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DIPLOMADO EN FINANZAS

Módulo: Matemáticas Financieras

Instructor: Dr. Homero Zambrano

Fberero de 2011

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MÓDULO

Matemáticas Financieras

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MATEMATICAS FINANCIERAS: El valor del dinero a través del

tiempo.

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Valor del dinero en el tiempo

Esto significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor, es decir, no son equivalentes, si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo. ¿Porqué?

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Valor del dinero en el tiempo• Ejemplo: ¿Cuánto valen $1000 pesos a recibirse en exactamente un

año el día de hoy? ¿Y si los recibimos en 2,…, n años?

• Relación Valor Presente (VP), tasa de descuento, y la tasa de interés.

• ¿Y la inflación? → (1 + inom) = (1 + ireal).(1 + E(f))

• Ejemplo: Supongamos que tomamos un préstamo de $100 para un año. Sin inflación pagamos un interés de 10% => Al final del año pagamos $110. Sin embargo, si el nivel de inflación (f) esperada es de 50% necesitamos desembolsar $165.

• La tasa nominal es la tasa que normalmente observamos.

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Equivalencia

$100

$115

Un año

Tasa de interés del 15%

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Interés simple

- Es la cantidad generada sobre una inversión o préstamo en donde los intereses generados en los primeros períodos no se incorporan al capital.

- El monto de los intereses de cada período permanece constante.

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Fórmulas: I = P * i * nF = P + IF = P (1+ i*n)

Nomenclatura:P: Cantidad inicial, principal, actual o presenteF: Cantidad FuturaI : Intereses totalesi : Tasa de interésn: Número de periodos

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Interés simple ¿Cuál sería el monto final que se deberá pagar si se

obtiene un préstamo de $1,000 por 30 días a una tasa de interés simple mensual del 4%?

F = $1,000 * ( 1 + ( 0.04 * 1 )) = $1,040

n = 1 mes

i = 4% mensual

F

$1,000

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Interés simple

¿Cuál será el monto que se acumulará al final de un año si el préstamo se mantiene por ese período?

F = $1,000 * ( 1 + ( 0.04 * 12 )) = $1,480

n = 12 meses

i = 4% mensual

F

$1,000

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Interés simple

¿A qué tasa de interés la cantidad de $40,000 se convertirá en $42,400 en nueve meses?

i = F - P = $42,400 - $40,000 = 0.0067 P * n $40,000 * 9 meses i = 0.67% mensual

n = 9 meses

i = ?

$42,400

$40,000

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¿Qué suma debe ser invertida al 15% anual para tener $20,000 dentro de seis meses y quince días?

i = 15% anual = 1.25% mensual P = F = $20,000 = $18,497.11 1 + (i * n) 1 + (0.0125 * 6.5)

n = 6.5 meses

i = 15% anual

$20,000

P

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• Usted pagó $450,000 por un pagaré de $400,000 firmado el 16 de mayo de 199X a una tasa del 42% anual. ¿Que plazo transcurrió?

n = F - P = $450,000 - $400,000 = 0.2976 años P * i $400,000 * 0.42 n = 107.14 días => que correspondería al 1° de

septiembre de 199X

n = ?

i = 42% anual

$450,000

$400,000

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Interés compuesto

- A diferencia del interés simple, en el interés compuesto los intereses de los primeros períodos se acumulan al capital para generar intereses en los períodos subsiguientes.

- Los intereses de un período serán menores que los calculados en períodos posteriores.

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Interés compuestoFórmula:

F = P *(1+ i)n

Nomenclatura:P: Cantidad inicial, principal, actual o presenteF: Cantidad futurai : Tasa de interésn: Número de periodos

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Interés compuesto

Explicación Numérica P = $1,000 n = 2 años

i = 10% anual

Año Adeudo inicial Intereses Adeudo final 1 $1,000 $100 $1,100 2 1,100 110 1,210

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Si se realiza una inversión de $1,000 al 4% mensual, que se renovará durante 12 meses, ¿cuál será el monto al final del año?

F = $1,000 * ( 1 + 0.04 )12 = $1,601.03

n = 12 meses

i = 4% mensual

F

$1,000

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Valor presente

Un valor presente siempre es menor que el valor futuro, porque sobre el valor presente se van a acumular intereses hasta llegar a la fecha futura1.

P = F . ( 1 + i )n

P = F ( P/F, i%, n )

1 Salvo en tasas de interés negativas.

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Valor futuro

La fórmula de valor futuro será:

F = P ( 1 + i )n

F = P ( F/P, i%, n )

La fórmula de la tasa de interés será:

i = ( F/P )1/n - 1

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Valor presente y valor futuro ¿Qué cantidad se debe depositar ahora en una cuenta de

inversión que gana el 33% anual para que al final del tercer año se tenga $35,000?

P = $35,000 = $14,876.92 ( 1 + 0.33 ) 3

n = 3 años

i = 33% anual

$35,000

P

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Valor presente y valor futuro • Una persona está en posibilidad de invertir ahora $8,000

con el fin de pagar obligaciones futuras de $10,500. ¿Cuál es la tasa requerida para conseguir esa cantidad en 5 años?

i = ( $10,500/$8,000 )1/5 - 1 = 0.0559 => 5.59% anual

n = 5 años

i = ?

$10,500

$8,000

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Anualidades constantes

- Es un flujo de efectivo constante que se paga o

se cobra cada cierto período.

- Las cantidades deben ser iguales y el intervalo de tiempo entre ellas siempre es el mismo.

- Los intereses se acumulan una vez cada período.

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Las anualidades pueden clasificarse en:

– Anualidades ordinarias. Cuando: La primera anualidad está un período después

que el presente, o; La última anualidad está junto con el futuro.

– Anualidades anticipadas. Cuando: La primera anualidad está junto con el presente,

o; La última anualidad está un período antes que el

futuro.

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Anualidades ordinarias

P = A * ( 1 + i )n - 1 ( 1 + i )n * i

P = A ( P/A, i%, n )

P = valor presente A = anualidad i = tasa de interés para un solo período n = número de períodos

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F = A* ( 1 + i )n - 1 i

F = A ( F/A, i%, n )

F = valor futuro A = anualidad i = tasa de interés para un solo período n = número de períodos

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A = P * ( 1 + i )n * i ( 1 + i )n - 1

A = P ( A/P, i%, n )

A = F * i ( 1 + i )n - 1

A = F ( A/F, i%, n )

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Anualidades anticipadas

P = A * ( 1 + i )n – 1 *(1+i) ( 1 + i )n * i

P = A ( P/A, i%, n - 1 )

F = A * [ ( 1 + i ) n - 1 ] * ( 1 + i ) i F = A ( F/A, i%, n - 1 )

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A = P /(1+i) * ( 1 + i )n * i ( 1 + i )n - 1

A = P ( A/P, i%, n - 1 )

A = F * i [ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i )

A = F ( A/F, i%, n - 1 )

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EJEMPLOS:

1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y se le ofrece la opción de un monto de US$ 12,500 en una sola exhibición (es decir, inmediatamente) el día de hoy (t = 0) o, alternativamente, un pago de US$2,000 por año por los próximos 10 años, empezando el próximo año (t = 1).

Como el ingeniero está pagando un 12% de interés anual por año por concepto de hipoteca sobre su casa, decide usar esta misma tasa para evaluar las alternativas. Si usted fuera este ingeniero, ¿cuál de las dos alternativas escogería?

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EJEMPLOS:Juan, cumpliendo 40 años y pensando en su jubilación, planea ahorrar la suma de $ 1,500 por año sobre un período de 25 años. En promedio el espera ganar 12% de interés anual c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos. ¿Cuánto tendría Juan al final de 25 años? Respuesta: $200,000 (ignorando fracciones).

Pensando un poco más allá, Juan como demógrafo sabe que si llega a cumplir 65 años, tendría una esperanza de vida de más o menos 16 años. Asimismo, estima que necesita un ingreso de unos $25,000 anuales para vivir cómodamente con su esposa. La lógica financiera dicta que a esa edad ya no se debe tomar mucho riesgo con los fondos, y el piensa poner el ahorro estimado arriba en una cuenta de ahorros que le daría a lo mucho 9% de interés anual c/anual. ¿Si Juan retira cada año $25,000, cuánto tiempo -es decir- cuántos años durarán sus fondos? Respuesta: 14 años (ignorando fracciones).

Como su fondo de retiro NO cubre su expectativa de vida a los 65 años, ¿Cuánto debería ahorrar entonces cada año hasta cumplir los 65 años para que le diera los

$25,000 cada año por 16 años? Respuesta: $1,558.60.

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EJEMPLOS: REMOCASA

• Remodela tu casa, solicita el préstamo REMOCASA. Si tienes más de 3 años como socio y has cumplido con tus compromisos económicos con la Cooperativa, puedes ser acreedor de un préstamo de hasta $100,000.00 para remodelar tu casa a una tasa de interés del 1.75% mensual sobre saldos insolutos, con un plazo de hasta 36 meses.

• Si quieres pagar este préstamo en 36 pagos iguales incluyendo intereses y amortización del préstamo, cuánto pagarías mensualmente?

• Respuesta: $ 3,767.51

• Después de 15 pagos (o meses) recibes la noticia que has ganado un premio en la lotería y decides de re-embolsar el resto en una sola exhibición a la fecha del pago número 16, cuánto habría que pagar entonces?

• Respuesta: $ 66,884.10

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¿Cuál es el valor actual de 6 pagos iguales de $1,500 a una tasa del 40%, (a) si los pagos se hacen al final de cada año; (b) si los pagos se hacen al inicio de cada año?

(a) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 ) = $3,251.96(b) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 - 1 ) = $4,552.75

n = 6 años

i = 40% anual

P

A n = 6 años

i = 40% anual

P

A

33

Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total es de $240,000. Se pagará un enganche de $40,000 y el resto a 24 mensualidades a una tasa del 8% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuál será el monto de las mensualidades si se pagan al final de cada mes?

A = $200,000 * ( A/P, 8%, 24 ) = $18,995.59

n = 24 meses

i = 8% mensual

$200,000

A

34

¿Que cantidad constante tendrá que depositar en un banco al 36% anual si quiere obtener $450,000 al final del séptimo año, haciendo los depósitos al inicio de cada año?

A = $450,000 * ( A/F, 36%, 7 - 1 ) = $15,662.19

n = 7 años

i = 36% anual

$450,000

A

35

Se ha tomado la convención de expresar la tasa de interés en una tasa anual nominal y al aplicarla debe de especificarse la fracción del período anual en la que se capitaliza.

F = P ( 1 + j /m )n * m

j = tasa de interés nominal anual

m = número de períodos en un año n = número de años

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Obtenga el monto a recibir al final de un año para $1,000,000 a una tasa de interés del 48% anual si se capitaliza: (a) anual; (b) trimestral.

(a) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48 ) 1 = $1,480,000 (b) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48/4 ) 4 = $1,573,519

n = 1 año

i = 48% anual

F

$1,000,000

n = 4 trimestres

i = 48% anual

F

$1,000,000

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Calcule el valor de $80,000 después de dos años y seis meses colocados a una tasa del 42% con capitalización trimestral.

n * m = 2.5 años * 4 trimestres por año = 10 trimestres F = $80,000 * ( 1 + 0.42/4 ) 10 = $217,126.47

i = 42% anual

F

$80,000

n = 2.5 años

m = 4 trimestres

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¿En cuanto tiempo se triplica una inversión colocada al 40% con capitalizaciones trimestrales?

n = ln ( F / P ) = ln ( 3 ) = 11.53 trimestres ln ( 1 + i ) ln ( 1 + 0.4/4 )

n = ? trimestres

i = 10% trimestral

3 * P

P

39

Una inversión ofrece una tasa del 40% con capitalización mensual y otra ofrece el 45% con capitalización trimestral. ¿Cuál prefiere usted? (analice un año).

(a) F = $1 * ( 1 + 0.4/12 )12 = $1.4821

(b) F = $1 * ( 1 + 0.45/4 )4 = $1.5318

La mejor opción es la tasa del 45% con capitalización trimestral.

40

Tópicos

Tasa efectiva

11

m

ne m

rr

Tasas equivalentes, si

1111 21

b

n

a

n

b

r

a

r

41

Tópicos

Perpetuidad

r

AP

Perpetuidad creciente a tasa g

gr

AP

42

Tópicos

Gradiente aritméticoEquivalente uniforme de anualidad que se da durante n periodos, que crece G unidades monetarias cada periodo, empezando de cero en t=1

11

11nrr

GA

43

Tópicos

Gradiente geométrico

n

r

g

gr

AP

1

111

44

TópicosDemostración de la fórmula de anualidades

Sea

nr

A

r

A

r

AP

111 2

rx

1

1

121 nxxxAxP

45

TópicosDado que

nn xxxxx 111 12

x

xAxP

n

1

1

r

rr

rA

r

rr

AP

nn

111

11

1

1

1

11

1

11

1

1

1

46

TópicosResulta

nrr

AP

1

11

47

TópicosPerpetuidad. Partimos de:

nrr

AP

1

11

Si n , el segundo término dentro de paréntesis cuadrados desaparece

48

TópicosAnualidad desde perpetuidades

nrr

A

r

AP

1

1

nrr

AP

1

11