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Unidad didactica 3:Descripcion espacial
Eduardo Cassiragaefc@dihma.upv.es
Grupo de HidrogeologaDepartamento de Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente
Universidad Politecnica de Valencia
Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente
Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Contenidos
1 Introduccion.
2 Visualizacion espacial de datos:
Mapas con la localizacion de los datos. Mapas de isolneas. Mapas de smbolos. Mapas de indicadores.
3 Continuidad espacial:
Diagramas de dispersion tipo h. Medidas de continuidad espacial.
4 Practica de la descripcion espacial.
5 Resumen.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
1 Introduccion
Una particularidad de las bases de datos utilizadas en las ciencias del terreno, es que lainformacion esta asociada a una localizacion en el espacio.
Las caractersticas espaciales de los datos tales como la localizacion de los valoresextremos, la tendencia general, el grado de continuidad, etc., son frecuentemente deconsiderable interes.
El objetivo de la descripcion espacial es describir y cuantificar la relacion entremedidas del mismo atributo y/o de atributos distintos en dos localizaciones.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
2 Visualizacion espacial de datos
La descripcion espacial de la informacion comienza por una representacion grafica quetenga en cuenta la localizacion de los datos.
Las herramientas mas habituales son: Mapas con la localizacion de los datos. Mapas de isolneas. Mapas de smbolos. Mapas de indicadores.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Mapas con la localizacion de los datos y mapas de isolneas
87 100 47 111 124 109 0 98 134 144
77 84 74 108 121 143 91 52 136 144
75 80 83 87 94 99 95 48 139 145
74 80 85 90 97 101 96 72 128 130
77 82 86 101 109 113 79 102 120 121
89 88 94 27 116 108 73 107 118 127
88 70 103 111 122 64 84 105 113 123
82 74 97 105 112 91 73 115 118 129
82 61 110 121 119 77 52 111 117 124
81 77 103 112 123 19 40 111 114 120
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Mapas de smbolos
0 100
10
0
145
0 100
10
0
145
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Mapas de indicadores
Umbral 1
0 - 30 30 - 145
Umbral 2
0 - 75 75 - 145
Umbral 3
0 - 120 120 - 145
Umbral 1
0 - 30 30 - 145
0 - 30 30 - 145
Umbral 2
0 - 75 75 - 145
0 - 75 75 - 145
Umbral 3
0 - 120 120 - 145
0 - 120 120 - 145
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
3 Continuidad espacial
Datos 5000
Media 0.18
Varianza 0.80
Maximo 2.32
Cuartil 3 0.77
Mediana 0.23
Cuartil 1 -0.36
Mnimo -2.43
Datos 5000
Media 0.18
Varianza 0.80
Maximo 2.32
Cuartil 3 0.77
Mediana 0.23
Cuartil 1 -0.36
Mnimo -2.43
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Continuidad espacial
Las herramientas para realizar la descripcion univariada de la informacion no son capacesde capturar las caractersticas espaciales de un atributo.
Las herramientas utilizadas para describir la relacion entre dos variables pueden utilizarsepara describir la relacion entre el valor de una variable y los valores de la misma variableen localizaciones cercanas.
El diagrama de dispersion es utilizado para mostrar la continuidad espacial.
Los estadsticos bivariados clasicos sirven para sumarizar la informacion contenida en undiagrama de dispersion.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Diagramas de dispersion tipo h
Un diagrama de dispersion tipo h muestra todos los pares de valores cuyas localizacionesestan separadas por una cierta distancia en una direccion particular.
(0,0)( , )xi yi
( , )xj yj
tj
ti
hij
donde la localizacion del punto i de coordenadas (xi, yi) se especifica a traves del vectorti; la localizacion del punto j de coordenadas (xj, yj) se especifica a traves del vector tj;la separacion entre el punto i y el punto j de denota como tjti o como (xjxi, yjyi);el vector que va de i a j como hij y el que va de j a i como hji.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Diagramas de dispersion tipo h
h = (0,0) h = (0,1) h = (0,2)
h = (0,3) h = (0,4)
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Diagramas de dispersion tipo hv(t+
h)
v(t)
h = (0,0)
0 50 100 1500
50
100
150
v(t+
h)v(t)
h = (0,1)
0 50 100 1500
50
100
150
v(t+
h)
v(t)
h = (0,2)
0 50 100 1500
50
100
150
v(t+
h)
v(t)
h = (0,3)
0 50 100 1500
50
100
150
v(t+
h)
v(t)
h = (0,4)
0 50 100 1500
50
100
150
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Medidas de continuidad espacial
Covarianza C.
Coeficiente de correlacion .
Momento de inercia .
Al considerar el vector separacion h.
Funcion de covarianza C(h).
Funcion de correlacion o correlograma (h).
Variograma (h).
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Medidas de continuidad espacial
Distancia Coeficiente de Covarianza Momento de
h correlacion C inercia
(0,0) 1.000 686.4 0.000
(0,1) 0.742 448.8 312.8
(0,2) 0.590 341.0 479.2
(0,3) 0.560 323.8 521.4
(0,4) 0.478 291.5 652.9
Distancia h
Correlograma
0 1 2 3 40.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
C
Distancia h
Funcin de covarianza
0 1 2 3 40
100
200
300
400
500
600
700
800
Distancia h
Variograma
0 1 2 3 40
100
200
300
400
500
600
700
800
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Funcion de covarianza
C(h) =1
N(h)
(i,j)|hij=h
vi vj mh m+h
mh =1
N(h)
i|hij=h
vi m+h =1
N(h)
j|hij=h
vj
hv viji j
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Funcion de correlacion o correlograma
(h) =C(h)
h +h
2h =1
N(h)
i|hij=h
v2i m2h 2+h =1
N(h)
j|hij=h
v2j m2+h
hv viji j
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Variograma
(h) =1
2N(h)
(i,j)|hij=h
(vi vj)2
hv viji j
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Diagramas cruzados de dispersion tipo hu
(t+h)
v(t)
h = (0,0)
0 50 100 1500
10
20
30
40
50
60
u(t+
h)v(t)
h = (0,1)
0 50 100 1500.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
u(t+
h)
v(t)
h = (0,2)
0 50 100 1500.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
u(t+
h)
v(t)
h = (0,3)
0 50 100 1500.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
u(t+
h)
v(t)
h = (0,4)
0 50 100 1500.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Medidas de continuidad espacial
Distancia Coeficiente de Covarianza Momento de
h correlacion C inercia
(0,0) 0.84 218.3 38.7
(0,1) 0.60 144.0 54.2
(0,2) 0.45 94.2 80.7
(0,3) 0.36 73.1 89.5
(0,4) 0.28 60.1 111.0
Distancia h
Correlograma
0 1 2 3 40.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
C
Distancia h
Funcin de covarianza
0 1 2 3 40
50
100
150
200
250
Distancia h
Variograma
0 1 2 3 40
40
80
120
160
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Funcion de covarianza cruzada
Cuv(h) =1
N(h)
(i,j)|hij=h
ui vj muh mv+h
muh =1
N(h)
i|hij=h
ui mv+h =1
N(h)
j|hij=h
vj
hu viji j
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Funcion de correlacion cruzada o correlograma cruzado
uv(h) =Cuv(h)
uh v+h
2uh =1
N(h)
i|hij=h
u2i m2uh 2v+h =1
N(h)
j|hij=h
v2j m2v+h
hu viji j
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Variograma cruzado
uv(h) =1
2N(h)
(i,j)|hij=h
(ui uj)(vi vj)
hu viji j
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Datos irregularmente espaciados
En la practica difcilmente dispongamos de un conjunto de datos exhaustivamenteconocido como el utilizado hasta ahora en nuestro analisis.
En su lugar dispondremos de un conjunto de datos que en general es una pequena fracciondel conjunto de datos exhaustivo y que se encuentran casi siempre irregularmentedistribuidos en el espacio.
Las herramientas para realizar la descripcion espacial de datos exhaustivamente conocidosdeben ser adaptadas para que sean utiles a la hora de analizar la continuidad espacial dedatos escasamente muestreados e irregularmente distribuidos en el espacio.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Datos irregularmente espaciados
d
b
dhdh
h
x
y
: direccionh: separaciond: tolerancia algulardh: tolerancia linealb: ancho de banda
(h) =1
2N(h)
(i,j)|hijh
(vi vj)2
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
4 Practica de la descripcion espacial
La expresion del variograma nos permitecuantificar la continuidad espacial parauna serie de distancias de separacion ydirecciones determinando as el vario-grama experimental.
Distancia
Variograma experimental
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Los metodos geoestadsticos requierenconocer el variograma para cualquierdistancia de separacion y cualquier direc-cion en la cual es considerada dicha se-paracion, por lo que es necesario ajustarun modelo al variograma experimental.
Distancia
Variograma experimental y modelo ajustado
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Terminologa
Distancia0 20 40 60 80 100
0
40000
60000
80000
100000
120000
a
C
C0
a es el alcance: distancia a la cual elvariograma alcanza la meseta.
C es la meseta: valor del variogramacuando la distancia de separacion se ha-ce igual al alcance.
C0 es el efecto pepita: valor del vario-grama para pequenas escalas.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Metodologa
Calculo del variograma omnidireccional: permite tener una idea inicial acerca de losparametros relativos a distancia (alcance e incremento de la distancia de separacion).
Calculo de los variogramas direccionales: permiten determinar la existencia de aniso-tropa y sus direcciones principales.
Ajuste de un modelo a los variogramas experimentales: permite conocer el valor delvariograma para cualquier distancia de separacion y direccion.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Variograma omnidireccional
Numero de Distancia de (h)parejas separacion
22 2.1 11294.1488 5.4 42671.4
1720 10.4 51932.41856 14.8 71141.83040 20.3 70736.92412 24.9 86745.23550 30.1 84077.82816 34.8 99986.64092 40.3 89954.43758 44.9 86155.04248 50.1 98319.33920 55.0 94415.15324 60.2 88848.94442 64.8 96309.25478 70.2 96397.34696 74.8 90704.65762 80.2 92560.65084 84.9 88104.05666 90.1 95530.94458 94.8 101174.82890 98.8 94052.1
Distancia
Incremento de la distancia = 5
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Variograma omnidireccional
Numero de Distancia de (h)parejas separacion
178 3.6 32544.33044 11.0 55299.85140 20.4 75224.66238 30.2 88418.67388 40.5 90544.17954 50.1 95689.19782 60.3 91285.2
10060 70.3 93809.210628 80.3 92357.810454 90.1 95010.54856 97.8 97349.3
Distancia
Incremento de la distancia = 10
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Variogramas direccionales
Distancia
N90E
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N70E
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N50E
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N30E
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N10E
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N10O
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N30O
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N50O
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Distancia
N70O
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Variogramas direccionales
N
O E
S
N14O
N76E
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Ajuste de un modelo
Una vez calculados los variogramas experimentales es necesario ajustarles un modeloque permita su utilizacion en el esquema de las tecnicas geoestadsticas de estimaciony/o simulacion.
Un modelo de variograma es una funcion matematica expresada en funcion de laseparacion, la direccion y unos pocos parametros a determinar durante el proceso de lamodelizacion.
Las funciones aptas para ser modelos de variogramas deben cumplir con ciertas reglas quegaranticen la existencia de una solucion unica y estable de los sistemas de ecuacioneslineales subyacentes a las tecnicas de estimacion y/o simulacion.
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Modelos basicos
Modelo efecto pepita (h) ={
0 si h = 01 para los otros casos
Modelo esferico (h) ={
1.5ha 0.5(ha)3 si h es a1 para los otros casos
Modelo exponencial (h) = 1 exp(3h
a
)Modelo gausiano (h) = 1 exp
(3h2a2
)
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Modelos basicos
Distancia0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Modelo efecto pepita (amarillo)Modelo esferico (rojo)Modelo exponencial (verde)Modelo gausiano (azul)
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Estructuras imbricadas
Una combinacion lineal de modelos de variogramas definidos positivos con coeficientespositivos es un modelo definido positivo:
(h) =ni=1
|i| i(h)
No existe un lmite matematico en el numero n de modelos a combinar, aunque laexperiencia demuestra que la mayora de los ajustes se puede lograr con, a lo sumo, dosestructuras imbricadas mas la correspondiente al efecto pepita.
En este caso el principio de parsimonia es una buena gua: la utilizacion de mas estructurasimbricadas no es garanta de mejores resultados.
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Estructuras imbricadas
Ejemplo(h) = 22000 + 40000 Esf30(h) + 45000 Esf150(h)
Distancia
0 20 40 60 80 1000
20000
40000
60000
80000
100000
120000
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Modelos de anisotropa: geometrica
Anisotropa geometrica: el alcance cambia con la direccion mientras que la mesetapermanece constante.
Distancia0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Modelos de anisotropa: zonal
Anisotropa zonal: la meseta cambia con la direccion mientras que el alcance permanececonstante.
Distancia0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Anisotropa geometrica + zonal
Distancia0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distancia0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Distancia0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Algunas consideraciones
La exploracion de la informacion disponible es el paso mas importante en cualquierestudio relacionado con las ciencias de la tierra.
El analisis de la continuidad espacial de un conjunto de datos es frustrante y constituyeuna tarea ardua y desalentadora.
El desarrollo de casos practicos es el mejor camino para familiarizarnos con lasherramientas presentadas.
El variograma es la piedra angular de la geoestadstica.
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5 Resumen
Descripcion Descripcionespacial univariada
y bivariada
Geoestadstica Estadstica
Distancia
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Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Bibliografa
Isaaks, E. y Srivastava, R. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics, OxfordUniversity Press, New York.
Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford Uni-versity Press, New York.
Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente 41
Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial
Para leer en casa...
Isaaks, E. H. y Srivastava, R. M. (1988). Spatial Continuity Measures for Probabilisticand Deterministic Geostatistics, Mathematical Geology, vol. 20, no 4, 313-341. (4-Lectura-Isaaks-Srivastava-MG88.pdf )
Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente 42