Post on 08-Feb-2016
OBTENCIÓN EN FORMA APROXIMADA
DE LA CUPLA EN
MÁQUINA ASINCRÓNICA TRIFÁSICA
1. Obtención de la Fórmula de Kloss
Cuando no se dispone de curvas aportadas por el fabricante o del motor y de los medios necesarios para realizar los ensayos pertinentes, la denominada fórmula de Kloss es una herramienta útil para obtener, en forma aproximada la cupla en función de la velocidad de un motor asincrónico trifásico.
A continuación se deduce dicha fórmula, se la aplica a un caso concreto y se comparan los resultados así obtenidos con los que resultan del circuito equivalente exacto del motor.
Haciendo un equivalente de Thèvenin del modelo circuital del motor resulta, figura 1:
x R
R'
x'
UT
T T 2
2
s
Figura 1: Circuito equivalente de Thèvenin
llamando:
x x x= +1'2 (1)
despreciando la resistencia RT del mismo, la cupla electromagnética resulta:
T
Rs
I URs
Rs
x
es
T
s≈ =
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
3 32
22
2 2
22
2
''
'
'Ω Ω
y el valor máximo se obtiene utilizando el resbalamiento sT :
22'
2
'2
22'
2
'2
33ˆ
xsR
sR
UI
sR
T
T
T
s
T
s
Te
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω=
Ω≈
dividiendo miembro a miembro:
22'
2
22'
2ˆ
xsR
xs
R
ss
TT
T
T
e
e
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈
pero de acuerdo al teorema de máxima transferencia de potencia, el máximo de potencia de campo y por consiguiente de cupla se produce cuando:
R
sx R
TT
22
''= = d e d on d e: s x⋅
1
si se reemplaza en la anterior y se ordena:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈
1
2
ˆ 22
2
22
22
ss
x
ssx
xx
xsxs
ss
TT
T
T
T
T
e
e
que luego de simplificar y ordenar da la citada fórmula de Kloss:
T
Te
e
ss
ssT
T
+≈
2ˆ (2)
Para obtener la cupla a partir de los datos usuales del motor se deben determinar las dos constantes de la misma:
Te sT y ˆ
para lo cual se dispone de dos condiciones de funcionamiento: la nominal y la de arranque. En funcionamiento nominal:
ΩΩ
nn
en nm
n
ns n
ss
n
nT T
P
sn n
nn
f
p
=⋅
≈ =
=−
=⋅
2
60
2
π
π
donde:
Ωn velocidad nominal en 1/s nn velocidad nominal en rpm Pm potencia mecánica nominal en W sn resbalamiento nominal ns velocidad sincrónica en rpm fn frecuencia nominal Hz p número de pares de polos
y para el arranque:
s Tarr e arrT= =1
donde la cupla de arranque normalmente está dada en tanto por uno. Con estos valores se puede formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
+=
T
n
n
Te
n
TTe
arr
ss
ssT
Ts
sTT
2ˆ
12
ˆ
resolviendo se obtienen la cupla máxima y el resbalamiento correspondiente. Dividiendo miembro a miembro:
( )T
TT
s
s
s
s
ss
arr
narr
T
n
n
T
TT
= =
+
+
01 1
de donde:
2
( )( )1
0
10
1arr
n
narrT
Ts
sTs
−
−±= (3)
y
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±=
T
n
n
Tne s
sssT
T2
ˆ (4)
Con estas constantes es posible aplicar la fórmula de Kloss y determinar la cupla para cualquier resbalamiento.
2. Ejemplo numérico
A modo de ejemplo se analiza un motor asincrónico trifásico de 12 kW, 380 V, 50 Hz, conexión estrella, de 1430 rpm, cuyos parámetros son:
R x x
R X Rm p
1 1 2
2
0 21 0 76
0 45 28 2 253
= = =
= =
, ,
, ,
'
'
Ω Ω
Ω Ω = Ω
cuyo equivalente de Thèvenin es:
( )( )
( )( )
Ω≈=+=+=
Ω+=+=
++−+
=+
=+
=
≈+=
++−+
=+
=+
=
−=−=−=
5,15003,176,07403,0
7403,02011,0
176,021,003546,0003953,076,021,0
11
1 05,2149252,005,214
176,021,003546,0003953,00220
11
1
3546,0003953,02,28
1253
111
'2
01
1
01
01
01
1
01
10
0
xxx
jjxRZ
jjj
Yzz
Yz
Yz
Z
VjU
jjj
YzU
Yz
UY
U
SjjX
jR
Y
T
TTT
T
T
T
mp
&
&&
&
&&
&&
&
&
&&
&
&&
&&
&
&
para las condiciones de funcionamiento nominal:
sn n
n
n
TP
ns n
s
n s
nm n
n
=−
=−
=
= = =
= = =
1500 1 430
15000 04667
2
60
2 1 430
60149 75
12 000
149 7580 13
1
. .
.,
.,
.
,,
Ω
Ω
π π
Nm
y para el arranque:
3
( ) ( )
( )
s
IU
R R x
P R I
p
T TP
TT
T
arr
arrT
T
carr arr
s s
earr arrcarr
s
arrarr
n
=
=
+ +
=+ +
=
= = ⋅ ⋅ =
= = =
= = = =
= = =
1
214 05
0 2011 0 45 15130 9
3 3 0 45 130 9 23 132
2 50
2157 08
23 132
157 08147 26
147 26
80 1341 837
2
2
2 2 2 2
2 22 2
1
01
'
'
' '
,
, , ,,
, , .
,
.
,,
,
,,
A
W
Nm
01
Ω
Ω
ω π
la cupla electromagnética en función del resbalamiento, obtenida del circuito equivalente exacto de Thèvenin vale:
TU
R
s
RR
sx
eT
sT
=
+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
+
3 22
2
22
Ω
'
'
con máximos en:
sR
R xT
T
= ±+
= ±+
= ±22 2 2 2
0 45
0 2011 150 2973
' ,
, ,,
que valen:
Nm 4,333ˆ Nm 2,255ˆ5,12011,02011,0
108,1572
05,2143ˆ
123ˆ
22
2
22
2
−==
+±⋅⋅
=
+±Ω=
eGeM
e
TTs
Te
TT
T
xRR
UT
y aplicando la fórmula de Kloss:
( )( )
sT s
sT
Tarr n
narr
= ±−
−= ±
−
−= ±
01
01
11 837 0 04667
1
0 046671 837
0 302, ,
,,
,
este valor es apenas 1,7% mayor que el exacto, y las cuplas máximas valen:
Nm 5,265ˆ302,0
04667,004667,0
302,02134,80
2ˆ
±=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +±=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±=
e
T
n
n
Tne
T
ss
ssT
T
en este caso ambos máximos son iguales porque se ha despreciado la resistencia de Thèvenin que es la responsable de la diferencia entre los mismos en la expresión exacta. El valor obtenido es aproximadamente un 4% mayor para motor y 20% menor para generador.
Con estos datos se puede obtener la cupla en función del resbalamiento utilizando la expresión:
T
T
ee
ss
ss
TT
+=
ˆ2 (5)
4
Para una mejor comparación, en la figura 2 se representan las curvas de cupla obtenidas con la fórmula exacta y la de Kloss.
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300 T
e [N
m]
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 s
Exacta
Exacta
Kloss
Kloss
Figura 2: Curvas de cupla en función del resbalamiento
Como la determinación de las constantes de la fórmula de Kloss se hizo a partir de las condiciones de funcionamiento nominal y se arranque, ambas curvas coinciden en los puntos de resbalamiento nominal y de resbalamiento 1.
3. Trazado aproximado
A partir de la expresión de Kloss se puede hacer un trazado aproximado de la curva de cupla en función del resbalamiento, o de la característica externa, velocidad en función de la cupla, de un motor de inducción. en efecto, para valores de resbalamiento próximos a cero, la expresión (5) se puede aproximar a:
ssT
TT
ee
ˆ2≅ (6)
que corresponde a una recta que pasa por el origen con pendiente:
sTT
dsdT e
s
eˆ2
0=
=
(7)
Como en general el resbalamiento con que opera un motor de inducción es menor al 5 % , la expresión (6) puede utilizarse con suficiente exactitud para predecir el comportamiento de la máquina. El trazado de la recta dada por la ecuación (6) se puede realizar fácilmente observando que para un resbalamiento igual a sT
la misma pasa por el punto , ver figura 3. eT2
Si se procede con el circuito equivalente exacto de la figura 1, sin despreciar la resistencia de Thèvenin, la pendiente en el origen resulta:
)1(ˆ220 T
Te
s
e
sRR
Tds
dT+
′=
=
(8)
5
y la ecuación de la recta tangente:
ssR
RTT
T
Tee )1(ˆ2
2+
′= (9)
Tomando valores típicos, la pendiente exacta (8) resulta aproximadamente un 10% mayor que la obtenida a partir de la fórmula de Kloss (7), por lo que para una dada cupla, por ejemplo la nominal, la recta tangente exacta (9), se aleja más de la curva que la recta aproximada (6), conclusión: es preferible usar la expresión aproximada (6) a la exacta (9).
Por otra parte, para valores elevados del resbalamiento, la fórmula de Kloss se aproxima a:
sTsT eTe
1ˆ2= (10)
es decir, una hipérbola que pasa por los puntos:
etc. )2
,4( ),2( )2,( eTeTeT
TsTsTs
como se muestra en la figura 3, donde por comodidad se han normalizado los ejes dividiendo a la cupla por
y al resbalamiento por . eT Ts
Si se desea realizar un trazado aproximado de la curva de cupla, se puede tener en cuenta que:
• en el origen la cupla es nula y la pendiente de la curva es la de la recta (6)
• para la cupla vale y la curva tiene pendiente horizontal Tss = eT
• para la cupla vale: Tss 2=
ee
T
T
T
T
ee TT
ss
ss
TT ˆ8,0
21
12
ˆ2
22
ˆ2=
+=
+=
• y para la cupla resulta: Tss 4=
ee
T
T
T
T
ee TT
ss
ss
TT ˆ4706,0
41
14
ˆ2
44
ˆ2=
+=
+=
valor éste aproximadamente 6 % menor que el 0,5 correspondiente a la hipérbola de la ecuación (10) por lo
que se puede decir que para valores de resbalamiento iguales o mayores a , por ejemplo para el
arranque, la curva coincide con dicha hipérbola. Ts4
Para visualizar lo dicho, en la figura 3, se han representado la recta (6), la hipérbola (10) y la curva dada por la fórmula de Kloss (5).
6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
s/sT
T e/T
e m
áx
Figura 3: Obtención de la curva aproximada.
Ing. Norberto A. Lemozy mayo de 2001
7