Método Gráfico

Análisis de sensibilidad

IO1 R.Delgadillo 2

Método gráfico

Regiones

Clasificación de problemas PL.

Análisis de sensibilidad.

IO1 R.Delgadillo 3

Regiones

Según sea el conjunto de restricciones del modelo de programación linea, se puede tener los siguientes casos:

Región limitada (cerrada)

Región ilimitada (abierta)

Región vacia

IO1 R.Delgadillo 4

Región limitada

Max 2x1 + 7x2

sujeto a:

3x1 + 4x2 <= 12

x1 + 8x2 <= 8

6x1 + x2 <= 15

x1, x2 >= 0

IO1 R.Delgadillo 5

Región limitada

0 1 2 3

0

1y

x

: 3.0 x + 4.0 y = 12.0

: 1.0 x + 8.0 y = 8.0

: 6.0 x + 1.0 y = 15.0

Payoff: 2.0 x + 7.0 y = 9.6

Optimal Decisions(x,y): ( 2.4, 0.7)

: 3.0x + 4.0y <= 12.0

: 1.0x + 8.0y <= 8.0

: 6.0x + 1.0y <= 15.0

IO1 R.Delgadillo 6

Región ilimitada

Min 50 x1 + 100 x2

Sujeto a:

7 x1 + 2 x2 >= 28

2 x1 + 12 x2 >= 24

x1, x2 >= 0

IO1 R.Delgadillo 7

Región ilimitada

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14x2

x1

: 7.0 x1 + 2.0 x2 = 28.0

: 2.0 x1 + 12.0 x2 = 24.0

Payoff: 50.0 x1 + 100.0 x2 = 320.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 3.6, 1.4)

: 7.0x1 + 2.0x2 >= 28.0

: 2.0x1 + 12.0x2 >= 24.0

IO1 R.Delgadillo 8

Región vacia

Min 50 x1 + 100 x2

Sujeto a:

7 x1 + 2 x2 >= 28

2 x1 + 12 x2 >= 24

x1 <= 2.5

x2 <= 5

x1, x2 >= 0

IO1 R.Delgadillo 9

Región vacia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14x2

x1

: 7.0 x1 + 2.0 x2 = 28.0

: 2.0 x1 + 12.0 x2 = 24.0

Payoff: 50.0 x1 + 100.0 x2 = 320.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 3.6, 1.4)

: 7.0x1 + 2.0x2 >= 28.0

: 2.0x1 + 12.0x2 >= 24.0

IO1 R.Delgadillo 10

Ejercicio

Max 3x1 + 2 x2

sujeto a:

1/40 x1 + 1/60 x2 <= 1

1/50 x1 + 1/50 x2 <= 1

x1 >= 30

x2 >= 20

x1, x2>= 0

IO1 R.Delgadillo 11

Tipos de problemas lineales

Se pueden presentar cuatro tipos de problemas lineales según sea su solución

Problemas que admiten una única solución

Problemas que admiten multiples soluciones (óptimas alternativas)

Problemas que no tienen solución (problemas inviables)

Problemas con solución ilimitada.

IO1 R.Delgadillo 12

Tipos de problemas lineales

Problemas que admiten una única solución

Se presenta cuando la región es limitada y la solución cae en un vertice de la región.

IO1 R.Delgadillo 13

Tipos de problemas lineales

Problemas que admiten multiples soluciones (óptimas alternativas)

Se presenta cuando la solución cae en un extremo (lado o rayo) de la región

esto es, todos los puntos (infinitos) que se encuentran en el extremo óptimo hacen máximo (o minímo) el valor de la función

Se presenta cuando la linea de la F.O. Es paralela a una de las restricciones.

IO1 R.Delgadillo 14

Tipos de problemas lineales

Problemas que no tienen solución (problemas inviables)

Se presenta cuando la región que describe el problema es vacio.

Esta clase de problemas se presenta cuando existe incongruencia en los datos y/o especificaciones; o cuando el problema no esta bien formulado.

IO1 R.Delgadillo 15

Tipos de problemas linealesProblemas con solución ilimitada

(Problemas ilimitados).

Se presenta cuando la región es ilimitada y la solución no cae en ningún extremo de la región. Esto es posible encontrar puntos en la región factible con valores de la función objetivo muy grandes (∞ en caso de problema de máx.) o muy pequeños (-∞ en caso de problemas de min)

Se presenta en caso de que la formulación del problema no es correcto.

IO1 R.Delgadillo 16

Tipos de problemas lineales

En Resumen:

Región limitada P.L. solución única

P.L.óptimas alternativas

P.L.solución única

Región ilimitada PL óptimas alternativas

P.L. ilimitado

Región vacia P.L. Inviable.

IO1 R.Delgadillo 17

Análisis de sensibilidad

¿ Qué es análisis de sensibilidad?

Es el estudio del efecto de los cambios en los parámetros del modelo de programación lineal en la solución óptima.

Da al modelo una característica dinámica.

IO1 R.Delgadillo 18

Análisis de sensibilidad

¿ Porqué es importante?

Permite incorporar factores omitidos

Corregir Datos inexactos

Corregir Ingresos y costos inciertos.

IO1 R.Delgadillo 19

Análisis de sensibilidad

Cambios en el coeficiente de la F.O.

Cambiando los coeficientes de la función objetivo se cambia la pendiente de los contornos de esta.

Esto puede o no afectar a la solución óptima y al valor óptimo de la función

IO1 R.Delgadillo 20

Ejemplo.

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x2

x1

Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50624.7

Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)

: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0

: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0

: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0

: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0

: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0

5000x1 + 10000x2

4000x1 + 5000x2

5000x1 + 4000x2

IO1 R.Delgadillo 21

Cambio en las restricciones

El cambio en el valor de un lado derecho produce un desplazamiento paralelo de la restricción modificada.

Esto puede afectar tanto a la solución óptima como al valor objetivo. El efecto dependerá precisamente de cuál lado derecho se haya cambiado y en qué medida.

IO1 R.Delgadillo 22

Ejemplo.

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x2

x1

Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50624.7

Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)

: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0

: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0

: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0

: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0

: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6x2

x1

Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 49000.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 5.0, 6.0)

: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0

: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0

: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0

: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0

: 30.0x1 + 10.0x2 >= 210.0

LD 135 LD 210

IO1 R.Delgadillo 23

Estrechamiento de una restricción

Estrechar una desigualdad significa hacerla más difícil de satisfacer.

Para una restricción >= esto significa aumentar el lado derecho de la desigualdad

Para una restricción <= significa disminuir el lado derecho de la desigualdad

IO1 R.Delgadillo 24

Relajación de una restricción

Relajar una restricción de desigualdad significa hacerla más fácil de cumplir

Para una restricción >= esto significa disminuir el lado derecho

Para una restricción <= significa aumentar el lado derecho de la desigualdad

IO1 R.Delgadillo 25

Efectos sobre la región factible

Al estrechar una restricción de desigualdad, o bien se contrae el conjunto factible o posiblemente quede inalterado.

Al relajar una restricción de desigualdad, o bien se expande el conjunto factible o posiblemente quede inalterado.

IO1 R.Delgadillo 26

Ejemplo

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x2

x1

Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50500.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)

: 1.0x1 + 1.0x2 >= 8.0

: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0

: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0

: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0

: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0

IO1 R.Delgadillo 27

Restricciones redundantes

Una restricción es redundante si al ser eliminada no cambia la región factible

Es muy posible que una restricción redundante para un conjunto de datos no lo sea cuando se cambian algunos datos.

IO1 R.Delgadillo 28

Ejemplo

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x2

x1

Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50500.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)

: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0

: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0

: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0

: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0

: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0

Restricción redundante

IO1 R.Delgadillo 29

Restricciones activas Las restricciones importantes son aquellas

que determinan o definen el conjunto factible.

Dentro de las restricciones importantes las restricciones activa (o limitantes) son aquellas que determinan la solución óptima.

Se determina porque al reemplazar los valores optimos en las restricciones ambos lasdos de la restricción son de igualdad

Las restricciones inactivas (no limitantes) verifican la desigualdad al reemplazarse los valores óptimos.

IO1 R.Delgadillo 30

Ejemplo

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x2

x1

Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50500.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)

: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0

: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0

: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0

: 20.0x1 + 10.0x2 <= 159.4

: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0

Restricciones Activas

Restricciones inactivas

IO1 R.Delgadillo 31

Adición o eliminación de restricciones

Al eliminar restricciones la región factible queda inalterada o aumenta

La adición restricciones hace que la región factible quede inalterada o se reduzca.

IO1 R.Delgadillo 32

Efecto sobre el valor objetivo

La adición de restricciones en un modelo o bien empeora el valor objetivo o lo deja inalterado.

La eliminación de restricciones en el modelo o bien mejora el valor objetivo o lo deja inalterado.

IO1 R.Delgadillo 33

Ejemplo

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x2

x1

Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 47112.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 3.0, 8.0)

: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0

: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0

: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0

: 20.0x1 + 10.0x2 <= 159.4

: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0

: 15.0x1 + 10.0x2 <= 125.4

Punto óptimo anterior

Nuevo punto óptimo

Adición de una nueva restricción

IO1 R.Delgadillo 34

Ejercicios

Resolver gráficamente los siguientes modelos

Max 5000 x1 + 3000 x2

S.a: 3 x1 + 5 x2 <= 15

500 x1 + 200 x2 <= 1000

x1 , x2 >= 0

IO1 R.Delgadillo 35

Ejercicios

Max 4 x1 + 4 x2

S.a: -2 x1 + 2 x2 <= 2

- x1 + 2 x2 <= 4

x1 , x2 >= 0

Max 2 x1 + 2 x2

S.a: x1 - x2 <= 2

x1 + x2 >= 4

x1 , x2 >= 0

IO1 R.Delgadillo 36

Ejercicios

Min 3 x1 + 5 x2

S.a: 3 x1 + 2 x2 <= 18

x1 <= 4

x2 <= 6

x1 + 4x2 <= 10

x1 , x2 >= 0