Valores Propios Vectores Propios
Valores Propios y Vectores Propios
Veronica Briceno V.
noviembre 2013
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Valores Propios y Vectores Propios de una Matriz
Espacio Propio AsociadoDiagonalizacion
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Valores Propios y Vectores Propios de una MatrizEspacio Propio Asociado
Diagonalizacion
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Valores Propios y Vectores Propios de una MatrizEspacio Propio AsociadoDiagonalizacion
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Valores Propios
DefinicionSi A es una matriz de orden n × n.
Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.
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Valores Propios
DefinicionSi A es una matriz de orden n × n.
Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.
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Valores Propios
DefinicionSi A es una matriz de orden n × n.
Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.
El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.
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Valores Propios
DefinicionSi A es una matriz de orden n × n.
Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.
Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.
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Valores Propios
DefinicionSi A es una matriz de orden n × n.
Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.
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Importante
Proposicion
Si λ es un valor propio de la matriz A de orden n × n. EntoncesWλ = {~u : A~u = λ~u} es un espacio vectorial, al quellamaremos espacio propio asociado a λ.
Notacion:vp: λ~vp = ~u = u
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Importante
Proposicion
Si λ es un valor propio de la matriz A de orden n × n. EntoncesWλ = {~u : A~u = λ~u} es un espacio vectorial, al quellamaremos espacio propio asociado a λ.
Notacion:vp: λ~vp = ~u = u
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Importante
ProposicionSi λ es un valor propio de la matriz A de orden n × n. EntoncesWλ = {~u : A~u = λ~u} es un espacio vectorial, al quellamaremos espacio propio asociado a λ.
Notacion:vp: λ~vp = ~u = u
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Importante
ProposicionSi λ es un valor propio de la matriz A de orden n × n. EntoncesWλ = {~u : A~u = λ~u} es un espacio vectorial, al quellamaremos espacio propio asociado a λ.
Notacion:vp: λ~vp = ~u = u
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Importante
ProposicionSi λ es un valor propio de la matriz A de orden n × n. EntoncesWλ = {~u : A~u = λ~u} es un espacio vectorial, al quellamaremos espacio propio asociado a λ.
Notacion:vp: λ~vp = ~u = u
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicion
λ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicion
λ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.
det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.
Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:
1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .
2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Importante
En forma equivalente, podemos decir que:
Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.
Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.
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Ejemplos
Calcular los vp y ~vp de las matrices:
A =
(4 −52 −3
)
A =
(0 11 0
)A =
(0 1−2 −3
)A =
0 0 10 2 03 0 0
A =
0 2 02 0 00 0 3
A =
−3 1 −320 3 102 −2 4
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Ejemplos
Calcular los vp y ~vp de las matrices:
A =
(4 −52 −3
)A =
(0 11 0
)
A =
(0 1−2 −3
)A =
0 0 10 2 03 0 0
A =
0 2 02 0 00 0 3
A =
−3 1 −320 3 102 −2 4
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Ejemplos
Calcular los vp y ~vp de las matrices:
A =
(4 −52 −3
)A =
(0 11 0
)A =
(0 1−2 −3
)
A =
0 0 10 2 03 0 0
A =
0 2 02 0 00 0 3
A =
−3 1 −320 3 102 −2 4
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Ejemplos
Calcular los vp y ~vp de las matrices:
A =
(4 −52 −3
)A =
(0 11 0
)A =
(0 1−2 −3
)A =
0 0 10 2 03 0 0
A =
0 2 02 0 00 0 3
A =
−3 1 −320 3 102 −2 4
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Ejemplos
Calcular los vp y ~vp de las matrices:
A =
(4 −52 −3
)A =
(0 11 0
)A =
(0 1−2 −3
)A =
0 0 10 2 03 0 0
A =
0 2 02 0 00 0 3
A =
−3 1 −320 3 102 −2 4
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Ejemplos
Calcular los vp y ~vp de las matrices:
A =
(4 −52 −3
)A =
(0 11 0
)A =
(0 1−2 −3
)A =
0 0 10 2 03 0 0
A =
0 2 02 0 00 0 3
A =
−3 1 −320 3 102 −2 4
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Ejercicios
Sea A una matriz real de orden n y sea λ ∈ σ(A). Verificar que:
1 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ es un subespacio vectorial del espacio dematrices complejas de orden n × 1.
2 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ que tienen todos sus coeficientes reales es unsubespacio vectorial del espacio de matrices reales deorden n × 1.
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Ejercicios
Sea A una matriz real de orden n y sea λ ∈ σ(A). Verificar que:
1 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ es un subespacio vectorial del espacio dematrices complejas de orden n × 1.
2 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ que tienen todos sus coeficientes reales es unsubespacio vectorial del espacio de matrices reales deorden n × 1.
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Ejercicios
Sea A una matriz real de orden n y sea λ ∈ σ(A). Verificar que:
1 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ es un subespacio vectorial del espacio dematrices complejas de orden n × 1.
2 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ que tienen todos sus coeficientes reales es unsubespacio vectorial del espacio de matrices reales deorden n × 1.
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Importante
Observacion
Como los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.
DefinicionSea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.
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Importante
Observacion
Como los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.
DefinicionSea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.
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Importante
ObservacionComo los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.
DefinicionSea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.
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Importante
ObservacionComo los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.
Definicion
Sea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.
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Importante
ObservacionComo los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.
Definicion
Sea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.
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Importante
ObservacionComo los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.
DefinicionSea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.
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Proposicion:
Sea A una matriz:
La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.
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Proposicion:
Sea A una matriz:
La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.
El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.
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Proposicion:
Sea A una matriz:
La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.
Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.
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Proposicion:
Sea A una matriz:
La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.
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Teorema:
Para cada valor propio se cumple que la multiplicidadgeometrica es menor o igual que la multiplicidadalgebraica.
Los valores propios de una matriz simetrica son reales.Los valores propios de una matriz antisimetrica sonimaginarios puros.
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Teorema:
Para cada valor propio se cumple que la multiplicidadgeometrica es menor o igual que la multiplicidadalgebraica.Los valores propios de una matriz simetrica son reales.
Los valores propios de una matriz antisimetrica sonimaginarios puros.
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Teorema:
Para cada valor propio se cumple que la multiplicidadgeometrica es menor o igual que la multiplicidadalgebraica.Los valores propios de una matriz simetrica son reales.Los valores propios de una matriz antisimetrica sonimaginarios puros.
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Teoremas:
Sea λ ∈ σ(A), entonces Wλ ≤ Cn
Sean λ1, λ2, ..., λm ∈ σ(A) distintos, con sus respectivos~u1, ~u2, ..., ~um vectores propios.Entonces ~u1, ~u2, ..., ~um son l.i.Sea A una matriz de orden n.Entonces, A tiene n vectores propios l.i. si y solo si lamultiplicidad geometrica de todo vp es igual a lamultiplicidad algebraica.
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Teoremas:
Sea λ ∈ σ(A), entonces Wλ ≤ Cn
Sean λ1, λ2, ..., λm ∈ σ(A) distintos, con sus respectivos~u1, ~u2, ..., ~um vectores propios.Entonces ~u1, ~u2, ..., ~um son l.i.Sea A una matriz de orden n.Entonces, A tiene n vectores propios l.i. si y solo si lamultiplicidad geometrica de todo vp es igual a lamultiplicidad algebraica.
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Teoremas:
Sea λ ∈ σ(A), entonces Wλ ≤ Cn
Sean λ1, λ2, ..., λm ∈ σ(A) distintos, con sus respectivos~u1, ~u2, ..., ~um vectores propios.Entonces ~u1, ~u2, ..., ~um son l.i.
Sea A una matriz de orden n.Entonces, A tiene n vectores propios l.i. si y solo si lamultiplicidad geometrica de todo vp es igual a lamultiplicidad algebraica.
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Teoremas:
Sea λ ∈ σ(A), entonces Wλ ≤ Cn
Sean λ1, λ2, ..., λm ∈ σ(A) distintos, con sus respectivos~u1, ~u2, ..., ~um vectores propios.Entonces ~u1, ~u2, ..., ~um son l.i.Sea A una matriz de orden n.Entonces, A tiene n vectores propios l.i. si y solo si lamultiplicidad geometrica de todo vp es igual a lamultiplicidad algebraica.
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Ortonormal
Definicion
Diremos que una base B = {u1,u2, ...,un} de un espaciovectorial V es una base ortonormal, si los vectores de la baseson ortogonales y tienen norma 1.
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Ortonormal
Definicion
Diremos que una base B = {u1,u2, ...,un} de un espaciovectorial V es una base ortonormal, si los vectores de la baseson ortogonales y tienen norma 1.
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Ortonormal
DefinicionDiremos que una base B = {u1,u2, ...,un} de un espaciovectorial V es una base ortonormal, si los vectores de la baseson ortogonales y tienen norma 1.
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Diagonalizacion
Definicion
Dada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
Definicion
Dada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:
La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.
La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.
La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....
DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....Determinante
TrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....DeterminanteTraza
Valores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
Diagonalizacion
DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.
Las Propiedades de....DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios
de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.
Demostrar !!!
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Diagonalizacion
Definicion
Si A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
Diagonalizacion
Definicion
Si A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.
Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.
La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.
Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.
y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Diagonalizacion
DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:
Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).
Observacion:
No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.
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Teoremas
Valores propios correspondientes a vectores propiosdiferentes son linealmente independientes.
Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: lamultiplicidad geometrica es igual a la multiplicidadalgebraica.Corolario: Si todos los valores propios son distintos (esdecir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1),entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no esverdad).
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Teoremas
Valores propios correspondientes a vectores propiosdiferentes son linealmente independientes.Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: lamultiplicidad geometrica es igual a la multiplicidadalgebraica.
Corolario: Si todos los valores propios son distintos (esdecir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1),entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no esverdad).
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Teoremas
Valores propios correspondientes a vectores propiosdiferentes son linealmente independientes.Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: lamultiplicidad geometrica es igual a la multiplicidadalgebraica.Corolario: Si todos los valores propios son distintos (esdecir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1),entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no esverdad).
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Procedimiento de Diagonalizacion
A. Analizar si A es Diagonalizable.
Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
Procedimiento de Diagonalizacion
A. Analizar si A es Diagonalizable.
Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.
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Procedimiento de Diagonalizacion
A. Analizar si A es Diagonalizable.
Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.
Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.
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Procedimiento de Diagonalizacion
A. Analizar si A es Diagonalizable.
Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.
Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.
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Procedimiento de Diagonalizacion
A. Analizar si A es Diagonalizable.
Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.
Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.
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Procedimiento de Diagonalizacion
A. Analizar si A es Diagonalizable.
Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.
Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.
Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.
La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.
La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.
Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).
Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.
Ası, P−1AP .
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Procedimiento de Diagonalizacion
B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .
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Caso Matrices Simetricas
Sea A una matriz real y simetrica entonces:
Teorema
A es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .
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Caso Matrices Simetricas
Sea A una matriz real y simetrica entonces:
TeoremaA es diagonalizable.
Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .
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Caso Matrices Simetricas
Sea A una matriz real y simetrica entonces:
TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.
Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .
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Caso Matrices Simetricas
Sea A una matriz real y simetrica entonces:
TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.
La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .
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Caso Matrices Simetricas
Sea A una matriz real y simetrica entonces:
TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.
A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .
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Caso Matrices Simetricas
Sea A una matriz real y simetrica entonces:
TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .
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Ejercicios
Diagonalizar, si es posible:
A =
(5 41 2
)
A =
(−2 11 −2
)
A =
0 0 10 2 03 0 0
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
Ejercicios
Diagonalizar, si es posible:
A =
(5 41 2
)A =
(−2 11 −2
)
A =
0 0 10 2 03 0 0
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Ejercicios
Diagonalizar, si es posible:
A =
(5 41 2
)A =
(−2 11 −2
)
A =
0 0 10 2 03 0 0
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Ejercicios
Diagonalizar, si es posible:
A =
(5 41 2
)A =
(−2 11 −2
)
A =
0 0 10 2 03 0 0
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Aplicaciones
Ecuaciones Diferenciales
Matriz ExponencialPotencia de MatricesSecciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).
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Aplicaciones
Ecuaciones DiferencialesMatriz Exponencial
Potencia de MatricesSecciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).
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Aplicaciones
Ecuaciones DiferencialesMatriz ExponencialPotencia de Matrices
Secciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).
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Aplicaciones
Ecuaciones DiferencialesMatriz ExponencialPotencia de MatricesSecciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
Proceso de Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.
Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.
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Proceso de Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.
Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.
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Proceso de Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...
... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.
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Proceso de Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
Teorema
Si ~u1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. en Rn , entonces es posibleconstruir vectores ortogonales ~w1, ~w2, ..., ~wm tales que paracada k = 1,2, ...,m se cumple:
G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)
Los vectores ~wi se construyen siguiendo el procedimiento:~w1 = ~u1~w2 = ~u2 − <~u2, ~w1>
|| ~w1||2~w1
...~wk+1 = ~uk+1 −
∑ki=1
< ~uk+1, ~wj>
|| ~wk ||2~wk
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
TeoremaSi ~u1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. en Rn , entonces es posibleconstruir vectores ortogonales ~w1, ~w2, ..., ~wm tales que paracada k = 1,2, ...,m se cumple:
G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)
Los vectores ~wi se construyen siguiendo el procedimiento:~w1 = ~u1~w2 = ~u2 − <~u2, ~w1>
|| ~w1||2~w1
...~wk+1 = ~uk+1 −
∑ki=1
< ~uk+1, ~wj>
|| ~wk ||2~wk
Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios
TeoremaSi ~u1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. en Rn , entonces es posibleconstruir vectores ortogonales ~w1, ~w2, ..., ~wm tales que paracada k = 1,2, ...,m se cumple:
G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)
Los vectores ~wi se construyen siguiendo el procedimiento:
~w1 = ~u1~w2 = ~u2 − <~u2, ~w1>
|| ~w1||2~w1
...~wk+1 = ~uk+1 −
∑ki=1
< ~uk+1, ~wj>
|| ~wk ||2~wk
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TeoremaSi ~u1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. en Rn , entonces es posibleconstruir vectores ortogonales ~w1, ~w2, ..., ~wm tales que paracada k = 1,2, ...,m se cumple:
G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)
Los vectores ~wi se construyen siguiendo el procedimiento:~w1 = ~u1~w2 = ~u2 − <~u2, ~w1>
|| ~w1||2~w1
...~wk+1 = ~uk+1 −
∑ki=1
< ~uk+1, ~wj>
|| ~wk ||2~wk
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Ejemplos
Aplicar G-S, a los siguientes vectores:~u1 = (3,0,4), ~u2 = (−1,0,7), ~u3 = (2,9,11) en R3.
~u1 = (1,0,2,1), ~u2 = (1,1,0,1) en R4.
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Ejemplos
Aplicar G-S, a los siguientes vectores:~u1 = (3,0,4), ~u2 = (−1,0,7), ~u3 = (2,9,11) en R3.~u1 = (1,0,2,1), ~u2 = (1,1,0,1) en R4.
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Ejercicios Propuestos
Dada la matriz A =
1 a aa 1 aa a 1
donde a es una
constante real. Determine: 1. El polinomio caracteristicode A.2. Los valores y vectores propios de A y sus subespaciospropios asociados.3. ¿Para que valores de a, la matriz A es diagonalizable?4. Determine en caso de existir la matriz que diagonaliza aA.
Muestre que la matriz A =
(1 −1−1 1
)es diagonalizable
y determine una matriz X tal que X 5 = A
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Ejercicios Propuestos
Dada la matriz A =
1 a aa 1 aa a 1
donde a es una
constante real. Determine: 1. El polinomio caracteristicode A.2. Los valores y vectores propios de A y sus subespaciospropios asociados.3. ¿Para que valores de a, la matriz A es diagonalizable?4. Determine en caso de existir la matriz que diagonaliza aA.
Muestre que la matriz A =
(1 −1−1 1
)es diagonalizable
y determine una matriz X tal que X 5 = A
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