1

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

2

CONTENIDO1. Función Exponencial.

Definición de Asíntota Horizontal.Representación Gráfica.Exponencial Natural.Transformación de Funciones.

2. Función Logaritmo. Definición de Asíntota Vertical. Representación Gráfica. Logaritmo Común.

Logaritmo Natural.Transformación de Funciones.

3

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Hemos estudiado funciones de la forma:

Como por ejemplo: 2( )f x xAhora estudiaremos funciones de la forma:

Como por ejemplo: xxf 2)(

nxxf )(

Base variable

Exponente constanteFunción potencia

xaxf )(

Base constante

Exponente variable

4

DEFINICION DE FUNCION EXPONENCIAL

Una función exponencial es una función de la forma:

xaxf )(

En donde: y a 0 a 1

x

Base constante

Exponente variable

El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales.

El rango de una función exponencial es el conjunto de los números reales positivos.

5

DEFINICIÓN DE ASINTOTA HORIZONTAL

Una recta de la forma y=b es una asíntota horizontal de una función f, sí: ocuando x cuando x bxf )(

x

y

xbxf cuando )(

y=b

x

y

y=b

xbxf cuando )(

x

y

y=b

x

y

y=b

6

Hacer la gráfica de la función: xxf 2)( x xy 2

3

2

10

1

8

2

1

21

41

81

2 4

3

CaracterísticasDominio:

Rango: ),0(

Asíntota horizontal:0y

Intersección eje y: )1,0(

Intersección eje x: No hay

CrecienteComportamiento extremo:

0f(x)entoncesxSi

f(x)entoncesxSi

10 10241

10 1024 Función uno a uno

7

Hacer la gráfica de la función: x

xf

21

)(x xy 21

3

2

10

1

8

2

1

21

41

81

2

4

3

CaracterísticasDominio:

Rango: ),0(

Asíntota horizontal:0y

Intersección eje y: )1,0(

Intersección eje x: No hay

DecrecienteComportamiento extremo:

f(x)entoncesxSi

f(x)entoncesxSi 0

10

1024110

1024

Función uno a uno

8

Veamos las dos gráficas en el mismo plano:

x

y

x

y

xy 2

xxy 212

•La gráfica decorresponde a una reflexión sobre el eje y de la gráfica de

xxy 212

xy 2

xx xfxf 2)(2)(

•En la base es 2 y 2>1 .

xy 2

•En la base es ½ y 0<1/2<1

xy 21

•La función es creciente.

•La función es decreciente.

9

x

y

x

y

EN FORMA GENERAL

1,0

xay 1aPara

xay 10 aPara

xay xay En el ejemplo anterior

2a

En el ejemplo anterior

2

1a

10

x

y

x

y

1aparafdeGráfica 10 aparafdeGráfica

xaxf )(

GRÁFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

11

x

y

x

y

x

y

x

y

La siguiente figura muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales xaxf )(

xy 2xy 10x

y

2

1x

y

10

1

1,0

La gráfica de está entre la gráfica de y la de observe que 2<3<10.

Todas las gráficas cortan al eje y en el punto (0,1)

xy 3x

y

3

1

xy 3xy 2

xy 10

La gráfica de está entre la gráfica de y la de

xy 31 xy 21

xy 101

2

1

3

1

10

1 que observe

12

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

La función exponencial natural está definida por:xexf )(

Donde el número es un número irracional llamado número de Euler y está definido como el valor al que tiende

e

n

n

11 Cuando n

El valor aproximado del número es:

7182818284.2e

Donde es un entero positivon

e

13

x

y

x

y

x

y

GRAFICA DE xexf )(

Puesto que , la gráfica de la función exponencial natural se encuentra entre las gráficas de como se muestra en la figura:

32 e2 y 3x xy y

xy 2xy 3 xey

CaracterísticasDominio:Rango: ),0(

Asíntota horizontal:0y

CrecienteComportamiento extremo:

0f(x)entoncesxSi

f(x)entoncesxSi

14

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONESPartiendo de la gráfica de la función graficar: xy 2

xy 21

xy 2xy 21

CARACTERISTICAS

FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA HORIZONTAL

FUNCIONES CRECIENTES

xy 2xy 21

),0(

),1(

0y

1y

Traslación vertical, una unidad hacia arriba

15

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Partiendo de la gráfica de la función graficar:

xxf 2)( )( xf )(xf

xy 2xy 2 xy 2

xy 2

x2Reflexión eje y

x2

Reflexión eje x

16

FUNCION

DOMINIO RANGO

FUNCION

DOMINIO RANGO

x

y

x

yxy 2

xy 2

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION

xy 2

xy 2

xy 2

xy 2

x

y

x

y

xy 2xy 2

crecientefuncióny x2

edecrecientfunciónyx2

crecientefuncióny x2

edecrecientfuncióny x2

),0(

),0(

),0( )0,(

17

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Graficar: 23 2 xy

xy 3 23 xy

Transformaciones:

•Traslación horizontal, 2 unidades a la derecha.•Reflexión eje x.

•Traslación vertical, 2 unidades hacia abajo.

FUNCION

DOMINIO

RANGO

ASÍNTOTA HORIZONTAL

CRECIMIENTO

xy 3 23 2 xy

0y23 xy

23 2 xy

2y

),0( )2,(

2ycrecientedecreciente

FUNCIONES UNO A UNO

A partir de xy 3

18

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Graficar: 42

13

1

x

y

x

y

2

1

42

13

)1(

x

y

•Reflexión eje y.

•Traslación horizontal 1 unidad a la derecha.•Dilatación vertical por 3.•Traslación vertical 4 unidades hacia abajo.

42

13

1

x

y

FUNCION

DOMINIO

RANGO

ASÍNTOTA HORIZONTAL

CRECIMIENTO

0y

),0( ),4(

4ydecrecientecreciente

FUNCIONES UNO A UNO

Características:x

y

2

14

2

13

1

x

y

19

EjemploEncuentre la función de la forma que corresponde a la siguiente gráfica

xCaxf )(

x

y

3,0

12,2

Puesto que:

3)0( 0 Caf

Podemos saber que:

3CEntonces :

12)2( 2 Caf

Como sabemos que tenemos que :

3C

123 2 a De donde 2a

La función es: xxf )2(3)(

20

FUNCIÓN LOGARITMO

Como ya se ha explicado toda función exponencial

( ) 0 y 1xf x a con a a

Es una función uno a uno y por lo tanto tiene una función inversaLa función inversa se conoce como la función logaritmo, con base de x y se denota como

)(1 xf

a )(log xa

La función logaritmo se define como:

xayx ya log

Es decir que es el exponente al cual debe elevarse la base para obtener

alog x

a x

21

DEFINICIÓN DE ASINTOTA VERTICAL Una recta con ecuación x=a es una asíntota vertical

de una función f, sí:

En la medida que x se aproxima a a.

)(xf)(xf o

x

y

x=a

axcuandoxf ,)( axcuandoxf ,)(

x

y

x=a

axcuandoxf ,)(

x

y

x=a

axcuandoxf ,)(

x

y

x=a

22

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO

Utilizando un tabla de valores vamos a graficar la función xxf 2log)(

x xy 2log

1

34

234

1

xy 2log

02

223242

12

22

32

42

12

23

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMOYa que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial , La gráfica de la función logaritmo se obtiene reflejando la función exponencial en la recta .

xxf alog)( xaxf )(

xy Si a>1, se obtiene :

x

y

xay

x

y

xy

x

y

xy alog

FUNCION

DOMINIO

RANGO

ASÍNTOTA

CRECIMIENTO

0 y

Horizontal

),0(

creciente creciente

FUNCIONES UNO A UNO

1

a

ay x

1

log

a

xy a

),0(

0x

Vertical

Características:

24

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMOxxf alog)( Si 0<a<1, se obtiene :

xay xy

xy alog

FUNCION

DOMINIO

RANGO

ASÍNTOTA

CRECIMIENTO

0 y

Horizontal

),0(

decreciente decreciente

FUNCIONES UNO A UNO

10 a

ay x

10

log

a

xy a

),0(

0x

Vertical

Características:

25

GRÁFICA DE UNA FUNCION LOGARITMO

La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 2, 3, 5 y 10

x

y

xy 10log

x

y

xy 5log

x

y

xy 3log

x

y

xy 2log

La siguiente figura muestra la familia de funciones logaritmo con base 1/2, 1/3, 1/5 y 1/10

xy2

1log

xy3

1log

xy5

1log

xy10

1log

26

LOGARITMO COMUN

El logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base, así: xx 10loglog

Las calculadoras permiten evaluar estos logaritmos, si el logaritmo tiene otra base es necesario utilizar la fórmula de cambio de base para evaluarlos, así:

b

xx

a

ab log

loglog

Donde 10a

27

LOGARITMO NATURAL

xxy elogln

La función logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial

xy ln

xey

El logaritmo con base se conoce como logaritmo natural y se denota como

e:ln

28

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

La gráfica de la función logaritmo natural se obtiene reflejando la gráfica de la función exponencial en la recta: xy

x

y

xey

x

y

xy

x

y

)ln(xy

FUNCION

DOMINIO

RANGO

ASÍNTOTA

CRECIMIENTO

0 y

Horizontal

),0(

creciente creciente

FUNCIONES UNO A UNO

xey xy ln

),0(

0x

Vertical

Características:

29

…RESUMIENDO

x

y

x

y

1

a

ay x

1

log

a

xy a

10 a

ay x

10

log

a

xy a

30

x

y

x

y

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Trazar la gráfica de la función: 13log)( 3 xxf

xy 3log

3log3 xy

FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL

FUNCIONES CRECIENTES

),3(

),0( 0x

3x

Traslación horizontal, 3 unidades hacia la derecha.

Características:

xy 3log

3log3 xy

3x

Trasformaciones:

13log3 xy

Traslación vertical, 1 unidad hacia arriba.

31

x

y

x

y

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Trazar la gráfica de la función: )2ln()( xxf

xy ln

2x

))2(ln( x

•Reflexión eje y.Trasformaciones:

•Traslación horizontal 2 unidades a la derecha.•Reflexión eje x.

FUNCION DOMINIO RANGO ASÍNTOTA VERTICAL

)2,(

),0( 0x

2x

Características:

xy ln

xy 2ln

xy ln creciente

xy 2ln decreciente

32

Encuentre la función de la forma cuya gráfica se da.

xy alog

)1,5(

Reemplazando el punto (5,1) en , se tiene:

xy alog

5log1 a

51 a

De donde:

5 a

Luego:

xy 5log