Expresion Grafica en La Ingenieria

Índice

Tema 1. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN.

1.1. Introducción Pág. 1 1.2 Sistemas de representación Pág. 1 Tema 2. SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO. 2.1. Generalidades del sistema diédrico Pág. 11 2.2. Representación del punto Pág. 13 2.3. Alfabeto del punto Pág. 15 2.4. Representación de la recta Pág. 17 2.5. Trazas de la recta Pág. 18 2.6. Partes vistas y ocultas en la recta proyectada Pág. 19 2.7. El punto sobre la recta Pág. 21 2.8. Posición relativa de dos rectas Pág. 22 2.9. Alfabeto de la recta Pág. 23 2.10. Representación del plano. Trazas de un plano Pág. 28 2.11. Recta y puntos situados en un plano Pág. 29 2.12. Rectas particulares de un plano: horizontales, frontales, de máxima pendiente y de máxima inclinación Pág. 30 2.13. Alfabeto del plano Pág. 34 2.14. Formas planas Pág. 39 Tema 3. SISTEMA DIÉDRICO. INTERSECCIONES. 3.1. Intersección de planos Pág. 41 3.2. Intersección de planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo Pág. 42 3.3. Casos particulares de intersecciones de planos Pág. 43 3.4. Intersección de recta y plano Pág. 50 3.5. Casos particulares de intersección de rectas y planos Pág. 51 3.6. Intersección de una recta con un plano dado por dos rectas que se cortan Pág. 54 3.7. Recta que se apoya en otras tres Pág. 55 3.8. Recta que se apoya en otras dos y que es paralela a un plano Pág. 56 3.9. Recta que se apoya en otras dos y es paralela a otra recta Pág. 57

Expresión Gráfica en la Ingeniería

Tema 4. SISTEMA DIÉDRICO. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. 4.1. Rectas paralelas. Paralelismo entre dos rectas de perfil Pág. 59 4.2. Planos paralelos Pág. 59 4.3. Paralelismo entre recta y plano Pág. 61 4.4. Perpendicularidad. Teorema de las tres perpendiculares Pág. 62 4.5. Recta perpendicular a un plano Pág. 63 4.6. Perpendicularidad entre planos Pág. 64 4.7. Perpendicularidad entre rectas Pág. 66 4.8. Recta perpendicular a otras dos rectas que se cruzan. Mínima distancia entre dos rectas Pág. 67 Tema 5. SISTEMA DIÉDRICO. ABATIMIENTOS. 5.1. Generalidades Pág. 69 5.2. Determinación de la posición de una recta al abatir el plano que la contiene Pág. 71 5.3. Abatimiento sobre planos paralelos a los de proyección Pág. 72 5.4. Abatimiento de los planos en posiciones particulares Pág. 72 5.5. Determinación de la verdadera magnitud de una forma plana dada por sus proyecciones Pág. 76 5.6. Restitución de formas abatidas Pág. 78 Tema 6. HOMOLOGÍA. 6.1. Introducción Pág. 79 6.2. Elementos fundamentales de una homología Pág. 80 6.3. Casos particulares de una homología Pág. 81 6.4. Teorema de las tres homologías Pág. 83 6.5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el plano Pág. 84 6.6. Homología entre la proyección y el abatimiento de una forma plana Pág. 88 6.7. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana Pág. 90 Tema 7. SISTEMA DIÉDRICO. GIROS. 7.1. Generalidades Pág. 93 7.2. Giro de un punto Pág. 93 7.3. Giro de una recta Pág. 94 7.4. Giro de un plano Pág. 96 Tema 8. SISTEMA DIÉDRICO. CAMBIOS DE PLANO. 8.1. Generalidades Pág. 99 8.2. Proyecciones de una recta tras un cambio de plano Pág. 100 8.3. Trazas de un plano tras un cambio de plano Pág. 102 Tema 9. SISTEMA DIÉDRICO. DISTANCIAS, ÁNGULOS Y PENDIENTES. 9.1. Distancia entre dos planos Pág. 105 9.2. Distancia de un punto a un plano Pág. 108

F. Agüera, F.J. Aguilar, F. Carvajal, M.A. Aguilar, B. Navarro.

9.3. Distancia de un punto a una recta Pág. 109 9.4. Distancia entre dos rectas paralelas Pág. 110 9.5. Distancia entre dos planos paralelos Pág. 114 9.6. Distancia entre dos rectas que se cruzan Pág. 115 9.7. Ángulo que forman dos rectas Pág. 116 9.8. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección Pág. 118 9.9. Ángulo formado por una recta y un plano Pág. 120 9.10. Ángulo formado por dos planos Pág. 121 9.11. Ángulo que forma un plano con los de proyección Pág. 122 9.12. Pendiente de una recta Pág. 124 Tema 10. POLIEDROS. 10.1. Clasificación de las superficies. Poliedros Pág. 125 10.2. Representación de poliedros. Contorno aparente Pág. 128 10.3. Representación del tetraedro Pág. 130 10.4. Representación del hexaedro regular o cubo Pág. 132 10.5. Representación del octaedro Pág. 133 10.6. Representación del dodecaedro Pág. 134 10.7. Representación del icosaedro Pág. 135 10.8. Intersección de una recta con un poliedro Pág. 136 10.9. Secciones planas de los poliedros Pág. 137 10.10. Desarrollo de poliedros regulares Pág. 137 Tema 11. EL PRISMA 11.1. Introducción Pág. 139 11.2. Representación del prisma Pág. 140 11.3. Sección plana de la superficie prismática Pág. 143 11.4. Intersección de una recta y un prisma Pág. 146 11.5. Desarrollo del prisma Pág. 147 Tema 12. LA PIRÁMIDE 12.1. Introducción Pág. 149 12.2. Representación de la pirámide Pág. 149 12.3. Sección plana de la pirámide Pág. 150 12.4. Intersección de una recta y una pirámide Pág. 152 12.5. Desarrollo de la pirámide Pág. 153 Tema 13. EL CONO 13.1. Introducción Pág. 155 13.2. Representación del cono Pág. 156 13.3. Secciones planas de una superficie cónica Pág. 157 13.4. Desarrollo de la superficie cónica Pág. 160 13.5. Transformada de la sección Pág. 163 13.6. Intersección de una recta y un cono Pág. 164

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Tema 14. EL CILINDRO 14.1. Introducción Pág. 165 14.2. Representación del cilindro Pág. 166 14.3. Secciones planas de una superficie cilíndrica Pág. 167 14.4. Desarrollo de la superficie cilíndrica Pág. 168 14.5. Intersección de una recta y un cilindro Pág. 169 Tema 15. LA ESFERA 15.1. Introducción Pág. 171 15.2. Representación de la esfera Pág. 171 15.3. Secciones planas de una superficie esférica Pág. 173 15.4. Intersección de una recta y una esfera Pág. 175 Tema 16. EL TORO 16.1. Representación Pág. 177 16.2. Secciones planas de un toro Pág. 178 Tema 17. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN AXONOMÉTRICO 17.1. Introducción a los sistemas de representación axonométricos ortogonal y oblicuo Pág. 181 17.2. Fundamentos del sistema axonométrico ortogonal Pág. 183 17.3. Determinación del valor del coeficiente de reducción en el sistema isométrico Pág. 184 17.4. Teorema de Schlömilch-Weisbach Pág. 185 17.5. Representación del punto, recta y plano en el sistema isométrico Pág. 187 17.6. Resolución de intersecciones en axonométrico Pág. 196 17.7. Determinación de distancias Pág. 198 17.8. Paralelismo y perpendicularidad Pág. 199 17.9. Abatimientos Pág. 202 17.10. Línea de máxima pendiente de un plano Pág. 205 17.11. Perspectiva axonométrica de la circunferencia Pág. 206 17.12. Problemas sobre axonometría Pág. 209 Tema 18. PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA 18.1. Fundamentos de la perspectiva caballera Pág. 213 18.2. Representación del punto, recta y plano en perspectiva caballera Pág. 214 18.3. Representación de formas circulares en perspectiva caballera Pág. 218 18.4. Fundamentos de la perspectiva cónica Pág. 219 18.5. Construcción de perspectivas cónicas Pág. 222 18.6. Perspectiva cónica en los sistemas CAD Pág. 225 Tema 19. NORMALIZACIÓN DEL DIBUJO TÉCNICO 19.1. Necesidad y procedimiento Pág. 227 19.2. Clasificación, elaboración y designación de las normas Pág. 228


19.3. Tipología de los dibujos técnicos Pág. 230 19.4. Formatos y rotulación Pág. 233 19.5. Líneas normalizadas Pág. 238 19.6. Números normales Pág. 240 Tema 20. PRINCIPIOS GENERALES DE REPRESENTACIÓN NORMALIZADA 20.1. Introducción Pág. 243 20.2. Vistas convencionales Pág. 244 20.3. Sistemas de proyección normalizados Pág. 245 20.4. Vistas particulares Pág. 250 20.5. Cortes, secciones y roturas Pág. 253 20.6. Otros convencionalismos en el dibujo técnico Pág. 260 20.7. El documento planos en el dibujo de ingeniería Pág. 265 Tema 21. ACOTACIÓN DE DIBUJOS TÉCNICOS 21.1. Introducción Pág. 267 21.2. Tipos de acotación Pág. 267 21.3. Funcionalidad de las cotas Pág. 268 21.4. Normas generales de acotación Pág. 268 21.5. Elementos de acotación Pág. 270 21.6. Disposición de las cotas en los dibujos técnicos Pág. 279 21.7. Casos particulares Pág. 281

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TEMA 1.

Geometría Descriptiva y Sistemas de Representación

1.1. Introducción.

La Geometría Descriptiva es la rama de la Geometría que trata de los sistemas de representación, o sea, de los métodos sistemáticos que permiten trasladar a un plano los elementos que forman cualquier cuerpo del espacio, permitiendo además, resolver en este plano todos los problemas que se puedan plantear respecto al sólido. Todos los sistemas de representación se basan en recursos proyectivos, y entre ellos se pueden mencionar el sistema de planos acotados, diédrico, axonométrico o cónico. La reversibilidad de un sistema de representación es una condición indispensable para que sea válido. Esto quiere decir que además de poder representar en un plano el cuerpo que se desee, se debe poder, a partir de dicha representación, restituir el cuerpo sin ningún tipo de ambigüedades. 1.2.-Sistemas de representación.

Como ya se ha dicho, todos los sistemas de representación se apoyan en recursos proyectivos. A continuación se definen los elementos que intervienen en una proyección. La proyección de un punto sobre un plano es la intersección del rayo proyectante que pasa por ese punto con dicho plano, llamado plano de proyección. En la Fig. 1.1, la proyección del punto A sobre el plano P es el punto a, siendo el rayo proyectante el segmento Aa. Si los rayos proyectantes parten de un punto propio la proyección se denomina central o cónica (Fig. 1.2), denominándose a su vez centro de proyección al punto desde donde parten (O). Cuando los rayos proyectantes son paralelos a una dirección (y por tanto paralelos entre sí) la proyección se denomina cilíndrica o paralela, que puede ser ortogonal (Fig. 1.3a) u oblicua (Fig. 1.3b) según la dirección de los rayos proyectantes sea perpendicular o no al plano de proyección.


Figura 1.1

Figura 1.2

Figura 1.3

1.2.1.-Propiedades fundamentales de la proyección cónica. Algunas propiedades de la proyección cónica pueden resumirse de la siguiente forma: 1.-La proyección de un segmento rectilíneo es otro segmento rectilíneo que se obtendrá uniendo las proyecciones a y b de dos puntos cualquiera A y B de dicho segmento (Fig. 1.4). Si la recta que contiene al segmento pasa por el centro de proyección, su proyección se

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reduce a un punto. Este es el caso de la recta T de la Figura 1.8, la cual se proyecta en el punto b.

Figura 1.4

2.-El punto medio (M) de un segmento no tiene por qué proyectarse en el punto medio de la proyección de dicho segmento (Fig. 1.5).

Figura 1.5

3.-El punto de intersección I de dos rectas R y S que se cortan, se proyecta en el punto i, intersección de las proyecciones r y s de dichas rectas (Fig. 1.6). 4.-Las proyecciones de dos rectas paralelas en el espacio no son paralelas entre sí. El plano proyectante de la recta R (definido por R y O) y el de la recta S (definido por S y O) se cortan según la recta OF (Fig. 1.7a), paralela a su vez a R y S. Como las proyecciones r y s son las intersecciones de los respectivos planos proyectantes con el plano de proyección, estas deben cortarse en el punto F. Si las rectas son paralelas entre sí y al plano de proyección, sus proyecciones también lo serán. En este caso OF será paralela al plano de proyección (Fig. 1.7b), lo que obliga a que r y s sean paralelas, ya que éstas deben cortarse con OF en su punto de intersección con el plano de proyección, que en este caso está en el infinito.

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Figura 1.6

Figura 1.7

5.-La proyección de una curva es otra curva, intersección de la superficie cónica de vértice el centro de proyección O y directriz la curva dada, con el plano de proyección P (Fig. 1.8).

Figura 1.8

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Si se tratase de una curva plana cuyo plano pasara por el centro de proyección, su proyección sería una recta 6.-Si una recta corta a una curva, los puntos de intersección se proyectarán sobre la intersección de sus proyecciones (Fig.1.9).

Figura 1.9

7.-Si una recta es tangente a una curva en un punto T, la proyección de la recta será tangente a la proyección de la curva en la proyección t del punto de tangencia T (Fig. 1.10). Este caso puede considerarse como uno particular del anterior, en el que la recta se ha girado alrededor de uno de los puntos de corte con la curva hasta hacerla tangente.

Figura 1.10

1.2.2.-Propiedades fundamentales de la proyección cilíndrica. La proyección cilíndrica conserva las propiedades de la proyección cónica, adquiriendo además las propiedades derivadas del paralelismo de los rayos proyectantes. Entre ellas se pueden destacar:

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1.-La proyección del punto medio (M) de un segmento es el punto medio de la proyección del segmento (Fig. 1.11).

Figura 1.11

2.-La proyección de una figura situada en un plano paralelo al de proyección es otra figura igual a la primera (Fig. 1.12). Esto es debido a que las secciones producidas por planos paralelos en el sólido que definen los rayos proyectantes, son iguales.

Figura 1.12

3.-Las proyecciones de rectas paralelas son rectas paralelas (Fig. 1.13). Esto es debido a que los planos proyectantes de las rectas son paralelos, y por tanto, sus intersecciones con el plano de proyección también lo serán.

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Figura 1.13

1.2.3.-Propiedades fundamentales de los sistemas de representación. Se hará mención a los más usados: diédrico, planos acotados, axonométrico y cónico. 1.2.3.1.-Diédrico. Este sistema de representación utiliza proyecciones cilíndrico-ortogonales sobre dos planos perpendiculares entre si, llamados plano horizontal de proyección y plano vertical de proyección. La intersección de ambos planos se denomina línea de tierra (Fig. 1.14). La figura proyectada sobre el plano horizontal se denomina planta y la proyectada sobre el plano vertical se denomina alzado. Eventualmente puede usarse un plano auxiliar de proyección perpendicular a los planos horizontal y vertical de proyección, denominado plano de perfil. Las proyecciones sobre este plano reciben el nombre de vistas laterales o perfiles.

Figura 1.14

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1.2.3.2.-Planos acotados. En este sistema se trabaja con una sola proyección cilíndrico ortogonal sobre un plano horizontal, denominado plano de comparación (Fig. 1.15). Sobre la proyección de cada punto se coloca una cifra que indica la distancia a dicho plano de comparación (cota), afectada del signo + ó - según el punto esté por encima o por debajo del plano de comparación.

Figura 1.15

1.2.3.3.-Axonométrico. Se basa en proyectar cilíndrico-ortogonalmente el objeto en cuestión y el triedro de referencia sobre un plano que corta a los ejes cartesianos y que se denomina plano del cuadro o plano del dibujo.

Figura 1.16

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En este sistema se manejan cuatro proyecciones: la directa y las correspondientes a cada proyección del punto sobre los planos del triedro (serán proyecciones de proyecciones). En la Fig. 1.16 el punto A se ha referido al sistema cartesiano X, Y y Z por medio de las proyecciones A1, A2 y A3, sobre los planos coordenados. A continuación se ha proyectado ortogonalmente sobre el plano del cuadro (plano P) cada una de estas proyecciones (obteniendo A1’, A2’ y A3’), el punto A (obteniendo la proyección directa A’), y los ejes cartesianos (obteniendo X’, Y’ y Z’). 1.2.3.4.-Cónico. El sistema de representación cónico o central no suele usarse con profusión en el campo del dibujo de ingeniería, donde ha sido relegado a un segundo plano por el sistema axonométrico, debido a la dificultad de su trazado y su inoperancia en la toma de medidas o realización de los cálculos más elementales. Sin embargo, es el

a de representación que mejor simula la percepción de la realidad tal y como la ntiende el ojo humano. Si tenemos en cuenta que este efecto de perspectiva realista se

es

ión de modelos tridimensionales a pequeña escala fachadas de edificios en arquitectura).

dibuja la

geométricossistemeiguala al obtenido con el sistema axonométrico cuando el tamaño del objeto representado es menor que la distancia desde la que se observa, comprenderemos por qué el sistema cónico es básicamente empleado en la representación de objetos de gran tamaño,decir, casi exclusivamente en construcciones de arquitectura o ingeniería civil. Por otra parte, no olvidemos que el desarrollo de la proyección bicentral o “doble perspectiva” sentó las bases de la fotogrametría, de trascendental importancia hoy día, tanto en levantamientos topográficos a gran escala (por ejemplo obras lineales de ingeniería civil), como en la obtenc(por ejemplo la restitución fotogramétrica de El sistema cónico, en su versión más general, emplea dos proyecciones centrales sobre el plano del cuadro. La primera se refiere a la geometría de la figura a representar. La segunda viene dada por la proyección ortogonal del sólido sobre un plano perpendicular al plano del cuadro, llamado plano geometral. Ambas proyecciones centrales son necesarias para la restitución geométrica del objeto representado, aunque, al igual que ocurre en axonométrico, sólo suele emplearse la primera, pues es la que, en la práctica, mejor define la configuración tridimensional de la figura.

Los elementos que intervienen en la proyección central son los siguientes: el centro de proyección V, o punto de vista, que es el lugar donde se sitúa el observador para “ver” el objeto. El plano del cuadro, o de proyección, que es el plano sobre el que seperspectiva de la figura, dada por la sección producida por dicho plano sobre la radiación de rectas de vértice V. La distancia desde el punto V al plano del cuadro se denomina alejamiento. La proyección ortogonal de V sobre el plano del cuadro, dada por el denominado rayo principal, nos define el punto principal P. El plano de horizonte contiene al centro de proyección y es perpendicular al plano del cuadro, a la vez que paralelo al plano geometral u horizontal. La intersección del plano de horizonte con el plano del cuadro da lugar a la línea de horizonte, mientras que la intersección del plano geometral con el mismo plano del cuadro define la línea de tierra.

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El plano de desvanecimiento es paralelo al plano del cuadro, y contiene al centro de proyección. La intersección de ambos da lugar a la línea de desvanecimiento.

Las únicas referencias que existen en el dibujo son el punto principal P y la distancia de V al plano del cuadro, la cual suele venir representada por una circunferencia con centro en P y radio la distancia d de V al plano del cuadro (Fig. 1.18). A esta circunferencia se le llama círculo distancia.

Figura 1.17

Figura 1.18

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TEMA 2.

Sistema Diédrico. El Punto, la Recta y el Plano.

2.1. Generalidades del Sistema Diédrico.

En el Sistema de Representación Diédrico, también conocido como sistema de doble proyección o de Monge, se aplica la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección perpendiculares entre sí llamados plano horizontal (H) y plano vertical (V) (Fig. 2.1). La intersección de ambos planos se llama línea de tierra y divide a éstos en dos semiplanos denominados horizontal anterior y posterior, y vertical superior e inferior.

Figura 2.1

Los planos de proyección se consideran ilimitados, quedando el espacio dividido en cuatro sectores llamados cuadrantes que se identifican generalmente con números romanos. El observador se supone siempre situado en el primer cuadrante, es decir, sobre el semiplano horizontal anterior y frente al semiplano vertical superior.

En el tema anterior se dijo que el objeto de la Geometría Descriptiva es representar sobre un plano las figuras del espacio y en este sistema se utilizan dos planos de proyección. Por tanto hay que recurrir a un artificio consistente en proyectar la figura sobre cada uno de los planos de proyección, y en segundo lugar hacer girar el plano vertical V alrededor


de la línea de tierra, en el sentido indicado por las flechas de la Fig. 2.2, hasta hacerlo coincidir con el horizontal.

Figura 2.2

De esta forma los planos horizontal y vertical de proyección quedan representados en uno sólo en el que se señala, como referencia, la LT. En la parte inferior de los extremos de la LT se dibujan dos trazos. El semiplano vertical superior (que se confundirá después del giro con el horizontal posterior) se sitúa por encima de ellos, mientras que el semiplano horizontal anterior (que se confundirá después del giro con el vertical inferior) se encuentra por debajo.

Figura 2.3

Los planos bisectores se definen como aquellos que, conteniendo a la línea de tierra, dividen simétricamente a los cuatro cuadrantes. Si se consideran los dos planos de proyección y los dos bisectores, llamados primer y segundo bisector (Fig. 2.3), el espacio queda definido en ocho sectores llamados octantes.

El primer bisector pasa por el primer y tercer cuadrante, y el segundo bisector por el segundo y cuarto cuadrante.

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2.2.-Representación del punto.

Sea A un punto cualquiera del espacio situado en el primer cuadrante (Fig. 2.4).

Como es característico de este sistema de representación, los rayos proyectantes Aa y Aa’ son perpendiculares a los planos de proyección (proyección cilíndrico ortogonal). Por tanto, el plano que contiene a dichos rayos proyectantes es perpendicular a los planos de proyección y a la LT, y cortará a los planos H y V según las rectas Oa y Oa' respectivamente, siendo éstas también perpendiculares a la LT. La proyección vertical del punto A se identifica mediante a' y la proyección horizontal por a.

Figura 2.4

Figura 2.5

En lo sucesivo se empleará esta notación, según la cual se designará un punto en el espacio con una letra mayúscula (p.e, A), su proyección horizontal por la misma letra minúscula (a), y la proyección vertical con la letra minúscula con apóstrofe (a'). El resultado, una vez girado el plano vertical, se representa en la Fig. 2.5, en la que se observa que el segmento que une a las proyecciones de cualquier punto debe ser perpendicular a la LT.

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Se llama cota de un punto A, a su distancia al plano horizontal de proyección y alejamiento la distancia al vertical. Por tanto la cota de un punto estará representada por la distancia de su proyección vertical a la LT, mientras que el alejamiento vendrá dado por la distancia de su proyección horizontal a la LT (Fig. 2.6).

Figura 2.6

En ocasiones se utiliza un tercer plano de proyección perpendicular a los planos horizontal y vertical de proyección, llamado de perfil (P), que proporciona otro punto de vista del objeto y complementa la información que aportan las proyecciones horizontal y vertical.

Figura 2.7

De igual modo que se obtienen las proyecciones horizontal y vertical del punto A, mediante una proyección cilíndrico-ortogonal, se determina la proyección sobre el plano de perfil, obteniendo a'', nomenclatura usada para todas las proyecciones de perfil (Fig. 2.7).

Para obtener la representación plana del punto, se realizarán dos abatimientos consecutivos. Primero se gira, en sentido antihorario, el plano P alrededor de su recta intersección con el plano V hasta hacerlo coincidir precisamente con este último. Posteriormente se gira el conjunto V-P alrededor de la LT hasta hacerlo coincidir con H. El resultado es la representación plana de la Fig. 2.8, en la que la línea continua

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perpendicular a la LT, también llamada traza de perfil, es la intersección entre los planos de proyección y el de perfil P.

Figura 2.8

El punto cuyas proyecciones se muestran en la Fig. 2.8. se encuentra en el primer cuadrante, mientras que en las Fig. 2.9a, 2.9b y 2.9c se representan las proyecciones horizontal, vertical y de perfil de puntos situados en el segundo, tercer y cuarto cuadrante respectivamente, tal y como se discutirá en el siguiente apartado.

Figura 2.9

2.3.-Alfabeto del punto.

Los puntos pueden ocupar en el espacio infinitas posiciones, que se agrupan en un número reducido de clases, según su distancia a los planos de proyección horizontal y vertical. La Fig. 2.10 muestra dichas posiciones tanto en el espacio, colocando en posición de perfil a los planos de proyección, como en su representación diédrica.

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Figura 2.10

Como se puede observar, un punto se puede encontrar:

− Sobre el semiplano horizontal anterior (A1).

− En el primer cuadrante, y contenido en el primer o segundo octante respectivamente (A2, A4).

− En el primer cuadrante, sobre el primer bisector (A3).

− Sobre el semiplano vertical superior (A5).

− En el segundo cuadrante, y contenido en el tercer o cuarto octante respectivamente (A6, A8).

− En el segundo cuadrante, sobre el segundo bisector (A7).

− Sobre el semiplano horizontal posterior (A9).

− En el tercer cuadrante, y contenido en el quinto o sexto octante respectivamente (A10, A12).

− En el tercer cuadrante, sobre el primer bisector (A11).

− Sobre el semiplano vertical inferior (A13).

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− En el cuarto cuadrante, y contenido en el séptimo u octavo octante respectivamente (A14, A16).

− En el cuarto cuadrante, sobre el segundo bisector (A15).

− Sobre la línea de tierra (A17).

Los puntos situados en el primer cuadrante tienen su proyección horizontal por debajo de la LT y la proyección vertical sobre de ella. Los puntos de este cuadrante y situados sobre el primer bisector tendrán igual cota que alejamiento.

Los puntos situados en el semiplano horizontal anterior tienen su proyección horizontal por debajo de la LT y la proyección vertical sobre la LT.

Los puntos situados en el semiplano vertical superior tienen su proyección vertical por encima de la LT y la proyección horizontal sobre la LT.

Para definir la posición de las proyecciones de los restantes puntos respecto a la LT se procede de igual forma, sin olvidar que el abatimiento del plano vertical sobre el horizontal condiciona la situación de las proyecciones. En general se debe recordar:

Primer cuadrante: proyección horizontal debajo de la LT y vertical encima.

Segundo cuadrante: ambas proyecciones encima de la LT.

Tercer cuadrante: proyección horizontal encima de la LT y vertical debajo.

Cuarto cuadrante: ambas proyecciones debajo de la LT.

Los planos horizontal y vertical de proyección se pueden definir como el lugar geométrico de los puntos que tienen una proyección sobre la LT, mientras que los bisectores son el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos horizontal y vertical de proyección. 2.4.-Representación de la recta.

La proyección de una recta sobre un plano se obtiene sólo con unir las proyecciones de dos de los puntos de esa recta. Por tanto, en sistema diédrico, el método general para representar una recta es obtener las proyecciones de dos de sus puntos y unirlas ordenadamente.

En la Fig. 2.11 se ha representado una recta R de la que se han tomado dos puntos cualesquiera A y B. La proyección horizontal de R (r), es la recta que une la proyección horizontal de A (a) con la de B (b), y la vertical (r') es la recta que une la proyección vertical de A (a') con la de B (b'). La Fig. 2.11 también representa la recta R en el sistema diédrico, así como los puntos auxiliares que se han usado para su definición.

Las proyecciones de una recta no deben cumplir ninguna condición, es decir, cualquier par de rectas r y r' pueden ser proyecciones de una recta R en el espacio.

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Figura 2.11

2.5.-Trazas de la recta.

Ya se ha comentado que la definición de una recta se realiza a través de cualquier par de puntos pertenecientes a ella. Sin embargo, lo más frecuente es utilizar, en caso de existir, dos puntos particulares llamados trazas con los planos de proyección o simplemente trazas de la recta.

Se definen las trazas o puntos notables de una recta como los puntos de intersección de la misma con los planos de proyección y con los bisectores. En la Fig. 2.12 los puntos H y V son las trazas de la recta R con los planos horizontal y vertical de proyección, que se denominan traza horizontal y traza vertical, respectivamente. Las intersecciones con los bisectores se llaman traza con el primer bisector y traza con el segundo bisector.

Figura 2.12

La manera de hallar estas cuatro trazas es fácil. Por un lado, la traza horizontal (H), como punto perteneciente a la recta R, tiene sus proyecciones h’ y h sobre r’ y r respectivamente. Además pertenece al plano horizontal por lo que su proyección vertical h' estará sobre la LT. Luego si h' está en la LT y sobre r', entonces h' será la intersección de r' y la LT, pudiéndose enunciar la regla siguiente:

Para hallar la traza horizontal de una recta en el Sistema Diédrico, se prolonga su proyección vertical hasta la LT, donde se encontrará h'. Por este punto se traza una

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perpendicular a la LT hasta cortar a la proyección horizontal de la recta, obteniendo h (Fig. 2.13).

De forma análoga se puede deducir lo siguiente para la traza vertical:

Para hallar la traza vertical de una recta en el Sistema Diédrico se prolonga su proyección horizontal hasta la LT, donde estará v. Por este punto se traza una perpendicular a la LT hasta cortar a la proyección vertical de la recta, obteniendo v'.

El mismo razonamiento se puede aplicar para la determinación de las trazas con los bisectores. La traza M con el primer bisector es un punto que, además de tener sus proyecciones sobre las de la recta por pertenecer a ella, éstas deben ser equidistantes de la LT por estar contenidas en el primer bisector. Por tanto, para hallar la traza de una recta con el primer bisector, se halla la simétrica de una de las proyecciones de la recta respecto a la LT, y su intersección con la otra proyección nos determina una de las proyecciones de la traza.

La traza N con el segundo bisector tendrá sus proyecciones confundidas, y por pertenecer a la recta deben encontrarse sus proyecciones sobre las proyecciones homónimas de la recta. Entonces, la traza de una recta con el segundo bisector viene determinada por la intersección de sus proyecciones horizontal y vertical.

En la Fig. 2.13 se explica gráficamente como se obtiene cada una de las trazas de una recta.

Figura 2.13

2.6.-Partes vistas y ocultas en la recta proyectada.

Como ya se expuso en su momento, en sistema diédrico el observador se supone situado en el primer cuadrante y por tanto percibirá directamente cualquier punto situado en él, sobre los semiplanos horizontal anterior y vertical superior y sobre la LT, quedando ocultos aquellos que se encuentren en el resto de los cuadrantes y semiplanos.

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Los puntos traza de una recta con los planos de proyección definen los segmentos de esa recta que pertenecen a los distintos cuadrantes. Basándose en este principio, y para determinar las partes vistas y ocultas de una recta, se admite como regla general que el segmento de recta comprendido entre sus trazas será visto y el resto de recta oculto si y sólo si dichas trazas son puntos vistos.

Figura 2.14

En la Fig. 2.14 la recta R tiene sus dos trazas vistas y por tanto el segmento comprendido entre ellas será visto y el resto oculto. La parte oculta de una recta se suele representar con línea a trazos.

Figura 2.15

Análogamente, en la Fig. 2.15 la recta R tiene oculta su traza horizontal y vista la vertical. Por lo tanto es vista desde esta última hacia la derecha y oculta desde la primera hacia la izquierda. Puede decirse que cuando una recta tiene vista sólo una traza, es oculta a partir de ésta en la zona que abarca a la traza oculta.

En el supuesto de que las dos trazas sean puntos no vistos toda la recta será no vista. En la Fig. 2.16 se representa una recta de estas características.

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Figura 2.16

Como se puede comprobar fácilmente, una recta puede pasar por tres cuadrantes como máximo.

2.7.-El punto sobre la recta.

La condición necesaria y suficiente para que un punto esté contenido en una recta es que las proyecciones del punto estén contenidas en las proyecciones homónimas de la recta.

Figura 2.17

La excepción a esto lo constituyen las rectas paralelas al plano de perfil o rectas de perfil, que se definirán en el apartado 2.9. Este es el único caso en el que se pueden encontrar puntos que tienen sus proyecciones sobre las de la recta y no pertenecen a ella. Para determinar si efectivamente el punto pertenece o no a la recta, se acude a la proyección de perfil. En la Fig. 2.17 se puede observar que las proyecciones horizontal y vertical del punto A están contenidas en r y r’ respectivamente, aunque dicho punto no pertenece a la recta R, como puede apreciarse en el plano de perfil.

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2.8.-Posición relativa de dos rectas.

Para que dos rectas se corten deben tener un punto en común. En consecuencia las proyecciones de éste estarán en las proyecciones homónimas de las dos rectas. Además, como todo punto en representación diédrica, tendrá sus proyecciones alineadas en dirección perpendicular a la LT.

Por tanto, si los puntos intersección de las proyecciones homónimas de dos rectas se encuentran alineados en dirección ortogonal a la LT, se puede asegurar que ambas rectas se cortan (Fig. 2.18). Además, el punto intersección de las rectas en el espacio se proyectará precisamente sobre las intersecciones de las proyecciones homónimas de las rectas.

Figura 2.18

Pero si una de las rectas es paralela al plano de perfil, puede que no se cumpla la regla anterior. En la Fig. 2.19 se comprueba que las proyecciones horizontal y vertical de la recta de perfil S, que pasa por los puntos A y B, y la recta R, se cortan en i e i’ respectivamente. Sin embargo la proyección de perfil pone de manifiesto que I no es el punto de intersección de las rectas en el espacio.

Figura 2.19

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Un caso particular de intersección de rectas es el de aquellas que se cortan en el infinito, es decir, el de rectas paralelas. En este caso las proyecciones del punto I también estarán en el infinito por ser un punto impropio y por tanto, las proyecciones de las rectas deberán ser paralelas (Fig. 2.20).

Figura 2.20

2.9.-Alfabeto de la recta.

Al igual que para el caso del punto, el alfabeto de la recta se refiere a las particularidades que presentan las proyecciones de una recta según su posición en el espacio.

Recta situada en el plano horizontal. Cualquier recta R de estas características tendrá la proyección horizontal confundida con ella misma y la vertical sobre la LT. Como casos particulares se pueden citar el de la recta S paralela a la LT que tendrá su proyección horizontal paralela a la LT, y el de la recta T perpendicular a la LT que tendrá como proyección vertical un punto (Fig. 2.21). La proyección horizontal de estas rectas se verá en verdadera magnitud.

Figura 2.21

Recta horizontal o paralela al plano horizontal. Se caracteriza por tener todos sus puntos con la misma cota. En consecuencia sus proyecciones verticales equidistarán de la LT. La proyección horizontal no debe reunir ninguna condición especial (rectas R, S y T de la Fig.

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2.22). Cualquier recta situada en el plano horizontal de proyección o en otro paralelo a él se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud.

Figura 2.22

Recta paralela a la LT. Las proyecciones de una recta paralela a la LT son paralelas a su vez a la LT (Fig. 2.23). Tanto la proyección vertical como horizontal se verán en verdadera magnitud.

Figura 2.23

Recta situada en el plano vertical. Cualquier recta de estas características tendrá la proyección vertical confundida con ella misma y la horizontal sobre la LT. La proyección vertical se verá en verdadera magnitud. La Fig. 2.24 muestra algunas de estas rectas.

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Figura 2.24

Recta frontal o paralela al plano vertical. Todos los puntos de una recta de este tipo tienen el mismo alejamiento y en consecuencia, sus proyecciones horizontales equidistarán de la LT. La proyección vertical no debe cumplir ninguna condición especial (Fig. 2.25). Cualquier recta situada en el plano vertical o en uno paralelo a él se proyecta verticalmente en verdadera magnitud.

Figura 2.25

Recta de punta o perpendicular al plano horizontal. Su proyección vertical es perpendicular a la LT y la proyección horizontal es un punto (recta T de la Fig. 2.25). Las rectas paralelas al plano vertical se proyectan verticalmente en verdadera magnitud.

Recta de punta o perpendicular al plano vertical. Su proyección horizontal es perpendicular a la LT y la proyección vertical es un punto (recta T de la Fig. 2.22). Las rectas paralelas al plano horizontal se proyectan horizontalmente en verdadera magnitud.

Recta de perfil. Es toda aquella contenida en un plano perpendicular a la LT (plano de perfil). Sus proyecciones las tiene confundidas y perpendiculares a la LT (Fig. 2.26). Por tanto, si se quiere representar una recta de perfil proyectada sobre el diedro, será necesario definir dos puntos contenidos en ella.

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Figura 2.26

Recta que pasa por la LT. La única particularidad de estas rectas es que la traza vertical y horizontal están confundidas en un mismo punto de la LT (Fig. 2.27). Por tanto, sus proyecciones convergen en ese punto.

Figura 2.27

Recta situada en el primer bisector. Estas rectas pueden cortar o no a la LT. Si la cortan, como es el caso de la recta R de la Fig. 2.28, sus dos proyecciones serán concurrentes en un punto de la LT, y además, por pertenecer al primer bisector, estas serán simétricas respecto a la LT, ya que cualquier punto de R tendrá sus proyecciones equidistantes de la LT. Ambas proyecciones forman con la LT el mismo ángulo α. Si las proyecciones no cortan a la LT, es decir son paralelas a ella, tendrán además que equidistar de la LT (recta T de la Fig. 2.28).

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Figura 2.28

Recta situada en el segundo bisector. Todo punto de estas rectas tendrá confundidas sus proyecciones, por pertenecer al segundo bisector. Como en el caso anterior, podrán cortar a la LT (recta R de la Fig. 2.29) o ser paralela a la LT (recta T de la Fig. 2.29).

Recta paralela al primer bisector. La traza de este tipo de recta con el primer bisector es un punto impropio, es decir, la recta cortará al primer bisector en el infinito. Por tanto no se encontrará ningún punto que pertenezca a la recta con igual cota que alejamiento en el primer o tercer cuadrante. La condición que debe cumplir una recta R para ser paralela al primer bisector es que una de sus proyecciones ha de ser paralela a la simétrica de la otra respecto a la LT (Fig. 2.30).

Figura 2.29

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Figura 2.30

Recta paralela al segundo bisector. Una recta R (Fig. 2.31) situada en el segundo bisector tendrá sus proyecciones confundidas. Una recta T paralela a R tendrá sus proyecciones paralelas a las de R. Como T no pertenece al segundo bisector sus proyecciones no coincidirán. Por tanto, las rectas paralelas al segundo bisector tienen sus proyecciones paralelas entre sí.

Figura 2.31

2.10.-Representación del plano. Trazas de un plano.

Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, por un punto y una recta, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan. Este último caso es el más empleado en geometría descriptiva, utilizando como rectas para definir el plano las intersecciones de éste con los planos horizontal y vertical de proyección, llamadas traza horizontal y traza vertical del plano, respectivamente.

En la Fig. 2.32 un plano cualquiera P corta al plano horizontal de proyección según la recta P (traza horizontal) y al vertical de proyección según la recta P' (traza vertical).

Todo plano oblicuo corta a un diedro según dos rectas concurrentes en un punto de su arista. De igual modo, ambas trazas concurrirán en un punto de la LT, que en este caso es la arista del diedro formado por los planos de proyección. Por tanto, la condición que deben reunir las trazas de un plano es que sean concurrentes en un punto de la LT (Fig.

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2.33). Como excepción se presenta el plano paralelo a la LT, cuyas trazas son paralelas a la misma (en realidad cortan a la LT en un punto impropio).

Figura 2.32

Figura 2.33

2.11.-Recta y punto situados en un plano.

La recta R situada en el plano P (Fig. 2.34) cortará al plano horizontal en un punto de la traza horizontal, y al vertical en un punto de la traza vertical del plano. En consecuencia, para que una recta esté contenida en un plano es necesario que sus trazas estén sobre las trazas homónimas del plano. La inversa también es cierta: si un plano contiene a una recta sus trazas pasan por las trazas homónimas de la recta.

Para situar una recta R en un plano P (Fig. 2.35), se tomará un punto H de la traza horizontal P del plano y otro V de la traza vertical P' y se unirán entre sí.

Para situar un punto cualquiera en un plano basta con definir una recta situada en él y luego elegir uno de sus puntos.

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Figura 2.34

Figura 2.35

2.12.-Rectas particulares de un plano: horizontales, frontales, de máxima pendiente y de máxima inclinación.

Recta horizotal de plano. Es una recta que pertenece a un plano y es paralela al horizontal de proyección. Por ser paralela al plano horizontal tendrá su proyección vertical paralela a la LT, y por pertenecer al plano su traza vertical debe estar en la traza vertical del plano. Este mismo paralelismo hace que la traza horizontal de la recta sea un punto impropio, y por tanto, que su proyección horizontal sea paralela a la traza horizontal del plano.

En la Fig. 2.36 la recta R es una horizontal del plano P, su proyección horizontal r es paralela a la traza horizontal de P y su proyección vertical r’ es paralela a la LT, estando su traza vertical V contenida en la traza vertical P’ del plano.

Las rectas horizontales de un plano pueden considerarse como el resultado de la intersección de dicho plano con planos horizontales de diferentes cotas (Fig. 2.37). Una horizontal de plano se proyectará horizontalmente en verdadera magnitud.

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Figura 2.36

Figura 2.37

Recta frontal de plano. Es una recta R situada en el plano P y paralela al plano vertical de proyección (Fig. 2.38). Este tipo de rectas pueden considerarse como el resultado de la intersección del plano en cuestión con planos paralelos al vertical de proyección, situados a diferentes alejamientos.

Siguiendo un razonamiento parecido al anterior se puede deducir que las frontales de plano tienen su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano que las contiene, y su proyección horizontal paralela a la LT (Fig. 2.39). La traza horizontal H está contenida en la traza horizontal P del plano.

Línea de máxima pendiente. Es una recta R, que está contenida en el plano P, y es perpendicular a su traza horizontal (Fig. 2.40).

Para trazar una línea de máxima pendiente a un plano, se dibuja una recta r perpendicular a la traza horizontal del plano (Fig. 2.41) obteniéndose las proyecciones horizontales de las trazas horizontal y vertical de R. A continuación se calculan las proyecciones verticales de las mismas y se unen ordenadamente.

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Figura 2.38

Figura 2.39

Figura 2.40

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Figura 2.41

Se define la pendiente de una recta como la tangente del ángulo que forma esta recta con el plano horizontal. Se deduce lógicamente que no existe ninguna recta del plano cuya pendiente sea mayor que la de su línea de máxima pendiente. Por tanto, la línea de máxima pendiente es el camino que seguirá una gota de agua cuando se deposita sobre el plano P.

Línea de máxima inclinación. Es una recta R contenida en un plano P y perpendicular a su traza vertical, P’ (Fig. 2.42).

Figura 2.42

Su proyección vertical (r') es perpendicular a la traza vertical (P') del plano (Fig. 2.43).

De las infinitas rectas que pertenecen al plano, será la línea de máxima inclinación la que forma mayor ángulo respecto al plano vertical de proyección.

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Figura 2.43

2.13.-Alfabeto del plano.

Los planos se pueden clasificar en función de su posición respecto a los de proyección:

Plano P perpendicular al plano horizontal o proyectante horizontal. La traza vertical P' es perpendicular a la LT y la horizontal P puede tomar cualquier dirección (Fig. 2.44). El plano P es proyectante horizontal ya que todos los puntos contenidos en él tendrán su proyección horizontal sobre la traza horizontal P. Este es el caso del punto A y la recta R representados en la Fig. 2.44.

Figura 2.44

Plano P perpendicular al plano vertical o proyectante vertical. La traza horizontal P es perpendicular a la LT y la vertical P' puede adoptar cualquier posición (Fig. 2.45). Este plano es proyectante vertical porque los puntos en él contenidos, como el punto A y la recta R, tienen su proyección vertical sobre la traza vertical P' del plano.

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Figura 2.45

Figura 2.46

Figura 2.47

Plano de perfil o perpendicular a la LT. Por ser perpendicular a la LT lo será también a los planos proyectantes. Sus trazas serán perpendiculares a la LT y se confundirán en una sola recta (Fig. 2.46), donde se encontrarán las proyecciones de todos sus puntos. Las figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano de perfil.

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Plano horizontal o paralelo al horizontal de proyección. Este tipo de plano no tiene traza horizontal al no cortar al horizontal de proyección. Por tanto la traza vertical será siempre paralela a la LT pudiendo estar por encima o por debajo de ella (Fig. 2.47). Las figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.

Plano frontal o paralelo al vertical de proyección. Del mismo modo que en el caso anterior, este plano no tendrá traza vertical al ser paralelo al vertical de proyección, la traza horizontal será paralela a la LT, pudiendo estar por encima o por debajo de ella (Fig. 2.48). La proyección vertical de cualquier figura contenida en un plano de este tipo se verá en verdadera magnitud.

Figura 2.48

Plano paralelo a la LT. Las dos trazas de un plano de este tipo son paralelas a la LT y por tanto, todas las horizontales y frontales de plano serán paralelas a la LT (Fig. 2.49).

Figura 2.49

Plano que pasa por la LT. En este caso el plano no queda determinado por sus trazas ya que éstas están confundidas con la LT. Para que quede totalmente determinado se suele usar un punto (A) del plano y dos trazos, por debajo de la línea de tierra, simétricos a la línea que une las proyecciones de dicho punto (Fig. 2.50).

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Figura 2.50

Plano perpendicular a uno de los bisectores. En la Fig. 2.51 aparece la traza de perfil del primer bisector representada por la recta OM. Si en el plano de perfil se traza una recta perpendicular a OM, dicha recta será perpendicular también al primer bisector.

Figura 2.51

Además el ángulo formado por los segmentos OD y ON es igual al formado por ON y OB, ambos de 45°. Por tanto en el triángulo DOB se verificará que el ángulo del vértice D será igual al del vértice B y ambos iguales a 45°, por lo que OB=OD. Al abatir el plano vertical sobre el horizontal, D se desplazará hasta A, cumpliéndose que OA=OB.

Cualquier plano, como el BCD, que pase por BD, será perpendicular al primer bisector por serlo BD. Luego al girar el plano vertical sobre el horizontal tomando como eje de giro la LT, su traza vertical CD tomará la posición CA, simétrica a CB respecto a la LT, por ser A y B puntos simétricos.

Se deduce que todo plano perpendicular al primer bisector tiene sus trazas simétricas respecto a la LT, tal como se muestra en la Fig. 2.52.

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Repitiendo el mismo razonamiento para el plano ADC de la Fig. 2.51, perpendicular al segundo bisector, se demostraría que al girar el plano vertical hasta hacerlo coincidir con el horizontal tomando como eje de giro la LT, su traza vertical CD coincidiría con la horizontal CA, probando que todo plano perpendicular al segundo bisector tiene sus trazas confundidas (Fig. 2.53).

Figura 2.52

Figura 2.53

Si el plano es perpendicular a uno de los bisectores y paralelo a la LT, sus trazas serán paralelas a la LT, equidistando de ella si es perpendicular al primer bisector (Fig. 2.54), o confundiéndose en una sola si es perpendicular al segundo bisector (Fig. 2.55).

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Figura 2.54

Figura 2.55

2.14.-Formas planas.

Por un punto situado en el espacio se pueden hacer pasar infinitas rectas, por lo que existirán infinitos planos que lo contengan. De igual forma, una recta situada en el espacio no define un plano, si no un conjunto de infinitos de ellos, denominado haz de planos.

En el apartado 2.10 se hizo una enumeración de los elementos necesarios para determinar un plano. Todas las posibilidades se reducen a conocer tres puntos no alineados, puesto que a partir de ellos se pueden definir dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas o una recta y un punto exterior a ella.

De aquí se deduce el siguiente principio: dados tres puntos no alineados en el espacio, existe uno y sólo un plano que los contenga. Además la figura geométrica que definen es un triángulo cuyos lados también están contenidos en dicho plano. La condición que debe cumplir un cuarto punto para determinar un cuadrilátero plano es pertenecer al plano definido por los tres primeros.

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Por tanto, y en general, todos los vértices que definen cualquier forma plana deben pertenecer al mismo plano, con lo cual también pertenecerán a él los infinitos puntos que forman sus lados rectos o curvos. De forma recíproca, cualquier combinación de tres puntos no alineados pertenecientes a una forma plana que se elijan debe definir el mismo plano.

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TEMA 3.

Sistema Diédrico. Intersecciones.

3.1. Intersección de planos.

La intersección de dos planos es una línea recta. Para hallar esta recta, el problema se reducirá a encontrar dos puntos de la misma. La recta I, intersección de los planos P1 y P2 (Fig.3. 1), se halla valiéndonos de dos planos auxiliares, Q1 y Q2, que determinarán los puntos A y B de la siguiente forma: -se hallan las intersecciones de Q1 con P1 y P2, obteniéndose las rectas S1 y S2, y las intersecciones de Q2 con P1 y P2, obteniéndose las rectas T1 y T2, -se halla el punto de intersección A entre S1 y S2, y el punto de intersección B entre T1 y T2; -el segmento AB pertenece a la recta I buscada.

Figura 3.1 En descriptiva los planos auxiliares Q1 y Q2 así como sus intersecciones con P1 y P2 o están ya previamente representados en el dibujo o son fáciles de determinar. En el sistema diédrico se pueden elegir como planos auxiliares el vertical y el horizontal de proyección, de manera que las trazas sean las intersecciones de los planos dados con los auxiliares, siendo el punto A de la Fig. 3.1 el punto de corte de las trazas horizontales, y B el de las verticales. Al igual que en esta Figura, el segmento AB estará contenido en la recta intersección de ambos planos. Por tanto, la recta resultante de la intersección de dos planos


tendrá su traza vertical en el punto de corte de las trazas verticales de ambos planos, y la traza horizontal en el punto de corte de las trazas horizontales (Fig. 3.2).

Figura 3.2 La Fig. 3.3 muestra el proceso para hallar la intersección de los planos P y Q en el sistema diédrico.

Figura 3.3 3.2. Intersección de planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo. Para resolver este problema habrá que usar planos auxiliares distintos a los de proyección. Sean P1 y P2 dos planos cuya intersección se pretende determinar: -Si se cortan dos de las trazas habrá que usar sólo un plano auxiliar, por ejemplo un plano horizontal (Fig. 3.4). El plano auxiliar H determina R1 y R2 sobre P1 y P2, respectivamente, que se cortan en A. El otro punto B necesario para definir la recta intersección lo obtenemos

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del corte de las trazas horizontales. De igual forma se podría haber utilizado un plano vertical.

Figura 3.4

-Si ninguna de las trazas se cortan en los límites del dibujo habrá que usar dos planos auxiliares distintos a los de proyección, por ejemplo, uno vertical (V) y otro horizontal (H). En la Fig. 3.5, la intersección del plano auxiliar H determina dos horizontales de plano, R1 y R2, en P1 y P2, respectivamente, que se cortan en A, punto situado en la recta de intersección I buscada. Por otro lado, el plano V determina dos frontales de plano, F1 y F2, en P1 y P2, respectivamente, que se cortan en B, punto situado también en la recta de intersección I buscada. Uniendo A y B se determinará la recta I, intersección de P1 y P2. El problema se podría haber resuelto usando cualquier plano auxiliar en lugar de uno vertical y otro horizontal.

Figura 3.5 3.3. Casos particulares de intersecciones de planos. Intersección de un plano oblicuo P con otro plano proyectante vertical Q (Fig. 3.6). Se aplicará directamente el método general: la recta intersección I pasará por los puntos de corte de las trazas horizontales (H) y verticales (V). Esta recta se proyectará verticalmente sobre la traza vertical de Q.

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Figura 3.6

Intersección de un plano oblicuo P con otro plano proyectante horizontal Q (Fig. 3.7). El razonamiento a seguir es el mismo: la intersección es la recta I, que une los puntos H y V. En este caso la proyección horizontal de I se confundirá con la traza horizontal de Q.

Figura 3.7 Intersección de dos planos proyectantes verticales (P y Q) (Fig. 3.8). En este caso la recta intersección I será perpendicular al plano vertical de proyección. Esto es así debido a que las trazas horizontales de P y Q son paralelas y a que la proyección horizontal de I debe pasar por el punto de intersección de ambas trazas. Intersección de dos planos proyectantes horizontales (P y Q) (Fig. 3.9). Con un razonamiento similar al estudiado en el caso anterior se llegará a deducir que la recta intersección es perpendicular al plano horizontal de proyección. Intersección de un plano proyectante horizontal P y un plano proyectante vertical (Q) (Fig. 3.10). La recta intersección I, por pertenecer a P, se proyectará horizontalmente sobre la traza horizontal de éste, y por pertenecer a Q se proyectará verticalmente sobre Q’.

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Figura 3.8

Figura 3.9

Figura 3.10

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Intersección de un plano oblicuo P y otro horizontal Q (Fig. 3.11). Un plano horizontal corta a cualquier plano en una recta horizontal de plano I que pasará por V, punto de intersección de sus trazas verticales. Por pertenecer a Q, la proyección vertical de I (i’) se confundirá con Q’. La proyección horizontal i debe ser paralela a la traza horizontal de P ya que Q no presenta este tipo de traza.

Figura 3.11 Intersección de un plano proyectante vertical P con un plano horizontal Q (Fig. 3.12). Se puede considerar como un caso particular del caso anterior. Siguiendo el mismo razonamiento la recta intersección I será una horizontal del plano de P.

Figura 3.12 Intersección de un plano oblicuo P con uno vertical Q (Fig. 3.13). Un plano vertical corta a cualquier plano en una recta vertical I que pasará por H, punto de intersección de sus trazas horizontales. Por pertenecer a Q, la proyección horizontal de I (i) se confundirá con Q. La proyección vertical i’ debe ser paralela a la traza P’ ya que Q no presenta este tipo de traza. Intersección de un plano proyectante vertical P con un plano vertical Q (Fig. 3.14). Este es un caso particular del anterior. Por tanto, la recta intersección será una vertical de plano de P.

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Figura 3.13

Figura 3.14

Intersección de un plano horizontal P con un plano vertical Q (Fig. 3.15). En este caso la recta intersección I será paralela a la línea de tierra, con su proyección vertical i’ coincidiendo con la traza vertical de P, y con su proyección horizontal i coincidiendo con la traza horizontal de Q.

Figura 3.15

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Intersección de un plano oblicuo P con un plano paralelo a la línea de tierra Q (Fig. 3.16). Las trazas de los planos se cortan en dos puntos (H y V), por donde pasa la recta intersección I.

Figura 3.16

Intersección de un plano oblicuo P con un plano de perfil Q (Fig. 3.17). En este caso la solución es inmediata pues al pertenecer a Q, la recta intersección I tendrá sus proyecciones confundidas con las trazas de este plano.

Figura 3.17 Intersección de un plano de perfil P con un plano paralelo a la línea de tierra Q (Fig. 3.18). Este se puede considerar un caso particular del anterior, siendo la manera de razonar la misma. Intersección de dos planos, P y Q, paralelos a la línea de tierra. La recta solución será paralela a la línea de tierra. En este caso no es posible la aplicación directa del método general, pues las trazas no se cortan. Se puede resolver el problema acudiendo a un tercer plano oblicuo M cualquiera (Fig. 3.19), que se cortará con P según la recta R, y con Q según la recta S. R y S se cortarán a su vez en el punto A, por el cual debemos trazar una recta paralela a la línea de tierra (I), que será la intersección buscada. Otra posibilidad de actuación al resolver este problema es acudir a la proyección de perfil de los planos P y Q, P’’ y Q’’ respectivamente (Fig. 3.20). El punto de corte de estas

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proyecciones será a su vez, la proyección de perfil (i’’) de la recta intersección. A partir de esta proyección el trazado de las restantes es inmediato sabiendo que I es paralela a la línea de tierra.

Figura 3.18

Figura 3.19

Figura 3.20 Intersección de un plano P paralelo a la línea de tierra con un plano Q, definido por el punto A, que pasa por la línea de tierra (Fig. 3.21). El proceso a seguir es igual que el segundo

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método propuesto en el apartado anterior. Habrá que conseguir las proyecciones de perfil de cada plano. El punto de corte de estas proyecciones será a su vez, la proyección de perfil (i’’) de la recta intersección. A partir de esta proyección el trazado de las restantes es inmediato sabiendo que I es paralela a la línea de tierra.

Figura 3.21 Intersección de un plano oblicuo P con un plano Q, definido por el punto A, que pasa por la línea de tierra (Fig. 3.22). En este caso todas las trazas se cortan en el mismo punto de la línea de tierra. Se necesita un segundo punto para tener definida la recta intersección. Este punto (B) se ha obtenido acudiendo a las proyecciones de perfil, y es precisamente la traza de I con el plano de perfil.

Figura 3.22 3.4. Intersección de recta y plano. La intersección de una recta con un plano es un punto. El método general para hallar la intersección I de la recta R y el plano P (Fig. 3.23) es el siguiente: -Se construye un plano auxiliar cualquiera Q que contenga a R, -Se halla la recta intersección S entre P y Q, -Se determina la intersección I entre las rectas R y S, siendo ésta la solución buscada.

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Figura 3.23

Como plano auxiliar se suele elegir a uno de los proyectantes de la recta. En la Fig. 3.24 se ha tomado el plano Q, proyectante horizontal, que se corta con P según la recta S. El punto de corte entre S y R es I, precisamente el punto buscado.

Figura 3.24 3.5. Casos particulares de intersección de rectas y planos. Intersección de una recta R perpendicular al plano horizontal con un plano P paralelo a la línea de tierra (Fig. 3.25). En este caso el plano auxiliar Q utilizado es perpendicular al horizontal de proyección. La recta intersección de P y Q será paralela a la línea de tierra, y para hallarla deberemos acudir a las trazas de perfil de ambos planos (P’’ y Q’’). El punto de corte de estas trazas nos dará la proyección de perfil de la recta intersección (s’’), a partir de la cual podemos trazar sus proyecciones vertical (s’) y horizontal (s). Los puntos de corte de s’ con r’ y de r con s nos determinarán las proyecciones vertical y horizontal del punto de intersección I de la recta y el plano.

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Figura 3.25 Intersección de una recta R de perfil con un plano P paralelo a la línea de tierra (Fig. 3.26). Al igual que en el caso anterior, el plano Q auxiliar escogido es de perfil. La intersección con P es una recta S cuyas proyecciones horizontal y vertical coinciden con las trazas homónimas de Q. Para determinar el punto de corte de las rectas R y S se acude a la proyección de perfil de ambas, las cuales se cortan en i’’, proyección segunda del punto I buscado. Las proyecciones horizontal (i) y vertical (i’) se obtienen de forma inmediata.

Figura 3.26 Intersección de una recta R perpendicular al plano horizontal y un plano P que pasa por la línea de tierra, definido por el punto A (Fig. 3.27). La recta S es la intersección del plano auxiliar Q con el plano P. Para determinar el punto de corte I de las rectas R y S se acude a la proyección de perfil, y a partir de aquí se obtienen la vertical y horizontal. Intersección de una recta R de perfil con un plano P perpendicular al segundo bisector (Fig. 3.28). En este caso, el plano auxiliar Q es de perfil. La recta intersección de P y Q será una recta S, también de perfil, cuyas trazas horizontal (A) y vertical (B) son los puntos de intersección de las trazas homónimas de dichos planos. El punto de corte de S con R (punto I) se determinará a partir de las proyecciones de perfil, obteniendo a partir de esta las proyecciones horizontal y vertical. Otra forma de abordar el problema sin tener que acudir a la proyección de perfil sería utilizar un plano auxiliar Q oblicuo (Fig. 3.29). La recta S, intersección de P y Q, tendrá sus trazas sobre la intersección de las trazas homónimas de los planos. Las rectas R y S se cortarán en el punto I, intersección a su vez de P y R.

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Figura 3.27

Figura 3.28

Figura 3.29

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3.6. Intersección de una recta R con un plano P, dado por dos rectas que se cortan. La representación en perspectiva del método a seguir se muestra en la Fig. 3.30 y la representación diédrica en la Fig. 3.31. Los pasos a seguir para hallar la intersección de una recta R con un plano P, dado por dos rectas (S y T) que se cortan, son los siguientes: -Trazar un plano auxiliar cualquiera Q que contenga a R. Usualmente se tomará uno proyectante, -Hallar los puntos de intersección A y B, de S y T respectivamente, con Q. La recta que une A y B será la intersección de los planos de P y Q, -Determinar por último el corte de las rectas AB y R, siendo esta la solución buscada (punto I).

Figura 3.30

Figura 3.31

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3.7. Recta Q que corta a otras tres (R, S y T). Pueden aparecer dos casos: 1.- Si dos de las rectas, por ejemplo R y S, se cortan, determinarán un plano P (Fig. 3.32). En este caso, cualquier recta Q contenida en P que pase por el punto de intersección de T con P y no sea paralela a R o S será solución del problema, obteniéndose, por tanto, infinitas soluciones.

Figura 3.32 2.- Si las rectas se cruzan dos a dos el problema también admite infinitas soluciones. En este caso se pueden emplear cualquiera de los siguientes métodos para resolver el problema:

a) Se elige un punto cualquiera A de una de las rectas, por ejemplo de R (Fig.

3.33), y se determinan los planos P y Q que A define con S y T, respectivamente. A continuación se halla la intersección I entre P y Q, que es la recta pedida. Puede ocurrir que la recta I salga paralela a S y T en cuyo caso no habrá solución propia para el problema.

Figura 3.33

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b) Por una de las rectas, por ejemplo la S (Fig. 3.34), se hace pasar un plano P cualquiera. Se hallan los puntos de intersección A y B de R y T respectivamente, con P. La solución será la recta que pasa por A y por B, que tendrá que cortar a S por estar en P (a menos que sea paralela, en cuyo caso se cortarán en un punto impropio). Este método es el más rápido, sobre todo si se toma un plano proyectante que contenga a S.

Figura 3.34

3.8. Recta R que corta a otras dos, S y T, y que es paralela a un plano P. En este caso también existen infinitas soluciones.

Figura 3.35

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El método a seguir para la resolución del problema es el siguiente (Fig. 3.35): - Trazar un plano cualquiera Q paralelo al P dado. - Hallar los puntos de intersección A y B de las rectas S y T con Q. La solución será la recta R determinada por A y B. 3.9. Recta I que corta a otras dos, R y S, y es paralela a otra, T. Puede ocurrir que las rectas R y S se crucen (Fig. 3.36). En este caso se opera de la siguiente forma: - Por una de las rectas, por ejemplo R, se traza una recta W paralela a T. Estas dos rectas

determinan un plano P paralelo a T. - Se halla la intersección B del plano P con la recta S. - Por B se traza una recta I paralela a T. Como I está contenida en P cortará a R en un

punto C, siendo BC la recta pedida. Este caso sólo admite una solución. Otro caso que se puede presentar es cuando R y S se corten, determinando un plano P. Nos podemos encontrar dos situaciones: - Que el plano P sea paralelo a T. Entonces cualquier recta de P, por ejemplo la recta I de

la Fig. 3.37, es la solución del problema, existiendo infinitas soluciones. - Que T no sea paralela a P, en cuyo caso no hay solución. Cualquier recta que corte a

R y S estará contenida en P y como P no es paralelo a T ninguna recta contenida en él lo será.

Figura 3.36

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Figura 3.37

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TEMA 4.

Sistema Diédrico. Paralelismo y Perpendicularidad.

4.1. Rectas paralelas. Paralelismo entre dos rectas de perfil. Como ocurre en todos los sistemas que hacen uso de la proyección cilíndrica, la condición necesaria para que dos rectas sean paralelas es que sus proyecciones verticales y horizontales también lo sean. Sin embargo y en el caso de rectas de perfil, la condición enunciada no es suficiente, ya que aún teniendo sus proyecciones homónimas paralelas, pueden no ser paralelas en el espacio tridimensional. Es necesario por tanto añadir otra condición, y es que las proyecciones sobre el plano de perfil también sean paralelas. Por ejemplo, las rectas R y S son paralelas en la figura 4.1 y no lo son en la figura 4.2.

Figura 4.1. Comprobación en la proyección de perfil del paralelismo de las rectas R y S.

4.2. Planos paralelos. La condición general para que dos planos cualesquiera (P y Q) sean paralelos, es que sus trazas o intersecciones (R y S) con un tercer plano también sean paralelas (Figura 4.3). Si el plano W de la figura 4.3 lo asemejamos bien al vertical de proyección, bien al horizontal de proyección, se puede deducir que para que dos planos sean paralelos en el espacio, sus trazas con los planos vertical y horizontal en el sistema diédrico también deben serlo.


Sin embargo, esta definición supone una condición necesaria, pero no suficiente en el caso de planos paralelos a la línea de tierra, pues aún teniendo sus trazas paralelas pueden no ser paralelos en el espacio. Para resolver este problema se acudirá a las trazas de perfil, las cuales deben ser paralelas si los planos lo son. Recordemos que un plano paralelo a la línea de tierra es proyectante o perpendicular al plano de perfil, por lo que su traza con él nos indica en verdadera magnitud el ángulo que forma con los planos de proyección horizontal y vertical.

Figura 4.2. Comprobación en el perfil de la ausencia de paralelismo entre las rectas R y S.

Figura 4.3. Condición necesaria para que dos planos P y Q sean paralelos. Una definición que puede ser muy útil es que si dos planos son paralelos, las frontales y horizontales de plano también son paralelas. Por ejemplo, un problema que suele plantearse con relativa frecuencia en aplicaciones prácticas de la geometría descriptiva es trazar un plano Q paralelo a otro dado, P, de forma que además impongamos la condición de que P debe contener a un punto A. Para resolverlo pueden usarse frontales u horizontales de plano como se indica en las figuras 4.4 y 4.5.

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Figura 4.4. Trazado de un plano Q paralelo a P por un punto A mediante frontales de plano.

Figura 4.5. Trazado de un plano Q paralelo a P por un punto A usando horizontales de plano.

4.3. Paralelismo entre recta y plano. La condición para que una recta sea paralela a un plano es que lo sea a una recta cualquiera del plano, existiendo por tanto infinitas soluciones. Luego para trazar una recta paralela a un plano P se toma una recta R cualquiera de P y luego se traza una recta S paralela a R (Figura 4.6). También se podría haber resuelto el problema trazando un plano Q paralelo a P y tomando una recta cualquiera de Q. Otro problema que puede plantearse es trazar un plano P que pase por un punto A de forma que además sea paralelo a una recta R. Para resolverlo basta con trazar una recta S paralela a R que pase por A. Después se traza un plano cualquiera que contenga a S (Figura 4.7), por lo que podemos observar que existen infinitas soluciones (haz de planos que pasan por A y son paralelos a R).

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Figura 4.6. Trazado de una recta S paralela al plano dado P, con apoyo de la recta auxiliar R.

Figura 4.7. Dibujo de uno de los planos solución, P, que contiene al punto A dado siendo paralelo a R..

4.4. Perpendicularidad. Teorema de las tres perpendiculares. El desarrollo de la teoría de la perpendicularidad en geometría descriptiva se basa fundamentalmente en los dos siguientes enunciados:

• Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a cualquier otra recta de ese plano. • Para que una recta sea perpendicular a un plano, basta que lo sea a dos de las

rectas de este plano que no sean paralelas.

Un enunciado general en el que se fundamenta la resolución de todos los problemas de perpendicularidad sería el del teorema de las tres perpendiculares: “Si dos rectas R y S (Figura 4.8) son perpendiculares en el espacio y un plano P es paralelo a una de ellas (por ejemplo a R en la figura 4.8) entonces las proyecciones cilíndrico-ortogonales r y s de ambas rectas sobre P también son perpendiculares”.

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El recíproco también es cierto: “Si las proyecciones ortogonales r y s de dos rectas R y S son perpendiculares y una de ellas (por ejemplo R) es paralela al plano de proyección, entonces ambas rectas son perpendiculares”.

Figura 4.8. Representación gráfica del teorema de las perpendiculares. Un caso particular del teorema puede darse cuando la recta R está contenida en el plano P (Figura 4.9) en cuyo caso se cumple también el teorema de las tres perpendiculares y el recíproco: “Si una recta S es perpendicular a una recta R cualquiera del plano P, su proyección ortogonal sobre este plano también será perpendicular a R”. “Si por la traza B de una recta perpendicular AB a un plano P trazamos una perpendicular BC a una recta cualquiera R del plano y unimos C con un punto cualquiera A de AB, la recta AC es perpendicular a R”.

Figura 4.9. Caso particular del enunciado del teorema de las tres perpendiculares. 4.5. Recta perpendicular a un plano. Supongamos que una recta R es perpendicular a un plano P, y por tanto a todas las rectas contenidas en él, entre ellas las trazas vertical y horizontal. Si proyectamos R sobre el plano

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vertical de proyección, que contiene a la traza P' del plano, ambas serán perpendiculares (teorema de las tres perpendiculares). Lo mismo ocurrirá con la proyección horizontal de R y la traza horizontal del plano. Por tanto, la condición para que una recta sea perpendicular a un plano es que las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas homónimas del plano (Figura 4.10). En geometría descriptiva se nos puede plantear el problema de trazar por un punto A dado un plano P perpendicular a una recta R. Para resolverlo hay que tener en cuenta que la proyección horizontal de la recta será perpendicular a la misma proyección de una horizontal de plano, o bien que la proyección vertical de la recta será perpendicular a la misma proyección de una frontal de plano. En la figura 4.11 se ha trazado una recta horizontal HZ perpendicular a R y que contiene al punto A. El plano buscado debe contener a HZ (P’ contendrá a su traza vertical) y además debe tener sus trazas horizontal y vertical perpendiculares a la proyección horizontal y vertical de R respectivamente.

Figura 4.10. Recta R perpendicular a un plano P.

Figura 4.11. Plano P que contiene a un punto A y es perpendicular a una recta R.

4.6. Perpendicularidad entre planos. La condición geométrica para que dos planos P y Q sean perpendiculares es que uno de ellos, por ejemplo el P en la figura 4.12, contenga una recta R perpendicular al otro. Existen

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por tanto infinitas soluciones. Luego dado un plano Q, para obtener otro plano P perpendicular a él se traza una recta R cualquiera perpendicular a Q y se hace que P contenga a R.

Figura 4.12. Dibujo de un plano P perpendicular a otro dado Q. Obsérvese como podemos encontrar un haz de planos que contengan a R y sean por tanto perpendiculares a Q.

Figura 4.13. Trazado del plano Q que pasa por el punto A y es perpendicular a uno dado P.

Un caso práctico sería la propuesta de dibujar un plano Q perpendicular a otro P que además contenga a un punto dado A (Figura 4.13). Para resolver este problema basta con trazar por A una recta R perpendicular a P y dibujar Q de manera que contenga a R, es decir, que las trazas de Q contengan a las trazas de R. Como el lector podrá deducir podemos encontrar un conjunto de soluciones infinito, eligiendo en nuestro caso un plano Q proyectante sobre el plano horizontal de proyección. Si el plano Q pedido, además de perpendicular a P tiene que contener a una recta R, la forma de resolver el problema será trazando por un punto cualquiera A de R una recta T perpendicular al plano dado P, dibujando Q de manera que contenga a R y T, dos rectas que se cortan (Figura 4.14).

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Figura 4.14. Dibujo de un plano Q perpendicular a P y que contiene a la recta R. 4.7. Perpendicularidad entre rectas. Para dibujar una recta perpendicular a una recta dada R basta con elegir cualquiera de las infinitas rectas contenidas en un plano perpendicular a R. Por ejemplo, para trazar una recta S perpendicular a otra dada R basta trazar un plano P perpendicular a R y tomar una recta S cualquiera de P (Figura 4.15). El problema inverso también puede resolverse de la misma forma. Es decir, para comprobar si dos rectas son perpendiculares entre sí se dibuja por las trazas de una de ellas líneas perpendiculares a las proyecciones homónimas de la otra recta. Si ambas líneas perpendiculares se cortan en la línea de tierra entonces las rectas son perpendiculares puesto que las líneas dibujadas serían las trazas de un plano que contiene a una de las rectas y es perpendicular a la otra. Cualquier recta del plano P perpendicular a R sería solución del problema.

Figura 4.15. Dibujo de una recta S perpendicular a una recta dada R.

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4.8. Recta perpendicular a otras dos rectas que se cruzan. Mínima distancia entre dos rectas. Dadas dos rectas que se cruzan en el espacio, existe en todos los casos una y sólo una tercera que corta a ambas y es perpendicular a las dos. Esta tercera recta se denomina perpendicular común y sobre ella se podría determinar la mínima distancia entre las dos rectas que se cruzan como veremos y desarrollaremos en capítulos posteriores. Existen varios procedimientos geométricos utilizados para encontrar la perpendicular común de dos rectas dadas R y S, de los cuales describimos a continuación tres de los más empleados:

a) Se traza un plano cualquiera P perpendicular a R y otro cualquiera Q perpendicular a S, hallándose la recta I intersección de ambos planos, que será perpendicular a R y S (Figura 4.16). A continuación trazamos el plano W que pasa por una de las rectas (por ejemplo R) y es paralelo a I, para, posteriormente hallar la intersección A de este plano con la otra recta dada S. Si dibujamos por A una recta T paralela a I, tenemos definida la perpendicular común.

Figura 4.16. Método a) para la determinación de la perpendicular común T de dos rectas que se cruzan R y S.

b) El segundo método comentado consiste en trazar un plano cualquiera P

perpendicular a una cualquiera de las rectas dadas (por ejemplo a R) obteniendo el punto de intersección C (Figura 4.17).

En segundo lugar proyectamos la otra recta (S) ortogonalmente sobre el plano P, obteniendo S1. A continuación dibujamos por C una recta T perpendicular a S1, de forma que su punto de intersección es D. Trazamos por D una paralela a R hasta su punto de intersección con S denominado A. Por último delineamos la recta AB paralela a T hasta su encuentro en B con R, siendo AB la perpendicular común.

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Figura 4.17. Esquema de la construcción espacial que exige el método b) para el dibujo de la perpendicular común entre las rectas R y S.

c) El tercer y último método comentado consiste en elegir un punto cualquiera A de una de las rectas (por ejemplo la S) y trazar por él una recta R1 paralela a R. De esta forma podemos hallar el plano P determinado por S y R1, que será a su vez paralelo a R (Figura 4.18). A continuación proyectamos ortogonalmente R sobre P. Para ello, por un punto B cualquiera de R se traza una perpendicular a P y se halla la intersección C de ambos. La paralela a R1 trazada desde C, llamada R2, será la proyección buscada. En último lugar determinamos la intersección M de S con R2 y trazamos por él una perpendicular a P que cortará a R en N. La recta MN es la perpendicular común solución del problema.

Figura 4.18. Descripción del método c) para el dibujo de la perpendicular común MN a las rectas R y S que se cruzan en el espacio.

Para el caso de rectas cualesquiera en el espacio resulta generalmente más ventajoso el tercer procedimiento. Sin embargo, si alguna de las rectas es perpendicular a uno de los planos de proyección o presenta una posición especial, puede ser más rápido alguno de los métodos a) ó b).

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TEMA 5.

Sistema Diédrico. Abatimientos.

5.1. Generalidades. Determinación de la posición de un punto al abatir el plano que lo contiene.

Un plano P se abate sobre otro plano H cuando se hace coincidir el primero con el segundo girándolo alrededor de la traza de ambos. Dicha traza o eje de giro se llama charnela (Fig. 5.1).

Figura 5.1 La definición de abatimiento se refiere exclusivamente al plano que gira alrededor de la charnela y no a elementos contenidos en él. Por tanto cuando se abate un punto, una recta o cualquier otro elemento, implícitamente se está abatiendo el plano que los contiene. Los elementos que intervienen en un abatimiento son el plano a abatir y el plano sobre el que se abate, la charnela como la recta intersección de ambos, y el sentido de giro. En Geometría Descriptiva se toma generalmente como plano sobre el que se abate, uno de los de proyección o alguno paralelo a ellos. De este modo, los elementos contenidos en el plano abatido se obtendrán en verdadera magnitud.


Un punto A contenido en un plano P, que se abate hasta coincidir con el plano H alrededor de la charnela E (Fig. 5.2), describirá una trayectoria circular que se puede hacer contener en un plano que pasa por A y es perpendicular a dicha charnela.

Figura 5.2 Los puntos A1 y A2 son las posiciones de A abatido en ambos sentidos de giro. Los radios M-A1 y M-A2 serán perpendiculares a E, lo mismo que M-A. Además, la proyección A3 de A sobre H también se encuentra en la perpendicular M-A3 a E, basándose en el teorema de las tres perpendiculares (4.4). Esto implica que A1 y A2 se encontrarán alineados en dirección perpendicular a la charnela. La distancia a la que A1 y A2 se encuentran de M, representada por el segmento d, se calcula como la hipotenusa del triángulo rectángulo A-A3-M, cuyos catetos son la distancia desde A3 a la charnela y la distancia de A al plano de proyección. Por lo tanto, para abatir un punto A sobre el plano horizontal H (Fig. 5.3) se traza desde su proyección horizontal una perpendicular a la charnela y una paralela a la misma; sobre esta última se lleva una distancia igual a la cota de A, obteniéndose A4. Con centro en el punto M, intersección de la perpendicular con la charnela, se traza un arco de circunferencia hasta cortar a dicha perpendicular, de radio la hipotenusa del triángulo M-a-A4, encontrando así A1 y A2, que son las dos posibles posiciones del punto una vez abatido, según se haga en un sentido o en otro.

Figura 5.3

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F. Agüera, F.J. Aguilar, F. Carvajal., M.A. Aguilar, B. Navarro.

Se puede emplear el mismo procedimiento para abatir sobre el plano vertical de proyección, sustituyendo donde aparezca cota por alejamiento, vertical por horizontal, y viceversa (Fig. 5.4).

Figura 5.4

En lo sucesivo se denotarán a los elementos abatidos por la misma letra que en las proyecciones sin abatir, en mayúsculas y entre paréntesis. 5.2. Determinación de la posición de una recta al abatir el plano que la contiene.

Si se conoce la posición de dos puntos abatidos sobre un plano, la recta que los contiene representa el abatimiento de recta que contiene a los dos puntos en el espacio. El plano P que en realidad se abate puede ser cualquiera de los que contienen a la recta R (Fig. 5.5), y en este caso, la charnela será su traza con el plano horizontal de proyección. Para simplificar la operación, uno de los puntos elegidos para definir a la recta puede ser su traza H, que lógicamente no cambiará de posición tras el abatimiento por pertenecer a la charnela. La recta abatida (R) será la que une (C) con (H).

Figura 5.5

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Desde el punto de vista práctico, con frecuencia es interesante abatir la traza del plano que no actúa como charnela, que en el ejemplo de la Fig. 5.6 es la vertical. Para ello se puede tener en cuenta que el punto O y su abatimiento (O), han de coincidir en el mismo lugar por pertenecer a la charnela. Además, el punto V pertenece en este caso, al plano vertical de proyección, por lo que su distancia al punto O se puede apreciar en verdadera magnitud en O-v'. Por tanto la posición de (V) se hallará como intersección entre una perpendicular a la charnela por v y un arco de circunferencia centrada en O y de radio O-v’.

Figura 5.6 La recta (O)-(V) define la posición de la traza vertical del plano, una vez abatido este sobre el horizontal de proyección. De forma similar se procederá para determinar la posición de la traza horizontal al abatir sobre el vertical de proyección. 5.3. Abatimiento sobre planos paralelos a los planos de proyección.

A veces interesa no abatir sobre los planos de proyección, sino sobre alguno paralelo a ellos. El procedimiento será el mismo. Por ejemplo, supongamos que se desea abatir el punto A del plano P sobre el plano Q, paralelo al horizontal de proyección (Fig. 5.7). En este caso la charnela será la recta R, intersección de P y Q; se trazará por la proyección horizontal de A una paralela y una perpendicular a la proyección horizontal de R. Sobre la paralela se llevará la diferencia de cotas, c, entre el punto A y el plano Q, y el abatimiento se obtendrá haciendo centro en M, esta vez intersección de la perpendicular y r, obteniéndose así (A)1 y (A)2. 5.4. Abatimiento de los planos en posiciones particulares.

5.4.1. Abatimiento de planos proyectantes.

Sea P un plano proyectante vertical que se quiere abatir sobre el horizontal (Fig. 5.8). Para obtener la posición abatida de uno de sus puntos A se puede aplicar el procedimiento explicado en 5.1, obteniendo (A)1 y (A)2.

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Pero observando la Fig. 5.9 se comprueba que se puede seguir otro método más simple teniendo en cuenta que, en el abatimiento, el punto a' describe un arco de circunferencia con centro en O y radio O-a', idéntico al que describe el punto A centrado en E y radio E-A. Las posiciones del punto una vez abatido el plano (A)1 y (A)2 se hallarán en la paralela a la LT, trazada por la proyección horizontal a, y ambas a la distancia O-a’ (Fig. 5.10). En cambio si P es un plano proyectante horizontal que se quiere abatir sobre el plano horizontal de proyección (Fig. 5.11), y A es un punto del plano, el arco que este describe en su abatimiento estará contenido en un plano perpendicular a P, con centro en a y radio a-A.

Figura 5.7

Figura 5.8

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Figura 5.9

Figura 5.10

Figura 5.11

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En proyección (Fig. 5.12), habrá que trazar por a una perpendicular a P y sobre ella llevar en un sentido u otro los segmentos a-(A)1 y a-(A)2, de longitud igual a la cota del punto A. La traza vertical adoptará, una vez abatido el plano, la posición (P), perpendicular a P por O.

Figura 5.12 De forma análoga se efectúan los abatimientos de planos proyectantes sobre el plano vertical. 5.4.2. Abatimiento de un plano paralelo a la línea de tierra.

Sea el plano P paralelo a la LT (Fig. 5.13). Si se quiere abatir sobre el horizontal de proyección, la traza vertical P' ocupará la posición (P) de tal modo que el segmento C-E sea igual al C-A. La distancia C-A es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos O-A y O-C, es decir, la distancia de las trazas del plano P a la LT.

Figura 5.13 El trazado de este abatimiento en sistema diédrico se muestra en la Fig. 5.14. Para encontrar la posición de un punto T una vez abatido el plano puede seguirse el método general de la paralela y perpendicular a la charnela.

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De igual forma puede llevarse a cabo el abatimiento de un plano paralelo a la LT sobre el vertical de proyección.

Figura 5.14 5.4.3. Abatimiento de un plano que pasa por la línea de tierra.

Si P es el plano definido por la LT y el punto A (Fig. 5.15), sus trazas coincidirán con la propia LT, donde permanecerán después del abatimiento. Para obtener la posición de A una vez abatido el plano basta tener en cuenta que la distancia entre (A) y la LT (que es la charnela en este caso), debe ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la cota y el alejamiento del punto.

Figura 5.15 5.5. Determinación de la verdadera magnitud de una forma plana dada por sus proyecciones.

Siempre que una forma geométrica esté contenida en un plano paralelo a alguno de los de proyección, será posible apreciar su verdadera magnitud precisamente en la proyección sobre el plano respecto al que sea paralelo. Pero en el caso más genérico en que este plano se encuentre en una posición oblicua a los de proyección, se podrá apreciar la

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verdadera magnitud de la forma plana, una vez abatido el plano que la contiene y con él, los vértices de la misma. Para esto, resulta práctico representar la traza abatida del plano, mediante la que se puede obtener fácilmente la posición abatida de horizontales o frontales de plano, sirviéndonos de ellas para calcular las nuevas posiciones de los puntos.

Figura 5.16 En el ejemplo de la Fig. 5.17 se ha aplicado este método para obtener la verdadera magnitud de un cuadrado ABCD contenido en un plano oblicuo.

Figura 5.17

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Figura 5.18 Cuando la figura plana a abatir no tiene vértices, como es el caso de una curva, habrán de tomarse una serie de puntos de la misma y obtener su posición una vez abatido el plano que los contiene, uniéndolos a continuación. 5.6. Restitución de formas abatidas.

Se conoce así al procedimiento inverso de abatimiento de planos, es decir, a la obtención de las proyecciones de una figura, conociendo la posición abatida (P) de la traza del plano que no actúa como charnela, que en el ejemplo de la Fig. 5.18 es P’, la charnela P y el abatimiento de la forma plana, en este caso una circunferencia. En primer lugar será preciso determinar la posición de dicha traza del plano. Para ello se obtiene la proyección vertical v’ de un punto V contenido en P’, como intersección de un arco de circunferencia centrada en 0 y de radio 0-(V), con una recta perpendicular a la LT por la proyección horizontal v de dicho punto. La traza P’ quedará definida pues uniendo el punto 0 también perteneciente a ella, con v’. De forma inversa al procedimiento explicado en 5.5, se pueden ir obteniendo las proyecciones horizontales de rectas auxiliares, horizontales del plano P, sobre las cuales y en dirección perpendicular a la charnela se irán obteniendo las proyecciones horizontales de cada uno de los puntos de la circunferencia elegidos. Igualmente, las proyecciones verticales de dichos puntos se situarán sobre las proyecciones verticales de las mismas rectas auxiliares, calculadas en este caso como las líneas paralelas a la LT que pasan por la proyección vertical de la traza vertical de la recta auxiliar correspondiente.

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TEMA 6.

Homología.

6.1. Introducción.

La proyección de una figura plana F desde un punto O se consigue uniendo con segmentos rectos el punto O y los infinitos puntos del contorno de la figura, para después prolongarlos hasta el plano de proyección P (Fig. 6.1). Por tanto, proyectar es equivalente a definir una radiación de infinitas rectas.

Figura 6.1

Si una radiación se corta por dos planos diferentes P1 y P2, se obtendrán dos figuras F1 y F2 (Fig. 6.2), las cuales están relacionadas mediante una correspondencia que se denomina perspectividad u homología. Se dice que las figuras F1 y F2 son homólogas. Observando la Figura 6.2 se puede concluir que dos figuras planas son perspectivas u homólogas si las rectas que unen pares de puntos homólogos (A1 con A2, B1 con B2, C1 con C2, etc.) pasan por un punto fijo O, denominado centro de perspectividad o vértice de la homología.

Observando de nuevo la Figura 6.2, donde los segmentos A1B1 y A2B2 son homólogos, se puede comprobar que por ser coplanarias las rectas OA1A2 y OB1B2, las rectas A1B1 y A2B2 han de cortarse en un punto de la recta intersección de P1 y P2. Esta recta recibe el nombre de eje de la homología.


Figura 6.2

En definitiva, la homología es una transformación geométrica que hace corresponder los puntos de un plano con los puntos de otro plano, cumpliendo unas condiciones: 1 las rectas que unen puntos homólogos concurren en un mismo punto O, llamado centro de perspectividad o vértice de la homología. 2 las rectas homólogas se cortan en puntos de una misma recta, llamada eje de la homología. 6.2. Elementos fundamentales de una homología. La Figura 6.3 muestra la homología existente entre dos figuras, una perteneciente al plano P1 (F1) y otra perteneciente al plano P2 (F2): los puntos homólogos están unidos por rectas que se cortan en el centro O de la homología, y las rectas homólogas se cortan en la intersección de los planos P1 y P2. Todos los puntos situados en la recta intersección de los planos P1 y P2 son dobles u homólogos de si mismos. A esta recta de puntos dobles se le denomina, como ya se ha comentado, eje de la homología, y no existen puntos dobles que no pertenezcan a ella. Si se toma un plano paralelo a P2 que pase por el centro de la homología O, se cortará con P1 en una recta L1, paralela al eje E. Como ya se ha visto en el caso general, el homólogo de cualquier punto de L1, por ejemplo γ, se obtendrá uniéndolo mediante una recta con el punto O y hallando la intersección de esta recta con el plano P2. Pero sucede que la recta Oγ es paralela al plano P2, por lo que el punto de intersección es un punto impropio: es un punto del infinito del plano P2. Por esta razón, a L1 se le denomina recta límite de P1. Análogamente, se puede trazar un plano paralelo a P1 que pase por O, el cual se cortará con P2 en una recta J2, paralela al eje E. Si quiere conocerse el punto de P1 del cual es homólogo cualquiera del plano P2 basta unirlo con O y hallar la intersección del rayo con P1. Si esto se aplica a un punto cualquiera β, de la recta J2, obtendremos un rayo paralelo al plano P1, siendo el punto de intersección de ambos un punto situado en el infinito. Por esta razón, a J2

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se le denomina recta límite de P2. Obsérvese que prolongando A1B1 hasta L1 y A2B2 hasta J2, se tiene que Oβ =αγ, y Oγ=αβ, formando estos cuatro segmentos un paralelogramo. El esquema de la Fig. 6.4 muestra lo representado en la Fig. 6.3 disponiendo el eje de la homología perpendicular al plano del papel. La misma disposición tendrán las rectas límite L1 y J2. Además, se verifica que L1O=EJ2, y que L1E=OJ2.

Figura 6.3

Figura 6.4 6.3. Casos particulares de homología. Los casos particulares de la homología se producen como consecuencia de las posiciones particulares que ocupen el centro O y los planos P1 y P2.

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6.3.1.homología general. (Fig. 6.5). El caso general es el que hemos visto hasta ahora, en el que el vértice O es un punto determinado del espacio, mientras que los planos P1 y P2 se cortan en una recta.

Figura 6.5

6.3.2.afinidad. (Fig. 6.6). El centro de perspectividad es un punto situado en el infinito y los planos P1 y P2 son secantes. No existen rectas límite pero sí eje. Los pares de rectas afines se cortan en el eje de afinidad y los rayos que unen pares de puntos afines son paralelos a una misma dirección.

Figura 6.6 6.3.3.homotecia. (Fig. 6.7). En este caso los planos P1 y P2 son paralelos, y el centro de perspectividad es un punto propio. No existen rectas límite ni eje. Cualquier par de rectas homólogas de las figuras F1 y F2 son paralelas, y las figuras son semejantes.

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Figura 6.7

6.3.4.traslación. (Fig. 6.8). Si el centro de la homología es un punto impropio y los planos P1 y P2 son paralelos, la homología se denomina traslación. No existen rectas límite ni eje. Las figuras F1 y F2 son idénticas y pueden superponerse mediante la traslación de una de ellas.

Figura 6.8 6.4. Teorema de las tres homologías. El enunciado de este teorema dice lo siguiente: “Si obtenemos las figuras F1 y F2, homólogas de una figura plana F, con centros de homología distintos O1 y O2 y un mismo eje E, entonces las figuras F1 y F2 son homólogas entre si. El eje de la homología que las relaciona es el mismo eje E y el centro de homología O está alineado con los centros O1 y O2”. La demostración se puede hacer atendiendo a la Figura 6.9.

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Figura 6.9 Considerando en primer lugar la homología existente entre las figuras F y F1, pertenecientes a P y P1 respectivamente, con centro en O1 y eje E (intersección de P y P1), la recta AB debe cortarse con la recta A1B1 en un punto del eje E. De igual modo, en la homología existente entre las figuras F y F2, pertenecientes a P y P2 respectivamente, con centro en O2 y eje E (intersección de P y P2), la recta AB debe cortarse con la recta A2B2 en un punto del eje E. Como por hipótesis las planos P, P1 y P2 se cortan en una misma recta (el eje de las homologías es común), las rectas AB, A1B1 y A2B2 han de concurrir en un mismo punto del eje E. Queda así demostrada una de las condiciones que han de cumplirse para que las figuras A1B1 y A2B2 sean homólogas: las rectas homólogas se cortan en un punto del eje. Observando la misma Figura 6.9, se comprueba que O1, O2 y A definen un plano en el que está contenida A1A2. De igual forma O1, O2 y B definen un plano en el que está contenida B1B2. Además, estos dos planos referidos se cortan en la recta O1O2, por tanto, cualquier par de rectas que tomemos en uno y otro se cortarán en esa recta. Esto es lo que ocurre con las rectas A1A2 y B1B2: se cortan en un punto O alineado con O1 y O2. Se demuestra así la segunda condición que ha de cumplirse para que exista homología entre las figuras A1B1 y A2B2: las rectas que unen puntos homólogos se cortan en un mismo punto, que es el centro de la homología. En definitiva, el punto O, centro de la homología que relaciona F1 y F2, está alineado con los centros de homología O1 y O2, y el eje E de la homología es el mismo eje común de las homologías que relacionan F con F1 y F con F2. 6.5. Paso de una homología en el espacio a una homología en el plano. Dos figuras coplanarias F1‘ y F2‘ homólogas cumplirán las condiciones generales de homología (Fig. 6.10): las rectas que unen pares de puntos homólogos se cortan en un punto

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O’, llamado centro de homología, mientras que las rectas homólogas se cortan en una recta E’, llamada eje de la homología. Siempre se pueden obtener dos figuras homólogas coplanarias partiendo de dos figuras homólogas pertenecientes a planos diferentes.

Figura 6.10 Si consideramos que F1’ y F2’ son las proyecciones sobre un plano P cualquiera, de F1 y F2 respectivamente, entonces el centro O’ y el eje E’ de la homología en el plano, son las proyecciones del centro O y del eje E, respectivamente, de la homología existente en el espacio (Fig. 6.11). La forma de proyectar una homología en el espacio sobre un plano, se puede llevar a cabo de diversas formas, alguna de las cuales se explican brevemente a continuación.

Figura 6.11 6.5.1.Proyectando la perspectividad desde un punto impropio sobre un plano cualquiera, según una dirección cualquiera. En la Figura 6.12 se representa este caso disponiendo el eje E perpendicular al plano del papel. La perspectividad del espacio se ha proyectado, según una dirección cualquiera D,

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sobre el plano Q. Sería fácil comprobar, como se ha dicho antes, que en Q existe una relación de homología entre las proyecciones F1’ y F2’, cuyo centro es O’ y eje E’, proyecciones del centro O y del eje E, respectivamente, de la homología existente en el espacio. Además, L1’ y J2’, proyecciones de las rectas límite L1 y J2, son las rectas límite de la homología en Q.

Figura 6.12

6.5.2.Proyectando la perspectividad desde un punto impropio sobre el plano P1, según una dirección ortogonal a P1. La Figura 6.13 muestra este caso. En la homología que aparece en P1, la figura F1’, el eje E’ y la recta límite L1’ coinciden con los de la homología espacial.

Figura 6.13

6.5.3.Proyectando la perspectividad desde un punto impropio sobre el plano P1, según una dirección perpendicular al plano bisector de los planos P1 y P2. Lo que se va a estudiar en este apartado se enlazará con lo visto en el tema de abatimientos.

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Por ello, se recordarán en primer lugar las propiedades que aparecen cuando se abate un plano sobre otro. Considérese el segmento A1B1, contenido en el plano P1 (Fig. 6.14). Si P1 se abate sobre el plano Q tomando como eje de giro o charnela la intersección de ambos (E), el segmento A1B1 pasará a ocupar la posición A0B0, describiendo sus puntos una trayectoria en forma de arco de circunferencia, con centro en la recta E. Las rectas A1A0 y B1B0, resultan ser paralelas ya que los segmentos OA0 y OA1 son iguales entre si y perpendiculares a la charnela. Lo mismo ocurre con GB0 y GB1. Por tanto, las rectas A1A0 y B1B0 son perpendiculares al plano bisector de P y Q (plano W). La propiedad que se acaba de exponer se puede expresar diciendo que la figura perteneciente a un plano P1, abatida sobre el plano P2, se puede obtener proyectando dicha figura sobre el plano P2 desde un punto impropio según una dirección perpendicular al plano bisector W de P1 y P2.

Figura 6.14

Figura 6.15

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La Figura 6.15 representa el mismo concepto que la 6.14, disponiendo el eje de la homología perpendicular al plano del papel. Como en cualquier abatimiento, aquí también se cumple que los segmentos A1B1 y A0B0 son iguales. Se ofrece de esta forma una nueva visión a la clásica del abatimiento. Considérese ahora que A1B1 y A2B2 son homólogos, con el centro de la homología en O y eje E (Fig. 6.16). Por el teorema de las tres homologías, las figuras A0B0 A2B2 son homólogas, el centro de la homología es O0, el eje E y las rectas límite J2 y L10. Todo esto nos proporciona los elementos de la homología en el plano P2, que relaciona A2B2 con A0B0 (abatimiento de A1B1): -el eje E es la intersección de P1 y P2, y la recta límite J2 la intersección de P2 con el plano paralelo a P1 que pasa por O. -el centro O0 de la homología plana dista de J2 lo mismo que distaba en el espacio. -la ubicación de la otra recta límite (L10) viene impuesta, ya que es paralela al eje E y O0L10=EJ2 (ó EL10= O0J2).

Figura 6.16 6.6.Homología entre la proyección y el abatimiento de una forma plana. Las conclusiones obtenidas en el apartado anterior se pueden particularizar para el caso de los sistemas de representación cilíndrico-ortogonal. Considerando el triángulo ABC (Fig. 6.17), perteneciente al plano P, se puede establecer una relación de afinidad entre este y su proyección abc. La dirección de esta afinidad será perpendicular al plano de proyección y el eje E será la intersección del plano de proyección con el plano P (aquel en el que está contenido ABC). Entre ABC y su abatido existirá también una relación de afinidad con dirección perpendicular al plano W, bisector de P y el de proyección, y eje coincidente con el anterior, intersección de W con el de proyección.

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Por tanto, y según lo visto anteriormente, entre abc y A0B0C0 existe una relación de afinidad plana, con el mismo eje y dirección perpendicular a éste.

Figura 6.17 La representación diédrica se refleja en la Figura 6.18. Para obtener por afinidad la figura abatida hay que conocer la posición abatida de uno de sus puntos (en la Figura 6.18 este punto es el B0). El mismo razonamiento se puede aplicar para la proyección vertical y el abatimiento de la figura sobre el plano vertical de proyección.

Figura 6.18

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6.7. Propiedades y construcciones fundamentales en la homología plana. De todo lo dicho hasta ahora, se puede afirmar que una homología plana establece una correspondencia biunívoca entre los puntos de dos figuras. Así, dos puntos homólogos definen una recta que pasa por O, centro de la homología, y dos rectas homólogas se cortan en un punto de una recta denominada eje de la homología (Fig. 6.18). Una homología queda definida si se conocen tres elementos de ella. Cuando estos tres elementos son el centro, el eje y la primera recta límite, se trata de la definición canónica de la homología. Si los datos que se facilitan son otros, habrá que calcular estos tres elementos fundamentales. Se estudiarán a continuación distintas opciones para definir una homología plana. 6.7.1. Dados el centro O, el eje E y dos puntos homólogos A1 y A2. (Fig. 6.19). Queda por definir la recta límite L1. Los puntos A1, A2 y O deben estar alineados. Si se define una recta cualquiera R1 que pase por A1, se cortará con el eje E en α. Uniendo A2 con α se obtendrá la recta R2, homóloga de R1. Si se traza una paralela a R2 por O, ésta se corta con R1 en un punto γ de L1, La cual será paralela a E.

Figura 6.19 6.7.2. Dados el centro O, el eje E y dos rectas homólogas R1 y R2. (Fig. 6.20). Teniendo en cuenta lo que se ha explicado en el apartado anterior, la recta límite L1 se obtendrá trazando una recta paralela al eje E por el punto de intersección α de R1 con la paralela a R2 dibujada por O. 6.7.3. Dados el centro O, el eje E y la recta límite J2. (Fig. 6.21). Para definir L1, que será paralela a E y J2, basta trazar una recta cualquiera R2. Su homóloga R1 se cortará con R2 en un punto α del eje y será paralela a Oβ. R1 y Oγ (paralela a R2) se cortarán en un punto de la recta límite L1.

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Figura 6.20

Figura 6.21 6.7.4. Hallar el homólogo de ABC dado éste, el centro O, la recta límite L1 y el eje E. (Fig. 6.22). Los puntos A1, B1, y C1, han de estar sobre las rectas trazadas desde O hasta A, B, y C respectivamente. Además, la recta Oγ es paralela a la homóloga de AC. Luego si se traza una paralela a Oγ por α, se cortará con las rectas OA y OC en A1 y C1 respectivamente. Este razonamiento se puede aplicar para el resto de los segmentos que definen la figura ABC, o bien se puede acudir a la propiedad que hace que se corten las rectas homólogas en un punto del eje.

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Figura 6.22

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TEMA 7.

Sistema Diédrico. Giros.

7.1. Generalidades.

Los giros son procedimientos usados en Geometría Descriptiva para colocar elementos como puntos, rectas y planos de modo que sus proyecciones pongan de manifiesto información que no es evidente en sus posiciones originales. Para definir un giro será preciso determinar los elementos a girar, dados por sus proyecciones, el eje de giro, el sentido y la magnitud del mismo. Los giros son representados por las trayectorias descritas por los elementos alrededor de una recta o eje, por lo que no será estrictamente correcto hablar de giros alrededor de planos o alrededor de puntos. En la mayoría de las ocasiones el sentido de giro y su magnitud serán determinados en función del objetivo que se vaya buscando en cada problema. La posición del eje de giro puede ser cualquiera, aunque para que el procedimiento sea operativo en Sistema Diédrico, las posibilidades se suelen restringir a ejes de giro perpendiculares a alguno de los planos horizontal, vertical o de perfil de proyección. En el caso más general en que se presente la necesidad de realizar un giro alrededor de un eje oblicuo, se suele recurrir a algún procedimiento previo que permita su transformación a recta de punta a alguno de los planos de proyección.

7.2. Giro de un punto.

En la Fig. 7.1 se representa el croquis perspectivo del giro de un punto A, alrededor de un eje E, hasta colocarse en la posición Ag. La trayectoria circular que describe este punto en su giro está contenida en un plano horizontal cuya cota coincide con la del punto A. La proyección horizontal de esta trayectoria será una circunferencia centrada en la proyección horizontal del eje de giro, e, y de radio la distancia en verdadera magnitud entre el punto y el eje, e-a, mientras que la proyección vertical será una línea paralela a LT (Fig.7.2). Sobre ellas se encontrarán la proyecciones horizontal y vertical del lugar geométrico de los puntos resultado de girar el A, del que se ha representado uno de ellos, Ag.


En este ejemplo se podrán apreciar el ángulo girado α, y la distancia recorrida por el punto en su giro a-ag, en verdadera magnitud, sobre la proyección horizontal. De forma análoga al caso anterior, se puede estudiar el giro que describe un punto alrededor de un eje perpendicular al plano vertical de proyección, obteniéndose la verdadera magnitud de la trayectoria y ángulo en el mismo plano vertical.

Figura 7.1

Figura 7.2

7.3. Giro de una recta. Por supuesto, si se calculan las posiciones de dos puntos que pertenecen a una recta después de girar el mismo ángulo alrededor de un eje común y en el mismo sentido de giro, se define la posición de la recta que los contiene, una vez girada. La longitud de la trayectoria girada por cada uno de estos puntos dependerá de sus respectivas distancias al eje de giro.

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F. Agüera, F.J. Aguilar, F. Carvajal, M.A. Aguilar, B. Navarro

En el caso particular de que se corte la recta a girar y el eje de giro, se puede considerar el hecho de que la posición girada del punto de intersección coincide con su posición antes de realizar el giro. Bastará con calcular un segundo punto girado de la recta. En el ejemplo representado en la Fig. 7.3 se ha girado una recta R alrededor de un eje E perpendicular al plano horizontal de proyección, el ángulo α necesario para que después del giro, la recta Rg resulte frontal. Para calcular dicho ángulo se traza como referencia una línea perpendicular a la proyección horizontal de la recta, que pasa por e, y que debe terminar perpendicular a LT tras el giro. Las proyecciones verticales de los puntos Ag y Bg se obtienen a la misma cota que los A y B respectivamente. Se puede simplificar la operación si se gira el punto C, perteneciente a R, cuya proyección horizontal se obtiene como intersección de r con una perpendicular a ella que pase por e. Cuando esta perpendicular quede colocada como una recta de punta al plano vertical, la recta girada Rg se habrá transformado en frontal.

Figura 7.3

Girando de nuevo una recta frontal R, en esta ocasión respecto a un eje E perpendicular al plano vertical de proyección, se puede llegar a colocar como recta de punta al horizontal Rg, como se muestra en la Fig. 7.4, o paralela a LT en otro caso. Es importante observar que los puntos traza de la recta antes de ser girada, no coinciden con los puntos de intersección de la recta girada y los planos de proyección. Es decir, las trazas de una recta dejan de serlo después de girarla, por lo que no supone ninguna ventaja ni simplificación al problema, apoyarse en ellos para realizar el giro. De forma similar al proceso explicado, se puede trazar una recta horizontal mediante un giro de una oblicua respecto a un eje perpendicular al plano vertical, y al realizar un segundo giro de ésta respecto a un eje perpendicular al horizontal, obtener una recta de punta al plano vertical en un caso o una paralela a LT en otro.

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7.4. Giro de un plano. Haciendo extensivo el razonamiento empleado para explicar el giro de una recta, si se giran la misma magnitud, en el mismo sentido y alrededor de un sólo eje, tres puntos no coplanarios, un punto y una recta, dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan, se estará girando un plano. Sin embargo, será más simple el trazado si se gira la traza del plano correspondiente al de proyección respecto al que sea perpendicular el eje de giro, y un punto perteneciente a la otra traza del plano. En la Fig. 7.5 se muestra el giro de un plano oblicuo P respecto a un eje E, perpendicular al plano horizontal de proyección. Para llevarlo a cabo se han girado la traza horizontal del plano P y un punto M perteneciente al plano.

Figura 7.4

La traza del plano que no corresponde con el plano de proyección respecto al que es perpendicular el eje de giro, en este caso P’, deja de ser traza después del giro. Por ello, se obtiene Pg girando P un ángulo α (con el punto A como referencia), mientras que para obtener Pg’ habrá que apoyarse en una horizontal del plano girado que contenga a Mg. Si se define un ángulo y un sentido de giro que dé como resultado una traza horizontal del plano girado paralela a la línea de tierra, el plano resultante quedaría colocado paralelo la LT. En cambio, si dicha traza resultara perpendicular a la línea de tierra, se habría definido un plano proyectante vertical (Fig. 7.6). Si se practica un segundo giro sobre el plano proyectante vertical alrededor de un eje perpendicular al plano vertical de proyección se puede llegar a obtener un plano paralelo al horizontal de proyección. De forma análoga, se puede transformar un plano oblicuo cualquiera en un proyectante horizontal, y éste en un paralelo al vertical de proyección mediante dos giros consecutivos alrededor de ejes perpendiculares al vertical y horizontal de proyección, respectivamente.

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Figura 7.5

Figura 7.6

Como ha podido observarse, los giros, como método auxiliar, permiten obtener vistas apropiadas del objeto en cuestión, de forma que podamos realizar mediciones dimensionales y angulares en verdadera magnitud. Mientras que giros de ejes vertical u horizontal son relativamente fáciles de solventar, los giros de eje oblicuo a los planos de proyección son complicados de ejecutar. En este caso se procede a la descomposición vectorial del eje de giro en sus componentes vertical y horizontal. La geometría computacional, sin embargo, aunque emplea fundamentos geométrico-descriptivos para la representación tridimensional de los objetos en la pantalla del ordenador , recurre al álgebra matricial para la aplicación de transformaciones como traslaciones, giros, simetrías, escalados, etc. Simplemente es más sencillo implementar

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algoritmos de programación que empleen sistemas de cálculo matricial que utilizar los principios descriptivos y geométricos expuestos en este libro. En cualquier caso, los principios geométricos tridimensionales estudiados son universales, al menos dentro del cuerpo de doctrina de la geometría euclídea. Algunos filósofos, como el propio Kant, respaldados por cerebros tan despiertos como los de Bertrand Russell o Albert Einstein, piensan que la geometría forma parte del acerbo de conocimiento inherente al ser humano.

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TEMA 8.

Sistema Diédrico. Cambios de plano.

8.1. Generalidades.

En el procedimiento que se describe en este tema aparece como particularidad respecto a los abatimientos y a los giros el hecho de que los objetos representados (puntos, rectas y planos) permanecen en su lugar, y es el diedro de referencia el que cambia. La única condición que debe cumplir este cambio es que los nuevos planos de proyección horizontal y vertical deben seguir siendo ortogonales. El objetivo que se persigue cuando se realiza un cambio de plano es que la posición relativa entre los elementos representados y los planos de proyección aporten información de forma explícita que no se podía apreciar antes de realizar el cambio. Cuando se realiza el cambio de uno de los planos de proyección es necesario conservar el otro, quedando definida la nueva línea de tierra como la recta intersección entre ambos. Esta recta queda representada en el Sistema Diédrico de forma análoga a la representación de la antigua LT, pero colocando dobles trazos en sus extremos y en la parte correspondiente al nuevo semiplano horizontal anterior. Si se realiza un segundo cambio de plano, los trazos bajo la línea de tierra deben ser triples, cuádruples en el tercer cambio de plano, etc. Además, y junto a una llave, se define el plano que ha cambiado colocando un subíndice 1 a la inicial del plano que ha cambiado por primera vez, V1 ó H1, 2 si es la segunda vez, y así sucesivamente. En la Fig. 8.1 se muestra la representación perspectiva y diédrica de un cambio del plano vertical de proyección original V por otro nuevo V1, conservando el plano horizontal H.

Puesto que en este cambio de plano se ha conservado el plano horizontal, la nueva proyección horizontal del punto a1, permanecerá en el mismo lugar que la antigua, a, y la cota del punto A no cambiará. Por eso, una vez representada la nueva LT, con el doble trazo correspondiente y la llave que indica el plano cambiado, la nueva proyección vertical a1’, se hallará en una perpendicular por a1 respecto a dicha nueva LT, y a la misma distancia respecto a ella que la que presentaba la antigua proyección vertical a’ respecto a la antigua LT. A las proyecciones de los elementos cambiados se denotan con subíndices que indican el número de planos de proyección cambiados hasta el momento.


Mediante el mismo razonamiento se puede deducir que en un cambio de plano horizontal lo que se conserva de cada punto son las proyecciones verticales, hallando, sobre las perpendiculares por ellas a la nueva LT, las nuevas proyecciones horizontales con los mismos alejamientos. Para proyectar un elemento sobre un diedro nuevo por completo, será necesario realizar dos cambios de planos consecutivos, uno horizontal y otro vertical.

Figura 8.1

8.2. Proyecciones de una recta tras un cambio de plano. Al ser sustituido uno de los planos de proyección por otro, la traza de una recta respecto a dicho plano cambia también. Por lo tanto, para obtener las nuevas proyecciones que una recta arroja sobre un diedro de referencia nuevo, realizado un cambio de plano, basta con calcular las nuevas proyecciones de dos de sus puntos cualesquiera (Fig. 8.2).

Figura 8.2

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En esta ocasión se han calculado las nuevas proyecciones r1’-r1, de una recta R tras cambiar el plano horizontal H por un nuevo H1, basándose en las nuevas proyecciones de los puntos A y B pertenecientes a la misma. Si se realiza un cambio del plano horizontal de forma que la nueva LT sea paralela a la proyección vertical de una recta R, dicha recta quedará proyectada como una horizontal respecto al nuevo diedro, r1’-r1. Y si posteriormente se cambia el plano vertical colocando la nueva LT perpendicular a la proyección horizontal de esta recta horizontal, r1, se obtendrá una recta de perpendicular al plano vertical de proyección, r2’-r2 (Fig. 8.3).

Figura 8.3 Igualmente, se puede conseguir que una recta se proyecte como perpendicular al plano horizontal de proyección mediante dos cambios de plano consecutivos, vertical y horizontal, con la dirección adecuada de las nuevas LT. La verdadera magnitud de una recta se puede observar sobre un plano de proyección cuando ambos elementos son paralelos. Por tanto, para calcular la distancia entre dos puntos, bastará con realizar el cambio de plano necesario para que el segmento definido por ambos puntos quede paralelo a uno de los planos de proyección. Si se trata de calcular la distancia entre una recta y un punto, se pueden aplicar los cambios de plano necesarios para dejar situada dicha recta perpendicular a uno de los planos de proyección. Será la proyección sobre el plano al que la recta es perpendicular la que muestre la verdadera magnitud buscada. También se puede determinar, mediante cambios de plano, la distancia entre dos rectas que se cruzan en el espacio, haciendo que una de ellas quede colocada perpendicular a uno de los planos de proyección. La proyección de dicha recta en ese plano será un punto, y la solución buscada será la distancia entre este punto y la proyección de la otra recta en el mismo plano.

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8.3. Trazas de un plano tras un cambio de plano. Igual que le ocurren a las rectas, al definir un nuevo plano de proyección, una de las trazas del plano coincide con su homónima antes del cambio, mientras que habrá que calcular la posición de la traza correspondiente al nuevo plano de proyección. En la Fig. 8.4 se ha cambiado el plano vertical de proyección, haciendo que cambie también la traza vertical del plano, P’. Su nueva proyección se obtendrá si se conocen las nuevas proyecciones de dos de sus puntos.

Figura 8.4 Por razones lógicas, uno de ellos debe ser el punto de intersección entre la traza horizontal que se conserva y la nueva LT. El otro, punto M, ha sido tomado obligando a su proyección horizontal a pertenecer a las LT antigua y nueva. De este modo, el trazado de su nueva proyección vertical m1’ se puede realizar de forma directa por intersección de un arco de circunferencia centrado en la proyección horizontal del punto, m, y de radio la cota del mismo, con una recta perpendicular a la nueva LT por m. Además en el ejemplo se ha elegido un cambio de plano cuya nueva LT es perpendicular a la traza del plano que se conserva, P. Por lo tanto, el plano queda colocado respecto al nuevo diedro como proyectante vertical. Realizando un nuevo cambio de plano, en esta ocasión del horizontal, de modo que la nueva LT sea paralela a la traza que se conserva, P’, el plano quedará paralelo al nuevo plano horizontal de proyección. Todos los elementos que estuvieran contenidos en él son observados en verdadera magnitud en ésta última proyección horizontal. De igual modo, para hacer que un plano oblicuo cualquiera resulte paralelo al vertical de proyección basta con realizar dos cambios de plano consecutivos, horizontal y vertical, con la orientación adecuada de las nuevas LT.

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Pero si el primer cambio de plano que se lleva a cabo sobre un plano oblicuo cualquiera P, se define de modo que la nueva LT sea paralela a la traza que se conserva P’, el plano quedará colocado como paralelo a la nueva LT (Fig. 8.5).

Figura 8.5 Se podrá calcular la distancia entre dos planos oblicuos, paralelos entre sí, mediante un cambio de plano que los transforme en planos proyectantes. La distancia entre dos planos cualesquiera se obtiene como la distancia entre los puntos de intersección de ambos planos con una recta auxiliar que sea perpendicular a ambos. Si estos planos son proyectantes, esta distancia se puede apreciar, en verdadera magnitud y de forma directa, como la distancia entre las trazas oblicuas de ambos planos sobre el plano de proyección respecto del que son proyectantes. Por la misma razón, la distancia entre un punto y un plano se puede apreciar si se hace un cambio de plano que permita colocar a dicho plano como proyectante. La distancia buscada será la que presenten la traza oblicua de este plano proyectante y la proyección homónima del punto. El ángulo formado por dos planos oblicuos cualesquiera puede ser apreciado en verdadera magnitud si se hacen los cambios de plano necesarios para colocar su recta intersección como perpendicular a uno de los planos de proyección. Según estos cambios, los planos quedarán colocados como proyectantes, por lo que el ángulo que forman sus trazas oblicuas mostrará la verdadera magnitud del formado por los planos en el espacio. En algunos casos, la representación de un objeto mediante sus vistas normalizadas o convencionales (planta, alzado y perfil: ver tema 20) origina deformaciones de las magnitudes reales que hacen difícil su correcta comprensión. Esto ocurre cuando la cara que se proyecta y el plano de proyección no son paralelos entre sí. Tanto la vista en planta como el alzado deforman la magnitud real de la pieza, reduciéndola en su representación. Es necesario por tanto recurrir a vistas no normalizadas que sean

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ortogonales a la cara de la pieza que queremos representar. El procedimiento para dibujar estas vistas auxiliares o particulares se basa en la teoría expuesta de cambios de plano expuesta en este tema. Por ejemplo, las vistas auxiliares simples o primarias son aquellas vistas en las que sólo se necesita un cambio de plano para colocar la cara de la pieza a representar paralela al nuevo plano de proyección, de forma que se proyecte en verdadera magnitud. Las vistas auxiliares dobles o secundarias son conceptualmente similares a las vistas auxiliares simples, solo que en este caso son necesarios dos cambios de plano consecutivos para obtener una vista en verdadera magnitud de la parte de la pieza que queremos representar. En este caso el plano que contiene la cara a proyectar es oblicuo a ambos planos de proyección, horizontal y vertical.

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TEMA 9.

Sistema Diédrico. Distancias, ángulos y pendientes.

9.1. Distancia entre dos planos.

La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio (por ejemplo A y B, Fig. 9.1), es la longitud del segmento que los une. Para medir este segmento, se proyectará sobre un plano cualquiera P, obteniendo así A1 y B1. Si a continuación se traza por A el segmento AC, paralelo a A1 y B1, se formará el triángulo rectángulo ABC, en el que la hipotenusa es la longitud que se quiere determinar, y los catetos son conocidos puesto que AC= A1B1= longitud de la proyección del segmento AB sobre P, y BC= BB1-CB1= BB1-AA1. Esto quiere decir que en el triángulo rectángulo en cuestión, un cateto es la proyección del segmento AB sobre P, y el otro la diferencia de longitud de los rayos proyectantes que pasan por A y B.

Figura 9.1

Trasladando lo explicado hasta ahora al sistema diédrico, se puede afirmar que la distancia D existente entre dos puntos A y B es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son: uno la proyección horizontal del segmento AB, y el otro la diferencia de cotas existente entre A y B (Fig. 9.2)


Figura 9.2 El mismo razonamiento se puede hacer tomando como catetos del triángulo rectángulo la proyección del segmento AB sobre el plano vertical y la diferencia de alejamientos entre los puntos A y B respectivamente (Fig. 9.3).

Figura 9.3

Hay que tener en cuenta que si los puntos se encuentran en distintos cuadrantes habrá que considerar el signo de las cotas y los alejamientos a la hora de trazar el triángulo. El procedimiento visto, consistente en construir el triángulo ABC sobre el plano de proyección considerado, puede sustituirse aplicando los conocimientos adquiridos en los temas de abatimientos, giros y cambios de plano. Cálculo de la distancia entre dos puntos utilizando abatimientos. (Fig. 9.4). El segmento AB se contiene en un plano cualquiera, obteniéndose a continuación la posición abatida A0B0 de dicho segmento.

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En la Figura 9.4 las trazas del plano en el que se ha contenido AB no aparecen, y se ha abatido sobre el plano H, paralelo al horizontal de proyección. La recta horizontal de plano que se ha usado como charnela se corta con AB en el punto 1.

Figura 9.4

Cálculo de la distancia entre dos puntos utilizando giros. (Fig. 9.5). Mediante este método se dispondrá el segmento AB paralelo a alguno de los planos de proyección, obteniendo sobre éste la proyección en verdadera magnitud. En la Figura 9.5 el segmento AB se ha dispuesto paralelo al plano vertical de proyección, tomando como eje de giro la recta E, perpendicular al horizontal. Por tanto, la longitud de la proyección vertical b’a’g del segmento girado coincidirá con la del segmento AB.

Figura 9.5

Cálculo de la distancia entre dos puntos utilizando cambios de planos. (Fig. 9.6). Al igual que en el caso anterior, el segmento AB, cuya longitud se pretende conocer, se dispone paralelo a cualquiera de los planos de proyección, utilizando ahora un cambio de plano.

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En la Figura 9.6 se ha realizado un cambio de plano vertical disponiendo así AB paralelo a él. La proyección vertical a’cb’c coincidirá con la longitud de AB.

Figura 9.6

9.2. Distancia de un punto a un plano.

La distancia de un punto A a un plano P es la longitud D del segmento perpendicular a P que parte de A (Fig. 9.7).

Figura 9.7

Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma (Fig. 9.8): - Por A se traza una recta S perpendicular a P. - Se halla el punto B, que es la intersección de la recta S con el plano P. - La distancia entre A y P será la que existe entre A y B.

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Figura 9.8

9.3. Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto A a una recta R es la longitud D del segmento perpendicular a la recta que parte desde dicho punto (Fig. 9.9).

Figura 9.9

En la Figura 9.10 se indica el método general para calcular la distancia del punto A a la recta R: - Por A se traza un plano P perpendicular a R. - Se halla el punto B, intersección de la recta R y el plano P. - La distancia entre A y R será la que exista entre A y B. En la Figura 9.11 se ha resuelto el problema usando el sistema de representación diédrico.

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Figura 9.10

Figura 9.11

9.4. Distancia entre dos rectas paralelas.

La distancia D existente entre dos rectas paralelas R y S es la longitud del segmento AB que las une, siendo este segmento perpendicular a ambas (Fig. 9.12). El procedimiento general para realizar este cálculo es el que se expone a continuación, y está reflejado en la figura 9.13: - Se traza un plano P perpendicular a las rectas paralelas R y S. - Se calcula la intersección del plano P con las rectas, obteniendo así los puntos A y B. - La distancia D entre R y S es la que existe entre A y B.

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Figura 9.12

Figura 9.13

En la Figura 9.14 se ha resuelto el problema utilizando el sistema diédrico de representación y siguiendo el método expuesto. Otra posibilidad sería obtener el abatimiento de las rectas R y S, una vez abatido el plano que definen. La distancia entre ambas vendría dada como la longitud del segmento perpendicular a R0 y S0 (Fig. 9.15). El problema también se puede resolver acudiendo al cambio de plano, como se ha hecho en la Figura 9.16. En ella se han realizado dos cambios de plano: el primero (cambio de plano vertical) ha dispuesto al plano que determinan las dos rectas como un proyectante vertical, mientras que el segundo (cambio de plano horizontal) ha dispuesto dicho plano

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paralelo al horizontal de proyección, pudiendo medir, por tanto, la distancia entre ambas rectas directamente en la proyección horizontal. Para llevar a cabo el proceso se han tomado los puntos 1, 2, 3 y 4, situados en las horizontales de plano H1 y H2 del plano definido por R y S.

Figura 9.14

Figura 9.15

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Figura 9.16 En la Figura 9.17 se ha llegado al mismo resultado usando como herramienta de trabajo los giros. Mediante dos giros, se ha dispuesto el plano definido por R y S paralelo al horizontal de proyección. Al igual que en el caso anterior, se ha trabajado con cuatro puntos situados en dos horizontales del plano definido por las rectas R y S. El primer giro ha tomado como eje la recta vertical E, de manera que el plano en cuestión ha quedado como proyectante vertical. El segundo ha tomado como eje de giro la recta perpendicular al plano vertical E1, quedando el plano que definen R y S, al final del giro, paralelo al horizontal de proyección. La distancia entre R y S se podrá medir directamente sobre la proyección horizontal y será igual a la longitud del segmento perpendicular a rg1 y sg1 (D). En este problema geométrico hemos observado como cualquiera de los métodos descriptivos auxiliares estudiados en anteriores temas puede servirnos para encontrar la solución correcta. El que uno u otro sea más o menos adecuado dependerá del problema concreto a que nos enfrentemos y de la situación relativa de los elementos que intervengan en el mismo. Por otra parte, no debemos olvidar nunca que la aplicación de los métodos auxiliares sólo representa la utilización de un procedimiento técnico con el que obtener las condiciones proyectivas más apropiadas para la resolución de un determinado problema. La visualización tridimensional del ingeniero es, en definitiva, la que debe conducir y dirigir el procedimiento a emplear.

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Figura 9.17

9.5. Distancia entre dos planos paralelos.

La distancia entre dos planos paralelos P y Q es la longitud del segmento AB, que parte de P y llega a Q, siendo perpendicular a ambos planos (Fig. 9.18). Los pasos a seguir se explican a continuación: - Se traza una recta R perpendicular a los planos P y Q, cuya distancia se quiere conocer. - Se halla la intersección de R con los planos Q y Q, obteniendo así A y B respectivamente. - La distancia entre P y Q será la que existe entre A y B En la Figura 9.19 se sigue el procedimiento anterior, utilizando el sistema diédrico.

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Figura 9.18

Figura 9.19

9.6. Distancia entre dos rectas que se cruzan.

La distancia entre dos rectas R y S que se cruzan viene determinada por la longitud del segmento MN, que es perpendicular a ambas rectas (Fig. 9.20). Si sólo se pide la distancia entre las rectas y no se pide la perpendicular común, el problema se puede simplificar resolviéndolo de la siguiente forma (Fig. 9.21):

- Trazar por una de las rectas, por ejemplo S, un plano P paralelo a la otra - Hallar la distancia D desde cualquier punto de R al plano P.

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Figura 9.20

Figura 9.21 9.7. Ángulo que forman dos rectas.

Pueden aparecer dos casos: que las rectas se corten o se crucen. Las rectas se cortan. Si las rectas R y S se cortan en un punto A (Fig. 9.22) determinan un plano P. Si este plano se abate sobre uno de los planos de proyección o alguno paralelo a ellos, el ángulo que forman las rectas se podrá medir directamente. En la Figura 9.23 el plano P se ha abatido sobre un plano horizontal de proyección, obteniendo así la posición abatida de R y S: R0 y S0 respectivamente. El ángulo α comprendido entre R0 y S0 es el que forman las rectas en el espacio.

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Figura 9.22

Figura 9.23

Igual que se hizo al calcular la distancia entre dos rectas paralelas (apartado 9.4), se pueden utilizar aquí los métodos auxiliares de cambios de plano o giros para medir el ángulo formado por dos rectas que se cortan. A modo de ejemplo, en la Figura 9.24 se ha calculado el ángulo que forman las rectas R y S utilizando dos cambios de plano.

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El primero ha dispuesto el plano que determinan las rectas como proyectante vertical, mientras que el segundo lo ha dispuesto paralelo al plano horizontal de proyección. De esta forma, el ángulo α se puede medir directamente en la proyección horizontal. Las rectas se cruzan. En este caso se traza por un punto cualquiera de una de las rectas, una recta paralela a la otra, y se opera como en el caso anterior.

Figura 9.24 9.8. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección.

En general, para hallar el ángulo que una recta forma con un plano cualquiera, habrá que determinar la proyección cilíndrico-ortogonal de la recta sobre el plano. El ángulo buscado será el que forman la recta en el espacio y su proyección. Según lo que se acaba de exponer, el ángulo α que una recta R forma con el plano horizontal es el que forma con su proyección horizontal. Análogamente, el ángulo β que una recta R forma con el plano vertical de proyección es el que forma con su proyección vertical (Fig. 9.25).

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Figura 9.25

Se pueden utilizar diferentes técnicas para calcular estos ángulos. Supongamos que se quiere determinar el ángulo formado por la recta R y el plano horizontal de proyección. Estas técnicas pueden ser: Abatimiento. (Fig. 9.26). La recta R se ha contenido en un plano P, proyectante horizontal, y después se ha abatido sobre el horizontal de proyección. El ángulo α que forman R0 y P es el que forma R con el horizontal de proyección.

Figura 9.26

Giros. (Fig. 9.27). Si la recta se dispone paralela al plano vertical de proyección, el ángulo que ella forma con el horizontal de proyección se medirá directamente como el que forma su proyección vertical con la línea de tierra. Para llevar a cabo esto, se toma un eje de giro perpendicular al plano horizontal. En la Figura 9.27 el eje E que se ha tomado está contenido en el plano vertical de proyección, y R al final del giro también queda contenida en el mismo plano.

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Figura 9.27

Cambios de plano. (Fig. 9.28). Se efectúa un cambio de plano para que R quede paralela o contenida en alguno de los planos de proyección. En la Figura 9.28 la recta se ha dispuesto paralela al plano vertical de proyección tras el cambio de plano.

Figura 9.28

De igual forma se podría haber determinado el ángulo β que la recta R forma con el plano vertical de proyección. 9.9. Ángulo formado por una recta y un plano.

Como se dijo al principio del apartado anterior, el ángulo que una recta forma con un plano cualquiera viene determinado por el ángulo entre la recta y su proyección cilídrico-ortogonal sobre el plano. De acuerdo con esto, los pasos a seguir para hallar el ángulo formado por la recta R y el plano P son los siguientes (Fig. 9.29):

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- Se encuentra el punto A, intersección de la recta R y el plano P. - Se proyecta cilíndrico-ortogonalmente R sobre P. Para ello:

- se toma un punto cualquiera de la recta (punto B) - se traza una recta T que pase por B y sea perpendicular a P - se halla el punto de intersección de T y P (punto C) - la recta AC será la proyección buscada (recta S).

El ángulo α entre R y P será el formado por las rectas R y S, el cual se podrá calcular con cualquiera de los métodos vistos en el apartado 9.7.

Figura 9.29

9.10. Ángulo formado por dos planos.

Para hallar el ángulo que forman dos planos cualesquiera se pueden seguir dos métodos diferentes: Con este primer método se determina la magnitud del ángulo, pero no la posición. Por tanto, no será útil si se pretende trazar, por ejemplo, el plano bisector de los dos dados. La ventaja es su simplicidad respecto al siguiente método que se verá. Los pasos a seguir para hallar el ángulo existente entre dos planos P y Q dados son los siguientes (Fig. 9.30): - Se toma un punto A cualquiera, exterior tanto a P como a Q. - Por A se traza una recta R perpendicular a P, y otra recta S perpendicular a Q. - Se determina el ángulo γ formado por R y S. - El ángulo α formado por P y Q es el suplementario de γ, es decir, α=180-γ.

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Figura 9.30

Para hallar el ángulo formado por dos planos P y Q en posición y magnitud, se ha de determinar el ángulo rectilíneo correspondiente del diedro que forman ambos planos (Fig. 9.31). Los pasos a seguir son los siguientes: - Se halla la recta intersección I de los planos P y Q. - Se traza un plano M perpendicular a I. - Se halla la recta intersección del plano P y el plano M (recta R), y la del plano Q con el plano M (recta S). - El ángulo α formado por P y Q es el que forman R y S.

Figura 9.31 9.11. Ángulo que forma un plano con los de proyección.

La suma de los ángulos que un plano cualquiera forma con los de proyección está comprendida entre 90º y 180º. Los casos extremos que se presentan son los siguientes: un plano paralelo al vertical de proyección formará con éste 0º, y 90º con el horizontal de proyección. Un plano paralelo al horizontal de proyección formará con éste 0º, y 90º con

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el vertical de proyección. Un plano de perfil formará 90º con ambos planos de proyección.

Figura 9.32

Figura 9.33

El ángulo que un plano cualquiera P forma con el horizontal de proyección se puede calcular acudiendo a cualquiera de los métodos vistos en el apartado anterior. Si se aplica el segundo procedimiento, la recta intersección entre ambos planos será la traza horizontal de P. El plano M, que será un proyectante horizontal, cortará a P según una línea de máxima pendiente (R), y al plano horizontal de proyección lo cortará según la recta S (Fig 9.32). El ángulo α que el plano P forma con el horizontal de proyección es el que forman R y S. Abatiendo M se verá dicho ángulo en verdadera magnitud. En realidad, lo que se ha hecho es calcular el ángulo que una línea de máxima pendiente de P forma con el plano horizontal de proyección. El mismo razonamiento se puede aplicar al ángulo formado por el plano P con el plano vertical de proyección (Fig. 9.33). En este caso M será un proyectante vertical, siendo la intersección con P una línea de máxima inclinación. El ángulo β formado por P y el vertical de proyección es el que una línea de máxima inclinación forma con este último.

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9.12. Pendiente de una recta.

La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo que forma con el plano horizontal. Normalmente, la pendiente se expresa en porcentaje, para lo cual simplemente se multiplica por 100 el valor de la tangente. La forma de calcular dicho ángulo puede ser cualquiera de las expuestas en apartados anteriores. En la Figura 9.34 la pendiente de la recta R se podrá calcular a partir de la proyección horizontal ab de un segmento AB y de la diferencia de cotas entre A y B.

Figura 9.34

Figura 9.35

Del triángulo ABC, en el que α es el ángulo que R forma con el plano horizontal, conocemos AC (igual a la proyección horizontal ab), y la diferencia de cotas entre A y B, con lo que dicho triángulo queda totalmente definido. El valor de la tangente será el cociente de ∆ cota AB entre la longitud de ab. Por último, la pendiente de un plano coincide con la pendiente de cualquiera de sus infinitas rectas de máxima pendiente.

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TEMA 10.

Poliedros.

10.1. Clasificación de las superficies. Poliedros.

Intuitivamente, una superficie es el límite que sirve de separación entre un cuerpo y el entorno que lo rodea. Geométricamente, una superficie es el lugar geométrico de las diferentes posiciones que ocupa una línea cualquiera que se deforma y se mueve en el espacio de acuerdo con unas leyes determinadas. Cuando se habla de representación de superficies, es usual establecer, para su clasificación, tres tipos: 1. Superficies regladas. Son aquellas que están generadas por una línea recta que sigue una ley determinada. Estas superficies se pueden subdividir: 1.1. Reglada desarrollable. Cuando cumplen cualquiera de estas condiciones: - Se pueden apoyar sobre un plano sin deformarse. - Dos generatrices infinitamente próximas se cortan. - El plano tangente en un punto lo es a lo largo de toda la generatriz. Perteneciendo a este grupo tenemos a los poliedros y superficies radiadas (pirámide, cono, prisma, cilindro) 1.2. alabeada. Estas superficies cumplen las siguientes características: - Dos generatrices infinitamente próximas se cruzan en el espacio. - El plano tangente a la superficie lo es en un solo punto. Entre estas superficies podemos mencionar el hiperboloide reglado, paraboloide hiperbólico y el conoide. 2. Superficies curvas. Se suelen incluir en este grupo las superficies de segundo grado o cuadráticas (esfera, elipsoide, etc.), así como las de revolución (toro y escocia).


3. Superficies compuestas. En este grupo se incluyen todas las que no se han definido anteriormente. Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por superficies planas. La superficie poliédrica es aquella que sirve de separación entre el cuerpo y el espacio circundante. Está compuesta por un número finito de polígonos, cada uno de los cuales se denomina cara del poliedro. Los lados de las caras se denominan aristas del poliedro, y los vértices de las caras son los vértices del poliedro. Una diagonal del poliedro es aquel segmento que une dos vértices, pero que no es arista ni diagonal de ninguna cara. Las aristas que concurren a un vértice del poliedro determinan lo que se denomina ángulo poliedro. En todo poliedro se cumple la relación de Euler, que se expresa de la siguiente forma:

c + v = a + 2 donde c = número de caras del poliedro, v = número de vértices del poliedro y c = número de aristas del poliedro. Se dice que un poliedro es convexo cuando al prolongar indefinidamente una de sus caras, todo él queda al mismo lado del plano así formado. Si esta condición no se cumple en alguna de sus caras, el poliedro será cóncavo. En este tema se tratarán únicamente los poliedros convexos. Existen solamente cinco tipos de poliedros regulares convexos: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El tetraedro (Fig. 10.1) está formado por cuatro caras, las cuales son triángulos equiláteros. Sus ángulos poliedros son todos triedros, es decir, que a ellos concurren tres aristas, formando entre ellas 60º. Además, la perpendicular trazada desde un vértice a la cara opuesta pasa por el centro de ésta. El único dato necesario para definir un tetraedro es su arista.

Figura 10.1

El hexaedro o cubo (Fig. 10.2) está formado por seis caras, siendo éstas cuadrados. Sus poliedros triedros son trirrectángulos, es decir, que las tres aristas que concurren en un vértice son perpendiculares entre sí. Las caras contiguas son perpendiculares y las opuestas paralelas.

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Figura 10.2

El octaedro (Fig. 10.3) está formado por ocho caras, que son triángulos equiláteros. A sus ángulos poliedros acuden cuatro aristas, formando entre ellas 60º. Sus tres diagonales son perpendiculares entre sí, y se cortan en el punto medio. Las aristas opuestas son paralelas, y sus extremos son los vértices de un cuadrado.

Figura 10.3

El dodecaedro (Fig 10.4) está formado por 12 caras, que son pentágonos regulares. Sus ángulos poliedros son triedros.

Figura 10.4

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El icosaedro (Fig. 10.5) está formado por 20 caras, que son triángulos equiláteros. A sus ángulos poliedros concurren cinco aristas, las cuales forman entre sí un ángulo de 60º.

Figura 10.5

Todos estos poliedros regulares se pueden inscribir o circunscribir en una esfera cuyo centro coincide con el del poliedro, entendiendo como centro del poliedro aquel donde se cortan las rectas perpendiculares a las caras, trazadas por el centro de las mismas. 10.2. Representación de poliedros. Contorno aparente. Cuando desde un punto O se proyecta un cuerpo cualquiera sobre un plano P (Fig. 10.6), la mayor parte de los rayos proyectantes cortarán a la superficie del cuerpo en dos puntos (si éstas son convexas). Sin embargo, otra parte de los rayos proyectantes serán tangentes al cuerpo, formando una superficie cónica o piramidal, dependiendo de si la superficie que se proyecta es curva o poliédrica. Esta superficie será a su vez tangente al cuerpo a lo largo de una línea curva o poligonal, que en general no será plana, y que se llama línea de contorno aparente del cuerpo. La intersección del plano P de proyección con la citada superficie cónica o piramidal es la proyección del contorno aparente del cuerpo.

Figura 10.6

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En el caso de los poliedros y para la proyección cilíndrico-ortogonal, como la usada en el sistema diédrico, el contorno aparente es una línea poligonal cerrada, no siempre plana, determinada por los puntos de contacto de la superficie prismática proyectante, tangente al poliedro (Fig. 10.7). La proyección del contorno aparente sobre el plano P será la sección que este plano produce en dicha superficie prismática (en la Fig. 10.7 el polígono abfghd, proyección del contorno aparente ABFGHD). La línea de contorno aparente separa las partes vistas y ocultas del cuerpo, siendo ella vista en todas las ocasiones. En la Fig. 10.7, las aristas BC, CD, y CG quedan por encima de las aristas que forman el contorno aparente, y por tanto serán vistas. Sin embargo, las aristas AE, EH, y EF quedan por debajo, y por tanto no serán vistas. Por otra parte, las proyecciones de todos los puntos del poliedro quedarán dentro de la proyección del contorno aparente.

Figura 10.7

Lo que se acaba de exponer se puede aplicar, en el caso del sistema diédrico, tanto a la proyección horizontal como a la vertical: - La línea de contorno aparente horizontal es una línea poligonal cerrada, no siempre

plana, determinada por los puntos de contacto de una superficie prismática, tangente al poliedro, y cuyas aristas laterales son perpendiculares al plano horizontal de proyección.

- Las proyecciones horizontales de todos los vértices, aristas y caras del poliedro se

encontrarán dentro de la proyección horizontal de la línea de contorno aparente horizontal.

Las mismas reglas se pueden aplicar a la proyección vertical.

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10.3. Representación del tetraedro. Como se comentó anteriormente, un tetraedro queda definido conociendo la longitud l de su arista. La forma más sencilla para representarlo será disponiéndolo de manera que una de sus caras esté contenida o sea paralela a alguno de los planos de proyección. De esta forma, el problema se reduce a determinar las proyecciones del otro vértice. Esto es lo que se ha hecho en la Fig. 10.8 con el tetraedro ABCD. Para hallar las proyecciones del tetraedro cuya cara BCD es paralela al plano horizontal, se dibuja la proyección horizontal de esta cara, que es un triángulo equilátero de lado l: bcd (se ha dispuesto con CD paralela a la LT para mayor facilidad). La proyección vertical será el segmento c’d’. Como ya se sabe, la proyección horizontal (a) del cuarto vértice (A) estará situada en el centro del triángulo bcd, quedando sólo por determinar la altura del tetraedro. Para ello se puede observar la Fig. 10.1, donde se muestra que la altura buscada es el cateto de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la arista, y el otro cateto la proyección horizontal de la misma (o distancia del centro del triángulo a uno de los vértices). Como ambos datos se conocen, basta tomar ab como cateto, trazar por a una recta perpendicular a ab y una circunferencia de centro en b y radio bd = l. El punto M de corte entre la circunferencia y la recta será el tercer vértice del triángulo buscado, y el cateto aM la altura h del tetraedro, que llevada a la proyección vertical permite obtener la proyección vertical de A: a’.

Figura 10.8

130


Figura 10.9

Figura 10.10

También se puede obtener la altura h abatiendo, sobre el plano horizontal que contiene a la cara BCD, el plano que contiene a una de las restantes caras, tomando como charnela una de las aristas (Fig. 10.9). La posición abatida del vértice superior se determina teniendo en cuenta que las caras son triángulos equiláteros, de los que se conoce su arista. Puesto que se conoce la proyección horizontal del vértice, por restitución del abatimiento queda determinada la cota.

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El caso en el que una de sus caras está contenida en un plano oblicuo P, cuyas trazas son conocidas, se representa en la Fig. 10.10. Mediante el abatimiento de P, se obtiene la representación, en verdadera magnitud, de la cara contenida en él (BCD). A partir de esta representación se puede obtener la altura h del tetraedro por el método expuesto en la Fig. 10.8. Ya en las proyecciones, se levanta una perpendicular a P que pase por el centro O de la base, y se mide la distancia h también desde O (el método empleado para ello en la Fig. 10.10 ha sido el giro), obteniéndose así las proyecciones del cuarto vértice A. 10.4. Representación del hexaedro regular o cubo.

La representación más sencilla del cubo se consigue cuando una de sus caras está contenida o es paralela a alguno de los planos de proyección (Fig. 10.11). En este caso todas las aristas serán paralelas a alguno de estos planos, y por tanto tendrán una proyección vista en verdadera magnitud.

Figura 10.11

Si se desea representar un hexaedro o cubo con unas de sus caras contenidas en un plano P, oblicuo y de trazas conocidas, lo primero que habrá que hacer es abatirlo y dibujar la cara en él contenida. A continuación habrá que desabatir para obtener las proyecciones de esta cara, y trazar rectas perpendiculares a P que pasen por sus vértices. Sobre estas perpendiculares habrá que medir la longitud de la arista del cubo (Fig. 10.12). Las proyecciones de un cubo en cualquier situación se pueden conseguir dibujándolo con una de sus caras apoyadas en el plano horizontal, y luego, por medio de giros o cambios de plano, obtener la posición deseada.

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Figura 10.12

10.5. Representación del octaedro.

La forma más fácil de representar un octaedro es con una diagonal perpendicular a uno de los planos de proyección. En la Fig. 10.13 se representa un octaedro con una diagonal perpendicular al plano horizontal de proyección. En esta posición, la proyección horizontal del contorno aparente es un cuadrado de lado igual a la arista de octaedro. La proyección vertical de los vértices se obtiene sabiendo que la cota de los mismos será nula, d/2, ó d, dependiendo de los vértices considerados, y siendo d la longitud de la diagonal del poliedro, que se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud. En la Fig. 10.14 se muestran las proyecciones de un octaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal. Para ello, se ha partido de uno con una diagonal perpendicular al plano horizontal. Después se ha realizado un giro sobre un eje perpendicular al plano vertical hasta que la cara deseada se ha colocado coincidente con el plano horizontal.

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Figura 10.13 Figura 10.14

10.6. Representación del dodecaedro.

La Fig. 10.15 muestra las proyecciones de un dodecaedro con una cara apoyada en el plano horizontal. El procedimiento para su representación ha sido el siguiente: Primero se ha dibujado la cara apoyada de cota 0, cuya proyección horizontal se ve en verdadera magnitud (pentágono 1-2-3-4-5). A continuación se han abatido sobre el plano horizontal las caras de aristas 2-3 y 3-4, tomando como charnelas precisamente estas aristas, obteniéndose como resultado dos pentágonos regulares. Para obtener las proyecciones del punto 6 hay que acudir a las dos posiciones abatidas del mismo que se conocen: 601 y 602. La proyección horizontal de este punto debe encontrarse en la intersección de las perpendiculares a las charnelas trazadas desde las posiciones abatidas. Conocida la proyección horizontal y el punto abatido, se puede deducir la cota a partir de la construcción empleada en el abatimiento, como se explicó para el caso del tetraedro. Las proyecciones del punto 7 se obtendrán de igual forma. El resto de las proyecciones horizontales de los vértices se encuentran en la circunferencia con centro en el centro del pentágono 1-2-3-4-5 y radio desde este centro a la proyección horizontal de 6 (ó 7). La proyección horizontal del contorno aparente resulta ser un decágono regular, como consecuencia de formar las aristas correspondientes de esta superficie el mismo ángulo con el plano horizontal. Se completa esta proyección trazando un pentágono regular concéntrico con 1-2-3-4-5, pero girado 180º. La proyección vertical vendrá determinada por las cotas H y h, calculadas anteriormente.

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Figura 10.15

10.7. Representación del icosaedro.

Utilizando una metodología similar a la del apartado anterior, se llega a la representación reflejada en la Fig. 10.16. La proyección horizontal del contorno aparente es un decágono regular. Si el vértice 1 esta situado en el plano horizontal, para determinar la proyección vertical del icosaedro habrá que hallar las distancias h1 y h2. Para ello se abatirán dos caras del icosaedro sobre un plano paralelo al horizontal de proyección.

Figura 10.16

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10.8. Intersección de una recta con un poliedro. El procedimiento general para hallar la intersección de una superficie cualquiera S y una recta R (Fig. 10.17), consiste en tomar un plano auxiliar Q que contenga a la recta y hallar la intersección W de este plano con la superficie dada. La intersección de R con W serán los puntos de corte de entrada y salida (A y B) de la recta en la superficie.

Figura 10.17

El caso más sencillo es aquel en el que la superficie en cuestión es plana, siendo este el método explicado para hallar la intersección de una recta y un plano. Cuando las superficies son poliedros, la complejidad de la construcción dependerá del plano auxiliar que se tome. En la Fig. 10.18 se han hallado los puntos de corte A y B de la recta R con el cubo CDEFGHIJ, que se encuentra apoyado en el horizontal de proyección. Para ello, se ha contenido la recta en un plano proyectante horizontal W, que se corta con el cubo según dos rectas verticales, que parten de 1 y 2. Estas rectas se cortan a su vez con R en A y B respectivamente, que son precisamente los puntos de entrada y salida de R en el cubo.

Figura 10.18

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10.9. Secciones planas de los poliedros. La sección plana de un poliedro es el polígono formado por las intersecciones de un plano cualquiera con las caras del poliedro. Los puntos de intersección de las aristas con el plano secante, son los vértices del polígono sección, que pertenecerá a dicho plano. El procedimiento general para resolver este tipo de problemas consiste en determinar la intersección de cada una de las aristas del poliedro con el plano. Esto puede resultar una ardua tarea, y para evitarlo, lo más conveniente es realizar un cambio de plano para transformar el plano secante en uno proyectante. De esta forma, el cálculo de la sección es inmediato. Esto es lo que se ha hecho en la Fig. 10.19 para hallar la sección que el plano oblicuo P produce en el cubo representado.

Figura 10.19

10.10. Desarrollo de los poliedros regulares.

El desarrollo de un poliedro consiste en disponer sobre un plano todas sus caras, de forma que el número de aristas comunes sea máximo. Para llevar a cabo esta operación basta dibujar adosados entre sí los polígonos regulares de sus caras. En la Fig. 10.20 se muestra el desarrollo de los poliedros regulares.

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Figura 10.20

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TEMA 11.

El Prisma.

11.1. Introducción.

Las superficies radiadas son aquellas que están generadas por una recta (generatriz), que pasando por un punto fijo (vértice), se apoya en una curva plana o alabeada (directriz ). Si el vértice es un punto impropio, es decir, situado en el infinito, las diferentes posiciones de la generatriz son paralelas, y las superficies así generadas reciben el nombre de prismáticas y cilíndricas, dependiendo de si la directriz es un polígono o una curva, respectivamente. El cuerpo comprendido entre dos planos paralelos que cortan a una superficie prismática o cilíndrica se denomina prisma o cilindro. Cuando el vértice es un punto propio, la superficie generada se denomina piramidal o cónica, según la directriz sea un polígono o una curva. Si una superficie de este tipo se corta con un plano, se obtiene un cuerpo limitado por el vértice y el plano secante, denominado pirámide y cono, respectivamente.

Figura 11.1. Superficies radiadas: prismática (a), cilíndrica (b), piramidal (c), y cónica

(d). Prisma (e), cilindro (f), pirámide (g), cono (h).


Por tanto, la superficie prismática se genera por una recta generatriz, que apoyada sobre un polígono directriz, se traslada paralelamente a sí misma. La recta generatriz situada en los vértices del polígono directriz se denomina arista lateral de la superficie. Por tanto, una superficie prismática tendrá tantas aristas laterales como vértices tenga el polígono directriz. El prisma, como ya se ha comentado, es el sólido contenido en una superficie prismática, la cual se encuentra seccionada por dos planos que cortan a todas sus aristas laterales. Las caras laterales son las caras del poliedro contenidas en la superficie lateral, siendo siempre cuadriláteros, paralelogramos o trapecios, según se trate de un prisma de bases paralelas o truncadas respectivamente. Las bases son las caras contenidas en los planos secantes, y son polígonos de tantos lados como caras laterales conformen el prisma. Las aristas básicas son las intersecciones producidas por los planos secantes en la superficie lateral. La altura de un prisma es la distancia a la que se encuentran sus bases paralelas. Existen diferentes tipos de prismas: - prisma recto. Las aristas laterales son perpendiculares a las bases. - prisma regular. Es un prisma recto que tiene por bases polígonos regulares. - paralepípedo. Prisma cuyas bases son cuadriláteros paralelogramos. - paralepípedo rectángulo. Cuando el paralepípedo es recto. 11.2. Representación del prisma.

Debido a que las caras laterales de un prisma son siempre paralelogramos, las proyecciones de los lados opuestos de estas caras serán paralelas. Igualmente, las proyecciones de las aristas laterales serán paralelas entre sí. Respecto a las bases, al estar contenidas en planos paralelos, se proyectarán como dos polígonos iguales, en cuyos vértices se situarán los extremos de las aristas laterales. La proyección ortogonal del prisma está determinada por la intersección de los rayos proyectivos que pasan por cada uno de los vértices con el plano de proyección. En la Fig. 11.2.a se representan las proyecciones de un prisma oblicuo de base pentagonal, con una de ellas apoyada en el plano horizontal de proyección. En ellas se puede comprobar lo comentado hasta ahora. Para comprobar si una arista es vista u oculta en cualquiera de las proyecciones se debe tener en cuenta, en primer lugar, que la proyección del contorno aparente es siempre vista. Volviendo a la Fig. 11.2, en la proyección horizontal, las aristas que pueden quedar ocultas son la 2-7, 3-8 y 5-10. Si se estudia la 2-7 en primer lugar (Fig. 11.2.b), se observa que esta arista puede quedar oculta por la cara 1-5-10-6 y la base inferior. Si se traza en cada una de estas superficies una recta cuya proyección horizontal coincida con la arista 2-7, en la proyección vertical se podrá estudiar su visibilidad: si la arista queda por encima de las rectas será vista, y si queda por debajo será oculta. En este caso, para todos los puntos de estas rectas cuyas proyecciones horizontales coinciden, el de mayor cota es el perteneciente a la arista, siendo, por tanto, vista. A la misma conclusión se

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llega tras estudiar la arista 3-8. Sin embargo, la proyección vertical de la arista 5-10 quedará por debajo de la misma proyección de las rectas que, coincidiendo en proyección horizontal con ella, pertenezcan a la cara 2-3-8-7 y a la base superior. De forma análoga se procedería para comprobar la visibilidad vertical de las aristas, solo que ahora se deben tomar rectas que perteneciendo a la superficie del prisma, coincidan en proyección vertical con la arista estudiada. En la Fig. 11.2.d se ha estudiado la visibilidad vertical de la arista 4-9.

Figura 11.2. Representación diédrica del prisma (a) y determinación de la visibilidad de sus aristas: visibilidad horizontal de aristas 2-7 (b) y 5-10 (c), y vertical de la arista 4-9. 11.2.1. Proyecciones de un prisma oblicuo con las bases paralelas al plano horizontal de proyección y aristas laterales oblicuas respecto a los dos planos de proyección.

Ninguno de los ángulos que forman las aristas laterales con los planos horizontal y vertical se proyectan en verdadera magnitud, ni ninguna de las aristas laterales se proyectará en verdadera magnitud. Este es el caso representado en la Fig. 11.2.

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11.2.2. Proyecciones de un prisma recto cuyas aristas laterales son paralelas al plano vertical de proyección. Puede ocurrir que las bases estén contenidas en el plano horizontal de proyección (Fig. 11.3) o en uno paralelo a él, o que las bases sean paralelas a un plano oblicuo. En el primer caso, las bases se proyectarán horizontalmente en verdadera magnitud. En ambos casos, las aristas laterales se proyectan verticalmente en verdadera magnitud, ya que son paralelas a este plano de proyección.

Figura 11.3

11.2.3. Proyecciones de un prisma recto con la base contenida en un plano conocido. La Fig. 11.4 muestra un prisma de base hexagonal apoyado en un plano P dado. El procedimiento llevado a cabo para conseguir estas proyecciones se explica a continuación. En primer lugar se ha abatido el plano P y, sobre el abatimiento, se ha dibujado la base contenida en él (1-2-3-4-5-6). Deshaciendo el abatimiento, se han obtenido las proyecciones horizontal y vertical de dicha base. A continuación, al ser un prisma recto, se trazan rectas perpendiculares a P que pasen por los vértices de la base, y sobre ellas se mide la altura h del prisma. Para ello se puede utilizar cualquier método conocido (en la Fig. 11.4 se ha usado el giro de una de las perpendiculares dibujadas).

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Figura 11.4

11.3. Sección plana de la superficie prismática.

La sección plana de una superficie prismática es un polígono cuyos vértices están incluidos en las aristas laterales del prisma. Los métodos que pueden utilizarse para obtener esta sección son los siguientes: - Hallando la intersección de cada una de las aristas laterales con el plano secante. - Mediante cambios de plano. - Por afinidad, un caso particular de homología, como ya conoce el lector. 11.3.1. Sección plana por intersección de las aristas laterales con el plano. Consiste en hallar los puntos de intersección de cada una de las aristas laterales con el plano secante, los cuales constituirán los vértices del polígono sección. El problema resulta así equivalente a hallar la intersección entre recta y plano para cada arista (Fig. 11.5). Puede darse el caso de que alguna de las aristas laterales se corte con el plano secante fuera de los límites del prisma. Cuando esto ocurra habrá que calcular la intersección del polígono sección con las aristas básicas del prisma (Fig. 11.6).

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Figura 11.5

Figura 11.6

Otra forma de resolver el problema puede ser hallando la intersección del plano secante con cada uno de los planos que definen las caras del prisma. De esta forma se determinan directamente los lados del polígono sección. Este método se suele utilizar cuando se trata

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de pirámides y prismas con una base situada en uno de los planos de proyección, ya que en esta posición las trazas horizontales de los planos que contienen a las caras se confunden con los lados del polígono de la base. 11.3.2. Sección plana mediante cambios de plano. El objetivo que se persigue con este método es transformar el plano secante en uno proyectante. De esta forma se puede obtener la sección de forma inmediata, tal como muestra la Fig. 11.7. En ella, el plano oblicuo P que corta al prisma se ha transformado en un proyectante vertical, con lo que la intersección de cada arista con dicho plano se determina de forma inmediata.

Figura 11.7

11.3.3. Sección plana mediante homología. Dos secciones planas de una superficie radiada son homólogas. En el caso del prisma, la relación que une a ambas secciones es de afinidad, quedando definida conociendo el eje de afinidad, la dirección y dos puntos afines (Fig. 11.8).

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El eje será la recta intersección del plano que contiene a la base del prisma con el plano secante. En el caso de que el prisma esté apoyado en uno de los planos de proyección, el eje será la traza del plano secante con el plano sobre el que esté apoyado. Al tratarse de una afinidad, la dirección será paralela a las generatrices. Para conseguir dos puntos afines habrá que hallar la intersección del plano secante con una de las aristas del prisma. Una vez determinada una de las proyecciones de la sección, se podrá obtener inmediatamente la otra. En la Fig. 11.9. se ha obtenido la sección que el plano P produce en el prisma de base triangular, utilizando para ello el método explicado. El punto obtenido por intersección de la arista con el plano secante es A.

Figura 11.8

Figura 11.9

11.4. Intersección de una recta y un prisma.

El método empleado para resolver este problema es una aplicación directa del caso genérico de intersección recta-superficie, visto en el tema anterior. Los puntos que una

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recta tiene en común con una superficie prismática se determinan trazando un plano que contenga a la recta, el cual produce sobre el sólido una sección plana. Los puntos de corte de la recta con el polígono que define la sección son los puntos buscados. El plano auxiliar empleado puede ser cualquiera, pero el más sencillo suele ser un proyectante o uno paralelo a las aristas laterales. En la Fig. 11.10, los puntos de intersección (E y S) de la recta R con el prisma de base pentagonal se han determinado utilizando como plano auxiliar P uno paralelo a las aristas laterales del prisma, del cual sólo se ha representado su traza horizontal.

Figura 11.10

11.5. Desarrollo del prisma.

Al ser las caras laterales del prisma paralelogramos, su desarrollo lo definirá una figura formada por tantos paralelogramos como caras conforman el prisma, dispuestas en el mismo orden en el que están situadas en el prisma original. La arista común de dos caras del prisma será el lado común de dos paralelogramos en su desarrollo. Los lados extremos corresponderán a la arista de apertura de la superficie prismática. Las bases superior e inferior, cuyos lados serán las aristas básicas del prisma, se disponen con uno de sus lados común al de la cara correspondiente (previamente se debe conocer su verdadera magnitud). En la Fig. 11.11 se ha obtenido el desarrollo de un prisma recto de base pentagonal que se encuentra apoyado sobre el plano horizontal de proyección. En el caso de que las aristas del prisma en cuestión sean rectas frontales, es decir, paralelas al plano vertical de proyección, el método a seguir para obtener el desarrollo se explica a continuación (Fig. 11.12). Se halla la sección recta del prisma, sabiendo que es aquella que produce un plano normal (perpendicular a las aristas). El plano P tomado ha sido un proyectante vertical, y en la citada figura sólo se ha representado la proyección vertical de la sección. A continuación se ha abatido P sobre el plano horizontal, obteniendo así la sección en verdadera magnitud.

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Figura 11.11

Para dibujar el desarrollo del prisma, sobre una recta cualquiera se señala el perímetro de la verdadera magnitud de la sección recta obtenida. Por los puntos que representan los vértices se dibujan rectas perpendiculares a ella. Sobre cada una de estas perpendiculares, medidas desde la recta inicial, se llevan las longitudes de los segmentos de aristas que van desde la base del prisma a la sección recta (en proyección vertical se ven en verdadera magnitud, ya que son frontales). Por último se alargan cada una de los segmentos dibujados hasta que su longitud sea igual a la de la arista del prisma.

Figura 11.12

En el caso general, el problema se puede resolver obteniendo la verdadera magnitud de cada una de las caras que lo componen (mediante abatimientos por ejemplo), y luego componer los paralelogramos obtenidos para obtener el desarrollo. Utilizando cambios de plano se puede disponer el prisma de manera que las aristas laterales queden paralelas a alguno de los planos de proyección. De esta forma se reduciría el problema al caso visto anteriormente.

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TEMA 12.

La Pirámide.


Como ya se comentó en el capitulo anterior, la superficie piramidal pertenece a las radiadas, en la que el vértice es un punto propio y la directriz un polígono. Al cortar esta superficie con un plano se obtiene un cuerpo limitado por el vértice y dicho plano secante, denominado pirámide. Las aristas laterales son aquellas que pertenecen a la superficie piramidal, y las aristas básicas son las producidas por el plano secante sobre la superficie piramidal. Las caras laterales, que siempre son triángulos, son las que están contenidas en la superficie piramidal. La base es la cara de la pirámide contenida en el plano secante, y es un polígono de tantos lados como caras laterales conforman dicha pirámide. La altura de una pirámide queda definida por la longitud del segmento trazado perpendicularmente desde el vértice al plano de la base. Se dice que una pirámide es recta cuando, siendo regular la base de la misma, el segmento que mide la altura incide en el centro de dicha base.

12.2. Representación de la pirámide.

En la Fig. 12.1.a se representa una pirámide de base cuadrada, apoyada en el plano horizontal de proyección, con dos aristas básicas paralelas a la LT y las otras dos perpendiculares a la misma. Los planos que contienen a las primeras y a las correspondientes caras de la pirámide son paralelos a la LT, mientras que los que contienen a las segundas y a las caras correspondientes de la pirámide, son proyectantes verticales. La Fig. 12.1.b muestra una pirámide oblicua de base pentagonal y vértice V que se encuentra apoyada en el plano horizontal de proyección. Para obtener su proyección se han dibujado las proyecciones del vértice y la base, cuya proyección horizontal se verá


en verdadera magnitud. A continuación se han dibujado las aristas laterales uniendo los vértices del polígono de la base con el vértice. La Fig. 12.1.c muestra las proyecciones de una pirámide recta de base cuadrangular, con una altura h y una longitud de arista básica z, apoyada en un plano oblicuo P cualquiera. Para conseguir esta representación lo primero que se ha hecho es abatir P sobre el plano horizontal de proyección, representar aquí la base de la pirámide y desabatir, obteniendo así las proyecciones de la base. A continuación se ha trazado una recta perpendicular a P por el centro de dicha base, y a partir de él se ha medido (en este caso, por medio de giros) la altura h, obteniendo el vértice V. Este problema se podría haber planteado de manera más restrictiva imponiendo, por ejemplo, una dirección a alguna de las aristas básicas, o aún más, dando además el punto correspondiente al centro de la base. La forma de resolverlo sería la vista anteriormente, solo que habrían de tenerse en cuenta las condiciones impuestas. La metodología usada para determinar aristas vistas y ocultas es la desarrollada en el apartado de representación del prisma (Tema 11).

Figura 12.1

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12.3. Sección plana de la pirámide.

Como en el caso del prisma, la sección plana de una pirámide es un polígono cuyos vértices se encuentran en las aristas laterales de la pirámide. Los mismos métodos que se expusieron para el caso del prisma pueden usarse para determinar la sección plana de una pirámide: - Hallando la intersección de cada una de las aristas con el plano secante. - Mediante cambios de plano. - Por homología. El método más rápido de los tres es el último, es decir, el que utiliza la relación de homología que existe entre dos secciones planas de una figura radiada. Para poderlo aplicar debe quedar definido el sistema de homología correspondiente, que en este caso viene dado por (Fig. 12.2): - Eje de homología. Intersección de los planos que producen las secciones planas. En

el caso de la Fig. 12.3 estos planos son el horizontal de proyección y P, por lo que el eje de la homología será la traza horizontal de P.

- Centro de la homología. Proyección horizontal del vértice de la pirámide. - Un par de puntos homólogos. Se pueden hallar directamente como la intersección de

una de las aristas con el plano secante. - Recta límite. Traza horizontal del plano Q, que siendo paralelo a P, pasa por el

vértice de la pirámide.

Figura 12.2

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Figura 12.3

Figura 12.4

12.4. Intersección de una recta y una pirámide.

El método empleado para determinar los puntos comunes de una recta y la superficie de una pirámide será el mismo que el visto en el tema anterior para el caso del prisma: se contiene a la recta en cuestión en un plano, se determina la sección que este plano

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produce en la pirámide y, por último, se hallan los puntos comunes de la recta y la sección producida. El plano auxiliar empleado para contener a la recta puede ser cualquiera, pero se intentará elegir uno que produzca en la pirámide una sección sencilla de determinar. En este caso ese plano es el que forma la recta y el vértice de la pirámide. Por lo general, la sección así producida será de forma triangular (Fig. 12.4). 12.5. Desarrollo de la pirámide.

Al ser triangulares las caras de una pirámide, su desarrollo lo definirá una figura plana con tantos triángulos como lados conformen la base de la misma, dispuestos en el mismo orden en el que están situados en la pirámide original, y dibujados en verdadera magnitud. La arista común de dos caras de la pirámide será el lado común de dos triángulos en su desarrollo. Para obtener las caras de la pirámide en verdadera magnitud se puede emplear el método de abatir los planos que contienen a dichas caras, y luego componer, tal como muestra la Fig. 12.5, donde se ha tomado como arista de corte la V-A. En esta figura en realidad sólo se ha abatido la cara A-B-V; al resto se le ha determinado su verdadera magnitud trazando perpendiculares a las aristas de la base desde la proyección horizontal de V, y llevando la longitud de la arista conocida desde el vértice correspondiente a la perpendicular. Así, la verdadera magnitud de la cara A-D-V se ha obtenido trazando la perpendicular a a-d desde v. Haciendo centro en a y con radio a V0-1, se ha trazado un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular trazada, lugar donde se encontrará el vértice abatido, considerando que pertenece a la cara A-D-V. Para el resto de caras se actuaría de igual forma.

Figura 12.5

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Otra forma de obtener el desarrollo de una pirámide consiste en girar todas las aristas laterales alrededor de un eje vertical que pase por el vértice de la misma, hasta disponerlas paralelas al plano vertical de proyección. De esta forma, la proyección vertical de estas aristas se ve en verdadera magnitud, lo que permite dibujar directamente el desarrollo buscado. En la Fig. 12.6 se ha llevado a cabo este proceso.

Figura 12.6

154

TEMA 13.

El Cono.


La superficie cónica es una superficie radiada, en la que el vértice es un punto propio, y la directriz es una curva cualquiera. Al ser la generatriz una recta indefinida, engendrará una superficie cónica formada por dos ramas u hojas, y unidas por el vértice, tal como muestra la Fig. 13.1. La superficie podrá ser cerrada o abierta, según lo sea la directriz.

Figura 13.1

El cono es el cuerpo limitado por una hoja de superficie cónica cerrada por un plano cualquiera que corta a todas sus generatrices, sin pasar por el vértice. Por tanto, no hay que confundir cono, que es un cuerpo, con superficie cónica, que es la superficie que limita al cono, aunque en numerosas ocasiones se utiliza la palabra cono para referirse tanto al cuerpo como a la superficie. Un cono de revolución es aquel que se obtiene al hacer girar la generatriz sobre una recta con la que se corta y con la que mantiene un ángulo constante. La recta sobre la que gira la generatriz es el eje del cono. El cono de revolución puede ser recto, en cuyo caso el eje


será perpendicular a la base circular, u oblicuo, resultado de cortar un cono recto con un plano oblicuo a su eje (Fig. 13.2).

Figura 13.2

La altura de un cono es la longitud del segmento recto trazado perpendicularmente desde el vértice al plano que contiene a la base. La sección plana del cono es la curva producida sobre su superficie al ser cortada por un plano cualquiera. Cuando el plano secante es paralelo a la base de un cono recto de revolución, la sección plana producida es un círculo. Si el plano secante es oblicuo respecto al eje del cono, se obtiene una curva cónica (elipse, parábola o hipérbola) dependiendo de esta inclinación. 13.2. Representación del cono. La representación de un cono se podrá obtener si se conocen las proyecciones del vértice y la base. Para representar una generatriz cualquiera, basta unir un punto de la directriz con el vértice. Una recta así trazada se corresponderá con la proyección de dos generatrices. Si se traza, por ejemplo, en la proyección horizontal, en proyección vertical estas generatrices no coincidirán, y se tendrá la proyección de cada una por separado. De esto se exceptúan las generatrices que definen el contorno aparente tanto en una como en otra proyección En la Fig. 13.3 se ha representado un cono no de revolución, con su base apoyada en el plano horizontal. En dicha figura se ha trazado el segmento a-v. Las dos generatrices que coinciden en proyección horizontal en este caso son la a-v y la b-v, las cuales también se han representado en su proyección vertical. Lo mismo pasa al trazar, en la proyección vertical, el segmento c’-v’, que representa a las generatrices C-V y D-V. Para representar un cono apoyado en un plano cualquiera, habrá que conocer, como ya se ha dicho, las proyecciones de la base y del vértice. Si el centro de la base es el punto O, está contenida en el plano P, y se trata de un cono de revolución (Fig. 13.4), la forma de actuar sería abatir P y dibujar en este abatimiento la directriz de centro (O) y radio conocido. A continuación se obtendrán las proyecciones de la directriz, que serán dos elipses. Para determinar las proyecciones del vértice trazaremos por O una recta perpendicular a P, y mediremos en ella, desde O, la altura h (en la Fig. 13.4 se ha resuelto mediante giros). Las tangentes trazadas desde las proyecciones del vértice a las

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proyecciones homónimas de la directriz determinan las generatrices del contorno aparente.

Figura 13.3

Figura 13.4

13.3. Secciones planas de una superficie cónica.

Si se corta un cono por un plano paralelo al de la base, la sección plana que se produce es una circunferencia cuyo centro está situado sobre el eje del cono (Fig. 13.5.a). Si este plano pasa por el vértice, el único punto en común será precisamente el vértice. Si el plano de corte es perpendicular a la base y contiene al vértice, la sección que se produce es un triángulo, con dos de los lados coincidiendo con sendas generatrices del cono, y el tercero coincidiendo con el diámetro de la base (Fig. 13.5.b).

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Si el plano secante es oblicuo respecto al de la base, la sección producida es una curva de las denominadas cónicas. El tipo concreto de cónica producida dependerá del ángulo que forman el plano de la base y el eje del cono. Si este ángulo es mayor que el semiángulo cónico α (Fig. 13.5.c), el plano secante corta a todas las generatrices (suponiendo la superficie cónica ilimitada), y la sección producida es una elipse, que junto a la circunferencia, son las dos cónicas cerradas. Si el ángulo formado por el plano secante y el eje del cono es igual a α, la sección producida es una parábola. En este caso el plano es paralelo a una generatriz, cortándose con ella en el infinito, punto impropio de la parábola (Fig. 13.5.d). Si el ángulo que forman el plano secante y el eje del cono es menor que α, la curva producida es una hipérbola (Fig. 13.5.e). El plano secante es paralelo, en este caso, a dos generatrices, por lo que se cortará con ellas en dos puntos, que son los dos puntos impropios de la hipérbola. En el caso que el plano secante sea perpendicular a la base del cono, sin pasar por el vértice, la sección producida es un tipo particular de hipérbola, denominada equilátera (Fig. 13.5.f).

Figura 13.5

Los métodos empleados para la determinación de las secciones estudiadas son los mismos que los vistos para el caso del prisma y la pirámide: - Hallando la intersección de generatrices con el plano secante. - Mediante cambios de plano.

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- Por homología. El más rápido es el que utiliza la relación de homología que existe entre la base del cono y la sección producida, ya que permite obtener los elementos que definen la curva. Los elementos que definen esta homología, trasladada al plano, son los siguientes: - Centro de homología: vértice de la superficie cónica. - Eje de la homología: intersección del plano secante y el de la base. Si éste es el plano horizontal de proyección, el eje será la traza horizontal del secante. - Recta límite: intersección del plano que pasa por el vértice y es paralelo al secante, con uno paralelo a la base que pasa también por el vértice. Esta homología en el espacio se puede trasladar a una en el plano. La Fig. 13.6 muestra la forma de obtener una pareja de puntos homólogos. El plano secante es P, mientras que el paralelo a él que pasa por el vértice V del cono, es Q. La traza horizontal de P es el eje de la homología, mientras que la traza horizontal de Q es la recta límite (RL). La proyección horizontal del vértice (v) es el centro C de la homología. El punto b de la base del cono tiene su homólogo en la sección. Para calcularlo se ha trazado una recta cualquiera que corta en J al eje y en I a la recta límite. La recta homóloga de bJ pasa por J, es paralela a IC, y corta en “a” a la recta bC. El punto a es el homólogo de b y pertenece a la sección que P produce en el cono. La forma de hallar la proyección vertical a’ es inmediata.

Figura 13.6

El teorema de Dandelin permite obtener la cónica, y dice: “los focos de toda cónica que es sección de un cono circular recto, son los puntos de contacto entre las esferas inscritas al cono tangentes al plano que produce la cónica y el propio plano”. La Fig. 13.7 muestra una superficie cónica, proyectada sobre un plano paralelo al eje, cortada por tres planos

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secantes, P, Q y R, dispuestos respecto al eje según los tres casos de curvas cónicas descritos anteriormente. El plano P produce una sección elíptica, cuyos focos son los puntos de tangencia de las esferas de centro O1 y O2 con P. El eje mayor será igual a la longitud del segmento ab, el cual pertenece a la recta que, pasando por el eje del cono, es perpendicular a la traza de P con el plano de la base. El eje menor pasa por el punto medio de ab y es paralelo a dicha traza. El plano Q produce una sección parabólica cuyo foco es el punto T3, punto de tangencia de la esfera de centro O3 con el plano Q. La recta directriz de la parábola (representada en la Fig. 13.7 por el punto D) es la intersección del plano Q con el que contiene a la circunferencia de contacto del cono con la esfera de centro O3. El plano R produce una sección hiperbólica cuyos focos son T4 y T5, puntos de tangencia de las esferas de centros O2 y O4, con dicho plano. El eje es la recta que pertenece a R y pasa por los focos, siendo la intersección de esta recta con la superficie cilíndrica los puntos c y d, vértices de la hipérbola.

Figura 13.7

13.4. Desarrollo de la superficie cónica.

El caso más sencillo es el de un cono recto de revolución. Su desarrollo es un sector circular, cuyo radio es igual a la longitud de la generatriz y cuyo arco tiene una longitud igual al desarrollo de la circunferencia de la base del cono. Este desarrollo se puede obtener gráficamente aplicando el problema de rectificación directa e inversa de circunferencias o arcos, o bien analíticamente, calculando el ángulo β del sector en función de la generatriz g y del radio r de la base del cono:

gr

rg××

=

××=×πβ

πβ2

2

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estando β expresado en radianes. En grados sexagesimales, la expresión anterior quedaría:

gr×

=360β

En la Fig. 13.8 se ha dibujado el desarrollo de la superficie cónica correspondiente a un cono recto de revolución, siguiendo el método que se acaba de explicar.

Figura 13.8

Si la superficie a desarrollar corresponde a un cono oblicuo, se obtendrá de forma aproximada desarrollando una pirámide inscrita en él (Fig. 13.9). Para ello se divide la circunferencia de la base en un determinado número de partes, y se une cada una de las divisiones con el vértice. De esta forma se obtiene la pirámide inscrita. A continuación se desarrolla la pirámide, como se explicó en el tema anterior, y los extremos de cada una de las generatrices utilizadas se unen con trazo continuo. A medida que el número de divisiones utilizada sea mayor, más exacto será el desarrollo de la superficie cónica. Conviene tener en cuenta una serie de simplificaciones, con el fin de facilitar la tarea: - el cono es simétrico respecto al plano que contiene al eje y es perpendicular a la base, que es un plano proyectante. Convendrá tomar, por tanto, como generatriz de apertura una de las contenidas en dicho plano (V-1 ó V-6). - la base conviene dividirla en un número par de partes iguales, de manera que dos de las divisiones coincidan con 1 y 6, respectivamente. Se consigue así que las generatrices pertenecientes a los semiconos determinados por el plano proyectante tengan igual longitud dos a dos.

161


- Las rectas tangentes en 1 y 6 a la base del cono, son a la vez perpendiculares a las generatrices 1-V y 6-V. Por tanto, en el desarrollo, las tangentes a la curva serán perpendiculares a las generatrices 1-V y 6-V. - El desarrollo podrá tener o no puntos de inflexión Esto depende de si la proyección horizontal del vértice se sitúa dentro o fuera de la misma proyección de la base. Para hallar los puntos de inflexión se aplica el teorema de Olivier, que dice: “los puntos de inflexión de la transformada de una sección plana de una superficie curva radiada y desarrollable, están sobre las generatrices de contacto de los planos tangentes a la superficie y que son además perpendiculares al plano que produce dicha sección”. Los puntos de inflexión corresponden, por tanto, a los de contacto de las tangentes trazadas a la base desde la proyección del vértice sobre el plano de la base. Todas estas consideraciones ayudan a simplificar el proceso para obtener el desarrollo del cono oblicuo, el cual siempre será aproximado.

Figura 13.9

162


13.5. Transformada de la sección.

Si sobre el desarrollo de una superficie cónica se señalan los puntos de intersección de un plano secante con ella se obtendrá una línea continua, denominada transformada de la sección en el desarrollo.

Figura 13.10

Figura 13.11

163


En la Fig. 13.10 se representa la sección de un cono de revolución apoyado en el plano horizontal, por un plano proyectante vertical que corta a todas las generatrices de una de las hojas, que en este caso será una elipse, así como la transformada de la sección. El eje mayor de la sección es el segmento AE, el eje menor es la cuerda, paralela al eje, de la sección recta del cono que pasa por el punto O (segmento MN). La Fig. 13.11 representa lo mismo que la anterior, sólo que en este caso el plano secante es paralelo al plano vertical de proyección y paralelo al eje del cono, por lo que la sección producida es una hipérbola equilátera. En proyección horizontal la sección está sobre la traza horizontal del plano secante (P). La proyección vertical se obtiene de forma inmediata utilizando para ello generatrices que se corten con la intersección de P y la superficie cónica. 13.6. Intersección de una recta y un cono.

Este problema se resuelve conteniendo la recta en un plano cualquiera y hallando la sección de este plano sobre el cono. Los puntos de intersección de esta sección con la recta serán los puntos buscados. El proceso se facilita si tomamos como auxiliar el plano que, conteniendo a la recta, pasa por el vértice del cono. La intersección del plano y la superficie cónica son las generatrices 1-V y 2-V (Fig. 13.12), que a su vez se cortan con la recta en los puntos A y B, respectivamente, puntos de intersección buscados. En la Fig. 13.14 sólo se ha determinado la traza horizontal del plano que contiene a la recta y al vértice del cono.

Figura 13.12

164

TEMA 14.

El Cilindro.


La superficie cilíndrica pertenece al grupo de las superficies radiadas, pudiendo considerarse como un caso especial de cono en el que el vértice se encuentra ubicado en el infinito, circunstancia por la cual sus generatrices son paralelas. También se puede considerar como un prisma con un número de lados infinito y cuyas caras laterales son cortadas por dos planos secantes paralelos. Cuando estos planos no son paralelos el cilindro se llama truncado. La recta generatriz que engendra a la superficie cilíndrica se mantiene paralela a sí misma a medida que se desplaza por la directriz. La superficie puede ser abierta o cerrada, dependiendo de cómo sea la directriz. Si la directriz tiene centro, la recta que pasa por él y es paralela a las generatrices se denomina eje. Cilindro se llama al espacio comprendido por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos paralelos que corten a todas sus generatrices. Un cilindro se dice que es recto cuando sus generatrices son perpendiculares al plano de la base (Fig. 14.1.a). En caso contrario, el cilindro se denomina oblicuo (Fig. 14.1.b).

a b Figura 14.1


La altura de un cilindro queda definida por la distancia que separa a sus bases paralelas. Una sección plana es la curva que se produce en la superficie cilíndrica cuando ésta es cortada por un plano. La superficie de un cilindro circular recto es el lugar geométrico de los puntos que distan una longitud fija desde una recta, que será el eje del cilindro. 14.2. Representación del cilindro.

Este tema se centrará exclusivamente en el cilindro de base circular, recto u oblicuo. Para poder representar una superficie cilíndrica contaremos con la representación de la directriz y conoceremos la dirección de las generatrices. Si lo que se pretende es representar un cilindro, será necesario conocer, por ejemplo, las proyecciones de las bases y la dirección de las generatrices. En la Fig. 14.2.a se ha representado un cilindro recto de revolución apoyado en el plano horizontal de proyección. La Fig. 14.2.b representa las proyecciones de un cilindro cuya directriz es una circunferencia contenida en el plano horizontal de proyección. Este cilindro no es de revolución y está limitado por un plano horizontal que contiene a la base superior. El cilindro representado en la Fig. 14.2.c es de revolución y oblicuo, ya que las generatrices no son perpendiculares a los planos de las bases.

Figura 14.2

Si el cilindro está apoyado en un plano oblicuo cualquiera, para representarlo habrá que abatir dicho plano, situar la directriz y desabatir. Con esto se conseguirán las proyecciones de la directriz. A continuación se representarán las generatrices que definen el contorno aparente en cada una de las proyecciones. La dirección de las generatrices dependerá del tipo de cilindro: perpendiculares al plano de la base si es recto, o formando un cierto ángulo con él si es oblicuo. En la Fig. 14.3 se ha representado un cilindro recto de base circular apoyado en un plano oblicuo P cualquiera. Para obtener las proyecciones de un punto de la superficie cilíndrica, basta trazar una generatriz cualquiera y tomar un punto de ésta. Conocida una de las proyecciones de un punto de dicha superficie, para calcular la otra se trazará una generatriz que lo contenga. Obtenidas las proyecciones de esta generatriz, el problema se resuelve de forma inmediata. Ocurre que a cualquier proyección (horizontal o vertical) de un punto, situado dentro de la proyección (horizontal o vertical) del contorno aparente, le corresponden dos

166


proyecciones (vertical u horizontal). Existen, por tanto, dos posibles soluciones. Existirá solución única si una de las proyecciones se encuentra en el contorno aparente.

Figura 14.3

14.3. Secciones planas de una superficie cilíndrica.

Los métodos que se pueden emplear para determinar estas secciones son los mismos que los explicados en temas anteriores para las superficies radiadas. Estos métodos son: calculando los puntos de intersección de las generatrices con el plano secante, o utilizando la relación de afinidad existente entre la base y la sección producida. Los elementos de esta afinidad son los que se describen a continuación: - Eje de afinidad: intersección del plano de la base con el plano secante. - Dirección de afinidad: paralela a las generatrices del cilindro. La Fig. 14.4. muestra las diferentes posibilidades que existen al cortar un cilindro recto de revolución por un plano. Por ejemplo, si el plano secante es perpendicular al eje, la sección recta que se obtiene es una circunferencia de radio igual al de las bases (Fig. 14.4.a). Si el plano de corte es paralelo a las generatrices, la sección que se produce es un cuadrilátero, cuyas características geométricas dependerán del cilindro en cuestión. Así, si las bases no son paralelas, sólo dos de los lados del cuadrilátero serán paralelos entre sí (y a las generatrices). Si las bases son paralelas y el cilindro es oblicuo, la sección producida es un paralelogramo, mientras que si el cilindro es recto, la sección es un rectángulo en el que las dimensiones de los lados coinciden con la altura y la cuerda

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generada por el plano en la base, respectivamente (este es el caso que se representa en la Fig. 14.4.b). Si el plano de corte es oblicuo respecto al eje, la sección producida es una elipse (Fig. 14.4.c), cuyos parámetros podrían obtenerse aplicando el teorema de Dandelín (Fig. 14.4.d), visto en el tema anterior.

Figura 14.4

14.4. Desarrollo de la superficie cilíndrica.

Si se trata de un cilindro de revolución, la superficie desarrollada viene dada por un paralelogramo rectángulo, de altura igual a la del cilindro y base igual a la longitud del perímetro del sólido (Fig. 14.5).

Figura 14.5

168


Si el cilindro es oblicuo, el método general para obtener el desarrollo consistirá en inscribir en él un prisma. Se trata éste de un método aproximado, que será más exacto cuanto mayor sea el número de caras del prisma usado, y la forma de resolverlo es la misma que la expuesta en el tema correspondiente al prisma (Fig.14.6). En la Fig. 14.7 se muestra cómo conseguir la transformada de la sección al cortar un cilindro con un plano proyectante vertical. 14.5. Intersección de una recta y un cilindro.

El método a seguir es el estudiado para otras superficies radiadas: se traza un plano que contenga a la recta en cuestión y sea paralelo a las generatrices del cilindro. Este plano, si es secante al cilindro, contendrá a dos generatrices del mismo. La intersección de la recta con ambas generatrices nos dará los puntos de entrada y salida de dicha recta en el cilindro. En la Fig. 14.8 se ha resuelto el problema tomando un punto C cualquiera de la recta R y trazando por él una paralela a las generatrices. La traza horizontal del plano P que definen estas dos rectas corta a la base del cilindro en A y B, y las generatrices que pasan por éstos se cortan con R en M y N, que son los puntos buscados.

Figura 14.6

169


Figura 14.7

Figura 14.8

170

TEMA 15.

La Esfera.


La esfera es una superficie no reglada de revolución, engendrada por una circunferencia que gira alrededor de uno de sus diámetros. Se llama meridiano de la esfera a la circunferencia máxima producida por un plano que pasa por el eje, considerando al eje perpendicular al plano horizontal de proyección. Todos los meridianos son iguales, siendo aquél que es paralelo al plano vertical de proyección denominado meridiano principal. Los paralelos son las secciones producidas en la esfera por planos cualesquiera, siempre perpendiculares al eje de la misma. Los paralelos no tendrán el mismo tamaño, y al mayor de ellos, que es el producido por el plano que pasa por el centro, se le denomina ecuador. La sección producida en una esfera por un plano secante es siempre un círculo. El centro será la intersección del plano secante con el radio de la esfera que es perpendicular a dicho plano. 15.2. Representación de la esfera.

Las proyecciones de la esfera sobre los planos vertical y horizontal de proyección son sendas circunferencias, que son las intersecciones de cada plano de proyección con los cilindros proyectantes circunscritos a la esfera (Fig. 15.1.a). El centro de dichas circunferencias es la proyección respectiva del centro de la esfera, y el radio coincide con el de la esfera. Según lo expuesto, la proyección horizontal de la esfera coincide con la proyección horizontal del ecuador, mientras que la proyección vertical de ésta coincidirá con la vertical del meridiano principal (Fig. 15.1.b).


Figura 15.1

La ubicación de puntos sobre la superficie de la esfera se lleva a cabo acudiendo a planos paralelos a los de proyección. Así, si se conoce la proyección horizontal de un punto A (Fig. 15.2.a), situado en la superficie de la esfera, la proyección vertical se obtendrá haciendo pasar por A un plano P paralelo al vertical, que cortará a la esfera según la circunferencia de diámetro BC, la cual se proyectará verticalmente como una circunferencia de radio bc y centro b’. Sobre ésta se situará la proyección vertical de A, existiendo por tanto dos posibles soluciones (a’1 y a’2). Si se conoce la proyección vertical de un punto situado sobre la superficie de la esfera, el procedimiento para obtener su proyección horizontal sería el mismo que el explicado anteriormente, solo que ahora el plano auxiliar será paralelo al horizontal de proyección. (Fig. 15.2.b).

Figura 15.2. Representación de un punto de la superficie esférica conociendo su

proyección horizontal (a) y vertical (b).

172


Si la proyección horizontal está situada sobre el contorno aparente, su proyección vertical estará situada sobre el diámetro paralelo a la línea de tierra. De igual forma, si un punto tiene su proyección vertical sobre el contorno aparente, su proyección horizontal se encontrará sobre el diámetro paralelo a la línea de tierra. 15.3. Secciones planas de una superficie esférica.

Como se indicó anteriormente, un plano corta a una esfera según una circunferencia, independientemente de la posición relativa entre ambas superficies. Si el plano secante pasa por el centro de la esfera, la sección producida es un círculo máximo, coincidiendo su diámetro con el de la esfera. Si el plano secante no contiene al centro de la esfera se genera un círculo menor, cuyo diámetro es menor que el de la esfera. En la Fig. 15.3 se muestra la representación en perspectiva y el alzado, planta y perfil de una esfera seccionada por un plano paralelo al plano horizontal de proyección (Fig. 15.3.a), por un plano paralelo al vertical de proyección (Fig. 15.3.b), y por un plano oblicuo cualquiera (Fig. 15.3.c). En el primer caso la proyección horizontal es un círculo, mientras que la vertical y de perfil será una línea recta. Lo contrario ocurre en el segundo caso, en el que la proyección vertical de la sección será un círculo, mientras que la horizontal y de perfil será una línea recta. En el tercer caso la sección producida se proyectará como una elipse en la planta, alzado y perfil. La forma de resolver este problema en el caso general, es decir, cuando el plano secante sea oblicuo, es llevar a cabo un cambio de plano para que el de corte se transforme en uno proyectante. A continuación se deshace el cambio para determinar los puntos más notables de la curva sección. En la Figura 14.4 se representa el proceso, realizándose un cambio de plano vertical para convertir el plano secante P en uno proyectante vertical. La proyección vertical de la sección que éste produce en la esfera está sobre la traza vertical Pc’ del plano, según la cuerda ac’bc’ que determina la traza sobre la proyección vertical del contorno aparente vertical de la esfera. Horizontalmente se proyecta como una elipse cuyo centro es la intersección M de la perpendicular a P trazada desde el centro O de la esfera. El eje menor es la proyección horizontal de AB, y el eje mayor CD es el diámetro vertical que pasa por M. Para determinarlo basta pensar que la sección producida es una circunferencia y por tanto, la longitud de AB es igual que la de CD. Como ac’bc’ y cd se proyectan en verdadera magnitud, entonces ac’bc’=cd.

173


Figura 15.3. Secciones planas de la esfera

Figura 15.4

174


15.4. Intersección de una recta y una esfera.

La forma de resolver este problema es aplicando el procedimiento general explicado en los temas anteriores: se traza por la recta un plano auxiliar y se halla la sección producida por este plano sobre la esfera. Las intersecciones de esta sección con la recta son los puntos buscados. El plano auxiliar utilizado se debe elegir de manera que la sección producida sea fácil de determinar. Esto se puede conseguir utilizando planos proyectantes (Fig. 15.5).

Figura 15.5. Intersección de una esfera con una recta utilizando un proyectante vertical. Si la recta pasa por el centro de la esfera, los puntos de intersección se pueden obtener mediante giros. Si la recta se gira según un eje vertical que pase por el centro de la esfera (Fig. 15.6), hasta convertirla en una frontal, los puntos donde la recta girada corte al contorno aparente vertical serán los buscados, una vez se deshaga el giro. En la Fig. 15.7 se ha resuelto el problema de intersección entre recta y esfera abatiendo la sección que produce uno de los planos proyectantes que contiene a dicha recta. El plano P corta a la esfera según una circunferencia de radio G. Al abatir el plano, en este caso sobre el horizontal de proyección, los puntos de corte de la recta abatida (R0) y la circunferencia intersección de P y la esfera, E0 y S0 son los puntos buscados. Al deshacer el abatimiento se obtendrán las proyecciones de los mismos.

175


Figura 15.6. Intersección de una esfera y una recta que pasa por su centro, utilizando

giros.

Figura 15.7. Intersección de una recta y una esfera mediante abatimientos.

176

TEMA 16.

El Toro.

16.1. Representación.

El toro es una superficie de revolución que se engendra al girar una circunferencia (generatriz) alrededor de una recta que, sin cortarla, pertenece al plano de dicha circunferencia. También puede ser considerado como la superficie engendrada por una esfera (generatriz) que gira alrededor de una recta exterior a ella. La directriz de un toro es la circunferencia que describe el centro de la circunferencia o esfera al engendrarlo. El centro de la generatriz es el centro del toro. El eje del toro es la recta sobre la que gira la circunferencia o la esfera que lo genera. Un paralelo del toro estará formado por dos circunferencias concéntricas, resultado de cortar al mismo por un plano perpendicular al eje. Si el toro se dispone como se muestra en la Fig. 16.1 (directriz paralela al plano horizontal), la proyección horizontal estará formada por dos circunferencias concéntricas, cuyo centro es la proyección del centro del toro. La circunferencia exterior es la proyección del ecuador del toro, mientras que la interior es la proyección de la circunferencia de garganta del toro. La proyección vertical está formada por la proyección del meridiano principal, compuesto por dos circunferencias, resultado de seccionar el toro con un plano paralelo al vertical de proyección que pasa por su centro, unidas por las tangentes comunes exteriores.

Figura 16.1. Representación del toro.


Si la directriz pertenece a un plano oblicuo P, el eje E será una recta oblicua respecto a los planos de proyección, perpendicular a P y que pasa por el centro del toro (punto O) (Fig. 16.2). Para hallar las proyecciones de un toro así situado se obtienen, en primer lugar, las proyecciones de la directriz, y luego se representan las proyecciones de la esfera generatriz en diferentes posiciones, cuando su centro se desplaza por la directriz para generar el toro. La curva envolvente de las circunferencias de esta forma trazadas representará el contorno aparente en las dos proyecciones del toro (Fig. 16.3).

Figura 16.2. Toro cuya directriz está contenida en un plano oblicuo

Figura 16.3. Representación de un toro cuya directriz pertenece a un plano oblicuo.

178

F. Agüera, F.J. Aguilar, F. Carvajal, F., M.A. Aguilar, B. Navarro

16.2. Secciones planas de un toro.

Se considerarán aquellas producidas por planos paralelos o perpendiculares al eje del toro. En el caso que el plano secante sea perpendicular al eje, la línea de intersección está compuesta por dos circunferencias concéntricas, cuyos radios se obtienen en la proyección sobre el plano que sea paralelo al eje. Si el plano secante contiene a la circunferencia directriz (o al centro del toro), las circunferencias intersección coincidirán con el ecuador y la garganta. Este último caso es el que representa la Fig. 16.4.a, mientras que en la Fig. 16.4.b el plano secante es un horizontal cualquiera. Si el plano de corte contiene al eje del toro, la línea de corte serán dos circunferencias con diámetro igual al de la circunferencia o esfera generatriz y con los centros situados sobre la directriz. La Fig. 16.4.c muestra este caso, con la particularidad de que el plano secante es paralelo al vertical de proyección. Si el plano secante es paralelo al eje del toro pero no lo contiene, la sección es una curva de las denominadas de Cassini. Si el plano es, además, tangente a la circunferencia de garganta, la curva de Cassini tiene forma de bucle, como se muestra en la Fig. 16.4.d. Si el plano está a una distancia del eje comprendida entre los valores del radio de la directriz y del ecuador, se tendrá una línea como la mostrada en la Fig. 16.4.e.

Figura 16.4

179


La forma de determinar la sección plana de un toro es la general, es decir, tomando planos auxiliares (en este caso perpendiculares al eje), hallando la intersección entre estos planos y el toro, y buscando los puntos de corte de estas intersecciones con el plano secante. Esto se repite para cada plano auxiliar, obteniendo cada vez, por lo general, una pareja de puntos. La curva que une estos puntos es la sección buscada. En la Fig. 16.5 se representa el proceso de cálculo para la determinación de la sección que produce un plano, paralelo al vertical y tangente a la garganta, en un toro cuyo eje es perpendicular al horizontal de proyección.

Figura 16.5. Determinación de la sección de un plano sobre un toro.

180

TEMA 17.

Sistema de Representación Axonométrico.

17.1. Introducción a los sistemas axonométricos ortogonal y oblicuo.

Los sistemas de representación diédrico y acotado, sistemas métricos por excelencia, permiten representar la realidad de forma que podamos comprenderla en un documento, plano o dibujo con la mayor precisión. Cada uno tiene sus ventajas e inconvenientes, y está indicado para un determinado tipo de representaciones, fundamentalmente en ingeniería civil y arquitectura. Sin embargo, ninguno de ellos permite que una persona, sobre todo si no es un técnico, obtenga una idea general de la forma o figura representada a primer golpe de vista. Este inconveniente es salvado mediante los sistemas de representación denominados tridimensionados, que son aquellos en los que con una sola proyección podemos reconstruir mentalmente la figura tridimensional que representan. Estos sistemas serían el sistema axonométrico ortogonal, el sistema axonométrico oblicuo (por ejemplo en su versión de perspectiva caballera) y el sistema cónico o central. Todos intentan simular la forma en que el ojo humano percibe la realidad, aunque parten con una gran desventaja, y es la percepción biocular de los objetos por el cerebro humano. De entre ellos, es la perspectiva cónica o central el que más se aproxima a la realidad. El sistema de representación axonométrico ortogonal, muy utilizado en el dibujo industrial en países como EEUU, Inglaterra, Francia y Alemania, fue desarrollado a principios del siglo XIX por el profesor William Farish, de la Universidad de Cambridge. Sin embargo, la teoría de la axonometría tuvo que esperar a que el matemático e ingeniero hidráulico alemán Julius Weisbach publicara el primer tratado sobre axonometría en 1857, llamado “Anleitung zum axonometrischen Zeichnen”. Más tarde, el italiano Quintín Sella, profesor de geometría y mineralogía de la Escuela de Ingenieros de Turín, consiguió aunar los conocimientos teóricos desarrollados con anterioridad con la utilidad práctica de los mismos dentro del diseño y dibujo industrial. Como todos los sistemas de representación, el sistema axonométrico debe cumplir un principio básico, y es el de “reversibilidad”. Es decir, cualquier técnico debe ser capaz de comprender el cuerpo representado en el documento (normalmente piezas industriales) y pasar a su fabricación y construcción en el taller.


La axonometría oblicua, y más concretamente el caso especial de la perspectiva caballera que trataremos en el capítulo siguiente, puede considerarse un caso particular de la axonometría general, donde la dirección de proyección sobre el plano del cuadro o plano de referencia no es ortogonal, si no oblicua según un ángulo de inclinación y dirección variables, característica que permite obtener una gran cantidad de perspectivas de la misma pieza. Sin embargo, algunos autores - por ejemplo González y Palencia, 1996 - consideran a la perspectiva caballera como un sistema de representación independiente, pues su relación con la axonometría es meramente conceptual, aunque, como veremos más adelante, presenta una indiscutible analogía con la perspectiva axonométrica por la disposición de los ejes y construcción del dibujo. La teoría de la axonometría oblicua general se basa en el denominado teorema de POHLKE, cuyo enunciado data de 1853 y puede escribirse de la siguiente manera: “Tres segmentos con un extremo común y direcciones arbitrarias no coincidentes pueden considerarse como las proyecciones paralelas o cilíndricas de tres aristas concurrentes en un cubo”. Obsérvese como las tres aristas concurrentes que señala el teorema pueden ser los ejes X, Y, Z de un sistema cartesiano en el espacio, de forma que el lado del cubo sea la unidad métrica de medida situada en cada eje (Figura 17.1). De esta forma se justifica, a nivel teórico, la croquización perspectiva mediante axonometría oblicua usando tres ejes y escalas arbitrarias como direcciones principales del objeto a representar. La demostración del teorema de POHLKE puede desarrollarse a partir de propiedades elementales de la geometría proyectiva o incluso mediante el uso del sistema diédrico - por ejemplo Ladrón de Guevara y col., 1996 -, aunque su contenido no tiene más interés que el puramente teórico, no empleándose normalmente la axonometría oblicua general en el dibujo técnico industrial.

Figura 17.1. Representación del teorema de Pohlke. Las semirrectas O’X’, O’Y’ y O’Z’ pertenecen al plano del cuadro.

182


17.2. Fundamentos del sistema axonométrico ortogonal.

Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio conforma la base de un sistema de representación axonométrico. Los ejes X’, Y’ y Z’ en el espacio forman una base ortogonal de referencia. El ángulo que forma cada eje coordenado con un plano de referencia, denominado plano del cuadro, determina las características específicas de la perspectiva empleada para la representación de la instalación agraria o mecanismo diseñado.

Figura 17.2. Representación de la posición de los ejes coordenados y del plano del cuadro.

Los ejes coordenados forman tres planos ortogonales entre sí que dividen el espacio en 8 octantes. La axonometría utiliza un sólo plano de proyección, el plano del cuadro, sobre el que proyectamos los ejes X’, Y’ y Z’ de forma cilíndrica y ortogonal, dando como resultado los ejes X, Y y Z, llamados ejes axonométricos (Figura 17.3). Sobre estos ejes proyectados hemos de construir la perspectiva axonométrica del objeto a representar.

Figura 17.3. Proyección cilíndrica ortogonal de los ejes coordenados.

183


Cada eje coordenado forma un ángulo con el plano del cuadro (α, β y δ). Si los ángulos son todos iguales entre sí hablamos de un sistema isométrico, y a los planos de proyección formados por los ejes los denominamos isoplanos. Si dos de los ángulos son iguales y el tercero distinto tenemos un sistema dimétrico, y en el caso de que los tres sean diferentes obtendremos un sistema trimétrico o anisométrico. Vamos a ocuparnos especialmente del sistema isométrico, probablemente el más empleado. En este caso, los ángulos que forman los ejes axonométricos entre sí serán iguales, es decir, 360º sexagesimales entre tres sectores arrojaría un valor de 120º. Es importante observar que cada magnitud del objeto a representar paralela a los ejes coordenados se verá reducida al proyectarla sobre el plano del cuadro (Figura 17.4). Por ejemplo, una magnitud lineal en el espacio y paralela a X’ (U) se proyecta sobre el plano según el eje axonométrico X, reduciéndose según el ángulo que forman el eje X’ y el plano del cuadro (α). De esta forma tenemos que el coeficiente de reducción del eje X, Cx, viene dado por la siguiente expresión:

C UU

Cosxx= = α

Figura 17.4. Coeficiente de reducción del eje X’ sobre el eje axonométrico X.

Análogamente podríamos determinar los coeficientes de reducción Cy y Cz. En el caso particular del sistema isométrico es evidente que Cx = Cy = Cz, pues todos los ángulos son iguales. 17.3. determinación del valor del coeficiente de reducción en el sistema isométrico.

Para determinar el valor del coeficiente de reducción que hemos de utilizar en el sistema isométrico vamos a partir de la figura 17.5, donde tenemos el triedro rectangular formando un tetraedro con el plano del cuadro. Como los ángulos A, B y C son iguales (sistema isométrico), las aristas O1, O2 y O3 serán también idénticas, asignándoles un valor “a”.

184


El triángulo 1-2-3 es por tanto equilátero, siendo O’ el centro de este triángulo. De esta forma tenemos que si 4 es el punto medio del segmento 1-2, en el triángulo 3-4-2 se cumple que:

34 23 24 23234

2 2 22

= − = −

Por otra parte, al ser el triángulo O23 rectángulo (sistema trirrectangular) tenemos:

23 22= + = + =O3 O2 a a a2 2 2 2 2

Luego:

346

2= a

Sabemos que la distancia entre O’ y 4 es 1/3 de 3-4 (centro de gravedad de un triángulo), por lo que O’-3 es igual a 2/3 de 3-4. Si seguimos operando comprobamos que:

O'-3 =2 63.2

a =6

3a

Como el coeficiente de reducción es O’-3/O-3, es decir, O’-3/a, obtenemos que el valor del coeficiente de reducción en el sistema isométrico es de 0.816 para todos los ejes.

Figura 17.5. Determinación del coeficiente de reducción en el sistema isométrico. 17.4. teorema de Schlömilch-Weisbach.

El teorema de Schlömilch-Weisbach establece unas relaciones entre los distintos elementos que intervienen en el sistema de representación axonométrico. Estos elementos son:

185


- El ángulo del triedro, rectangular en nuestro caso.

triedro de referencia. Generalmente el unto O va a situarse sobre el plano del cuadro.

ción de la proyección de los puntos respecto al plano del cuadro y los oplanos.

Los coeficientes de reducción del sistema Cx, Cy y Cz.

ulo cuyos lados ,b,c) son proporcionales a los cuadrados de las escalas axonométricas:

a = K.Ux2 ; b = K.Uy2 ; c = K.Uz2

onde K es una constante de proporcionalidad.

e son bisectrices del triángulo, por lo que el punto O sería el centro (Figura 17.6).

amental. Este tipo de planos horizontales nos erán muy útiles en próximos apartados.

ta forma, el enunciado del teorema de Schlömilch-Weisbach puede desdoblarse en os:

el triángulo órtico son proporcionales al cuadrado de las escalas onométricas.

encia sobre el plano del uadro (ejes axonométricos) son bisectrices del triángulo órtico.

arse la relación existente entre los coeficientes e reducción de los ejes axonométricos:

Cos2α + Cos2β + Cos2δ = 2 ; o bien Cx2 + Cy

2 + Cz2 = 2

entes de reducción y ángulos que forman los ejes xonométricos entre sí más usuales.

- La posición del plano del cuadro respecto alp - La direcis - El teorema parte de la definición del triángulo órtico, siendo aquel triáng(a

d Los vértices del triángulo órtico se encuentran situados sobre las prolongaciones de los ejes axonométricos, quin Por otra parte, todo triángulo, construido de forma que sus lados sean perpendiculares a los ejes axonométricos y pasen por los vértices del triángulo órtico, es paralelo al plano del cuadro y se denomina triángulo funds De esd a) Los lados dax b) Las proyecciones ortogonales de los ejes del triedro de referc A partir de estos enunciados puede derivd

En la tabla 17.1 se dan los coeficia

186


Angulo Angulo Angulo Cx Cy CzTipo de

Sistema XOZ XOY YOZ Isométrico 120º 120º 120º 0.816 0.816 0.816 Dimétrico 131º 24’ 131º 24’ 97º 11’ 0.943 0.943 0.471 Dimétrico 134º 26’ 134º 26’ 91º 8’ 0.985 0.985 0.246 Dimétrico 126º 50’ 126º 50’ 106º 20’ 0.883 0.883 0.663 Trimétrico 92º 51’ 1 ’ 68º 18 98º 51’ 0.872 0.498 0.996 Trimétrico 95º 11’ 157º 107º 49’ 0.985 0.493 0.887

Tabla 17.1. Valores de algunos de los sistemas axonométricos más usuales.

Fig as trazas o intersección del plano H (fundamental) con los isoplanos (H1, H2 y H3).

17.5. representación del punto, recta y plano en el sistema isométrico.

7.5.1.- Representación del Punto.

En xonométrico el punto en el espacio se proyecta ortogonalmente sobre cuatro planos:

royección directa del punto (A), imilar a la proyección empleada en planos acotados.

ura 17.6. Triángulos órtico y fundamental en el sistema axonométrico. Obsérvese l

1 Un punto en el sistema axonométrico viene dado por cuatro proyecciones (Figura 17.7). Recordemos que los tres planos del sistema dividen al espacio en ocho octantes. Consideraremos que el observador se sitúa en el triedro desde el que observamos el objeto, es decir, su visual es perpendicular al plano del cuadro o de proyección. a - El primero sería el plano del cuadro, y se llama ps

187


- El segundo sería el isoplano XOY, y se llama proyección horizontal.

El tercero sería el isoplano XOZ, denominándose primera vertical.

Y el cuarto sería el isoplano YOZ, segunda vertical.

ción de los planos de royección no son paralelas o perpendiculares al plano del cuadro.

- - Cada una de las proyecciones sobre los isoplanos se proyecta a su vez ortogonalmente sobre el plano del cuadro (A’, A’’ y A’’’), obteniéndose la representación tridimensional en un documento bidimensional. Cabe destacar que para la correcta representación de un punto sólo son necesarias dos de las cuatro proyecciones posibles, algo similar a lo que sucede en diédrico con la proyección de perfil. En general, observamos que se trata de un sistema similar al diédrico, aunque en este caso las rectas intersecp

Figura 17.7. Proyección de un punto en el sistema axonométrico de representación.

proyección directa para la presentación axonométrica en el dibujo técnico industrial.

En la figura 17.8 podemos observar el resultado final de la proyección del punto A, dado por cuatro proyecciones. En general sólo se utiliza la re

Figura 17.8. Representación axonométrica de un punto.

188


Cuando trabajamos en perspectiva isométrica y queremos determinar la distancia del punto A a cualquiera de los tres isoplanos, basta con medir la distancia en la proyección (por ejemplo AA’) y dividir por 0.816 (coeficiente de reducción) para obtener la distancia real. Por supuesto también habrá que tener en cuenta la escala del dibujo. Como casos particulares de la representación de un punto podemos mencionar los puntos situados en los planos de proyección, en un eje o en el origen de coordenadas O (Figura 17.9). Obsérvese como la dirección en la que se proyecta el punto sobre cualquier isoplano es paralela al eje perpendicular a ese isoplano. En la figura 17.10 tenemos un punto A situado sobre un plano proyectante sobre el plano del cuadro o perpendicular a él que contiene al eje X. Vemos como la proyección directa de A está contenida en la propia proyección del eje X.

Figura 17.9. El punto A está situado en el isoplano XOY, el punto B en el eje Z, y por último, el punto C se sitúa en el mismo origen de coordenadas O.

Figura 17.10. Representación de un punto situado en un plano proyectante sobre Π que contiene al eje X.

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17.5.2.-Representación de la Recta. Para definir una recta basta con determinar dos puntos de la misma. Generalmente se suelen determinar las denominadas trazas, o puntos de intersección entre la recta y los isoplanos. Al igual que el punto, la recta tendrá también cuatro proyecciones, aunque sólo son necesarias dos para definirla, pudiendo determinar a partir de éstas las restantes (Figura 17.11). Llamaremos R1, R2 y R3 a las trazas de la recta r con los isoplanos I, II y III, es decir, XOY, XOZ e YOZ. La parte de recta vista será el segmento comprendido en el primer octante, en este caso entre las trazas R2 y R3. Es interesante observar como las proyecciones r’, r’’ y r’’’ unen proyecciones de puntos traza sobre el isoplano en el que se proyectan.

Figura 17.11 Representación de la recta R según sus cuatro proyecciones.

Figura 17.12. Recta paralela al isoplano XOY.

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Figura 17.13. Recta R paralela al eje X. Recta T contenida en el isoplano YOZ. En la figura 17.12 representamos una recta R paralela al isoplano XOY. Esta recta no puede tener traza R1, pues no corta nunca a este isoplano, por lo que r’’ y r’’’ son paralelas a los ejes X e Y respectivamente. En la figura 17.13 se muestra la representación isométrica de una recta R paralela al eje X, por lo que sólo tendrá traza R3 con el isoplano YOZ. Sus proyecciones r’ y r’’ serán paralelas a la proyección axonométrica del eje X. Igualmente aparece una recta T contenida en el isoplano YOZ, coincidiendo la proyección directa y t’’’, pues ambas se superponen sobre el isoplano III.

Figura 17.14. Representación isométrica de una recta T que pasa por el origen, y de una recta R perpendicular al plano del cuadro.

La representación de una recta (T) que pasa por el punto O dada por sus proyecciones directa y t’, necesita de un punto P auxiliar perteneciente a T para determinar t’’ y t’’’, que pasarán por las proyecciones P’’ y P’’’ de dicho punto (Figura 17.14). En el caso de una recta (R) perpendicular al plano del cuadro, la proyección directa es un sólo punto, pues representa una visual “aérea” de la recta. Las proyecciones r’, r’’ y r’’’ serán

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paralelas a los ejes axonométricos y partirán de la proyección directa de R (Figura 17.14). 17.5.3.- Representación del Plano. Un plano queda definido por tres puntos no alineados, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan. La representación del plano en el sistema isométrico viene dada por sus trazas, o rectas intersección con los tres isoplanos. Un plano oblicuo intersecta a los isoplanos según tres rectas que se cortan dos a dos. En la figura 17.15 podemos observar la representación de un plano P en el sistema isométrico. P1, P2 y P3 son las trazas del plano con los isoplanos XOY, XOZ y ZOY respectivamente. Podemos ver como las prolongaciones de la traza P2 y P1 se cortan en un mismo punto del eje X, recta común a ambos isoplanos. Sucede igual que con las trazas de un plano en el sistema diédrico, ambas han de cortarse en la línea de tierra.

Figura 17.15. Representación isométrica de un plano oblicuo P.

Figura 17.16. Determinación isométrica de un plano dado por dos rectas (R y S) que se cortan en un punto A.

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Para hallar las trazas de un plano que contiene a dos rectas que se cortan basta con determinar las trazas con los isoplanos de las rectas y unirlas para obtener la proyección de las trazas del plano (Figura 17.16). Si se tratara de tres puntos no alineados bastará con unir dos de ellos con el restante y obtendremos dos rectas que se cortan en uno de los puntos, por lo que nos encontramos de nuevo con el caso comentado anteriormente.

Figura 17.17. Representación isométrica de distintas posiciones de planos. La situación de los planos respecto a los ejes de referencia pueden ser muy diversas (Figura 17.17). En el caso de un plano paralelo al eje X las trazas de los isoplanos I y II, P1 y P2, son paralelas al eje X en proyección, pues también lo son en el espacio. Un plano paralelo al isoplano XOY tendrá sus trazas Q2 y Q3 paralelas a la proyección de los ejes X e Y, y por supuesto, no presentará traza con dicho isoplano. Por último, un plano proyectante o perpendicular sobre el isoplano XOY, muy empleado como plano auxiliar en diversas construcciones, debe tener sus trazas V2 y V3 paralelas al eje Z, pues sabemos que en el espacio es perpendicular al isoplano I.

Figura 17.18. Plano que pasa por el origen de coordenadas O.

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En la figura 17.18 podemos encontrar la resolución de un plano que pasa por el origen de coordenadas O. Supongamos que sólo tenemos como dato las trazas P2 y P3, y debemos determinar la P1. En ese caso podemos dibujar una recta R contenida en el plano y determinar su traza R1. La traza del plano P1 debe pasar por R1, pues la recta pertenece al plano P, y por el origen de coordenadas O, pues pasan las otras dos trazas. Trazas de los isoplanos con el plano del cuadro. Como comentamos anteriormente vamos a suponer que el punto O se sitúa sobre el mismo plano del cuadro. En términos de planos acotados es un punto de cota 0. Partiendo de esta hipótesis resulta evidente que al pertenecer O a los tres isoplanos, las trazas o rectas intersección entre cada isoplano y el plano de proyección deben de pasar por el punto O. La dirección de cada traza será perpendicular al eje ortogonal al isoplano en el que está contenida. Por ejemplo la traza del isoplano I, I1, será perpendicular a la proyección del eje Z. I2 será perpendicular al eje Y, y por último, I3 será perpendicular al eje X (Figura 17.19). Cabe resaltar que si el punto O estuviera elevado respecto al plano del cuadro sólo variaría el punto por el que pasa cada traza, que en este caso no sería el mismo para todas. Sin embargo se conservarían las mismas direcciones comentadas en el caso anterior.

Figura 17.19. Determinación de las trazas de los tres isoplanos con el plano del cuadro.

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Traza ordinaria o natural de un plano y de una recta. Se define como traza natural de un plano a la intersección del mismo con el plano del cuadro o de proyección. En términos de planos acotados podría definirse como el conjunto de puntos del plano que tienen cota 0. Igualmente, la traza natural de una recta sería el punto donde la recta corta al plano del cuadro, punto de cota 0. Para determinar la traza natural de un plano P dibujamos previamente las trazas de los isoplanos con el plano del cuadro. El punto donde se cortan la traza I1 del isoplano XOY con la traza P1 del plano P (punto 1 en la figura 17.20) pertenece a la intersección del plano P con el plano del cuadro, y por tanto está contenido en su traza natural. Lo mismo ocurre con la intersección de P2 con I2 (punto 2). Por lo tanto uniendo ambos puntos podemos obtener la traza ordinaria del plano P, P0. En el caso de que queramos hallar la traza natural de una recta R, primero habrá que dibujar un plano de los infinitos que la contienen, por ejemplo P. Se halla la traza ordinaria de P, y donde la proyección directa de R corte a P0 tendremos el punto R0 o traza ordinaria de R. Otra forma de hallar este punto sería obtener la altura de dos puntos cualesquiera de la recta respecto al plano del cuadro (lo veremos en próximos apartados). A continuación, abatimos esos dos puntos sobre el plano del cuadro, utilizando como charnela o eje de giro a la proyección directa de R (plano proyectante sobre Π). Donde se corten R y la recta R abatida tendremos el punto R0.

Figura 17.20. Determinación de la traza ordinaria o natural de un plano P (P0) y de una recta r (R0) contenida en él.

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17.6. Resolución de intersecciones en axonométrico.

17.6.1.- Intersección entre dos rectas.

Para que dos rectas se corten basta con que tengan un punto en común, lo que tiene que reflejarse al menos en dos de las proyecciones de ese punto. En la figura 17.21 podemos comprobar como las rectas R y S se cortan en el punto A, tanto en proyección directa como en proyección horizontal.

Figura 17.21. Intersección entre dos rectas R y S. La solución es el punto A. 17.6.2.- Intersección entre dos planos. Para determinar la recta intersección (R) entre dos planos que no sean paralelos P y Q (figura 17.22) hemos de hallar los puntos de corte de las trazas de cada plano para cada isoplano. Las trazas de la recta R (R1, R2 y R3) serán estos mismos puntos, con lo que quedará completamente definida la recta intersección. En la práctica sólo determinaremos dos trazas de la recta, pues la tercera sólo sería útil a modo de comprobación. 17.6.3. Intersección entre recta y plano. La intersección entre una recta R y un plano P (Figura 17.23) requiere un plano auxiliar Q, que generalmente, y para facilitar el trazado, es proyectante sobre algún isoplano, en nuestro caso sobre el XOY. La intersección del plano auxiliar con el plano P dado es una recta I, que cortará a la recta R en el punto solución A, punto que según la construcción empleada debe pertenecer tanto al plano P como a la recta R. En la figura 17.24 observamos un problema similar al expuesto en este apartado, como es la intersección de una recta R con una figura plana triangular, dada por las proyecciones de los puntos 1, 2 y 3. La solución adoptada consiste en buscar una recta I que pertenezca al plano que forma el triángulo y que esté contenida en el mismo plano proyectante sobre el isoplano XOY que la recta R, con lo que tendremos una superposición de las proyecciones horizontales (i’ y

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r’). Al estar en el mismo plano y no ser paralelas, estas rectas han de cortarse en un punto A. Este punto pertenece a la recta I, y por lo tanto también a la superficie del triángulo, pues la recta I está contenida en ella.

Figura 17.22. Intersección entre dos planos P y Q dando como solución la recta R.

Figura 17.23. Intersección entre una recta R y un plano P. La solución es el punto A.

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Figura 17.24. Intersección de una recta con una figura plana; en este caso un triángulo.

17.7. Determinación de distancias. 17.7.1.- Determinación de la distancia entre dos puntos. En el caso del sistema isométrico, la determinación de la distancia entre dos puntos va a depender de la posición relativa al sistema de referencia de la recta que los une. Si esta recta es paralela a algún eje (X, Y o Z), bastará con medir la distancia en el dibujo entre los dos puntos en proyección directa y dividirla por 0.816 (coeficiente de reducción del sistema) para obtener la distancia real entre dichos puntos. Por supuesto, también habrá que tener en cuenta la escala a la que estamos representando el objeto.

Figura 17.25. Determinación de la distancia entre dos puntos A y B. Método general.

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En distinta situación nos encontramos cuando hablamos del caso general, donde la recta que une ambos puntos es oblicua a los isoplanos y al plano del cuadro. Una posible solución de este problema es la construcción indicada en la figura 17.25. La hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la diferencia de cotas de ambos puntos con respecto a un isoplano, en nuestro caso el XOY, y la proyección sobre ese isoplano (d’) sería la solución del problema (ver representación espacial en figura 17.25). Para construir este triángulo debemos situar a la proyección directa (d) y horizontal (d’) del segmento que une los puntos A y B sobre el origen de coordenadas O. Una vez realizada esta operación, determinamos la verdadera magnitud del segmento d’. Para ello empleamos un plano paralelo al del cuadro, de forma que la charnela del abatimiento o eje de giro será la traza con XOY de ese plano, perpendicular al eje Z que pase por el extremo de d’. El abatimiento del isoplano XOY sobre este plano paralelo al de proyección implicará la obtención del punto O abatido (Oo) y de los ejes X e Y abatidos (Xo e Yo). Para determinarlos nos basamos en que los ejes X e Y forman 90º entre sí, con lo que el punto O debe pertenecer al arco capaz de 90º que pasa por los puntos donde la charnela corta a los ejes X e Y. El extremo donde d’ corta a la charnela es un punto doble, pues pertenece al eje de giro del abatimiento. Uniendo este punto con Oo obtendremos d’o. El cateto que nos falta para construir el triángulo rectángulo vendrá dado por la medida de h en el dibujo dividida por 0.816 para pasarla a verdadera magnitud, pues es un segmento paralelo al eje Z. 17.8. Paralelismo y perpendicularidad.

17.8.1.- Paralelismo. Dos rectas paralelas en el espacio conservan su paralelismo en proyección, por lo que sus proyecciones axonométricas también son paralelas. Igualmente, dos planos paralelos serán aquellos que tengan las trazas paralelas dentro de cada isoplano (Figura 17.26). Es interesante recordar en este punto que “una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta cualquiera de ese plano”. En la figura 17.27 se resuelve el problema de hallar un plano P que sea paralelo a una recta dada S y contenga a otra recta R. Para determinar la solución hemos señalado un punto arbitrario sobre la recta R. Trazamos una recta U paralela a S que pase por el punto comentado anteriormente y hallamos el plano que forman las rectas U y R. El plano P determinado es paralelo a la recta S al contener una recta U que es paralela a S. 17.8.2.- Perpendicularidad. Recordando nuestros conocimientos del sistema diédrico, para que una recta sea perpendicular a un plano en el espacio, la proyección ortogonal de la recta sobre el plano de proyección y la traza del plano con el mismo deben ser perpendiculares.

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Igualmente, si dos rectas son perpendiculares en el espacio y una de ellas es paralela al plano de proyección (Figura 17.28), las proyecciones de las dos rectas sobre dicho plano son también perpendiculares.

Figura 17.26. Representación isométrica de dos planos paralelos (P y Q) y dos rectas paralelas R y S.

Figura 17.27. Determinación de un plano P paralelo a una recta dada S que contenga a otra recta R.

En este sentido, la caracterización de la perpendicularidad entre recta y plano en el sistema diédrico requiere un procedimiento más sencillo que en isométrico o axonométrico en general, pues basta con que las proyecciones de la recta y trazas del plano sean perpendiculares. En axonométrico tenemos cuatro planos de proyección, con la dificultad añadida de que solamente en uno de ellos proyectamos directamente (plano Π).

200


Los planos XOY, XOZ y ZOY proyectan las proyecciones que reciben de nuevo sobre el plano del cuadro, por lo que en este tipo de representación las trazas de un plano perpendicular a una recta no tienen por que ser perpendiculares a las proyecciones de dicha recta.

Figura 17.28. Relación entre la perpendicularidad en el espacio y en proyección ortogonal.

Figura 17.29. Determinación de una recta R perpendicular a un plano P dado. Para la determinación de una recta R perpendicular a un plano P que pase por un punto dado A tenemos que tener en cuenta lo siguiente: a) La proyección directa de la recta R debe ser perpendicular a la intersección del plano P con el plano de proyección, es decir, la traza ordinaria o natural del P.

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b) La traza P1 del plano P debe ser perpendicular (en el espacio) a la proyección r’ de la recta R. Lo mismo podría aplicarse a los demás isoplanos. Si conseguimos que R cumpla estos dos requisitos estaremos seguros de que es perpendicular al plano P (Figura 17.29). En efecto, en primer lugar hallamos la traza ordinaria del plano P, P0, tal y como explicamos en un apartado anterior. Basta hallar la intersección de P1 con I1 (traza con Π del isoplano XOY) y P2 con I2 (traza de XOZ con Π), obteniendo los puntos 1 y 2 que forman parte de P0. A continuación podemos dibujar la proyección directa de la recta R trazando una perpendicular desde la proyección directa de A a P0. Para dibujar r’ hemos de abatir previamente la proyección A’ de A para trabajar sobre el isoplano XOY en verdadera magnitud. Este abatimiento se realiza de forma similar al comentado en anteriores apartados, abatiendo los ejes X e Y sobre un plano horizontal o paralelo al plano Π. Para ello tenemos que abatir previamente la recta S que contiene al punto A. Otra posibilidad sería la de tratar a A’ como punto doble, haciendo pasar a la traza del plano horizontal por él mismo. En cualquier caso obtendremos A’0, por donde trazaremos una perpendicular a la traza P1 abatida, lo que designamos en la figura por (P1). Este recta perpendicular será la proyección r’ abatida, es decir, r’0. Sólo tenemos que realizar el desabatimiento de r’0 para obtener r’, y tener a la recta R completamente definida por dos de sus proyecciones. 17.9. Abatimientos.

Abatir un plano significa girarlo alrededor de un eje de rotación hasta hacerlo coincidir con el plano de proyección. Este eje de giro, denominado charnela, tiene que ser por tanto la intersección entre el plano de proyección y el plano a abatir (Figura 17.30). Es una técnica muy empleada para observar magnitudes de objetos en verdadera dimensión cuando estas magnitudes son oblicuas al plano de proyección y se ven por tanto reducidas en su representación. En el abatimiento existen tres elementos imprescindibles (Figura 17.30): el plano que se abate (P), el plano sobre el que se abate el anterior (H), y el eje de giro o charnela. Cuando se abate un plano se hace lo mismo con todo lo que contiene, puntos, rectas y formas planas, con lo que podemos observarlas en verdadera magnitud. En la figura 17.30 se gira el punto A alrededor de la charnela hasta que coincide con el plano H, pasando a denominarse A0. El subíndice 0 es el normalmente empleado para referirse a puntos o rectas abatidos, mientras que en el caso de trazas de planos vamos a utilizar los paréntesis. Por ejemplo, el abatimiento de la traza P1 vendrá referenciado como (P1). Para obtener el abatimiento de la recta R basta con determinar dos de sus puntos. A ya lo tenemos, por lo que podemos emplear el punto intersección entre R y la charnela (B) como segundo punto. B presenta las características de un punto doble, pues pertenece al

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plano P sin abatir y al plano P abatido por estar en la misma frontera, con lo que en la representación podemos indicar la superposición de B y B0 (B=B0).

Figura 17.30. Abatimiento del plano P y de la recta R y punto A contenidos en él sobre un plano H.

Obsérvese en la figura 17.30 como el radio de giro del punto A se obtiene como la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman la distancia en proyección a la charnela (1-2) y la altura sobre el plano H (h=2-A). En la figura 17.31 observamos el abatimiento del plano P sobre el plano de proyección o del cuadro. En primer lugar es necesario hallar la charnela del abatimiento, que coincidirá con la traza natural u ordinaria del plano P, P0. Para abatir el punto A necesitamos conocer su radio de giro (Rg), por lo que construimos el triángulo que comentábamos en la figura 17.30. Para ello debemos conocer la altura del punto A respecto al plano Π (h) y la distancia en proyección respecto a la charnela (1-2). Hay que recordar que la dirección del abatimiento según una vista cenital es siempre perpendicular a la charnela o eje de giro. La determinación de la altura del punto A se puede hacer sobre el mismo dibujo, aunque por motivos de claridad hemos preferido presentarla en la figura 17.32, donde empleamos dos alternativas gráficas de cálculo. En los dos casos se trata de dibujar un plano paralelo al plano Π (triángulo fundamental) que contenga al punto A. La altura de este plano respecto a Π coincidirá con la altura del punto h. Para ello trazamos una recta S horizontal (proyección directa y horizontal perpendiculares a la proyección del eje Z) que pase por el punto A. Hallamos sus trazas S2 y S3, por donde deben pasar las trazas con los isoplanos XOZ y ZOY del plano horizontal. Recordemos que las trazas de este plano deben ser perpendiculares a las proyecciones de los ejes axonométricos, por lo que su trazado no ofrece dificultad.

203


Una vez dibujado el plano horizontal debemos determinar su cota o altura respecto al plano del cuadro. El primer método consiste en realizar un abatimiento del punto O utilizando para ello un plano proyectante sobre Π que contenga el eje Z. La posición del punto O0 viene dada porque debe pertenecer al arco capaz de 90º del segmento MN, como vimos en apartados anteriores. La medida de la dimensión O-O0 coincide con la altura del plano horizontal, y por tanto del punto A.

Figura 17.31. Abatimiento de un plano P que contiene a la recta R y al punto A en el sistema isométrico.

Otra posibilidad, sólo válida en o, es utilizar la construcción del

iángulo ONL, donde ON = NL. La hipotenusa de este triángulo rectángulo coincide con

a construcción se basa en las relaciones trigonométricas xistentes entre la sección ON del isoplano XOY, que forma un ángulo de 54.68º con Π

lizando además el punto , traza natural de la recta R y por tanto punto doble (B=B0) como vimos en la figura

ramos conocer la pendiente o ángulo que forma el plano P respecto al plano del uadro, tendríamos que determinar la pendiente de cualquier recta de máxima pendiente

el sistema isométrictrla altura del plano horizontal. La demostración de esta últime(ver apartados anteriores). Esto quiere decir que la medida ON en el dibujo debe ser igual a h.tang(90-54.68º), es decir, h es igual a 1.41 veces ON. En el triángulo ONL, si ON es igual a NL (ángulo de 45º en O), h vuelve a ser 1.41 veces ON. Tras dibujar el punto A0 podemos trazar la recta R abatida (r0) utiB17.30. Si deseácdel plano P, recta que, como sabemos, debe ser en proyección directa perpendicular a la traza de P sobre Π.

204


Podemos entonces utilizar la recta 1-A que ya tenemos dibujada, donde el punto 1 tiene cota 0 por pertenecer a P0 y el punto A la cota determinada en la construcción de la figura 17.32. W será por tanto el ángulo que forman el plano P y el plano Π, y la tangente de w será la pendiente del plano P.

Figura 17.32. Determinación de la altura del punto A respecto al plano Π.

17.10. Línea de máxima pendiente de un plano.

La línea de máxima pendiente de un plano respecto a otro dado, generalmente un plano de proyección, define la trayectoria de mínimo recorrido para bajar o subir una unidad de altura respecto al plano de referencia. Este recta define también el ángulo que forman los dos planos. Un plano puede tener por tanto infinitas líneas de máxima pendiente, todas paralelas entre sí.

Figura 17.33. Determinación de la pendiente de un plano P respecto al isoplano XOY.

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Para el trazado de la línea de máxima pendiente de un plano que pase por un punto dado

n la figura 17.33 podemos observar la determinación de la pendiente de un plano

endremos que tener en cuenta que la proyección de r sobre XOY (r’) debe ser

7.11. Perspectiva axonométrica de la circunferencia.

Es conocido que en el caso de que una circunferencia se encuentre situada en un plano

upongamos ahora una circunferencia situada en el isoplano XOY (sistema isométrico).

n la figura 17.35 se muestran las perspectivas de circunferencias situadas sobre los tres

n la figura 17.36 se presenta la construcción de una circunferencia en isométrico

n primer lugar se ha procedido al abatimiento del plano P según vimos en apartados

continuación situamos cuatro puntos (10, 20, 30 y 40) que nos servirán para delimitar

ara desabatir estos puntos vamos a utilizar una propiedad existente entre la figura

nos basaremos en que su proyección sobre el plano de referencia debe ser perpendicular a la recta intersección de ambos planos o traza. Eoblicuo P respecto al isoplano XOY. En primer lugar hemos de escoger un punto A que pertenezca al plano P para, a continuación, trazar por A la recta de máxima pendiente de P respecto a XOY, denominada R. Tperpendicular en el espacio a la traza del plano P con XOY (P1). Por tanto realizaremos primero el abatimiento del isoplano XOY, incluyendo la proyección A’, para trazar desde A’0 la proyección r’ abatida (r’0). Posteriormente desabatimos r’0 para obtener r’ y R. 1

oblicuo al de proyección, se proyectará como una elipse perdiendo su forma original. SSi el isoplano se encontrara apoyado sobre el plano del cuadro veríamos la circunferencia en verdadera magnitud, esto es, sin ninguna deformación. Si a continuación elevamos el isoplano XOY girándolo alrededor de su traza con Π observamos como disminuye el diámetro de la circunferencia medido en la dirección paralela al eje Z o perpendicular a dicha traza (I1), mientras que si medimos el diámetro en dirección ortogonal a la anterior no experimenta ninguna transformación (Figura 17.34). Concretamente, la reducción experimentada en isométrico es del 42.2% aproximadamente. Eisoplanos de proyección. Econocidos su centro (A) y radio, así como que pertenece al plano P dado. Eanteriores, obteniendo el punto A abatido, A0. Con centro en A0 se dibuja una circunferencia de radio el requerido por el problema. Como trabajamos en el abatimiento del plano P sobre Π podemos dibujar esta circunferencia como tal, es decir, vista en verdadera magnitud. Alos ejes de la elipse una vez desabatido el plano P. Pabatida y dibujada en proyección directa. Esta propiedad es la de que son figuras afines o que guardan una relación de afinidad. El eje de afinidad es la traza del plano P con Π, P0, y la dirección de afinidad es perpendicular al eje de afinidad.

206


Según esto, cada punto abatido tendrá su afín en proyección directa, situándose en una recta que también tendrá su afín en la proyección directa. Basta con unir con rectas parejas de puntos y determinar el punto de corte con la charnela o eje de afinidad (punto doble), con lo que podremos desabatir fácilmente los cuatro puntos que delimitan los cuadrantes de la elipse en proyección directa.

Figura 17.34. Perspectiva isométrica de la circunferencia. Obsérvese como el diámetro en dirección perpendicular a I1 se reduce según el factor 0.578 = Coseno (54.68º).

Figura 17.35. Perspectiva isométrica de la circunferencia.

Una vez obtenidos los ejes mayor y menor de la elipse, o perspectiva de la circunferencia, podemos dibujarla según los diferentes métodos estudiados en cursos anteriores: trazado por puntos, trazado mediante regleta móvil, por afinidad a partir de la circunferencia principal, mediante haces proyectivos, etc.

207


Figura 17.36. Dibujo isométrico de una circunferencia de radio y centro dados, situada

en un plano oblicuo.

Figura 17.37. Aproximación al trazado de una elipse en isométrico mediante un óvalo.

El valor de R en perspectiva será igual a 0.816.R. También es usual sustituir el dibujo de la elipse por su aproximación mediante un óvalo formado por cuatro arcos de circunferencia, y por tanto fácil de trazar con la ayuda del compás.

208


En la figura 17.37 se detalla su construcción a partir de una circunferencia dada de radio R y tangente en cuatro puntos a un cuadrado circunscrito. Para hallar los cuatro centros de curvatura necesarios para el dibujo del óvalo (O1 a O4) partimos de que el centro del arco A1-A2 se sitúa en el punto donde se cortan las normales a los segmentos medios del cuadrado desde los puntos extremos del arco. Por tanto, desde A1 trazamos una perpendicular al segmento A2-A4, y desde A2 otra perpendicular al segmento A1-A3. El punto donde se cortan ambas perpendiculares, O3, será el centro de curvatura del arco que une A1 y A2. O4 será simétrico respecto a un eje perpendicular a Z que pase por O. De forma similar se determinan O1 y O2.

17.12. Problemas sobre axonometría.

Ejercicio nº 1. Dados los números p=5, q=6 y r=7 a los que son proporcionales las escalas axonométricas Ux, Uy, Uz respectivamente, hallar los valores que determinan las características de la perspectiva axonométrica dada. Si p, q y r son proporcionales a las escalas axonométricas tenemos que se cumple la relación:

U5

U6

U7

Kx y z= = =

Luego:

Ux = K.5 ⇒ Ux2 = K2. 25 ⇒ Ux

2/K2 = 25 ⇒ K’.Ux2 = 25

Es decir, 25 es proporcional a la escala axonométrica al cuadrado, lo que según el teorema de Schlömilch-Weisbach indica que a = 25 puede ser un lado del triángulo órtico (haciendo K’ = 1). Repitiendo el razonamiento para los otros dos ejes tenemos que los demás lados del triángulo órtico serían b = 36 y c = 49. Ahora podemos dibujar los ejes axonométricos a partir del triángulo órtico como se muestra en la siguiente figura:

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Para hallar numéricamente los coeficientes de reducción empleamos el enunciado final del teorema de Schlömilch-Weisbach:

( ) ( ) ( ) .UU

UU

UU

U =U U U

unidadesx y z x

2y

2z

22 2 2 2

225 36 49

27 4+ + = ⇒

+ +=

+ +=

Luego:

Cx = Ux/U = 5/7.4 = 0.67; Cy = 6/7.4 = 0.81; Cz = 7/7.4 = 0.94 Si queremos calcular el ángulo que forma cada eje en el espacio respecto al plano de proyección o del cuadro recordemos que:

Cx = Cosα ⇒ α = ArcCos Cx = 47.93º De la misma forma: β = 35.90º y δ = 19.95º Ejercicio 2. Demostrar que en la construcción indicada en la figura anexa, los segmentos a, b y c son lados del triángulo órtico si NP, NQ y NR coinciden con el valor de Ux, Uy y Uz.

Para que a, b y c sean lados del triángulo órtico de un sistema de representación axonométrico han de ser proporcionales al cuadrado de las escalas axonométricas, en este caso los segmentos NP, NQ y NR. La ecuación de la circunferencia de radio R a la que pertenecen los extremos de los segmentos es: (X - R)2 + Y2 = R2 Por otra parte, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que: Ux

2 = NP2 = a2 + P12 Aplicando la ecuación de la circunferencia al punto P o extremo del segmento NP observamos que:

(a - R)2 +P12 = R2 ⇒ a2 - 2aR + R2 + P12 = R2 ⇒ P12 = 2aR - a2

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pero P12 = Ux2 - a2 ⇒ Ux

2 - a2 = 2aR - a2 ⇒ a = Ux2/2R

con lo que queda demostrado que “a” es proporcional a la escala axonométrica del eje X. Igual razonamiento puede repetirse con los ejes Z e Y, luego los segmentos a, b y c son lados del triángulo órtico. Ejercicio 3. Determinar gráficamente el coeficiente de reducción del eje Z del sistema isométrico dado, así como el ángulo que forma con el plano de proyección el isoplano XOY.

En la figura se ha dibujado un plano fundamental cualquiera horizontal respecto al plano del cuadro, cuyos lados deben ser perpendiculares a los ejes axonométricos. En el caso particular de isométrico se tratará de un triángulo equilátero. Los puntos N y M son los puntos de corte de una recta contenida en el plano horizontal. Si abatimos el plano proyectante sobre el plano de cuadro que pasa por esa recta tenemos que el punto O se transforma en Oo (punto abatido sobre un plano paralelo a Π). La localización del punto Oo se realiza mediante la determinación del arco capaz de 90º del segmento NM. Sabemos que desde cualquier punto de este arco la visual de los extremos M y N del segmento debe abarcar 90º, según la propia definición de arco capaz. Efectivamente, el ángulo que forman el eje Z y el isoplano XOY en el espacio debe ser 90º. El ángulo γ obtenido es el ángulo que forma el eje Z con el plano del cuadro, por lo que su coseno será el coeficiente de reducción pedido. Los demás coeficientes de reducción serán iguales al determinado en primer lugar, al tratarse de un sistema isométrico. En la sección longitudinal de la figura, dada por el plano proyectante sobre Π que pasa por los puntos M y N , se observa perfectamente la relación geométrica entre los ángulos γ y χ, de forma que la suma de ambos debe ser 90º, es decir, 31.31º y 54.68º respectivamente. También se observa con claridad como la visual desde O al segmento MN presenta un ángulo de 90º (ángulo formado entre el eje Z y el isoplano XOY), por lo que O pertenecerá al arco capaz de 90º del segmento MN.

211


Ejercicio 4. Dadas tres vistas convencionales de una pieza en el sistema del primer diedro, realizar su dibujo isométrico a escala natural.

La solución, sin tener en cuenta la escala, aparece en la siguiente figura:

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TEMA 18.

Perspectivas Caballera y Cónica.

18.1. Fundamentos de la perspectiva caballera.

La perspectiva caballera es un sistema de representación intuitivo, sencillo y de rápido trazado, por lo que se emplea con asiduidad para la croquización perspectiva de edificaciones, elementos de máquinas, dibujos de detalle, etc., lo que la hace muy útil en el dibujo industrial como complemento a las proyecciones diédricas convencionales. Sin embargo, tiene como contrapartida una deformación de los cuerpos más acusada que cuando se emplea el sistema axonométrico, estudiado en el tema anterior. El uso de la perspectiva caballera permite que personas no expertas puedan interpretar sin excesiva dificultad la geometría tridimensional de elementos de maquinaria, construcción e ingeniería civil, por lo que resulta una herramienta muy eficaz en la enseñanza de la mayoría de las disciplinas técnicas. Otra posible ventaja añadida es la gran libertad en cuanto a la forma en que podemos utilizar el sistema, variando sin problema el coeficiente de reducción o la orientación de la proyección del eje Y, perpendicular al plano del cuadro en el espacio. Es por esto, que también se le llama “perspectiva libre” o “perspectiva fantástica”. La perspectiva caballera presenta unas características similares a la axonométrica, con la particularidad de que uno de los planos de proyección del triedro trirrectangular, concretamente XOZ, se apoya en el propio plano del cuadro o papel (Figura 18.1). Como los tres ejes de referencia en el espacio son ortogonales entre sí (X’, Y’ y Z’), Y’ será perpendicular al plano del cuadro. Las proyecciones de los ejes en el espacio sobre el plano de cuadro coinciden en el caso de los ejes X y Z, por lo que el plano Π queda dividido en cuatro cuadrantes. Al tratarse de una proyección cilíndrica oblicua, el eje Y’ se proyecta como una recta según la dirección en la que se sitúa el observador. Esta posición viene dada por el ángulo que forman los ejes X e Y en proyección.


Figura 18.1. Proyección de un rectángulo en perspectiva caballera. Por otra parte, el ángulo que forma la visual con el plano del cuadro (w) puede ser variable, por lo que cuando sea distinto de 45º tendremos deformaciones (reducciones o ampliaciones) de las magnitudes lineales medidas en la dirección del eje Y. Análogamente al sistema axonométrico, podemos calcular los coeficientes de reducción para cada eje resultando lo siguiente:

Cx = 1; Cz = 1; Cy = Uy/U = 1/tang(w) = R donde R es el coeficiente de reducción del eje Y, único eje donde se produce una deformación en proyección de las magnitudes reales. De esta forma, para caracterizar la perspectiva caballera empleada necesitamos conocer R y el ángulo que forman los ejes X e Y (α) en proyección. Este ángulo se mide en sentido trigonométrico o antihorario. En general no es frecuente utilizar ángulos α de 0º, 90º, 120º o 270º por resultar la figura muy deformada y alejada de la realidad. Se recomienda emplear un α de 225º y valores de R inferiores a 1, pues de lo contrario la figura se alarga excesivamente en la dirección del eje Y. Los valores de R más usuales son 1/2, 2/3 y 3/4, así como el correspondiente al ángulo w de 60º, 0.7265. 18.2. Representación del punto, recta y plano en perspectiva caballera.

En la figura 18.2 tenemos la representación de un punto A en perspectiva caballera. Al igual que en axonométrico, podemos obtener hasta cuatro proyecciones, una sobre cada plano que forman los ejes X, Y, Z, y otra sobre el plano del cuadro o el papel. En cualquier caso, basta con dos de estas proyecciones para tener totalmente definido el punto.

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Figura 18.2. Representación del punto en perspectiva caballera. En la figura 18.3 aparece la representación de una recta R en perspectiva caballera. Obsérvese que hemos seguido la misma notación que en apartados anteriores y que, por tanto, la recta viene dada por sus trazas R1, R2 y R3 con los planos XOY, XOZ y ZOY respectivamente. Como en el sistema axonométrico, hemos considerado opacos a los planos de referencia, por lo que la proyección directa se dibuja a trazos (no vista) a partir de las trazas o puntos de corte con éstos.

Figura 18.3. Representación de una recta en perspectiva caballera. La representación de un plano, similar también a la empleada en axonométrico, puede observarse en la figura 18.4.

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Figura 18.4. Representación del plano en perspectiva caballera.

Figura 18.5. Representación isométrica de una pieza.

En la figura 18.5 se observa la representación isométrica de una pieza. En este caso sólo existe una perspectiva del objeto, mientras que en perspectiva caballera podemos jugar con los valores de R y de α para obtener diversas representaciones de un mismo cuerpo (Figuras 18.6 a 18.8).

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Figura 18.6. Representación de un hexaedro. α = 225º y R = 1/2.

Figura 18.7. Representación de un hexaedro con α = 225º y R = 1.

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Figura 18.8. Representación de un hexaedro con α = 300º y R = 1/2.

18.3. Representación de formas circulares en perspectiva caballera.

Cuando sea necesario representar formas circulares en perspectiva caballera es recomendable, si es posible, situarlas en un plano paralelo al plano XOZ, o lo que es lo mismo, paralelas al plano del cuadro. Esto es debido a que la proyección de la forma sobre el plano del cuadro, proyección directa, se identifica en geometría proyectiva con una traslación espacial (caso particular de una homología de vértice y eje impropios). La traslación conserva las magnitudes y ángulos entre las dos formas perspectivas, por lo que la forma circular se representará sin deformación, facilitando su trazado. En el caso de una forma circular contenida o paralela a los planos XOY o ZOY, tenemos que la figura proyectada se deformará según una elipse, tal y como estudiamos en el tema anterior. En este caso podemos recurrir a la afinidad espacial cuya dirección coincide con las cuerdas de las trayectorias de abatimiento de la figura sobre el plano XOZ. El eje de afinidad será por tanto la intersección entre el plano XOZ y el plano que contiene a la forma circular, XOY o YOZ, es decir, la proyección del eje X o del eje Y respectivamente. En la figura 18.9 se usa esta propiedad para representar una circunferencia de radio R contenida en el plano XOY. Para determinar la dirección de afinidad basta con dibujar dos puntos homólogos, por ejemplo los centros de circunferencia y elipse. Se ha utilizado un coeficiente de reducción de 0,75.

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Figura 18.9. Representación de una circunferencia situada en XOY mediante afinidad. 18.4. Fundamentos de la perspectiva cónica.

El sistema de representación cónico o central no suele usarse con profusión en el campo del dibujo industrial, donde ha sido relegado a un segundo plano por el sistema axonométrico, debido a la dificultad de su trazado y su inoperancia en la toma de medidas o realización de los cálculos geométricos más elementales. Sin embargo, es el sistema de representación que mejor simula la percepción de la realidad tal y como la entiende el ojo humano. Si tenemos en cuenta que este efecto de perspectiva realista se iguala al obtenido con el sistema axonométrico cuando el tamaño del objeto representado es menor que la distancia desde la que se observa, comprenderemos por qué el sistema cónico es básicamente empleado en la representación de objetos de gran tamaño (Figura 18.10), es decir, casi exclusivamente en construcciones de arquitectura o ingeniería civil. Por otra parte, no olvidemos que el desarrollo de la proyección bicentral o “doble perspectiva” sentó las bases de la fotogrametría, de trascendental importancia hoy día, tanto en levantamientos topográficos a gran escala (por ejemplo obras lineales de ingeniería civil), como en la obtención de modelos tridimensionales a pequeña escala (por ejemplo la restitución fotogramétrica de fachadas de edificios en arquitectura). El motivo de incluir el sistema cónico en este capítulo, no es otro que ofrecer al lector los fundamentos básicos de este sistema para poder manejar eficazmente las herramientas de visualización de sólidos 3D mediante perspectiva central que ofrecen la mayoría de los programas CAD, entre ellos AutoCad. El sistema cónico, en su versión más general, emplea dos proyecciones centrales sobre el plano del cuadro. La primera se refiere a la geometría de la figura a representar. La segunda viene dada por la proyección ortogonal del sólido sobre un plano perpendicular al plano del cuadro, llamado plano geometral (Figura 18.11).

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Ambas proyecciones centrales son necesarias para la restitución geométrica del objeto representado, aunque, al igual que ocurre en axonométrico, sólo suele emplearse la primera, pues es la que, en la práctica, mejor define la configuración tridimensional de la figura.

Figura 18.10. Perspectiva cónica de un modelo 3D de una almazara de aceite. Los elementos que intervienen en la proyección central son los que aparecen en la figura 18.11. El centro de proyección V, o punto de vista, es el lugar donde se sitúa el observador para “ver” el objeto. El plano del cuadro, o de proyección, es el plano sobre el que se dibuja la perspectiva de la figura, dada por la sección producida por dicho plano sobre la radiación de rectas de vértice V. La distancia desde el punto V al plano del cuadro se denomina alejamiento. La proyección ortogonal de V sobre el plano del cuadro, dada por el denominado rayo principal, nos define el punto principal P. El plano de horizonte contiene al centro de proyección y es perpendicular al plano del cuadro, a la vez que paralelo al plano geometral u horizontal. La intersección del plano de horizonte con el plano del cuadro da lugar a la línea de horizonte, mientras que la intersección del plano geometral con el mismo plano del cuadro define la línea de tierra. El plano de desvanecimiento es paralelo al plano del cuadro, y contiene al centro de proyección. La intersección de ambos da lugar a la línea de desvanecimiento.

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Los puntos D y D’ se denominan puntos de distancia. Se sitúan sobre la línea de horizonte y equidistan un valor igual al alejamiento del punto principal. Pertenecen al llamado círculo de distancia, círculo trazado sobre el plano del cuadro con centro P y radio igual al alejamiento. En la figura 18.12 podemos apreciar la representación plana de la perspectiva del punto A de la figura 18.11.

Figura 18.11. Elementos que intervienen en la proyección central.

Figura 18.12. Representación plana de la perspectiva de la figura 18.10. Los ángulos ópticos vertical y horizontal, que no deben ser superiores a 60º, representan el máximo ángulo formado por dos visuales extremas trazadas desde el punto V,

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incluidas en los planos de perfil u horizontal que contienen a dicho punto respectivamente. El cono óptico o visual, que se asemeja al campo de visión del ojo humano, abarca el conjunto de rayos visuales que parten del centro de proyección (Figura 18.13).

Figura 18.13. Representación perspectiva del cono óptico.

Otro elemento de enorme interés es el denominado punto de fuga o punto límite de una recta R, definido por la proyección del punto de la misma que se sitúa en el infinito (punto impropio). Viene dado por el punto de intersección con el plano del cuadro de una recta paralela a R que pasa por el centro de proyección. Esto significa que en una perspectiva cónica, todas las rectas de una figura que sean paralelas entre sí tendrán el mismo punto de fuga. Caso de que las rectas sean paralelas al plano geometral, los puntos de fuga se situarán sobre la línea de horizonte. 18.5. Construcción de perspectivas cónicas.

Aunque existen numerosos métodos para la construcción de una perspectiva cónica, dado el carácter introductorio de este tema, preferimos exponer únicamente el método conocido como sistema directo. Dicho método emplea el sistema diédrico como base para representar tanto al objeto como al punto de vista V, así como para obtener la intersección de los rayos proyectantes con el plano del cuadro (plano vertical de proyección), asimilando el plano geometral al plano horizontal de proyección.

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En las figuras 18.14 y 18.15 se desarrolla la perspectiva cónica de un prisma recto según el sistema directo.

Figura 18.14. Representación perspectiva de una proyección cónica de un prisma.

Figura 18.15. Dibujo de la perspectiva cónica mediante el sistema directo.

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Otro método muy empleado para la construcción de proyecciones centrales es el desarrollado en la figura 18.16. A partir de la proyección en planta abatida sobre el plano del cuadro del objeto a representar se determinan los puntos de fuga de sus líneas paralelas, en nuestro caso dos. Para efectuar el trazado de la base del edificio se emplea la homología existente entre la figura perspectiva y el abatimiento de dicha base sobre el plano del cuadro. En efecto, podemos observar una afinidad (centro impropio) entre la base rectangular en el espacio y la base abatida, cuya dirección es paralela a las cuerdas de las trayectorias de abatimiento de sus cuatro puntos. Si tenemos en cuenta que el plano geometral y el plano del cuadro forman un ángulo de 90º, podemos deducir que la dirección de afinidad formará 45º con el plano geometral, siendo perpendicular a la charnela de abatimiento o eje de afinidad, en nuestro caso la línea de tierra.

Figura 18.16. Obtención de la perspectiva cónica de un edificio a partir de la situación de dos puntos de fuga.

Por otra parte, también podemos definir una homología entre la base perspectiva y la base en el espacio, homología de centro V. Aplicando el teorema de las tres homologías podemos concluir que existe una homología entre la base abatida y su perspectiva, cuyo centro (O) se halla alineado con la recta que definen el punto V y el punto impropio centro de la afinidad.

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Por tanto, el punto O se determina mediante la intersección de la recta que contiene al punto V y es paralela a la dirección de afinidad, es decir, forma 45º con el plano geometral. No es difícil concluir que el abatimiento del punto V sobre el plano del cuadro, (V), representa el centro de la homología plana que buscábamos, siendo la línea de tierra el eje de homología y la línea de horizonte una recta límite. Obsérvese como el edificio representado se sitúa por detrás del plano del cuadro respecto al punto de vista definido por V. También se dibuja el abatimiento V sobre el plano del cuadro, (V), y las líneas de horizonte y de tierra. La arista contenida en el plano del cuadro se representa en perspectiva cónica en verdadera magnitud (h).

18.6. Perspectiva cónica en los sistemas CAD.

El tratamiento de la perspectiva cónica por un sistema CAD es muy similar en su concepción a la fotografía. De hecho, sistemas CAD como AutoCad consideran elementos de la perspectiva como cámara (punto de vista), motivo (posición de un punto del objeto a fotografiar), distancia (entre motivo y cámara), distancia focal (distancia entre cámara y plano del cuadro). Cuanto más pequeña es la distancia focal, menor separación existe entre el plano del cuadro (emulsión fotográfica) y la cámara, por lo que la perspectiva obtenida será de menor tamaño (Figura 18.17). Igualmente, cuando el eje óptico (que une el centro de proyección y el punto principal de la emulsión fotográfica) es perpendicular a la forma fotografiada, y ésta es además paralela al plano del cuadro, se define una relación de homotecia o semejanza entre la forma real y su perspectiva (impresión en el negativo). Este es el caso ideal de la fotogrametría aérea, donde se intenta que el eje óptico sea perfectamente vertical. Si, además, el terreno fotografiado fuera horizontal, es decir, en ausencia de relieve, tendríamos una relación de semejanza entre el modelo terreno y el modelo fotograma. Dicha relación de semejanza tendría una razón de homotecia o escala del fotograma igual a F/H, siendo F la distancia focal de la cámara empleada y H la altura de vuelo respecto al terreno. La obtención de ortofotografías, verdaderas imágenes ortogonales y georreferenciadas del terreno, exige la corrección de las distorsiones introducidas por la ausencia de verticalidad del eje óptico y por el relieve. En esencia eso es lo que consigue el proceso fotogramétrico denominado ortorrectificación. En cualquier caso, para la obtención de una buena perspectiva, y como norma general, se recomienda una distancia entre cámara y motivo de 1,5 veces la dimensión mayor del objeto representado.

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Figura 18.17. Variación del tamaño de la perspectiva con la distancia focal.

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TEMA 19.

Normalización del dibujo técnico.

19.1. Necesidad y procedimiento.

La normalización responde al establecimiento de una serie de principios aplicables a una determinada actividad del hombre, en este caso el Dibujo Técnico. El Dibujo Técnico es concebido como un lenguaje gráfico de expresión donde las palabras son sustituidas por líneas, cifras y símbolos. Este código de comunicación debe ser además universal y preciso, sin ambigüedades. Para ello es necesario que las personas que usan este lenguaje (ingenieros, arquitectos y técnicos en general) conozcan y sigan unas normas claras de representación para que no existan errores en la posterior interpretación del diseño en su fase de producción. En este sentido, Fontard, estudioso de la normalización francés, define en 1967 el concepto de Norma como “un dato de referencia resultante de un acuerdo colectivo y razonado, con vistas a servir de base de entendimiento para la resolución de problemas repetitivos”. La normalización, en un sentido amplio, pretende unificar y homogeneizar características y especificaciones de materiales y productos con la idea de abaratar el precio final, de forma que produzcamos un gran número de unidades de un reducido número de modelos (tuberías de riego, válvulas, cableado eléctrico, etc.). También se pretende disminuir el volumen de “stocks”, maximizando la intercambiabilidad de piezas. Hoy en día la mayoría de los productos industriales y servicios están normalizados, entendiéndose esta normalización como una regularización de sus formas, dimensiones, colores, medidas de seguridad, etc. La normalización, en resumen, trata de definir, tipificar y simplificar materiales, productos, procesos y servicios. Pero, ¿Cómo surge la Normalización?. A finales del siglo XIX y principios del siglo XX surgen en Alemania escuelas de diseño de las que parte el germen de la necesidad de establecer normas para el diseño industrial. Durante la I Guerra Mundial se desarrolla la producción en serie para la industria bélica. La intercambiabilidad necesaria en este tipo de sistemas productivos potencia la idea de normalizar la representación de los diseños y productos.


En 1917 aparecen las primeras Normas Industriales Alemanas, denominadas DIN (Deutsche Industrie Normen), que más tarde y en el seno de la Comisión Alemana de Normas fundada en 1926, seguirían llamándose DIN, aunque con otro contenido (Das Ist Norm, “Esto es Norma”). Paralelamente surgen en Inglaterra y Francia instituciones para la Normalización. Concretamente la British Standard Institution (1919) y AFNOR (1916) respectivamente. En Estados Unidos se crean distintas asociaciones de Normalización como ANSI, ASA y ASTM. En España se produce una reordenación de las diferentes comisiones que, desde 1912, abordaban la Normalización en diversas ramas técnicas, desembocando en la creación del Instituto Nacional de Racionalización y Normalización (IRANOR), dependiente del C.S.I.C. (Consejo Superior de Investigaciones Científicas). Actualmente es AENOR (Asociación Española para la Normalización), organismo privado, la que desempeña funciones de normalización y certificación de productos y servicios, concibiéndose como un instrumento de mejora de la calidad de los productos españoles. Las normas generadas en esta asociación se denominan normas UNE (“Una Norma Española”), y son las que básicamente vamos a estudiar, aunque apreciaremos como la mayoría de ellas son transcripciones de la normativa internacional. Pero, cada día más, la economía mundial presenta una evidente globalización. Inmediatamente después de la II Guerra Mundial se crea la institución ISO (International Standarization Organization) con sede en Ginebra, cuyo propósito es el establecimiento de una normativa internacional. Existe un criterio claro en todas las Organizaciones Nacionales de Normalización de seguir la tendencia marcada por la normativa ISO. Esto incluye a las normas europeas (EN) que tienen vigencia en el ámbito de la Unión Europea. 19.2. Clasificación, elaboración y designación de las normas.

La elaboración de una norma UNE sigue el proceso representado en el esquema de la figura 19.1. Todo comienza con la propuesta de entidades públicas o privadas que creen necesaria la implementación de una nueva norma. La Comisión Técnica de Trabajo (C.T.T.) pertinente, formada por fabricantes, productores y consumidores, usuarios y técnicos, evalúan la oportunidad de la norma y, en caso positivo, inician el proceso de realización y aprobación de la norma UNE. Existen unas 80 Comisiones de Trabajo, entre las cuales podemos citar la de Asuntos Generales, Ciencias Generales, Soldadura, Rodamientos, Construcción, Siderurgia, Máquinas-Herramienta, etc. La clasificación de las normas puede realizarse atendiendo a su contenido, ámbito de aplicación y carácter, tal y como aparece en la figura 19.2. En nuestro caso nos interesan básicamente las normas que afectan a la materia del Dibujo Técnico, como las referentes a tolerancias, acotación, signos convencionales en general, formatos, etc., que veremos en próximos capítulos.

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Propuesta personal

Entidades Públicas

Entidades PrivadasIniciativa C.T.T.

PropuestaInicial

PropuestaDefinitiva

Departamento deNormalización AENOR

Encuesta Públicade la Propuesta

Fabricantes,Usuarios,Técnicos,Expertos

Propuestadefinitiva de laNorma

Consejo TécnicoAENOR

Norma UNE

NormaExperimental(Color Verde)

Norma Definitiva(Color Blanco)

Figura 19.1. Proceso de propuesta y elaboración de una norma UNE. (Fuente: Villar del

Fresno y col., 1989).

CLASIFICACIÓNSEGÚN CONTENIDO

CLASIFICACIÓNPOR ÁMBITO DEAPLICACIÓN

CLASIFICACIÓNPOR EL CARÁCTER

FUNDAMENTALES

INDUSTRIALES

INTERNACIONALES

NACIONALES

OBLIGATORIAS

CUASI-OBLIGATORIAS

RECOMENDADAS

Generales

Dimensionales

Calidad

Fabricación

ISO, CEI,UNESCO,etc.

Oficiales,Sector,Empresa

REGLAMENTOS

Figura 19.2. Propuesta de clasificación de las normas. (Adaptado de Villar del Fresno y

col., 1989).

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Una vez redactada la norma se le asigna un código o designación, que en el caso de las normas UNE viene dada por la siguiente nomenclatura:

UNE-1-027-75 Esto significa que se trata de una norma UNE, elaborada por la Comisión Técnica de Trabajo número 1, orden cronológico 27 del año de revisión, año de revisión 1975. Concretamente esta norma se refiere al plegado normalizado de planos. Es frecuente designar las normas obviando el año de revisión, en nuestro ejemplo UNE 1027. 19.3. Tipología de los dibujos técnicos.

En la figura 19.3 encontramos la clasificación de Dibujos Técnicos propuesta por el profesor Leiceaga Baltar, en la que se atiende a la naturaleza del dibujo, su contenido y los objetivos que persigue el mismo.

Dibujo

Informacióncomplementaria

Esbozo

Croquis

Dibujo con instrumentos

Esquema

Gráfico

Ábaco o Nomograma

Lista de piezas

Memorias

Leyendas, Pliegode Condiciones,Observaciones,Presupuesto, etc.

Dibujo parcial

Dibujo de pieza

Dibujo colectivo

Dibujo de conjunto

Dibujo combinado

Despiezo

Simple

Compuesto

Montaje,instalación,embalaje,entretenimiento,explosionado

Dibujos engeneral

Segúncontenido

Segúnfinalidad

Anteproyecto

Proyecto

Dibujo de definición

Dibujo de taller

Dibujo de recepción,verificación, expedición yaprovechamiento

Figura 19.3. Clasificación de los dibujos técnicos. (Fuente: Leiceaga Baltar, 1994). Dentro del concepto de “Dibujo” podemos definir la secuencia de ejecución del mismo pasando por las fases de esbozo, croquis y dibujo con instrumentos o con sistemas CAD. En el esbozo dibujamos a mano alzada unas líneas generales que ayudan al diseñador a la búsqueda de la solución. Una vez que hemos clarificado el diseño podemos realizar un croquis de la pieza u objeto diseñado, también generalmente a mano alzada o sin mucha precisión en las medidas, aunque indicando sus dimensiones. Finalmente pasamos del croquis al dibujo definitivo o de precisión, bien empleando instrumentos clásicos como escuadra, cartabón, compás, etc., bien mediante programas de diseño asistido por ordenador (Figura 19.4.).

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Figura 19.4. Dibujo de una pieza industrial. Vistas convencionales y perspectiva axonométrica.

Otro tipo de dibujos son los gráficos (histogramas, curvas, etc.) y nomogramas o ábacos (aproximaciones gráficas a operaciones matemáticas muy empleadas en ingeniería). El esquema sería un dibujo simplificado que ilustra de forma simbólica los componentes de una instalación, mecanismos, etc. (Figura 19.5).

Figura 19.5. Símbolos convencionales generales para tuberías. La mayoría de dibujos técnicos necesitan de información complementaria para su perfecta comprensión. Esta información puede traducirse por el listado de las piezas que

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conforman un mecanismo, indicando el código, modelo, peso, material. También pueden añadirse leyendas, pliegos de condiciones o descripciones sobre presupuestos, cálculo, especificaciones de montaje, normas de seguridad, ..., que acompañan al dibujo técnico.

Figura 19.6. Explosionado de una junta Cardan o Universal representado en perspectiva

caballera. (Fuente: Rodríguez de Abajo y Álvarez Bengoa, 1990).

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Según su contenido podremos distinguir: - Dibujos de piezas o de un único objeto dada por las vistas y especificaciones

(rugosidad, tolerancias, ...) que creamos necesarias. - Dibujo Colectivo, donde aparece un objeto genérico que representa mediante una

tabla adjunta a un colectivo de objetos de características semejantes. - Dibujo de conjunto, que representa a una máquina en su totalidad. Dependiendo de la

finalidad pueden ser de montaje, instalación o embalaje. En el explosionado se representa el conjunto con todas sus piezas o componentes desplazadas respecto a su posición real (Figura 19.6).

En atención a su finalidad podemos destacar: - Dibujos de anteproyecto y proyecto. En el primer caso, tenemos un dibujo tipo

croquis o boceto donde se esbozan las posibles soluciones a un problema técnico. El dibujo de proyecto sería el realizado con la solución adoptada, dibujo definitivo.

- Dibujo de definición, que representa el objeto o producto sin ambigüedades. Forma

parte de la documentación del proyecto y tiene carácter contractual entre las partes. - Dibujo de taller, donde se indica con toda nitidez la instalación, ejecución o

fabricación del objeto diseñado. - Dibujo de recepción, donde se establecen las características del producto cara a su

recepción por el cliente. - Dibujo de verificación, que ilustra sobre cómo se comprueba el buen estado del

producto (medidas funcionales, acabado superficial, etc.). - Dibujo de expedición, que explica el almacenaje y transporte del objeto. - Dibujo de aprovechamiento, que detalla las características de funcionamiento, buen

uso y mantenimiento del producto. 19.4. Formatos y rotulación.

La norma UNE encargada de los formatos normalizados para planos y disposición de los elementos gráficos en los mismos es la UNE 1-026-83 (corresponde a la norma ISO 5457/1980). Comprende una serie principal, la serie A, y un conjunto de series derivadas. Hay que tener en cuenta que siempre que sea posible deberemos emplear los formatos recogidos en la serie A (UNE 1-011 <> ISO 216). Si esta serie no dispone del formato requerido pasaremos a los “formatos alargados especiales”, y si seguimos sin encontrar el formato idóneo utilizaremos la serie de “formatos alargados excepcionales”. Cualquier formato puede emplearse en posición vertical u horizontal.

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19.4.1.- Formatos serie A y formatos alargados. Presentan unas dimensiones expresadas en mm con una relación constante 21/2:1, y se generan a partir del formato inicial A0 de superficie 1 m2, obteniéndose el inmediatamente inferior subdividiéndolo por la mitad paralelamente al lado más pequeño (Figura 19.7).

Figura 19.7. Generación de los formatos normalizados de la serie principal A.

La serie de formatos alargados especiales se genera a partir de los A3 y A4 de la serie principal, manteniendo su lado mayor y multiplicando el menor por 3, por 4 o por 5, mientras que los formatos alargados excepcionales se generan de forma similar pero afectan además a los formatos A0, A1 y A2 (Tabla 19.1). Estos formatos sólo se utilizan en casos muy concretos, normalmente en representaciones donde una de las dimensiones (horizontal o vertical) predomina frente a la otra. Por ejemplo en el caso de la representación de obras lineales en ingeniería civil, tales como perfiles longitudinales de redes de riego, colectores de saneamiento, carreteras, así como en tendidos eléctricos aéreos.

SERIE PRINCIPAL A Formato Dimensiones (mm)

A0 A1 A2 A3 A4 A5

841x1189 594x841 420x594 297x420 210x297 148x210

FORMATO ALARGADO ESPECIAL

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Formato Dimensiones (mm) A3x3 A3x4

A4x3 A4x4 A4x5

420x891 420x1189

297x630 297x841 297x1051

FORMATO ALARGADO EXCEPCIONAL Formato Dimensiones (mm)

A0x2 A0x3

A1x3 A1x4

A2x3 A2x4 A2x5

A3x5 A3x6 A3x7

A4x6 A4x7 A4x8 A4x9

1189x1682 1189x2523

841x1783 841x2378

594x1261 594x1682 594x2102

420x1486 420x1783 420x2080

297x1261 297x1471 297x1682 297x1882

Tabla 19.1. Series de formatos normalizados.

19.4.2.- Márgenes, recuadros y cuadro de rotulación. En todos los formatos se deja un margen entre el borde del papel y la zona disponible para dibujar o recuadro de dibujo. Los márgenes recomendados son los siguientes:

Formatos A0-A1 φ 20 mm Formatos A2-A4 φ 10 mm

En el caso de estar prevista la encuadernación de los planos se suele disponer de un margen en el borde izquierdo de 25 mm al menos, lo que permite realizar las perforaciones que exige la disposición en clasificadores. El recuadro rectangular de dibujo se representa mediante línea continua de 0.5 mm de grosor, con unas línea situadas a la mitad de cada lado que sirven como marcas de centrado. También se utilizan señales de orientación tal y como aparece en la figura 19.8. Por último, el cuadro de rotulación, también denominado casillero o carátula, se dibuja en la esquina inferior derecha del plano, tanto en horizontal como en vertical. El sentido de la lectura de este casillero es el mismo que el del dibujo.

235


Figura 19.8. Disposición del recuadro de dibujo, márgenes, marcas de centrado y

flechas de orientación. El cuadro de rotulación presenta dos zonas bien diferenciadas (Figura 19.9): a) Zona de identificación. Tiene la misión de identificar al propietario o autor del dibujo, indicar el título o designación del dibujo y el número de identificación. b) Zona suplementaria. Aparecen los datos relativos a escala, sistema de representación utilizado (p.ej. primer o tercer diedro), unidad de medida (caso de ser distinta del mm), firmas, fecha y lugar de realización, cliente, tolerancias dimensionales y geométricas de tipo general, rugosidad, etc. En la figura 19.10 se presenta un modelo de cuadro de rotulación para dibujo industrial. Ateniéndonos a las normas básicas comentadas podemos dibujar un cuadro de rotulación adaptado a nuestros propios dibujos (en el capítulo 17 crearemos nuestra propia plantilla de casillero con AutoCad manejando el concepto de bloques y atributos). Por otra parte, todos los dibujos de conjunto deben ir acompañados de un listado de piezas o elementos que los componen, bien en el mismo dibujo de definición, bien en un formato adicional. La norma UNE 1135-89 regula la disposición y contenido de la lista de elementos, mientras que la norma UNE 1023-83 normaliza su presentación y formato. Según la primera norma mencionada, si la lista de elementos es objeto de documento separado, deberá identificarse con el mismo número que el dibujo de procedencia, anteponiendo la notación “Lista de elementos” para su correcta interpretación.

236


Figura 19.9. Situación, dimensiones y elementos de los que debe disponer el casillero.

Figura 19.10. Cuadro de rotulación tipo. (Fuente: Félez y Martínez, 1995). La lista de elementos se elaborará en una cuadrícula de filas y columnas con el siguiente listado de contenidos: - Cantidad o número de piezas idénticas que componen el mecanismo o conjunto. - Denominación de cada elemento. Es preferible anotar su descripción normalizada, si existe. - Marca. Número, o letra, de referencia de la pieza o elemento en el dibujo de procedencia. - Referencia. Se utiliza para la denominación de elementos no representados en el dibujo de conjunto, aunque sí en otros dibujos. También para elementos normalizados que no necesitan de su representación gráfica, sino sólo de la norma aplicable. - Material. Indica el tipo y la calidad del material que va a emplearse en la fabricación de la pieza.

237


- Otras columnas, en las que puede indicarse información adicional, como peso del elemento, proveedor y condiciones de suministro, número de existencias en almacén, observaciones, etc. La rotulación de la escritura está también normalizada, según norma UNE 1034-75, de acuerdo con ISO 3098/74. Básicamente se permiten una gama de alturas de texto normalizadas según la siguiente serie:

2.5, 3.5, 5, 7, 10, 14 y 20 mm Si observamos las alturas de texto, comprobamos que son elementos de una progresión geométrica de razón 21/2, igual que las dimensiones de los formatos de dibujo. Los espesores recomendados para cada altura de texto de la serie mencionada son 0.25, 0.35, 0.5, 0.7, 1, 1.4 y 2 mm. Sólo se permite como fuente de letra la vertical o cursiva con inclinación de 15º a la derecha. 19.5. Líneas normalizadas.

La norma que regula el empleo de las líneas en un dibujo es la UNE 1032-82, que corresponde a la ISO 128/82. Se establecen 10 tipos de líneas diferentes, según se observa en la tabla 19.2. Cada una de estas líneas tiene una aplicación concreta, a la cual debemos atenernos.

Figura 19.11. Aplicaciones de los tipos de líneas enumerados en la tabla 19.2. (Fuente: Leiceaga Baltar, 1994).

El grosor de línea vendrá dado por una progresión geométrica de razón 21/2, como las alturas de texto y dimensiones de los formatos. La serie de grosores entre los que podremos elegir es la siguiente:

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0.18 – 0.25 – 0.35 – 0.5 – 0.7 – 1 – 1.4 – 2 mm De entre estos grosores tendremos que elegir sólo dos para usar en nuestro dibujo, de forma que la relación entre ellos sea al menos 2:1. Se recomienda emplear una línea fina no menor de 0.25 mm, y una línea gruesa de 0.5 a 0.7 mm en el caso de un formato A4, y 0.7 a 1 mm en el caso de un A3.

Líneas Aplicaciones A

A1 Contornos vistos

A2 Aristas vistas

B

B1 Líneas ficticias vistas B2 Líneas de cota B3 Líneas auxiliares de cota B4 Líneas de referencia B5 Rayados B6 Contornos de secciones abatidas sobre la superficie del dibujo B7 Ejes cortos

C D

C1 Límites de vistas y cortes parciales D1 Igual que C1

E F

E1 Contornos ocultos E2 Aristas ocultas F1 Contornos ocultos F2 Aristas ocultas

G

G1 Ejes de revolución G2 Trazas de planos de simetría G3 Trayectorias

H

H1 Trazas de planos de corte o secciones

J

J1 Indicación de líneas o superficies con especificaciones particulares (templado, niquelado, cromado, etc.)

K

K1 Contornos de piezas contiguas K2 Posiciones de piezas móviles K3 Líneas de centros de gravedad K4 Contornos iniciales antes del conformado K5 Partes de la pieza situadas delante del plano de corte

Tabla 19.2. Tipología de las líneas normalizadas usadas en dibujo técnico.

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La separación mínima entre dos líneas paralelas será como mínimo el valor máximo de entre 0.7 mm o el doble del espesor de la línea gruesa. Se ha dispuesto la nomenclatura adjunta para identificar cada tipo de línea con el dibujo de la figura 19.11, donde puede apreciarse el uso específico de cada grupo. 19.6. Números normales.

Los números normales surgen por la necesidad que tiene la industria de disponer de una serie de medidas normalizadas aplicables a magnitudes dimensionales (longitudes, alturas, diámetros, superficies,...), resistencias, pesos, presiones, velocidades, potencias, etc., con la intención de reducir al mínimo el número de herramientas, dispositivos, calibres y semiproductos, manteniendo una gama o variedad de productos acabados que satisfagan razonablemente las necesidades del cliente o usuario. Los objetivos fundamentales de la introducción de los números normales son la unificación de medidas y la facilidad que presentan para su introducción en nomogramas de cálculo o valores tabulados. Imaginemos la dificultad que supondría el disponer de cualquier diámetro de tubería para riego, o cualquier sección de cable conductor en los cableados eléctricos. La normativa que regula los números normales se recoge en las normas UNE 4-003 y 4-004 referentes a “Números Normales” y “Diámetros Normales y otras Medidas Constructivas” respectivamente, basándose en la adopción de los números de Renard (1877) para generar cada serie de productos dentro de una determinada gama. La experiencia demuestra que si los valores dimensionales se disponen de forma que el incremento de un valor en relación al inmediatamente inferior es constante, se satisface eficazmente las necesidades de la industria. Esto conlleva el uso de series de números (por ejemplo diámetros de cojinetes) cuyos términos siguen una progresión geométrica de razón r y valor inicial la unidad:

a1 = r . a0

a2 = r . a1 = r2 . a0

a3 = r . a2 = r3 . a0 . . . . an = r.an-1 = rn . a0

La razón de la progresión geométrica se obtiene a partir de la expresión:

Kn.2 10r = El producto 2n . K designa a la serie normalizada de forma que obtendríamos las siguientes posibilidades variando n como un número entero y con K=5 (Tabla 19.3).

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Desarrollo Nombre Razón

n = 0 ⇒ 20.5 = 5 serie R5 1.58489 n = 1 ⇒ 2.5 = 10 serie R10 1.258925 n = 2 ⇒ 22.5 = 20 serie R20 1.12201 n = 3 ⇒ 23.5 = 40 serie R40 1.05925 n = 4 ⇒ 24.5 = 80 serie R80 1.02920

Tabla 19.3. Series de números normales más empleadas.

Obsérvese como conforme el número de la serie es mayor la razón o incremento entre dos valores consecutivos de la misma es menor. Por ejemplo, las diferencias entre dos valores consecutivos en la serie R80 es de 2.92% aproximadamente, mientras que en la serie R5 es del 58.48%. Estas series cubren, en general, las necesidades planteadas por las aplicaciones industriales más corrientes, aunque para mecánica de alta precisión, con medidas muy próximas dentro de una misma gama, podemos usar, con carácter excepcional, hasta la serie R320. Por otra parte, la Comisión Electrotécnica Internacional ha propuesto la utilización de series para K=6, lo que daría series tipo R6, R12 y R24, aunque no son demasiado empleadas. Aunque el primer término de la serie es la unidad, generalmente las empresas presentan catálogos de productos donde las dimensiones están acotadas. Son las denominadas series limitadas, bien acotadas inferiormente, superiormente, o por ambos extremos. También tenemos la posibilidad de que la serie sea creciente o decreciente. R10 (10....... ) Serie acotada inferiormente R10 ( ........45) Serie acotada superiormente R10 (10 ....31.6) Serie acotada superior e inferiormente A partir de las series R5, R10, R20, R40 y R80 podemos obtener lo que se denominan números normales de gran dimensión simplemente multiplicando los términos de la serie por 10 o por 100. También podemos emplear las series derivadas, obtenidas tomando los términos de las series principales con una determinada cadencia, por ejemplo de 2 en 2, de 3 en 3, etc. La designación de una serie derivada se realizaría de la siguiente forma:

R10/3: Serie derivada de la R10 de forma que sus términos serían a0, a3, a6, a9, ...

Por último, las series redondeadas son las obtenidas a partir de la principal redondeando los términos de la misma. Se designan según:

Ra20: Serie redondeada procedente de la serie R20 19.6.1.- Aplicación práctica de los números normales. Sabemos que un cigüeñal de 40 mm de diámetro se diseña para soportar una potencia de 30 Kw. Queremos determinar la serie de diámetros de cojinetes que tendremos que

241


utilizar para la gama de potencias normales Ra5 de motores cuya potencia máxima es de 120 Kw aproximadamente, sabiendo que la potencia que es capaz de transmitir el cigüeñal es proporcional al cuadrado de su radio. Para resolver el problema planteado partimos de que la potencia sigue una serie redondeada de números normales R5, es decir, la razón de la progresión geométrica sería:

r = 10 = 1.5848915

luego la gama de potencias correspondiente sería: 30 Kw 30.r = 48 Kw 30.r2 = 75 Kw 30.r3 = 119 Kw (Último término de la serie que está acotada superiormente en 120 Kw) Según el enunciado del problema, la relación entre el radio del cigüeñal y la potencia transmitida viene dado por la expresión:

N = K.R K = N

R =

3020

= 0.07522 2⇒

siendo R el radio y N la potencia del cigüeñal (valores en mm y Kw respectivamente), y siendo K la constante de proporcionalidad. Luego el radio del cojinete que soporta al cigüeñal vendrá dado por:

R = N

0.075

Aplicando esta relación a la serie de potencias normales obtenidas determinamos los siguientes diámetros de cojinetes: 40 mm - 50 mm - 64 mm - 80 mm que siguen una serie redondeada de números normales de razón:

5040

1 25= ⇒ ⇒. = 10 log 1.25 = 1r

r = 1

log 1.25 = 10.31

1r

lo que significa que se aproxima a una serie de Renard R10.

242

TEMA 20.

Principios generales de representación normalizada.


En primer lugar hay que decir que los principios generales de representación son aplicables a todos los dominios tecnológicos, aunque para cada caso concreto, por ejemplo la edificación, será interesante consultar la normativa UNE correspondiente. La norma española que regula los procedimientos y convencionalismos que veremos a continuación es la norma UNE 1-032-82, denominada “Principios Generales de Representación”, correspondiente a la ISO 128.

En julio de 1999 se publica la norma europea EN ISO 5456-2, denominada “Dibujos técnicos. Métodos de proyección. Parte 2: Representaciones ortográficas”, que se corresponde con la norma ISO 5456-2:1996. En dicha norma se procede a una ligera actualización de algunos conceptos proyectivos que no se recogían en la ISO 128. Por tanto el presente texto intentará refundir sendas normativas para ofrecer al lector unos principios generales actualizados de la representación en el dibujo técnico. En primer curso de la mayoría de las titulaciones de ingeniería se estudia el sistema de representación diédrico o de Monge, basado en la representación del objeto tridimensional sobre un diedro recto empleando la proyección cilíndrico-ortogonal. Es un sistema sencillo y eficaz, por lo que es empleado unánimemente en la representación o dibujo de productos industriales, mecanismos, maquinaria, edificación, ingeniería civil, etc. Sin embargo, la representación normalizada no se limita a la proyección del objeto sobre una superficie plana y dibujo en un papel (geometría descriptiva). Incluye también la adición de diversos símbolos, propios del dibujo técnico, como tipos de líneas, acotaciones, rugosidad del material, tratamientos tecnológicos, tolerancias, etc., que permiten la ejecución industrial del producto sin ningún tipo de ambigüedad. En este sentido, las geometrías métrica y proyectiva constituirían la base científica del dibujo técnico, la geometría descriptiva sería la base pretecnológica y, por último, la normalización en el dibujo técnico conformaría su base tecnológica.


20.2. Vistas convencionales.

Como base o sistema de referencia en la representación tenemos lo que se conoce como diedro fundamental, formado por dos planos perpendiculares entre sí, planos horizontal y vertical. Al añadir un tercer plano perpendicular a los dos primeros tenemos el denominado triedro fundamental. Como en diédrico tenemos tres direcciones principales de proyección, podemos completar nuestro sistema de representación normalizado obteniendo finalmente un cubo de proyección. Sobre las caras internas del cubo podemos proyectar ortogonalmente cada una de las seis vistas normalizadas que definen el objeto a representar (Figura 20.1). Existirán por tanto seis vistas principales ortogonales a cada cara del cubo de referencia. Son lo que se denominan vistas normalizadas (Figura 20.2): (A) Vista de Frente o Alzado (B) Vista desde encima o Planta (C) Vista desde la Izquierda o Perfil Izquierdo (D) Vista desde la Derecha o Perfil Derecho (E) Vista desde abajo o Planta Inferior (F) Vista desde atrás o Alzado Posterior

Figura 20.1. Vistas ortográficas normalizadas de un objeto tridimensional.

Como orientaciones generales para el correcto uso del sistema de representación de vistas normalizadas deberemos tener en cuenta los siguientes puntos: - La vista seleccionada en primer lugar, vista principal, debe ser la frontal o alzado, pues condiciona, como veremos más adelante, la posición de las demás. Por lo tanto se escogerá como alzado la vista que aporte más información sobre la forma del objeto. Suele tenerse en cuenta para la representación del alzado la posición funcional, de montaje o fabricación de la pieza o mecanismo dibujado.

244


- El número de vistas a emplear será el mínimo posible, huyendo de la repetición de detalles innecesarios que no aportan ninguna información adicional y suponen un incremento del tiempo de dibujo. En la mayoría de los casos suele ser suficiente con el dibujo de las vistas preferentes: alzado, planta y perfil izquierdo. - Se evitará la representación innecesaria de líneas ocultas, si estas ya se han definido suficientemente en otras vistas. - Como veremos en este capítulo, existen ciertos convencionalismos en el dibujo técnico que permiten transmitir una gran cantidad de información con muy pocas vistas. A veces, incluso con una sola vista puede representarse correctamente el objeto.

Figura 20.2. Posición de las vistas normalizadas.

20.3. Sistemas de proyección normalizados.

20.3.1.- Sistemas de Primer y Tercer Diedro. Una vez hemos determinado las vistas necesarias para representar el objeto, debemos proceder a definir la disposición sobre el plano o papel de las mismas. El sistema del primer diedro de proyección es una representación ortográfica que supone al objeto situado en el primer cuadrante de un sistema diédrico de representación. Es decir, el objeto a representar se encuentra entre el observador y los planos de coordenadas sobre los que se proyecta (Figura 20.3). El sistema del tercer diedro de proyección, usado en los países anglosajones, es una representación ortográfica que supone al objeto situado en el tercer cuadrante, por lo que dicho objeto, tal y como lo ve el observador, aparece detrás de los planos de coordenadas sobre los que se proyecta (Figura 20.3).

245


Atendiendo a estas premisas, la disposición de las vistas respecto al alzado en el sistema del primer diedro de proyección aparece en las figuras 20.4 y 20.5, mientras que en el caso del tercer diedro de proyección se dispondrán como recogen las figuras 20.6 y 20.7. En ambos casos se han dibujado los símbolos normalizados que indican el tipo de sistema de proyección que se está utilizando, y que, obviamente, hacen referencia a la naturaleza de la proyección desde el primer o tercer diedro.

Figura 20.3. Sistemas del primer y tercer diedro de proyección. Respectivamente

sistemas europeo y americano en referencias clásicas. En adelante, y mientras no se diga lo contrario, emplearemos el método de proyección del primer diedro. 20.3.2.- Representación ortográfica simétrica. Este método, que se utiliza con preferencia en los dibujos de construcción, está basado en la reproducción de la imagen obtenida en un espejo que se coloca paralela a los planos horizontales del objeto representado (Figura 20.8). El uso de minúsculas para direcciones de proyección y mayúsculas para designar las vistas sigue siendo obligado. El símbolo gráfico normalizado aparece recogido en la figura 20.8.

246


Figura 20.4. Sistema de proyección del primer diedro.

Figura 20.5. Disposición de vistas normalizadas en el sistema del primer diedro.

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Figura 20.6. Sistema de proyección del tercer diedro.

Figura 20.7. Disposición de vistas en el sistema de proyección del tercer diedro.

248


Figura 20.8. Representación ortográfica simétrica.

20.3.3.- Método de las Flechas de Referencia. En algunos casos muy concretos puede que resulte más ventajoso el utilizar direcciones de proyección o puntos de vista diferentes a los normalizados. Este es el caso de que, a la escala y formato elegidos, no sea posible ubicar correctamente las vistas normalizadas. En estos casos no emplearemos los sistemas de proyección del primer o tercer diedro, y por tanto no añadiremos su símbolo identificador. Las direcciones de proyección no normalizadas se indican mediante flechas de referencia en la vista principal y con letra minúscula. Las letras mayúsculas que identifican las vistas deben situarse para ser leídas en la dirección normal a la lectura del dibujo (Figura 20.9). La letra correspondiente a cada vista se colocará en la parte superior o inferior de su representación, pero sólo se usará una de estas disposiciones dentro del mismo dibujo.

Figura 20.9. Representación mediante el método de las flechas de referencia.

249


20.4. Vistas particulares.

En algunos casos la representación de un objeto mediante sus vistas normalizadas origina deformaciones de las magnitudes reales que hacen difícil su correcta comprensión. Esto ocurre cuando la cara que se proyecta y el plano de proyección no son paralelos entre si (Figura 20.10). Tanto la vista en planta como el alzado deforman la magnitud real de la pieza, reduciéndola en su representación. Es necesario por tanto recurrir a vistas no normalizadas que sean ortogonales a la cara de la pieza que queremos representar (Vista A en la figura 20.10). El procedimiento para dibujar estas vistas auxiliares se basa en la teoría general de cambios de plano de proyección.

Figura 20.10. Figura en disposición oblicua al plano de proyección horizontal.

20.4.1.- Vistas Auxiliares Simples o Primarias. Son aquellas vistas en las que sólo se necesita un cambio de plano para colocar la cara de la pieza a representar paralela al nuevo plano de proyección, de forma que se proyecte en verdadera magnitud (Figura 20.11). Es decir, cuando el plano que contiene la cara a representar es oblicuo a uno de los planos de proyección y proyectante sobre el otro. 20.4.2.- Vistas Auxiliares Dobles o Secundarias. Conceptualmente son similares a las vistas auxiliares simples, solo que en este caso son necesarios dos cambios de plano consecutivos para obtener una vista en verdadera magnitud de la parte de la pieza que queremos representar. En este caso el plano que contiene la cara a proyectar es oblicuo a ambos planos de proyección horizontal y vertical. En la figura 20.13 se emplea el método de vistas auxiliares dobles para representar la pieza dada. Es recomendable que, al menos en una vista, la pieza se represente en su totalidad (en nuestro caso la vista en planta). En la figura 20.13 se ha realizado un cambio de plano vertical para situar el plano de la cara oblicua perpendicular o proyectante sobre el nuevo plano vertical de proyección (Vista A). A continuación, y mediante un cambio de plano horizontal, se obtiene la vista B.

250


Figura 20.11. Realización de un cambio de plano Horizontal para obtener una vista

auxiliar simple de la pieza.

A

PLANTA

ALZADO

A

vista auxiliar

30

2070

50

Figura 20.12. Dibujo de una pieza apoyándose en una vista auxiliar simple.

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Figura 20.13. Uso de las vistas auxiliares dobles (Vista A como primaria y Vista B como secundaria).

20.4.3.- Vistas Parciales. Dentro de las vistas auxiliares podemos diferenciar las vistas parciales de las completas. Una vista parcial sólo representa una porción de la pieza u objeto, precisamente la parte que más nos interesa en esa vista, indicando la continuidad de la pieza con el dibujo a mano alzada de una línea continua fina (figuras 20.12 y 20.13). Como podemos comprender el uso de este tipo de convencionalismos aumenta notablemente el rendimiento del gabinete de dibujo. 20.4.4.- Vistas Locales. Son vistas incompletas que se emplean cuando el objeto queda perfectamente representado mediante sus vistas normalizadas, a excepción de algún elemento concreto (Figura 20.14). Estas vistas se unen a la vista normalizada correspondiente mediante línea trazo-punto. Obsérvese como las vistas locales se proyectan según el método del tercer diedro de proyección.

252


Figura 20.14. Uso de las vistas locales en la representación de una pieza.

20.5. Cortes, secciones y roturas.

El convencionalismo del trazado de líneas ocultas mediante líneas a trazos permite salvar, aunque muchas veces complicando extremadamente la interpretación del dibujo, la representación plana de una pieza tridimensional. Esto es comprensible en cuerpos macizos. Sin embargo, la mayoría de las piezas y mecanismos de maquinaria presentan taladros y oquedades que también necesitan ser representados satisfactoriamente. En este apartado estableceremos los convencionalismos utilizados en dibujo técnico para poder penetrar en el interior de un cuerpo opaco y observar las formas que encierra. Prácticamente no existe mecanismo o pieza que no necesite de algún corte o sección para su perfecta interpretación y fabricación. En definitiva, los cortes y secciones aportan claridad al dibujo por la eliminación de líneas discontinuas y reducción, en algunos casos, del número de vistas necesarias para su representación. 20.5.1.- Concepto de Corte y Sección. Físicamente el concepto de corte y sección es similar. Se trata de someter a la pieza a la intersección con un plano y retirar la parte seccionada más cercana al punto de vista del observador (Figura 20.15). Sin embargo, conceptualmente la norma UNE establece una significativa diferencia, y es que en el caso de una sección sólo dibujamos la superficie intersección entre el plano secante y el sólido, mientras que en el caso de un corte dibujamos la intersección y todo lo que hay detrás del plano de corte (Figura 20.16). Otra forma de entender la diferencia entre sección y corte es asimilar la primera a la representación de una superficie plana, mientras que en el caso del segundo representamos un volumen. Dicho esto hay que puntualizar que es frecuente en muchos dibujos técnicos el uso de ambos términos indistintamente, lo que no es demasiado riguroso. Téngase en cuenta que en el caso de las normas inglesas sólo se recoge la palabra “section”, aplicándose tanto a cortes como a secciones.

253


Figura 20.15. Representación en perspectiva de la ejecución de un corte.

Figura 20.16. Diferencia entre un corte y una sección. Como norma general, la intersección entre el plano secante y el sólido se raya con un patrón de rayado que forma 45º con las líneas principales o ejes de simetría del contorno. Las líneas de rayado deben ser continuas, finas y rectas. La separación entre líneas debe tener un valor mínimo mayor o igual que el máximo de 0,7 mm o el grosor de las líneas gruesas en el dibujo. El valor máximo de separación entre líneas no está establecido, pero es recomendable no superar los 5 mm. 20.5.2.- Cortes Totales. Se emplean cuando el objeto a representar es asimétrico o tiene un sólo eje o plano de simetría. En estos casos el plano secante corta a la pieza en su totalidad. La indicación en el dibujo de un corte o sección se realiza según puede observarse en la figura 20.17, donde se ha ejecutado un corte total. El corte se designa mediante dos letras colocadas

254


encima o debajo de la línea trazo-punto que señala la posición del plano secante. Esta línea se torna gruesa en los extremos o cambios de dirección, indicándose con flechas el punto de vista del observador.

Figura 20.17. Ejecución de un corte total en la pieza dada. A veces es útil el utilizar cortes totales empleando varios planos secantes paralelos entre sí (Figura 20.18). Los cortes totales mediante planos paralelos pueden emplearse suponiendo al plano secante como único, en cuyo caso dispondremos un sólo tipo de rayado, o considerando a cada plano paralelo como independiente, coexistiendo varios tipos de rayado, lo que en algunos casos aporta más claridad al dibujo (Figura 20.18, derecha). La línea de corte debe indicarse siempre (Figura 20.18), a no ser que sea evidente la localización del plano de corte, en cuyo caso puede suprimirse.

A

B

C

D

AB

C D

Figura 20.18. Ejecución de un corte total mediante planos paralelos.

255


20.5.3.- Medio Corte. Se usa cuando el objeto a representar tiene dos ejes principales de simetría, generalmente cuerpos de revolución. En estos casos se recurre al corte de un cuarto de la pieza, representándose en planta en su totalidad y en alzado en medio corte (Figura 20.19).

Figura 20.19. Representación de una pieza mediante un medio corte.

Generalmente se situará el corte en la parte derecha del alzado, mientras que cuando se dibuje el perfil izquierdo la parte cortada será la inferior. En cualquier caso siempre prevalecerá el eje de simetría, línea trazo y punto, ante la línea de corte, llena y gruesa (Ver figura 20.19). Como recomendación general se evitará el disponer líneas ocultas o a trazos en la zona cortada, a no ser que ahorre el empleo de una vista adicional. 20.5.4.- Cortes Girados o Semicorte en Ángulo. Se usan cuando es necesario cortar a una pieza según dos planos que no son paralelos (Figura 20.20). En este caso se realiza el abatimiento de un plano sobre el otro hasta que los dos planos de corte son paralelos, representándose la pieza mediante un corte total como el visto en apartados anteriores. El caso particular mostrado en la figura 20.20 también se denomina “Corte quebrado abatido”, y se produce cuando los planos de corte forman un ángulo de 90º entre sí.

256


20.5.5.- Cortes Auxiliares y Cortes de Detalle. Los cortes auxiliares son conceptualmente similares a las vistas auxiliares ya estudiadas, aunque en este caso se cambia la vista auxiliar por la vista de un corte total (Figura 20.21). Los cortes de detalle añaden información sobre la constitución de una pequeña porción del objeto que no se recogía en las demás vistas (Figura 20.21).

CB

A

A-C

Figura 20.20. Ejecución de un corte girado.

A

B

AB

CORTE DEDETALLE

C

D

CD

CORTEAUXILIAR

Figura 20.21. Representación de una pieza mediante corte auxiliar y corte de detalle.

257


20.5.6.- Corte Local o Parcial. También denominados “Mordeduras”, son muy empleados en el dibujo de mecanismos de maquinaria. Consiste en eliminar la opacidad de una porción de la pieza para hacerla transparente y poder ver los detalles interiores (Figura 20.22). Los cortes locales se limitan por línea fina continua dibujada a mano alzada.

Figura 20.22. Representación de una rosca mediante un corte local. 20.5.7.- Secciones Transversales. Las secciones transversales son utilizadas fundamentalmente para la representación de secciones de pletinas, cartelas o nervaduras, perfiles laminados, etc. Es decir, para el dibujo de elementos con unas dimensiones transversales generalmente pequeñas con respecto a su dimensión longitudinal. El plano secante siempre es perpendicular al eje longitudinal de la pieza (plano transversal), girándose 90º para conseguir su abatimiento sobre el plano del dibujo (Figura 20.23), por lo que también se denominan a estas secciones “Secciones Abatidas”. Las secciones abatidas suelen dibujarse sin desplazamiento (Figura 20.23), en cuyo caso el contorno de la sección se dibuja con línea llena fina. Cuando se dibujan secciones con desplazamiento, también llamadas secciones desplazadas, se emplea la línea llena gruesa, uniendo la vista principal con la sección mediante una línea fina de trazo y punto (Figura 20.24). Otra posibilidad interesante es el uso de varias secciones desplazadas consecutivamente a lo largo de un eje longitudinal a la pieza (Secciones Sucesivas). Este tipo de secciones se representan tal y como puede observarse en la figura 20.25, siendo muy empleadas para el dibujo de ejes de sección variable.

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Figura 20.23. Dibujo de una sección abatida para indicar la nervadura de una pieza.

Figura 20.24. Dibujo de una sección desplazada para representar un perfil laminado.

Figura 20.25. Secciones sucesivas en la representación de un eje de sección variable.

259


20.5.8. Roturas. Las roturas se emplean con el objeto de reducir el tiempo de dibujo en la representación de objetos alargados. En estos casos sólo se dibujan los extremos del elemento interrumpidos mediante líneas de rotura a mano alzada o en zig-zag, acotándose su longitud total (Figura 20.26). Si la pieza es troncocónica o en forma de cuña dibujaremos sus extremos tal y como son en la realidad (Figura 20.26, derecha). En el dibujo del perfil laminado de la figura 20.26 (izquierda) se ha representado su sección interrumpida y abatida sin desplazamiento, con el objetivo de dar mayor claridad al dibujo. Nótese como el contorno se traza con una línea llena gruesa.

Figura 20.26. Representación de diversas roturas. 20.6. Otros convencionalismos en el dibujo técnico.

20.6.1.- Rayados. Cuando sea necesario colocar cotas o cualquier tipo de símbolo dentro de secciones rayadas, debemos interrumpir las líneas de rayado para dar más claridad al dibujo (Figura 20.27). Cuando una superficie a rayar es demasiado grande la norma permite limitar el sombreado a la zona interior más próxima al contorno (Figura 20.28). Por otra parte, cuando las secciones a rayar son de muy pequeño grosor se permite un ennegrecido total debido a la dificultad del rayado convencional. En el caso de varias piezas yuxtapuestas se permitirá la separación de las mismas para diferenciar unas de otras, siendo el valor de la separación mínima de 7 mm (Figura 20.28). Cuando las secciones tengan un grosor suficiente para su rayado y pertenezcan a distintas piezas de un mismo montaje se emplearán diferentes patrones de rayado para diferenciarlas. La diferenciación de los patrones de rayado puede conseguirse bien mediante variación de su inclinación, bien mediante variación de la separación entre líneas (Figura 20.27).

260


Los elementos macizos como remaches, tornillos, bulones, varillas, pernos, nervaduras, etc., no se representan seccionados cuando se cortan longitudinalmente, ya que no tienen ningún elemento interior que mostrarnos, por lo que no deben rayarse (Figura 20.27). Igualmente, si el plano de corte coincide con una superficie plana ésta no se considera seccionada, por lo que tampoco se rayará (Figura 20.29).

Figura 20.27. Convencionalismos dentro del rayado de cortes y secciones.

Figura 20.28. Rayado de secciones muy gruesas o muy finas.

Figura 20.29. Supresión del rayado cuando el plano de corte contiene a una superficie plana de la pieza.

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En ciertos tipos de planos, por ejemplo en los de construcción, es muy usual el utilizar sombreados para diferenciar diferentes tipos de materiales. En estos casos debe referenciarse claramente qué significa cada patrón de sombreado, es decir, a que material corresponde. Normalmente se usan leyendas en forma de tabla dentro del propio plano o bien se cita la norma correspondiente, caso de emplear símbolos normalizados. Por último, recordar que cuando se quiere dibujar objetos que están delante del plano de corte han de representarse mediante línea a doble punto y trazo. 20.6.2.- Detalles. Se emplean cuando las dimensiones del dibujo son demasiado pequeñas para poder apreciar adecuadamente una determinada zona del dibujo. En este caso se rodea la zona a ampliar mediante un círculo fino y continuo y se le coloca una letra identificativa. Debajo del detalle ampliado se debe situar la escala de ampliación utilizada (Figura 20.30).

Figura 20.30. Utilización de detalles en el dibujo técnico. 20.6.3.- Simetrías. Cuando una pieza presenta un eje o plano de simetría debe hacerse constar mediante la línea correspondiente, trazo y punto. Los ejes de simetría en una vista deberán sobrepasar ligeramente el contorno de ésta, aunque nunca deberemos continuar un eje de simetría de una vista a otra diferente (20.31). Cuando los ejes van a dibujarse demasiado pequeños, por ejemplo en el caso de taladros de reducido diámetro, la norma permite dibujarlos con línea continua fina (Figura 20.32). Otra posibilidad muy útil en piezas simétricas es la de dibujar sólo una de las dos partes simétricas de la pieza. Si presenta dos ejes principales de simetría, por ejemplo en el caso de una pieza de revolución, podemos incluso dibujar un cuarto de pieza en la vista en que se aprecie esta simetría (Figura 20.32).

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Figura 20.31. Dibujo de los ejes de simetría en dos vistas de un elemento.

Figura 20.32. Dibujo de piezas simétricas o de revolución. 20.6.4.- Aristas ficticias. Las intersecciones entre superficies son en realidad verdaderas líneas geométricas de los sólidos o cuerpos producidos en la industria, aún cuando el corte no se produzca en ángulo vivo. Estas intersecciones se denominan aristas ficticias, y son muy comunes en la elaboración de piezas de fundición, plegado de chapas, etc. Se representan mediante una línea continua y fina que no llega a enlazar con las aristas reales de la pieza (Figura 20.33).

Figura 20.33. Ejemplos de trazado de aristas ficticias.

263


20.6.5.- Vistas convencionales preferentes. Las vistas convencionales preferentes son, como su propio nombre indica, convencionalismos del dibujo técnico que pretenden facilitar la comprensión e interpretación de la representación de una pieza u objeto. Una aplicación típica es el dibujo de elementos doblados o piezas que presentan alguno de sus elementos oblicuos a los planos de proyección, por lo que no se proyectan en verdadera magnitud. En estos casos se permite y recomienda el dibujo de la pieza en verdadera magnitud, aunque esto no coincida con su vista real. Por ejemplo, en la figura 20.34 tenemos una pletina doblada. Obsérvese como la vista en planta de la pieza se dibuja completamente extendida, con línea doble punto y trazo. En la figura 20.35 aparece una biela angular, representada en planta por el abatimiento sobre el plano horizontal de la rama oblicua. La misma operación suele realizarse con las nervaduras de poleas, donde suele prescindirse de la vista real y dibujar una vista convencional preferente basada en el forzamiento del paralelismo entre dos nervios adyacentes (Figura 20.35).

Figura 20.34. Dibujo de elementos doblados.

Figura 20.35. Dibujo de algunos ejemplos de vistas convencionales preferentes. Por último, también podemos destacar algunas representaciones simplificadas, quizá las más generalizadas las intersecciones entre cilindros o entre cilindros y prismas (Figura 20.36). En la figura 20.37 se emplea el sistema del primer diedro de proyección para la representación de una válvula de retención de un sistema hidráulico.

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Figura 20.36. Intersecciones entre cilindro-cilindro y cilindro-prisma.

Figura 20.37. Representación normalizada de una válvula de retención. 20.7. El documento planos en el dibujo de ingeniería.

Las herramientas para el dibujo de ingeniería han evolucionado mucho desde la creación del MARK I, considerado el primer ordenador de la historia. Obra de Howard Aiken, profesor de Harvard, se realizó siguiendo las ideas de la máquina de diferencias de Charles Babbage (siglo XIX), y conseguía sumar dos números en 0,2 segundos. En el año 1971 existían microprocesadores capaces de realizar 60.000 sumas por segundo. Hoy día disponemos de máquinas capaces de ejecutar más de 250 millones de sumas por segundo. Esto hace que labores muy repetitivas o mecánicas sean realizadas en entornos CAD-CAE (Computer Aided Design - Computer Aided Engineering) de una forma mucho más eficiente y rápida, con lo que obtenemos un incremento de la productividad del técnico proyectista. No hay que olvidar que la labor del ingeniero es un 5-10% creativa y un 90-95% repetitiva o mecánica. Aunque desde luego la primera sea la que le confiere calidad y personalidad a un proyecto, la segunda influye de forma determinante en el tiempo de desarrollo y presentación. A pesar de esta rápida evolución, el dibujo de planos en cuanto a contenido no ha variado demasiado. Siguen siendo documentos contractuales en un proyecto que deben disponer

265


la información de una forma clara e interpretable por cualquier técnico, lo que les obliga a estar normalizados, como hemos observado a lo largo de este capítulo. El objeto de un plano es la representación gráfica, generalmente usando vistas ortográficas o convencionales, de las instalaciones y obras que componen un proyecto de ingeniería o de los mecanismos o piezas que componen el diseño de un producto industrial. En cualquier tipo de planos debe predominar la información a la estética, pues sobre ellos se realizan las mediciones para la ejecución del proyecto o producto diseñado. La misión de los planos es: - Recoger la situación inicial previa al proyecto o antecedentes. - Definir los elementos del proyecto o del diseño con dimensiones y características. - Indicar la flexibilidad en las soluciones adoptadas. - Reflejar las influencias que en el terreno circundante puede tener el movimiento de

tierras en el caso de un proyecto de ingeniería civil. Las características generales de los planos son: - Deben ser comprensibles para cualquier otro técnico diferente al que los ha realizado. - Los contratistas, caso de obra civil, u operarios, caso de la fabricación de maquinaria

o productos industriales, deben comprenderlos con relativa facilidad. - Deben describir sin ambigüedad las características de los elementos que intervienen

en el diseño. - Usando el documento planos deben poder medirse, presupuestarse y ejecutarse las

diferentes unidades de obra o elementos del mecanismo que intervienen en el diseño. - Se usan para conocer el avance del proyecto y su calidad, así como las piezas que han

de adquirirse para su fabricación en el caso del diseño industrial. - Sirven para acreditar lo ejecutado en el proyecto. En ingeniería civil es lo que se

denominan certificaciones. Las escalas normalizadas recomendadas por la norma UNE-EN ISO 5455/1996 aparecen en la siguiente tabla, distinguiendo entre la escala natural (1:1), las escalas de ampliación (aplicadas en dibujo mecánico generalmente) y las escalas de reducción. La norma permite la ampliación del abanico de escalas utilizables, aunque sólo empleando múltiplos de 10. En casos excepcionales podrá emplearse una escala no normalizada intermedia.

Categoría

Escalas

Escalas de Ampliación

50:1 5:1

20:1 2:1

10:1

Escala natural

1:1

Escalas de Reducción

1:2 1:20 1:200 1:2000

1:5 1:50 1:500 1:5000

1:10 1:100 1:1000 1:10000

266

TEMA 21.

Acotación de dibujos técnicos.


En este capítulo vamos a introducirnos en una de las tareas o fases más importantes en la ejecución de un dibujo técnico, la acotación. Aunque se intentará abarcar la mayoría de las posibilidades que ofrece la acotación, remitimos al lector para cualquier duda o necesidad específica a la norma española que regula este procedimiento, UNE 1-039-94: “Dibujos Técnicos. Acotación” (ISO 129). Dicha norma establece los principios generales de acotación aplicables al dibujo técnico en su sentido más amplio: mecánica, electricidad, arquitectura e ingeniería civil. Pero, ¿Cuál es el objeto de la acotación?. Podemos pensar que la consignación de la escala de un dibujo es suficiente para asegurar la correcta reproducción del objeto representado. Sin embargo hay que tener en cuenta la dificultad y pérdida de tiempo que supone la medida de magnitudes lineales y angulares sobre un plano, el error que sin lugar a dudas vamos a cometer en esa medida, las deformaciones provocadas por la reproducción reprográfica de documentos, los errores de delineación que se traducen en errores a la hora de la toma de dimensiones, etc. Todo esto hace muy recomendable, e incluso imprescindible, la anotación de las cotas necesarias para la correcta interpretación del mecanismo, pieza, instalación, edificación, o cualquier concepto técnico expresado en forma gráfica. Como veremos más adelante, la acotación es una de las fases del dibujo en que la normalización es más estricta.

21.2. Tipos de acotación.

Antes de enumerar los distintos tipos de acotación sería conveniente conocer la definición que hace la norma del concepto de cota: “Valor numérico expresado en unidades de medida apropiadas y representado gráficamente en los dibujos técnicos con líneas, símbolos y notas”. Los tipos de acotación se diferencian básicamente por el fin último u objetivo de la designación de cotas, distinguiendo:


268

a) Acotación funcional. Es aquella cuyo objetivo primordial es el de designar las cotas fundamentales para el buen funcionamiento del objeto diseñado, por lo que correspondería a la etapa de diseño de ingeniería. b) Acotación constructiva o de fabricación. Su objeto es la definición de la pieza o conjunto según las características geométricas requeridas, por lo es considerada como la acotación necesaria para el proceso de fabricación. Por tanto, recogerá todas las especificaciones de interés, incluyendo las tolerancias, para facilitar y agilizar el trabajo de taller. c) Acotación de verificación. En este caso pretendemos indicar las cotas y tolerancias a inspeccionar en la fase de control de calidad, generalmente la última etapa antes de la comercialización. Generalmente es necesario emplear todas las tipologías de acotación para obtener finalmente el objeto diseñado. Por último, algunos autores hablan de una cuarta tipología de acotación como es la de comercialización. Una de sus aplicaciones es la realización de catálogos comerciales en los que, más que la precisión y normalización del dibujo, prima la generalización de las cotas y parámetros normalizados de dimensionamiento (por ejemplo: diámetro de una tubería, presión y timbraje) y las perspectivas a varias colores para hacer agradable la presentación del producto. Otras de las aplicaciones de la acotación de comercialización serían la ejecución de planos de montaje y manuales de instrucciones en general. 21.3. Funcionalidad de las cotas.

Se dice que una cota es funcional cuando es esencial para la función de la pieza o hueco, mientras que no es funcional cuando no es necesaria para que la pieza o hueco cumpla su misión. En este último caso simplemente se usa para la construcción exacta del elemento tal y como ha sido diseñado (Figura 21.1). Las cotas funcionales son imprescindibles y por lo tanto las más importantes y las primeras en consignarse en la definición de una pieza. Sin embargo, las cotas auxiliares solamente se disponen a título informativo, pudiendo ser deducidas a partir de otras cotas funcionales o no funcionales (Figura 21.1). Se diferencian por la colocación entre paréntesis de la cifra de cota. Jamás deben llevar tolerancias. 21.4. Normas generales de acotación.

A continuación vamos a enumerar una serie de normas muy generales, aunque de extrema importancia en la ejecución de la acotación de un dibujo técnico.


269

Figura 21.1. Cotas funcionales (F), no funcionales (NF) y auxiliares (AUX). - Cada elemento o característica individual de una pieza se acotará sólo una vez en un dibujo, suprimiéndose toda acotación redundante. Esto implica el disponer de las cotas auxiliares que exclusivamente representen una ventaja para la interpretación del dibujo. - Las cotas deberán colocarse sobre la vista, corte o sección que mejor defina la geometría de la parte del objeto a acotar. - Todas las cotas de un dibujo deben expresarse en las mismas unidades. Por ejemplo, la unidad de medida por defecto en el caso del dibujo industrial es el milímetro, mientras que en ingeniería civil es el metro. En ambos casos no se pone como sufijo de la cifra de cota la anotación “mm” o “m”. Si fuera necesario indicar otras unidades distintas se anotará su nomenclatura (p. ej. Km) a continuación de la cifra de cota. - Los procedimientos de fabricación o de control no deben ser especificados, a no ser que sea imprescindible. De todas formas, es sabido que una correcta y eficaz delineación constructiva exige al técnico un buen conocimiento de los procesos de fabricación de su taller o empresa. - Las cotas funcionales deben expresarse directamente sobre el dibujo, evitando que unas dependan de otras (Figura 21.2). Las cotas no funcionales se situarán en el lugar que más convenga de acuerdo con los procesos de verificación previstos. Obsérvese como en la figura 21.2 las cotas funcionales expresadas de forma indirecta no cumplen los requisitos de funcionamiento de la pieza expresados con las cotas funcionales directas, ya que el elemento A no presenta la misma tolerancia en el dibujo de arriba que en el de abajo. En el dibujo de abajo la tolerancia del elemento A viene dada por las siguientes expresiones: (18 - 0.02) - (8 + 0.02) = 10 - 0.04 Valor mínimo


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(18 + 0.02) - (8 - 0.02) = 10 + 0.04 Valor máximo Esto quiere decir que la tolerancia del elemento A en el dibujo de abajo sería de ±0.04, superior a la especificada en el dibujo de arriba de ±0.02 (Figura 21.2).

Figura 21.2. Acotación funcional directa e indirecta. - Las cifras de cota indicarán el valor real de la dimensión acotada, sin tener en cuenta la escala del dibujo. - Las cotas serán colocadas, siempre que sea posible, fuera del contorno del dibujo para mejorar la claridad de la representación. - Tan importante es el no colocar cotas de más como el que el operario no tenga que calcular o deducir ninguna cota. - Las cotas referidas a un mismo elemento de la pieza o del mecanismo deben ir lo más agrupadas posible. 21.5. Elementos de acotación.

Los elementos empleados en la acotación son los siguientes: líneas auxiliares de cota, líneas de cota, líneas de referencia, extremos de las líneas de cota, indicaciones de origen y cifra de cota. También podemos añadir como elemento complementario la serie de signos normalizados que pretende simplificar la representación o dibujo del mecanismo o pieza deseados (Figura 21.3). Todos los elementos de acotación se dibujan con línea continua fina.


271

Figura 21.3. Elementos empleados en la acotación.

21.5.1.- Líneas de cota. Son las líneas utilizadas para indicar las longitudes de los cuerpos. También se emplean en la anotación de magnitudes angulares. Serán colocadas sobre aristas vistas, evitando hacerlo sobre aristas ocultas dibujadas a trazo discontinuo. Las líneas de cota suelen ser paralelas a la magnitud a acotar (Figura 21.4). Deben trazarse sin interrupción, aún cuando se apliquen al dimensionamiento de un elemento dibujado con rotura (Figura 21.4). Nunca debe emplearse como línea de cota una arista de contorno o un eje de simetría, aunque sí que podrán usarse como líneas auxiliares de cota. La separación orientativa entre líneas de cota y aristas de la pieza que acotan será de 8 mm, siendo 5 mm la separación entre líneas de cota próximas (Figura 21.4). No deben producirse intersecciones entre líneas de cota aunque, si se producen, las líneas de cota no deben ser interrumpidas. Siempre es preferible que, de haber intersecciones, éstas se produzcan entre líneas auxiliares o entre líneas auxiliares y líneas de cota. 21.5.2.- Líneas auxiliares de cota. Las líneas auxiliares de cota se prolongarán ligeramente sobrepasando a las líneas de cota, siendo perpendiculares a la dimensión a acotar. En casos excepcionales y para mayor claridad pueden dibujarse oblicuas a la magnitud indicada (Figura 21.5).

15

SÍMBOLOS

LÍNEA DE COTA

LÍNEAS AUXILIARESDE COTA

Ø30100

LÍNEA DE REFERENCIA

EXTREMO DE LÍNEADE COTA

INDICACIÓN DEORIGEN

Ø200

50 100

R2.5R7.5

30


272

Figura 21.4. Empleo de las líneas de cota. Las líneas auxiliares de cota se apoyarán en las prolongaciones de los contornos del elemento a acotar en el caso de achaflanados o redondeamientos (Figura 21.5). Al igual que en el caso de las líneas de cota, debe evitarse la intersección de las líneas auxiliares de cota, así como la acotación simultánea en dos vistas al mismo tiempo (Figura 21.5).

Figura 21.5. Empleo de las líneas auxiliares de cota. 21.5.3.- Líneas de referencia. Son utilizadas para obtener mayor claridad en la lectura del dibujo (Figura 21.6). Algunas de sus utilidades son: a) Para sacar una cifra de cota de un lugar donde no cabe o es de difícil interpretación. b) Para evitar intersecciones de líneas auxiliares o de cota. c) Para designar inscripciones como acabado superficial, tolerancias geométricas, símbolos, etc.


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d) Para designar el código o número de pieza en un dibujo de conjunto correspondiente a su lista de despiezo. A este respecto, la norma UNE-EN ISO 6433-96 sobre indicación de referencias a elementos que componen conjuntos y/o a la identificación de elementos individuales que figuran con detalle sobre un mismo dibujo, establece los requisitos generales sobre el uso de referencias. Como recomendaciones básicas destacamos que las referencias se escribirán con números árabes, aunque también se permite el uso de letras mayúsculas. Deben destacar sobre las demás anotaciones, por lo que se emplearán caracteres de mayor altura o se colocarán en el interior de un círculo de línea llena fina, o bien una combinación de estas dos posibilidades. Por último, la referencia a elementos de un dibujo de conjunto debería adaptarse a un orden de numeración determinado: orden de montaje, orden de importancia de los componentes, o cualquier otro tipo de orden razonable. De todas formas su empleo debe ser limitado y su longitud la mínima posible. Suelen ser líneas quebradas con un tramo oblicuo y otro horizontal sobre el que se coloca la inscripción. El extremo de la línea de referencia puede ser (Figura 21.6): a) Una flecha, si acaba en el contorno o arista del objeto. b) Un punto negro, si acaba en el interior del contorno. c) Sin punto ni flecha, si acaba en una línea de cota.

Figura 21.6. Empleo de las líneas de referencia. 21.5.4.- Extremos e indicación de origen. Todas las líneas de cota deben tener los extremos limitados, pudiendo definirse con flechas o trazos oblicuos normalizados. El origen de medidas se representa por círculos de aproximadamente 3 mm de diámetro (Figura 21.7). Generalmente el uso de trazos oblicuos se limita al dibujo de construcción y estructuras metálicas.


274

Sólo se empleará un tipo de flecha en cada dibujo. Su ángulo en el vértice estará comprendido entre 15º y 90º. Si fuera necesario por falta de espacio, la flecha puede ser sustituida por trazos o por puntos (Figura 21.6). El tamaño de los extremos será proporcional al tamaño del dibujo. Orientativamente se puede sugerir un tamaño 4-5 veces superior al grosor de las líneas del dibujo. Aunque las flechas suelen colocarse en la parte interior de las líneas de cota, la norma permite su colocación en la parte exterior si faltara espacio, prolongándose la línea de cota para poder anotar las cifras de cota (Figura 21.7).

Figura 21.7. Extremos e indicación de origen. 21.5.5.- Cifras de cota. Expresan la dimensión de la longitud o ángulo a acotar. Su tamaño debe ser suficiente para asegurar su legibilidad y reproducción. Como recomendación debería ser superior a cinco veces el grosor de las líneas de dibujo, y nunca menor de 2.5 mm. Igualmente todas las cifras de cota de un mismo dibujo deben tener igual tamaño y no deben ser atravesadas por ninguna línea. La norma diferencia entre dos métodos para la inscripción de las cifras de cota, métodos que no deben combinarse dentro de un mismo dibujo. a) Método 1. Las cifras se dispondrán paralelamente a sus líneas de cota, preferentemente en el centro y encima, ligeramente separadas de la línea de cota (Figura 21.8, izquierda). Las cifras se anotarán para posibilitar su lectura desde abajo o desde la derecha del dibujo (Figura 21.8, centro). Por otra parte, las cotas de magnitudes angulares se dispondrán como muestra la figura 21.8 (derecha).


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Figura 21.8. Aplicación del método 1 de inscripción de cifras de cota. b) Método 2. Las cifras se dispondrán siempre para poder leerse desde abajo del dibujo. En las líneas de cota no horizontales la cifra interrumpirá a la línea de cota para colocarse aproximadamente en su centro (Figura 21.9, izquierda). Las cifras de cota de magnitudes angulares se colocarán según la figura 21.9 (derecha).

Figura 21.9. Aplicación del método 2 de inscripción de cifras de cota.

60°

60°

60°

60°

60°

60°

60°

60°

60°60°

60°

38.2

8040

90 40

40

40

40

40

40

4040


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Algunos casos particulares de inscripción de cifras de cota pueden ser: - En la acotación de piezas simétricas puede interrumpirse la línea de cota sobrepasando ligeramente al eje de simetría, por lo que la cifra de cota no estará centrada (Figura 21.10). - Si nos faltara espacio, la cifra de cota puede disponerse en la prolongación de la línea de cota o incluso por encima de ésta en el caso de una línea de cota no horizontal (Figura 21.10). - En el caso de cotas fuera de escala la cifra de cota debe subrayarse con línea continua gruesa para señalar esta excepción (Figura 21.10).

Figura 21.10. Casos particulares en la inscripción de cifras de cota. 21.5.6.- Letras y símbolos complementarios. Están constituidos por signos convencionales o abreviaturas que se añaden para aclarar la medida acotada. Podemos destacar los símbolos de diámetro, radio, esfera, cuadrado, cruz de San Andrés, conicidad e inclinación. El símbolo de diámetro, Φ, antecede a la cifra de cota cuando en la vista dada no se aprecia la forma circular como tal (Figura 21.11). La altura de dicho símbolo debe ser idéntica a la de la cifra de cota. También se permite utilizar el símbolo Φ cuando el círculo a acotar sea muy pequeño o no esté completamente dibujado. El símbolo de radio, R, se dispondrá en las acotaciones de arcos y redondeamientos cuyo ángulo incluido sea inferior a 180º. Siempre será necesario añadir este símbolo, incluso aunque esté perfectamente identificado el centro de curvatura (Figura 21.12). En las acotaciones de elementos esféricos siempre se antepondrá la letra S al símbolo que corresponda, R si acotamos su radio, o Φ si acotamos su diámetro (Figura 21.12).


277

Cuando una pieza lleve todos los redondeamientos iguales podrá acotarse situando debajo de la misma la notación: “los redondeamientos no acotados tiene R = ?”.

Figura 21.11. Acotación de diámetros.

Figura 21.12. Acotación de radios y elementos esféricos. El símbolo de cuadrado se antepondrá a la cifra de cota cuando la forma cuadrada no se aprecie correctamente en la vista dada (Figura 21.13).

Figura 21.13. Acotación de elementos cuadrados e indicación de superficies planas.


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La cruz de San Andrés o cruz diagonal se emplea para señalar una superficie plana incluida en una superficie curva, generalmente de una pieza de revolución. Esto evita tener que emplear vistas adicionales para transmitir esta información. Este es el caso de ejes y árboles mecánicos, que a veces llevan tallados chaveteros o terminan con forma troncopiramidal (Figura 21.13). Una aplicación específica, en dibujos de edificaciones, de las cruces de San Andrés es la indicación de aberturas de cuatro lados en planos perpendiculares al punto de vista. Por ejemplo ventanas en paredes de edificios. La conicidad, definida por la norma UNE 1-122-96 (ISO 3040), establece la relación entre la diferencia de los diámetros de dos secciones de un cono y la distancia entre ellos (Figura 21.14). En los dibujos se sustituye la palabra “conicidad” por un símbolo cónico.

La inclinación o pendiente se entiende como la relación entre la diferencia de las alturas perpendiculares a la base en poliedros con una cara inclinada (Figura 21.15).

Figura 21.14. Indicación de la conicidad de una forma cónica.

Figura 21.15. Indicación de la inclinación de una cara oblicua en un poliedro.

)2

2.tang(L

d-D C Conicidad α===

) tang(L

h-H I n Inclinació α===


279

21.6. Disposición de las cotas en los dibujos técnicos.

El tipo de acotación empleado en un dibujo dependerá del objetivo del mismo, la idea que pretende comunicar, ya sea orientada al funcionamiento, fabricación o verificación del diseño. 21.6.1.- Acotación en serie y acotación a partir de un elemento común. La acotación en serie se emplea cuando la concatenación de medidas no afecta a la tolerancia de cada elemento. Obsérvese como el error cometido en la fabricación de la pieza depende directamente del número de elementos que acotamos (Figura 21.16). En la acotación a partir de un elemento común, acotación en paralelo, todas las medidas parten de una misma base de medida (arista o plano base), por lo que los errores no son acumulativos (Figura 21.16).

Figura 21.16. Acotación en serie y acotación en paralelo. Una variante de la acotación en paralelo es la denominada acotación mediante cotas superpuestas, en la que las cotas se disponen alineadas respecto a un origen común. En este caso las cotas se dispondrán según las dos opciones que muestra la figura 21.17. En algunos casos puede resultar muy útil el empleo de cotas superpuestas bidireccionales, tal y como puede apreciarse en la figura 21.18.


280

Figura 21.17. Acotación mediante cotas superpuestas.

Figura 21.18. Acotación mediante cotas superpuestas bidireccionales. 21.6.2.- Acotación por coordenadas. Resulta ventajosa para la situación de coordenadas de centros de taladros en una chapa, vértices de parcelas, etc. En la figura 21.19 y 21.20 mostramos dos ejemplos de acotación por coordenadas. En la figura 21.19 (derecha) se supone que todos los agujeros tienen el mismo diámetro, por lo que sólo se indica su situación.


281

Figura 21.19. Acotación de la situación de agujeros sobre una superficie.

Figura 21.20. Indicación de las coordenadas de los vértices de una parcela agrícola. 21.6.3. Acotación combinada. La norma permite la combinación de todas las tipologías de disposición de cotas estudiadas, lo que es lo más común en la mayoría de los dibujos técnicos, pues se satisfacen las necesidades tanto de fabricación como de verificación. 21.7. Casos particulares.

21.7.1.- Cuerdas, arcos y ángulos. En la acotación de cuerdas, arcos y ángulos, normalmente de circunferencia, se adoptarán las indicaciones de la figura 21.21.


282

Figura 21.21. Acotación de cuerdas, arcos y magnitudes angulares. 21.7.2.- Elementos equidistantes. Se emplean para la acotación de elementos repetitivos y dispuestos regularmente, tanto linealmente como angularmente, a lo largo de la pieza (taladros, nervios, radios, etc.). En este caso, y con el objetivo de simplificar su representación, puede emplearse la disposición de cotas de la figura 21.22.

Figura 21.22. Acotación simplificada de elementos equidistantes y elementos repetitivos.

21.7.3.- Elementos repetitivos. Si es posible definir varios elementos de un mismo tamaño con una sola cota, es recomendable hacerlo, tanto por claridad como por rapidez en el dibujo. En la figura 21.22 tenemos ejemplos de acotación de elementos repetitivos. 21.7.4.- Chaflanes y avellanados. Los chaflanes o biselados exteriores suelen rematar generalmente las intersecciones de aristas de piezas industriales. Deben acotarse tal y como se recoge en la figura 21.23. Caso de realizarse el chaflán bajo un ángulo de 45º puede emplearse la notación simplificada mostrada en la misma figura 21.23.


283

Igualmente la norma ofrece dos posibilidades para la acotación de elementos avellanados (Figura 21.24).

Figura 21.23. Acotación de chaflanes.

Figura 21.24. Acotación de avellanados. 21.7.5.- Otras indicaciones. Cuando la pieza dibujada presenta varios elementos repetidos puede acotarse tal y como se muestra en la figura 21.25 (izquierda), permitiendo la norma la supresión de las líneas de referencia si se desea. En piezas simétricas parcialmente dibujadas deben prolongarse las líneas de cota más allá del eje de simetría (Figura 21.25, derecha). En la figura 21.26 observamos la acotación de una pieza de maquinaria en sus vistas convencionales, representándose también su perspectiva isométrica para mayor claridad.


284

Figura 21.25. Acotación de elementos repetidos y piezas simétricas.

Figura 21.26. Acotación completa de un mecanismo de maquinaria. 21.7.6. Indicación de niveles. Los niveles o cotas en un dibujo deben expresarse en las unidades apropiadas a partir de un nivel de base cero o de referencia perfectamente definido. El nivel de base cero se indicará en las vistas de alzado mediante una flecha cuyos lados forman un ángulo de 90º y tiene una mitad ennegrecida (Figura 21.27, a).


285

Si deseamos indicar el nivel cero respecto a una altitud de referencia se empleará la notación de la figura 21.27 (b). Los niveles de forjados en edificación se anotan según aparece en la figura 21.27 (c).

Figura 21.27. Indicación de niveles en dibujo técnico.

Figura 21.28. Indicación de niveles de puntos y de contornos en su vista en planta. Cuando queremos especificar niveles sobre vistas en planta utilizaremos la notación de la figura 21.28. Por ejemplo, la cota de un punto específico se indica según la figura 21.28 (a). Si la situación del punto viene dada por la intersección de dos líneas, la X puede sustituirse por un círculo (Figura 21.28, b). Si deseamos definir la cota de un contorno se dispondrá su cifra indicativa paralela al contorno a acotar.


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Si se disponen dos cifras a cada lado del contorno significa que en realidad hablamos de dos contornos superpuestos en la vista en planta, aunque en realidad a diferente nivel (Figura 21.28, c). Por último, y para terminar, indicar que todos los programas CAD del mercado disponen de módulos de acotación más o menos eficaces o completos. MicroStation™ y AutoCad™, por ejemplo, disponen de herramientas de acotación razonablemente completas, pero no acotan solos. Además, sea cual sea el software empleado, siempre debemos comprobar que utiliza la norma de acotación vigente, pues los programadores suelen permitir cierta flexibilidad en el formato de las cotas, debiendo el usuario seleccionar la opción más adecuada a su país, entorno e incluso cliente.

Bibliografía

Aguilar Torres, F.J.; Agüera Vega, F.; Carvajal Ramírez, F., 1999. Fundamentos para el diseño gráfico de maquinaria e industrias agrarias. Almería: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Almería, 1999. AENOR, 1997. Normas UNE sobre Dibujo Técnico. Ed. AENOR. 4ª Edición. Avilés Caro, J.; Casas brazales, G.; Avilés Montes, J.J., 1997. Expresión Gráfica. Sistemas de Representación. Jaén: Universidad de Jaén. Servicio de Publicaciones, 1997. Bertoline, G.R.; Wiebe, E.N.; Miller, C.L.; Mohler, J.L., 1997. Technical Graphics Communication. Ed. McGraw-Hill, Chicago. Second Edition. Bermejo Herrero, M., 1996. Geometría descriptiva aplicada. Madrid: Tébar Flores S.A., 1996. Calandín Cervigón, E.; Brusola Simón, F.; Baixauli Baixauli, J.J.; Hernandis Ortuño, B., 1987. Dibujo Industrial. I-Normalización. Ed. Tebar Flores, Madrid. Corbella Barrios, D., 1993. Técnicas de representación geométrica con fundamentos de concepción espacial. Ed. el autor, Madrid. Cross, N.; Elliot, D.; Roy, R., 1982. Diseñando el Futuro. Ed. Gustavo Gili S.A., Barcelona. Eide, A.; Jenison, R.; Northrup, L., 1995. Engineering Graphics Fundamentals. Ed. McGraw-Hill, New York. Second Edition. Félez, J.; Martínez, M.L., 1995. Dibujo Industrial. Ed. Síntesis, Madrid. Félez, J.; Martínez, M.L., Cabanellas, J.M., Carretero, A., 1996. Fundamentos de Ingeniería Gráfica. Ed. Síntesis, Madrid. Giménez Yanguas, F., 1998. Estructura y conexiones interdisciplinares de la Ingeniería Gráfica. Conferencia de Apertura del X Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. Málaga. Gómez-Senent, E., 1986. Diseño Industrial. Ed. Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia. González Monsalve, M.; Palencia Cortés, J., 1988. Normalización Industrial. Ed. Los propios autores, Sevilla. González Monsalve, M.; Palencia Cortés, J., 1996. Geometría Descriptiva. Ed. Los propios autores, Sevilla. Gutiérrez de Ravé Agüera, E. Dibujo y sistemas de representación. Sistema diédrico. Córdoba: Escuela Universitaria Politécnica de la Universidad de Córdoba, (sin fecha). Hidalgo de Caviedes, A., 1975. Dibujo Técnico Industrial. Ed. Sección de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid. Izquierdo Asensi, F., 1997. Geometría Descriptiva. Madrid: 23ª edición. Paraninfo, 1997. Konz, S, 1991. Diseño de Instalaciones Industriales. Ed. Noriega-Limusa, México.


Ladrón de Guevara, I.; Miranda, R.; Portillo, P.; García, M.L., 1996. Análisis de formas perspectivas mediante aplicación simplificada del teorema de Pohlke. En Actas del VIII Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. Vol. II. Pág. 317-326. Jaén. Leiceaga Baltar, X.A., 1986. Normas de Dibujo Técnico. 2 Volúmenes. Ed. Donostiarra, San Sebastián. Leiceaga Baltar, X.A., 1994. Normas Básicas de Dibujo Técnico. Ed. AENOR. Nieto Oñate, M.; Arribas González, J.; Reboto Rodríguez, E., 1995. Geometría de la representación aplicada al Dibujo Técnico. Fundamentos. Valladolid: Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid, 1995. Pipes, A., 1989. Drawing for 3-Dimensional Design Concepts, Ilustration, Presentation. Ed. John Calmann & King Ltd., London. Prieto Alberca, M., 1992. Fundamentos geométricos del diseño en ingeniería. Madrid: Aula Experimental de Investigación, 1992. Puig Adam, P., 1986. Curso de geometría métrica. Tomo 1. Fundamentos. Madrid: Euler Editorial S.A., 1986. Puig Adam, P., 1986. Curso de geometría métrica. Tomo 2. Complementos. Madrid: Euler Editorial S.A., 1986. Quince Salas, R. Sistemas de Representación. Sistema Diédrico. 9. Homología. Santander: Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, (sin fecha). Rodríguez Abajo, F.; Revilla Blanco, A., 1991. Tratado de Perspectiva. Ed. Donostiarra, San Sebastían. 4ª Edición. Rodríguez Abajo, F.J.; Álvarez Bengoa, V., 1990. Dibujo Técnico. Ed. Editorial Donostiarra, San Sebastián. Rodríguez Abajo, F.J.; Galarraga Astibia, R., 1993. Normalización del Dibujo Industrial. Ed. Donostiarra, San Sebastián. Taibo Fernández, A., 1983. Geometría descriptiva y sus aplicaciones. Tomo I. Madrid: Tébar Flores S.A., 1983. Taibo Fernández, F., 1983. Geometría descriptiva y sus aplicaciones. Tomo II. Madrid: Tébar Flores S.A., 1983. Villoria San Miguel, V., 1994. Fundamentos geométricos. Madrid: Dossat 2000, 2ª edición. Villoria San Miguel, V., 1992. Representación de curvas y superficies. Geometría descriptiva. Madrid: Fondo editorial de Ingeniería Naval. Colegio Oficial de Ingenieros Navales, 1992. Zorrila Olarte, E.; Muniozguren, J., 1985. Dibujo técnico I. Sistemas de representación. Primera parte. Bilbao: E.T.S.I. Industriales y de Telecomunicación de Bilbao, 1985. Zorrila Olarte, E.; Muniozguren, J., 1985. Dibujo técnico I. Sistemas de representación. Segunda parte. Bilbao: E.T.S.I. Industriales y de Telecomunicación de Bilbao, 1985. Villar del Fresno, R.; García Marcos, R.; Caro Rodríguez, J.L., 1989. Normalización del Dibujo Industrial. Ed. Editorial SERE, Algorta (Vizcaya).

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