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03 Reguladores Clásicos Nuevo.docx 1

1. Reguladores Clásicos 1. AJUSTE DE PIDS .................................................................................................... 1

1.1. PORQUÉ REALIMENTAMOS ........................................................................................ 2

1.1.1. Estructura estándar de un PID ......................................................................... 5

1.1.2. Efecto Antireset Windup up ............................................................................. 21

1.1.3. Efecto Bumpless ............................................................................................... 27

1.2. AJUSTES CLÁSICOS DE PIDS ................................................................................... 30

1.2.1. Ajuste Empírico Manual .................................................................................. 31

1.2.2. Método de Ziegler-Nichols (1942) ................................................................. 32

1.2.3. Relación entre ambos métodos: ...................................................................... 36

1.2.4. Método de Asignación de Polos. ..................................................................... 40

1.3. CONTROL CON MODELO INTERNO (IMC) ............................................................... 45

1.3.1. Paradigma de diseño para IMC ...................................................................... 73

1.3.2. Diseño de F ...................................................................................................... 74

1.3.3. Realización del Controlador IMC ................................................................... 79

1.3.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden ......................................... 81

1.4. AJUSTE ITERATIVO EN LAZO CERRADO (IFT) ........................................................ 88

1.1. Porqué Realimentamos

Acciones más comunes de control Control de dos posiciones Control proporcional Control Integral Control Derivativo

1.1.1. Estructura estándar de un PID

Ideal (de libro)

( )e t dt∫

( )de tdt

i i ip i d

deu K e K edt Kdt

= + + ∫ [1.1]

ipK : Ganancia proporcional [unidades de salida / unidades de entrada].

100ipK Banda proporcional

iiK : Ganancia integral (reset) [repeticiones/seg] idK | : Ganancia derivativa (rate) [segundos]

Banda Proporcional

[ ]max %u

[ ]min %u

[ ]min %e [ ]max %e

Ganancia Integral – Tiempo Integral – Reset Time – Repeticiones

i2T i3T 1 minuto

Modelo Paralelo (sin interacción)

edt∫

p p pp i d

deu K e K edt Kdt

= + +∫ [1.2]

Ojo con las unidades!

PID con acción velocidad o incremento ude

−PID edt∫

Acción Directa o Inversa u

−PID

Variantes

−PID

Función de Transferencia del PID i i ip i d

deu K e K edt Kdt

= + + ∫ [1.3]

( ) ( ) ( ) ( )1i i ip i dU s K E s K E s K sE s

s = + +

( )( )

11i i ip i d

U sK K K s

E s s = + +

( )( )

( )2i i ip i dK K s K sU s

+ += [1.6]

Discretización La mayoría de los controladores son digitales.

k p k j k kji

TT = k e e e e u T T −=

+ + −

∑ (1.7)

( )k-1

k-1 k-2j dk-1 p k-1 ij=0

= + e eu k e k e k + -

∑ (1.8)

( ) ( )k k-1 p i d k d k-1 d k-2 - = 1 + + - 1 + 2 + u u k k k e k e k e (1.9)

Como Función de Transferencia, resulta 1 2

0 1 211

b b z b zue z

− −

− (1.10)

con ( )( )

b 1 + + k k kb 1 + 2 k kb = k k

= − (1.11)

Acción Proporcional Acción más intuitiva Para error cero se tiene actuación cero. Puede tener error en régimen estacionario Alta ganancia, bajo sesgo o error No introduce desplazamientos de fase (eso es bueno - se verá más adelante) Ejemplo: sea un sistema de primer orden

AY(s) = U(s)1 + sT

(1.12)

Si se lo realimenta con un regulador P resulta pp

K AK A1 + K A1 + sY(s) = R(s) = R(s)K A 1 + s1 + 1 + K A1 + s

(1.13)

La constante de tiempo en lazo abierto es τ y en lazo cerrado es 1 pK Aτ

Al aumentar K el sistema se hace más rápido.

La ganancia en lazo abierto es A y en lazo cerrado 1p

K AK A+

A medida que pK aumenta, la ganancia tiende a uno, objetivo buscado en el control.

Solo con pK = ∞ llegaríamos a ganancia uno

El error permanente es 11 p

r yK A

ε = − =+

Ejemplo:

TanqueL

,e eV Q

Caso 1: 50% 50% 50% 50%eV r y BIAS= = = = [1.14]

entonces 0 0 50% e se z u BIAS V V= = = = = [1.15]

e sQ Q y r= = [1.16]

Caso 2: 60%eV = [1.17]

y e z u↑ ↑ ↑ ↑ [1.18]

se debe lograr que e sQ Q= o sea 60%eu V= = [1.19]

En este caso no se logra y r= porque, 60%

10%10 0

u Vz u BIAS

= == − =

= = ≠

[1.20]

10% 50%p

y e rK

= + = + [1.21]

Para 1 60% 10%pK y d= = = [1.22]

10 51% 1%pK y d= = = [1.23]

El desplazamiento es proporcional a 11pK +

El BIAS se ajusta para compensar el desplazamiento promedio. Se hace BIAS = actuación promedio En muchos casos se fija BIAS = 50% BIAS se puede usar para rechazar una perturbación promedio Notar que la acción de control es proporcional y negativa con respecto al error

Acción Proporcional + Integral Recupera el desplazamiento

tiempo

Lazo Abierto

La acción integral aumenta el tiempo de respuesta del sistema Lo inestabiliza Introduce un retardo en la fase (es malo)

Acción Proporcional + Derivativa

tiempo

Lazo Abierto

tiempo

Lazo Abierto

tiempo

Aumenta la velocidad de respuesta del sistema No corrige desplazamientos permanentes Introduce avance de fase (bueno). Puede corregir el retardo del I Es anticipativo Altas acciones de control. Bueno para sensores lentos Alta ganancia a altas frecuencias. Amplifica ruido Malo para plantas de no mínima fase (péndulo invertido)

frecuencia

t∂∂

Derivador Ideal

Solo se necesita la acción derivativa hasta cierta frecuencia Se utiliza un pasa bajos para anular la acción a altas frecuencias

e pasabajos

frecuencia

t∂∂

Derivador Ideal

pasa bajos

efecto totalcf

[ ]1 12cf Hzπ γ

= [1.24]

en muchos controladores comerciales (SPEC-200, Bailey FC-156) existe este ajuste

0,1 0,2 dKγ = [1.25]

1.1.2. Efecto Antireset Windup up (el malo de la película es la Integral)

KTds-y

Actuador+

e: curva roja v: curva verde u: curva azul Se produce un retardo no deseado en la acción de control (de aproximadamen-

te 170 segundos)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-50

KTds-y

K/Ti 1/s

Actuador

KTds-y

K/Ti 1/s

ActuadorModelo

Con anti windup se obtiene e: curva roja v y u: curva verde

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-20

Comparación e: curva amarilla v sin antiwindup: curva verde u sin antiwindup: curva azul u y v con antiwindup: curva violeta

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Otra forma de implementarlo

Cuando no hay saturación

( ) 1 ip

KU s K

La señal a, se puede interpretar como un BIAS automático.

1.1.3. Efecto Bumpless

Manual

Actuaciónmanual

Otra forma de implementarlo

manual

automático

auintegral

referencia

Sea un PI

en forma digital,

1k k i k

ak p k k

I I TK eu K e I+ = +

Al pasar de manual a automático, la Integral estará en cualquier valor. Es deseable que la acción de control en el instante de conmutación mantenga

el valor que tenía en manual. /a m a manu u=

esto se logra haciendo / /m a man p m aI u K e= −

manual

automático

auintegral

referencia

1.2. Ajustes Clásicos de PIDs No es magia Los parámetros dependen del proceso Existe una teoría para el ajuste óptimo (se verá más adelante) Existen ajustes empíricos Se requiere una perturbación a la planta

1.2.1. Ajuste Empírico Manual Ajustar primero la respuesta transitoria sin importar el error estacionario. Solo usar P y obtener la mejor respuesta que se pueda obtener (ejemplo control

de caudal) Agregar D e intentar mejorarlo Verificar el error estacionario y eventualmente introducir I sin que afecte el tran-

sitorio Si tiene retardos bajar la derivativa y aumentar integral (no mucho porque osci-

la) Ojo con los autotuners

1.2.2. Método de Ziegler-Nichols (1942) Objetivo: reducir el sobrepico a un cuarto

Método de Respuesta en frecuencia

Es más seguro porque el lazo permanece cerrado incluye todas las no linealidades funciona en dos direcciones

Procedimiento: Se utiliza un controlador solo P Se cambia la referencia y se observa la respuesta Se incrementa la ganancia proporcional hasta que se obtiene una oscilación Si la oscilación crece, disminuir la ganancia o aumentarla si decrece. Cuando la oscilación es sostenida, se registra la ganancia del controlador cK ,

se la denomina ganancia crítica Se mide también el período de la oscilación cT Se calculan los parámetros de acuerdo a la tabla pK iK dK

P 0,5 cK

PI 0,45 cK 1,2cT

PID 0,6 cK 2cT

Zieglers y Nichols utilizaron un PID serie neumático (Taylor Fullscope con 0,2 dKγ = )

Método de Respuesta al Escalón Rápido, solo un escalón da idea de la respuesta de la planta

YK X= , LYa

Se calculan los parámetros de acuerdo a la tabla pK iK dK

P 1 TYa LX=

PI 0,9 0,9TYa LX

PID 1,2 1,2TXa LY

¡Ojo con las unidades! ¡Ojo con la forma del PID!

Método del Relé. Åström – Hägglund (Heladera) Mejora al método de Z-N de respuesta en frecuencia el Z-N introduce grandes oscilaciones

se aproxima entrada y salida a dos senoides y la ganancia crítica de Z-N sería

≈ [1.26]

donde ∆ es la amplitud del relé y A la amplitud de la salida Con esto se aplica Z-N 1.2.3. Relación entre ambos métodos:

El método en lazo abierto también es válido para sistemas inestables siempre que la respuesta inicial tenga la forma de la figura.

−Planta

En particular se puede considerar el integrador con retardo siguiente -sTbG(s) = es

(1.27)

que tendrá una respuesta al escalón de la que se obtendrá: L T a bT= = (1.28)

de acuerdo a la segunda tabla el regulador PID será

i d1.2 TK = = 2T = T TbT 2

(1.29)

Si se ensaya de acuerdo al método de respuesta en frecuencia se obtendrá un período de oscilación y una ganancia,

c c = 4T = t k 2bTπ

(1.30)

De acuerdo a esto, el regulador PID será:

i d0.6 0.94 TK = = 2T = T T2bT bT 2

π≈ (1.31)

Interpretación

cdr c c c c c

ic c c

1 2 2t(i ) = 0.6 1 + j - = 0.6 1 + j 0.12 - G k k tT 2t tT = 0.6 + 0.26 j k

πω ω

(1.32)

es un avance de 23

Generalización sea la función de transferencia en lazo abierto

pj( + )pp(j ) = G er π φω (1.33)

queremos ubicar esta respuesta a una determinada frecuencia en un punto sj( + )

sB = er π φ (1.34)

mediante un regulador rj

rr(j ) = G er φω (1.35)

Podríamos hacer el diseño por el método de márgen de amplitud es decir que para Φs= 0 la amplitud sea rs= 1 / Am siendo ésta un márgen de amplitud dado. Por lo tanto se debe cumplir:

s p rj( + ) j( + + )s p r = e er r rπ πφ φ φ

(1.36)

entonces el regulador será:

r = rr

= - φ φ φ

(1.37)

la ganancia proporcional es la parte real del regulador coss s p

( - )r = kr

φ φ (1.38)

el ángulo estará dado por

tand s pi

1 - = ( - )T Tω φ φ

ω (1.39)

1.2.4. Método de Asignación de Polos. sistema de primer orden

k = G 1 + s T (1.40)

regulador PI

1 = K 1 + GsT

(1.41)

resultando un sistema de segundo orden en lazo cerrado

G G = G 1 + G G (1.42)

la ecuación característica será

1 1 1 i

K K1 k k + s + + = 0s T T T T

(1.43)

y nuestra condición de diseño dice 2 2 + 2 s + = 0s ξ ω ω (1.44)

el regulador PI resulta

2 - 1TK = k

2 - 1T = T T

ξ ωω

(1.45)

se puede hacer algo parecido para un sistema de 2do órden

Caso Discreto del Método de Asignación de Polos. sistema de segundo orden

A(z) = + z + a azB(z) = z + b b

(1.46)

regulador PI

S(z)(z) = H R(z)R(z) = ( z - 1 ) (z)R

(1.47)

una forma genérica sería 2

S(z) = + z + s s szR(z) = ( z - 1 ) ( z + )r

(1.48)

la ecuación característica será 2

21 2 0 1 2

( + z + )( z - 1 )( z + ) +a az r ( z + )( + z + ) = 0b b s s sz

(1.49)

que es de cuarto orden.

Se podría especificar un denominador como, 2- h 2

1 2P(z) = ( z - ( + z + )) p pe zαω (1.50)

cos 2- h1

= - 2 ( h 1 - )p e = p e

ω ξ (1.51)

Ejemplo:

p1(s) = G ( 1 + s )( 1 + 0.26 s )

(1.52)

si el período de muestreo es h = 0.1 seg.

0.0164 z + 0.0140(z) = H - 1.583 z + 0.616z (1.53)

condición de diseño: = 0.5 = 4 = 1ξ ω α (1.54)

P será

2 2P(z) = ( z - 0.670 ( - 1.54 z + 0.670 )) z (1.55)

reemplazando

= - 0.407r = 6.74s

= - 9.89s = 3.61s

(1.56)

1.3. Parametrización Afin - Control con Modelo Interno (IMC) Lazo clásico de control

u Cr G

1 1 1o iCG Gy r d d

CG CG CG= + +

Si nos interesa solo la relación entre salida y referencia,

1CGy r

Fijamos una condición de diseño: Encontrar el controlador C tal que la dinámica entre salida y referencia en lazo

cerrado, sea

1CGy r Fr

El controlador que satisface esta condición es 1

Observar que queda en función de la inversa de la dinámica de la planta Realmente, no conocemos G , sino una estimación (o modelo) G . En este caso

el controlador resultará 1ˆ1

Elegido el controlador de esta forma y suponiendo un modelo perfecto, la rela-ción entre las variables es:

( ) ( )1 1o iy Fr F d F Gd= + − + −

Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables

1.3.1. Paradigma de diseño para IMC Se elige el término 1 ˆˆ invG

siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G

y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.

ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)

Si se toma esta condición de diseño se obtiene

( )( )

( )ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆo i

F G F GFGy r d GdG F G G G F G G G F G G

− −= + +

+ − + − + −

( )( )( )

( )( )

ˆ 1 1ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 1 1inv

o iinv inv inv

F FFG Gy r d GdF G G F G G F G G

− −= + +

+ − + − + −

suponiendo que ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.57]

Resulta ( ) ( )1 1o iy Fr F d F Gd≈ + − + −

recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G

si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=

si no es el caso se hace una separación

( ) ( )( )

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆe iB s B s B s

G sA s A s

= = [1.58]

( )ˆeB s contiene los ceros estables y

( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase

se elige

( ) ( )( ) ( )( )

ˆ ˆinv

A sG s

B s B s=

= [1.59]

se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s

no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego)

1.3.2. Diseño de F ( ) ( )1 1o iy Fr F d F Gd≈ + − + −

F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias:

- F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta

Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre

Generalmente F se elige de la forma

1 pFsβ

[1.60]

se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual

número de polos y ceros. Por ejemplo

( ) 1ˆ2 1

1 2 1ˆ1

F sCF sG β

− [1.61]

5ˆ2 1

sG ss s

+ +, ( )

2 2 1ˆ5inv

s sG s + +=

( )21 2 1

ˆ1 5 2F s sC

F s sG β β+ +

= = −− +

β pequeño => F rápido β grande => F lenta

Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición

β se convierte en un potenciómetro de diseño Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.

step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1])) a=[.1 1];b=[.4 1];c=[.8 1]; step(tf(1,conv(a,conv(a,a))),tf(1,conv(b,conv(b,b))),tf(1,conv(c,conv(c,c))))

0 2 4 6 8 10 120

1Step Response

Time (sec)

0 2 4 6 8 10 120

1Step Response

Time (sec)

1.3.3. Realización del Controlador IMC Podemos igualar nuestro controlador a un PID,

PIDCr G

de donde se deduce que

1ˆ1PID IMC

FC CF G

= =−

Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo

Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β - se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropia-

1.3.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta

ˆˆˆ 1

[1.62]

el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.63]

ˆ 1ˆˆinv

τ += ,

[1.64]

el controlador según IMC es ˆ 1ˆˆ1 inv

F sC GF K s

= =−

Si nuestro PI es paralelo, p

p iPI p

KC C Ks

= = + [1.65]

eligiendo ˆ

= ,1ˆ

Kβ= [1.66]

dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆPIsC

K K s K sτ τβ β β

+= + = [1.67]

Resumen: - encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β

Recordar que con β pequeños se obtiene - rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia - actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo

% Control PI IMC Sistema de Pri-mer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1; % PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2;

kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Eu-ler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1); for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida

yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);

0 100 200 300 400 500 6000

0 100 200 300 400 5000

1.3.5. Otro Esquema Se puede plantear el siguiente esquema

la salida es

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d

Q G G Q G G−

= ++ − + −

[1.68]

si el modelo es perfecto,

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.69]

el IMC se puede mostrar como

ˆ1QCQG

El control es diseñado en base al modelo de la planta

( )ˆC C G= [1.70]"

Es muy intuitivo

está relacionado con el concepto de predictor de Smith

Si la planta es estable, ¿cómo elegir Q? ¿Si probamos con 1ˆQ G−= ?

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.71]

( )1 1ˆ ˆ ˆ1 oy G Gr G G d− −= + − [1.72]

ˆ1ˆ ˆ o

G Gy r dG G

= + −

[1.73]

1ˆG y rG≈ ⇒ ≈ [1.74]

con 1ˆQ G−= se obtiene el control perfecto

Problemas: (f) nunca el modelo es perfecto (g) los actuadores se saturan (h) un retardo no se puede invertir en forma exacta (i) problemas matemáticos de inversión (j) problemas con plantas inestables

1.3.6. Paradigma de diseño para IMC Se elige

ˆinvQ FG= [1.75]

siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G

y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.

ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)

Si se toma esta condición de diseño se obtiene

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d

Q G G Q G G−

= ++ − + −

[1.76]

( ) ( )ˆ ˆ ˆ1

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv inv

oinv inv

FG G FG Gy r dFG G G FG G G

−= +

+ − + − [1.77]

suponiendo que ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.78]

resulta ( )1 oy Fr F d≈ + − [1.79]

recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G

si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=

si no es el caso se hace una separación

( ) ( )( )

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆe iB s B s B s

G sA s A s

= = [1.80]

( )ˆeB s contiene los ceros estables y

( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase

se elige

( ) ( )( ) ( )( )

ˆ ˆinv

A sG s

B s B s=

= [1.81]

se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s

no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego) 1.3.7. Diseño de F

( )1 oy Fr F d≈ + − [1.82]

F es la respuesta deseada del sistema.

Para seguimiento de referencias: - F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta

Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre

Generalmente F se elige de la forma

1 pFsβ

[1.83]

se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual

número de polos y ceros. Por ejemplo

( ) 1ˆ2 1

2 1ˆ1inv

sQ FGsβ+

[1.84]

5ˆ2 1

sG ss s

+ +, ( )

2 2 1ˆ5inv

s sG s + +=

22 1ˆ

5 1inv

s sQ FGsβ

+ += =

− + [1.85]

β pequeño => F rápido β grande => F lenta

Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición

β se convierte en un potenciómetro de diseño Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.

step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1])) a=[.1 1];b=[.4 1];c=[.8 1]; step(tf(1,conv(a,conv(a,a))),tf(1,conv(b,conv(b,b))),tf(1,conv(c,conv(c,c))))

0 2 4 6 8 10 12

1Step Response

Time (sec)

0 2 4 6 8 10 120

1Step Response

Time (sec)

1.3.8. Realización del Controlador IMC en la forma IMC

en la forma "PID" clásica

PIDCr G

de donde se deduce que

ˆ1PIDQCQG

[1.86]

Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo

Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β - se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropia-

1.3.9. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta

ˆˆˆ 1

[1.87]

el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.88]

ˆ 1ˆˆinv

τ += ,

[1.89]

ˆinvQ FG= [1.90]

el controlador según IMC es ˆ ˆ 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv

FGQ sCsK sQG FG G G

τββ

+= = = =

− − [1.91]

en el caso de un PI paralelo p

p iPI p

KC C Ks

= = + [1.92]

eligiendo

= ,1ˆ

Kβ= [1.93]

dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆPIsC

K K s K sτ τβ β β

+= + = [1.94]

Resumen: - encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β

Recordar que con β pequeños se obtiene - rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia - actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables

- mayor efecto del retardo

% Control PI IMC Sistema de Pri-mer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1; % PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2;

kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Eu-ler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1); for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida

yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema

[y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);

0 100 200 300 400 500 6000

0 100 200 300 400 500

1.4. Ajuste Iterativo en Lazo Cerrado (IFT) Método alternativo de autoajuste de parámetros la planta es

10 ( )k k ky G z u v−= + [1.95]

el lazo cerrado resulta

RGy r vRG RG

= ++ +

[1.96]

Objetivo: encontrar los parámetrosθ del regulador tal que minimicen el siguiente

funcional:

( ) ( ) ( )2 2

k k kk k

J E y y uN

θ λ= =

= − + ∑ ∑ [1.97]

hay que derivar e igualar a cero: ( ) ( )

1 N Nd

k k kk k

J y uE y y uN

θ θ θ= =

∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ [1.98]

Una forma de ajustar los parámetros es recursivamente en la dirección del gra-diente

( )11k k k k

θθ θ γ

∂= −

∂ [1.99]

El problema está en el cálculo del gradiente, en realidad los términos yθ∂∂

y uθ∂∂

llamando 0

[1.100]

sea dy la respuesta deseada a la referencia d

dy T r= [1.101]

d dRGy y y r y vRG RG

= − = − ++ +

[1.102]

RGy T r vRG RG

= − + + +

[1.103]

( ) ( )

2 20 0 0

1 1 1G RG Gy y R R Rr r vRG RG RGθ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = − −

∂ ∂ + ∂ ∂ ∂+ + [1.104]

2 20 0 0 0 0 0 0 0

1 1y R R R RT r T r T S v T r T r T S vR Rθ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [1.105]

0T y 0S no son conocidas

se sabe que 2

0 0 0 0T y T r T S v= + [1.106]

se puede reescribir [1.105]

[ ] ( )0 0 01 1y R RT r T y T r yR Rθ θ θ

∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ [1.107]

en donde sigue sin conocerse 0T . Pero si se realizan los siguientes experimentos: 1) se realiza un primer ensayo con una referencia 1r r= , obteniéndose una res-

puesta

1 0 0 1y T r S v= + [1.108]

2) el segundo ensayo se efectúa con una referencia 2 1r r y= − , obteniéndose una respuesta

( )2 0 1 0 2y T r y S v= − + (1.109)

Si se reemplaza (1.109) en [1.107] resulta

( ) [ ]0 2 0 21 1y R RT r y y S vR Rθ θ θ

∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ [1.110]

con lo que se podría tomar como aproximación,

21y R yRθ θ

∂ ∂=

∂ ∂ [1.111]

Con la actuación ocurre algo similar. De esta forma se logra el cálculo del gra-diente del funcional.

Ejemplo 1.1. Regulador PI En este caso simplificado, se cumple

p ik k zR

+ −=

− (1.112)

por ende 1

k zRk z

+ −∂=

∂ − , 11

kRk z−∂

=∂ −

(1.113)

( ) ( )( )

2 2 21

1111 1

1 1111 1 1 11

p ip i

k zkky z z y y y

k kk k zk z k zz

− −

− −−

+ − ∂ − − = = = +∂ + − + − − +−

(1.114)

( )( )

1 11 1 1

ku u ukk z

∂ = = ∆ +∂ − +

(1.115)

( ) ( )1 11 1

1 N Nd

k k kk k

J y uy y uN

θ θ θ= =

∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ (1.116)

Algoritmo: 1) Cálculo del vector ∆ 2) Ensayo 1 3) Ensayo 2

4) Cálculo de los gradientes yθ∂∂

y uθ∂∂

5) Cálculo del gradiente Jθ∂∂

6) Ajuste de los parámetros con la ley 11k k k k

JRθ θ γθ

∂= −

7) volver al paso 2)

Simulaciones plot(yes);grid

0 200 400 600 800 1000 12000

plot([ym ydd]);grid

plot(j);grid

0 50 100 150-0.2

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

plot(th');grid

1 2 3 4 5 6

Código %Sistema continuo Bc= 1; Ac=poly([-1 -2 -1]); na=length(Ac)-1; syscont = tf(Bc,Ac); %Sistema en variables de estado Pss = ss(syscont); [a,b,c,d] = ssdata(Pss); % y su respuesta al escalón ... t = 0:0.01:10; u = ones(size(t)); yes = lsim(syscont,u,t); T=.2; % Parámetros del regulador PID kp = 0.05; ki = 0; %kp = 0.1522; % 56 it .001 %ki = 0.0470; % 56 it .001 kd = 0; iter = 5; j=zeros(1,iter); th=zeros(2,iter+1); th(:,1)=[kp;ki]; lambda=.0; Tfin = 30; precision= .02; t = 0:precision:T;

ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); nd = Tfin/T; ed = zeros(nd,1); ud1 = zeros(nd,1); yd1 = zeros(nd,1); ud2 = zeros(nd,1); yd2 = zeros(nd,1); ud3 = zeros(nd,1); yd3 = zeros(nd,1); ym = zeros(nd,1); ydd = []; var =.001; gamma=.5; % Cálculo de La respuesesta del modelo am=.5; for i = 3:nd ym(i) = am*ym(i-1)+ (1-am)*ref; end; for k = 1:iter % Experimento 1 x0= zeros(1,na); y = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; int = 0; for i = 3:nd % Regulador

yd1(i) = y(ly)+ var*randn; ed(i)=ref- yd1(i); int = int + ki * ed(i); der = kd * (yd1(i)-yd1(i-1)); ud1(i)=kp*(ed(i)+ int + der); % bloqueador de orden cero u = ud1(i) * ones(size(t)); % Sistema s=size(x0); [y, tt, x0] = lsim(Pss,u,t,x0(s(1),:)); yy = [yy ; y]; uu = [uu ; u']; end; % Experimento 2 x0= zeros(1,na); y = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; int = 0; for i = 3:Tfin/T % Regulador yd2(i) = y(ly)+ var*randn; ed(i)=ref - yd1(i) - yd2(i); int = int + ki * ed(i); der = kd * (yd2(i)-yd2(i-1)); ud2(i)=kp*(ed(i)+ int + der); % bloqueador de orden cero u = ud2(i) * ones(size(t)); % Sistema s=size(x0); [y, tt, x0] = lsim(Pss,u,t,x0(s(1),:));

yy = [yy ; y]; uu = [uu ; u']; end; j(k)=(ym-yd1)'*(ym-yd1)+lambda* ud1'*ud1; dydkp=yd2/kp; dydki = zeros(nd,1); for i = 3:nd dydki(i) = 1/(1+ki)*dydki(i-1)+1/(1+ki)*yd2(i); end; dudkp=ud2/kp; dudki = zeros(nd,1); for i = 3:nd dudki(i) = 1/(1+ki)*dudki(i-1)+1/(1+ki)*ud2(i); end; dydp=[dydkp';dydki']; dudp=[dudkp';dudki']; yt=yd1-ym; djdp=(dydp*yt+lambda*dudp*ud1)/nd; kp=kp-gamma*djdp(1); ki=ki-gamma*djdp(2); th(:,k+1)=[kp;ki]; ydd=[ydd yd1];

Referencias 1. Häkan Hjalmarsson, Michel Gevers, Svante Gunnarsson, Olivier Lequin,, Iterative

Feedback Tuning: Theory and Applications – IEEE Control Systems – Agosto 1998

2. G.C. Goodwin, S.F. Graebe, and M.E. Salgado. Control System Design. Prentice Hall, 2001.

3. K. Astrom, B Wittenmark. Computer Controlled Systems. Prentice Hall, 1997. 4. Äström, K., Hägglung: Automatic Tuning of PID Controllers, ISA – 1988 5. Stephanopoulos

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