14-Continuidad-espacial

Unidad didactica 3:Descripcion espacial

Eduardo [email protected]

Grupo de HidrogeologaDepartamento de Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente

Universidad Politecnica de Valencia

Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente

Geoestadstica Unidad didactica 3: Descripcion espacial

Contenidos

1 Introduccion.

2 Visualizacion espacial de datos:

Mapas con la localizacion de los datos. Mapas de isolneas. Mapas de smbolos. Mapas de indicadores.

3 Continuidad espacial:

Diagramas de dispersion tipo h. Medidas de continuidad espacial.

4 Practica de la descripcion espacial.

5 Resumen.

Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente 1


1 Introduccion

Una particularidad de las bases de datos utilizadas en las ciencias del terreno, es que lainformacion esta asociada a una localizacion en el espacio.

Las caractersticas espaciales de los datos tales como la localizacion de los valoresextremos, la tendencia general, el grado de continuidad, etc., son frecuentemente deconsiderable interes.

El objetivo de la descripcion espacial es describir y cuantificar la relacion entremedidas del mismo atributo y/o de atributos distintos en dos localizaciones.



2 Visualizacion espacial de datos

La descripcion espacial de la informacion comienza por una representacion grafica quetenga en cuenta la localizacion de los datos.

Las herramientas mas habituales son: Mapas con la localizacion de los datos. Mapas de isolneas. Mapas de smbolos. Mapas de indicadores.



Mapas con la localizacion de los datos y mapas de isolneas

87 100 47 111 124 109 0 98 134 144

77 84 74 108 121 143 91 52 136 144

75 80 83 87 94 99 95 48 139 145

74 80 85 90 97 101 96 72 128 130

77 82 86 101 109 113 79 102 120 121

89 88 94 27 116 108 73 107 118 127

88 70 103 111 122 64 84 105 113 123

82 74 97 105 112 91 73 115 118 129

82 61 110 121 119 77 52 111 117 124

81 77 103 112 123 19 40 111 114 120



Mapas de smbolos

0 100

10

0

145

0 100

10

0

145



Mapas de indicadores

Umbral 1

0 - 30 30 - 145

Umbral 2

0 - 75 75 - 145

Umbral 3

0 - 120 120 - 145

Umbral 1

0 - 30 30 - 145

0 - 30 30 - 145

Umbral 2

0 - 75 75 - 145

0 - 75 75 - 145

Umbral 3

0 - 120 120 - 145

0 - 120 120 - 145



3 Continuidad espacial

Datos 5000

Media 0.18

Varianza 0.80

Maximo 2.32

Cuartil 3 0.77

Mediana 0.23

Cuartil 1 -0.36

Mnimo -2.43

Datos 5000

Media 0.18

Varianza 0.80

Maximo 2.32

Cuartil 3 0.77

Mediana 0.23

Cuartil 1 -0.36

Mnimo -2.43



Continuidad espacial

Las herramientas para realizar la descripcion univariada de la informacion no son capacesde capturar las caractersticas espaciales de un atributo.

Las herramientas utilizadas para describir la relacion entre dos variables pueden utilizarsepara describir la relacion entre el valor de una variable y los valores de la misma variableen localizaciones cercanas.

El diagrama de dispersion es utilizado para mostrar la continuidad espacial.

Los estadsticos bivariados clasicos sirven para sumarizar la informacion contenida en undiagrama de dispersion.



Diagramas de dispersion tipo h

Un diagrama de dispersion tipo h muestra todos los pares de valores cuyas localizacionesestan separadas por una cierta distancia en una direccion particular.

(0,0)( , )xi yi

( , )xj yj

tj

ti

hij

donde la localizacion del punto i de coordenadas (xi, yi) se especifica a traves del vectorti; la localizacion del punto j de coordenadas (xj, yj) se especifica a traves del vector tj;la separacion entre el punto i y el punto j de denota como tjti o como (xjxi, yjyi);el vector que va de i a j como hij y el que va de j a i como hji.



Diagramas de dispersion tipo h

h = (0,0) h = (0,1) h = (0,2)

h = (0,3) h = (0,4)



Diagramas de dispersion tipo hv(t+

h)

v(t)

h = (0,0)

0 50 100 1500

50

100

150

v(t+

h)v(t)

h = (0,1)

0 50 100 1500

50

100

150

v(t+

h)

v(t)

h = (0,2)

0 50 100 1500

50

100

150

v(t+

h)

v(t)

h = (0,3)

0 50 100 1500

50

100

150

v(t+

h)

v(t)

h = (0,4)

0 50 100 1500

50

100

150



Medidas de continuidad espacial

Covarianza C.

Coeficiente de correlacion .

Momento de inercia .

Al considerar el vector separacion h.

Funcion de covarianza C(h).

Funcion de correlacion o correlograma (h).

Variograma (h).




Distancia Coeficiente de Covarianza Momento de

h correlacion C inercia

(0,0) 1.000 686.4 0.000

(0,1) 0.742 448.8 312.8

(0,2) 0.590 341.0 479.2

(0,3) 0.560 323.8 521.4

(0,4) 0.478 291.5 652.9

Distancia h

Correlograma

0 1 2 3 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

C

Distancia h

Funcin de covarianza

0 1 2 3 40

100

200

300

400

500

600

700

800

Distancia h

Variograma

0 1 2 3 40

100

200

300

400

500

600

700

800



Funcion de covarianza

C(h) =1

N(h)

(i,j)|hij=h

vi vj mh m+h

mh =1

N(h)

i|hij=h

vi m+h =1

N(h)

j|hij=h

vj

hv viji j



Funcion de correlacion o correlograma

(h) =C(h)

h +h

2h =1

N(h)

i|hij=h

v2i m2h 2+h =1

N(h)

j|hij=h

v2j m2+h

hv viji j



Variograma

(h) =1

2N(h)

(i,j)|hij=h

(vi vj)2

hv viji j



Diagramas cruzados de dispersion tipo hu

(t+h)

v(t)

h = (0,0)

0 50 100 1500

10

20

30

40

50

60

u(t+

h)v(t)

h = (0,1)

0 50 100 1500.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

u(t+

h)

v(t)

h = (0,2)

0 50 100 1500.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

u(t+

h)

v(t)

h = (0,3)

0 50 100 1500.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

u(t+

h)

v(t)

h = (0,4)

0 50 100 1500.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0




Distancia Coeficiente de Covarianza Momento de

h correlacion C inercia

(0,0) 0.84 218.3 38.7

(0,1) 0.60 144.0 54.2

(0,2) 0.45 94.2 80.7

(0,3) 0.36 73.1 89.5

(0,4) 0.28 60.1 111.0

Distancia h

Correlograma

0 1 2 3 40.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

C

Distancia h

Funcin de covarianza

0 1 2 3 40

50

100

150

200

250

Distancia h

Variograma

0 1 2 3 40

40

80

120

160



Funcion de covarianza cruzada

Cuv(h) =1

N(h)

(i,j)|hij=h

ui vj muh mv+h

muh =1

N(h)

i|hij=h

ui mv+h =1

N(h)

j|hij=h

vj

hu viji j



Funcion de correlacion cruzada o correlograma cruzado

uv(h) =Cuv(h)

uh v+h

2uh =1

N(h)

i|hij=h

u2i m2uh 2v+h =1

N(h)

j|hij=h

v2j m2v+h

hu viji j



Variograma cruzado

uv(h) =1

2N(h)

(i,j)|hij=h

(ui uj)(vi vj)

hu viji j



Datos irregularmente espaciados

En la practica difcilmente dispongamos de un conjunto de datos exhaustivamenteconocido como el utilizado hasta ahora en nuestro analisis.

En su lugar dispondremos de un conjunto de datos que en general es una pequena fracciondel conjunto de datos exhaustivo y que se encuentran casi siempre irregularmentedistribuidos en el espacio.

Las herramientas para realizar la descripcion espacial de datos exhaustivamente conocidosdeben ser adaptadas para que sean utiles a la hora de analizar la continuidad espacial dedatos escasamente muestreados e irregularmente distribuidos en el espacio.



Datos irregularmente espaciados

d

b

dhdh

h

x

y

: direccionh: separaciond: tolerancia algulardh: tolerancia linealb: ancho de banda

(h) =1

2N(h)

(i,j)|hijh

(vi vj)2



4 Practica de la descripcion espacial

La expresion del variograma nos permitecuantificar la continuidad espacial parauna serie de distancias de separacion ydirecciones determinando as el vario-grama experimental.

Distancia

Variograma experimental

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Los metodos geoestadsticos requierenconocer el variograma para cualquierdistancia de separacion y cualquier direc-cion en la cual es considerada dicha se-paracion, por lo que es necesario ajustarun modelo al variograma experimental.

Distancia

Variograma experimental y modelo ajustado

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000



Terminologa

Distancia0 20 40 60 80 100

0

40000

60000

80000

100000

120000

a

C

C0

a es el alcance: distancia a la cual elvariograma alcanza la meseta.

C es la meseta: valor del variogramacuando la distancia de separacion se ha-ce igual al alcance.

C0 es el efecto pepita: valor del vario-grama para pequenas escalas.



Metodologa

Calculo del variograma omnidireccional: permite tener una idea inicial acerca de losparametros relativos a distancia (alcance e incremento de la distancia de separacion).

Calculo de los variogramas direccionales: permiten determinar la existencia de aniso-tropa y sus direcciones principales.

Ajuste de un modelo a los variogramas experimentales: permite conocer el valor delvariograma para cualquier distancia de separacion y direccion.



Variograma omnidireccional

Numero de Distancia de (h)parejas separacion

22 2.1 11294.1488 5.4 42671.4

1720 10.4 51932.41856 14.8 71141.83040 20.3 70736.92412 24.9 86745.23550 30.1 84077.82816 34.8 99986.64092 40.3 89954.43758 44.9 86155.04248 50.1 98319.33920 55.0 94415.15324 60.2 88848.94442 64.8 96309.25478 70.2 96397.34696 74.8 90704.65762 80.2 92560.65084 84.9 88104.05666 90.1 95530.94458 94.8 101174.82890 98.8 94052.1

Distancia

Incremento de la distancia = 5

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000



Variograma omnidireccional

Numero de Distancia de (h)parejas separacion

178 3.6 32544.33044 11.0 55299.85140 20.4 75224.66238 30.2 88418.67388 40.5 90544.17954 50.1 95689.19782 60.3 91285.2

10060 70.3 93809.210628 80.3 92357.810454 90.1 95010.54856 97.8 97349.3

Distancia

Incremento de la distancia = 10

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000



Variogramas direccionales

Distancia

N90E

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N70E

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N50E

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N30E

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N10E

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N10O

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N30O

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N50O

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Distancia

N70O

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000



Variogramas direccionales

N

O E

S

N14O

N76E



Ajuste de un modelo

Una vez calculados los variogramas experimentales es necesario ajustarles un modeloque permita su utilizacion en el esquema de las tecnicas geoestadsticas de estimaciony/o simulacion.

Un modelo de variograma es una funcion matematica expresada en funcion de laseparacion, la direccion y unos pocos parametros a determinar durante el proceso de lamodelizacion.

Las funciones aptas para ser modelos de variogramas deben cumplir con ciertas reglas quegaranticen la existencia de una solucion unica y estable de los sistemas de ecuacioneslineales subyacentes a las tecnicas de estimacion y/o simulacion.



Modelos basicos

Modelo efecto pepita (h) ={

0 si h = 01 para los otros casos

Modelo esferico (h) ={

1.5ha 0.5(ha)3 si h es a1 para los otros casos

Modelo exponencial (h) = 1 exp(3h

a

)Modelo gausiano (h) = 1 exp

(3h2a2

)



Modelos basicos

Distancia0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Modelo efecto pepita (amarillo)Modelo esferico (rojo)Modelo exponencial (verde)Modelo gausiano (azul)



Estructuras imbricadas

Una combinacion lineal de modelos de variogramas definidos positivos con coeficientespositivos es un modelo definido positivo:

(h) =ni=1

|i| i(h)

No existe un lmite matematico en el numero n de modelos a combinar, aunque laexperiencia demuestra que la mayora de los ajustes se puede lograr con, a lo sumo, dosestructuras imbricadas mas la correspondiente al efecto pepita.

En este caso el principio de parsimonia es una buena gua: la utilizacion de mas estructurasimbricadas no es garanta de mejores resultados.



Estructuras imbricadas

Ejemplo(h) = 22000 + 40000 Esf30(h) + 45000 Esf150(h)

Distancia

0 20 40 60 80 1000

20000

40000

60000

80000

100000

120000



Modelos de anisotropa: geometrica

Anisotropa geometrica: el alcance cambia con la direccion mientras que la mesetapermanece constante.

Distancia0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Modelos de anisotropa: zonal

Anisotropa zonal: la meseta cambia con la direccion mientras que el alcance permanececonstante.

Distancia0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Anisotropa geometrica + zonal

Distancia0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distancia0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distancia0 20 40 60 80 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Algunas consideraciones

La exploracion de la informacion disponible es el paso mas importante en cualquierestudio relacionado con las ciencias de la tierra.

El analisis de la continuidad espacial de un conjunto de datos es frustrante y constituyeuna tarea ardua y desalentadora.

El desarrollo de casos practicos es el mejor camino para familiarizarnos con lasherramientas presentadas.

El variograma es la piedra angular de la geoestadstica.



5 Resumen

Descripcion Descripcionespacial univariada

y bivariada

Geoestadstica Estadstica

Distancia



Bibliografa

Isaaks, E. y Srivastava, R. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics, OxfordUniversity Press, New York.

Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford Uni-versity Press, New York.



Para leer en casa...

Isaaks, E. H. y Srivastava, R. M. (1988). Spatial Continuity Measures for Probabilisticand Deterministic Geostatistics, Mathematical Geology, vol. 20, no 4, 313-341. (4-Lectura-Isaaks-Srivastava-MG88.pdf )


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