1.2 Variables aleatorias.

1. Probabilidad de un suceso. 2. Probabilidad condicionada.3. Variables aleatorias (discretas y continuas).4. Distribuciones continuas más importantes.

1. Probabilidad de un suceso.

Experimentos aleatorios/determinísticos

En un experimento aleatorio: - Suceso elemental: cada uno de los resultados

posibles.- Espacio muestral (E): conjunto formado por los

sucesos elementales.- Suceso: cada subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}

1

2

3

46

5

E

A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”

Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}

1

2

3

46

5

E

A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”

AB

A ∩ B = “A intersección B” = “se dan A y B a la vez”= {2}

A U B = “A unión B” =“se da A ó B ó ambos a la vez” = {1,2,4,6}

A = “no A” = “contrario de A” = “no se da A” = {3,4,5,6}

Suceso seguro (hay certeza de que se da): E

Suceso imposible (hay certeza de que no se da): Ø

Se dice que A y B son incompatibles si A ∩ B = Ø (es decir, no pueden darse a la vez); en otro caso, son compatibles.

Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una función que asignaa cada suceso A, un nº (su probabilidad, P(A)), de manera que:

1.- 0 ≤ P(A) ≤ 12.- P(E)=1 3.- Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)

Ejemplo de probabilidad: Ley de Laplace

posiblescasosn

favorablescasosnAP

º

º)(

En el ejemplo anterior, ¿P(A)? ¿P(B)? ¿P(A ∩ B)?

Ley de los Grandes Números: “El porcentaje de ocasiones en que se obtiene determinado resultado en un experimento aleatorio tiende a coincidircon su probabilidad teórica a medida que el experimento se repite más y másVeces”.

Algunas fórmulas:

- P(A U B)=P(A) + P(B) – P(A∩B)- Probab. de la unión de varios sucesos incompatibles:

P(A U B U … U C) = P(A) + P(B) + … + P(C)- Probab. del suceso contrario:

)(1)( APAP

2. Probabilidad condicionada.

Ejemplo: Se sospecha que existe relación entre la aparición de una cierta enfermedad de la sangre en una comunidad, y la exposición a determinados desechos químicos en un vertedero próximo al lugar de estudio. Para estudiar la existencia o no de relación entre ambos fenómenos, se elige una muestra aleatoria de 620 personas de la comunidad, de las cuáles 300 habían estado expuestas a los desechos, y 320 no lo habían estado. En ambos grupos, se determinó el número de personas que tenían la citada enfermedad. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

SI NO

SI 52 248 300

NO 48 272 320

Totales: 100 520 620

Tiene la enfermedad

Ha estadoexpuesto

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, tomado un individuo al azar, haya estado expuesto al peligro? ¿Y de que tenga la enfermedad?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tomado un individuo al azar tenga la enfermedad y haya estado expuesto al peligro?

c) Sabiendo que un individuo, tomado al azar, ha estado expuesto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad?

d) A partir del resultado anterior, ¿parece razonable concluir que no hay relación entre ambos fenómenos?

Probabilidad condicionada:

)(

)()/(

)(

)()/(

AP

ABPABP

BP

BAPBAP

(Probab. de A condicionado B)

(Probab. de B condicionado A)

Decimos que A y B son independientes, si P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B)

Se cumple: A y B independientes ↔ P(A ∩ B)=P(A) P(B)

3. Variables aleatorias.

Una variable X se dice aleatoria cuando toma valores con determinadasprobabilidades. Si la variable X toma valores discretos (de modo que en-tre dos valores consecutivos no se alcanzan todos los intermedios) se dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalo, se dice que es continua.

Función de densidad o de probabilidad de una variable discreta X: es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la proba-bilidad con la que eso sucede. Se puede expresar mediante una fórmula f(x), ó mediante una tabla. La función de densidad cumple:

1.- f(x)≥0 para todo valor que pueda tomar la variable.

2.-

x

xf 1)(

La función de distribución de una variable discreta X es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad de que tome ese valor, o cualquier valor inferior.

xk

kXPxF )()(

Ejemplo: Variable aleatoria de Poisson

!)(

xexf

x

Dado un suceso que aparece de esporádicamente, en unintervalo de tiempo o un espacio dado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya dado x veces?

,...2,1,0x

: número medio o esperado de ocurrencias

1)( dxxf

DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de densidad, si la probabilidad de que X tome valores en el intervalo (a,b) es igual al área encerrada por la gráfica de f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b. Se cumple:

1.- f(x)≥0 para todo valor de x2.-

En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de quela variable X esté entre los valores a y b), se calcula como:

b

adxxfbXaP )()(

a b

f(x)

IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO:

0)()( a

adxxfaXP

Por lo tanto,

)(

)()()(

bXaP

bXaPbXaPbXaP

¿De dónde procede esta idea? ¿Tiene algún sentido intuitivo?

Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pájaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos,y calculamos los porcentajes.

150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

  100

Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40

150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

  100

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40

¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

Prob.=%=Area

1

Peso

150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

  100

Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40

Prob.=%=Area

¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40

Prob.=%=Area150-155 3

155-160 8

160-165 20

165-170 40

170-175 23

175-180 5

180-185 2

  100

¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

Peso

%

150 155 160 165 170 175 180 185

20

40

Prob. (muestra)

Muestra

POBLACION

Conocida (DATOS)

Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

170

%

Peso

Función de densidad

y = f(x)

170

Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

170

%

Peso

Función de densidad

y = f(x)

170

Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como

170)( dxxf

DEFINICION (Función de distribución): Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de la variable nos da la probabilidad de que X tome ese valor, o cualquier otro inferior.

x

adttfxXPxF )()()(

La función de distribución cumple:

1. La derivada de la función de distribución, es la función de densidad.

2. Se verifica:

)()(' xfxF

)()()( aFbFbXaP

MEDIA:

Variable discreta:

k

iii px

1

))(( ii xXPp

Variable continua:

dxxfx )(

Media, varianza, desv. típica de una v.a.

VARIANZA:

Variable discreta:

Variable continua:

k

i

k

iiiii pxpx

1 1

2222

2222 )()( dxxfxdxxfx

DESVIACION TIPICA:

2

A. Distribución normal: N(µ,σ)

4. Principales distribuciones continuas.

Previamente: curva normal N(µ,σ) o campana de Gauss

2

2

1

2

1)(

x

exf

2

2

1

2

1)(

x

exf

- μ: media poblacional- σ: desviación típica poblacional.- Simétrica respecto a x = μ- Máximo en x = μ- Normal tipificada: si X=N(μ,σ), entonces Z=(X- μ)/σ es una normal N(0,1).

B. Distribución exponencial: Exp(λ)

xexf )(µ=1/λσ=1/λ

- Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco- nómicas, llamadas telefónicas, etc.) o el tamaño (yacimientos, etc.)

0,0

)(

x

exf x

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:

donde

)1,0(NX i son variables aleatorias independientes nXXX ,...,, 21

y para i = 1, 2,…, n. La gráfica de su función de

222

21

2nn XXX

densidad es:

Grad. de libertad13

Chi-Cuadrado Distribución

x

dens

idad

0 10 20 30 400

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:

Media: nVarianza: 2n

Es importante en inferenciaestadística

D. Distribución t de Student de n grados de libertad:

21n

n

n

zt

2

)1,0(

n

Nz

Normal

Chi-cuadradode n grados delibertad

Grad. de libertad10

t de Student Distribución

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

idad

D. Distribución t de Student de n grados de libertad:

Grad. de libertad10

t de Student Distribución

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

idad

Es SIMETRICA respecto al eje YMedia: 0Varianza: n/(n-2) (para n>2)

Es importante en inferenciaestadística

E. Distribución F de Snedecor con n1, n2 grados de libertad :

22

12

, /

/

2

1

21 n

nF

n

nnn

2

1n

2

2n

Chi-cuadrado con n1

grados de libertad

Chi-cuadrado con n2

grados de libertad

Numerador g.l.,Denominador g.l.10,10

F (índice de varianza) Distribución

0 1 2 3 4 5

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

dens

idad