Nome:___________________________________________________________ Utilizando la definición: Si ( )y f x= , la derivada de f se define como:
0
( ) ( )'( ) limx
dy f x x f xf xdx xΔ →
+Δ −= =Δ
donde '( )f x es la notación de Lagrange, y dydx
la notación de Leibniz.
1.- Encuentre las derivadas de las siguientes funciones, utilizando la definición dada, no las técnicas de derivación:
3 2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xf x x f x Cos x f x Sen x x e f x e• = • = − • = − + • =
2.- Aplicando las técnicas.- A veces es conveniente manipular algebraicamente una función para evitar confusiones al aplicar las técnicas de derivación. Por ejemplo, la función
12xy += , se puede resolver con la fórmula para el cociente, pero eso tomaría más tiempo
del necesario. Si notamos que la misma se puede expresar como 1 12 2
y x= + , evitaríamos
perder el tiempo con la fórmula del cociente. En los siguientes problemas, reexpresar/simplificar la función antes de derivarla:
2 2
2 3/2 2
2 3 5 3 1/ 7 5
4 4 3(3 2 ) 2 7
x x x xy y yx x
x x x xy y yx x x
+ − −• = • = • =+
− − −• = • = • =+
3.- Funciones Algebraicas. Encuentre la derivada de las siguientes funciones, calculando dydx
, dydt
o dydz
, según sea el caso:
32/3 5/2 3 2 2
3 2 34
1 3 2 1
2 1 ln(2)2 1
m m nzy x x x y x x y y at btz
a bx a by y y yc dx x x xx x
π
− ++• = − + • = • = • = +−
+• = • = − • = − • = −+ −
4.- Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas. Encuentre la derivada de las
siguientes funciones, calculando dydx
, dydt
o dydz
, según sea el caso:
• y = 5Sen(t)+ 3Cot(t) • y = Arctan(x)+ Arcsec(x) • y = zCot(z)
• y = Sen(x)+Cos(x)Sen(x)−Cos(x)
• y = 2tSen(t)− (t2 − 2)Cos(t) • y = xArcsen(x)
5.- Funciones hiperbólicas:
a) Deduzca expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas ( )y Senh x= y ( )y Tanh x= .
b) Investigue y complete una lista de derivadas para las restantes funciones hiperbólicas y sus respectivas hiperbólicas inversas. Esta lista es para su uso personal, no incluir como parte del deber.
6.- Funciones exponenciales y logarítmicas. Encuentre la derivada de las siguientes
funciones, calculando dydx
, dydt
o dydz
, según sea el caso:
25 2 7 ( 2)
ln( )1 ln( ) ln( ) log( ) ln( ) log ( ) 2 ln( ) Arcsen( )
t t x
xa
xy y t e t e y x ex
xy z z a z y x y e xx x
−• = • = − − • =
• = − • = + − • =
Regla de la Cadena.- Permite hallar las derivadas de funciones compuestas. Si ( )y f u= donde ( )u g x= , entonces:
dy dy dudx du dx
=
Es decir, esta regla ayuda a resolver el problema de la composición ( ) ( ( ))f g x f g x=o . A veces, cuando no es fácil darse cuenta qué función está siendo compuesta con qué, uno o más cambios de variable del tipo ( )u g x= podrían aclarar la situación.
7.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena:
( )
( )( )( )( )( )
( )( )
3242 3
52/3
3 5
3 3
5
2 2 2
1 3 5
1 cos( ) 2 ( )
1 1 tan( ) tan ( ) tan ( )3 5
arctan( ) ( )
2 2 1 ln ( ) (3 ) tan
10 ln(1 )
x
a x x
x
ax by y x x xc
y x y x Sen x
y Cos Cos Cos Cos x y x x x
y x arcsen x y xe x
y e x y Sen x x
y x x
π+⎛ ⎞• = • = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
• = + • = −
• = • = − +
• = − • = +
• = − + + • = +
• = + − • ( )2 ln ( ) ln ln( )y x x= −
8.- Califique como Verdadero o Falso, justificando su respuesta (estos son temas de exámenes anteriores):
i) Si f es derivable en x=a, entonces 0
(a ) (a )lim '(a)( )h
f h f h fh
α β α β→
+ − + = − .
ii) 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x x x
x
D Sen x Cos x D Sen x Sen x D Cos xD Cos x Cos x
−=
iii) Si (2) 1f = , '(2) 5f = , (2) 2g = y '(2) 3g = − , entonces 2 ( ) 15( )
d x f xdx g x
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦
cuando 2x = .
iv) Si [ ] 1( )d f udu u
= , entonces [ ] 10( 10 7)10 7
d f xdx x
−− + =− +
.
v) Si f es una función par y diferenciable para todo ( )x dom f∈ , entonces '( )f x es una función impar.
vi) Si '( )f x existe, entonces el límite 0
( ) ( )lim2h
f x h f x hh→
+ − − existe.
vii) Si f es una función impar y diferenciable para todo ( )x dom f∈ , entonces '( )f x es otra función impar.
9.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones (compilación de problemas de Demidovich):
( )
2 2 2 2
2 2
2 22
2 2
2(3 )
( ) ( ) Arcsen( ) Arccos( )
1 1 Arcsen 3 Arctan (3 2 )2
ln( 2 ) ln
2 1 Arccos(3 ) Arcsen x
y Sen x Cos x y x x
b xy x y b b x bx xa b xb
x a xy a x ax x yx a x
y x
α β• = + • = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞• = + • = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+ +• = + + + • = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
• = + −
( )
( ) 3cos( )
3
2
2
1 ( ) 33 cos ( )
1 ( ) Arctan ln ln 11
sen axbx sen axy
bxxArcsen xy y x
x x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠• = +
⎛ ⎞⎛ ⎞• = • = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ −
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