2º medio Circunferencia

LA CIRCUNFERENCIA YUN PAR DE RECTAS EN EL PLANOÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

A MATERIAL DEL ESTUDIANTE

Fidel Oteiza Morra

Lucrecia Zamorano Aravena

Osvaldo Baeza Rojas

I.S.B.N.: 978-956-303-041-9

5ª edición: Febrero de 2008

Inscripción Nº 138764

Derechos Exclusivos Reservados

Universidad de Santiago de Chile

Editado por

Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

San Martín 40 A oficina 6, Santiago

Teléfono: 6883261 Fax: 6727140

Impreso XXXXXX

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Matemática Interactiva®: Aprender matemática creando soluciones®Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

El Centro Comenius de la Universidad de Santiago de Chile, desarrolló el modelo interactivo para el aprendizaje

matemático, en el proyecto FONDEF D00I1073 “Aprender matemática creando soluciones” entre los

años 2001 y 2004. El modelo cuenta, para su implementación en salas de clases, con material para el alumno

(actividades, guías, proyectos, etc.), material del profesor (sugerencias pedagógicas para trabajar los materiales,

los contenidos e integrar las tecnologías), material de referencia (tratamiento más formal de la matemática),

materiales manipulativos concretos (fichas, dados, juegos, etc.), evaluaciones y recursos tecnológicos que

siguen los principios de diseño teóricos sugeridos en el modelo.

Sobre la base del modelo interactivo, en la actualidad se está desarrollando el proyecto Enlaces Matemática,

con aportes del Centro de Educación y Tecnología, Red Enlaces, del Ministerio de Educación de Chile y del

Centro Comenius de la Universidad de Santiago de Chile, implementándose en siete regiones del país, con

la colaboración de las universidades asociadas.

Profesionales del Proyecto

Fidel Oteíza MorraDirector del Proyecto

Gonzalo Villarreal FarahSub Director del Proyecto

Manuel Galaz PérezEncargado operativo ycoordinador de desarrollo de materiales

Hernán Miranda VeraRoberto Araya SchulzLorena Espinoza SalfateInvestigadores asociados

Osvaldo Baeza RojasMacarena Escalante SalamancaEvelyn Herrera ToroMauricio Moya MárquezGustavo Rodríguez SepúlvedaAlicia Venegas ThayerNelly Devia OrmeñoMaría Isabel Escobar GutierrezAutores de textos y guías, materialconcreto y recursos tecnológicos

Juan Silva QuirozEvelyn Herrera ToroEncargados de la plataforma virtual

Gladys Bobadilla AbarcaInvestigadora Asociada y Especialistaen contenidos

Lucrecia Zamorano AravenaInstrumentos de evaluación yrevisión de materiales

Sergio Reyes GonzálezAnálisis estadístico

Claudia Matus CorreaAsesora análisis estadístico

Gerardo Honorato GutiérrezCristián Reyes ReyesMiguel Muñoz JaraEditores matemáticos

Jessica Marinkovic O'RyanDwight Pennanen AriasRoxana Donoso LoyolaApoyo operativo y logístico

Juan Rojas RiveraDiagramación, diseño y edición gráfica

Mauro Silva CuevasHéctor Ríos BolbaránIngeniería y Soporte técnico

7Guía 1: Recordando elementos de la Geometría

Planos - puntos - rectas - semirrectas - trazos

12Guía 2: Ángulos y relaciones entre ángulos

Definición, clasificación y propiedades de ángulos

16Guía 3: Ejercicios con ángulos y sus relaciones

22Guía 4: Rectas, ángulos y triángulos

27Guía 5: Clasificación y propiedades de triángulos

32Guía 6: Demostraciones en los triángulos

35Guía 7: Demostraciones en los triángulos

Mini evaluación

37Guía 8: Elementos básicos de la circunferencia

43Guía 9: Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas

46Guía 10: Examinando elementos asociados a la circunferencia

50Guía 11: Examinando elementos asociados a la circunferencia

54Guía 12: Demostraciones en la circunferencia

Mini evaluación

60Guía 14: Ejercicios con elementos de la circunferencia

68Guía 17: Exploración del teorema de las cuerdas

Teorema de las cuerdas

Mini evaluación del teorema de las cuerdas

76Guía 20: Ejercicios del teorema de las cuerdas

79Guía 21: Exploración del teorema de las secantes

Teorema de las secantes

Mini evaluación del teorema de las secantes

87Guía 24: Ejercicios del teorema de las secantes

89Guía 25: Ejercicios de los teorema de las cuerdas y la secante

Miscelánea de ejercicios de los teoremas de las cuerdas y de la secante

7Recordando elementos de la Geometría

GUÍA 1RECORDANDO ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍAPLANOS • PUNTOS • RECTAS • SEMIRRECTAS • TRAZOS

Identificando elementos en el plano

En el inicio de esta unidad, el plano se ha visualizado como una superficie plana, algo así como

un vidrio plano, sin nada encima que se extiende, se extiende, ...

Para representarlo, usualmente se utilizan cuadriláteros como los empleados en las actividades

siguientes.

1. Puntos, planos, rectas, semirrectas y segmentos

a. En el siguiente plano, dibuja un punto y asígnale una letra mayúscula.

b. Dibuja una recta que divida al plano Q en dos semiplanos. Pinta de distinto color cada uno de

los semiplanos determinados por ella. Marca un punto en la recta y asígnale una letra

mayúscula.

8 Recordando elementos de la Geometría

Ahora responde:

- ¿A cuál semiplano pertenece la recta?

- ¿Cuántas semirrectas genera el punto sobre la recta?

c. En el plano R, marca dos puntos y nómbralos A y B. Dibuja de un color la semirrecta que va

de A a B. Utilizando los mismos puntos construye, con un color distinto, la semirrecta que va

de B a A.

Identifica las partes de las semirrectas que se superponen o se interceptan. Esta superposición

entre las semirrectas es llamado trazo o segmento y se escribe AB .

2. Posiciones relativas de dos rectas en el plano

a. Utiliza el plano P1 para estudiar las propiedades que tienen dos rectas paralelas.

Dibuja dos rectas paralelas:

b. Utiliza el plano P2 para estudiar las propiedades que tienen dos rectas coincidentes.

Dibuja dos rectas coincidentes:

¿Cuántas regiones se generan?

Achúralas para diferenciarlas.

¿Cuántas fronteras hay?

¿Hay puntos de intersección?,

¿cuántos?

¿Se generan semirrectas?

¿Se generan ángulos? Sí No

¿Cuántas regiones se generan? ¿Cuántas fronteras hay?

¿cuántos?

¿Se generan semirrectas?

10 Recordando elementos de la Geometría

c. Utiliza el plano P3 para estudiar las propiedades que tienen dos rectas que se interceptan.

Dibuja dos rectas que se interceptan.

¿Cuántas regiones se generan?

Achúralas para diferenciarlas.

¿Cuántas fronteras hay?

¿cuántos?

¿Se generan semirrectas?,

¿cuántas?

1 • Plano

2 • Punto

3 • Recta

4 • Rayo o semirrecta

5 • Trazo o segmento

6 • Rectas paralelas

7 • Rectas coincidentes

8 • Rectas que se interceptan

9 • Región

10 • Frontera

11 • Ángulos

Síntesis de lo aprendido

A modo de cierre, haz un resumen de los conceptos que has repasado en esta guía con sus

respectivas propiedades.

Concepto Escribe la explicación, propiedad o característica

12 Ángulos y relaciones entre ángulos

Identificando ángulos y sus propiedades

En esta guía estudiaremos los ángulos que se forman a partir de la intersección de dos o más

rectas en el plano: sus propiedades, clasificación y aplicaciones.

a. En la siguiente figura aparecen tres rectas, L1, L2 y L3, que se interceptan en el punto O.

GUÍA 2ÁNGULOS Y RELACIONES ENTRE ÁNGULOS

DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE ÁNGULOS

¿Cuánto mide FOE + EOD + DOC? ¿Por qué?

¿Cuánto mide BOC + AOF? ¿Por qué?

¿Cuáles son los pares de ángulos contiguos? ¿Por qué?

Si L1 ⊥ L2, ¿cuánto mide el AOB?

13Ángulos y relaciones entre ángulos

¿Cuáles son los pares de ángulos complementarios? ¿Por qué?

¿Cuáles son los pares de ángulos suplementarios? ¿Por qué?

¿Cuáles son los pares de ángulos opuestos por el vértice? ¿Por qué?

¿Qué propiedad cumplen los ángulos opuestos por el vértice? ¿Por qué?

b. Utilizando los conceptos anteriores y la figura siguiente, responde:

El AOD mide 45º

¿Cuánto mide AOB? ¿Es obtuso? Justifica ambas respuestas.

14 Ángulos y relaciones entre ángulos

¿Cuánto mide COB? ¿Es agudo? Justifica ambas respuestas.

¿Son suplementarios los ángulos AOD y AOB? Justifica tu respuesta.

¿Son suplementarios los ángulos AOD y COD? Justifica tu respuesta.

¿Son complementarios los ángulos AOB y BOC? Justifica tu respuesta.

¿Son complementarios los ángulos AOD y BOC? Justifica tu respuesta.

¿Cuál o cuáles ángulos son agudos? ¿Por qué?

¿Cuál o cuáles ángulos son obtusos? ¿Por qué?

15Ángulos y relaciones entre ángulos

1 • Ángulos contiguos

2 • Ángulos complementarios

3 • Ángulos suplementarios

4 • Ángulos opuestospor el vértice

5 • Ángulos agudos

6 • Ángulos obtusos

7 • Ángulos rectos

8 • Rectas perpendiculares

9 • Ángulos congruentes

Concepto Propiedades asociadas

GUÍA 3EJERCICIOS CON ÁNGULOS Y SUS RELACIONES

16 Ejercicios con ángulos y sus relaciones

Aplicación de las propiedades de ángulos

Dos rectas que se cortan en un punto generan ángulos. Estos se clasifican en ángulos opuestos

por el vértice, que son congruentes y ángulos adyacentes, que son suplementarios.

A partir de estos conceptos y las propiedades repasadas en las guías anteriores desarrolla las

siguientes actividades:

a. ¿Cuánto mide el ángulo x ? ¿Por qué?

b. ¿Cuánto mide el ángulo y? ¿Por qué?

17Ejercicios con ángulos y sus relaciones

c. ¿Cuánto miden α y β? ¿Por qué?

d. ¿Cuánto mide el ángulo x? ¿Por qué?

e. ¿Cuánto mide el ángulo x? ¿Por qué?

f. Si COD mide a, ¿cuánto mide el ángulo x? ¿Por qué?

g. ¿Cuánto vale x + y? ¿Por qué?

h. Si AD es bisectriz de BOF entonces, ¿cuánto vale x + y? ¿Por qué?

i. Si EF es bisectriz de AOD y GH es bisectriz de AOC, entonces, sabiendo que el

COB mide 120º, ¿cuánto vale x? ¿Por qué?

j. ¿Son complementarios los ángulos DOC y EOD? ¿Por qué?

k. Si AD es perpendicular a FB, BAC ≅ DAE y BAC = 60º entonces, ¿son congruentes

los ángulos CAD y FAE? ¿Por qué?

¿Son perpendiculares las bisectrices?

¿Por qué?

l. ¿Cuánto mide α + τ + ρ + δ ? ¿Por qué?

m. Si OC ⊥ OB entonces, ¿cuánto mide AOB + DOC? ¿Por qué?

¿Son suplementarios o complementarios estos ángulos?

A modo de cierre, completa las siguientes frases con los conceptos que has repasado en esta

guía.

a. La suma de las medidas de dos ángulos es de 90º, entonces cada ángulo es el

del otro.

b. Un ángulo cuya medida es menor que 90º se llama ángulo

c. Un ángulo cuya medida es mayor que 90º se llama ángulo

d. Un ángulo cuya medida es igual que 90º se llama ángulo

e. Dos ángulos contiguos tienen en común

f. Si dos ángulos son congruentes sus suplementos son

g. Dos ángulos congruentes y suplementarios a la vez son

h. La suma de las medidas de dos ángulos complementarios es

i. La suma de las medidas de dos ángulos suplementarios es

j. La suma de las medidas de dos ángulos es siempre menor que 180º

k. La suma de las medidas de dos ángulos es siempre menor que 360º

Autoevaluación de lo aprendido

22 Rectas, ángulos y triángulos

GUÍA 4RECTAS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Si en un plano se ubican sucesivamente tres rectas, entonces pueden presentarse siete situaciones,

como las que aparecen en la tabla de más abajo.

Dibuja en la tabla, bajo cada enunciado, una figura que represente la situación.

Anatomía de los triángulos

3 rectas coincidentes 2 rectas coincidentes y laotra corta a las anteriores

2 rectas coincidentes y laotra es paralela a lasanteriores

Las 3 rectas son paralelas

2 rectas paralelas yla otra corta a las anteriores

Las 3 rectas se cortan en un punto Las 3 rectas se cortan en trespuntos (de dos en dos)

23Rectas, ángulos y triángulos

Dibuja 3 rectas que se intercepten en tres puntos (de dos en dos).

Algunas propiedades de los triángulos

¿Qué figura conocida se formó?

¿Cuántos vértices tiene esta figura? Etiqueta los vértices con las letras A, B y C.

Identifica y escribe los segmentos que se formaron.

¿Cuántos ángulos puedes identificar? Utiliza las letras del alfabeto griego, que encontrarás

en el Anexo 1, para etiquetar los ángulos.

¿Cuáles son los ángulos interiores?

¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores del triángulo?

Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por un lado del triángulo y la prolongación

de otro. ¿Cuáles son los ángulos exteriores?

h. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos exteriores del triángulo?

La medida de un ángulo exterior en un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos

ángulos interiores no adyacentes a él.

Un teorema importante

a. Si α = 50° y β = 60° entonces, ¿cuánto mide γ′?

b. ¿Cuánto vale γ + γ′?

25Rectas, ángulos y triángulos

1 • Ángulo interior de un triángulo

2 • Ángulo exterior de un triángulo

3 • Suma de las medidasde los ángulos interioresdel triángulo

4 • Suma de las medidas delos ángulos exteriores deltriángulo

5 • Teorema del ángulo exterior

10 •

Anexo 1

Alfabeto griego

Alfa Beta Ji Delta Épsilon

α β χ δ ε

Phi (Fi) Gamma Un Iota Ómicron

φ γ η ι ο

Kappa Lambda Mu Nu Pi

κ λ μ ν π

Theta Rho (Ro) Sigma Tau Ípsilon

θ ρ σ τ υ

Omega Eta Psi Dseta

ω ξ ψ ζ

27Clasificación y propiedades de triángulos

Aplicación de las propiedades de ángulos en el triángulo

Utilizando lo estudiado en la guía Nº 4, desarrolla los siguientes ejercicios de aplicación:

a. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?

GUÍA 5CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE TRIÁNGULOS

El valor de x es:

Con el dato obtenido, completa y responde:

Justifica la respuesta afirmativa:

¿Es equilátero el triángulo?

¿Es escaleno el triángulo?

¿Es isósceles el triángulo?

Sí No

b. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?

El valor de x es:

Con el dato obtenido responde:

¿Es acutángulo el triángulo?

¿Es rectángulo el triángulo?

¿Es obtusángulo el triángulo?

Sí No

28 Clasificación y propiedades de triángulos

c. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?

El valor de x es:

Justifica las respuestas afirmativas:

Sí No

d. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?

El valor de x es:

¿Es acutángulo el triángulo?

Sí No

e. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?

El valor de x es:

Sí No

f. Si CD es la altura del triángulo ABC, entonces:

¿Cuánto mide el ángulo x?

¿Es rectángulo el triángulo ADC? Justifica tu respuesta.

¿Cuánto mide α + β ?

30 Clasificación y propiedades de triángulos

g. En el triángulo ABC, rectángulo en C, se traza la altura CD:

¿Es rectángulo el triángulo CDB? ¿Por qué?

h. En el triángulo SRT se traza la bisectriz SL del ángulo α.

¿Cuánto mide α ? ¿Por qué?

¿Cuánto mide β ? ¿Por qué?

i. En el triángulo ABC, la transversal CD es la bisectriz del ángulo ACB:

¿Cuánto mide el ángulo β ? ¿Por qué?

¿Qué tipo de triángulo es ACD? ¿Por qué?

¿Qué tipo de triángulo es CBD? ¿Por qué?

j. En el triángulo ABC, se trazan las bisectrices en A y C:

k. En el triángulo ABC, CD es la simetral:

¿Cuánto mide el ángulo α ?

l. En el triángulo ABC, si AC = BC entonces:

El valor de x es:

Justifica la respuesta afirmativa.

Sí No

32 Demostraciones en los triángulos

Identificación de la hipótesis y tesis en un teorema asociado a triángulos

GUÍA 6DEMOSTRACIONES EN LOS TRIÁNGULOS

En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con los

triángulos. Además, debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo entre

hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis) entonces (tesis)”.

Se espera también que puedas esbozar una secuencia lógica de argumentos que justifiquen el

enunciado del teorema, es decir, una demostración del mismo.

33Demostraciones en los triángulos

Teorema

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

34 Demostraciones en los triángulos

Teorema

El ángulo exterior en un vértice de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos

interiores no adyacentes a él.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

35Demostraciones en los triángulos

Demostración de un teorema relacionado con los ángulos exteriores en un triángulo

GUÍA 7DEMOSTRACIONES EN LOS TRIÁNGULOS

MINIEVALUACIÓN

En la guía anterior (Nº 6) ejercitaste la estructura de teoremas matemáticos relacionados con

los triángulos y trabajaste en la demostración de dos teoremas.

En esta minievaluación debes realizar el mismo trabajo pero de manera individual.

Este trabajo será evaluado.

36 Investigando la Semejanza

Teorema

Los ángulos exteriores de un triángulo suman 360º.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

37Elementos básicos de la circunferencia

GUÍA 8ELEMENTOS BÁSICOS DE LA CIRCUNFERENCIA

a. Dibuja con compás una circunferencia (en adelante ) en el plano P:

Identifica el centro de la con la letra O y la circunferencia con la letra C.

Dibuja un radio.

¿Cuántos radios se pueden construir?

Describe con tus palabras lo que es el radio en la .

38 Elementos básicos de la circunferencia

b. Construye un diámetro, en la circunferencia del plano Q.

Describe con tus palabras lo que es el diámetro en la .

¿Qué relación existe entre el radio y el diámetro?

¿Cuántos diámetros se pueden construir?

c. En el plano R, construye una cuerda.

¿Es el diámetro una cuerda?

Describe con tus palabras lo que es una cuerda en la .

Si la cuerda crece o decrece, ¿qué ocurre con la distancia del centro a ella?

d. En el plano S, dibuja una secante.

¿Cuántos puntos se interceptan con la circunferencia?

¿Qué es una secante?

Pinta de algún color, el segmento secante a la circunferencia.

e. Dibuja una tangente, en la circunferencia del plano T.

¿Cuántos puntos se interceptan con la circunferencia?

Asígnale la letra T a ese punto.

El punto T se llama punto de tangencia.

Construye el radio que pasa por el centro y el punto de tangencia.

f. En el plano U:

Identifica dos puntos en la circunferencia y asígnales las letras A y B.

Pinta de distinto color cada uno de los arcos generados por esos dos puntos.

En el arco mayor, marca un punto con la letra C.

Si los arcos generados son distintos, ¿cómo identificar el arco mayor del menor?

Radio(Dibújalo)

5 • Cuerda(Dibújalo)

6 • Arco AB(Dibújalo)

7 • Arco ABC(Dibújalo)

8 • Diámetro(Dibújalo)

9 • T

43Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas

GUÍA 9INTERSECCIONES ENTRE UNA CIRCUNFERENCIA Y DOS RECTAS

Introducción

A lo largo del trabajo de las guías 1 a la 5 se recordaron conceptos intuitivos, elementos básicos,

relaciones y teoremas que son necesarios para el desarrollo de esta unidad.

Los desafíos en esta guía son: ¿qué ocurre cuando en un plano coinciden una circunferencia y dos

rectas?, ¿qué situaciones se presentan?

Intersecciones de una circunferencia con dos rectas

a. Completa la siguiente tabla con dibujos que representen las diferentes posiciones que se

pueden dar cuando en un plano coinciden una circunferencia y dos rectas.

Par de rectas paralelas Par de rectas coincidentes Par de rectas que se cortan

44 Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas

b. En el caso de dos rectas paralelas que son secantes a la circunferencia:

¿Cuántas cuerdas se generan?

¿Cuántos arcos se generan?

¿Cómo se anotan con simbología matemática estos elementos?

Las cuerdas:

Los arcos:

c. En el caso de dos rectas paralelas que son tangentes a la circunferencia:

Dibuja los radios que unen el centro con cada uno de los puntos de contacto.

45Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas

¿Qué elemento de la circunferencia se obtiene?

En función de los elementos de la circunferencia, ¿cuál es la distancia entre las paralelas?

d. Si haces un análisis de la tabla (página 43) la exploración con el par de rectas que se cortan

y sus intersecciones con una circunferencia, ¿cuántos casos encuentras?

Dibújalos a continuación:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

GUÍA 10EXAMINANDO ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

En la guía anterior, descubriste todos los casos que se presentan cuando en un plano coinciden

una circunferencia y dos rectas. En esta guía estudiaremos el caso de dos rectas que se interceptan

en un punto y además interceptan a la circunferencia.

Observa las siguientes figuras:

Examinando elementos asociados a la circunferencia

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

47Examinando elementos asociados a la circunferencia

Todas las actividades dadas a continuación se refieren a las circunferencias de la página anterior.

a. ¿Cuál de las figuras muestra una recta secante y una tangente que se interceptan en la

circunferencia?

1 2 3 4Figura:

Nota que en este caso, la secante pasa por el centro de la circunferencia.

Asígnale letras del alfabeto griego a los ángulos formados.

¿Cuánto miden los ángulos formados por estas dos rectas? Justifica tu respuesta.

b. ¿Cuál de las figuras de la página anterior, corresponde a secantes que se interceptan en la

circunferencia?

1 2 3 4Figura:

Identifica, con letras, los puntos de intersección de las secantes con la circunferencia

que elegiste.

Identifica, con una letra del alfabeto griego, el ángulo que queda en el interior de la

circunferencia que elegiste. ¿Cuál es el arco que subtiende ese ángulo?

Este ángulo recibe el nombre de ángulo inscrito porque su vértice está en:

Identifica y escribe los segmentos generados en la figura que elegiste.

48 Examinando elementos asociados a la circunferencia

c. ¿Cuál de las figuras corresponde a rectas secantes que se interceptan en el interior de la

circunferencia? (marca sólo una)

1 2 3 4Figura:

En la figura que elegiste, identifica los ángulos que se forman al interior de la

circunferencia y desígnalos con letras del alfabeto griego.

¿Cuáles ángulos son opuestos por el vértice?, ¿cuáles ángulos son suplementarios?

Anota estos pares de ángulos en el cuadro siguiente:

Pares de ángulos opuesto por el vértice Pares de ángulos suplementarios

Identifica, con letras mayúsculas, los puntos de intersección de las rectas y de ellas

con la circunferencia.

Identifica y escribe los segmentos generados en la figura.

d. ¿Cuál de las figuras corresponde a una secante y a una tangente que se interceptan en el

exterior de la circunferencia?

1 2 3 4Figura:

Asígnale letras al punto de intercepción de la secantes y la tangente y al punto de

intercepción de ambas rectas con la circunferencia.

Identifica los segmentos generados por los puntos

de intercepción y escríbelos en esta tabla adjunta.

En la figura que elegiste, identifica y escribe todos

los arcos generados por los puntos de intersección

de ambas rectas con la circunferencia.

Segmentos generados porlos puntos de intercepción

Autoevaluación

A modo de cierre de la guía te proponemos esta autoevaluación para que compruebes lo

que has aprendido.

Observa la figura adjunta y contesta las preguntas

que siguen a continuación:

a. ¿Cuántos arcos tiene la figura? Escríbelos.

b. ¿Cuántos segmentos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.

c. ¿Cuántas cuerdas se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.

d. ¿Cuántos ángulos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.

e. ¿Cuántas secantes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.

f. ¿Cuántas tangentes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.

GUÍA 11EXAMINANDO ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

En la guía anterior, descubriste todos los casos que se presentan cuando en un plano coinciden

una circunferencia y dos rectas. En esta guía estudiaremos el caso de dos rectas que se interceptan

en un punto y además interceptan a la circunferencia.

Observa las siguientes figuras:

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

Todas las actividades que vienen a continuación se refieren a las circunferencias de la página

anterior.

a. ¿Cuál de las figuras presenta dos rectas tangentes a una circunferencia?

1 2 3 4Figura:

Asígnales letras mayúsculas a los puntos de intersección entre rectas y entre las rectas

Identifica y escribe los arcos generados por estas intersecciones

b. ¿Cuál de las figuras de la página anterior presenta dos rectas secantes a una circunferencia

que se interceptan en el exterior de ella?

1 2 3 4Figura:

Asígnales letras mayúsculas a los puntos de intersección entre rectas y entre las rectas

Identifica y escribe los arcos generados por estas intersecciones.

Identifica y escribe los segmentos determinados por estas intersecciones.

Identifica y escribe las cuerdas determinadas por estas intersecciones.

c. ¿Cuál de las figuras presenta dos rectas secantes a una circunferencia que se interceptan

en el centro de ella?

1 2 3 4Figura:

Asígnales letras mayúscula a los puntos de intersección de las secantes con la

circunferencia.

Identifica y escribe los segmentos determinados por los puntos de intersección.

d. ¿Cuál de la figuras presenta una recta secante y una tangente que se interceptan en la

circunferencia?

1 2 3 4Figura:

Asígnales letras a los puntos de intercepción. Asígnales letras del alfabeto griego a los

ángulos formados por las rectas.

Asígnales letras a los ángulos generados por la intersección de las secantes.

¿Cuáles son ángulos opuestos por el vértice? ¿Cuáles ángulos son suplementarios?

Escribe estos pares en el recuadro siguiente:

Identifica y escribe los arcos generados por esas intersecciones.

Autoevaluación

A modo de cierre de la guía te proponemos esta autoevaluación

para que compruebes lo que has aprendido.

Observa la figura adjunta y contesta las preguntas

que siguen a continuación.

a. ¿Cuántos arcos tiene la figura? Escríbelos.

b. ¿Cuántos segmentos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.

c. ¿Cuántas cuerdas se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.

d. ¿Cuántos ángulos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.

e. ¿Cuántas secantes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.

f. ¿Cuántas tangentes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.

54 Demostraciones en la circunferencia

GUÍA 12DEMOSTRACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA

Identificación de la hipótesis y tesis en un teorema asociado a la circunferencia

En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con la circunferencia.

Además debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo entre

hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis) entonces (tesis)”.

55Demostraciones en la circunferencia

Teorema

En una circunferencia, la medida del ángulo del centro es el doble de la medida del

ángulo inscrito que subtiende el mismo arco entre sus lados.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

Teorema

Si los lados de dos o más ángulos inscritos interceptan arcos congruentes o un mismo

arco, entonces los ángulos son congruentes.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

Teorema

Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son

suplementarios.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

MINIEVALUACIÓN

Demostración de un teorema relacionado con las cuerdas de una circunferencia

En la guía anterior (Nº 12) ejercitaste en la estructura de teoremas matemáticos relacionados con

la circunferencia y trabajaste en la demostración de tres teoremas.

En esta minievaluación debes realizar el mismo trabajo pero de manera completamente

independiente.

Este trabajo será calificado.

Teorema

Si un ángulo está inscrito en una semicircunferencia, entonces el ángulo es recto.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

60 Ejercicios con elementos de la circunferencia

GUÍA 14EJERCICIOS CON ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Identificación de los elementos principales asociados a la circunferencia

Coloca el nombre del elemento de circunferencia que se indica al pie de cada una de las

siguientes figuras:

Figura 1 Figura 2 Figura 3

0 es: AB es: AB es:

OP es: AB es: L es:

61Ejercicios con elementos de la circunferencia

AB es: OT es: AB es:

QOP es: PQR es: PQR es:

Cálculo de medidas de ángulos

Calcula la medida de los ángulos indicados con las letras x, y o z.

x = y = x = x =

A 75 º

A 85 º

x = y = x =

x = y =

x = y = z = x = y =

x =x =x =

B80 º

55 ºx

100 º

Arco AB=100º Arco AB=115º

Ejercicios de cálculo de ángulos en la circunferencia

Calcula la medida de los ángulos indicados:

x =x =x =

CAB = 60º CBA = 70º

AOC = DAB = Medida del arco x =

C70º 55º

38º37º

ACB = ACB = α = β =

x = y =

x = x =

AB ≅ CB Arco CB = 126º AD ≅ CD

25º40º

A B28º

x 98º

BT Tangente BT Tangente

x = x =

y = y =

Cálculo que involucran ángulos en la circunferencia

Calcula la medida de los ángulos indicados con letras o números.

x =x =

Arco AB = 120º

1 + 2 + 3 =

x =x = x =

x = x = x =

x = x = x =y =

Arco ABC = 108º

x + y = x =

Tangente, BC Diámetro AB

20º 130º

68 Exploración del teorema de las cuerdas

GUÍA 17EXPLORACIÓN DEL TEOREMA DE LAS CUERDAS

Exploración de invariantes en dos cuerdas de una circunferencia

a. Observa la figura 1 y realiza, de forma individual, las acciones que se te piden.

Pinta de distinto color cada uno de los

segmentos determinados por el punto P y los

puntos A, B, C, D.

Mide con regla cada uno de los segmentos

pintados y coloca en ellos su longitud.

b. Ahora buscaremos invariantes a partir de las medidas de estos trazos.

Para buscar las invariantes, empezaremos trabajando en la figura 1:

Se traza la bisectriz del ángulo DPA.

Se dibuja el trazo BD formando el triángulo DBP.

Se dibuja el trazo AC formando el triángulo APC.

La figura 2 muestra el resultado de estas acciones.

Figura 2

Figura 1

69Exploración del teorema de las cuerdas

Utilizando la bisectriz anterior como eje de

simetría, se refleja el triángulo DBP, quedando

el triángulo D’B’P.

La figura 3 muestra el resultado de esta reflexión.

En esta figura, mide los segmentos PD’, PA, PB’ yPC. Coloca la medida correspondiente sobre cada

uno de ellos.

Como los trazos AC y D’B’ son paralelos porque

el triángulo PD’B’ es semejante al triángulo

PAC entonces se cumple:

c. Por la teoría de las proporciones, esta se puede escribir de ocho formas distintas y en cada una

de ellas se cumple el teorema fundamental de las proporciones. Verifícalo completando las

siguientes equivalencias:

Figura 3

70 Exploración del teorema de las cuerdas

Respecto de los resultados obtenidos en la tabla anterior, ¿cuál es la relación que se cumple

en todos los casos?

Producto de la simetría que construimos en la Figura 3, tenemos dos congruencias: DP ≅ D’Py BP ≅ B’P, por lo que podemos escribir las proporciones entre trazos utilizando solamente los

trazos AP, BP, CP y DP.

d. Completa la misma tabla anterior utilizando los trazos PA, PB, PC y PD, como muestra el

ejemplo:

PD • PC = PA • PB = =

= == =

¿Se siguen cumpliendo las mismas invariantes?

A partir de estas invariantes, intenta escribir con tus palabras, el teorema que crees que relaciona

las medidas de los trazos AP, BP, CP y DP.

71Exploración del teorema de las cuerdas

Pasando en limpio

Cuando tengas una idea del teorema (o de lo que crees que se mantiene invariante en la figura)

intenta escribirlo a continuación.

Teorema:

Teorema que acordó el grupo

Teorema:

Cuando todos tus compañeros o compañeras de grupo hayan elaborado su propia versión del teorema,

compartan lo que han hecho (el teorema que piensan que han encontrado). Entre todos elaboren un

teorema en el que todo el grupo esté de acuerdo y escríbanlo en el siguiente cuadro.

A continuación, y cuando lo indique tu profesor o profesora, escribe la versión final y correcta

del teorema que buscábamos.

TEOREMA DE LAS CUERDAS

En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con la

circunferencia. Además debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo

entre hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis) entonces

(tesis)”.

Teorema

Si dos cuerdas se interceptan en un punto interior de la circunferencia, este determina

segmentos en ella, de manera que el producto de las medidas de los segmentos de una

de las cuerdas es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

MINIEVALUACIÓN DEL TEOREMA DE LAS CUERDAS

En la guía anterior (Nº 20) ejercitaste en la estructura de teoremas matemáticos relacionados

con la circunferencia y trabajaste en la demostración de diversos teoremas.

independiente.

Teorema

Si dos cuerdas que se interceptan en un punto interior de la circunferencia de modo

que PA = PB entonces en este caso se tiene que PA2 = PC • PD

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

76 Ejercicios del Teorema de las cuerdas

GUÍA 20EJERCICIOS DEL TEOREMA DE LAS CUERDAS

Ejercitación del teorema del punto potencia interior a una circunferencia

Determina el valor de x en cada uno de los siguientes casos:

x vale =

El segmento DC mide

x vale =

El segmento DC mide

x vale =

El segmento DC mide

x vale =

El segmento AB mide

x vale =

El segmento DC mide

x vale =

El segmento DC mide

(2 x +1)(x + 2)

77Ejercicios del Teorema de las cuerdas

x vale =

El segmento DC mide

x vale =

El segmento AB mide

x vale =

El segmento AB mide

x vale =

El segmento AB mide

x vale =

El segmento CD mide

x vale =

El segmento AP mide

x vale =

El segmento CP mide

x vale =

El segmento AB mide

x vale =

El segmento OC mide

2(x+2)

(3x+1)

(x+12)

(x+3)(2x+1)

78 Ejercicios del Teorema de las cuerdas

x vale =

El segmento AB mide

x vale =

El segmento DC mide

x vale =

El segmento DC mide

D Px x

OB = 10OB = 15

79Exploración del teorema de las secantes

GUÍA 21EXPLORACIÓN DEL TEOREMA DE LAS SECANTES

Exploración de invariantes en una circunferencia con dos secantes

a. Observa la figura dispuesta a continuación y completa, de forma individual, los datos que

se te piden más adelante.

Pinta de distinto color cada uno de los

segmentos determinados por el punto P y los

puntos A, B, C, D.

Mide con regla cada uno de los segmentos

pintados y coloca en ellos su longitud.

Figura 1

Para buscar invariantes a partir de las medidas de estos trazos, analizaremos lo que ocurre en

las figuras siguientes.

En la figura 1, dibuja el triángulo PBC, como muestra la figura adjunta:

A continuación, y en la misma figura 1, dibuja el triángulo PAD:

80 Exploración del teorema de las secantes

Si consideramos solamente los triángulos PAD y PBC y los acomodamos de modo que

tengan a los lados PB y PD como bases, tendremos:

Por el teorema LAL, los triángulos PAD y PBC son semejantes, por lo tanto se puede escribir

la proporción:

b. Por la teoría de las proporciones, la proporción anterior se puede escribir de ocho formas

distintas y en cada una de ellas se cumple el teorema fundamental de las proporciones. Verifícalo

completando las siguientes equivalencias:

2,52,0

=5,04,0

y se cumple que 2,5 • 4 = 2 • 5

2= 2,5 • 4 = 2 • 5i.

410 10

5= =v.

4= =vi.

2= =vii.

5= =viii.

2,5=ii.

4=iii.

2,5=iv.

81Exploración del teorema de las secantes

Respecto de los resultados obtenidos en la tabla anterior, ¿cuál es la relación que se cumple

en todos los casos?

Considerando la figura inicial:

PA = 2,5

PB = 4,0

PC = 2,0

PD = 5,0

Al reemplazar las medidas 2,5 - 4,0 - 2,0 y 5,0 por los trazos PA, PB, PC y PD en la proporción:

2,52,0

=5,04,0

, se obtiene:PAPC

por lo tanto se cumple: PA • PB = PC • PD

c. ¿Se cumple esta igualdad de productos en las ocho proporciones anteriores?

d. ¿Cuál es la invariante que se sigue manteniendo con los trazos PA, PB, PC y PD?

82 Exploración del teorema de las secantes

Pasando en limpio

Cuando tengas una idea del teorema (o de lo que crees que se mantiene invariante en la figura)

intenta escribirlo a continuación.

Teorema:

Teorema que acordó el grupo

Teorema:

Cuando todos tus compañeros de grupo hayan elaborado su propia versión del teorema, compartan

lo que han hecho (el teorema que piensan que han encontrado). Entre todos elaboren un teorema

en el que todo el grupo esté de acuerdo y escríbanlo en el siguiente cuadro.

A continuación, y cuando lo indique el profesor(a), escribe la versión final y correcta del teorema

que buscábamos.

TEOREMA DE LAS SECANTES

En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con la

circunferencia. Además debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo

entre hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis), entonces

(tesis)”.

Teorema

Si desde un punto P cualquiera, exterior a una circunferencia, se trazan dos secantes,

entonces los productos de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada

secante con la circunferencia son iguales.

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

MINIEVALUACIÓN DEL TEOREMA DE LAS SECANTES

En la guía anterior (Nº 21) ejercitaste en la estructura de teoremas matemáticos relacionados

con la circunferencia y trabajaste en la demostración de diversos teoremas.

independiente.

Teorema

Si desde un punto P, exterior a la circunferencia, se trazan una tangente PT y una secante

PB entonces se tiene que PT2 = PA • PB (Ver figura más abajo)

Si entonces

entonces .

Hipótesis

Demostración

87Ejercicios del teorema de las secantes

GUÍA 24EJERCICIOS DEL TEOREMA DE LAS SECANTES

Determina la medida o las medidas de los trazos indicados:

El segmento PD mide: El segmento PA mide: El segmento PD mide:

PA = 12 PB = 36 PC = 9 PC = 3 PB = 27 PD = 18 PB = 21 PC = 6 AB = 17

El segmento PA mide: El segmento PA mide:PA :

CD = 10 PB = 12 PD = 16 PB = 36 PC = 6 CD = 18 PA = 5 – x PB = x + 9

PC = x + 4 PD = 9 – x

Anota la medida de los segmentos

88 Ejercicios del teorema de las secantes

PB = 24 PA = 9 PD = 18

PC mide:

PC = x + 1 PA = x – 1

CD = 22 AB = 32

PA mide: PC mide: x vale: PD mide:

x vale: PD mide: x vale: PB mide: x vale: PD mide:

x vale: PD mide: x vale: PB mide: PB mide:

PB = 15 PD = 12 PD = 12 PA = 6 PC = 5

(x – 1)

(x – 8)

89Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante

GUÍA 25EJERCICIOS DE LOS TEOREMAS DE LAS CUERDAS

Y LA SECANTEMISCELÁNEA DE EJERCICIOS DE LOS TEOREMAS

DE LAS CUERDAS Y DE LA SECANTE

Determina la medida o las medidas de los trazos indicados:

El segmento PC mide:

PA = 8 AB = 10 PD = 24 PA = x + 4 PB = 2x + 4

PC = 2x – 2 PD = x + 12

x vale: PD mide: El valor de x es:

PA : PC :

PA : PB :PC : PC :

El valor de x es:PA : PC :El valor de x es:

(x + 2)

(x – 3)

(2x – 2)

(x – 2)(2x + 1)

90 Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante

El valor de x es:

PB : PD :

El valor de x es:

PD : PC :

El valor de x es:

PD : PB :

PB = 30 AB = 22 PC = 10

El segmento AB mide: PB : PD : El segmento PD mide:

El segmento AB mide: PA : PB :PC : PD :

El valor de x es:

AB : CD :

(2x + 4)

(x + 1)

(2x + 2)

(x + 2)

(x + 6)3

(x + 2)

91Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante

El valor de x es:

AB : CD :

PB : CD :

PD : PC :

OC = 15 PA = x + 2

PC = x

AB = 18

OD = 16

OB = 13

PD ≅ PC = x

PA = 8

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