UNIVERSIDAD CONTINENTAL DE CIENCIAS E INGENIERIA
ASIGNATURA
MECNICA VECTORIAL
Vectores de Fuerza
Ing. Juan Osiel Flores Ramos
Huancayo, 2009
Mecnica Vectorial Juan Osiel Flores Ramos 2
1. VECTORES DE FUERZA
VECTORES Y ESCALARES
En la mecnica, la mayora de las cantidades fsicas pueden ser
expresadas matemticamente por medio de escalares o vectores
a) Escalar: es una cantidad que se representa solo por un nmero, son ejemplo de escalares; la longitud, el volumen, la masa, etc.
b) Vector: es una cantidad que posee tanto una magnitud (mdulo) una direccin, en esttica las cantidades vectoriales mas
comunes son: la posicin, la fuerza y el momento.
Grficamente un vector se representa mediante un segmento de
recta orientado (Fig. 2.1)
Fig. 2.1: Representacin de un vector
a
SUMA DE VECTORIAL DE FUERZAS
a) Mtodo del paralelogramo
Se forma un paralelogramo, tomando como lados los dos
vectores, con origen comn, la diagonal que sale del origen
comn es la resultante.
: vector a
aa : mdulo del vector a
:direccin del vector a
(giro antihorario)
a
a
a
y
x
a
b
baR
Vector Resultante
R
baR
Mdulo
cos...222
babaR
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b) Mtodo del triangulo
Se pone un vector a continuacin del otro, la unin del origen
del primero con el extremo libre del otro es la resultante
c) Mtodo del polgono
Es utilizado para sumar ms de dos vectores, se coloca un vector
a continuacin de otro, el vector que une el origen del primero
con el extremo libre del ltimo es la resultante.
RESTA DE VECTORES
La resta o diferencia de vectores se define como un caso especial de la suma, aplicando el mtodo del polgono se puede escribir como:
a
baR
Ley de senos
sen
R
sen
b
sen
a
b
a
b
c
d
R
dcbaR
a
b
D
aDb
luego:
baD modulo:
cos..222 babaD
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Observaciones:
1ra: La resultante mxima de dos vectores es cuando son paralelas y
del mismo sentido ( = 0)
R mx. = a + b
2da
: La resultante mnima de dos vectores es cuando son paralelas y
de sentido contrario ( = 180)
R min. = a b
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
a) En el plano: del grfico se tiene las componentes:
b) En el espacio: del grfico se tiene las componentes
y
x
a
y
x
ya
xa i
j
ax = a.cos x ay = a.cos y
El vector sera:
jaiaa yx
El mdulo
22 )()( yx aaa
ax = a . cos x ay = a . cos y az = a . cos z
El vector
a ser
zyx aaaa
kajaiaa zyx
El mdulo de
a ser:
222 )()()( zyx aaaa
a
Y Z
X
xa
ya
za
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Observaciones
1ra ngulos directores
Son los ngulos (x; y; z) que forma un vector con cada uno de los ejes coordenados
2da
Csenos directores
Son los csenos de los ngulos directores
a
axx cos
a
a yy cos a
a zz cos
SUMA Y RESTA DE VECTORES CARTESIANOS
Se suman o restan componente por componente, por ejemplo:
kcjcicc
kbjbibb
kajaiaa
zyx
zyx
zyx
Resultante:
kFjFiFFR zyx )()()(
Modulo 222 )()()( zyx FFFR
VECTOR DE POSICION (
r )
Es un vector fijo, cuyo origen coincide con el origen de
coordenadas y se utiliza para ubicar un punto en el espacio, en
relacin a otro punto
r
x y
z
kzjyixr
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VECTOR UNITARIO
Es un vector que tiene por mdulo la unidad e indica la direccin y
el sentido del vector dado. El vector unitario de un vector a ser:
a
au a
ka
aj
a
ai
a
au z
yxa
Tambin:
kji zyxa coscoscos
Como el mdulo del vector unitario es uno se tiene:
1coscoscos 222 zyx
PRODUCTO DE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES (punto)
El producto escalar, es un escalar y se define como:
Angulo entre vectores: ba
ba
.
.cos
Leyes de operacin
1) Ley conmutativa
abba ..
b
a
a.cos
Donde 0 180
cos... baba
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2) Ley distributiva
dabadba ..).(
Formulacin vectorial cartesiana
1.
1.
1.
kk
jj
ii
0.
0.
0.
ik
kj
ji
Producto escalar de vectores cartesianos
kbjbibb
kajaiaa
zyx
zyx
luego zzyyxx babababa
.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES (aspa)
El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que
forman los dos vectores y el sentido corresponde a la regla de la
mano derecha.
Leyes de operacin:
1) La ley conmutativa no es valida
a
b b.sen
usenbabxa .)..(
bxa
u Donde 0 180
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axbbxa
axbbax
2) Ley distributiva
cxabxacbax )(
Formulacin vectorial cartesiana
jixk
ikxj
kjxi
ijxk
kixj
jkxi
0
0
0
kxk
jxj
ixi
tambin:
Producto vectorial de vectores cartesianos
Si se tiene los vectores
kbjbibb
kajaiaa
zyx
zyx
el producto vectorial, se puede expresar como el determinante de
una matriz
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bxa
Observaciones
i
j
k
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1ra Dos vectores son paralelos si : 0
bxa
2da
Dos vectores son perpendiculares si : 0.
ba
EJERCICIOS
Vectores en el plano
1. Determinar el mdulo de la suma y diferencia de los vectores F1= 3 N y F2= 5 N
Rpta: 19 N y 7 N unidades
2. Si la resultante del sistema mostrado es cero. Cunto mide el ngulo ?
Rpta: 45
3. Determinar el mdulo de la resultante de los tres vectores mostrados
Rpta: 5 unidades
4. Si la resultante de las dos fuerzas es 700 lb en forma vertical,. Determinar las magnitudes de los ngulos y
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Rpta: 55,9 y 45,5
5. Determinar el mdulo de la resultante de los cinco vectores mostrados. Si A = 5 unidades y E = 3 unidades
Rpta: 17,5 unidades
6. Dos vectores, tienen como resultante mxima 8 unidades y como resultante mnima 2 unidades. Calcular la resultante cuando los
vectores formen 60
Rpta: 7 unidades
7. El ngulo entre dos vectores es 150, si uno de ellos mide 10 unidades, determinar la resultante, sabiendo que es el mnimo
posible?
Rpta 5 unidades
8. Determinar el valor del ngulo , de modo que la resultante de los tres vectores sea mnima
Rpta: 22,5
9. En el paralelogramo mostrado, determinar la resultante de los vectores en trminos de a
Rpta:
a.3
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10. Si el vector
x , tiene como origen el punto medio de la diagonal
menor del paralelogramo, expresarlo en trminos de
A y
B
Rpta:24
BA
11. Expresar el vector
x , en funcin de los vectores
A y
B . Si M y N son los puntos medios de los lados del paralelogramo
Rpta: )(3
2 BA
12. Expresar el vector
x , en funcin de los vectores
a y
b , si G es el baricentro del tringulo
Rpta: )2(3
1 ba
13. Determinar la resultante del conjunto de vectores mostrados
Mecnica Vectorial Juan Osiel Flores Ramos 12
Rpta 90 cm
14. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a AB y la otra paralela a BC
Rpta: 55,9 u y 111,1 u
15. Descomponer la fuerza F= 100u en dos componentes, una perpendicular a AB y la otra paralela a BC
Rpta: 59,029 u y 63,015u
16. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a la ranura mostrada y la otra en la direccin vertical
Rpta 36,397 u y 81,520 u
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17. Calcular
ba ; si se sabe que
ba = 24 unidades y los mdulos
de los vectores son a =13 unidades, b = 19 unidades
Rpta: 22u
18. Qu condiciones debe satisfacer los ngulos entre dos vectores
a y
b , para que:
a)
ba =
ba Rpta: =90
b)
ba >
ba Rpta: 0 < < 90
c)
ba <
ba Rpta: 90 < < 180
19. Los mdulos de dos vectores son 12 y 8 unidades respectivamente. Entre cuanto estar comprendido el mdulo del vector diferencia?
Rpta: entre 4 y 20 unidades
Vectores en el espacio
20. Hallar el mdulo de los vectores:
a)
kjia 732
b)
kjib 435
c)
,c vector que une P1(3; 4; 5) con P2(1 ;-2; 3)
Rpta: a) 7,874 b) 7,071 c) 6,63
21. Un vector de posicin se extiende hasta el punto (3; 3; 6) m. determine los ngulos directores respectivos
Rpta: x = 7323`54 x = 7323`54 22. Dados los vectores:
kjia 32
kjib 953
,c que une P1(3; 4; 5) con P2(1; -2 3))
Mecnica Vectorial Juan Osiel Flores Ramos 14
a) demostrar que
a y
b son perpendiculares
b) hallar el menor de los ngulos formados por
a y
c
c) hallar el menor de los ngulos formados por
b y
c
d) hallar los ngulos directores de
b Rpta: b) 16514' c) 8510' d) 7345', 11747, 3256'
23. Dado el vector
kzjia .124 ; cuyo mdulo es a = 13
unidades. Calcular el valor numrico de z
Rpta: 3
24. Hallar las coordenadas del punto B que coincide con el extremo del
vector
kjia 423 , si dicho vector tiene como origen el
punto A(2; 3; 1)
B(5; 5; -3)
25. Un vector, cuyo mdulo es 10 unidades, forma con el eje x un ngulo de 45 y con el eje y 120. Determinar el ngulo que forma
con el eje z y el vector
Rpta: 60;
kji 5525
26. Hallar la expresin cartesiana de un vector, cuyos ngulos directores son x = 120, z = 60, siendo su mdulo 4 unidades
Rpta:
kji 2222
27. Hallar un vector unitario con la direccin y sentido de la resultante
de los vectores
kjia 525 y
kjib 742
Rpta:
kji7
2
7
6
7
3
28. Siendo
jia ,
kib 2 ,
kjic 432 , calcular:
a)
kjibxa 22
a)
kjicxb 386
b)
kjiaxc 44
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c)
kjibaxba 244)()(
d) 0).(
bxaa
e) 2).(
cxba
f)
kjicxbxa 1433)(
g)
kjibxaxc 10611)(
29. Sean A(l; 2; 3), B(2; -1; 5) y C(4; 1; 3) tres vrtices del paralelogramo ABCD. Hallar:
a) las coordenadas de D b) el rea de ABCD
Rpta: a) D(3; 4; 1) b) 10,189
30. Hallar los ngulos interiores del tringulo ABC, cuyos vrtices son A(1; 0; 1), B(2; -1; 1) y C(-2; 1; 0)
Rpta: 14831', 2212', 916'
31. Hallar el rea del tringulo cuyos vrtices son A(1; 2; 3), B (2; -1; 1), C (-2; 1; -1).
Rpta: 86,6
32. Hallar el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son OA, OB, OC siendo A(1; 2; 3), B(1; 1; 2), C(2; 1; 1)
Rpta: 2.
33. Determinar el vector unitario de P y el ngulo ABC
Mecnica Vectorial Juan Osiel Flores Ramos 16
34. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado sombreado
35. En la pirmide mostrada, E(20;32;20), determinar: a) la magnitud del ngulo AEB
b) un vector unitario perpendicular al plano AED
c) el rea del triangulo BEC
Rpta: a) 192746,62 b)
kju 84805290 ,, c) 102,45 u2
36. Dado un cubo de arista unidad, hallar: a) el ngulo formado por su diagonal principal y una arista b) el ngulo formado por su diagonal principal y la de una cara
Rpta: a) 5444', b) 3516'
y
x
z
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37. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado y el ngulo BAC
38. En la figura mostrada, determinar la magnitud del ngulo BAC
Rpta: 21533,93
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39. en el sistema mostrado, determinar el ngulo CAO
40. Hallar un vector unitario perpendicular al plano inclinado.
Rpta:
kju5
4
5
3
y
z
x
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