INGENIERIA GRAFICA

Porras Chapilliquen Milker

TEMAS• El punto. • La Recta. • El plano.

EL PUNTO

Milker Porras Chapilliquén

El sistema diedrico• El Sistema Diédrico es un sistema

de proyecciones cilíndricas ortogonales cuyo objeto es la representación de las figuras tridimensionales del espacio sobre un plano bidimensional.

• El Sistema Diédrico se constituye por dos planos perpendiculares en posición horizontal y vertical, en los cuales se hallan las proyecciones de una figura.

Plano Horizontal (P.H.), sobre el que se obtiene la proyección horizontal de un punto, recta, plano o figura.Plano Vertical (P.V.), sobre el que se obtiene la proyección vertical de un punto, recta, plano o figura.

La intersección entre ambos planos recibe el nombre de Línea de Tierra (L.T.), la cual identificaremos por dos trazos en sus extremos. Estos dos planos, horizontal y vertical, dividen el espacio en cuatro diedros, cuya posición vemos representada en la Figura 1.

Los planos los consideramos ilimitados y opacos, por ello la parte de una figura en el primer diedro se considera vista, mientras que en los tres diedros restantes la consideramos oculta.

• Los planos bisectores, formando un ángulo de 45º, dividen cada uno de los diedros: el primer bisector en el primer y tercer diedro y el segundo bisector en el segundo y cuarto diedro.

• En la Figura 1 vemos la representación de un punto A del espacio situado en el primer diedro. Su proyección ortogonal sobre el plano H la denominaremos A1 y a su proyección vertical sobre el plano V como A2.

El sistema diedrico

El sistema diedricoPara representar el espacio en dos dimensiones, el Plano Vertical se abate, tomando como eje la Línea de Tierra, en el sentido contrario a las agujas del reloj, hasta hacerlo coincidir con el Plano Horizontal. (Figura 2). De esta forma, las proyecciones del punto A se encuentran en la misma perpendicular a la L.T. Esta es una propiedad fundamental de toda representación de un punto en el Sistema Diédrico.

El sistema diedricoA partir de este plano queda definido por tres coordenadas.En el estudio del Sistema Diédrico es de gran importancia conocer las condiciones en las que se representan los puntos, las rectas y los planos.

y

xz

y

x

z

Representación del Punto en el Sistema Diédrico

Punto se define por sus dos proyecciones unidas por una línea de referencia perpendicular a la L.T.A la distancia del punto al Plano Horizontal le llamaremos cota y su valor es positivo si el punto se encuentra en el primer o segundo diedro. Si el punto se encuentra sobre el Plano Horizontal su cota es nula, mientras que los puntos situados en el tercer o cuarto cuadrante tienen cota negativa.A la distancia de un punto al Plano Vertical le llamaremos alejamiento y su valor será positivo si el punto se encuentra situado en el primer o cuarto diedro. Si el punto se encuentra situado sobre el Plano Vertical su alejamiento es nulo, mientras que los situados en segundo y tercer cuadrante tienen alejamiento negativo.El punto puede ocupar 17 posiciones diferentes. Si cortamos por un plano perpendicular a la L.T.(Figura 5) podemos analizar estas posiciones en cada uno de los cuadrantes.

Otras definiciones

LOS BISECTORES

Alfabeto del puntoPuntos situados en el Primer Cuadrante: (figura 6)• Los puntos situados en el primer diedro tienen

una proyección a cada lado de la L.T.• Punto A: situado sobre el P.H. de proyección,

su cota es nula, su alejamiento es positivo y la proyección vertical se encuentra situada sobre la L.T.

• Punto B: situado en el primer octante, el valor de su alejamiento es mayor que el de su cota, situándose cada proyección a un lado de la L.T.

• Punto C: al estar contenido en el primer bisector, su cota es igual a su alejamiento.

• Punto D: situado en el segundo octante, el valor de su cota es mayor que el se su alejamiento.

• Punto E: situado sobre el P.V. de proyección, su alejamiento es nulo, su cota positiva y la proyección horizontal se encuentra sobre la L.T.

Alfabeto del puntoPuntos situados en el Segundo Cuadrante: (figura 7)• Como generalidad, los puntos situados en el

segundo diedro tienen cota positiva y alejamiento negativo, por ello sus dos proyecciones se sitúan por encima de la L.T.

• Punto F: situado en el tercer octante, el valor de su cota (positiva) es mayor al de su alejamiento (negativo).

• Punto G: se sitúa sobre el segundo bisector, segundo diedro, por ello el valor de su cota y de su alejamiento son iguales pero de signo contrario, quedando sus proyecciones confundidas por encima de la L.T.

• Punto H: el valor de su alejamiento es mayor al de su cota.

• Punto I: Situado sobre el P.H., su cota es nula y su alejamiento negativo.

Alfabeto del punto

• Por similitud, pueden estudiarse los puntos contenidos en el tercer y cuarto diedro según la Figura 8 y Figura 9.

LA RECTA

Milker Porras Chapilliquén

La representación de la Recta

Una recta del espacio queda definida por sus proyecciones en ambos planos de representación diédricos. Sobre el P.H. tendremos la proyección horizontal de la recta y sobre el P.V. su proyección vertical. En el caso de una recta perpendicular a uno de los planos de representación, una de sus proyecciones es un punto, necesitando una tercera proyección en un plano de perfil para definirla.

Las trazas de la rectaLos puntos donde una recta corta a cada plano de proyección se les denominan trazas de la recta. A la intersección de la recta con el P.H. le denominaremos traza horizontal (H’-H’’) y con el P.V. de proyección traza vertical (V’-V’’). Conocidas sus trazas la recta queda definida.Una recta puede pasar como máximo por tres diedros.La parte comprendida en el Primer Diédro será vista y es aquella comprendida entre sus trazas horizontal y vertical.Cuando las dos proyecciones de la recta se encuentran por debajo dela L.T., este tramo se encuentra en el Cuarto Diedro.Cuando las dos proyecciones se encuentran por encima dela L.T., este tramo se encuentra en el Segundo Diedro. En ambos casos las proyecciones son ocultas.

Puntos donde una recta corta al Primer Bisector y al Segundo Bisector

• Repasando las posiciones de un punto en el sistema diédrico, un punto situado en el Primer Bisector tiene igual cota que alejamiento, y un punto situado sobre el Segundo Bisector tiene también igual cota que alejamiento pero de signo contrario, con lo cual sus proyecciones se encuentran confundidas.

• Para hallar el punto de la recta que corta al Primer Bisector trazamos una línea auxiliar a partir de la traza H'’ con ángulo igual al que forma la proyección vertical con la L.T.(figura 10). El punto obtenido tiene igual cota que alejamiento (B’-B’’), con lo cual pertenece al Primer Bisector.

• Para hallar el punto de la recta que corta al Segundo Bisector, alargamos las proyecciones de la recta hasta cortarse (C'-C''), punto con las proyecciones confundidas por encima de la L.T.

Rectas paralelas al Plano Horizontal de Proyección

• Estas rectas son conocidas con el nombre de "recta horizontal".

• La proyección vertical de la recta es paralela a la L.T., mientras que la proyección horizontal es una recta cualquiera. No tiene traza horizontal al no cortar al Plano Horizontal de proyección (PH).

• Si a partir de la traza vertical situada sobre la L.T. trazamos una línea auxiliar con ángulo igual al que forma la proyección horizontal obtenemos el punto B1-B2. Este punto, al tener la misma cota que alejamiento, es el punto de intersección con el Primer Bisector.

Rectas paralelas al Plano Horizontal de Proyección

El punto C1-C2 tiene también el mismo valor de cota y alejamiento, pero de signo contrario, es decir, con sus proyecciones confundidas. Este es el punto de intersección con el Segundo Bisector.

Rectas paralelas al Plano Vertical de Proyección.

• Estas rectas son conocidas con el nombre de “recta frontal”.

• La proyección horizontal de la recta es paralela a la L.T., mientras que la proyección vertical es una recta cualquiera. No tiene traza vertical al no cortar al Plano Vertical de proyección (PV).

• Si a partir de la traza horizontal situada sobre la L.T.trazamos una línea auxiliar con ángulo igual al que forma la proyección vertical obtenemos el punto B1-B2. Este punto, al tener la misma cota que alejamiento, es el punto de intersección con el Primer Bisector.

• El punto C1-C2 tiene también el mismo valor de cota y alejamiento, pero de signo contrario, es decir, con sus proyecciones confundidas. Este es el punto de intersección con el Segundo Bisector.

Rectas perpendiculares a los Planos de Proyección.• Rectas perpendiculares a los

planos de proyección. ( figura 11 – figura 12)

• También denominadas rectas de punta, tienen como generalidades:

• Una de sus proyecciones será un punto.

• La otra proyección será perpendicular a la L.T.

• Rectas perpendiculares al Plano de proyección Vertical.

• Estas rectas, al no cortar al P.H. de proyección, no tienen traza horizontal.

• La recta d, perpendicular al P.V. tiene como proyección vertical el punto d2. Sólo tiene traza vertical (V1-V2).

• La recta e al estar contenida en el Plano Horizontal de proyección, tiene como proyección vertical un punto sobre la Línea de Tierra (e2).

• La recta f igualmente tienen como proyección vertical un punto (f2) y al estar en el Segundo Diedro tiene su proyección oculta.

• Rectas perpendiculares al Plano de proyección Horizontal.

• Al no cortar al Plano Vertical de proyección estas rectas no tienen traza Vertical.

• La recta g tiene como proyección horizontal el punto g1.

• La recta h tiene como proyección horizontal un punto h1 contenido en la L.T.

• La recta i tiene su proyección oculta al encontrarse en el Segundo Diedro.

Rectas oblicuas a los Planos de Proyección.• La parte de una recta en el Primer Diédro tiene una proyección a cada lado de la L.T. y toda ella es vista.• La parte de una recta en el Segundo Diédro tiene sus dos proyecciones por encima de la L.T. y es oculta.• La parte de la recta en el Tercer Diédro tiene sus dos proyecciones por debajo de la L.T. y es oculta.• En la figura 17 y figura 18 se representa una recta que pasa por el Primero, Segundo y Tercer Diédro.• El punto B1-B2 es donde la recta corta al Segundo Bisector.

Otros tipos

EL PLANO

Milker Porras Chapilliquén

El plano en el Sistema Diédrico.

Un plano queda definido por:

• Tres puntos no alineados.

• Una recta y un punto no perteneciente a ella.

• Dos rectas paralelas.

• Dos rectas que se cortan.

• Como generalidad, en el Sistema Diédrico vamos a definir los planos por dos rectas que se cortan, tomando para ello las llamadas trazas de un plano: son las rectas donde el plano corta a los dos planos de proyección y que a su vez se cortan en un punto sobre la Línea de Tierra (P).

• Sea el plano ∞. Este plano corta al vertical de proyección (P.V.) en la recta r cuyas proyecciones son r1-r2 y al plano horizontal de proyección en (P.H.) en la recta t con proyección t1-t2. Ambas rectas se cortan en el punto P sobrela L.T.

• Las rectas r y t, al estar contenidas en los planos de proyección del sistema, tienen una de sus proyecciones confundidas con la L.T.

Pertenencia de unarecta a un plano• Una recta r está contenida en un plano

∞ cuando las trazas de la recta están contenidas en las trazas del plano con el mismo nombre. En la figura 22 podemos apreciar como la traza vertical de la recta (punto V) están contenidas en la traza vertical del plano. Igualmente ocurre con la traza horizontal de la recta (punto H).

• El punto A pertenece al plano ∞ porque sus proyecciones están contenidas en una recta perteneciente al plano.

• El punto B (figura 23) pertenece al plano ß porque pertenece a una recta de este plano. Al ser un punto contenido en las trazas del plano se le denomina punto trácito.

Rectas características de un plano.

Un punto no puede situarse en un plano de forma arbitraria: debe pertenecer a una recta de ese plano. Por su sencillez, las rectas idóneas que nos permitirán hallar puntos contenidos en un plano son las rectas horizontales y frontales del plano.

Recta Horizontal del Plano α.• Es la recta contenida en el plano

α que a su vez es horizontal al Plano Horizontal de proyección (P.H.), con lo cual sólo posee traza vertical V (V1-V2).

• La traza vertical de la recta V2 está sobre la traza vertical del plano α2. La proyección de la recta r2 es paralela a la L.T. y la proyección r1 es paralela a la traza horizontal del plano α1.

Recta Horizontal del Plano α.

Recta Frontal del Plano β.

Es la recta contenida en el plano β que a su vez es paralela al Plano Vertical de proyección (P.V.), con lo cual sólo posee traza horizontal H (H1-H2).

Recta Frontal del Plano β.