5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
1/63
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICEFACULTATEA DE ECONOMIE AGROALIMENTAR I A
MEDIULUI
Prof. univ. dr. MIRCEA GHEORGHI
Conf. univ.dr. SIMONA ROXANA PTRLGEANU
ECONOMETRIE
UCURETI!"##$!
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
2/63
CUPRINS
In%rodu&'r' 3C()i%o*u* I+ Mod'*' '&ono,'%ri&' 4
1.1. Generaliti 41.2. Model aleator 41.3. Natura variabilelor care apar n model 4
1.4. Inducia statistic 51.5. Identificarea modelului 51.. !revi"iunea variabilei endo#ene 51.$. %ocabular u"ual
C()i%o*u* II+ R'-r'i( i,)*/ 1&2.1. Modelul liniar al re#resiei simple 1&
2.2. 'eterminarea estimatorilor parametrilor prin metoda celor mai mici ptrate 11 2.3. !roprietile estimatorilor 12 2.3.1. (ovariana estimatorilor 15 2.3.2. 'eterminarea unui estimator nedeplasat pentru variana erorilor 1 2.3.3. Interpretarea #eometric a metodei celor mai mici ptrate 1) 2.3.4. (oeficientul de corelaie liniar 21 2.3.5. 'istribuia de probabilitate a estimatorilor 22
2.4. *este +i intervale de ncredere 24 2.5. !revi"iunea cu modelul liniar 25 2.. ,-perien de calcul 2C()i%o*u* III+ R'-r'i( ,u*%i)*/ 34
3.1. Modelul liniar al re#resiei multiple 343.2. 'eterminarea estimatorilor parametrilor 353.3. !roprietile estimatorilor 3
3.4. 'eterminarea unui estimator nedeplasat pentru variana re"iduurilor 3)3.5. *este +i re#iuni de ncredere 3
3.. !revi"iunea variabilei endo#ene 41 3.$. (oeficientul de corelaie multipl. /nali"a varianei 42 3.). ,-perien de calcul 45C()i%o*u* I0+ S%udiu* ,od'*u*ui *ini(r &1nd i)o%'2'*' &*(i&' (u)r( 'rori*or nu ,(i
un% r'(*i2(%'
4
4.1. Ipote"a de independen a erorilor 44.1.1. *estarea ipote"ei de independen a erorilor 52
4.1.2. ,-perien de calcul 55 4.2. Ipote"a de normalitate a erorilor 5 4.3. Ipote"a de 0eteroscedasticitate &
4.3.1. ,-perien de calcul 1 4.4. Ipote"a de independen a erorilor n raport cu variabilele e-o#ene 3 4.5. Ipote"a referitoare la faptul c variabilele sunt observate fr eroare 3 4.5.1. ,-perien de calcul 5iblio#rafie )
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
3/63
INTRODUCERE
'e"voltarea aparatului statistic furni"ea" economi+tilor tot mai multe date cifrice despre procesele +ifenomenele care au loc n timp +i spaiu. ,conometria este un miloc de a e-ploata aceste date. Noiunea de econometrieprovine din termenii oikonomieeconomie +i metron (msurare +i desemnea" totalitatea metodelor +i te0nicilor demsurare a fenomenelor +i proceselor care au loc n domeniul economic. !rimele lucrri econometrice au avut ca obiectfunciile consumului care lea# nivelul consumului de venitul disponibil aceste funcii stau la ba"a teoriei 6e7nesiene.
8n decursul timpului numero+i autori au ncercat definirea econometriei. 9ucrarea :,(;N;M,*tefan !ecican aprut la ,ditura ,conmic n 2&&3 conine multereferiri n acest sens din care am selectat c@teva.
/utori
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
4/63
CAPITOLUL I
MODELE ECONOMETRICE
3.3. G'n'r(*i%/4i
Modelarea economic repre"int un proces de cunoa+tere milocit a realitii cu autorul unui instrument cu
caracteristici specialeH modelul. Bistemul real supus studiului este nlocuit prin modelul su care este o repre"entaresimplificat a obiectului cercetat.Modelul econometric este de re#ul o mulime de relaii numerice care permite repre"entarea simplificat a
procesului economic supus studiului uneori c0iar a ntre#ii economii. Modelele actuale comport adesea mai mult de"ece relaii ecuaii. %aliditatea unui model este testat prin confruntarea re"ultatelor obinute cu observaiile statistice.!entru a studia un fenomen economic se ncearc repre"entarea lui prin comportamentul unei variabile. /ceastvariabil economic depinde la rndul su de alte variabile de care este le#at prin relaii matematice.
'e e-emplu dac se studia" cererea C +i oferta O dintrun anumit bun pe o pia se +tie c cererea +ioferta depind de preul p bunului respectiv. !utem scrie c variabilele C +i O sunt funcii de variabila p+i c laec0ilibrul pieei trebuie ca cererea s fie e#al cu oferta. Be construie+te astfel un model elementar de formaH
J1K
==
=
OCpgO
pfC
;ferta +i cererea dintrun anumit bun depind +i de alte variabile dec@t preul. /stfel cererea dintrun bunalimentar depinde +i de venitul disponibil de preul unor produse analoa#e etc. 9a fel dac este vorba despre un buna#ricol #r@u... oferta depinde de preul anului precedent.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
5/63
'istincia ntre natura variabilelor este foarte important +i va trebui preci"at ntotdeauna nainte de a studiamodelul. (@nd modelul econometric a cptat formularea matematic definitiv se spune c modelul a fost :specificat?.Modelul J4K de mai sus este specificat. Be cunoa+te forma funciei fdin e-presia Ci= f(Vi) + i adic f(Vi) = aVi+b./du#area variabilei e-o#ene id modelului formularea definitiv J4K.
Mulimea parametrilor care definesc complet modelul econometric constituie :structura? acestuia. 'ee-emplu dac a = 0,7+i b = 23iar urmea" o le#e de probabilitate normal de medie speran matematic e#al cu"ero +i dispersie varian e#al cu 5 atunci mulimea
a = 0,7;b= 23; = 5 constituie structura modelului J4K. Bcopul va fi acela ca plec@nd de la cuplurile Ci,Vi asociate diferitelor familii i sse determine structura adevrat a modelului. (u alte cuvinte plec@nd de la un spaiu e+antion definit de mulimeacuplurilor Ci,Vi s se determine structura adevrat a modelului n spaiul cu trei dimensiuni al structurilor
a , b, . /ici intervine :inducia?statistic.
3.9. Indu&4i( %(%i%i&/
;biectul induciei statistice este de a determina o procedur care pornind doar de la observaiile statistice decare dispunem s permit trecerea de la spaiul e+antion la spaiul structurilor. ;dat ce modelul a fost ales se admitec e-ist un triplet a, b, care permite repre"entarea e-act a procesului prin care valorile variabilelor observate aufost determinate. 8n cursul induciei statistice modelul nu se mai modific. !rocedura aleas L a+a cum se va vedea ncontinuare L va consta n obinerea de estimatori pentru parametrii a +i bcare s permit determinarea celor mai bunevalori reale ale acestor parametri. /ceste valori se vor aprecia n #eneral cu autorul unor :intervale de ncredere?construite la un pra# de semnificaie dat. 'e e-emplu n modelul J4K se va #si c aJ&4&$)K +i bJ2&2$K cu oprobabilitate de 5O sa considerat P5O. Be poate estima +i abaterea medie ptratic a variabilei aleatoare i. Beva vedea rolul important ucat de aceast variabil aleatoare n modelul econometric.
3.:. Id'n%ifi&(r'( ,od'*u*ui
(onsiderm din nou modelul Ci=aVi+b+i. B presupunem c procedura utili"at pornind de la informaiadeinut adic de la cuplurile Ci,Vi iP12... nu conduce la o soluie unic ci la dou structuri distincteHs0=a0,b0,0 s =a,b,. 'eorece le#ea de probabilitate pentru preci"ea" +i le#ea de probabilitate pentru Cfiecare structur in@nd cont de valorile e-o#enelor +i de le#ea lui conduce la o le#e de probabilitate pentru C.
!resupunem c structuriles0+isconduc la aceea+i le#e de probabilitate pentru consumul C. Bunt posibile dou ca"uriH s&+i s1 sunt distincte +i nu putem ale#e ntre ele. Be spune c structurile considerate nu sunt:identificabile? +i ca urmare modelul nu este identificabil. 'in aceast cau" nu vomputea determina valorile parametrilor care fi#urea" n model
s&+i s1 nu sunt distincte intersecia lor nu este vid. /cestea vor permite identificarea uneipri a parametrilor modelului cei care aparin interseciei. Be spune c cele doustructuri sunt ec0ivalente dar nu permit o identificare complet a modelului.
!roblema identificrii este important mai ales n ca"ul modelelor cu ecuaii multiple.
3.;. Pr'vi2iun'( v(ri(6i*'i 'ndo-'n'
Interesul unui model a crui structur a fost determinat const n al utili"a pentru previ"ionarea variabilelor
endo#ene L ntro etap viitoare sau ntro circumstan dat dac este vorba despre observaii luate la acela+i momentatunci c@nd cele e-o#ene au fost fi-ate. 'e e-emplu dac dorim s studiem evoluia importurilor Q n funcie deprodusul intern brut R1 +i de nivelul stocurilor R2 modelul econometric esteH
7tPa1-1tSa2-2tSbSt tP12...*unde t este timpul. 'atele istorice pe perioada 1&2&&5 despre Q R 1 +i R2 observaiile fiind anuale
permit determinarea parametrilor modelului. B presupunem c am #sit estimaiile punctualeH
=
=
=
T
&T
14&T
2
1
b
a
a
Modelul :estimat? esteH &14&T 21 ++= ttt xx! . 'ac dorim s facem o previ"iune a importurilor pentru anul2&&$ trebuie s +tim !Iul +i nivelul stocurilor n anul 2&&$. !resupunnd c aceste variabile e-o#ene sunt -1P1&3& +i
-2P12$ vom avea ca previ"iune pentru 7H72&&$P&14.1&3&S&.12$S
sau n #eneral bxaxa!p TTT ++= unde U este perioada de previ"iune
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
6/63
sau n #eneral bxaxa! p ++= unde U este perioada de previ"iune
;bservaie. /supra valorii previ"ionate trebuie s remarcmH valorile e-o#enelor -1U -2Uau fost alese arbitrar eventual innd cont de evoluia lor trecut specificarea modelului nu poate fi perfect forma funciei alese pentru a e-plica evoluia lui 7 neputnd fi
suficient de precis este posibil ca variabilele e-plicative e-o#ene ale variabilei endo#ene e-plicate s nu mai intervin n
acela+i mod ca n perioada 1&2&&5 cnd sa studiat le#atura dintre ele. ,ste posibil s aib loc un +oc oruptur care s perturbe ec0ilibrul dintre variabilele care e-plic fenomenul la momentul previ"iunii.
,ste evident c toate aceste cau"e pot constitui surse de eroare a previ"iunii. %om vedea care sunt metodele de aminimi"a eroarea de previ"iune.
Aiind dat o mulime finit numim probabilitate pe orice aplicaie p a lui () Lmulimea prilor lui n intervalul J&1]care verific trei condiiiH
p()0 pentru ()* p()=p()= p()+ p() dac,(), = se nume+te ni%ers sau univers de probabiliti. n"estrat cu probabilitatea p se nume+te spaiu
probabili"at. ;rice parte a lui este un eveniment. =n sin#leton mulime ce conine un sin#ur element al lui senume+te eveniment elementar sau eventualitate. este evenimentul cert. este evenimentul imposibil. ) esteevenimentul complementar lui n se nume+te eveniment contrar lui. 'ac= evenimentele +isunt
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
7/63
p
0(ri(6i*/ (*'(%o(r' >'ac este un univers finit numim :variabil aleatoare? orice aplicaie $- . alui n mulimea numerelor reale. Mulimea valorilor lui $,adic$() se nume+te universul ima#ine. /tenieV o%ariabi/ a/eatoare n este o %ariabi/, ci o ap/ica1ie Be observ c nu este necesar s cunoa+tem o probabilitate pe pentru a defini o variabil aleatoare pe .
L'-'( d' )ro6(6i*i%(%' ( un'i v(ri(6i*' (*'(%o(r'L 'ac universul finit este n"estrat cu o probabilitatepiar$ este o variabil aleatoare definit pe numim le#e de probabilitate a variabilei aleatoare $ aplicaia px-$()0,] care asocia" oricrui x$() probabilitatea evenimentului :mulimea antecedentelor lui x prin $?./ceast mulime$*(x)este notat ($=x)'9e#ea de probabilitate a lui$,notatpxeste definit prinpx- $()0,], xp($=x)'/ studia o variabil aleatoare nseamn ai descoperi le#ea sa de probabilitate.
Fun&4i' d' r')(r%i4i' > 'ac universul finit este n"estrat cu o probabilitate p iar$ este o variabilaleatoare definit pe se asocia" acestei variabile aleatoare funcia 4-.0,] definit prin4(x)=p($
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
8/63
e-pxf = .x .m YZ&
!entru m=0+i 9 =se obine repartiia normal :normat?8(0,),cu densitatea de probabilitateH
2
e-p2
1
2xxf =
.x
Be arat c parametri m +i 92sunt media sperana matematic respectiv dispersia variana variabilei aleatoare m8$ .
R')(r%i4i( @
"
Bi!)/%r(% &u n-r(d' d' *i6'r%(%'L %ariabila aleatoare R urmea" le#ea de repartiie 0iptratcu n#rade de libertate se mai scrie +i n:$ dac densitatea ei de repartiie esteH
2
e-p
22
1
12
2
xx
nxf
n
n
=
x0 [8n
'ac variabilele aleatoare 1&8$i i=,2,''',n sunt independente atunci variabila aleatoare =
=n
i
i$#1
2
urmea" le#ea de repartiie:(n)'R')(r%i4i( S%ud'n% &u n-r(d' d' *i6'r%(%'SnL %ariabila aleatoare$urmea" le#ea de repartiie Btudent
cu n#rade de libertate dac densitatea ei de repartiie esteH
1
2
1
2
1
2
12
+
+
=
n
n
x
nn
xf .x [8n
'ac variabilele aleatoare 1&8$ n:# sunt independente atunci variabila aleatoare
n
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
9/63
CAPITOLUL II
REGRESIA SIMPL
Btudiem pentru nceput cel mai simplu model econometricH o variabil endo#en repre"int evoluia
fenomenului considerat +i aceast evoluie este e-plicat printro sin#ur variabil e-o#en.
8n cadrul capitolului este pre"entat metoda de estimare a parametrilor care intervin ntrun modeleconometric se vor e-amina proprietile estimatorilor obinui +i se vor #enerali"a re"ultatele anali"ei pentru modele
mai comple-e. 8ntro prima parte se va trata obinerea estimatorilor parametrilor modelului +i proprietilor lor iar ntr
o a doua parte se d o interpretarea #eometric a metodei utili"ate determinarea intervalelor de ncredere referitoare la
parametri +i previ"iunea care poate fi fcut cu un astfel de model.
".3. Mod'*u* *ini(r (* r'-r'i'i i,)*'
(onsiderm modelulH
1 ttt bax! ++= t=, 2, ''',>
n careH #repre"int o variabil endo#en
$o variabil e-o#en
o variabil aleatoare ale crei caracteristici vor fi preci"ate prin ipote"e.
Be dispune de >observaii asupra lui # +i$ adic >cupluri (xt, !t)care sunt reali"ri ale lui$ +i #. a+i bsunt
parametri reali necunoscui pe care dorim si estimm cu autorul observaiilor (xt, !t)cunoscute.
I)o%'2' fund(,'n%(*'
!entru a putea obine re"ultatele enunate la nceput vom simplifica lucrurile impunnd o serie de ipote"e
restrictive asupra modelului. =lterior n alte capitole se vor rela-a aceste restricii discutnd implicaiile abandonrii
unora din aceste ipote"e asupra calitii estimatorilor.
I3+
xt+i!tsunt mrimi numerice observate fr eroare
$Lvariabila e-plicativ se consider dat autonom n model
#Lvariabila endo#en este o variabil aleatoare prin intermediul lui .
I"+
a)* urmea" o le#e de distribuie independent de timp adic media +i dispersia lui nu depind de tH
( ) >t5 t ...21& ==
( ) 2 =tVar cantitate finit t .
O6'rv(4i'H
Bau folosit aici pentru medie +i dispersie notaiile ( )5 respectiv ( )Var provenind de la :speranamatematic? +i :variana? unei variabile aleatoare. Be presupune c studenii au cuno+tine elementare despre teoria
probabilitilor +i statistic matematic. /ltfel ele trebuie rev"uteV
b)
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
10/63
c) Independena erorilor se va vedea pe parcurs c variabila aleatoare repre"int :erori? sau :re"iduuri?.
'ou erori relative la dou observaii diferite t +i t?sunt independente ntre ele nsemnnd c au covariana nulH
( ) &cov =tt ceea ce implic ( ) &. =tt5 .
!rin definiie co% = tt [ ] tttt 555 +i innd cont de a)re"ult implicaia.
) Normalitatea erorilor. !resupunem c urmea" o le#e de repartiie normal cu media & +i dispersia 2
ceea ce poate fi scris astfelH ( )2& 8 .I5+
!rimele momente empirice ale variabilei$ pentru >foarte mare sunt finiteH
=
>
t>t
xx> 1
&
1media empiric.
( )=
>
t>t sxx> 1
221
variana empiric.
/ceast ipote" va fi folosit pentru a preci"a proprietile asimptotice ale estimatorilor parametrilor a+i b.
Ipote"ele I1 I2 I3pot prea foarte restrictive. %om vedea ulterior ce consecine are abandonarea unora dintre
ele asupra proprietilor estimatorilor lui a+i b.
".". D'%'r,in(r'( '%i,(%ori*or )(r(,'%ri*or )rin ,'%od( &'*or ,(i ,i&i )/%r(%'
'eterminarea estimatorilor parametrilor a +i b notai cu aT +i bT prin metoda celor mai mici ptrate
M(MM! se face pun@nd condiia ca suma ptratelor erorilor s fie minim adicH
[ ] ( )==
==>
t
tt
>
t
t babax!1
2
1
2 .
!entru ca ( )ba s fie minimal trebuie caH
1. condiii necesareH &=
a
&=
b
.
2. condiii suficienteH &2
2
>
a
&
2
22
2
2
2
>
bab
baa
.
(alculm derivatele pariale ale funciei ( )ba .
( )( ) &21
==
=t
>
t
tt xbax!a
( )( ) &121
==
=
>
t
tt bax!b
&21
2
2
2
=>=
>
t
tx
a
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
11/63
>b
22
2
=
=
=
=
>
t
txabba 1
22
2
.
/tunci condiiile de ordinul I necesare conduc la sistemul de ecuaiiH
( )
=
=
==
===
&
&
1
11
11
2
1
>bxa!
xbxa!x
>
t
t
>
t
t
>
t
t
>
t
t
>
t
tt
iar condiiile suficiente de ordinul II sunt verificate.
,cuaiile condiii de ordinul I numite ecuaii normale ve"i ustificarea #eometric din partea a IIa le
mprim la > re"ult@ndH
=
= ==
&
&11
1
2
1
bxa!
xbx>
a!x>
>
t
t
>
t
tt.
'in a doua ecuaie avem xa!b =T +i nlocuind n prima ecuaieH
( )( )( )
=
=
=
222221
1
Txx
xx!!
x>x
x!>!x
xx>
x!!x>a
t
tt
t
tt
t
tt
.
/m obinut estimatorii aT +i bT ai parametrilor a+i bdai de relaiileH
( )
( ) ( )( )
=
=
xa!b
xx
xx!!a
t
tt
TT
5T2
2
O6'rv(4i'H
aT este o variabil aleatoare pentru c e funcie de!t iar bT este aleator pentru c e funcie de aT .
".5. Pro)ri'%/4i*' '%i,(%ori*or
%om arta c estimatorii aT +i bT obinui prin metoda celor mai mici ptrate sunt neep/asa1i+i con%ergen1i'
8n demonstraie vom ine cont de ipote"ele I1 I2 I3. !entru a u+ura demonstrarea proprietilor enunate transformm
mai nt@i e-presiile 2 pentru a le e-prima n funcie de parametrii a +i b. %om considera modelul 1
ttt bax! ++= t=, 2, ''',> nsumm dup toi t+i mprim la >.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
12/63
++= ttt>
bx>
a!>
111
adic
( ) ++= bxa!2 .
Bcdem membru cu membru pe 2 din 1H
+= ttt xxa!!
+i nlocuim ( )!!t n e-presia lui aT H
( ) ( )[ ]( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( )( )
+=
+=
=
+=
+=
22
2
2
2T
xx
xxa
xx
xxxxa
xx
xxxxa
xx
xxxxaa
t
tt
t
ttt
t
ttt
t
ttt
deoarece & == xxxx tt .
'in e-presia lui bT
avem cxa!b TT =
adicbxa! TT +=
iar din 2++= bxa!
astfel c prinscdere re"ultH ( ) += bbxaa TT& sau ( )xaabb += TT . /m obinut cH
( )
+=
2T
xx
xxaa
t
tt
( )xaabb += TT .
aT +i bT sunt estimatori nedeplasai pentru a+i b.
=n estimator este nedeplasat dac media estimatorului este c0iar parametrul estimat. %om aplica
operatorul de medie 5 n relaiile #site mai sus. !entru comoditate notm cu @t cantitateaH
( )
=2
xx
xx@
t
tt astfel c += tt@aa T
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
13/63
(onform ipote"elor fundamentale ( ) 22 =t5 +i ( ) &\ =tt5 pentru \tt re"ult@ndH( ) == 2222T tt @@aVar
dar( ) ( )
=
=
2
2
2
2 1
xxxx
xx@
tt
tt .
8n final dispersia estimatorului aT esteH
( ) ( ) =
2
2
Txx
aVar
t
.
(onform ipote"ei I3 ( ) 221
sxx> >
t +i avem c ( ) &T 2
2
= >>s
aVar
.
/m obinut c aa(
>
T aT este conver#ent n probabilitate ctre a.
'eterminm acum dispersia estimatorului bT H
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )222
22222
TT2
TT2TTT
aa5xaa5x5
xaaaax5xaa5bb5bVar
+=
=+===
,valum pe rnd fiecare termenH
( )
( ) ( ) ( )>>
>Var
>5
>5
>
>5
>55
t
tt
ttt
tt
tttt
2
2
2
2\
\2
2
2
\
\
2
2
22
121
211
===+=
=
+=
=
@@5>
@>
5aa5
2
\
\
2
\
\
2
111
11T
dar ( ) ( ) ( ) &1
21
21
=
=
=
==
xxxxxx
xx@ t
t
>
tt
t>
t
t
adic ( ) &T =aa5 .Aolosind aceste re"ultate pariale se obineH
( ) ( ) ( )( )
+=+=+=2
2222
222
2
TTT
xx
x
>aVarx
>aa5x
>bVar
t
'ispersia estimatorului bT esteH
+=
2
2
2
1T
xx
x
>bVar
t
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
14/63
(um ns &1
>>+i ( )
&11
22 =
>
t>sxx
re"ult c &T >bVar adic bb(
>
T bT
conver#e n probabilitate ctre b .
".5.3. Cov(ri(n4( '%i,(%ori*or aT i bT
(alculm acum covariana estimatorilor pornind de la definiieH
( ) ( )
( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )
( ) ===
===
===
2
22
2
TTT
TTTT
TTTTTTTTcov
xx
xaVarxaa5xaa5
aaxaa5aaxaa5
bbaa5b5ba5a5ba
t
.
Matricea de varian +i covarian a lui aT +i bT notat ( )ba TT este deciH
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+
=
=
+
=
=
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
TT
1
1
1TTTcov
TTcovT
xx
x
>xx
x
xx
x
xx
xx
x
>xx
x
xx
x
xx
bVarab
baaVar
tt
tt
tt
tt
ba
Be remarc faptul c ( )ba TT conine pe2
adic variana lui t care este necunoscut. Be pune deci
problema de a obine o estimaie pentru ( )ba TT adic o estimaie pentru2
=tVar . Notm aceast estimaie cu
2T .
".5.". D'%'r,in(r'( unui '%i,(%or n'd')*((% )'n%ru v(ri(n4( 'rori*or
=tili"@nd estimatorii aT +i bT putem calcula estimaia variabilei endo#ene!t notat t!T se mai numesc +i
valori austate ale variabilei endo#eneH bxa! tt TTT += ./tunci diferena dintre !t +i t!T este un estimator pentru eroarea t . Notm ttt !! TT = . /vem c
( ) bbxaabxabaxbxa!!!tttttttttt
=++=== TTTTTTTT . R',(r&/H deoarece aT +i bT
conver# n probabilitate ctre a +i b,distribuia lui tT conver#e n probabilitate ctre distribuia lui t distribuie
normal conform I2.
>tim c ( )xaabb = TT +i nlocuind obinemH
( ) ( ) ( ( )( xxaaxaaxaa ttttt =+= TTTT .iar prin ridicare la ptratH
( ) ( )( )( ) ( ) ( )2222 TT2T xxaaxxaa ttttt += .
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
15/63
( ) ( )( )( ) ( ) ( )ttttt
8nsumm dup t=,2,''',>+i mprim la >H
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) += 2222 1T1T21T1 xx>
aaxx>
aa>>
ttttt .
'arH ( )
=
2T
xx
xxaa
t
tt +i
( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) === 2
T xxaaxxxxxxxxxx ttttttttt
pentru c ( ) = &xxt .8nlocuind re"ultH
( ) ( ) ( ) = 2222 1T1T1 xx>
aa>>
ttt .
Notm cu ( ) = 22 1 t>
dispersia erorilor fa de media lor +i cum ea este o variabil aleatoare i
calculm media ( )25 H
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
===
=
+=
==
=
=
+=
=
5
>5
>
>5
>555
>
>5
>5
>55
tt
ttt
tt
ttttt
tttt
11
21
2111
12
11
2
2
2
\
\2
2
2
2
\
\
2
2
2
2
222
222222
/plic@nd acum operatorul de medie n relaiaH
( ) ( ) ( ) = 2222 1T
1T
1xx
>aa
>> ttt
+i innd cont de e-presia varianei estimatorului aT re"ultH
( ) ( ) ( )
=
==
>>>xx
>aVar5
>5
tt
21
11
1TT
1 22
2222
.
5 a+a c not@nd =
22 T2
1T
t>
am
obinutH ( ) 22T =5 adic 2T este un estimator nedeplasat pentru 2 variana erorilor.,ste de remarcat c modelul ttt bax! ++= presupune estimarea a doi parametri a+i b iar numitorul lui
2T este >*2. (>*2)constituie :nu,/ru* -r(d'*or d' *i6'r%(%'?. %om reveni ulterior asupra acestei probleme.
8n conclu"ie pentru modelul liniar al re#resiei simple avem estimatoriiH
( )( )( )
=
2T
xx
xx!!a
t
tt
xa!b TT =
= 22 T
21T t
>
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
16/63
,stimatorul 2T permite s dm o estimaie a varianelor +i covarianei parametrilor din model deci o
estimaie a matricei ( )ba TT notat ( )ba TTT H
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
bVarba
baaVarba
TTTcov
TTcovTTTT
undeH
( ) ( ) =
2
2TT
xxaVar
t
( )( )
+=
2
2
2 1TT
xx
x
>bVar
t
( ) ( )aVarxba TTTcov
= .
".5.5. In%'r)r'%(r'( -'o,'%ri&/ ( ,'%od'i &'*or ,(i ,i&i )/%r(%'
/m determinat estimatorii aT +i bT ai parametrilor modelului utili"@nd condiia necesar de e-isten a
minimului sumei ptratelor erorilor 2t . !utem s dm o condiie necesar +i suficient pentru ca 2t s fieminimal cu autorul unei repre"entri #rafice. /ceast condiie va consta n e#alitatea cu "ero a dou produse scalare
care redau ecuaiile normale.
Modelul ttt bax! ++= se scrie sub form matriceal astfelH ++= bAa$#
undeH
=
>!
!!
#
.
.
.2
1
=
>x
x
x
$
.
.
.2
1
=
1
.
.
.11
A
=
>
.
.
.2
1
.
8n spaiul ortonormat > considerm vectorii #$, A+i .
#T
9
/
(=
Q R
;
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
17/63
%ectorul 0:=a$+bAaparine planului 9 determinat de vectorii $ +i A. Aie 0=# 0=$ 0C=A :=.
(antitatea222 :)t == este minimal dac:este orto#onal pe 9 adic pe $+i A. /ceast condiie se
traduce prin e#alitatea cu "ero a produsului scalar al vectorilor respectiviH
==
&&&&
C:)+:) sau
> = =xa!
xbxa!x
tt
tttt.
/m re#sit deci sistemul de ecuaii normale.
Notm #T proiecia pe planul 9 a vectorului #+i cu T vectorul / orto#onal la planul 9.
/ efectua o re#resie a variabilei #asupra variabilei$n modelul ttt bax! ++= revine deci la a proiecta
vectorul #pe planul 9 din > determinat de$ +iA.
O6'rv(4i'H
(onsiderm modelul tt b! += . ; repre"entare analo# celei dinainte esteH
8n scriere matricial modelul este += bA# iar conform cu repre"entarea #rafic avem relaia;/P;S/.
22 :)t = este minimal dac :: & :este perpendicular pe 0: adic &=A: sau
& >=< AbA# sau = &b>!t == !!>
b t1T +i #A!Ab: === T& . Msura al#ebric a
proieciei vectorului # pe suportul vectorului A este ! . %om utili"a aceast observaie pentru a e-prima ecuaia
varianei.
Ecuaia varianei
&
Q
/
=
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
18/63
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
19/63
( )( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
=
=
2
2
22
2
2
T
!!
xxa
xx!!
xx
xx
xx!!
t
t
tt
t
t
tt . /m obinut o e-presie a coeficientului
de corelaie n funcie de estimator iar prin ridicare la ptratH( )
( )
=
2
22
2 T
!!
xxa
t
t .
=n calcul imediat arat cH
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ==++== 222222
TTTTTTTTT xxaxxabxabxa!!!! ttttt .
8n acela+i timp ecuaia varianei conduce laH ( ) ( ) = 222
TTttt !!!! de undeH
( )( )
( )( ) ( )
=
=
=
2
2
2
22
2
2
2 T
1TT
!!!!
!!
!!
!!
t
t
t
tt
t
t .
!e de alt parte utili"@nd fi#ura #eometric +i not@nd cu ^ un#0iul :B) T avemB
B:=cos
( )( )
==
2
2
2
2
2 T
cos!!
!!
B
B:
t
t adic ( )
==2
2
22 T
1cos!!t
t
.
8n mod necesar 1& 2 +i 11 .
(@nd &= nu e-ist o relaie de tip liniar bax! tt += ntre!t+ixt adic a=0. (@nd 12 = !teste le#at dextprintro relaie de forma bax! tt += . 1= implic a0 iar
1= implic a0.
(@nd relaia dintre!t+ixtnu este strict adic bax! tt + atuncieste apropiat de 1 semnul lui
fiind cel al lui a.
".5.:. Di%ri6u4i( d' )ro6(6i*i%(%' ( '%i,(%ori*or
'eoarece erorile t t=,2,''',> au o distribuie normal de medie "ero +i dispersie2
densitatea de
probabilitate a lui testeH
( ) >tf tt ...212
1e-p
2
12
2
=
=
.
(um t+i t?sunt independente pentru \tt densitatea de probabilitate a vectorului aleator , 2, ''', > va
fi e#al cu produsul densitilor de probabilitate relative la fiecare t.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
20/63
( ) ( )
=
2
2
212
1e-p
2
1...1
t
>
tf
'ar bax! ttt = +i
( ) ( ) ( )TTT
TTTTTTTT
bbxaa
bbxaabxa!bbxaxabax!bax!
tt
ttttttttt
++=
=++=++=
deoarece
ttttt !!bxa! TTTT == .
,valum suma ptratelor erorilorH
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]2222
2222
222
TTTTTT
TT2TTT2TT2TTT
TTT
++=
++=
=
+++++=
=++==
bbxaabbxaa
xbbaabbxaabbxaa
bbxaabax!
tttt
tttttt
ttttt
( ) &TT2 = tt xaa &TT2 =bbt pentru c a+a cum arat repre"entarea #rafic vectorul T este orto#onal la
planul 9 prin urmare este perpendicular pe orice vector din acel plan deci +i pe$+i A. !rodusele scalare cu ace+ti
vectori vor fi nule adicH &T >=< $ +i &T >=< A .
8ntro scriere matricialH
( ) ( )[ ]
=+
bb
aa
>x>
x>x
bb
aabbxaa tt T
T
T
TTT
2\2
lasm studenilor plcerea de a verifica V.
8nlocuind n 1 fiecare tprin e-presiile calculate mai sus deducem densitatea de probabilitate a vectorului aleator
!,!2,''',!>H
( ) ( )
=
=
=
bb
aa
>x>
x>x
bb
aa
bax!!!!
tt
>
tt
>
t
T
T1
T
T
2
1e-p
T
2
1e-p
2
1
2
1e-p
2
1...
2
2
\
2
2
2
2
21
_in@nd cont de matricea de varian +i covarian a estimatorilor ( )ba TT se arat u+or cH
( )1
TT
2
2
1 =
bat
>x>
x>x
+i ( ) ( ) ( )baDg!!! t
>
t TTT2
1... 21
= unde ( )
tgT este densitatea de
probabilitate a lui tT iar baD TT cea a lui ba TT .
(u aceste re"ultate +i fcnd apel la unele teoreme importante ale statisticii matematice putem deduce
urmtoarele distribuii de probabilitateH
1. 'eoarece = 22 T
2
1T
t>
adic ( ) 22 T2T = >t variabila aleatoare definit de raportul
( ) = 2
22
2
T1T2 t>
urmea" o repartiie 20iptrat cu (>*2)#rade de libertate. %ectorul
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
21/63
T admite >*2 componente independente nenule distribuite dup >*2le#i normale independente
cu media "ero +i abatere standard
2. Aolosind relaile de calcul stabilite anterior re"ult c2
T
2
T
2
2 TT
a
a
=
am utili"at aici notaiile T2T aVara = +i TTT2T araVa = pentru variana estimatorului aT respectiv pentru
estimaia acesteia. /tunci variabila aleatoare definit de raportul ( )2T
2T
T2
a
a>
urmea" tot o repartiie 2cu (>*
2)#rade de libertate.
3. (uplul ba TT urmea" o repartiie normal bidimensional astfel c variabilele aleatoare
definite mai os au repartiiile urmtoareH ( )1&T
T
8aa
a
( )2T
T
T
>
a
*2 #rade de libertate
( )1&T
T
8bb
b
( )2T
T
T
>
b
*2)#rade de libertate. =n calcul simplu conduce la intervalul
de ncredere pentru parametrul a de formaH
aa taata TT TTTT +
ceea ce permite afirmaia c adevrata valoare a parametrului real a se #se+te n intervalul de valori
[ ]aa
tata TT TTNTT + cu probabilitatea 1^.
(@nd se dore+te testarea unei valori a0a parametrului a este suficient pentru a accepta aceast valoare cu
riscul s ne asi#urm cH
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
22/63
taa
a
T
&
T
T.
/ltfel spus este suficient ca a0s aparin intervalului de ncredere stabilitH [ ]aa tataa TT& TTTT + .
'e asemenea ( ){ } = 122 >44obr .
( )22 = >44 este ecuaia unei elipse cu centrul n ba@ TT care define+te astfel o :re#iune? de ncrederepentru cuplul ( )ba la nivelul de semnificaie H
!roieciile acestei elipse pe a-e determin de asemenea dou intervale de ncredere pentru a+i b centrate n
aT +i bT . 'ar este important de remarcat c nivelul de semnificaie referitor la aceste intervale nu mai este nivelul
asociat elipsei.
'ac se dore+te testarea simultan a dou valori a0 b0alese apriori este suficient s nlocuim a+i bn e-presia
4prin a0+i b0.
'ac ( ) ( )22 && >4ba4 se accept valorile altfel ele vor fi respinse. /ltfel spus pentru a accepta
cuplul (a0 b0)la nivelul de semnificaie este suficient ca punctul 60(a0,b0)s aparin elipsei de ncredere asociat
cuplului (a b).
O6'rv(4iiH
1. ,-presia ( )>!!! ... 21 se descompune n doi factori g+i D. gse e-prim doar n funcie de tT
adic n funcie de!t aT bT Dnu conine dec@t pe aT bT a +i b. /ceasta arat c odat cunoscut o
reali"are a cuplului ba TT le#ea de probabilitate condiionat a lui !tdat de factorulg nu depinde dec@t de
valorile adevrate dar necunoscute ale parametrilor a +i b. Be "ice c ( )ba TT sunt estimatori :exhaustivi?pentru a+i b adic ei re"um toat informaia pe care e+antionul o poate aduce despre a+i b.
2. (@nd ipote"a de normalitate asupra erorilor t este reali"at funcia de verosimilitate relativ la e+antionul
( )>!!! ... 21 este c0iar funcia ( )>!!! ... 21 . !entru obinerea de estimatori ai lui a +i bprin
?
?
@
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
23/63
metoda verosimilitii ma-ime este suficient s ma-imi"m e-presia ( )>!!! ... 21 adic s
minimi"m ( ) 2bax! tt . ,stimatorii ( )ba TT obinui cu metoda celor mai mici ptrate coincid decicu cei obinui prin metoda verosimilitii ma-ime.
3. /tunci c@nd ipote"a de normalitate a erorilor nu se reali"ea" se va arta c estimatorii aT +i bT obinui prin
metoda celor mai mici ptrate au variana minim printre toi estimatorii liniari centrai n a+i bse va da o
demonstraie pe ca"ul #eneral.
".:. Pr'vi2iun'( &u ,od'*u* *ini(r
Aie x reali"area variabilei e-o#ene la momentul . %aloarea previ"ionat pentru endo#ena #va fiH
bxa!( TT +=
iar reali"area efectiv a lui #esteH
++= bax! .
,roarea de previ"iune se poate e-prima prin variabila aleatoare !!e
= .
( ) += bbxaa!! TT .
Be remarc imediat c ( ) &=e5 iar variana erorii de previ"iune esteH
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]bb5aa5xbbaa5x
5bb5aa5x!!5eVar
+
+++==T2T2TT2
TT 22222
=ltimii doi termeni sunt nuli sa demonstrat anteriorV +i aT ca +i +i bT sunt necorelai.
'eciH
( ) ( ) ( ) ( ) ( )baxVarbVaraVarxeVar ( TTcov2TT2 +++= .Notm variana erorii de previ"iune cu ( )eVar=
2
+i folosind relaiile de calcul anterioare re"ultH
( ) ( ) ( )( )( )
++=
=
+
++
=
2
2
2
2
22
2
22
2
222
11
21
xx
xx
>
xx
xx
xx
x>
>xxx
t
ttt
2
este necunoscut dar estimat prin2T +i variana estimat a erorii de previ"iune esteH
( )( )
++=
2
2
22 11TT
xx
xx
>t
/ceast varian poate fi redus pe de o parte prin cre+terea numrului de observaii > iar pe de alt parte
prin ale#erea lui x astfel nc@t ( )2
xx s nu fie prea mare adic fc@nd o previ"iune pe termen scurt.
'eoarece erorile sunt normal distribuite ( )2& 8t atunci +i ( ) 8aa T +i 8bb T urmea"le#i normale.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
24/63
( )1&8!!
.
T
!!
urmea" o le#e Btudent cu >*2#rade de libertate pentru c ( ) ( )2
2
2
2 T2
T2
= >> .
8n planul (x,!)trasm dreapta de austare bxa! TT += . Aie ( )!x punctul situat pe dreapta de austare.
!utem construi av@ndca centru +i paralel cu a-a 0!un interval de ncredere662la nivelul de semnificaie .
=
dat T ca funcie de ( )2
xx este minim pentru
xx = . !unctele6+i 62sunt deci situate c@nd varia" pe dou arce de curb ve"i fi#ura care determin astfel
re#iunea creia i aparine ! pentru x dat cu o probabilitate e#al cu (*).
O6'rv(4ii
1. :; variabil aleatoare teste distribuit dup o le#e Btudent cu >*2#rade de libertate dac e-presia2
2
>t
este raportul dintre o variabil aleatoare distribuit 2 cu 1 #rad de libertate +i o alta distribuit 2 cu (>*2)#rade de
libertate?. Aiea
aat
TT
T
= . /tunciH
( )
( )
( )
( ) /ibertate7egra7e2)*(>c,/ibertate7egra7,nc,
>
aa
>
aa
>
t2
a
a
a
a
2
2
T
2
T
2
T
2
2
T
22
T2
T
T2
T
2=
==
.
6
62
x
!bxa! TTT +=
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
25/63
2. :; variabil aleatoare 4este distribuit dup o le#e Ais0erBnedecor cu n +i n2#rade de libertate dac
e-presia2
1
n
4neste raportul dintre o variabil aleatoare distribuit 2 cu n#rade de libertate +i o alta distribuit
2 cu n2#rade de libertate?.
Aie ( )
= bb
aa
bb
aa4
ba T
TT\
T
T
2
1 1TT
.
/tunciH
( )
( ) /ibertate7egra7e2)*(>c,/ibertate7egra7e7o,ac,
>
bb
aa
>x>
x>x
bb
aa
>
bb
aa
>x>
x>x
bb
aa
>
4
2
t
t
2
2
2
2
2
2
2
T2
T
T
T
T
T2
T
T
T
T
2
2
=
=
=
=
pentru c ba TT urmea" o le#e normal bidimensional.
3. Dacobianul transformrii permite e-primarea densitii de probailitate a vectorului aleator
( )>!!! ... 21 pornind de la cea a lui ( )> ... 21 . (@nd ( )>f ... 21 este cunoscut pentru a
obine ( )>!!! ... 21 procedm astfelH 8nlocuim t prin e-presia ei n funcie de t!
8nmulim e-presia obinut cu valoarea absolut a determinantuluiH
( )( )
1
1...&&
............
&...1&
&...&1
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
==
==
>
>>>
>
>
!!!
!!!
!!!
!E
EF
( ) ( ) ( ) ( )( )F!!!f!!! >>> ....... 221121 =
4. /m v"ut c ( ) = tt@aa T t +i ( )aa T fiind distribuite normal. ( )aa T este o combinaie
liniar de t . 'eciH
( )( )1&
T
T
8aa
a
( )2
T
2
T
a
aa este distribuit 2cu 1 #rad de libertate pentru c este ptratul unei variabile aleatoare8(0,)'
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
26/63
(( )1&
T
T
8bb
b
( )( )1
2
2T
2T
b
bb
'eoarece ( ) ( ) ( ) = 2222 TT xxaa ttt prin mprirea la 2 obinemH
( ) ( ) ( )
= 2
2
2
2
2
2
2TT
xxaa
t
tt
( )2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2TT
===
>>
tt >
( )
( ) ( )
( ) ( )2
1
22
2
2
T
TT
=
aVaraa
xx
aat
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
27/63
t -t 7t -t7t
1 15 4) $2& I1333 )341$$ I14533 21121) 225 23&4 5&)544 I11$) 133 I2)544 )
2 ) 43 344 I1133 2&2)4 I1533 3)1551 4 1)4 41&34 I2&2) 4255 1&5 1
3 3 $$ 2$$2 11) 14&)1) 144 2&2)4 12 52 $$$&$3 151$4 23&251 I&$&$3 &
4 41 ) 34 1) 2)44)4 24 $&&4)4 1)1 $21 )41&&) 215$5 451 4)1 24
5 1 5& )&& I)1333 1511 I12533 15$&)4 25 25&& 521331 I1&4&&2 1&)14 I21331 4
) 4& 32& I1133 2&2)4 I22533 5&$$51 4 1&& 41&34 I2&2) 4255 I1&34 3
$ 21 5 11$ I31333 )1$$ I5333 42)44 441 313 5)52$ I4&& 1&53 I252$
) 21 2 13&2 I31333 )1$$ I&5333 &2)44 441 3)44 5)52$ I4&& 1&53 34$32 12
53 1&& 53&& 2)) )332)4 3$4 14&3$5 2)& 1&&&& 4454 312 1325 &5545 &
1& 1& 4$ 4$& I14133 1$51 I15533 2412)4 1&& 22& 444& I1)&$24 3213 253
11 32 $1 22$2 $) 1))44 )4 $1)44 1&24 5&41 $2525 1&&51 1&11)$ I1525
12 1$ 5) ) I$1333 5&))44 I45333 2&5511 2) 334 53411) I1214 )32&1 45))1 21
13 5 1&2 51 33) 1145 34 155$2 334 1&4&4 1&5)3) 433&5 1)$53) I3)3) 14
14 35 21& I1)133 32))1) I2$533 $5)&)4 3 1225 334 I231)$3 53$4 I434 1)
15 2& & 12&& I41333 1$&)44 I25333 41$$ 4&& 3&& 5$24) I52)53 2$34$ 2$51 $
5;" F5$ "
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
28/63
!e ba"a elementelor din tabelul de calcul se determinH
=
===>
t
tx>
x1
133243215
11 =
===>
t
t!>
!1
53323)15
11
( )( )
( ) 2)11332415124&533213324152$43$.
T 2222 =
=
=
=
x>x
!x>!x
xx
xx!!
a t
tt
t
tt
$31133242)15332TT === xa!b
coeficientul de corelaie liniarH
( )( )( ) ( )
)4&$333$53$33.2
533213324152$43$
22=
=
=
xx!!
xx!!
tt
tt
%aloarea apropiat de 1 a coeficientului de corelaie arat c ntre cele dou variabile studiate e-ist o
corelaie liniar.
;bservaieH /m v"ut cH( )
( )
=
=
=
2
2
2
2
2
22
2
TT
TTT
!!
!!
!!
xaxa
!!
xxa
t
t
t
t
t
t
!tratul coeficientului de corelaie liniar este raportul dintre variabilitatea e-plicat prin model +i
variabilitatea total.
ecuaia de anali" a varianeiH
%ariabi/itatea tota/ = %ariabi/itatea exp/icat + %ariabi/itatea reGia/
( ) ( ) += 222 TT ttt !!!!
2$33 P 13$$1 S 132&148n spaiul observaiilor #este cu at@t mai bine e-plicat prin modelul liniar cu c@t este mai aproape se
planul 9 #enerat de vectorii$ +i Avectorul unitar deci cu c@t variabilitatea re"idual este mai mic fa
de variabilitatea empiric total. /ceasta face ca raportul dintre variabilitatea e-plicat prin model +i
variabilitatea total adic 2 s fie apropiat de 1.
estimaiile varianelor re"iduurilor +i ale estimatorilorH
151&215
&144132T
2
1T 22 =
=
= t
>
( ) ( ) N&&2$&$333$53151&T
T 2
2
===
xxaVar t
&52&&&2$&T T ==a
( )( )
252$333$53
13324
15
1151&
1TT
2
2
2
2 =
+=
+=
xx
x
>bVar
t
51252T T ==b
calculul intervalelor de ncredere pentru estimatoriH
2)
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
29/63
%ariabilele aleatoare( )
a
aa
TT
T
+i
b
bb
TT
T
urmea" fiecare o repartiie Btudent cu (>*2)#rade de libertate.
/le#@nd un nivel de semnificaie ^P&&5 putem e-tra#e din tabelele repartiiei astfel de tabele se #sesc n
maoritatea crilor de econometrie sau de statistic matematic valoarea t tab corespun"toare numrului de
#rade de libertate +i nivelului de semnificaie ales. 8n ca"ul nostru pentru *2P13 #rade de libertate +i^P5O #sim ttabP21. Intervalele de ncredere vor fiH
[ ]=+ aa tataa TT TTNTT J12)21&&52 12)S21&&52KP
P J11$ 13K
=+bb
tbtbb TT TTNTT J31$ L2115 31$S2115KP
PJ2)43 341K
!rin urmare putem afirma c valorile parametrilor reali a +i b se #sesc n aceste intervale cu o
probabilitate de 5O.
Btabilim acum un interval de ncredere pentru estimatorul varianei erorilor. /m v"ut c variabila
aleatoare ( )
= 222
2
T1T
2 t>
urmea" o le#e de repartiie 0iptrat cu *2 #rade de libertate. 8n
tabelele le#ii 0iptrat vom #si pentru un nivel de semnificaie ^ dat dou valoriH %av@nd probabilitatea
1^X2 de a fi dep+it respectiv %2av@nd probabilitatea ^X2 de a fi dep+it astfel c
=
1
T2!r 22
2
1 %>%ob
Be obine astfel intervalul de ncredereH
1
2
2
2
2T2
NT2
%
>
%
>
pentru ^P&&5 +i 13 #rade de libertate e-tra#em din tabel %P5&1 +i %2P24$ re"ult@nd intervalulH
=
&15
151&215N
$24
151&2152 J534 234K
testm dac parametrii a +i b ai modelului sunt semnificativ diferii de "ero la pra#ul de semnificaie
^P&&5.
%ariabilele aleatoarea
a
TTT
+i
b
b
TT
T
urmea" le#i de probabilitate Btudent cu *2 #rade de libertate. /ceste
rapoarte se numesc +i :raportul t? Btudent empiric tcalculat. Be accept ipote"a &H aP& dac tcalculat luat n
modul este mai mic dec@t ttabelat altfel se accept ipote"a contrar 1Ha &. /cest lucru se poate scrieH
tab
a
ta
tim cH
!!e (
p = este o variabil aleatoare distribuit normal cu media "ero +i variana estimat a erorii de
previ"iuneH
( )( )
312$333$53
133244)
15
11151&
11TT
2
2
2
22 =
++=
++=
xx
xx
>t
5143312TT 2 ===
'eoarece variabila aleatoare
T
!!
este distribuit Btudent cu *2 #rade de libertate putem
determina un interval de ncredere pentru valoarea previ"ionatH
[ ] [ 1&&N5)551)4&312113N514312113TNT22
=+=
+ t!t!!
pp
(u o probabilitate de 5O valoarea adevrat a c0eltuielilor de ntreinere +i reparaii pentru un utila de 4)
de luni se va afla n intervalul determinat.
3&
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
31/63
CAPITOLUL III
REGRESIA MULTIPL
'e multe ori studiul unui fenomen economic necesit introducerea mai multor variabile
e-plicative. ; variabil endo#en se e-prim deci n funcie de mai multe variabile e-o#ene. Metodele dere#resie utili"ate sunt n acest ca" #enerali"ri ale celor din capitolul anterior.
5.3. Mod'*u* *ini(r (* r'-r'i'i ,u*%i)*'
(onsiderm acum modelulH
1 tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211 t=, 2, ''',>
n careH #repre"int o variabil endo#en
$, $2,''', $p sunt variabile e-o#ene
a, a2,''', apsunt parametri necunoscui care trebuie estimai.
Modelul nu conine o constant deoarece variabila $p poate fi considerat astfel ca xptP1
>t ...21= se nume+te variabil au-iliar.
Aolosind notaiileH
=
>!
!
!
#
.
.
.2
1
=
p>>>
p
p
xxx
xxx
xxx
$
...
............
...
...
21
22212
12111
=
pa
a
a
a...
2
1
=
>
.
.
.2
1
ecuaia 1 se scrie sub form matricealH
2 +=$a# .
I)o%'2' fund(,'n%(*'
Ipote"ele I1 I2din capitolul II rm@n valabileH ceea ce era adevrat pentru xteste acum valabil
pentruxit iP12...p.
Ipote"a I3referitoare la variabilele e-o#ene se modific astfelH
a. absena coliniaritii variabilelor e-o#eneH
Nu e-ist nici o mulime de p numere reale i iP12...p astfel nc@t
&1
==
p
i
itix t=, 2, ''',>.
31
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
32/63
Matricea$de format (>xp)are n acest ca" ran#ulp (>p) +i matricea ($?$) unde
$?este transpusa lui$ este nesin#ular deci e-ist inversa ei ($?$)*.
b. /tunci c@nd > matricea ( )$$>
\1
tinde ctre o matrice finit nesin#ular.
5.". D'%'r,in(r'( '%i,(%ori*or )(r(,'%ri*or
!entru a scrie ecuaiile normale utili"m interpretarea #eometric dat n capitolul II. Ne
propunem s minimi"m e-presia =
=>
t
tA1
2 .
Aie vectorii #$$2...$pn spaiul ortonormat > .
%ectorul ( )
=
p
p
a
a
a
$$$$a...
... 2
1
21 aparine subspaiului (H) #enerat de vectorii $
$2...$p. (antitatea22 == tA va fi minim atunci c@nd vectorul $a#= este orto#onal la
subspaiul (H). /ceast condiie se traduce prin e#alitatea cu "ero a produselor scalare dintre vectorul
$a# +i orice vector din subspaWul 9deci +i R1R2...RpH
#T
9
/
Rp
R1
TQ
R2
;
32
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
33/63
>===). ,stimatorul aJeste nedeplasat dacH
( ) ( ) ( ) a$a65#65a5 =+== [adic ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a6$65a56$a5 =+= [ pentru c ( ) &=5 .!entru ca aJs fie nedeplasat trebuie ca (6$)=Imatricea unitate de ordinulp.
(onstruim acum matricea de varian +i covarian a lui aJH
( ) ( )[ ]\[[[
aaaa5a
=
'ar ( ) ( ) 6a6a6$$a66#a +=+=+==[ deci 6aa =[
( ) \\\[ 6aa = +i ( ) ( ) \\\\\ 2[
66665665a
=== . !entru ca aJ s fie de varian minim
trebuie ca :urma? matricei (66?) s fie minim sub restricia (6$)=I. =rma unei matrici este prin
definiie suma elementelor de pe dia#onala principal. Notm Ar($)urma matricei$. Areste un operator
liniar demonstraiV.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
35/63
%ariana re"iduurilor 2 fiind necunoscut avem nevoie de un estimator al ei. 'ac p este
numrul de coeficieni de estimat n model se va arta cH
= 22 T
1T
tp>
/vem cH +=$a# a$# TT =
a$$a## TTT +==
( )aa$ = TT .
'arH ( ) \\T 1$$$aa = +i ( ) \\T 1$$$$ =
( ) \\T 1$$$$I = .
NotmH ( ) \\ 1$$$$I = .
este o matrice de format (>->)cu proprietile Psimetric +i 2Pidempotent de #rad
2. /m obinut =T . ,valum acum 2Tt care sub form matriceal esteH
+====i "i
"ii"iiit 22 \\\T\TT unde i"este elementul matricii situat la
intersecia liniei icu coloana".
/tunci re"ult cH
( ) ( ) ( )
+=i "i
"ii"iiit 555 22T .
8ns &="i5 conform I2+i ( ( ( )=== Ar55 iii
iiiit
2222T .
/rtm c ( ) p>Ar = .
( ) ( )( ) ( ) ( )( )\\\\ 11 $$$$ArIAr$$$$IArAr ==( ) >IAr =
( )( ) ( )( ) p$$$$Ar$$$$Ar == 11 \\\\permutarea ntre ( ) 1\ $$$ +i \$ este posibil datorit formatului acestor matrici +i proprietiloroperatorului Ar.
8n final re"ultH
( ( ) 22T p>5 t = ( )
=
= 222 T1T1 ttp>
55p>
astfel c
= 22 T
1T
tp>
este estimator nedeplasat al lui2
.
35
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
36/63
* este numrul de observaii p este numrul de parametri de estimat +i relaia #sit o
#enerali"ea" pe cea din capitolul II.
5.:. T'%' i r'-iuni d' 7n&r'd'r'
Ipote"a de normalitate a erorilor t fiind ndeplinit se pot #enerali"a re"ultatele obinute la
re#resia simpl. 'eoarece ( ) \\T 1$$$aa += re"ult c aT este distribuit dup o le#e normal n
pdimensiuni cu media ( ) &T =a5 +i dispersia ( ) 12T \ = $$a . !entru un estimator iaT dat avemcH
[ia
ii aa
T
T
urmea" o le#e normal redus8(0,)
[[ ( ) 22
2
2 TT
= tp> este distribuit 20iptrat cu (>*p)#rade de libertate.
[[[ia
ii aa
TT
T
urmea" o le#e Btudent cu (>*p)#rade de libertate.
9e#ea Btudent este utili"at n mod curent pentru a aprecia validitatea estimatorului unui
coeficient ai. 'e e-emplu dac se testea" ipote"a (:0-ai=0)contra ipote"ei (:-ai 0) pentru a accepta
:trebuie ca2
TT
T
t
a
i
a
i unde2
t este valoarea tabelat a variabilei treparti"at Btudent cu >*p#rade
de libertate iar este pra#ul de semnificaie.
O6'rv(4i'H
!entru >30+i P&&5 22
t . 'eci dac 2T
T
T
ia
ia
se accept: adic ipote"a c variabila
$iare un coeficient aisemnificativ diferit de "ero.
Mai #eneral c@nd se pune problema de a +ti dac un coeficient ai este diferit de o valoare
particular &ia se calculea" raportulia
ii aatT
&
T
T
= +i se compar cu
2t .
'ac tcalculatZttabelatconcludem c&
ii aa .
(onsiderm acum toi estimatorii paa T...T1 H
3
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
37/63
[ variabila aleatoare ( ) ( )aaaa a T\T
1
T este distribuit 2cup#rade de libertate
[[ variabila aleatoare ( ) ( )aaaap
4 a = TTT
1 1T urmea" o le#e Ais0erBnedecor cup+i (>*
p)#rade de libertate.
9a fel ca la re#resia liniar simpl re"ultatele anterioare permit construirea de intervale dencredere relative la coeficienii ai ca +i a unui elipsoid de ncredere relativ la ansamblul coeficienilor n
spaiul p . !entru ai intervalul de ncredere la pra#ul de seminificaieesteH
2T
2 T
T
t
aat
ia
ii
2T
2T
TTT taat ii aiia
iar pentru ansamblul coeficienilor ecuaia elipsoidului de
ncredere esteH 4=4(,p,>*p)'
/celea+i principii conduc la determinarea de re#iuni de ncredere relative la un numr oarecare de
coeficieni din model. 'ac K este numrul coeficienilor reinui n spaiul K avem ecuaia
4=4(,K,>*p) undeH
( ) ( )KKaKK aaaaK4K
=
TT
\T
1 1T1 .
cu KaT e-tras din vectorul aT +i KaTT e-tras din aTT H
'ac dorim s testm la pra#ul de semnificaie ipote"a (:0-aK=&
Ka )contra ipote"ei (:-aK
&
Ka ) atunci dacH
( ) ( ) ( )p>K4aaaaK
KKaKK K TT\T
1 &1T
&
se accept ipote"a:0 ( )p>K4 se e-tra#e din tabelele distribuiei Ais0erBnedecor.
O6'rv(4i'H
2T
2T
TTTT
taataii aiiai
+
2TT
T
t
aa
ia
ii
3$
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
38/63
Be observ c valoarea tabelat4depinde de ( )p>K +i nu de ( )K>K . vectorul ( )aa> T urmea" odistribuie normal cu media e#al cu "ero.
5.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
39/63
>i n acest ca" ecuaia varianei se scrieH
reGi7,a/0
ateaVariabi/it
a",state%a/ori/or
ateaVariabi/it
tota/L
ateaVariabi/it+=
( ) ( ) += 222
TTttt
!!!!
(oeficientul de corelaie multipl.are definiiaH
( )( ) ( )
=
=
2
2
2
2
2 T
1T
!!!!
!!.
t
t
t
t .
'in repre"entarea #eometric fcut re"ult c TT +=##
dar +tim c TT += a$# +i a$# T= re"ult@nd cH ( ) TT += a$$## ceea ce arat c vectorul
re"idual T este acela+i +i pentru valorile (#,$)+i pentru valorile centrate fa de medie ( )$$##
. (u alte cuvinte dac efectum re#resia pe ecuaia #eneral cu variabilele necentrate sau o efectum cu
variabilele centrate pe media lor estimatorul aT +i vectorul re"idual T sunt aceea+i.
O6'rv(4i'H
(@nd se centrea" valorile$+i #,vectorul aT nu conine ultimul estimator paT . (onstanta pa
dispare c@nd se centrea" variabilele. (onsiderarea modelului fr constante cu variabilele necentrate pe
media lor poate conduce la valori ale lui 2. care ies din intervalul (0,).
,-presia matricial a coeficientului de corelaie multipl esteH
( ) ( )( ) ( )####
####.
=
\
T\T2 dar ( ) ( )a$$## TT = .
( ) ( )[ ] ( ) ( )##$$$$$$a = \\T 1 +i coeficientul devineH
( (( ) ( )####
##$$a.
=\
\\T2.
(oeficientul 2. arat rolul ucat de toate variabilele e-o#ene asupra evoluiei variabilei
endo#ene. ,l este cu at@t mai bun cu c@t e mai apropiat de 1.
'ar udecarea calitii unui model doar prin valoarea lui 2. poate duce la erori #rosiere. ,l
masc0ea" uneori influena variabilelor e-o#ene luate separat asupra variabilei endo#ene +i nu poate s se
substituie studiului estimatorilor coeficienilor modelului. !tratul coeficientului de corelaie multipl nuine cont nici de numrul de observaii > +i nici de numrul variabilelor e-plicative p. ;ri se poate
foarte bine ca av@nd acelea+i observaii asupra variabilei endo#ene s considerm dou modele distincte n
al doilea fc@nd s apar un numr de variabile e-plicative noi. 8n aceast a doua re#resie coeficientul de
corelaie multipl nu poate dec@t s creasc pentru c variabilitatea e-plicat prin re#resie cre+te.
; definire mai precis a lui 2. care ine cont de > +ipesteH
3
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
40/63
( )22
11
1 .p>
>.
= .
2
. se nume+te &o'fi&i'n% d' &or'*(4i' ,u*%i)*/ &or'&%(%.
1. dacp= atunci 22 .. =
2. dacp atunci 22 .. <
3. 2. poate scdea prin introducerea n model a unei noi variabile e-o#ene
4. 2. poate lua +i valori ne#ative dac1
12
p. .
An(*i2( v(ri(n4'i
/tunci c@nd studiem rolul ucat de e-o#ene asupra evoluiei endo#enei ne putem ntreba care este
partea de variabilitate e-plicat de una sau mai multe variabile e-o#ene.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
41/63
>tim c222
&& :):) += adic T\TT\T\ += #### .
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
42/63
=
=
=
=
>>>> x
x
x
$
x
x
x
$
!
!
!
#
...5
...5
...5
...
2
1
2
22
21
2
1
21
11
1
2
1
adicH +=$a# undeH
=
=
3
2
1
21
2111
1
.........
1
a
a
a
a
xx
xx
$
>>
t !t xt x2t1 1&& 1&& 1&&2 1& 1&4 3 1&$ 1& 11&
4 12& 111 125 111 111 113 11 115 1&3$ 123 12& 1&2) 133 124 1&3 13$ 12 )
B observm c numrul de observaii *P este mic din raiuni de simplificare a calculelor.
%om estima modelul presupunnd c sunt ndeplinite ipote"ele principale ale modelului liniar
#eneral de re#resieH
ipote"e stoc0asticeH .& 2
I55 == 0omoscedasticitate adicH &. =st5
dac st +i 22
=t5 t' ipote"e structuraleH dac numrul de variabile e-o#ene veritabile este k atunci p=k+ este
numrul parametrilor de estimat. *rebuie ca ran#ul matricii $s fie e#al cupp> iar matricea
( )$$ unde $ este transpusa lui$ este nesin#ular deci inversabil.8n e-emplul nostru avem kP2 +ipP3.
/tunci ( ) #$$$a = 1T este un estimator liniar nedeplasat +i cu variana minimal estimator 9=,.!entru a simplifica procedura de calcul vom centra variabilele modelului. (u notaiileH
==== 222111 $$A$$A##=
undeH ====t
t
t t
tt
t
t>
x>
$x>
$!>
# 1
1
1
1
2211
modelul se scrieH
++= 2211 AaAa= sau +=Ab= unde
42
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
43/63
=
=
=
=
>>>
>
a
ab
$x$x
$x$x
A
!!
!!
!!
= ............
1
2
1
2211
221111
2
1
'eoarece ======t
t
t
t x>
$!>
# 1131&1$
1111$1&53
1111
1&54
1122 ===
t
tx>
$ valorile centrate ale variabilelor suntH
t ##= = 111 $$A = 222 $$A =1 1$ 13 2 11 $3 1& $ S44 S3 2 S2&5 2 S$
1 S2 3$ S S$ 4) S1 S11 3 S2& S13 )
!entru a calcula estimatorul ( ) =AAAa
ab =
= 1
2
1
T
TT avem nevoie de matricileH
=
=
=
4)112
1125&......
...
...2
221
21
2
1
21
2111
221
111
ttt
ttt
>>
>
>
,,,
,,,
,,
,,
,,
,,AA
=
=
=
$2
)$2...
...
...
2
1
1
221
111
tt
tt
>
>
>
G,
G,
G
G
,,
,,=A
( )
=
=
4&)5
5&
4&)5
1124&)5
112
4&)5
4)
4)112
1125&1
1AA
( )
=
==
=
1244&
321
$2
)$2
4&)5
5&
4&)5
1124&)5112
4&)54)
T
TT 1
2
1=AAA
a
ab
!entru a determina estimatorul celui de al treilea parametru a3 utili"m relaiaH 32211 TTT a$a$a# ++=
de undeH
43
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
44/63
1415&1&.1244&113.32111$TTT 22113 === $a$a#a
Modelul estimat esteH 1415&1244&321TT 21 +== $$a$# iar re"iduurile suntH
1415&21244&1321TTT +=== $$#a$### .
(utm acum un estimator nedeplasat pentru variana re"iduurilor. /m v"ut c acest estimator este dat de
relaiaH = 22 T
1T
tp>
. 'ar
( ) bA===###### TTTTTT ==== iar
( ) ( ) =Ab==bA=bA=t =
== TTTTTT2
. /vem cH
=$2
)$2=A
== 124)2tG== +i ( ) 5$&411$$2
)$21244&321T =
= =Ab
== 42)5$&411$124)2
t
4&4113
42)T
1T 22 =
=
= t
p>
Matricea de varian +i covarian a vectorului bT esteH ( ) 12
T
= AAb
iar o estimaie a ei se obine
nlocuind pe 2 cu2T . /vem cH
( )
=
== &1)1&&&31&
&&31&&1)&&
4&)5
5&
4&)5
1124&)5
112
4&)5
4)
4&411TT12
T AAb
(oeficientul de corelaie multipl *=M 2
1
1tG
>
44
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
45/63
2.%ariabilele e-o#ene centrate = 5$&411$T 2tG k=2 2T1 tGk
3.
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
46/63
CAPITOLUL I0
STUDIUL MODELULUI LINIAR CND IPOTEELE CLASICE ASUPRA ERORILOR
NU MAI SUNT REALIATE
9.3. I)o%'2( d' ind')'nd'n4/ ( 'rori*orBa studiat anterior modelul liniar de re#resie sub ipote"a c erorile sunt independente. 8n ca"ul n
care erorile tsunt corelate matricea de varian +i covarian a erorilor nu se mai reduce la I2
iar
estimatorii parametrilor modelului #eneral #=$a+ cu5(t)=0t=,2,''',>+i ( ) I5 2\ = nu mai
posed acelea+i proprieti ca n ca"ul erorilor independente.
Aie aT vectorul estimatorilor parametrilor a. ,stimatorul aT trebuie s fie liniar n raport cu
variabilele endo#ene # adic 6#a=T unde 6 este o matrice de coeficieni. ,stimatorul aT este
nedeplasat deoareceH
( ) ( ) [ ] ( ) 6$a656$a66$a56#5a5 =+=+== T
pentru c ( ) &=5 .!entru ca ( ) aa5 =T trebuie s impunem condiia6$=I re"ult@nd cH
6a66$a6#a +=+==T
Matricea de varian +i covarian a estimatorilor innd cont c 6aa =T esteH
[ ] [ ] [ ] 66665665665aaaa5a ===== TTT!unnd condiia ca aT s fie minimal sub restricia6$=I+i re"olvnd aceast problem de e-tremum
condiionat re"ult c matricea6 este de formaH [ ] 111 = $$$6
!rin nlocuire +i calcul se obineH
[ ] #$$$6#a 111T ==
[ ] 11T = $$a ,stimatorul aT astfel obinut este un estimator liniar nedeplasat +i de dispersie minim. ,l a fost obinut
prin M(MM! #enerali"at. Be observ imediat c dac erorile sunt independente adic I2 =
atunci [ ] #$$$a = 1T adic re#sim estimatorul obinut prin M(MM! obi+nuit.
8n ca"ul n care erorile sunt corelate determinarea estimatorului aT necesit cunoa+terea matricei
de varian +i covarian a erorilor . 8n aplicaii deoarece este necunoscut se lucrea" cu
estimaia ei T ceea ce nu antrenea" erori prea #rave.
4
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
47/63
(orelarea erorilor t poate mbrca diverse forme. (el mai frecvent se studia" ca"ul c@nd
ttt += 1 se spune c erorile urmea" un proces autore#resiv de ordinul nt@i.
Modelul liniar #eneral #=$a+ scris +i sub formaH
1 tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211 t=, 2, ''',>
n care ttt += 1 iar asupra erorilor t facem ipote"ele cunoscuteH ( ) &=t5 ( ) &21 =tt5
pentru 21 tt +i ( ) tVar t = 2
poate fi pus sub urmtoarea formH
ecuaia 1 scris pentru t* esteH ( ) ( ) ( ) ( )111221111 ... ++++= ttppttt xaxaxa! pe
care o nmulim cu presupunem 1
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
48/63
3. 8nlocuim cu T n ecuaia 3 +i aplicm M(MM! obi+nuit acestei ecuaii. Be
obine estimatorul aT pentru parametrul a.
,vident pentru e+antioane mici estimatorul aT nu pre"int #aranii c are proprietile dorite.
M'%od( II+
,cuaia 3 de mai nainte se poate scrie +i sub formaH
5 ( ) ( ) ttppttptptt xaxa!xaxa! +++=++ 1111111 ......
Be aplic M(MM! obi+nuit ecuaiilor 3 +i 5 astfelH
1. 'm o valoare iniial lui de e-emplu 0=0 n ecuaia 3 +i obinem o prim
estimaie a parametrilor &Ta .
2. 8nlocuim ( )&&2&
1& T...TTT paaaa = n ecuaia 5 +i efectu@nd re#resia obinem o nou
valoare pentru notat.
3. 8nlocuim cu n ecuaia 3 +i efectum o nou re#resie obin@nd estimatorul
( )1121
11 T...TTT
paaaa = +.a.m.d.
4. Be opresc iteraiile dac valorile #site n dou iteraii succesive nu difer dec@t printr
un numr oric@t de mic dorit se spune c estimatorii iaT i=,2,'''conver#.
M'%od( III 6(*'i(=+
!resupunem c &> ia succesiv valorileH
{ }1N...N&2&N&1&N&= .
/plicm M(MM! obi+nuit ecuaiei 3 pentru fiecare valoare a lui+i calculm re"iduurilet
T .
Be reine valoarea lui care d cea mai mic sum a ptratelor erorilor t
t
2T creia i corespund
estimatorii paaa T...TT 21 ai parametrilor.
[[[
,-ist +i alte proceduri de estimare a parametrilor n ca"ul c@nd erorile sunt corelate.
9.3.3. T'%(r'( i)o%'2'i d' ind')'nd'n4/ ( 'rori*or
/tunci c@nd ipote"ele fundamentale ale modelului liniar al re#resiei nu sunt ndeplinite
proprietile estimatorilor parametrilor sufer. /stfel sub ipote"a I 2referitoare la distribuia erorilor +i la
independena lor estimatorii obinui sunt nedeplasai +i au variana minimal. 'ac erorile sunt corelate
estimatorii rm@n n #eneral nedeplasai dar matricea de varian +i covarian a acestora nu mai este
4)
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
49/63
I2 . !entru a ne asi#ura de independena erorilor trebuie s efectum teste. ,ste vorba despre testul lui
'urbin +i Fatson.
Modelul liniar #eneral al re#resieiH
tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211
se poate scrie sub formaH
ttt ax! +=
undeH paaaa ... 21= +i
=
pt
t
t
t
x
x
x
x...
2
1
.
Be aplic M(MM! obi+nuit +i se obine un estimator paaaa T...TTT 21= calcul@nduse
valorile austate tt xa! TT = +i erorile estimate ttt !! TT = .
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
50/63
Bcopul este de a +ti dac erorile modelului sunt autocorelate. (el mai frecvent se caut testarea
le#turii erorilor printro relaie de forma ttt += 1 . Be spune c erorile urmea" un proces
autore#resiv de ordinul nt@i.
%rem s testm ipote"a I&H &= absena autocorelaiei erorilor contra ipote"ei I1H &>
erorile t sunt autocorelate.
9a un nivel de semnificaie dat 'urbin +i Fatson au determinat dou valori +i 2 n funcie
de numrul de observaii > +i de numrul de e-o#ene veritabile m corespun"toare fiecreia din curbele
limit.
Be calculea" statistica 7T cu relaia dat +i se observ cH
1. dac 1T 77< atunci se accept I1
2. dac21
T 777 atunci se accept I&.
8n tabelul urmtor sunt date c@teva valori u"uale pentru 1+i 2n funcie de >+i m pentru nivelul
de semnificaieP&&5H
*abela 'F
> m= m=2 m=3 m= m=P
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 ?
?
2
( )7f T
5&
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
51/63
15 1&) 13 & 154 &)2 1$5 & 1$ &5 2212& 12& 141 11& 154 1&& 1) && 1)3 &$ 13& 135 14 12) 15$ 121 15 114 1$4 1&$ 1)35& 15& 15 14 13 142 1$ 13) 1$2 134 1$$1&& 15 1 13 1$2 11 1$4 15 1$ 15$ 1$)
O6'rv(4iiH
1. 8n loc s testm &= contra &> se poate testa I&H &= contra I1H & . Be obin
dou valori \17 +i
\
27 simetrice n raport cu 2 +i se constat cH
a. dac1
T 77< sau \2
T 77> atunci se accept I1
b. dac22
T 777 sau \2
\
1T 777 atunci e-ist ndoieli c erorile sunt corelate
c. dac \12
T 777
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
52/63
t!T 42 $41 )2)& &) 1$ 1&$3 11555 123$3
t 1& 11 12 13 14 15
t!T 1312 14&1& 14)2 154 14 1$2)5 1)1&4
t 2 3 P N 7 M
tT 13 $$ S)4$ S2535 S354 S$144 S3)3& 1325
t 1& 11 12 13 14 15
tT 3$54 S2525 1&4 23$&1 22&& S2&542 S213&3
Ne propunem s cercetm o eventual autocorelare a erorilor.
R'2o*v(r'+
!entru a putea utili"a testul 'urbinFatson trebuie ca numrul de observaii >s fie suficient de
mare n practic >P iar modelul s conin un termen constant.
Btatistica 'urbinFatson definit de ecuaia( )
=
=
=>
t
t
>
t
tt
7
1
2
1
21
T
TTT
conduce conform datelor din
tabel laH 151$221
3525)$T ==7 .
'urbin +i Fatson au artat c pentru un proces staionar primele dou momente ale variabilei
aleatoare t independente de timp valoarea calculat a statisticii 7T este cuprins ntre & +i 4 cu
absena corelaiei n vecintatea lui 2. 8ntre aceste valori limit tabela 'F furni"ea" la pra#ul deseminificaie diferite intervale de valori 7T corespun"toare pre"enei autocorelaiei po"itive sau
ne#ative absenei autocorelaiei +i situaiilor de indeci"ie astfelH
1. dac1
T& 77
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
53/63
II.8n tabelul urmtor sunt date pentru perioada 1)52&&2H
volumul investiiilor n a#ricultur!t
produsul intern brut a#ricolxt
indicele volumului importurilor pentru a#riculturx2t.
/nult
Investiii n a#ricultur!t
!rodusul intern brut a#ricolxt
Indicele volumului importurilor pentru a#riculturx2t
1)5 )52 53) &1) &2 54$ 1$1)$ 35$ 21)) 112& ))1 451) 1245 $53& $21& 12&) $3 1&&&11 1315 ))5 1&4212 142 355 1&)13 14&) )24 11314 1&& 1&34 1213
15 1))3 11$11 12531 22&& 13& 13311$ 214 1412 14$$1) 1& 152)) 1121 243& 1$&22 1$&52&&& 3&33 1)5 1)152&&1 3515 212$ 1542&&2 3)2 23)5 21$4
Be cereH
1. 'eterminarea le#turii dintre investiii !I +i volumul importurilor
2. *estarea autocorelaiei erorilor
3. 'ac e-ist autocorelaie cum se pot nltura efectele acesteia
R'2o*v(r'+
Btudierea le#turii dintre variabilele economice amintite se poate efectua cu
modelul de re#resie multiplH
tttt cxbxa! +++= 21
/plicarea M(MM! conduce la urmtoarea estimare a modeluluiH
ttt xx! 21 323$&44125T +=
(oeficientul de corelaie multipl are valoarea calculatH
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
54/63
2 112111 +++= tttt cxbxa!
nmulim 2 cuQ+i efectum scderea 12H
( ) 111221111 +++= tttttttt xxcxxba!!
cutm o estimaie a coeficientului Q. ;bservm c Q este coeficientulvariabilei!t1 n relaia anterioar. ,fectum o re#resie cu M(MM! pe ultima
ecuaie fr s inem cont de relaiile dintre coeficieni adic pe ecuaiaH
ttttttt xaxaxaxa!a! ++++++= 12423112111&
unde a&Pa1 ` a1Pb a2Pb` a3Pc a4Pc` +i 1= ttt
,fectund calculele obinemH
1221111 112&)3&&)&$&&54$T +++= tttttt xxxx!! ,stimaia
#sit pentru coeficientul este $&&T =
cu autorul estimaiei #site transformm variabilele modelului iniial pentru o nou re#resieH/nul
1T = ttt !!G 1111 T = ttt xx, 1222 T = ttt xx,
1)5 1) 3&5 2&&&4 2)2)1)$ 334 2141 2)$11)) 443) 24311 24$1) 41& 2$133 31&51& 33) 2$& 3111 44 311& 342&12 5415 32$55 3)13 3)4 32$55 34414 144 3$5$2 3)
15 $3& 42$2 4&31 ))1 4))3 4531$ && 4)2) 54531) 4&) 53$$ 5$)11 1&3$ 32&4 5$2&&& 1332& $&$ 2152&&1 131 $$5 )352&&2 14&15 )$1) )&2
;bservaieH
!entru a evita eliminarea primei valori din +irul de observaii prin trecerea la diferene se pot
folosi transformrileH 211 T1 =!G 2
1111T1 =x, 2
1221T1 =x,
se aplic M(MM! ecuaieiH
tttt ,a,aaG +++= 2211& +i re"ultH
ttt ,,G 21 &24&1$T +=
54
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
55/63
(oeficientul de corelaie multipl este acum
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
56/63
4. Be efectuea" o nou re#resie pe e+antionul corectat. !roprietile estimatorilor
obinui vor depinde de re#ula adoptat n etapa anterioar. 'e e-emplu se poate
adopta re#ula de a respin#e sau corecta observaiile corespun"toare re"iduurilor a
cror valoare absolut tT este mai mare dec@t de trei ori media erorilor absolute.
9.5. I)o%'2( d' B'%'ro&'d(%i&i%(%'
B presupunem deci c de+i t sunt independente dispesia erorilor2
t varia" n funcie de t.
8n acest ca" estimatorii obinui sunt nc nedeplasai. 'ar momentele centrate de ordinul doi nemaifiind
constante se comite o eroare de calcul a ecartuluitip al estimatorilor. Be poate evalua deplasarea n
estimaia lui aTT . /ceast deplasare depinde de natura +i importana 0eteroscedasticitii adic de +irul de
valori ( txt 2 . 'eplasarea este nul dac sunt reali"ate relaiile urmtoareH
1 ( ) &1 2 = xx>
t
tt
2 ( ) ( )
=
2222 11
t
t
t
t
t
xx>
xx> tt
.
/ceste relaiile sunt reali"ate atunci c@nd nu e-ist nicio le#tur sistematic ntre2
t +i tx .
omoscedasticitatea erorilor se admite n seriile cronolo#ice atunci c@nd ordinul de mrime al
variabilelor este apropiat pentru diverse observaii. 'ar n studiul datelor microeconomice variabilele pot
avea ordine de mrime foarte diferite. /cest fapt conduce la erori de estimare importante pentru coeficienii
unui model econometric.
'ac putem evalua variana erorilor2
t atunci n loc s determinm parametrii din condiia ca
suma ptratelor erorilor s fie minim ace+tia pot fi determinai din condiia ca t
t
t
2
2
s fie minim.
!entru modelul elementar ttt bax! ++= estimatorii aT +i bT vor fi cei care minimi"ea"
e-presia ( )
t
tt bax!t
2
2
1
.
8n ca"ul n care2
t dispersiile re"iduurilor varia" proporional cu valorile variabilei e-o#ene
se poate pune condiia ca( ) 2
2
2
=
t tt
t
t t
tt
x
ba
x
!
x
bax!s fie minim.
5
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
57/63
9.5.3. E8)'ri'n4/ d' &(*&u*
Ne propunem s studiem le#atura dintre volumul investiiilor +i suprafaa cultivat. !e un e+antion
de 3& de ntreprinderi a#ricole sau obinut urmtoarele dateH
Buprafaa 0a (0eltuielile de investiii
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
58/63
'ac presupunem acum c variana erorilor2
t este proporional cu ptratul valorilor variabilei
e-o#ene adic22
txt = fiind o constant nenul atunci efectele 0eteroscedasticitii pot fi corectate
prin transformarea modelului. 8mprind fiecare termen al ecuaiei de re#resie prinxt re"ultH
t
t
tt
t
xxba
x! ++=
sau ttt b,aG ++= undeHt
t
tx
!G =
t
tx
, 1= +i
t
tt
x
= .
Be observ c ( ) ==
= 2
2
1t
tt
tt
xxVarVar .
!rin urmare modelul transformat are erorile t 0omoscedastice deoarece dispersia lor este
independent de timp. ,fectu@nd re#resia pe modelul transformat re"ultH
=
=
,bGa
,>,
,G>,Gb
t
tt
TT
T2
2
b
x
!
>a
x>x
xx
!
>xx
!
b
11T1T
111
111
T 22
,fectu@nd calculele re"ultH
44$&T=b &$2&T =a &2 =. adicH
tt
t
xx! 44$&&$2&T += sau 44$&&$2&T += tt x! .
B remarcm faptul c panta dreptei de re#resie dup corectarea 0eteroscedasticitii este mai
mic dec@t cea obinut naintea corectrii.
9.9. I)o%'2( d' ind')'nd'n4/ ( 'rori*or 7n r()or% &u v(ri6i*'*' '8o-'n'
5)
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
59/63
Be +tie c sub aceast ipote" fundamental estimatorii obinui au proprieti optimale
nedeplasai cu varian minimal. (@nd ipote"a nu mai este satisfcut aceste proprieti nu mai sunt
valabile. (u c@t coeficientul de corelaie liniar dintre t +i tx este mai mare cu at@t deplasarea
estimatorilor va fi mai mare. 8n astfel de ca"uri este de preferat s se alea# un alt model econometric
pentru studierea le#turii dintre variabile.9a fel trebuie procedat +i atunci c@nd se constat c variana erorilor nu este finit.
9.:. I)o%'2( r'f'ri%o(r' *( f()%u* &/ v(ri(6i*'*' ,od'*u*ui un% o6'rv(%' f/r/ 'ro(r'
/tunci c@nd variabilele care apar n model nu sunt variabile observate fr eroare va e-ista o
corelaie ntre re"iduuri +i e-o#enele din model.
8n acest ca" pentru a obine estimatori conver#eni sa de"voltat o metod de estimare special
numit ,'%od( v(ri(6i*'*or in%ru,'n%(*'J pe care o pre"entm mai os.
Aie modelul liniar #eneralH
tptpttt xaxaxa! ++++= ...2211 t=, 2, ''',>,
care cu notaiile obi+nuite se scrie n forma matricial #=$a+. Notm cu #e +i $
e valorile reale
necunoscute acum pentru c observaiile #+i$conin eroriV ale variabilelor din model.
!utem scrie c +=##e
+=$$e
unde+i sunt variabile aleatoare. %om presupune c
+i satisface ipote"ele fundamentale medie "ero varian finit independente.
8nlocuind $ +i # prin e-presiile lor obinem modelul += a$# ee unde += a .
/ceasta arat c n modelul iniial #=$a+ re"iduurile sunt corelate cu$prin intermediul lui .
!resupunem acum c se cunosc altepvariabile e-o#enei, i=12...pnecorelate cu +i deci
necorelate cu .
/cest lucru nseamn c ( ) &=i=5 iP12...p. (onsiderm modelul iniial #=$a+ scris sub
formaH
1 ++++= pp$a$a$a# ...2211
unde
=
>x
x
$
1
11
1
.
.
.
=
>x
x
$
2
21
2
.
.
.
...
=
p>
p
p
x
x
$
.
.
.1
8nmulim succesiv ecuaia 1 cu2 ...p+i aplicm operatorul de medie5fiecrei ecuaii. Be
obine sistemulH
5
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
60/63
2
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
++=
++=
++=
ppppp
pp
pp
$=5a$=5a#=5
$=5a$=5a#=5
$=5a$=5a#=5
...
....
...
...
11
21212
11111
Metoda de estimare %I variabilelor instrumentale const n a lua ca estimatori paa T...T1
e-act soluiile sistemului de ecuaii 2 n care speranele matematice sunt nlocuite cu momentele empirice
corespun"toareH
( ) =t
titi !G>
#=5 1
iP12...p
( ) =t
"tit"i xG>
$=5 1
i,"P12...p
'ac notmH
=
p>>
p
GG
GG
=
...
.........
...
1
111
+i
=
p>>
p
xx
xx
$
...
.........
...
1
111
sistemul 2 transformat se scrie sub form
matricialH ( )a$=#= T\\ = iar pentru c ( )#=\ este inversabil obinem estimatorulH( ) #=$=a = \\T 1 .
B observm similitudinea cu estimatorii obinui prin M(MM!H
1. M(MM! obi+nuitH ( ) #$$$a =
\\T1
2. M(MM! #enerali"atH ( ) ( ) #$$$a = 111 \\T
3. metoda %IH ( ) #=$=a = \\T 1 .
Be trece de la 1. la 2. nlocuind \$ prin1
\
$ .
Be trece de la 1. la 3. nlocuind \$ prin \= .
(unoa+terea primei formule permite e-primarea celorlalte dou.
,stimatorul aT obinut prin metoda %I este un estimator deplasat pentru a dar conver#e n
probabilitate ctre apentru >suficient de mare.!entru a putea utili"a metoda %I trebuie #site at@tea variabile instrumentale c@te e-o#ene conine
modelul. /ceste variabile instrumentale trebuie s fie necorelate cu re"iduurile dar puternic corelate cu
e-o#enele modelului. /ceste restricii limitea" ale#erea variabilelor instrumentale +i prin urmare metoda
%I nu este o metod #eneral de estimare.
9.:.3.E8)'ri'n4/ d' &(*&u*
&
5/25/2018 Www.aseonline.ro Suport Curs Econometrie
61/63
(onsiderm o anc0et pe bu#etele de familie pentru a studia consumul dintrun anumit produs.
/nc0eta cuprinde un e+antion de >familii. Aacem urmtoarele notaiiH
!tH c0eltuielile totale ale familiei t
!2tH c0eltuielile relative la produsul studiatVtH veniturile familiei t
+i scriem ecuaiileH
1 ttt V! 11 +=
2 ttt baV! 22 ++=
Ne propunem s e-primm c0eltuielile relative la produsul studiat n funcie de c0eltuielile totale.
'in ecuaia 1 avem c ttt !V 11 = +i nlocuind