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Hector Escutia
Mauricio Valadez
Fernando Alonso
Eduardo Salas
Practica
Vibraciones Forzadas Excitadas
Armonicamente
Dr Ferrer
27/03/12
Introduccion
SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMNICA
Ecuacin de Movimiento
Estableciendo p(t)=p0 senwt en la ecuacin 3.4 se obtiene la ecuacin
diferencial[1que gobierna el movimiento forzado por carga armnica para un
sistema no amortiguado:
(1)
Donde p0 es la amplitud o valor mxima de la fuerza (Figura 1) y w es la
frecuencia de excitacin. La solucin particular a la ecuacin diferencial 1 es:
(2)
La solucin complementaria de la ecuacin 1 es:
(3)
La solucin total es la suma de ambas ecuaciones:
(4)
Figura 1 Fuerza armnica
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones
iniciales u(0) y (0), es as que se tiene:
(5.5)
Esta ecuacin contiene dos componentes de vibracin distintas:
El trmino senwt para la oscilacin en frecuencia de excitacin;
representa el estado permanente de vibracin debido a que siempre est
presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales.
Los trminos sen wnt y cos wnt para la oscilacin en frecuencia natural
del sistema; representan el estado transitorio de vibracin que depende
de u(0) y (0), el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El trmino
estado transitorio de vibracin se debe a que el amortiguamiento, siempre
presente en sistemas reales, hace que la vibracin libre decrezca en el tiempo.
Figura 2 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armnica: w/wn=0.2; u(0)=0 y (0)=wnp0/k
La ecuacin 5 para condiciones iniciales en reposo u(0) = (0) = 0 es expresada de
la siguiente forma:
(6)
Resonancia
Ignorando el efecto dinmico de la aceleracin en la ecuacin 5.1 se obtiene como
resultado la deformacin esttica en cada instante de tiempo:
(7) El mximo valor de esta deformacin es:
(8)
Por lo tanto la respuesta dinmica del estado permanente, una oscilacin sinoidal
en frecuencia de excitacin, puede ser expresada como:
(9)
El factor entre corchetes de la ecuacin 9 es graficado contra la relacin de
frecuencias en la Figura 3, de la cual se observa que:
Para w/wn < 1 w 1 w>wn el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen
signos opuestos, lo que significa que el sistema estar fuera de fase con la
fuerza aplicada. (el sistema est desplazado en direccin opuesta a la fuerza)
Figura 3 Rd versus relacin de frecuencias
La ecuacin 9 puede ser reescrita en trminos de la amplitud u0 y el ngulo de
fase f:
(10) De donde se tiene que:
(11)
Donde el factor de deformacin Rd es la relacin de amplitud de deformacin
vibratoria u0 y la deformacin esttica (ust)0 debido a la fuerza p0.
Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de
excitacin para la cual Rd es mximo. Para un sistema no amortiguado la
frecuencia resonante es wn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la deformacin
vibratoria crece indefinidamente, pero sta se vuelve infinita slo despus de un
tiempo infinito.
Para w=wn la ecuacin 6 no es ms vlida; en este caso la funcin Csenwt, como
eleccin de una solucin particular a la ecuacin diferencial falla debido a que sta
ya forma parte de la solucin complementaria, por tanto la solucin particular
ahora es:
(12) Y la solucin total es:
(13)
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en
reposo u(0)=(0)=0 es as que se tiene la ecuacin de respuesta:
(14) :
(15)
Figura 4 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armnica de w=wn
En la Figura 4 est graficada la ecuacin 15, de donde se observa que el tiempo
requerido para completar un ciclo de vibracin es Tn. En cada ciclo el incremento
de la amplitud] est dado por:
(16)
La interpretacin de este resultado acadmico para estructuras reales es que a
medida que la deformacin se incrementa, el sistema en algn punto en el tiempo
fallar si es frgil o ceder si es dctil.
SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMNICA
Ecuacin de movimiento
Figura 6 Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armnica
Incluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuacin 1 la ecuacin diferencial que
gobierna este sistema es:
(17)
La solucin particular de esta ecuacin es:
(18) Donde:
(19)
La solucin complementaria de la ecuacin 17 es:
(20) Y la solucin completa es:
(21)
Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos
estndar en trminos del desplazamiento u(0) y la velocidad (0).
La Figura 5 muestra la ecuacin 21 graficada para w/wn = 0.2 x = 0.05 u(0) =
0 y (0) =wn p0 / k. La respuesta total es representada por una lnea de trazo
continuo y la respuesta del estado permanente por una lnea discontinua, la
diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente
con el tiempo en un valor que depende de w/wn y x ; quedando nicamente la
respuesta forzada y es por esta razn que es llamada respuesta del estado
permanente.
Resonancia
Para w=wn las constantes C y D de la ecuacin 19 son:
Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en
reposo u(0) = (0)=0 y para w=wn:
Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armnica
para w=wn es:
(22)
Esta ecuacin de respuesta es graficada en la Figura 6, se observa que la
magnitud de los desplazamientos es menor que los presentados por la Figura 4, y
que el lmite de respuesta est dado por:
(23)
Para amortiguamientos pequeos el trmino del seno en la ecuacin 22 es
pequeo y , por lo que la ecuacin 5.22 toma la forma de:
(24)
La deformacin vara con el tiempo como una funcin coseno, la amplitud se
incrementa en funcin del tiempo de acuerdo a la envolvente mostrada en la
Figura 5.6 como una lnea de trazo discontinuo. Es importante el notar que la
amplitud del estado permanente de deformacin del sistema es influenciada
fuertemente por el amortiguamiento.
El desplazamiento pico uj despus de j ciclos de vibracin es determinado
sustituyendo t=jTn en la ecuacin 24, estableciendo coswnt=1 y utilizando la
ecuacin 23, de donde se tiene:
(25)
Respuesta para un sistema amortiguado de x = 0.05 sujeto a carga
armnica w=wn
Figura 7 Respuesta para un sistema amortiguado de x = 0.05 sujeto a carga armnica w=wn
Deformacin Mxima
La deformacin en el estado permanente del sistema debida a una carga armnica
descrita en la ecuacin 5.18 y la 5.19 puede ser reescrita como:
(26)
Donde y sustituyendo por C y D :
(27)
(28)
Rd es graficada en funcin de w/wn en la Figura 7(a) para algunos valores
de x, notar que todas las curvas estn por debajo de la curva correspondiente
a x =0. El amortiguamiento reduce Rd y por consiguiente la amplitud de
deformacin tambin reduce. La magnitud de esta reduccin depende de la
frecuencia de excitacin de la siguiente manera:
Si w/wn > 1 (la fuerza est variando rpidamente) Rd tiende a cero y no es
afectada por el amortiguamiento. Para valores grandes de w/wn el trmino
(w/wn)4 es dominante en la ecuacin 27, la cual puede ser aproximada por:
(30)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.
Si w/wn 1 (la frecuencia de excitacin se acerca a la frecuencia natural
del sistema) Rd es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformacin
dinmica puede ser ms grande que la esttica. Si w=wn la amplitud mxima es
la expresada por la ecuacin 5.23:
(31)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento
de la estructura.
Factores de Respuesta Dinmica
En este punto se introducen factores de respuesta de deformacin, velocidad y
aceleracin que definen la amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La
ecuacin 10 se puede escribir de la siguiente forma:
(32)
Derivando la ecuacin 32 se obtiene la respuesta para la velocidad:
(33)
Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado con Rd mediante:
(34)
Derivando la ecuacin 33 se obtiene la respuesta para la aceleracin:
(35)
Donde el factor de respuesta para la aceleracin esta relacionado
con Rd mediante:
(36)
En la Figura 7 estn graficados los tres factores de respuesta dinmica en funcin
de w/wn. Estas cantidades estn relacionadas de la siguiente forma:
(37)
que hace posible el presentar estas tres grficas en una sola utilizando un papel
tetralogartmico.
Figura 8 Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleracin para
un sistema amortiguado sujeto a la accin de una carga armnica.
Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante
La frecuencia Resonante est definida como la frecuencia de excitacin en la cual
ocurre la amplitud mxima de respuesta. La frecuencia resonante es determinada
estableciendo la primera derivada igual a cero de Rd Rv y Ra con respecto
dew/wn para :
Frecuencia resonante para el desplazamiento:
Frecuencia resonante para la velocidad:
Frecuencia resonante para la aceleracin:
Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a wn. Los tres
factores de respuesta dinmica en sus respectivas frecuencias resonantes son:
(38)
Objetivo
El estudiante balanceara un rotor con N planos,asi tambien aislara
un sistema vibratorio;con el fin de utilizarlos en la solucion de
problemas de ingenieria
Desarrollo
Los compaeros explicaron que era la vibracion Forzada excitadas
armonicamente y por que se daba, por medio de videos y las
explicaciones matematicas
Cuestionario
1. Que entiendes por Vibraciones Forzadas Excitadas
Armonicamente?
Es cuando un sistema vibra debido a una excitacin constante
2. Menciona 1 ejemplo donde se pueden presentar estas
vibraciones forzadas
Cuando un cuerpo esta vibrando se pone en contacto con otro,
el segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma
frecuencia que el original.
Por ejemplo: Si un diapason es golpeado con un martillo y
luego se coloca su base contra la cubierta de una mesa de
madera, a intensidad del sonido se incrementara
repentinamente. Cuando se separa de la mesa el diapason, la
intensidad disminuye a su nivel original. Las vibraciones de
las particulas de la mesa en contacto con el diapason se
llaman vibraciones forzadas
3. De cuanto es el angulo de fase cuando W=Wnesta
condicion es utilizada para identificar frecuencias
naturales?
90 Grados
4. La respuesta estacionaria tiene la misma frecuencia que la
fuerza excitadora (w)?
Si
Bibliografa:
1. C.F. Beards , Structural Vibration: Analysis and Damping , Arnold , London , 1996.
2. S.G. Braun, D.J. Ewins, S.S. Rao (Eds.), Encyclopedia of Vibration , Vols. 1-3, Academic Press, San Diego, CA, 2001.
3. R.L. Clark, W.R. Saunders, G.P. Gibbs , Adaptive Structures: Dynamics and Control , John Wiley & Sons, 1998.
4. J.P. Den Hartog , Mechanical Vibrations , 4 th Edition, Mc-Graw Hill , NY , 1956. (Edicin disponible en espaol).