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VECTORES EN EL ESPACIO
Estudio del concepto de vector por medio del uso de un artefacto automatizado
Actividad Tecnológica Escolar para estudiantes de ciclo V
Autores:
RODRIGO GUERRERO
NANCY NOGUERA
JOHN RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
ESPECIALIZACIÓN EN EDUCACIÓN EN TECNOLOGÍA
PROPUESTA TRABAJO DE GRADO
BOGOTÁ D.C.
2017
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1. PRESENTACIÓN
Material didáctico desarrollado como recurso para apoyar el aprendizaje del
concepto de vector en estudiantes de grado décimo, abordando las áreas de
tecnología, matemáticas y física.
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VECTOR (Robot de Ubicación Vectorial), es un prototipo automatizado
conformado por mecanismos impulsados por motores eléctricos y controlados a
través de una aplicación usada desde un teléfono móvil, con el cual es posible
identificar una posición en tres dimensiones de un vector distancia, visualizando
su recorrido y posibilitando la identificación de sus coordenadas en el espacio
cartesiano.
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El diseño se realizó partiendo de la necesidad de construir un nuevo recurso
desde la tecnología para facilitar la enseñanza del concepto de vector, a partir
de la interacción del estudiante con un artefacto que permitiera una experiencia
distinta a las que tradicionalmente se tiene en un aula de clase.
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¿Qué queremos lograr con esta actividad?
Se tiene como objetivo la utilización de un mecanismo robótico para desarrollar
una actividad tecnológica estudiantil integradora desde las asignaturas de
Matemáticas, Tecnología y Física, para la enseñanza del concepto de vector con
el cual se genere el desarrollo de habilidades basándonos en las competencias, los
estándares de competencias y las operaciones mentales que hacen parte de cada
asignatura.
A continuación se realizará una aclaración de cada una de éstas:
Competencias Asignatura
Matemática Física Tecnología
Solución
De
problemas
Está relacionado con la capacidad para
identificar aspectos relevantes en una
situación para plantear o resolver
problemas no rutinarios; es decir,
problemas en los cuales es necesario
inventarse una nueva forma de
enfrentarse a ellos.
Comprender
Capacidad para reconocer
y diferenciar fenómenos,
representaciones y
preguntas pertinentes
sobre estos fenómenos.
Analizo y valoro
críticamente los
componentes y
evolución de los
sistemas
tecnológicos
Consiste en las diferentes
características y objetivos de la
tecnología, los conceptos
fundamentales básicos que relacionan
los componentes, funcionabilidad y
estructura de mecanismos como
elementos individuales pero a su vez
de un todo.
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Estándares básicos de competencias a trabajar
Física
Acciones concretas del pensamiento:
Utilizo las matemáticas para modelar, analizar y presentar datos y
modelos en forma de ecuaciones, funciones y conversiones.
Conocimiento científico básico: relaciones Físicas
Modelo matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos a partir
de las fuerzas que actúan sobre ellos. (Ministerio de Educación
Nacional. 2006 p.141)
Matemáticas
Pensamiento espacial y Sistemas Geométricos.
Identifico características de localización de objetos geométricos en
sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y
esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas. (Ministerio de
educación Nacional 2006 p.43)
Orientación Curricular Competencia en Tecnología
Analizo y valoro críticamente los componentes y evolución de los
sistemas tecnológicos y las estrategias para su desarrollo. (Ministerio de
educación Nacional.2008,p.24)
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Operaciones mentales
OPERACIÓN DEFINICIÓN
IDENTIFICAR
Es reconocer las características esenciales y transitorias
que definen los objetos.
CODIFICAR
Sustitución de objetos por símbolos convencionales, para
facilitar la manipulación y ahorrar tiempo y esfuerzo en
la elaboración de la información (códigos numéricos).
RAZONAMIENTO
INFERENCIA
Es la actividad mental que nos permite elaborar nueva
información a partir de la información dada.
Información tomada de: http://edocenteprimaria.blogspot.com.co/2013/03/procesos-cognitivos-
para-la-reflexion.html
Indicador de la ATE
Identificar y codificar el pensamiento espacial a través del análisis de un
mecanismo robótico y establecer la relación de su funcionamiento para el
desarrollo del concepto de vector desde el punto de vista Físico y Matemático.
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2. DESARROLLO
¿De qué trata esta actividad?
Consta de los siguientes tres momentos:
Primer Momento (Análisis
Tecnológico):
En esta fase se organizarán los
estudiantes del curso en grupos de
cuatro personas para hacer un
análisis detallado del mecanismo
robótico sin que éste se encuentre
energizado, para poder identificar los
diferentes componentes del
artefacto y su posible funcionalidad.
Materiales por grupo
Un computador con acceso a Internet.
Un teléfono celular con cámara
Hojas blancas
Un cuaderno de notas
Esfero
Lápiz
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Planificación
a) Cada grupo de trabajo deberá tener en sus integrantes una persona hábil en
el dibujo, una persona que se le facilite la exposición de los resultados, y
dos personas que sean hábiles en la manipulación de artefactos tecnológicos.
b) Cada grupo elegirá a uno de los dos estudiantes que tienen la habilidad en
la manipulación de aparatos tecnológicos, para que en dos minutos con
ayuda de uno de los celulares pueda tomar fotos del artefacto (figura 1)
desde diferentes vistas.
c) Cada grupo tendrá que desarrollar los siguientes puntos:
1. Realizará una lista de los diferentes elementos que conforman el
mecanismo robótico, verificando y analizando las diferentes fotografías
tomadas
2. Con apoyo de internet realizará una búsqueda de las diferentes
funciones de cada uno de los elementos y sus evoluciones según la
historia (sistemas de transmisión de movimiento, poleas, engranajes,
sistemas de control)
3. Realizará un documento digital haciendo uso de google drive, donde
evidencie el desarrollo histórico de los diferentes elementos. Según con
la información del funcionamiento de cada elemento que conforma el
mecanismo robótico, plantear dos posibles aplicaciones de dicho
mecanismo al finalizar el documento.
4. Se realizará la socialización de las diferentes hipótesis de cada uno de
los grupos junto con la votación de la aplicación más pertinente.
5. Se finalizará con la demostración del mecanismo robótico energizado y
se llevará a cabo el paralelo con la hipótesis ganadora.
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Segundo Momento (artefacto como
herramienta didáctica):
En esta fase se utilizará el
mecanismo robótico como
herramienta didáctica para la
explicación y apropiación del concepto
de vector en los estudiantes de
décimo grado.
En éste momento el docente
manipula exclusivamente el dispositivo
donde abordará los siguientes temas
y dará la explicación de los
componentes en R1, R2, y R3 y
características de los vectores y las diferentes operaciones que se pueden
realizar con los vectores tanto gráficos como analíticos. Se iniciará con lo más
básico, esto es la representación gráfica del vector:
Elementos que conforman un vector:
Punto de aplicación - origen
Se representa con un punto e indica el inicio del vector o el lugar de
aplicación según corresponda
Línea de acción - cuerpo
Se representa con una semirrecta que une el origen con la cabeza del
vector.
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Final del vector - Cabeza
Se representa con una cabeza de flecha que indica la finalización del vector.
Al reunir estos tres elementos tendremos la
representación gráfica de un vector (dando
como resultado el dibujo de una flecha).
Características del vector:
Magnitud
Hace referencia a la intensidad del vector, es decir, al valor numérico de
dicho vector en términos técnico de la parte escalar (20 m, 50 N, 100
km/h)
Dirección
Hace referencia a la orientación del vector (x, y, z o el ángulo (Ɵ) con
relación a un eje determinado).
Sentido
Es la característica que dice si el vector es positivo o negativo (+, - )
En la figura se pueden evidenciar las
características de los diferentes vectores
que podemos encontrar (los recuadros de
colores representan las tres
características explicadas anteriormente)
El ejemplo gráfico muestra vectores sobre
los ejes.
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Este otro esquema
muestra un ejemplo de
vectores fuera de los
ejes, con sus
respectivas
características.
Operaciones vectoriales:
Como observamos en la figura anterior, hay recuadros vacíos representando
información faltante. Para poder obtener dichos valores se deben realizar las
siguientes operaciones analíticas.
Suma
Se puede realizar de dos maneras una gráfica y la otra analítica empezaremos
por la más sencilla que es la gráfica:
Suma gráfica A + B:
Las letras en negrilla
representan dos vectores
diferentes. Para sumar los dos
vectores tomamos el vector B
y colocamos su cola o el
punto de aplicación sobre la
cabeza del vector A y
trazamos un nuevo vector que inicie en la cola del vector A y finalice en
la cabeza del vector B, y esto se puede repetir si tenemos más de dos
vectores.
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Suma analítica:
Se resuelve teniendo en cuenta las magnitudes de los vectores y las
direcciones, para sumar los términos que están en las mismas direcciones
es decir x con x y lo de y con y. Veamos el ejemplo:
El vector
A solo
está en x,
el vector
B está en
y, pero el
vector C
está fuera
de los ejes por esto tiene dos partes la de x y la de y, al sumar se
organiza con relación a las direcciones como lo vemos en la parte izquierda
de la figura.
El mecanismo robótico se utilizará en esta
parte para que los estudiantes puedan
observar las características de los vectores
ubicando en el espacio de referencia las
coordenadas planteadas, en un primer caso
para R2 y luego se hará la aclaración de lo
que sucede con el vector en R3.
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Resta
Se realiza el mismo proceso descrito en la
suma, lo que cambia es que al menos uno
de los vectores es negativo y se procede a
colocar cabeza - cola los vectores
involucrados en la operación teniendo
presente cuál de los vectores tiene el
signo menos A – B
Si tenemos más de dos vectores debemos
tener presente los signos de cada uno
como se presenta en este ejemplo, A – B
+ C el único que cambia de sentido es el
vector B
En la siguiente ejemplo mostraremos cómo se realiza la resta analíticamente (es
similar a la suma pero en la dirección y hay un signo negativo por esta razón se
restan los valores)
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Suma de vectores en R3
Relación matemática
Teorema de Pitágoras
Señala que siempre podemos encontrar una igualdad en los
triángulos rectángulos si relacionamos sus lados de la
siguiente manera: si elevamos la hipotenusa al cuadrado y
lo igualamos a la suma de los cuadrados de sus catetos.
Esta ecuación se utilizará para encontrar la magnitud de
los vectores.
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Razones Trigonométricas
Se pueden definen como la razón (división) entre dos de los lados de un
triángulo rectángulo con relación a sus ángulos.
Se Utilizaran estas
razones para encontrar
los componentes de un
vector
Imagen tomada de: https://matesnoaburridas.wordpress.com/2015/01/26/trigonometria-
medida-de-angulos-y-razones-trigonometricas/
Componentes trigonométricos de un vector
Coordenadas Polares
Un sistema (llamado de "coordenadas polares")
usa la longitud r de la línea desde el origen hasta
la cabeza del vector y el ángulo que forma esa
línea con el eje x.
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Las dos representaciones anteriores están muy relacionadas. De las definiciones
de seno y coseno se tiene:
x = r cos Ɵ
y = r sin Ɵ
En el espacio tridimensional, la designación
cartesiana (x, y, z) es exactamente
simétrica, pero algunas veces es conveniente
seguir el sistema de coordenadas polares y
designar la distancia y la dirección por
separado.
r2 = x2 + y2 + z2
Tercer Momento
(manipulación del
artefacto):
En esta fase los
estudiantes tendrán
la posibilidad de
manipular el
mecanismo robótico
para realizar la
ubicación de vectores en el espacio, sus componentes y las relaciones
matemáticas.
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Laboratorio
Objetivo
Identificar y verificar la característica y relaciones matemáticas en la
representación de vectores en el espacio con ayuda de un mecanismo
robótico.
Materiales
Tablet o teléfono móvil con el software de control del robot
Calculadora
3 Hojas milimetradas
Lápiz
2 hojas blancas
Regla
Procedimiento
1) Verifique que la aplicación vector para la manipulación del artefacto
funcione correctamente en la Tablet o en su teléfono móvil.
2) Tome las guías de posición (barras de madera) y ubique cada una de
ellas en las coordenadas establecidas en la siguiente tabla:
Tabla 1
Coordenadas Plano
(x,y)
Plano
(y,z)
Plano
(x,z)
Punto A (2, 3) (3, 4) (2, 4)
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Punto B (4, 4) (4, 5) (4, 5)
Punto C (-2, 3) (3, 4) (-2, 4)
Punto D (-4, 4) (4, 5) (-4, 5)
Punto E (3, 6) (6, 6) (3, 6)
3) Al ubicar las guías de posición en las coordenadas para el punto A,
realice los movimientos necesarios en el mecanismo para que el
deslizador se dirija al punto de intersección de las tres barras.
4) Con ayuda del transportador encuentre el ángulo del vector resultante
con relación al plano xy y consígnelo en la tabla 2.
5) Repita los puntos del 1 al 4 cuatro veces más utilizando las
coordenadas para los puntos B, C, D, y E.
6) Utilizando las hojas milimetradas, realice el gráfico de los vectores, que
se pueden proyectar en los tres planos xy, yz ,xz y encuentre el
valor del vector resultante y su dirección con ayuda del trasportador
y consigne los datos en la tabla 2.
7) Con las componentes de la tabla 2, encuentre matemáticamente la
magnitud y dirección de A,B,C,D,E y consígnelos en la tabla 3.
Verifique los datos obtenidos con las columnas 4 Y 5 de la tabla 2
¿Qué puedes concluir?
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Tabla 2
vector Componente x Componente y Componente z Magnitud Angulo
R1
R2
R3
R4
Tabla 3
Plano R1 R2 R3 R4
xy
xz
yz
Tabla 4
Vector Magnitud Angulo
R1
R2
R3
R4
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Tabla 5
vector Componente x Componente
y
Componente
z Magnitud
Angulo
A
B
C
D
E
Tabla 6
VECTOR ANGULO
√
√ (
√ ) √√
A
B
C
D
E
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Conclusiones
Situación Problema
Si nuestro artefacto fuera una sonda espacial que quiere acoplarse
completamente con la estación espacial internacional y en ese mismo
momento se produce una tormenta solar que permitirá una oportunidad de
comunicación con la base que está ubicada en la tierra, ¿Qué información
tendrías que solicitar para que el acople sea perfecto?, Tenga presente qué
movimientos puede realizar el artefacto y con base en esto genere el listado
para contestar la pregunta anterior.
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Realice la evaluación de la actividad en el siguiente formato
DEBILIDADES
FORTALEZAS
OPORTUNIDADES DE MEJORA
AMENAZAS
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