito magnético.
Considerando cada una de las bobinas y sus efectos sobre el circuito magnético, el par en cada caso es precisamente el mismo que en el caso anterior. Y su sentido es de reducir el ángulo a cero y producir reluctancia mínima.
Considerando cada una de las bobinas y sus efectos sobre el circuito magnético, el par en cada caso es precisamente el mismo que en el caso anterior. Y su sentido es de reducir el ángulo a cero y producir reluctancia mínima.
Cuando ambas bobinas se excitan, el rotor se alineará para proporcionar una reluctancia mínima y con las bobinas orientadas de manera que sus fuerzas magnetomotrices se sumen aritmeticamente.
Cuando ambas bobinas se excitan, el rotor se alineará para proporcionar una reluctancia mínima y con las bobinas orientadas de manera que sus fuerzas magnetomotrices se sumen aritmeticamente.
Para cualquier orientación angular que no sea el alineamiento para reluctancia mínima, debe existir un par que tienda a producir este alineamiento.
Para cualquier orientación angular que no sea el alineamiento para reluctancia mínima, debe existir un par que tienda a producir este alineamiento.
CALCULO DEL PARToda la energía se obtiene de los circuitos
eléctricos, luego la cantidad diferencial de la energía eléctrica suministrada de o hacia los circuitos es:
1 1 2 2dW e i dt e i dt 1 1 2 2dW e i dt e i dt
Cuando se suministra energía de los circuitos se ejecuta trabajo mecánico o se almacena la energía en los campos.
1 21 2
circuito almacenada
circuito
dW Td dW
d ddW i dt i dt
dt dt
1 21 2
circuito almacenada
circuito
dW Td dW
d ddW i dt i dt
dt dt
1 11 1 12 2
2 22 2 21 1
L i L i
L i L i
1 11 1 12 2
2 22 2 21 1
L i L i
L i L i
La energía almacenada en el campo magnético antes del movimiento diferencial
2 211 1 22 2 1 2 12
1 1
2 2almacenadaW L i L i i i L 2 211 1 22 2 1 2 12
1 1
2 2almacenadaW L i L i i i L
Reemplazando en la ecuación del torque
2 21 11 2 22 1 2 12
1 1
2 2Td i dL i dL i i dL 2 2
1 11 2 22 1 2 12
1 1
2 2Td i dL i dL i i dL
El par electromagnético instantáneo
2 211 22 121 2 1 2
0 0 0
1 1
2 2
dL dL dLT i i i i
d d d 2 211 22 12
1 2 1 20 0 0
1 1
2 2
dL dL dLT i i i i
d d d
La rapidez de variación en las corrientes no produce ningún efecto en el par
La magnitud del par se determina solamente por las magnitudes instantáneas de la corriente y la rapidez del cambio de las inductancias con respecto a su posición
1 20 , tan
almacenada
i i cons te
WT
1 20 , tan
almacenada
i i cons te
WT
Las corrientes i1 e i2 pueden ser variables en el tiempo, pero el par instantáneo puede calcularse manteniendo las corrientes constantes en cada uno de sus valores instantáneos
Las corrientes i1 e i2 pueden ser variables en el tiempo, pero el par instantáneo puede calcularse manteniendo las corrientes constantes en cada uno de sus valores instantáneosSi se aplica un par externo que origine un giro en dirección opuesta al par del campo, se ejecuta trabajo en el circuito mecánico y la energía almacenada en el campo disminuye
Si se aplica un par externo que origine un giro en dirección opuesta al par del campo, se ejecuta trabajo en el circuito mecánico y la energía almacenada en el campo disminuyeAmbos efectos causan un voltaje inducido con la polaridad adecuada para enviar energía hacia las fuentes eléctricas. En este caso la conversión de energía es de la forma mecánica a eléctrica.
Ambos efectos causan un voltaje inducido con la polaridad adecuada para enviar energía hacia las fuentes eléctricas. En este caso la conversión de energía es de la forma mecánica a eléctrica.
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