Post on 30-May-2020
Ejemulo 2:
Considere el sistema mostrado a continuación:
t.1(" + IX" + S)
PID
Como la planta tiene un integrador , se emplea el siguiente método
Haciendo Ti = 00 y Td = O, se obtiene la FTLC :
C(s) Kp-=R(s) s(s+lXs+5)+Kp
Fig 2.1 Respuesta temporal del sistema con Kp=1 ante un escalón unitario
C(s)
. Cálculo de Kcr -. criterio de Routh
La
SJ
52
ecuac
1
6
30 - Kp
6Si
SO Kp
2
1.8
..
1.4
12
, 1
0.8
o.e
O."
02
OO 5 10 15 20
tiempoFig 2.2 Respuesta temporal del sistema con Kp=30 ante un escalón
Sistema Críticamente estable.
. Cálculo de la frecuencia de oscilación sostenida
Se reemplaza s = jw en la ecuación característica
(jw)J + 6(jW)2 + S(jw) + 30 = O
de donde: W2= 5 ~ w =.,f5
2/r - 21r = 2,81. Pcr =-- "s - .. W""¡:J
SJ+6S2+5s+Kp=O
Kcr JD
unitario
6(5-w2) + jW(5-W2) = o
Cálculo de Kp,Ti, Td.(Ziegler.
KpTiTd
-
~1+ 1,~5.S +0,35124,5):. Gc = 1
Cálculo de la FfLC y respuesta temporal.e 6.3223.5% + 18.8+ 12,811R = 8. +6.13 +11,3223.8% +18.5+12,111
1~ ~
1.8
1.4
1.2
1
~ r(t)0.8
0.8
0.4
0.2
OO 5 10 15 20
tiempoFig 2.3 Respuesta temporal del sistema controlado con un PID ante un escalón unitario.
Nichols)-0,6 Kcr0,5 PcrO, 125Pcr
181,4050,35124
-
Representación en variables de estado(facilita la respuesta temporal computacional)
Xt=C
X4=X3 '+ 19t9338
ooo
=
XI
Y = [1 O O O X2
X3
x.
., - 6,3223uX2= XI XJ = X2
u=rt
y = e = Xl.~,
o XI
O Xl
1 x3
-6 x.
o6,3223
-19,9338 u
60,8308
+
[¡emulo 3 :
Considere al sistema mostrado en la figura 1, donde un motor DC mueve una válvula de
control lo cual suple un flujo a una máquina hidráulica, corriente abajo de la válvula
En estado estacionario VR=6mA para un requerimiento de 20 gaVrninrequerimiento es de 100 gal/min ::t 2%,
El escalón de 6-14 mA es muy rápido, lo que implica una respuesta rápida del sistema
Las características de la válvula pueden asumirse lineales en la medida que la rata de
flujo a través de ella varía directamente con el desplazamiento del vastago. 100%
abierta ~ 150 gpm. La carrera del vástago es de 1,5".
Para el amolificador/controlador: Este maneja señales estandar en un rango de 4-
la salida del controlador VSC = +48V, y
Medidor de nuio: es un transductor e
Este produce: 4 mA si el flujo es de O ~
valor nunca se alcanza porque el máximo
Válvula de Control: La válvula abre
vástago a una velocidad de 1 pulglseg.
Figura 1 : Control de flujo
f: 5%. Cuando elVR=14mA.
un rango de 4-
~v. Cuando VM
l1enta a 20 mAVSC = -48V
Este
raíz .r
moviendose el
lteslJuesta de la velocidad del motor de la válv..la. La respuesla eu lieR.1f)O ..conjunto ptOlor-válvula, obtenida de las especificaciones del equipo es de tr = 5S!
niseg.
v - -----9OK - tr= tiempo tomado por el vástago para
pasar del 10% - 90% de su máx.velocidad. =55Omseg
11MO t;;z t figura :2 Velocidad del vástago
550 mIes.-tr-
Esuecificaciones de control
I-Se desea que el sistema pase de 20gpm a lOOgpm , (80gpl11=8mA). La válvula deberá
permitir a lo más tardar de I seBo un nujo de 100 gpm ,lo que implica que t. es llteIIOr o
igual que 1 seB.
2- t,:s 7oom.reg 3- Mp(%):S 10% 4- fJ :S 200m.feg.
5- A1F ~ 60°
Donde tcl: tiempo para alcanzar el 50% del valor en estado estacionario. t If*,~
t... : lien~po para alcanzar el 100% de1' valor en estado estacionario. t \~
ts: tiempo de estalJlecimielllo.
2-
. .- ..11 /.
/1. /' .
10 I
J : .41 1. '. / . .
I .20 / ' f
I I10 / .
I . I
00 :0.1 i 1 1.5 2 U
~td :~.. -,.r~ t..
La respuesta en tieJD4i>O c6d.~ del equipo es de tr = 5500550-
tr= tiempo tomado por el vástago p..apasar del 10% - 90% de su máx.velocidad. =550mseg
Velocidad del vástago
c.,.tu~ e..~(" ~t4nto
t U! *'~
t\~
SOLUC~
Los pasos siguientes se avocan al cálculo de cada una de las funciones de transferencia
del diagrama de bloques de la figura 3.
Ganancia Kc.Kl del amplificador-Ganancia Kc.Kl del amplificador- controlador (s pan)
E\~fI'plificador/controlador se representa por el producto de ganancias Kc.KI. La
ganada del amplificador Kc, se calcula según la ecuación que se muestra a
continuación:
48
4o
La ganancia del controlador K 1, se deja igual a K 1 = 1 por los momentos.
Parámetros del motor
Ganancia del motor.Kmv - lpulgl ses o 020833pulg/
48V' 7V.48V l/V .seg
Cálculo de Tm : se obtiene a partir de la fig ura 2 donde tr = 550 mseg.
-11/En h la respuesta del sistema es : para 90% 1 - e /T..
-11;'En tila respuesta del sistema es: para 10% 1- e i'r..
.
Figura 3: Diagrama de bloques de control de flujo
= 48V - V/16mA - 3 /mAKc
Relacionando a ambas
1/9= e-(11-11) I Tm
O 111 = e ~U.sITm,
Parámetros de la válvula
. Cálculo de Kr :
salida.
150gpmKr= =.100
1,5 plllg
se relaciona el desplazamiento del vastago con la rata de flujo de
Parámetros del transductor diferencial de presión
. Cálculo de KT : ganancia del medidor de flujo
16mA = 0,1 mA/gpmKT= 160gpm
Sustituyendo todos los parámetrso encontrados, se construye el diagrama de bloques de
control mostrado en la figura 4.
Función de transferencia de lazo abierto (FILA)
.. 0,624FTLA: G(jw) H(jw)= jw(O,25jw + 1)
Tm=O,25 seg.entonces
gpm/pulg
Q(I)
Figura 4. Diagrama de bloques de control
(1)
Función de transferencia de lazo cerrado (FfLC)
FTLC: Q(s)
Respuesta temporal a lazo cerrado
R(s) =8/s por)o que
200 200Q(s)= =S(S2 +4s+2,5) ~~s+O,775)(s+3,225)
q .(t)= 80+25,31e-3,22St-lO5,3e.o.77s.
q(t)= q (t)+ 20gpm.
Step
Figura 6 : Respuesta temporal del sistema a lazo cerrado con KI = 1
25(2)
(3)
(4)
(5)
Auto-ScaleGraph
Situación de los parámetros , obtenidos de las figuras 5 y 6.
DISEÑO DE CONTROLADORES
Se debe decidir qué tipo de controlador se empleará de manera de alcanzar las
especificaciones: P? PI? PD? PID?
Análisis:
- Eliminamos PI porque el sistema en estudio es del Tipo 1 y excitamos con un escalón,
por lo que ess=O
- Empezamos con control Proporcional (P)
De los datos anteriores se deduce que tenemos a un sistema lento, por lo tanto
aumentando la ganancia aumentamos la velocidad de respuesta del sistema.
Retornando las ecuaciones del sistema en estudio:
R(s)=8/s
O,(;z,tpK,FTLC= o 2512 + S + O,624K,
,
= .J2,SK. rarsegw.
-Debemos evaluar K¡:. para varios valores de KI calculamos Wn
-Sabemos que ~ optimos están en el rango 0,4< ~ <0,8
200K.:. Q(s) = s(S2 +4s+2,SK.)
4~ = .JlOKty
~y
Figura 7. Respuesta temporal para varios valores de Kl.
De la figura 7 se extrae que si aumenta Kl disminuye tr yaumenta Mp.
-ts se excede del valor
Si se construye
MF == 42° lo cual
control adicional al P para alcanzar especificaciones.
cado.especifi
6~Sjw(O,2Sjw + 1)
se encuentra que elel Bode de la FTLA=
incumple con las especificaciones, entonces necesitamos un
Se selecciona el P+D.
Se deja a K,=10 ya que el
Figura 9: Diagrama de bloques de control con PD
Recalculando las correspondientes funciones de transferencia de lazo abierto y
correspondientes, se obtiene:
efecto derivativo D tiende a estabilizar el sistema.
cerrado
(6) FTLA GHc= O,832k](s+ 3kt / k)
s(5+4)
(7) FfLC= 1 8,32k) (S + 3k1 / k])
s + (4 + 8,32k3 )5+ 2,5k,
Queremos calcular kJ=T,¡ / /
Para ello decimos que el cero de FTLA es s=a donde a= -3kdk3
:. ~= 4-2,5k,/a - 4-2.Sk,/a. "2~2.Sk, - .JlOO :O.4-2,5/a
Si suponemos ~=O,704 e igualamos a (11) encontramos que
a ~ -.8,14 Y kJ ~ 3,7
Si graficamos la respuesta en tiempo con estos resultados encontramos:
magnitudescalón de
(8) Wn= ..j23k.-5
4 + O,833K)
2~2,5k1
=> a=-30/k]
(9) ~ =
(11)
una
8 Y Kl=lO.
.De la figura 10 se extraen los parámetros :
t~O,2seg tr<O,7seg Mp<lO% ts>lseg.
Se intenta mejorar la respuesta temporal, de manera de ajustarse a las especificaciones,
de manera que los parámetros quedan como:
Td=K3=5.5
td = 0.12 seg.
tr= 0.59 seg.
ts = 1 seg.
Mp = 1.8470
a = - 5.45 rad/seg.
~ = 0.86
120
p100
-EO-,960:S-u.
40 Sistema Original
20
OO 1 2 3 4 5 6
TiempoFig 11. Comparación del sistema sin compensar, con controlador P y controladorPD